PENENTUAN MEDAN GRAVITASI EINSTEIN DALAM RUANG MINKOWSKI MENGGUNAKAN SIMBOL CHRISTOFFEL JENIS I DAN II

Proseding Seminar Nasional Fisika dan Aplikasinya Sabtu, 19 November 2016 Bale Sawala Kampus Universitas Padjadjaran, Jatinangor

PENENTUAN MEDAN GRAVITASI EINSTEIN DALAM RUANG MINKOWSKI MENGGUNAKAN SIMBOL CHRISTOFFEL JENIS I DAN II RUSSELL ONG1,2*, TUA RAJA SIMBOLON1,2, SYAHRUL HUMAIDI1,2, MELLY FRIZHA1, WIDYA NAZRI AFRIDA1,2, GIBSON HUTAGALUNG1,2, ALMIZAN RIDHO1,2, RAFLES SINAGA3, ADIMAS AGUNG1 Prodi Fisika1, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara Medan Center for Theoretical and Mathematical Physics2 Jl. Bioteknologi No.1, Kampus USU, Medan 20155 Prodi Pendidikan Fisika3 Fakultas Matematika dan Ilmu Penegtahuan Alam, Universitas Negeri Medan Jl. Wilhem Iskandar, Psr. V, Medan Estate 20221 Abstrak.Telah dilakukan kajian teoritik mengenai penentuan medan gravitasi Einstein dalam ruang Minkowski melalui studi pada fenomena pembelokan cahaya bintang di sekitar matahari. Pengkajian ini menunjukkan bahwa medan gravitasi Einstein merupakan suatu manifestasi kelengkungan ruang-waktu yang dalam hal ini ruangwaktu minkowski 4 dimensi dengan metrik Minkowski. Perhitungan bersarnya medan gravitasi Einstein dalam ruang tersebut dilakukan dengan merumuskannya kedalam formulasi simbol Christoffel jenis I dan II. Hasilnya memperlihatkan kaitan antara medan gravitasi dengan ruang-waktu secara matematis dapat menjelaskan konsep fisis pada fenomena pembelokan cahaya bintang di sekitar matahari tersebut. Kata kunci : medan gravitasi Einstein, simbol Christoffel, ruang Minkowski Abstract. Theoretical studies have been done concerning the determination of Einstein’s gravitational field in Minkowski space through the study on the phenomenon of bending of starlight around the sun. This assessment showed that Einstein’s gravitational field is manifestation of the space-time curvature which is space-time 4 dimensional Minkowski with Minkowski’s metric in this case. Calculation of the Einstein’s gravitational field in that space was done by formulating it into the formulation of the Christoffel symbol of the type I and II. The results showed a link between the gravitational field and space-time that can mathematically explain the concept of physical phenomena on the deflection of starlight around the sun. Keywords: Einstein gravitational field, Christoffel symbol, Minkowski space

1. Pendahuluan Sebelum teori relativitas umum (TRU) diperkenalkan oleh Einstein pada tahun 1915, orang mengenal sedikitnya tiga hukum gerak yaitu mekanika Newton, relativitas khusus dan gravitasi Newton. Mekanika Newton sangat berhasil di dalam menerangkan sifat gerak benda berkelajuan rendah. Namun mekanika ini gagal untuk benda yang kelajuannya mendekati kelajuan cahaya. Kekurangan ini ditutupi oleh Einstein dengan mengemukakan teori relativitas khusus (TRK). Teori relativitas khusus Einstein berhasil menerangkan fenomena benda saat *

email : [email protected] Kode Artikel: FT-04 ISSN: 2477-0477

Penentuan Medan Gravitasi Einstein dalam Ruang Minkowski Menggunakan Simbol......

melaju mendekati laju cahaya. Hukum ketiga adalah gravitasi Newton. Hukum ini berlaku pada medan gravitasi lemah. Hukum ini juga berhasil menerangkan fenomena gerak benda – benda langit yang dipengaruhi oleh interaksi gravitasi antarbenda tersebut dengan ketelitian tinggi. Namun sayangnya, hukum ini tidak konsisten dengan TRK. Einstein berkali – kali mencoba merumuskan teori gravitasi yang konsisten/kompatibel dengan TRK. Upayanya di tahun 1915 menghasilkan teori baru yang disebut TRU. Teori ini adalah salah satu teori fisika modern yang cukup besar peranannya dalam menerangkan struktur dalam menerangkan struktur ruang waktu dan jagad raya. Teori ini juga merupakan teori yang indah, memiliki daya pikat ramalan terhadap gejala alam yang cukup menarik, namun memiliki persyaratan matematik berupa analisis tensor. Dengan konsep yang baru, teori relativitas umum benar – benar memberikan pandangan yang baru sama sekali mengenai ruang waktu. Konsep bahwa ruang – waktu dapat melengkung jika di dalamnya terdapat materi massif memberikan beberapa implikasi baru. Diantaranya, jika cahaya bintang melewati sebuah langit massif seperti matahari, maka ramalan TRU adalah cahaya bintang tersebut akan dibelokkan di sekitar matahari tersebut[1]. Pembuktian terhadap ramalan ini telah dilakukan tepat saat terjadinya gerhana matahari pada tanggal 29 Mei 1919. Dimana saat tersebut, rasi bintang Hyades akan membelakangi matahari. Pengamatan ini dipimpin oleh Sir A.S. Eddington. Fenomena ini sering disebut sebagai ”Pembelokan Cahaya Bintang di Sekitar Matahari”. Yang berarti bahwa, membeloknya cahaya bintang bukan disebabkan oleh tarikan gravitasi bumi melainkan oleh medan gravitasi yang ditumbulkan matahari. Medan gravitasi ini selanjutnya disebut medan gravitasi Einstein [2]. Sejauh ini, berbagai kajian teoritis mengenai medan gravitasi Einstein pada TRU terlah banyak dilakukan dan dipublikasikan[3 – 7]. Kajian – kajian tersebut secara luas telah menjelaskan medan gravitasi Einstein serta kaitannya terhadap peristiwa pembelokan cahya bintang di sekitar matahari. Namun demikian, belum ada kajian yang membahas secara khusus masalah medan gravitasi Einstein yang diperhitungkan secara matematis untuk menjelaskan fenomena pembelokan cahaya tersebut. Jadi, kami akan memberikan analisis secara matematis untuk dapat memahami suatu peristiwa terjadinya pembelokan cahaya bintang pada makalah ini. Hasilnya, fenomena pembelokan cahaya bintang di sekitar matahari tersebut dapat dijelaskan secara matematis dan secara jelas pula memperlihatkan kaitan antara ruang dan waktu dengan medan medan gravitasi Einsten. Pada dasarnya, medan gravitasi Einstein ini dapat ditentukan dengan beberapa cara, yakni dengan metode tensor klasik dan metode Lagrangian[8]. Kami memilih metode tensor klasik untuk menentukan medan gravitasi Einstein dimana medan gravitasinya dirumuskan menggunakan formula simbol Christoffel jenis pertama(𝛤𝑖𝑗,𝑘 ) dan jenis kedua (𝛤𝑖𝑗𝑙 ) dengan i, j, k, l masing – masing memiliki nilai 1, 2, 3, 4. Hasil perhitungan menunjukkan harga 𝛤𝑖𝑗,𝑘 dan 𝛤𝑖𝑗𝑙 yang bervariasi pada sembarang i, j, k, dan l sebagai bentuk medan gravitasi Einsteinnya. 2. Metode Penelitian Penelitian ini dilakukan menyatakan medan gravitasi Einstein dalam metrik mikowski karena ditinjau dalam ruang-waktu Minkownski. Metrik ini kemudian 289

Penentuan Medan Gravitasi Einstein dalam Ruang Minkowski Menggunakan Simbol......

ditransformasikan dari koordinat kartersian ke koordinat bola. setelah itu, metrik ini akan diubah sedikit agar memenuhi persamaan Einstein. Dari metrik ini akan dicari tensor metrik beserta tensor konjugatnya. Kedua hasil tensor tersebut kemudian disubtitusikan ke persamaan simbol Christoffel Jenis I dan II. Bila hasil perhitungan bervariasi, maka lintasan tempuh benda akan mengalami perubahan posisi dari keadaan semula bila melewati medan gravitasi tersebut. 3. Hasil dan Pembahasan Penentuan medan gravitasi Einstein dalam ruang-waktu Minkowski 4 dimensi berdasarkan fenomena pembelokan cahaya bintang di sekitar matahari dilakukan berdasarkan gambar 1.

Gambar 1. Sistem koordinat untuk pembelokan cahaya bintang oleh matahari

Fenomena tersebut cukup sulit jika digambarkan dalam ruang 4 dimensi. Sehingga untuk mempermudah, peristiwa yang ditinjau tersebut digambarkan ke dalam 2 titik peristiwa yang dipisahkan oleh jarak ds dalam sebarang ruang yang mewakili ruang-waktu 4 dimensi yang menjadi permasalahan dalam skripsi ini. Sekarang persamaan dipilih sebagai bentuk geometri ruang-waktu Minkowski 4 dimensi dalam menentukan medan gravitasinya, yaitu ds2 = dx2 + dy2 + dz2 – c2dt2(metrik Minkowski)[9]. Agar lebih mudah diperoleh, metrik ruang waktu 4 dimensi akan dirumuskan dalam wakilan kooridnat bola. Bentuk paling umum ds2 yang sesuai dengan simetri bola adalah 𝑑𝑠 2 = 𝑈𝑑𝑡 2 − 𝑉𝑑𝑟 2 − 𝑊𝑟 2 (𝑑𝜃 2 + 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 𝑑𝜙 2 )

(1)

Dimana U, V, dan W hanya fungsi r. Kita dapat mengganti r dengan sembarang fungsi r tanpa mengganggu simetri bola. Kita menggunakan kebebasan ini untuk menyederhanakan segala sesuatunya sebanyak mungkin, dan susunan yang paling sesuai adalah yang memiliki W = 1. Pernyataan untuk ds2 kemudian dapat ditulis 𝑑𝑠 2 = 𝑒 2𝑣 𝑑𝑡 2 − 𝑒 2𝜆 𝑑𝑟 2 − 𝑟 2 𝑑𝜃 2 − 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 𝑑𝜙 2

(2)

dengan υ dan λ sebagai fungsi r[10]. Kita dapat membaca nilai gij dari persamaan (2) , yaitu 𝑔11 = 𝑒 2𝜆 , 𝑔22 = 𝑟 2 , 𝑔33 = 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃, 𝑔44 = −𝑒 2𝑣

(3) 290

Penentuan Medan Gravitasi Einstein dalam Ruang Minkowski Menggunakan Simbol......

Sisanya harga gij = 0 untuk i≠j. Tensor metrik yang diperoleh pada persamaan (3) dapat dinyatakan dengan matriks. Hasil substitusi masing-masing tensor metrik gij dari persamaan tersebut diperoleh 𝑒 2𝜆 𝑔=| 0 0 0

0 𝑟2 0 0

0 0 0 0 | = −𝑒 2𝜆 𝑒 2𝑣 𝑟 4 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 2 2 0 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃 – 𝑒 2𝜐 0

(4)

Determinan matriks tersebut selanjutnya digunakan untuk menentukan tensor konjugat gij dari tensor metriknya. Secara langsung dapat ditentukan harga – harga gij untuk i = j, yang diberikan oleh persamaan (5) dibawah ini. 𝑔11 = 𝑒 −2𝜆 , 𝑔22 = 𝑟 −2 , 𝑔33 = (𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃)−1 , 𝑔44 = −𝑒 −2𝜐

(5)

Dengan menggunakan komponen – komponen tensor metrik dan tensor konjugat pada persamaan (4) dan (5), maka kita dapat menghitung solusi akhir permasalahan yang dinyatakan dalam bentuk simbol Christoffel jenis I (𝛤𝑖,𝑗,𝑘 ) dan II(𝛤𝑖𝑗𝑙 ). Total kombinasi yang mungkin dari variasi nilai i, j, k , dan l adalah 64 dengan uraian sebagai berikut: Tabel 1. Kombinasi – Kombinasi Simbol Christoffel I.

II.

Kombinasi Pertama

III.

Kombinasi Ketiga

11,1 – 12,1 – 13,1 – 14,1

11,3 – 12,3 – 13,3 – 14,3

21,1 – 22,1 – 23,1 – 24,1

21,3 – 22,3 – 23,3 – 24,3

31,1 – 32,1 – 33,1 – 34,1

31,3 – 32,3 – 33,3 – 34,3

41,1 – 42,1 – 43,1 – 44,1

41,3 – 42,3 – 43,3 – 44,3

Kombinasi Kedua

IV.

Kombinasi Keempat

. 11,2 – 12,2 – 13,2 – 14,2

11,4 – 12,4 – 13,4 – 14,4

21,2 – 22,2 – 23,2 – 24,2

21,4 – 22,4 – 23,4 – 24,4

31,2 – 32,2 – 33,2 – 34,2

31,4 – 32,4 – 33,4 – 34,4

41,2 – 42,2 – 43,2 – 44,2

41,4 – 42,4 – 43,4 – 44,4

Karena banyaknya kombinasi, kami hanya menampilkan solusi dari simbol – simbol Christoffel yang tidak bernilai nol. Solusi – solusi tersebut ditampilkan dalam tabel 2 berikut ini: Tabel 2. Solusi – Solusi Simbol Christoffel No. 1 2 3 4 5

Untuk solusi simbol Christoffel jenis I 𝛤11,1 = 𝜆′𝑒 2𝜆 𝛤22,1 = −𝑟 𝛤33,1 = −𝑟𝑠𝑖𝑛2 𝜃 𝛤44,1 = −𝑣 ′ 𝑒 2𝑣 𝛤12,2 = 𝑟

Untuk solusi simbol Christoffel jenis II 1 𝛤11 = 𝜆′ 1 𝛤22 = 𝑟𝑒 −2𝜆 = −𝑟𝑒 −2𝜆 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 1 𝛤44 = −𝑣 ′ 𝑒 2𝑣−2𝜆 2 𝛤12 = 𝑟 −1

1 𝛤33

291

Penentuan Medan Gravitasi Einstein dalam Ruang Minkowski Menggunakan Simbol...... 6 7 8 9 10 11 12 13

𝛤21,2 = 𝑟 𝛤33,2 = −𝑟 2 sin 𝜃 cos 𝜃 𝛤13,3 = 𝑟 2 sin 𝜃 𝛤23,3 = 𝑟 2 sin 𝜃 cos 𝜃 𝛤31,3 = 𝑟 2 sin 𝜃 𝛤32,3 = 𝑟 2 sin 𝜃 cos 𝜃 𝛤14,4 = −𝑣 ′ 𝑒 2𝑣 𝛤41,4 = −𝑣 ′ 𝑒 2𝑣

2 𝛤21 = 𝑟 −1 2 𝛤33 = − sin 𝜃 cos 𝜃 3 𝛤13 = 𝑟 −1 3 𝛤23 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃 3 𝛤31 = 𝑟 −1 3 𝛤32 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃 4 𝛤14 = 𝑣′ 4 𝛤41 = 𝑣′

Solusi simbol Christoffel baik jenis I dan II perhitungan di atas menyatakan harga dari medan – medan gravitasi yang ditentukan secara matematis dengan metode tensor klasik berdasarkan peninjauan dalam ruang-waktu Minkowski 4 dimensi yang memiliki metrik Minkowski. Tampak hasil perhitungan bervarisi atau tidak seragam dalam suatu ruang yang dianggap isotropik. Oleh sebab itulah, bila kemudian terdapat suatu benda bermassa yang melewati ruang yang dipenuhi oleh komponen-komponen medan gravitasi tersebut di dalamnya, maka lintasan tempuh benda akan mengalami perubahan lintasan dan posisi dari keadaan semula. Sebagaimana pada peristiwa pembelokan cahaya bintang di sekitar matahari. Medan gravitasi yang diperhitungkan terdapat di ruang di sekitar matahari yang menjadi penyebab melengkungnya ruang-waktu di sekitarnya karena massanya yang massif dibandingkan dengan mass benda lain (bumi dan bintang jauh lainnya). Akibatnya bintang – bintang akan tampak berbeda dari posisinya sebenarnya. Lebih lanjut, hal ini terjadi karena cahaya bintang dari bintang – bintang jauh terbelokkan menuju matahari. 4. Kesimpulan Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah diuraikan sebelumnya, dapat diambil kesimpulan bahwa hadirnya medan gravitasi Einstein secara matematis menunjukkan harga – harga yang tidak seragam. Harga – harga tersebut terdiri dari 24 buah komponen simbol Christoffel dan sisanya diabaikan karena bernilai nol. Hasil inilah yang menjelaskan konsekuensinya akan melengkungnya ruang – waktu yang menyebabkan benda yang hadir dalam ruang tersebut akan mengikuti lintasan yang terbentuk. Ucapan terima kasih Ucapan terima kasih diberikan kepada birokat Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan dan Biro Rektor Universitas Sumatera Utara(USU) yang telah memberikan dana untuk mendapatkan literatur referensi beserta dana keberangkatan ke Universitas Padjajaran(UNPAD). Daftar Pustaka 1. A. Rinto, Pengantar Teori Relativitas dan Kosmologi, Cetakan Pertama,Gajah Mada University Press, 2005. 292

Penentuan Medan Gravitasi Einstein dalam Ruang Minkowski Menggunakan Simbol......

2. K. C. Mary, Beyong The Solar System: Exploring Galaxy, Black holes, Alien Planets and More, Chicago Review Press, 2013. 3. H. Izkar, Fenomena Bintang Tampak Berkelip dan Kaitannya dengan Posisinya di Jagat Raya Menurut Teori Relativitas Einstein, Skripsi Universitas Sumatera Utara, 2010. 4. H. Leyla, Jurnal Logaritma, 1 – 17, Januari 2014. 5. U.A.L. Ningsih, Hasanuddin, J. Sampurno, A. Azwar, Jurnal Prisma Fisika, 8 – 13, 2013. 6. Risko, Hasanuddin, B. N. Lapanporo, A. Azwar, Jurnal Prisma Fisika, 123 – 127, 2013. 7. Hasanuddin, Jurnal Positron, 21 – 24, 2012. 8. L. Harry, Vector and Tensor Analysis, McGraw-Hill Book Company, 1950. 9. E. Albert, Relativity: The Special and General Relativity, Penerbit NARASI, 2010. 10.D. Paul Andrien Maurice , General Theory of Relativity, John Wiley & Sons, 1975.

293