METODE PEMULUSAN EKSPONENSIAL HOLT-WINTERS UNTUK PERAMALAN DATA DERET WAKTU MUSIMAN (Studi Kasus Data Jumlah kedatangan Wisatawan Mancanegara Melalui Bandara Ngurah Rai Tahun 2008-2016)
(Skripsi)
Oleh
DEBI ANGGITA SASTI
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2017
ABSTRAK
METODE PEMULUSAN EKSPONENSIAL HOLT-WINTERS UNTUK PERAMALAN DATA DERET WAKTU MUSIMAN
Oleh
Debi Anggita Sasti
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui model-model peramalan dan menentukan model terbaik untuk peramalan data jumlah kedatangan wisatawan mancanegara di Bandara Ngurah Rai menggunakan metode pemulusan eksponensial Holt-Winters berdasarkan nilai MAPE dan MAD yang terkecil. Hasil penelitian menunjukkan bahwa peramalan jumlah kedatangan wisatawan mancanegara melalui Bandara Ngurah Rai menggunakan metode pemulusan eksponensial Holt-Winters model aditif lebih baik dibandingkan dengan model multiplikatif.
Kata kunci: Holt-Winters, Aditif, Multiplikatif.
ABSTRACT
HOLT-WINTERS EXPONENTIAL SMOOTHING METHOD FOR FORECASTING SEASONAL TIME SERIES DATA
By
Debi Anggita Sasti
The aim of this study is to determine the forecasting models and the best model for the number of foreign tourist arrivals in Ngurah Rai airport using Holt-Winter exponential smoothing method based on the value of MAPE and MAD. The results showed that the number of foreign tourist arrivals in Ngurah Rai Airport using Holt-Winters additive model of exponential smoothing method is more appropriate than multiplicative model.
Key Words: Holt-winters, Additive, Multiplicative.
METODE PEMULUSAN EKSPONENSIAL HOLT-WINTERS UNTUK PERAMALAN DATA DERET WAKTU MUSIMAN (Studi Kasus Data Jumlah kedatangan Wisatawan Mancanegara Melalui Bandara Ngurah Rai Tahun 2008-2016)
Oleh
DEBI ANGGITA SASTI
Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk mencapai gelar SARJANA SAINS
Pada Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2017
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan pada tanggal 01 Juni 1995 di Desa Sudimoro, Kecamatan Semaka, Kabupaten Tanggamus, sebagai anak ketiga dari tiga bersaudara pasangan Bapak Shobri dan Ibu Suminah.
Penulis telah menyelesaikan jenjang pendidikan mulai dari Pendidikan Taman Kanak-Kanak di TK Riyadush Shalihin Baleendah lulus pada tahun 2001, Sekolah Dasar (SD) Negeri 1 Sudimoro Bangun diselesaikan pada tahun 2007, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 1 Semaka diselesaikan pada tahun 2010, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 1 Pringsewu diselesaikan pada tahun 2013.
Tahun 2013 penulis terdaftar sebagai Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN. Selama menjadi mahasiswa, penulis aktif diberbagai organisasi kemahasiswaan tingkat jurusan dan fakultas diantaranya pernah menjabat sebagai Anggota Gematika 2013-2014, Anggota Bidang Eksternal HIMATIKA periode 2014-2015, Anggota Departemen Media dan Informasi BEM FMIPA unila periode 2014-2015.
Pada tahun 2016 penulis melakukan Kerja Praktik (KP) di Kantor Pelayanan Pajak Pratama Metro. Sebagai bentuk pengabdian mahasiswa, penulis telah melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Tempuran, Kecamatan Trimurjo, Kabupaten Lampung Tengah.
Dengan mengucap Alhamdulillah, Sujud syukurku kusembahkan kepada Allah yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang, atas takdirMu telah Kau jadikan aku manusia yang senantiasa berpikir, berilmu, beriman dan bersabar dalam menjalani kehidupan ini. Semoga keberhasilan ini menjadi satu langkah awal untuk meraih cita-cita besarku. Kupersembahkan sebuah karya kecil ini untuk : Ayahanda dan Ibundaku tercinta Terimakasih Ayah, Ibu yang tiada pernah hentinya selama ini memberiku semangat, doa, dorongan, nasehat dan kasih sayang serta pengorbanan... dalam hidupmu demi hidupku kalian ikhlas mengorbankan segala perasaan tanpa kenal lelah yang tak akan pernah tergantikan hingga aku selalu kuat menjalani setiap rintangan yang ada didepanku. Karena atas ridho kalianlah Allah selalu memudahkan setiap langkah yang ku tapaki.
Kedua kakakku serta seluruh keluarga dekat yang telah mendukung dan senantiasa berdoa untuk keberhasilanku. Dosen Pembimbing dan Penguji yang sangat berjasa dalam mengarahkan, membimbing, menasihati, dan memberi motivasi kepada penulis.
sahabat-sahabat tercinta yang selalu ada. Terima kasih atas kebersamaan, keceriaan, semangat, serta motivasi yang diberikan.
Almamater kebanggaan Universitas Lampung
KATA INSPIRASI
Hiduplah seperti kamu akan mati esok dan berbahagialah seperti kamu akan hidup selamanya. (B.J. Habibie) “Cukuplah Allah menjadi Penolong kami dan Allah adalah sebaik–baiknya Pelindung” (QS. Ali ‘Imran: 173) “Dia mengajarkan manusia apa yang tidak diketahuinya” (Al-‘Alaq: 5) You must do the things you think you cannot do. (Eleanor Roosevelt) Punggung pisaupun jika diasah akan menjadi tajam. (Debi Anggita Sasti)
SANWACANA
Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT karena atas berkat rahmat dan hidayah-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Shalawat serta salam senantiasa tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW. Skripsi yang berjudul “Metode Pemulusan Eksponensial Holt-Winters Untuk Peramalan Data Deret Waktu Musiman” disusun sebagai salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si.) di Universitas Lampung. Dalam kesempatan ini rasa terima kasih yang setulus-tulusnya penulis ucapkan kepada: 1.
Ibu Netti Herawati, Ph.D. selaku dosen pembimbing I yang selalu mengarahkan, membimbing dan memotivasi penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
2.
Bapak Tiryono Ruby, Ph.D. selaku dosen pembimbing II, terima kasih untuk bimbingan dan masukannya selama penyusunan skripsi ini.
3.
Bapak Nusyirwan, M.Si. selaku dosen penguji yang telah memberikan saran dan nasehatnya dalam menyelesaikan skripsi ini.
4.
Bapak Warsono, Ph.D. selaku Pembimbing Akademik atas bimbingan dan pembelajarannya selama ini.
5.
Bapak Tiryono Ruby, Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
6.
Bapak Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D. selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung.
7.
Seluruh Dosen dan staf Jurusan Matematika yang telah memberikan Ilmu dan bantuan yang berguna bagi penulis.
8.
Orang tua tercinta yang senantiasa mendoakan, menyayangi, memberi semangat dan nasehat, serta kedua kakak dan keluarga dekat yang senantiasa berdoa untuk keberhasilan penulis.
9.
Della, Dian, Eno, Yucky, Annisa, Winda, Mita, Ayu, Bunga, Reni, Lita, Besti, Citra, Heni, Tina, Sabti, Wuri, Nando, Agi, Qadapi, Radit, Afif, terimakasih atas kebersamaan, keceriaan dan dukungannya selama ini.
10. Teman-teman satu bumbingan atas bantuan, semangat dan dukungannya dalam menyelesaikan skripsi ini. 11. Teman – Teman angkatan 2013 yang tidak dapat disebutkan satu persatu terimakasih atas keakraban dan kebersamaan selama ini. 12. Seluruh pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan satupersatu, atas dukungan dan doanya selama penyelesaian skripsi ini. Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam skripsi ini. Oleh karena itu, kritik dan saran dari pembaca akan sangat bermanfaatbagi penulis. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membaca
Bandar Lampung, Februari 2017 Penulis
Debi Anggita Sasti
DAFTAR ISI
Halaman DAFTAR GAMBAR ................................................................................
xi
DAFTAR TABEL ....................................................................................
xii
I.
PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang dan Masalah .................................................... 1.2. Tujuan Penelitian...................................................................... 1.3. Manfaat Penelitian....................................................................
1 2 3
TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Peramalan ............................................................................... 2.2 Analisis Deret Waktu .............................................................. 2.3 Komponen Deret Waktu .......................................................... 2.3.1 Pola Kecenderungan (T)............................................... 2.3.2 Pola Musiman (S)......................................................... 2.3.3 Pola Siklis (C) .............................................................. 2.3.4 Pola Acak (I) ................................................................ 2.4 Stasioneritas ............................................................................ 2.5 Fungsi Autokovariansi ............................................................ 2.6 Fungsi Autokorelasi ................................................................. 2.7 Fungsi Autokorelasi Parsial ..................................................... 2.8 Uji Akar Unit............................................................................ 2.9 Fungsi Eksponensial................................................................. 2.10 Metode Pemulusan Eksponensial............................................. 2.11 Metode Pemulusan Eksponensial Tunggal .............................. 2.12 Metode Pemulusan Eksponensial Ganda ................................. 2.13 Metode Pemulusan Eksponensial Holt-winters........................ 2.13.1 Holt-winters Aditif ....................................................... 2.13.2 Holt-winters Multiplikatif ............................................ 2.14 Proses Inisialisasi .................................................................... 2.15 Indeks Musiman ...................................................................... 2.16 Kriteria Kebaikan Model..........................................................
4 5 5 6 6 7 8 8 10 14 16 20 22 23 24 25 26 28 30 32 34 35
III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian .................................................. 3.2 Data Penelitian .........................................................................
37 37
II.
3.3 IV.
V.
Metode Penelitian.....................................................................
HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Plot Data Deret Waktu ........................................................... 4.2 Uji Asumsi Data ....................................................................... 4.2.1 Uji Stasioner ................................................................. 4.2.2 Uji Kecenderungan....................................................... 4.2.3 Uji Musiman................................................................. 4.3 Penentuan Nilai Awal .............................................................. 4.4 Pendugaan Parameter α, β, dan γ ............................................ 4.5 Peramalan Data Jumlah Kedatangan Wisatawan Mancanegara Melalui Bandara Ngurah Rai pada Bulan Juli 2016-Juni 2017.. KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN
38
42 43 43 44 45 47 49 53
DAFTAR TABEL
Tabel 1.
Halaman
Data Jumlah Kedatangan Wisatawan Mancanegara Melalui Bandara Ngurah Rai Tahun 2008-2016 ................................
37
Nilai Pengujian Asumsi Data Memiliki Akar Unit dengan Menggunakan E-views ........................................................................
44
3.
Nilai Indeks Musiman..........................................................................
46
4.
Nilai Peramalan Holt-Winters Aditif ...................................................
56
2.
DAFTAR GAMBAR
Gambar
Halaman
1. Pola Data Kecenderungan ....................................................................
6
2. Pola Data Musiman ...............................................................................
7
3. Pola Data Siklis .....................................................................................
7
4. Stasioner dalam Rata-rata dan Varians .................................................
9
5. Nonstasioner dalam Rata-rata ...............................................................
9
6. Stasioner dalam Varians........................................................................
9
7. Contoh Plot Data Model Aditif.............................................................
28
8. Contoh Plot Data Model Multiplikatif ..................................................
31
9. Plot Data Deret Waktu Jumlah Kunjungan Wisatawan Mancanegara melalui Bandara Ngurah Rai tahun 2008-2016 ..............
42
10. Plot Autokorelasi Data Deret Waktu Jumlah Kunjungan wisatawan Mancanegara melalui Bandara Ngurah Rai tahun 2008-2016 .............................................................................................
43
11. Plot Analisis Kecenderungan Data Deret Waktu Jumlah Kunjungan Wisatawan Mancanegara melalui Bandara Ngurah Rai tahun 2008-2016 .............................................................................
45
12. Grafik Model Pemulusan Eksponensial Holt-Winters Aditif................
51
13. Grafik Model Pemulusan Eksponensial Holt-Winters Multiplikatif ..........................................................................................
52
1
I. PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang dan Masalah
Peramalan merupakan suatu cara untuk memprediksi apa yang akan terjadi dimasa yang akan datang. Untuk dapat memprediksi sebuah nilai dimasa yang akan datang, dibutuhkan data deret waktu. Data deret waktu merupakan data hasil pencatatan secara terus-menerus dari waktu ke waktu, biasanya dalam interval waktu yang sama. Terdapat banyak metode peramalan yang dapat digunakan, namun tidak semua metode yang ada benar-benar tepat untuk memprediksi kejadian dimasa mendatang. Sebagaimana diketahui, data riil yang ada di lapangan tentu saja tidak akan selalu sama. Untuk menentukan metode peramalan pada data deret waktu perlu diketahui pola dari data tersebut sehingga peramalan dengan metode yang sesuai dengan pola data dapat dilakukan.
Karena suatu data pasti memiliki pola tertentu, maka identifikasi awal harus dilakukan. Pola suatu data deret waktu antara lain terjadi kenaikan atau penurunan, pola musiman, pola siklus dan pola yang tidak beraturan. Untuk jenis data stasioner maupun nonstasioner namun tidak megandung pola musiman maka dapat dilakukan peramalan dengan menggunakan metode rata-rata bergerak dan metode pemulusan eksponensial tunggal dan ganda.
2
Tetapi apabila data mengandung pola musiman metode tersebut akan menghasilkan peramalan yang buruk. Oleh karena itu, untuk meminimalisir terjadinya kesalahan pada hasil peramalan perlu menentukan metode yang tepat untuk pola data musiman. Metode pemulusan eksponensial Holt-Winters merupakan salah satu metode yang tepat untuk meramalkan data yang mengandung pola musiman.
Pada penelitian terdahulu (Sudrimo, 2015) telah dibahas peramalan data penumpang Bandara Juanda tahun 2008-2014 dengan metode pemulusan eksponensial triple, pada penelitian ini akan membahas peramalan data jumlah kedatangan wisatawan mancanegara melalui Bandara Ngurah Rai tahun 20082016 dengan menggunakan model Aditif dan model Multiplikatif dalam metode eksponensial Holt-Winters.
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah : 1. Mengetahui model-model peramalan data jumlah kedatangan wisatawan mancanegara melalui Bandara Ngurah Rai tahun 2008-2016 yang ada dalam metode pemulusan eksponensial Holt-Winters. 2. Menentukan model terbaik untuk meramalkan data jumlah kedatangan wisatawan mancanegara melalui Bandara Ngurah Rai tahun 2008-2016.
3
1.3 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah : 1. Memberikan pengetahuan baru tentang model-model yang ada dalam metode pemulusan eksponensial Holt-Winters untuk peramalan data deret waktu musiman. 2. Dapat menjadi referensi bagi pembaca apabila ingin melakukan penelitian mengenai peramalan dengan data yang mengandung musiman.
4
II.
2.1
TINJAUAN PUSTAKA
Peramalan
Definisi dari peramalan adalah memperkirakan besarnya atau jumlah sesuatu pada waktu yang akan datang berdasarkan data pada masa lampau yang dianalisis secara alamiah khususnya menggunakan metode statistika (Sudjana, 1986). Peramalan biasanya dilakukan untuk mengurangi ketidakpastian terhadap sesuatu yang akan terjadi di masa yang akan datang. Suatu usaha untuk mengurangi ketidakpastian tersebut dilakukan dengan menggunakan metode peramalan.
Menurut (Makridakis, dkk., 1999) metode peramalan dibagi ke dalam dua kategori utama, yaitu metode kualitatif dan metode kuantitatif. Metode kualitatif dilakukan apabila data masa lalu tidak ada sehingga peramalan tidak bisa dilakukan. Dalam metode kualitatif, pendapat–pendapat dari para ahli akan menjadi pertimbangan dalam pengambilan keputusan sebagai hasil dari peramalan yang telah dilakukan. Namun, apabila data masa lalu tersedia, peramalan dengan metode kuantitatif akan lebih efektif digunakan dibandingkan dengan metode kualitatif.
5
Peramalan dengan metode kuantitatif dapat dibagi menjadi dua bagian, yaitu model deret waktu dan model kausal. Model deret waktu didasarkan pada data yang dikumpulkan, dicatat, atau diamati berdasarkan urutan waktu dan peramalannya dilakukan berdasarkan pola tertentu dari data. Model kausal didasarkan pada hubungan sebab–akibat dan peramalan dilakukan dengan dugaan adanya hubungan antar variabel yang satu dengan yang lain (Santoso, 2009).
2.2
Analisis Deret Waktu
Analisis deret waktu merupakan metode peramalan kuantitatif untuk menentukan pola data pada masa lampau yang dikumpulkan berdasarkan urutan waktu dalam suatu rentang waktu tertentu, yang disebut data deret waktu. Jika waktu dipandang bersifat diskrit (waktu dapat dimodelkan bersifat kontinu), frekuensi pengumpulan selalu sama. Dalam kasus diskrit, frekuensi dapat berupa detik, menit, jam, hari, minggu, bulan atau tahun (Montgomery, 2008).
2.3
Komponen Deret Waktu
Analisis deret waktu meliputi identifikasi komponen-komponen yang menyebabkan terjadinya fluktuasi dalam serangkaian data historis. Komponen komponen tersebut adalah sebagai berikut:
6
2.3.1. Pola Kecenderungan (T)
Jika dalam suatu deret terdapat gerakan naik ataupun turun dalam jangka panjang, maka deret tersebut dikatakan deret yang mengandung unsur kecenderungan (Makridakis, dkk., 1992).
Gambar 1. Pola Data Kecenderungan
2.3.2. Pola Musiman (S)
Komponen musiman juga merupakan fluktuasi periodik, tetapi periode waktunya sangat singkat yaitu satu tahun atau kurang. Gerakan musiman merupakan gerakan yang mempunyai pola-pola tetap atau identik dari waktu ke waktu dengan waktu yang kurang dari satu tahun. Dengan demikian jelas bahwa variasi musiman adalah suatu pola yang berulang dalam jangka pendek (Box, 1976).
7
Gambar 2. Pola Data Musiman
2.3.3. Pola Siklis (C)
Pola data yang menunjukkan gerakan naik turun di sekitar garis kecenderungan dalam jangka panjang. Gerakan siklis ini bisa berulang setelah jangka waktu tertentu, misalnya setiap 3 tahun, 5 tahun atau bahkan lebih, tetapi bisa juga tidak berulang dalam jangka waktu yang sama. Dalam kegiatan bisnis dan ekonomi, gerakan-gerakan hanya dianggap siklis apabila timbul kembali setelah jangka waktu lebih dari 1 tahun (Cryer, 2008).
Gambar 3. Pola Data Siklis
8
2.3.4. Pola Acak (I)
Komponen ini memperlihatkan fluktuasi yang acak sebagai akibat adanya suatu perubahan yang mendadak. Gerakan yang tidak teratur atau gerakan acak adalah gerakan yang bersifat sporadis atau gerakan dengan pola yang tidak teratur dan tidak dapat diperkirakan dalam waktu singkat. Gerakan ini disebabkan oleh peristiwa-peristiwa yang terjadi secara kebetulan seperti banjir, pemogokan, pemilihan umum, dan perubahan pemerintahan (Supangat, 2007).
2.4
Stasioneritas
Dalam analisis deret waktu asumsi yang penting adalah kestasioneran data yang di peroleh. Deret waktu yang stasioner adalah deret waktu yang mempunyai ratarata dan variansi konstan sepajang waktu. Dengan kata lain data deret waktu yang stasioner adalah data yang tidak mengalami kenaikan atau penurunan yang signifikan atau secara matematis dapat dikatakan bahwa data yang dimiliki berfluktuasi di sekitar nilai rata-rata atau berada di antara dua standar galat (Soejoeti, 1987).
Data deret waktu dikatakan stasioner dalam rata–rata jika rata–ratanya tetap (tidak terdapat pola kecenderungan). Gambar 4 merupakan contoh plot data deret waktu yang stasioner dalam rata–rata dan varians. Gambar 5 menunjukkan plot data deret waktu yang nonstasioner dalam rata–rata.
9
Gambar 4. Stasioner dalam rata-rata dan varians
Gambar 5. Nonstasioner dalam rata-rata
Data deret waktu dikatatan stasioner dalam varians jika fluktuasi datanya tetap atau konstan (horizontal sepanjang sumbu waktu), seperti pada Gambar 6.
Gambar 6. Stasioner dalam varians
10
Tidak stasionernya data akan mengakibatkan kurang baiknya model yang diestimasi dan data tersebut dipertimbangkan kembali validitas dan kestabilannya. Salah satu penyebab tidak stasionernya sebuah data adalah adanya autokorelasi. Bila data distasionerkan maka autokorelasi akan hilang dengan sendirinya, karena itu transformasi data untuk membuat data yang tidak stasioner menjadi stasioner sama dengan transformasi data untuk menghilangkan autokorelasi (Makridakis, dkk., 1992).
2.5
Fungsi Autokovariansi
Bila
himpunan waktu yang diamati, di dalam
dan
adalah hasil
pengamatan pada saat , maka { , ∈ } disebut proses stokastik. Misal ,
,
⋯,
, ,
adalah pengamatan pada saat
⋯,
dari proses
stokastik { , ∈ } dan distribusi peluang gabungan yang berkaitan adalah (
(
,
,
,
,
⋯,
⋯,
) jika dipenuhi : )=
(
,
,
)
⋯,
(2.1)
untuk setiap pergeseran waktu sebesar , maka proses stokastik { , ∈ } disebut proses stokastik stasioner. Akibatnya
(
,
,
⋯,
) tidak
bergantung waktu sehingga proses stokastik stasioner mempunyai rata-rata dan varians yang konstan yaitu : ( )= (
( )=
(
)=
−
(2.2) ) = (
−
) =
(2.3)
(Soejoeti, 1987)
11
1.
( )=
Bukti :
( )=
. ( )
( )=
.
( )=
Misalkan : Maka :
−
dan
=
Sehingga :
√2
.
√2
= =
+
= ( =
+ ) + 2 ( )= ( )= ( )=
Misalkan :
Maka :
1
1
+ 1
√2 √2 √2
( .
( )
+
.
( )
+
1 ( ) = 2 = ( )= ( )= ( )=
√2 √2
( )
).
+
+
∞ + −∞
√2
( )
12
2. Bukti :
( )= (
−
) =
( )= ( ( )=
−2
( )=
− (2
( )=
− (2
( )=
−2
( )=
Karena nilai
) =
−
−
+
+
) + ( ) + (
) )
(2.4)
belum diketahui maka terlebih dahulu menghitung nilai
sebagai berikut : =
. ( )
=
.
= = = = = =
1
1
√2
.
√2
1
(
√2
) .
+
+2
√2 √2 2
√2 2
√2
.
( )
Г
2+1 2
Г
3 2√2 + 2
1 2 2
+
+0 +
+
13
= =
2
√2
+
√ 2
2√2 +
(2.5)
Dengan mensubtitusikan persamaan (2.5) ke dalam persamaan (2.4) diperoleh hasil sebagai berikut : ( )=
+
( )=
−
:
Fungsi autokovariansi adalah himpunan autokovariansi dari berbagai lag { 0, 1, 2, . .. }. Lag ke- adalah pergeseran data sebanyak
langkah dari data
awalnya baik maju maupun mundur. Fungsi autokovariansi proses stokastik { , ∈ } adalah :
( , )=
= [(
(
)
,
)(
−
−
)]
(2.6)
Untuk proses stokastik stasioner fungsi autokovariansi hanya bergantung pada selang waktu antara
dan
autokovariansi lag
adalah :
( )=
= [(
. Sehingga untuk proses stasioner fungsi
( ,
−
)(
)
−
)]
(2.7)
=
14
2.6
Fungsi Autokorelasi
Dalam analisis deret waktu selain fungsi autokovariansi terdapat pula fungsi autokorelasi (ACF) yang merupakan alat utama untuk menentukan model yang cocok untuk data yang dimiliki. Nilai Auto Correlation (AC) mengukur korelasi antar pengamatan dengan beda kala (lag) ke-k. Koefisien autokorelasi perlu diuji untuk menentukan apakah secara statistik nilainya berbeda secara signifikan dengan nol atau tidak .
:
Fungsi autokorelasi {
Dimana
=
dan
= 0, 1, 2, . .. }, diperoleh dengan definisi : (
(
)
,
(
merupakan rata-rata data,
)
)
=
(2.8)
merupakan autokovarians pada lag ke ,
merupakan autokorelasi pada lag ke , serta t = waktu pengamatan ke
untuk semua adalah 1, 2, ..., dst.
ini diestimasi oleh :
dimana :
=
̅
∑
(
∑
(
̅ )(
̅)
̅)
= autokorelasi pada lag ke= data pengamatan ke = rata-rata data = data pengamatan ke +
(2.9)
15
Menurut (wei, 2006) fungsi autokovariansi
dan fungsi autokorelasi
memiliki sifat-sifat sebagai berikut : 1.
=
( );
=
dan
2. │ │ ≤ 3.
untuk semua k,
= 1.
;│
dan
(2.10)
│ ≤ 1.
(2.11)
=
(2.12)
adalah fungsi yang sama dan simetrik lag ke-k = 0. Sifat
tersebut diperoleh dari perbedaan waktu antara
dan
. Oleh sebab itu, fungsi
autokorelasi sering hanya diplotkan untuk lag non negatif. Plot tersebut kadang disebut korrelogram.
Untuk mengetahui apakah koefisien autokorelasi signifikan atau tidak, perlu dilakukan uji. Pengujian koefisien autokorelasi dapat dilakukan dengan menggunakan statistik uji :
dimana :
dengan :
dimana :
=
(2.13)
= uji = autokorelasi pada lag ke= galat baku autokorelasi pada saat lag ke-k =
√
= galat baku autokorelasi pada saat lag ke-k = banyak observasi dalam data deret waktu
(2.14)
(Montgomery, 2008)
16
dengan hipotesis : H0 :
= 0 (Koefisien autokorelasi tidak berbeda secara signifikan)
H1 :
≠ 0 (Koefisien autokorelasi berbeda secara signifikan) >
Kriteria keputusan : tolak H0 jika nilai =
2.7
,
, dengan derajat bebas
− 1, n merupakan banyaknya data (Pankratz, 1991).
Fungsi Autokorelasi Parsial
Autokorelasi parsial (PACF) digunakan untuk mengukur korelasi antara setelah menghilangkan peubah
,
,
dan
. fungsi autokorelasi
parsial merupakan alat lain untuk mengidentifikasi model yan sesuai dengan data pengamatan. Menurut (Wei, 2006) fungsi autokorelasi dapat dinotasikan dengan : ( , Misalkan
,
,
⋯
)
adalah proses yang stasioner dengan ( ) = 0 selanjutnya
dinyatakan sebagai model linear dengan variabel terikat ,
, ⋯, dan
= ∅
dapat
dan variabel bebas
yaitu : +∅
+⋯+∅
+
(2.15)
Dengan ∅ merupakan parameter regresi ke untuk = 1,2, . . . dan merupakan nilai kesalahan yang tidak berkorelasi dengan
dengan =
1,2, . . . . Untuk mendapatkan nilai PACF, langkah pertama yang dilakukan adalah dengan mengalikan
pada kedua ruas persamaan (2.15) diperoleh :
17
= ∅
+∅
+ ⋯+ ∅
(2.16)
+
Selanjutnya, nilai harapan dari persamaan (2.16) yaitu : (
)=∅
∅
(
(
Dimisalkan (
)+∅
)+ (
)=
diperoleh :
= ∅
= 1,2, . . .
,
+ ∅
=∅
1
−1 0
+∅
2
)
dan karena
+ ⋯+ ∅
Persamaan (2.18) dibagi dengan
0
(
) + ⋯+
(2.17)
= 0, maka
(2.18)
: −2 0
−
+ ⋯+ ∅
(2.19)
0
Dari persamaan (2.19) diperoleh :
dan diberikan
= ∅
+ ⋯+ ∅
(2.20)
= 1. Untuk = 1,2, . . . , diperoleh sistem persamaan berikut :
= ∅
⋮
+ ∅
= ∅ = ∅
+ ∅ + ∅
+ ⋯+ ∅
,
+ ⋯+ ∅
+ ∅
,
(2.21)
+ ⋯+ ∅
Sistem persamaan (2.21) dapat diselesaikan dengan menggunakan aturan Cramer. Persamaan (2.21) untuk = 1,2, . . . autokorelasi parsial lag
digunakan untuk mencari nilai-nilai fungsi
yaitu Ø , Ø
,
…Ø
.
18
a.
Untuk lag pertama ( = 1) dan ( = 1) diperoleh sistem persamaan sebagai berikut : =Ø
= 1 sehingga
, karena
=Ø
yang berarti bahwa fungsi
autokorelasi parsial pada lag pertama akan sama dengan fungsi autokorelasi pada lag pertama.
b.
Untuk lag kedua ( = 2) dan ( = 1,2) diperoleh sistem persamaan =Ø
+Ø
=Ø
+Ø
(2.22)
persamaan (2.22) jika ditulis menjadi matriks akan menjadi
=
1
diperoleh
Ø c.
Ø Ø
=
1
=
,
1
1 det( ) = = 1 det( )
, dan dengan menggunakan aturan Cramer
1
Untuk lag ketiga ( = 3) dan ( = 1,2,3) diperoleh sistem persamaan =Ø
+Ø
+Ø
=Ø
+Ø
+Ø
=Ø
+Ø
+Ø
persamaan (2.23) jika ditulis dalam bentuk matriks akan menjadi Ø Ø Ø
=
(2.23)
19
1
=
1
1
=
,
1
1
, dan dengan menggunakan aturan
Cramer diperoleh
1
Ø
d.
1
det( ) = = 1 det( )
Untuk =Ø
1
1
lag = 1, 2, 3, ⋯ , diperoleh sistem persamaannya adalah +Ø
+Ø
+⋯+Ø
+Ø
+Ø
+⋯+Ø
+Ø
+Ø
+ ⋯+ Ø
… … … ⋱ …
⋮ 1
dengan aturan Cramer diperoleh
Ø ⎤ ⎡Ø ⎥⎢ ⎥ ⎢Ø ⎥⎢ ⋮ ⎦⎣ Ø
… … … ⋱ …
⎤ ⎥ ⎥ ⋮ ⎥ ⎦
=Ø
⋮
+Ø
=Ø
=Ø
+Ø
+⋯+Ø
(2.24)
persamaan (2.24) jika dinyatakan dalam bentuk matriks menjadi 1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⋮ ⎣
1
1 ⋮
⋮
1 ⎡ ⎢ =⎢ ⎢ ⋮ ⎣
1
⋮
1 ⋮
⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢⋮ ⎦ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
20
Nilai autokorelasi lag
hasilnya adalah 1
Ø
det( ) = = det( )
dengan Ø
2.8
1
⋮
⋮
1
⋮
1
1 ⋮ 1 ⋮
⋮
disebut PACF antara
dan
… … … ⋱ … … … … ⋱ …
⋮ ⋮ 1 (Wei, 2006)
Uji Akar Unit
Uji akar unit merupakan pengujian yang sangat populer dan dikenalkan oleh David Dickey dan Whyne Fuller. Uji Akar Unit dengan metode ADF (Augmented Dickey Fuller) dapat dilakukan dengan melihat secara grafis sehingga dapat diketahui apakah pada variabel mengandung kecenderungan atau tidak. Pada prinsipnya, uji ini dimaksudkan untuk mengamati apakah koefisien tertentu dari model Autoregresi (AR) mempunyai nilai satu atau tidak. Dalam uji ini dibentuk persamaan regresi dari data aktual pada periode ke-t dan ke- t−1 . Untuk mencari uji akar unit, pertama kita menghitung nilai dari model persamaan berikut: =
+
(2.25)
21
Dimana
adalah nilai galat dan
merupakan nilai autoregresinya(−1 <
< 1).
= 1, maka deret tersebut mengandung akar unit (mengandung
Jika
kecenderungan). Sedangkan apabila akar unit (stasioner).
< 1, maka deret tersebut tidak mengandung
Namun, kita tidak bisa memperkirakan persamaan 2.25 oleh Ordinary Least Square (OLS) dan menguji hipotesis bahwa
= 1 dengan uji t biasanya karena
uji tersebut sangat bias dalam kasus akar unit. Oleh karena itu kita memanipulasi persamaan 2.25 dengan mengurangkan setiap sisi persamaan dengan
,
sehingga persamaan menjadi:
∆ ∆
− , ,
=
= ( − 1) =
+
−
+
+
dengan, ∆ adalah selisih antara Yt dan ∆ dimana:
∆
(2.26) (2.27) (2.28) ,
=
−
serta
=
− 1.
= hasil difference data pada periode ke-t = data aktual periode ke-t = data aktual periode ke-t-1 = Koefisien regresi = galat yang white noise, degan mean = 0 dan varians =
Pada tahap ini sudah dilakukan pembedaan sebagai metode untuk menanggulangi masalah ketidakstasioneran data dan kemudian data akan diuji kembali. Hipotesis yang digunakan untuk menentukan apakah data deret mengandung akar unit, yaitu: H0 :
= 0 (Mengandung akar unit atau tidak stasioner atau memiliki
kecenderungan)
22
H1 : Apabila |
≠ 0 (tidak mengandung akar unit atau stasioner) |<|
|, maka H0 diterima, yang artinya data deret tidak
stasioner (Gujarati and Porter, 2009). Jika hipotesis kepercayaan α maka
= 0 ditolak dengan derajat
= 1 artinya terdapat akar unit, sehingga data deret waktu
tidak stasioner. Dengan membentuk persamaan regresi antara Δ akan diperoleh koefisien regresinya, yaitu
dan
. Hipotesis dalam uji akar unit
menjelaskan bahwa apabila hasil uji menyatakan nilai Augmented Dickey-Fuller uji statistik lebih kecil nilai kritis pada derajat kepercayaan tertentu atau nilai tingkat signifikansinya lebih kecil dari derajat kepercayaan α = 0,05, maka hipotesis nol yang menyatakan bahwa data tersebut tidak stasioner ditolak dan demikian sebaliknya (Wei, 2006).
2.9
Fungsi Eksponensial
Fungsi eksponen diperkenalkan pertama kali oleh Leonhard Euler dengan lambang . Fungsi eksponen didefinisikan bahwa huruf real positif unik sedemikian rupa sehingga ln
menyatakan bilangan
= 1.
Fungsi eksponensial merupakan fungsi yang mempunyai satu konstanta baris dan satu peubah eksponen, disebut fungsi eksponensial. =
= exp(ln
)
= exp( ln )
(2.29)
=
Persamaan 2.29 disebut fungsi eksponensial berbasis
dan
sebagai eksponen.
23
Untuk
> 0 dan sebarang bilangan real , maka : =
(Purcell, dkk., 2004)
Bobot yang diberikan untuk setiap data pada model pemulusan eksponensial menurun secara eksponensial, sebagaimana persamaan sebagai berikut: =
+ (1 − )
+ (1 − )
+ ⋯ + (1 − )
(2.30)
Sehingga bobot pemulusan adalah ( ) = , (1 − ), (1 − )2, …, dst dan membentuk suatu deret pangkat.
Secara umum persamaan 2.30 dituliskan sebagai berikut: ( ) = (1 − )n
(2.31)
yang menurun secara eksponensial (Makridakis, dkk., 1983).
2.10 Metode Pemulusan Eksponensial
Pemulusan eksponensial merupakan suatu model peramalan rata-rata bergerak yang melakukan pembobotan terhadap data masa lalu dengan cara eksponensial sehingga data paling akhir mempunyai bobot atau timbangan lebih besar dalam rata-rata bergerak. Metode pemulusan eksponensial telah digunakan selama beberapa tahun sebagai suatu metode yang sangat berguna pada begitu banyak situasi peramalan.
Pada tahun 1957 C. C. Holt mengusulkan metode pemulusan eksponensial yang berlaku untuk data deret waktu yang tidak memiliki unsur kecenderungan dan musiman. Kemudian pada tahun 1957 diusulkan suatu prosedur pemulusan
24
eksponensial untuk data deret waktu yang mengandung pola kecenderungan yang kemudian biasa disebut metode penghalusan eksponensial ganda dua parameter dari Holt. Pada tahun 1965 Winters mengembangkan metode dua parameter dari Holt tersebut untuk kasus yang memiliki unsur musiman. Winters menambahkan operasi penghalusan ketiga dan parameter ketiga untuk unsur musiman. Metode penghalusan eksponensial tripel dari Winter lebih dikenal sebagai metode HoltWinters (Makridakis, dkk., 1999).
2.11 Metode Pemulusan Eksponensial Tunggal
Pemulusan eksponensial tunggal dikenal juga sebagai pemulusan eksponensial sederhana yang digunakan pada peramalan jangka pendek. Model mengasumsikan bahwa data berfluktuasi di sekitar nilai mean yang tetap, tanpa kecenderungan atau pola pertumbuhan konsisten (Makridakis, dkk., 1999). Rumus untuk pemulusan eksponensial sederhana adalah sebagai berikut : = (
=( =
=
dimana
−
−
−
)+
)+
+
+ (1 − )
= Pemulusan eksponensial pada tahun ke= Pemulusan eksponensial pada tahun ke- − 1 = Data ke= konstanta pembobot pemulusan eksponensial (0 <
(2.32)
< 1)
25
Nilai α disebut pemulusan konstan, dalam model pemulusan eksponensial tunggal, nilai α bisa ditentukan secara bebas, artinya tidak ada suatu cara yang pasti untuk mendapatkan nilai α. Pemilihan nilai α dapat dilakukan dengan cara coba-coba, akan tetapi untuk mencari nilai α yang optimal dapat dilakukan dengan bantuan software (Brockwell, 2002).
2.12 Metode Pemulusan Eksponensial Ganda
Pada metode pemulusan eksponensial tunggal tidak dapat digunakan untuk data yang mengandung pola kecenderungan, sehingga Holt (1957) mengembangkan metode ini dengan memasukkan unsur kecenderungan pada persamaan tersebut yang kemudian biasa disebut metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter dari Holt. Rumus untuk pemulusan eksponensial ganda adalah sebagai berikut : = (
−
=(
−
= (
=
=
=
dimana:
−
−
− −
−
+
+ (1 − )
+ ( − 1)(
)+ )+ −
)+
+ + +
+ (1 − )
+
+
)
(2.33)
= Pemulusan eksponensial pada tahun ke= Pemulusan eksponensial pada tahun ke- − 1 = Data ke= konstanta pembobot pemulusan eksponensial (0 < < 1) = Pemulusan unsur kecenderungan pada tahun ke- − 1
26
Untuk menghitung pemulusan unsur kecenderungannya digunakan persamaan sebagai berikut: = (
= ( .
−
−
) + (1 − )
) + (1 − )
. .
dimana:
= (
−
) + (1 − )
(2.34)
=konstanta pembobot pemulusan unsur kecenderungan (0 < = Pemulusan eksponensial pada tahun ke= Pemulusan eksponensial pada tahun ke- − 1 = Pemulusan unsur kecenderungan pada tahun ke= Pemulusan unsur kecenderungan pada tahun ke- − 1
< 1)
Karena menggunakan dua konstanta pemulusan yaitu dan , maka dari itu metode tersebut dikenal metode pemulusan eksponensial ganda (Makridakis, dkk., 1999).
2.13 Metode Pemulusan Eksponensial Holt-Winters
Pada metode pemulusan eksponensial ganda hanya dapat digunakan untuk data yang mengandung unsur kecenderungan tapi tidak dapat digunakan untuk data yang mengandung musiman. Metode Holt-Winters merupakan metode yang dapat menangani faktor musiman dan unsur kecenderungan yang muncul secara sekaligus pada sebuah data deret waktu (Kalekar, 2004).
27
Metode ini didasarkan atas tiga unsur yaitu unsur stasioner, unsur kecenderungan dan musiman untuk setiap periode dan memberikan tiga pembobotan dalam prediksinya, yaitu α, β,dan γ. Menurut (Mulyana, 2004) α, β,dan γ tersebut adalah sebagai berikut : 1. Alpha (α) merupakan parameter yang mengontrol penghalusan relatif pada pengamatan yang baru dilakukan. Jika alpha bernilai mendekati 1 maka hanya pengamatan terbaru yang digunakan secara eksklusif. Sebaliknya bila alpha mendekati 0 maka pengamatan yang lain dihitung. dengan bobot sepadan dengan yang terbaru. 2. Beta (β) merupakan parameter yang mengontrol penghalusan relatif pada pengamatan yang baru dilakukan untuk mengestimasi kemunculan unsur kecenderungan. Nilai beta berkisar dari 0 sampai 1. 3. Gamma merupakan parameter yang mengontrol penghalusan relatif pada pengamatan yang baru dilakukan untuk mengestimasi kemunculan unsur musiman. Nilai gamma berkisar dari 0 sampai 1.
Besarnya koefisien α, β, γ, memiliki jarak diantara 0 dan 1 yang ditentukan secara subjektif atau dengan meminimalkan nilai kesalahan dari estimasi tersebut (Makridakis, dkk., 1999). Terdapat dua model Holt-Winter yang dapat digunakan, yaitu model Holt-Winter Aditif dan model Holt-Winter Multiplikatif (Kalekar, 2004).
28
2.13.1. Holt-Winters Aditif
Model musiman aditif cocok untuk prediksi deret berkala yang dimana amplitudo atau ketinggian pola musimannya tidak tergantung pada rata-rata level atau ukuran data (Montgomery, 2008).
Gambar 7. contoh plot data model aditif
Menurut (Makridakis, dkk., 1999), rumus untuk pemulusan eksponensial HoltWinter Aditif adalah sebagai berikut : = (
= =
=
= (
dimana :
−
+ +
−
−
−
)+
+
−
+ (
−
+ (1 − )
) + (1 − )(
+
−
−
−
−
−
+ (1 − )
+
)
)
(2.35)
= Pemulusan eksponensial pada tahun ke= Pemulusan eksponensial pada tahun ke- − 1 = Pemulusan unsur kecenderungan pada tahun ke= Pemulusan unsur kecenderungan pada tahun ke- − 1 = Data ke= konstanta pembobot pemulusan eksponensial (0 < < 1) = pemulusan faktor musiman = panjang musiman( = 3, = 4, = 6 atau = 12)
29
Persamaan untuk menghitung pemulusan unsur kecenderungan ditulis sebagai berikut: = (
= ( .
−
−
) + (1 − )
) + (1 − )
. .
dimana:
= (
−
) + (1 − )
(2.36)
=konstanta pembobot pemulusan unsur kecenderungan (0 < = Pemulusan eksponensial pada tahun ke= Pemulusan eksponensial pada tahun ke- − 1 = Pemulusan unsur kecenderungan pada tahun ke= Pemulusan unsur kecenderungan pada tahun ke- − 1
< 1)
Persamaan untuk menghitung pemulusan musiman ditulis sebagai berikut: = (
= ( .
−
−
) + (1 − )
) + (1 − )
. .
dimana:
= (
−
) + (1 − )
(2.37)
= Data ke= Pemulusan eksponensial pada tahun ke= konstanta pembobot pemulusan musiman (0 < < 1) = pemulusan faktor musiman = panjang musiman( = 3, = 4, = 6 atau = 12) Peramalan menggunakan metode pemulusan eksponensial tripel yaitu dengan menghitung pemulusan eksponensial, pemulusan unsur kecenderungan, dan pemulusan musiman. Setelah ketiga faktor ditemukan nilai pemulusannya,
30
langkah terakhir adalah peramalan data pada periode m yang akan datang dengan rumus: =
+ 1.
+
=
+ 3.
+
=
dimana:
=
+ 2. . . .
+
+
+
(2.38)
= Nilai yang ingin diramalkan = Pemulusan eksponensial pada tahun ke= Pemulusan unsur kecenderungan pada tahun ke= pemulusan faktor musiman = panjang musiman( = 3, = 4, = 6 atau = 12) = periode waktu yang akan diramalkan
2.13.2. Holt-Winters Multiplikatif
Model musiman multiplikatif cocok untuk prediksi deret berkala yang dimana amplitudo atau ketinggian dari pola musimannya proporsional dengan rata-rata level atau tingkatan dari deret data (Montgomery, 2008). Dengan kata lain, pola musiman membesar seiring meningkatnya ukuran data. Pada kenyataan di lapangan, model multiplikatif lebih banyak dan lebih efektif dipakai.
31
Gambar 8. contoh plot data model multiplikatif
Seperti halnya pada model Holt-Winter Aditif, model Holt-Winter Multiplikatif juga memiliki tiga persamaan dengan sedikit perbedaan. Persamaan untuk pemulusan eksponensial Holt-Winter Multiplikatif adalah sebagai berikut : + (1 − )(
=
dimana :
+
)
(2.39)
= Pemulusan eksponensial pada tahun ke= Pemulusan eksponensial pada tahun ke- − 1 = Pemulusan unsur kecenderungan pada tahun ke- − 1 = Data ke= konstanta pembobot pemulusan eksponensial (0 < < 1) = pemulusan faktor musiman = panjang musiman( = 3, = 4, = 6 atau = 12)
Persamaan untuk menghitung pemulusan unsur kecenderungan ditulis sebagai berikut:
dimana:
= (
−
) + (1 − )
(2.40)
=konstanta pembobot pemulusan unsur kecenderungan (0 < = Pemulusan eksponensial pada tahun ke= Pemulusan eksponensial pada tahun ke- − 1 = Pemulusan unsur kecenderungan pada tahun ke= Pemulusan unsur kecenderungan pada tahun ke- − 1
< 1)
32
Persamaan untuk menghitung pemulusan musiman ditulis sebagai berikut:
dimana:
=
+ (1 − )
(2.41)
= pemulusan faktor musiman = konstanta pembobot pemulusan musiman (0 < < 1) = Data ke= Pemulusan eksponensial pada tahun ke= panjang musiman( = 3, = 4, = 6 atau = 12) peramalan data pada periode m yang akan datang dengan rumus:
dimana:
=(
+
)
(2.42)
= Nilai yang ingin diramalkan = Pemulusan eksponensial pada tahun ke= Pemulusan unsur kecenderungan pada tahun ke= pemulusan faktor musiman = panjang musiman( = 3, = 4, = 6 atau = 12) = periode waktu yang akan diramalkan
2.14 Proses Inisialisasi
Proses inisialisasi atau penentuan nilai awal pada peramalan dengan metode pemulusan eksponensial Holt-Winters ini diperlukan paling sedikit satu kelompok data musiman lengkap yaitu periode untuk menetukan estimasi awal dari indeks musiman
, dan perlu juga untuk menaksir faktor kecenderungan dari satu
periode ke periode selanjutnya. Berikut adalah metode yang digunakan untuk menentukan nilai awal :
33
Untuk model Aditif nilai awal untuk pemulusan total yaitu dengan menghitung rata-rata pada data ditahun pertama. Jika ditulis dalam notasi adalah sebagai beriku:
dimana :
=
(
+
+
+⋯+
)
(2.43)
= Nilai awal pemulusan eksponensial = Data ke-t = panjang periode musiman ( = 3, = 4, = 6, atau = 12) Nilai awal untuk pemulusan unsur kecenderungan yaitu : = =
=
dimana :
=
+ 1 12
+⋯+
+
− 12
+
+
− 12
+⋯+
+ ⋯+
+ ⋯+
− 12
(2.44)
= Nilai awal untuk faktor kecenderungan = Data ke= panjang periode musiman ( = 3, = 4, = 6, atau = 12) Nilai awal untuk pemulusan musiman yaitu : =
−
=
−
=
−
.
.
dimana :
=
−
= Nilai awal untuk faktor musiman ke-
(2.45)
34
= Data ke-t = periode musiman ( = 1,2, . . . ) = Nilai awal pemulusan eksponensial Untuk model multiplikatif, nilai awal yang digunakan sama dengan aditif kecuali untuk penghalusan musiman dimana pada model multiplikatif menggunakan : =
.
(2.46) (Montgomery, 2008)
2.15 Indeks Musiman
Indeks musiman merupakan angka yang menunjukkan nilai relatif dari variabel Y, dimana Y adalah data deret waktu selama seluruh bulan dalam satu tahun. Ratarata angka indeks musiman untuk satu periode adalah 100%. Dengan kata lain indeks musiman adalah suatu angka yang bervariasi terhadap nilai dasar 100.
Untuk mencari indeks musiman dapat menggunakan metode rata-rata sederhana, yaitu dengan rumus Indeks musiman = dimana,
× 100% × 12
(2.47)
merupakan rata-rata data bulan ke- tiap tahun ( = 1, 2, . . . , 12) dan
merupakan rata-rata data tiap bulan pada tahun ke- ( = 1, 2, . . . , ).
Jika suatu periode musiman mempunyai nilai indeks 100 maka ini menujukkan bahwa data tersebut tidak dipengaruhi oleh pengaruh musiman (Yulianto, 2012).
35
2.16 Kriteria Kebaikan Model
Penggunaan metode peramalan tergantung pada pola data yang akan dianalisis. Jika metode yang digunakan sudah dianggap benar untuk melakukan peramalan, maka pemilihan metode peramalan terbaik didasarkan pada tingkat kesalahan prediksi (Santoso, 2009). Seperti diketahui bahwa tidak ada metode peramalan yang dapat dengan tepat meramalkan keadaan data di masa yang akan datang. Oleh karena itu, setiap metode peramalan pasti menghasilkan kesalahan. Jika galat yang dihasilkan semakin kecil, maka hasil peramalan akan semakin mendekati tepat. Besarnya galat tersebut dapat dihitung melalui ukuran galat peramalan, sebagai berikut : a. Mean Absolute Deviation (MAD) Simpangan rata-rata MAD mengukur akurasi peramalan dengan meratakan nilai absolut galat peramalan. Nilai galat diukur dalam unit yang sama seperti pada data aslinya. =
1
−
dimana : n= banyaknya data yang diamati = peramalan ke-t Yt = data ke-t b. Mean Absolut Percentage Error (MAPE) Persentase galat rata – rata mutlak (MAPE) memberikan petunjuk seberapa besar galat peramalan dibandingkan dengan nilai sebenarnya.
36
=
dimana :
1
−
100
n= banyaknya data yang diamati = peramalan ke-t Yt = data ke-t Dimana suatu model data akan memiliki kinerja yang sangat baik apabila nilai MAPE dibawah 10%.
c. Mean Squared Deviation (MSD) Atau Mean Squared Error (MSE) Pada metode ini hampir mirip dengan metode MAD, rumus MSE adalah : =
1
−Ŷ
dimana : n= banyaknya data yang diamati = peramalan ke-t Yt = data ke-t
37
III.
METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil dan semester genap Tahun Ajaran 2016/2017 bertempat di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung.
3.2 Data Penelitian
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data jumlah kedatangan wisatawan mancanegara melalui Bandara Ngurah Rai tahun 2008-2016. Data tersebut merupakan data sekunder yang diperoleh dari Badan Pusat Statistik (BPS). Data tersebut adalah sebagai berikut:
Tabel 1. Data Jumlah Kedatangan Wisatawan Mancanegara Melalui Bandara Ngurah Rai Tahun 2008-2016 Tahun Bulan Januari Februari Maret April Mei
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
147319 159681 159886 154777 167342
173919 146192 168036 188189 190697
178358 191362 191125 184230 199401
208337 201457 202539 224423 208832
249728 209160 222950 222657 220508
229561 236971 247024 239400 244874
278685 269367 268418 277925 285965
288755 333072 294758 309888 287141
343663 367024 354778 367370 394443
38
Tabel 1. Lanjutan Tahun Bulan Juni Juli Agustus September Oktober November
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
178258 190662 195758 189247 189142 172813
200503 235042 232164 218245 225606 184622
224695 252110 243222 232516 229651 196856
245248 279219 252698 252855 244421 220341
241108 271371 253970 255717 252716 237874
275452 297723 309051 305429 266453 296990
329654 358907 336628 352017 339200 293858
357712 381890 298638 379397 366759 262180
405686
Desember
176901
221604
222497
248336
264366
292961
341111
363780
3.3 Metode Penelitian
Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah : 1. Membuat Plot Data Deret Waktu 2. Menguji Asumsi A. Stasioner 1) Mengidentifikasi dengan grafik ACF. 2) Menggunakan uji akar unit dengan metode uji statistik Augmented Dickey-Fuller. a) Menentukan nilai thit ADF dengan uji statistik dengan menggunakan software E-Views. b) Menentukan nilai kritik dengan nilai taraf uji 1%, 5%, dan 10% menggunakan software E-Views. c) Menguji hipotesis untuk masing-masing . B. Pola Kecenderungan Menyajikan grafik analisis kecenderungan. Apabila grafik analisis kecenderungan menunjukkan kecenderungan naik atau turun, maka data mengandung unsur kecenderungan..
39
C. Musiman 1) Menyajikan grafik deret waktu 2) Uji data musiman menggunakan indeks musiman yang dapat dihitung dengan metode rata-rata sederhana.
3. Mengolah data dengan menggunakan metode pemulusan eksponensial HoltWinters 1) Menentukan nilai awal pemulusan Nilai awal menggunakan metode eksponensial Holt-Winters aditif sama dengan multiplikatif kecuali pada nilai awal pemulusan musimannya. a) Nilai awal untuk pemulusan eksponensial =
(
+
+
+⋯+
)
(2.43)
b) Nilai awal untuk pemulusan trend =
+
+ ⋯+
(2.44)
c) Nilai awal untuk pemulusan musiman Model aditif : =
−
Model multiplikatif : =
.
(2.45)
(2.46)
40
2) Pendugaan parameter α, β, dan γ Metode yang digunakan untuk mengestimasi parameter model ialah dengan cara simulasi, yakni mensimulasikan kisaran nilai α, β, dan γ pada interval (0,1). 3) Penentuan parameter α, β, dan γ Memilih Parameter α, β, dan γ terbaik dengan mempertimbangkan nilai MAPE dan MAD.
4) Menghitung nilai pemulusan eksponensial Model Aditif a) Pemulusan eksponensial = (
−
) + (1 − )(
= (
−
) + (1 − )
= (
−
b) Pemulusan pola kecenderungan
+
)
(2.35)
(2.36)
c) Pemulusan musiman
) + (1 − )
(2.37)
5) Menghitung nilai pemulusan eksponensial Model Multiplikatif a) Pemulusan eksponensial + (1 − )(
=
+
b) Pemulusan pola kecenderungan = (
−
) + (1 − )
)
(2.39)
(2.40)
c) Pemulusan musiman =
+ (1 − )
(2.41)
41
6) Menghitung Peramalan pemulusan eksponensial Model aditif : =
+
Model multiplikatif : =(
+
+ )
(2.38)
(2.42)
4. Memilih model terbaik antara model aditif dan model multiplikatif dilihat dari kesalahan ramalan yang terkecil dengan mempertimbangkan nilai perhitungan MAPE dan MAD untuk dua model tersebut.
V.
KESIMPULAN
Berdasarkan hasil pembahasan dan analisis data deret waktu jumlah kunjungan wisatawan mancanegara melalui bandara Ngurah Rai periode Januari tahun 2008 sampai dengan Juni 2016 dengan menggunakan metode pemulusan eksponensial Holt-Winters, dapat disimpulkan sebagai berikut : 1.
Terdapat dua model dalam metode pemulusan eksponensial Holt-Winters yaitu model aditif dan multiplikatif. Kombinasi α, β, dan γ yang meminimumkan MAPE dan MAD untuk model aditif yaitu α = 0,3, β = 0,55, dan γ = 0 dengan nilai MAPE = 5,43 dan MAD = 14426,33, sedangkan pada model multiplikatif nilai α, β, dan γ dengan kombinasi α = 0,3 , β = 0,5, dan γ = 0,05 dengan nilai MAPE = 5,52 dan MAD = 14711,68.
2.
Dari dua model tersebut ternyata model aditif lebih baik untuk digunakan pada data kunjungan wisatawan mancanegara melalui bandara Ngurah Rai periode Januari tahun 2008 sampai dengan Juni 2016.
DAFTAR PUSTAKA
Box, G.E.P. and Jenkins. 1976. Time Series Analysis: Forecasting and Control. Holden-Day, San Francisco. Brockwell, J.P. and Davis, A.R. 2002. Introduction to Time Series and Forecasting. Springer, New York. Cryer, J.D. dan Chan, K.S. 2008. Time Series Analysis with Applications in R. Springer, New York. Gujarati, D.N. and Porter, D.C. 2009. Basic Econometrics. McGraw-Hill, New York. Kalekar, P.S. 2004. Time Series Forecasting using Holt-Winters Exponential Smoothing. Kanwal Rekhi School of Information Technology, India. Makridakis, S., Wheelwright, S.C., dan McGee, V.E. 1983. Forecasting : Methods and Applications. John Wiley & Sons. Inc., Canada. Makridakis, S., Wheelwright, S.C., dan McGee, V.E. 1992. Metode dan Aplikasi Peramalan. Edisi Kedua. Terjemahan Untung Sus Andriyanto. Erlangga, Jakarta. Makridakis, S., Wheelwright, S.C., & McGee, V.E. 1999. Forecasting Methods and Application. Erlangga, Jakarta. Montgomery, D.C. 2008. Introduction to Time Series Analysis and Forecasting. John Wiley & Sons. Inc., New Jersey. Mulyana. 2004. Analisis Data Time series. Universitas Padjadjaran, Bandung. Pankratz, A. 1991. Forecasting with Dynamic Regression Models. Willey Intersciences Publication, Canada. Purcell, E.J., Varberg, D., and Rigdon, S.E. 2004. Kalkulus, Jilid 2. Erlangga, Jakarta.
Santoso, P.B. dan Hamdani, M. 2007. Statistika Deskriptif dalam Bidang Ekonomi dan Niaga. Erlangga, Jakarta. Santoso, S. 2009. Business Forecasting: Metode Peramalan Bisnis Masa Kini dengan MINITAB dan SPSS. PT. Elex Media Komputindo, Jakarta. Sudjana. 1986. Metode Statistika. Tarsito, Bandung. Sudrimo, S.N. 2015. Peramalan Data Deret Berkala Menggunakan Metode Pemulusan Eksponensial Triple (Studi Kasus Data Penumpang Bandara Juanda 2008-2014). Skripsi. Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung, Lampung. Supangat, A.M. 2007. Statistika Dalam Kajian Deskriptif. Gramedia Pustaka Utama, Jakarta. Soejoeti, Z. 1987. Analisis Runtun Waktu. Karunia Jakarta, Jakarta. Wei, W.W.S. 2006. Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods. 2nd edition. Pearson Prentice Hall, New Jersey. Yulianto, M.A. 2012. Analisa Time Series. Diakses pada 15 November 2016. https://digensia.wordpress.copm/2012/08/24/analisa-time-series.
