PENENTUAN JADWAL PRODUKSI PADA SISTEM PRODUKSI TIPE ASSEMBLY DI PERUSAHAAN ROTI GANEP SOLO MENGGUNAKAN ALJABAR MAKS-PLUS
Galih Gusti Suryaning Akbar, Siswanto, dan Santoso Budi Wiyono Program Studi Matematika FMIPA UNS ABSTRAK. Penjadwalan merupakan masalah yang penting untuk meningkatkan kinerja operasi. Untuk menentukan jadwal dari suatu sistem produksi diperlukan data lama waktu operasi yang menghasilkan persamaan nonlinier. Untuk menyelesaikan persamaan nonlinier ini dapat digunakan aljabar maks-plus. Sistem produksi di Perusahaan Roti Ganep menggunakan sistem produksi tipe assembly. Dengan menerapkan model tersebut diperoleh periode sistem untuk memulai fase selanjutnya yaitu 1200 (dalam satuan menit) dan waktu yang baik untuk memulai produksi pada masing-masing sitem produksi (dalam satuan menit) yaitu 0, 30, 210, 300, 510, 510, 590, 630, 690, 900, 1020, 1050. Kata kunci : penjadwalan, sistem produksi, aljabar maks-plus.
1. PENDAHULUAN Seiring dengan perkembangan dunia industri di Indonesia saat ini selaras dengan berkembangnya beberapa sektor usaha. Untuk mengembangkan usaha perusahaan harus melakukan berbagai usaha untuk meningkatkan kinerja operasi, salah satunya adalah peningkatan kemampuan produksi barang atau jasa yang dapat memenuhi permintaan konsumen secara efektif dan efisien. Pada umumnya sebelum dilakukan proses produksi, perlu diadakan penyusunan perencanaan, pengawasan, dan penjadwalan dengan baik agar proses produksi berjalan dengan tepat. Proses produksi membentuk suatu sistem yang kompleks, sistem ini termasuk dalam Sistem Kejadian Diskrit (SKD). SKD merupakan klasifikasi dari masalah suatu sistem buatan manusia dengan sumber daya dan pengguna yang terbatas untuk mencapai tujuan bersama (Schutter dan Boom [6]). Pada umumnya model matematika yang diperoleh dari masalah SKD merupakan sistem persamaan nonlinier sehingga tidak mudah untuk diselesaikan. Untuk mengubah persamaan nonlinier menjadi persamaan linier dapat digunakan aljabar maks-plus. Aljabar maks-plus adalah himpunan maksimum (maks) yang dinotasikan
dilengkapi dengan operasi
dan penjumlahan (plus) yang dinotasikan
1
Penentuan Jadwal Produksi...
G.G.S. Akbar, Siswanto, S. B. Wiyono
(Heidergott [2]). De Schutter [5] mengatakan bahwa terdapat kesamaan antara aljabar maks-plus dan aljabar konvensional sehingga beberapa teori dalam aljabar konvensional juga berlaku dalam aljabar maks-plus. Penelitian yang dilakukan oleh de Schutter menjelaskan tentang sistem produksi sederhana yang selanjutnya dikembangkan menjadi 5 tipe sistem produksi yaitu sistem produksi tipe serial, assembly, splitting, parallel, dan flexible dengan aktivitas barisan tertentu. Sebelumnya pada tahun 1992, Bacelli et al. [1] menjelaskan aplikasi aljabar maks-plus pada sistem produksi sederhana. Kemudian Kuswanto [3] meneliti tentang jadwal pengoperasian mesin pada pabrik jamu Air Mancur dan Muntohar [4] meneliti tentang penentuan jadwal produksi harian di PT. Solo Grafika Utama. Terkait dengan penelitian sistem produksi tipe assembly ini akan diambil data berupa alur dan waktu tiap-tiap unit pemroses pada sistem produksi di Perusahaan Roti Ganep Solo. Adapun produk andalan dari perusahaan roti Ganep adalah Roti Kecik. Dalam pelaksanaan proses produksi diperlukan perencanaan dan penjadwalan yang baik agar proses produksi dapat berjalan secara efisien. Pada umumnya perusahaan ini hanya mengandalkan waktu perkiraan selama melakukan proses produksi, hal ini menyebabkan pemenuhan pesanan yang tidak tepat waktu. Berdasarkan uraian yang telah dijelaskan, penelitian ini akan mengambil data proses produksi roti kecik di Perusahaan Roti Ganep Solo lalu mencari efisiensi waktu produksi menggunakan aljabar maks-plus.
2. ALJABAR MAKS-PLUS Menurut Heidergott [2], aljabar maks-plus atau { } yang dilengkapi dengan operasi
dengan yang dinotasikan
dan
dan
adalah himpunan
yang dinotasikan sebagai
. Operasi dasar dari aljabar maks-plus adalah maksimum
dan penjumlahan yang dinotasikan dan
untuk semua
2
sehingga
Penentuan Jadwal Produksi...
G.G.S. Akbar, Siswanto, S. B. Wiyono
3. MATRIKS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS Himpunan matriks berukuran dinotasikan sebagai
,
plus. Matriks
untuk
dalam
adalah himpunan bilangan asli dalam aljabar maks-
dapat ditulis
(
Untuk matriks
).
, penjumlahan matriks
didefinisikan
sebagai [
]
(
Untuk matriks
dan
)
, perkalian matriks
didefinisikan sebagai [
]
{
Untuk matriks matriks
}
dan skalar
, perkalian skalar dengan
didefinisikan sebagai [
]
.
4. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Subiono[7] juga menjelaskan suatu algoritme untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks
dilakukan secara berulang dari bentuk
persamaan linear (4.1)
1. Mulai dari sembarang nilai awal 2. Iterasi persamaan (4.1) hingga terdapat bilangan bulat serta bilangan real atau memenuhi 3. Hitung nilai eigen
,
4. Hitung vektor eigen 3
dan
dengan
sehingga terjadi suatu perilaku periodik
Penentuan Jadwal Produksi...
G.G.S. Akbar, Siswanto, S. B. Wiyono
( 5.
)
METODE PENELITIAN
Dalam penelitian ini diterapkan aljabar maks-plus pada penentuan jadwal sistem produksi roti kecik di Perusahaan Roti Ganep Solo. Langkah-langkah dalam penelitian ini adalah melakukan pengamatan serta pengambilan data yang berupa alur dan waktu pemrosesan tiap-tiap mesin produksi roti kecik Ganep. Kemudian menyusun bagan sistem produksi roti kecik Ganep, setelah itu menyusun persamaan sistem produksi roti kecik Ganep dalam bentuk . Lalu menentukan matriks ̅ , dengan ̅
dan
. Berikutnya menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks ̅ . Langkah yang terakhir adalah menyusun jadwal sistem produksi roti kecik Ganep dengan nilai eigen digunakan untuk menentukan periode waktu sistem produksi agar berjalan secara periodik, sedangkan waktu awal yang baik untuk mengawali sistem dapat diketahui dengan menentukan vektor eigen. 6. HASIL DAN PEMBAHASAN Sistem produksi roti kecik di Perusahaan roti Ganep terdiri dari 12 mesin pemroses yang disusun seperti pada Gambar 1. Misalkan unit-unit pemroses dinotasikan
.
Waktu proses yang dibutuhkan untuk setiap unit pemroses dinotasikan dan
masing-masing adalah 30, 180, 90, 210, 4, 80, 40,
60, 210, 120, 30,dan 150 dalam satuan menit. Didefinisikan sistem produksi roti Kecik sebagai berikut. 1.
adalah waktu saat beras ketan dan bahan baku lainnya dipersiapkan.
2.
adalah waktu saat pemroses ke
3.
adalah waktu saat produk meninggalkan sistem untuk proses ke- ,
untuk semua
mulai bekerja untuk proses ke- ,
dan
.
Selanjutnya, waktu saat
mulai bekerja untuk proses ke
sebagai berikut. Ditentukan waktu saat
mulai bekerja untuk proses ke-
. Jika bahan baku beras ketan sudah masuk ke sistem untuk proses ke, maka bahan baku beras ketan ini sebagai input 4
pada waktu
.
Penentuan Jadwal Produksi...
Akan tetapi
G.G.S. Akbar, Siswanto, S. B. Wiyono
hanya dapat mulai bekerja untuk proses pemasukan bahan apabila
telah menyelesaikan proses sebelumnya, yaitu proses ke- . Karena waktu proses yang dibutuhkan untuk akan selesai pada saat
adalah 30 satuan dalam menit sehingga waktu proses .
Gambar 1. Sistem produksi roti Kecik 5
Penentuan Jadwal Produksi...
G.G.S. Akbar, Siswanto, S. B. Wiyono
Waktu saat
mulai bekerja untuke proses ke-
serta
waktu saat produk meninggalkan sistem untuk proses ke- mempunyai langkah sama pada
.
Dari sistem persamaan tersebut diperoleh bentuk persamaan umum sistem produksi roti Kecik yang dinyatakan sebagai
Diasumsikan jika waktu saat bahan utama masuk ke sistem sama dengan waktu saat produk meninggalkan sistem atau dapat dituliskan sebagai berikut ̅
, maka persamaan dapat dinyatakan sebagai dengan ̅
.
Berikutnya ditentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks ̅ dengan menggunakan scilab 5.4.1. Diperoleh
. Jadi nilai eigen dari
matriks ̅ dinyatakan sebagai
dan vektor eigen dari matriks ̅ dinyatakan sebagai
Dengan
memilih
,
diperoleh ,
vektor unit
eigen pemroses
masing-masing bekerja untuk proses pertama pada menit kedatuan dalam menit. Untuk proses selanjutnya, yakni setiap unit pemroses bekerja secara periodik dengan periodenya adalah 1200 satuan dalam menit. 5.1 Jadwal Sistem Produksi Roti Kecik. Berikut ini diberikan jadwal untuk sistem produksi roti Kecik di Perusahaan Roti Ganep Solo. Jadwal sistem produksi agar berjalan secara periodik, ditentukan periode dan waktu awal yang baik untuk 6
Penentuan Jadwal Produksi...
G.G.S. Akbar, Siswanto, S. B. Wiyono
mengawali sistem, yaitu dengan menentukan nilai eigen dan vektor eigen. Dari sistem produksi roti Kecik diperoleh nilai eigen dan vektor eigen sebagai berikut. dan Tabel 1. dibawah ini menunjukkan keadaan saat waktu awal yang terbaik untuk memulai masing-masing proses
hingga
aktif bekerja.
Setelah diterapkan jadwal periodik sistem produksi seperti ditunjukkan jadwal produksi pada Tabel 1, sistem produksi roti Kecik di Perusahaan Roti Ganep menjadi lebih efektif dan diperoleh waktu awal yang baik untuk mengawali sistem produksi sehingga produksi berjalan secara teratur atau periodik serta memenuhi batas waktu yang ditetapkan. Fase ke-(dalam menit) Proses
1
2
3
4
0
1200
2400
3600
30
1230
2430
3630
210
1410
2610
3810
300
1500
2700
3900
510
1710
2910
4110
510
1710
2910
4110
590
1790
2990
4190
630
1830
3030
4230
690
1890
3090
4290
900
2100
3300
4500
1020
2220
3420
4620
1050
2250
3450
4650
Tabel 1. Jadwal produksi saat waktu awal sistem aktif
7. KESIMPULAN Dari hasil dan pembahasan yang telah dilakukan diperoleh waktu mulai untuk mesin ke 1, 2, 3,..., 12 bekerja pada fase ke-1 yaitu pada menit ke 0, 30, 210, 300, 510, 510, 590, 630, 690, 900, 1020, 1050. Untuk fase selanjutnya dapat dimulai 7
Penentuan Jadwal Produksi...
G.G.S. Akbar, Siswanto, S. B. Wiyono
dengan periode 1200. Jadwal sistem produksi roti Kecik di Perusahaan Roti Ganep Solo tersebut diperoleh berdasarkan persamaan
.
DAFTAR PUSTAKA [1] Bacelli, F.,G. Cohen, G., J. Olsder, and J. P. Quadrat, Synchronization and Linearity,, An Algebra for Liscrete Event System, John Wiley and Sons, New York, 1992 [2] Heidergott, B., Max-Plus Algebra and Queues, EURANDOM research fellow, Department of Econometrics and Operation Research, Vrije Universiteit, The Netherlands, 2006. [3] Kuswanto, H., Penentuan Jadwal Pengoperasian Mesin pada Pabrik Jamu Air Mncur dengan Aljabar Maks-Plus, Tugas Akhir S1 Matematika Fakultas MIPA UNS, 2014. [4] Muntohar, A., Penerapan Aljabar Maks-Plus pada Penjadwalan Sistem Produksi Harian Umum Solopos di PT. Solo Grafika Utama, Tugas Akhir S1 Matematika Fakultas MIPA UNS, 2015. [5] Schutter, B. D., Max-Algebraic System Theory for Discrete Event System, Ph.D. thesis, Katholieke Universiteit Leuven, Departement Elektrotecniek, Belgium, 1996. [6] Schutter, B. D., and T. van den Boom, Max-Plus Algebra and Max-Plus Linear Discrete Event System: An Introduction, Proceedings of The 9th International Workshop on DiscreteEvent Systems (WODES’08)(2008), 36-42. [7] Subiono, Aljabar Maks-Plus dan Terapannya, 3.0.0 ed., Institut Teknologi Sepuluh Nopember, 2015.
8
