Pendahuluan PENGERTIAN ALJABAR DAN SEJARAHNYA Oleh: Hendra Kartika Update: 01 November 2016
1.1.
Pengertian Aljabar dan Sejarahnya Muhammad bin Musa al-Khawarizmi biasa
disebut
Al-Khawaritzmi
adalah
seorang
ahli
matematika, astronomi,astrologi. Beliau lahir sekitar tahun 780 Masehi di Khwarizm (sekarang Khiva, Uzbekistan) dan wafat sekitar tahun 850 Masehi di Baghdad Irak. Selama hidupnya, Al-Khawarizmi bekerja sebagai dosen di Sekolah Kehormatan di Baghdad,
yang
didirikan
oleh
Khalifah
Bani
Abbasiyah Al-Ma'mun, tempat beliau belajar ilmu alam
dan
terjemahan
matematika, manuskrip
termasuk Sansakerta
mempelajari dan
Mendapatkan pelajaran aljabar merupakan langkah besar dalam pengalamanmu belajar matematika. Kamu akan melompat dari dunia bilangan dan objek-objek nyata yang kamu kenal menuju dunia abstrak yang berisi huruf-huruf dan simbol-simbol (The Math Forum).
Yunani.
Kontribusi Al-Khawarizmi tidak hanya berdampak pada matematika saja, tetapi juga dalam kebahasaan. Kata algoritma diambil dari kata Algorismi, pelatinan dari nama Al-Khawarizmi. Nama Al-Khawarizmi juga di serap dalam bahasa Spanyol Guarismo dan dalam bahasa Portugis, Algarismo yang berarti digit. Di Inggris menggunakan istilah algoritm, sedangkan di Spanyol guarismo, dan algarismo di Portugal. Kata Aljabar berasal dari kata al-Jabr, satu dari dua operasi dalam matematika untuk menyelesaikan notasi kuadrat, yang tercantum dalam buku beliau yang berjudul “al-Kitab almukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala” atau "Buku Rangkuman untuk Kalkulasi dengan Melengkapkan dan Menyeimbangkan” yang ditulis pada tahun 820 Masehi. Buku pertama Al-Khawarizmi yang kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Latin dikenal sebagai Liber algebrae et almucabala oleh Robert dari Chester (Segovia, 1145) dan juga oleh Gerardus dari Cremona pada abad ke-12. Kata „aljabar‟ berasal dari bahasa arab (Al-Jabr) yang berarti “penemuan”, “hubungan” atau “perampungan”. Aljabar adalah cabang matematika yang mempelajari struktur, pola hubungan dan kuantitas yang dapat dicirikan sebagai generalisasi dari bidang Aritmetika. vii
Pendahuluan Notasi aritmetika yang kita kenal sekarang ini dibawa ke Eropa oleh bangsa Arab pada tahun 975. Karena pengaruhnya yang besar di bidang aljabar, Al Khawarizmi dijuluki sebagai Bapak Aljabar. Namun, julukan itu diberikan pula pada Diophantus, seorang ilmuwan dari Yunani kuno. Al-Khawarizmi diperkirakan meninggal sekitar 850 Masehi. Namun, karyakarya besarnya masih terus berkembang dan banyak dipelajari hingga saat ini. Tauladan yang bisa diambil dari seorang Al Khawarizmi antara lain: 1. Memiliki rasa ingin tahu yang tinggi tentang ilmu pengetahuan, sehingga bisa menemukan karya-karya yang dikenal dan bermanfaat bagi banyak orang. 2. Masalah yang rumit bisa diselesaikan asalkan kita mau berusahan dengan sungguhsungguh. Seperti Al Khawarizmi yang memecahkan masalah aljabar dengan menyederhanakannya. Meskipun beliau sudah meninggal, namun karya-karya beliau, khususnya tentang aljabar masih dikenal hingga saat ini. “Apakah itu aljabar?” Untuk mempelajari lebih lanjut tentang materi aljabar, ikuti kegiatan pemebelajaran berikut.
1.2.
Bentuk Aljabar dan Unsur-Unsurnya
Perhatikan ilustrasi berikut: Banyak buku Sari 3 lebihnya dari buku Hida. Jika banyak buku Sari dinyatakan dengan x maka banyak buku Hida dinyatakan dengan x + 3. Jika buku Sari sebanyak 4 buah maka buku Hida sebanyak 7 buah. Bentuk seperti (x + 3) disebut bentuk aljabar. Bentuk aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal-hal yang tidak diketahui seperti banyaknya bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuah bis dalam tiap minggu, jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu, atau banyaknya makanan ternak yang dibutuhkan dalam 3 hari, dapat dicari dengan menggunakan aljabar. Contoh bentuk aljabar yang lain seperti 3y, –2p, 4a + 5, 2y2 – 3x + 7, (x + 1)(x – 5), dan –5y(y – 1)(2y + 3). Huruf-huruf a, x, p, dan y pada bentuk aljabar tersebut disebut variabel. Selanjutnya, pada suatu bentuk aljabar terdapat unsur-unsur aljabar, meliputi variabel, konstanta, faktor, suku sejenis, dan suku tak sejenis. viii
Pendahuluan Agar kalian lebih jelas mengenai unsur-unsur pada bentuk aljabar, pelajarilah uraian berikut: 1.3. Variabel, konstanta, dan Faktor Perhatikan bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Pada bentuk aljabar tersebut, huruf x dan y disebut variabel. Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ..., z.
“Aljabar merupakan pelajaran matematika di mana kamu akan belajar bekerja dengan bilangan yang tidak kamu ketahui.” (The Math Forum).
Adapun bilangan 9 pada bentuk aljabar di atas disebut konstanta. Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel. Jika suatu bilangan a dapat diubah menjadi a = p × q dengan a, p, q bilangan bulat, maka p dan q disebut faktor-faktor dari a.
1.4. Suku-Suku Sejenis dan Suku Tidak Sejenis a) Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih. 1. Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masingmasing variabel yang sama. Contoh: 5x dan –2x, 3a2 dan a2, y dan 4y, ... 2. Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masingmasing variabel yang tidak sama. Contoh: 2x dan –3x2, –y dan –x3, 5x dan –2y, ... b) Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih. Contoh: 3x, 2a2, –4xy, ... c) Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih. Contoh: 2x + 3, a2 – 4, 3x2 – 4x, ... d) Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih. Contoh: 2x2 – x + 1, 3x + y – xy, ... Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak. Perhatikan bentuk aljabar 15x3y + 30ab -7x3z – 2ab, manakah suku yang sejenis?
ix
Pendahuluan
Apakah aljabar itu? Question: Apakah aljabar itu? Aljabar sama dengan aritmetika, tetapi dalam aljabar beberapa angka digantikan dengan huruf. Sebagai contoh, jika saya bertanya kepadamu. 3 45 6 : 3 ?
Sebuah ekspresi aljabar sama seperti sebuah kata atau frasa, sedangkan persamaan sama seperti sebuah kalimat. (The Math Forum).
Kamu bisa menggunakan urutan pengoperasian yang tepat untuk mengerjakan soal berikut ini. 3 45 6 : 3 ? 3 20 6 : 3 ? 3 20 2 ? 23 2 ? 21 ?
Sekarang, anggaplah saya bertanya kepadamu: ( x 3) ( x 4) 42
Kamu tidak bisa menerapkan urutan pengoperasian karena kamu tidak tahu nilai bilanganbilangan tersebut. Berapakah x + 3? Bukankah hal ini tergantung dari nilai x? Pada soal seperti ini, kamu bisa mulai dengan menebak kemungkinan nilai-nilai x sehingga membuat persamaan tersebut menjadi benar.
x 1 ? (1 3) (1 4) 4 5 20 (Tidak .) x 2 ? (2 3) (2 4) 5 6 30 (Tidak .) x 3 ? (3 3) (3 4) 6 7 42 (Ya.) Misalnya, soal diubah menjadi ( x 3) ( x 4) 35,75
Sekarang kamu akan lebih sulit menebak jawabannya. Aljabar memberimu seperangkat alat untuk menjawab soal-soal sejenis ini tanpa harus menebak.
x
Pendahuluan Aljabar akan menjadi semakin penting ketika kamu mulai menggunakan persamaan yang lebih rumit dan melibatkan lebih dari satu variabel. ---The Math Forum Apakah berpikir secara aljabar itu? Question: Bagaimana anda mulai berpikir secara aljabar? Pada suatu hari, seseorang, sebut saja namanya Pat yang mengetahui semua cara pengoperasian aritmetika sedang duduk dan berpikir tentang penjumlahan. Pat tahu bahwa 3 + 4 = 7. Kemudian Pat bertanya, “Apakah yang terjadi pada persamaan ini jika saya menambahkan 1 pada kedua sisinya?” Pat mencoba dan mendapatkan: 3 + 4 +1 = 7 + 1 Pat menyadari bahwa persamaan baru ini juga benar. Kemudian, Pat kembali pada persamaan yang pertama, 3 + 4 = 7 dan memutuskan untuk mengurangi kedua sisi dengan 3, sehingga mendapatkan: 3+4–3=7–3 Pat kemudian menghitung dan mendapatkan 4 = 4. Tepat, Pat menyadari jika teknik ini bisa diterapkan pada jenis-jenis persamaan yang berbeda. Pat bertanya, “Bagaimana jika saya tidak tahu nilai salah satu bilangannya?” Pat sudah terbiasa dengan persamaan seperti 3 + 4 = ? dan tahu kamu bisa menyelesaikan persamaan-persamaan jenis ini. Pat memutuskan untuk mencoba sesuatu yang berbeda, seperti ? – 4 = 7. Pat tahu bahwa kamu bisa menambahkan atau mengurangkan bilangan yang sama pada kedua sisi sebuah persamaan (lihat di atas), dan masih mempunyai persamaan yang benar. Jadi, Pat menambahkan 4 pada kedua sisi persamaan dan mendapatkan: ?–4+4=7+4 xi
Pendahuluan Setelah menghitung, Pat mendapatkan ? = 11. Jika kamu selalu berpikir seperti ini dan menggunakan x atau y untuk menggantikan ? (bilangan) yang merupakan bilangan yang tidak diketahui, berarti kamu sudah mulai berpikir secara aljabar. --The Math Forum.
SEJARAH BEBERAPA TOPIK ALJABAR Sistem Persamaan Linier Babilonia diketahui yang pertama mengenal dan menulis tentang sistem persamaan. Tentu saja belum menggunakan simbol-simbol seperti yang kita gunakan sekarang. Pada sebuah batu bertulis bangsa Babilonia, dari masa 300 SM, termuat sebuah soal yang berkaitan dengan sistem persamaan linier, sebagai berikut:
Terdapat dua daerah (sawah) dengan luas total 1800 yard persegi. Daerah sawah yang pertama dapat memproduksi rata-rata 2/3 gantang padi per yard persegi, sementara daerah sawah yang lain memproduksi padi 1/2 gantang per yard persegi. Jika jumlah produksi keseluruhan 1100 gantang, berapakah luas daerah masing-masing sawah ?
Bangsa Cina sekitar tahun 200 SM hingga 100 SM, telah lebih jauh melangkah dalam menangani sistem persamaan. Dalam teks kuno Jianzhang Suan Shu, yang terjemahan Inggrisnya Nine Chapters of the Mathematical Arts, telah menyuguhkan berbagai macam soal mengenai sistem persamaan linier, termasuk metode untuk menyelesaikannnya yang dasarnya merupakan metode matriks. Salah satu soal dinyatakan sebagai berikut:
Terdapat tiga jenis jagung. Untuk tiga karung jenis pertama, ditambah dua karung jenis kedua, dan sekarung jenis ketiga harganya 39. Dua karung jenis pertama, tiga karung jenis kedua, dan sekarung jenis ketiga harganya 34. Sekarung jenis pertama, dua karung jenis kedua, dan tiga karung jenis ketiga harganya 26. Berapakah harga jagung keseluruhan bila diambil masing-masing jenis sekarung saja?
xii
Pendahuluan Penulis soal kemudian menyusun koefisien-koefisien dalam sistem persamaan yang digambarkan dalam soal di atas, ke dalam sebuah tabel yang sering disebut dengan counting board (papan perhitungan).
Metode pada abad ke-20 (juga kita sekarang) biasanya menulis koefisien tiap persamaan menurut arah baris, tetapi metode Cina Kuno di atas menurut arah kolom. Hal ini mungkin disebabkan penulisan Cina sering dari atas ke bawah. Penulis kemudian meminta pembaca mengalikan kolom tengah dengan 3, lalu dikurangi kolom kanan “sebanyak mungkin”. Juga, setelah mengali tiga kolom kiri lalu dikurangi kolom kanan “sebanyak mungkin”. Jelas bahwa pengertian “sebanyak mungkin” dari penulis naskah kuno tersebut, berarti dikurangi hingga hasil nol diperoleh. Selanjutnya, kolom kiri dikali 5, lalu dikurangi kolom tengah “sebanyak mungkin”. Ini memberikan hasil:
Dari hasil terakhir ini, kita dapat menemukan harga untuk tiap karung jenis ketiga. Selanjutnya, dengan melakukan substitusi, akan kita peroleh harga untuk tiap karung jenis kedua, dan jenis pertama. Metode ini yang disebut metode fang cheng, kini sering disebut Metode Eliminasi Gauss, yang baru dikenal di Eropa baru sekitar awal abad ke-19. Istilah fang cheng, mulanya bermakna “berhitung dengan bentuk persegi panjang”, tetapi kini memiliki arti sederhana, yaitu “persamaan”.
xiii
Pendahuluan Cardano lewat bukunya, Ars Magna (1545), memberikan suatu metode yang ia sebut regula de modo (atau “Ibunya Aturan”) dalam menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel. Aturan ini pada dasarnya merupakan Aturan Cramer, tetapi Cardano tidak sampai pada bentuk final, ia pun tidak mengarah pada mendefinisikan determinan. Matriks dan Determinan Perkembangan konsep determinan muncul lebih dulu dari konsep matriks. Ini dikarenakan kedua konsep tersebut terkait dengan penyelesaian sistem persamaan dan penyelesaian persamaan aljabar (polinom) pangkat tinggi. Ide determinan muncul pertama kali di Jepang dan di Eropa pada waktu hampir bersamaan, tetapi Seki Kowa (1642-1708) mempublikasikan lebih dulu di Jepang. Tahun 1683, Seki menulis buku Method of Solving the dissimulated problems yang memuat metode matriks. Tanpa menggunakan istilah apa pun untuk “determinan”, ia memperkenalkan determinan dan memberikan metode umum untuk menghitungnya. Seki menemukan determinan untuk matriks ordo 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4, dan 5 × 5 serta menggunakannya untuk menyelesaikan persamaan pangkat tinggi, bukannya sistem persamaan. Leibniz dalam suratnya ke l`Hôpital tahun 1683 menjelaskan sistem persamaan:
hanya memiliki satu penyelesaian karena 10.21.32 + 11.22.30 + 12.20.31 = 10.22.31 + 11.20.32 + 12.21.30 yang tidak lain merupakan syarat determinan koefisien sama dengan nol. Tetapi Leibniz tidak bermaksud menggunakan bilangan, sehingga apa yang ia nyatakan dengan 21 adalah a21. Leibniz menggunakan istilah “resultant” untuk kombinasi hasil kali koefisien dari determinan tersebut. Ia membuktikan berbagai teori dari “resultant” tersebut, antara lain yang mirip dengan Aturan Cramer, dan juga apa yang kemudian disebut Ekspansi Laplace. Tahun 1730-an, Maclaurin (1698-1746) menulis Treatise of algebra dan baru diterbitkan tahun 1748. Buku tersebut memuat pembuktian Aturan Cramer untuk matriks 2 × 2 dan 3 × 3. Baru pada tahun 1750, Cramer (1704-1752) lewat buku Introduction to the analysis of algebraic curve memberikan aturan umum untuk aturan Cramer pada matriks n × n (karena itu disebut Aturan Cramer) walaupun tidak ada bukti yang diberikan. xiv
Pendahuluan Tahun 1764, Bézout (1730-1783) memberikan sebuah metode menghitung determinan, begitu juga Vandermonde (1735-1796) pada tahun 1771. Tahun 1772, Laplace (1749-1827) mengembangkan aturan yang kini disebut ekspansi Laplace dan ia menamakan determinan dengan sebutan “resultant”, seperti sebutan Leibniz. Tahun 1773, Lagrange (1736-1813) menulis tentang determinan dalam studi mekanika. Dalam karya tersebut, untuk pertama kali penggunaan determinan sebagai volum. Istilah “determinant” pertama kali digunakan oleh Carl F. Gauss (1777-1855) dalam Disquisitiones arithmeticae (1801), tetapi dalam pembahasan bentuk-bentuk kuadrat dengan menggunakan determinan. Eliminasi Gauss, yang ditelah digunakan di Cina tahun 200 SM, ditemukan pada karyanya tentang studi orbit asteroid Pallas. Adalah Cauchy (1789–1857) pada tahun 1812, yang pertama kali menggunakan istilah “determinant” dalam konteks modern. Karya-karya Cauchy hampir mewakili konsep determinan modern. Dia merintis konsep “minor” dan “adjoints‟, serta hasil kali matriks. Dalam karya tahun 1841, ia menggunakan tanda dua garis vertikal untuk menunjukkan determinan. Pada tahun 1850, istilah “matrix” (matriks) muncul dalam tulisan Sylvester (1814 – 1897). Tahun 1853, Cayley (1821–1895) yang dikenal di sekolah lewat “tabel Cayley” menulis tentang invers matriks. Dan tahun 1858, ia menerbitkan Memoir on the theory of matrices yang merupakan karya pertama yang membahas matriks secara abstrak.
xv
