PEMODELAN TIME SERIES DATA PRODUKSI LISTRIK DI PT PJB UNIT PEMBANGKITAN GRESIK 1
Rina Wijayanti, 2Haryono dan 3Dedi Dwi Prastyo 1
Mahasiswa Jurusan Statistika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2 Dosen Jurusan Statistika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 3 Dosen Jurusan Statistika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya e-mail : 1rinna_44 @yahoo.co.id
ABSTRAK Secara umum, semua aktifitas yang dilakukan manusia didasarkan pada peramalan dan pengambilan keputusan didalam situasi yang mengandung adanya ketidakpastian. Analisis deret waktu (time series) diperkenalkan pada tahun 1970 oleh George E.P.Box dan Gwilym M.Jenkins melalui bukunya yang berjudul Time Series Analysis:Forecasting and Control. Sejak saat itu, deret waktu mulai banyak di kembangkan. Pada penelitian ini akan dilakukan pemodelan time series pada data produksi beban listrik di PT. PJB Unit Pembangkitan Gresik. Model ARIMA (1,1,2)(0,1,1)48 merupakan model terbaik dari data produksi Listrik dari PT PJB UP. Gresik, akan tetapi residual tidak white noise. Sehingga varians residual dimodelkan dengan GARCH. Kata Kunci: Time series, GARCH
1. Pendahuluan Secara umum, semua aktifitas yang dilakukan manusia didasarkan pada peramalan dan pengambilan keputusan didalam situasi yang mengandung adanya ketidakpastian. pada data produksi beban listrik di PT. PJB Unit Pembangkitan Gresik. Pada penelitian ini akan dilakukan pemodelan time series pada data produksi beban listrik di PT. PJB Unit Pembangkitan Gresik. Perusahaan ini beroperasi sejak tahun 1978 dan memasok sebagian besar beban listrik di Jawa Timur. Setiap tahunnya mampu membangkitkan energi listrik 12.000 GWh yang kemudian disalurkan melalui jaringan tegangan tinggi (150 kV) dan jaringan tegangan ekstra tinggi (500 kV) melalui sistem interkoneksi Jawa-Bali. Kegiatan produksi yang dihasilkan berjalan kontinyu dan berdasarkan pesanan atau permintaan pelanggan. Hasil penelitian ini diharapkan diperoleh model peramalan data produksi listrik di PT. PJB Unit Pembangkitan Gresik dapat digunakan sebagai tambahan informasi dalam menetapkan kebijakan-kebijakan yang berkaitan dengan produksi listrik. Data yang digunakan pada penelitian ini merupakan data univariat yang diambil dari proses produksi beban listrik selama bulan Februari 2010 PT PJB UP. Gresik jenis pembangkitan PLTU 3. 2.
Tinjauan Pustaka
Berikut ini akan paparkan konsep dasar time series dan GARCH: Konsep Dasar Time Series Menurut Sukarna dan Aswi (2006) data deret waktu merupakan serangkaian data pengamatan yang terjadi berdasarkan indeks waktu secara berurutan dengan interval waktu yang tetap. Untuk suatu proses {Zt} yang stasioner, dengan E (Z t ) = µ dan 1
Var (Z t ) = E (Z t − µ )2 = σ 2 adalah konstan, serta Cov (Z t , Z s ) yang merupakan fungsi selisih waktu (|t-s|). Persamaan dari kovarians antara Zt dan Zt+k adalah (Wei, 1990) (2.1)
γ k = Cov( Z t , Z t + k ) = E ( Z t − µ )( Z t + k − µ )
dan korelasi antara Zt dan Zt+k adalah (Wei, 1990) ρk =
Cov ( Z t , Z t + k ) Var ( Z t ) Var ( Z t + k )
=
γk γ0
(2.2)
dengan Var (Zt)= Var(Zt+k)= γ 0 , γ k disebut fungsi autokovarians dan ρ k disebut fungsi autokorelasi (ACF). Jika diberikan suatu observasi time series Z1, Z2, ... , Zn maka ACF sampel dapat dihitung dengan menggunakan perumusan sebagai berikut : n −k ∑ t = 1 (Z t − Z ) (Z t + k − Z ) γˆ ρˆ k = ) k = n γ0 ∑ t = 1 (Z t − Z ) 2
, k = 0, 1, 2,...
(2.3)
dengan Z = ∑nt =1 Zt n , rata-rata sampel dari data. Fungsi autokorelasi parsial (PACF) adalah suatu fungsi yang menunjukan besarnya korelasi parsial antara pengamatan pada waktu ke-t (dinotasikan dengan Zt) de-ngan pengamatan pada waktu-waktu sebelumnya (dinotasikan dengan Zt-1, Zt-2,...,Zt-k). Fungsi Autokorelasi Parsial dapat dirumuskan sebagai berikut: φkk = corr(Z t , Z t −k Z t −1 , Z t −2 ,..., Z t −k +1 ) .
(2.4)
Perhitungan nilai PACF dimulai dari menghitung φˆ11 = ρˆ1 , sedangkan untuk menghitung φˆkk dengan menggunakan perumusan sebagai berikut (Wei, 1990) : φˆ
Dan
k + 1, k + 1
=
k ρˆ k + 1 − ∑ j = 1 φˆkj ρˆ k + 1 − j
(2.5)
1 − ∑ j = 1 φˆkj ρˆ j k
φˆk +1, j = φˆkj − φˆk +1, k +1 φˆk, k +1− j , j = 1, ... , k
(2.6)
dengan ρˆ k = autokorelasi sampel antara Zt dan Zt-k.. Proses autoregressive menggambarkan situasi dimana nilai Zt pada saat ini memiliki ketergantungan (dependensi) dengan nilai-nilai sebelumnya(Zt-1, Zt-2,...) ditambah dengan suatu random shock (at ) . Wei (1990) menyatakan bahwa bentuk umum model AR(p) adalah: Z&t = φ1Z&t −1 + ... + φ p Z&t − p + at
(2.7) Model Moving Average (MA) menunjukkan bahwa nilai prediksi variabel dependen Zt dipengaruhi oleh nilai residual pada periode sebelumnya. Wei (1990) menyatakan bahwa bentuk umum model MA(q) adalah: Z&t = at − θ1at −1 − ... − θ q at −q
(2.8) Model Autoregressive Moving Average merupakan model campuran dari model autoregressive dan moving average. Suatu proses Zt dikatakan mengikuti model campuran Autoregressive Moving Average ARMA (p,q) jika memenuhi (Wei, 1990): φ p ( B ) Z&t = θ q ( B ) at
dengan φ p ( B ) = (1 − φ1 B − ... − φ p B
p
) dan θ
q ( B)
(
= 1 − θ1 B − ... − θ q B
q
)
(2.9)
Model ARIMA terdiri dari 2 aspek, yaitu aspek autoregressive dan moving average. Secara umum, model ARIMA ini dituliskan dengan notasi ARIMA(p,d,q), dimana p menyatakan orde dari proses autoregressive(AR), d menyatakan pembedaan
2
(differencing), dan q menyatakan orde dari proses moving average(MA). Model dalam peramalan menghendaki datanya stasioner baik dalam mean maupun varians. Bentuk umum ARIMA (p,d,q) adalah sebagai berikut: (2.10) (1 − φ1 B − ... − φ p B p ) (1 − B )d Z&t = (1 − θ1B − ... − θ q B q )at d dengan (1 − B ) adalah differencing non musiman. Model ARIMA(P,D,Q)s adalah bentuk musiman untuk ARIMA(p,d,q). Bentuk Umum ARIMA(P,D,Q)s adalah Φ p ( B s )(1 − B s ) D Z&t = Θ Q ( B s ) at
(2.11) dengan s adalah periode musiman, (1 − B s ) D adalah differencing musiman, Φ p ( B s ) = (1 − Φ1 B s − Φ 2 B 2 s − Κ − Φ P B ps ) , dan Θ Q ( B s ) = (1 − Θ 1 B s − Θ 2 B 2 s − ... − Θ Q B Qs ) . ARIMA (p,d,q)(P,D,Q)s adalah model multiplikatif antara model ARIMA regular dan ARIMA musiman. Bentuk umum ARIMA (p,d,q)(P,D,Q)s adalah Φ p ( B s )φ p ( B )(1 − B ) d (1 − B s ) D Z&t = θ q ( B )Θ Q ( B s ) at . (2.12) Identifikasi Model ARIMA dan Penetapan Model Sementara Tabel 2.1 Identifkasi awal dengan plot ACF PACF Proses AR(p) MA(q) ARMA(p,q)
ACF turun cepat secara eksponensial terputus setelah laq q turun cepat
PACF terputus setelah lag p turun cepat secara eksponensial turun cepat
Uji Signifikansi Model ARIMA Model ARIMA yang baik adalah model yang menunjukkan bahwa penaksiran parameternya signifikan berbeda dengan nol. Secara umum, misalkan θ adalah suatu parameter pada model ARIMA Box-Jenkins dan θˆ adalah nilai taksiran dari parameter tersebut, serta SE(θˆ) adalah standar error dari θˆ , maka uji kesig-nifikanan parameter dapat dilakukan dengan
hipotesis sebagai be-rikut: H0 : θ = 0 H1 : θ ≠ 0 dengan Statistik uji: t =
θˆ , H0 ditolak jika t > t1− α df = n − n p , np = banyaknya parameter 2 SE(θˆ)
atau tolak H0 jika p-value< α .
Diagnostic Checking Diagnostic Checking pada residual meliputi pemeriksaan asumsi white noise (Independen dan Identik) dan berdistribusi normal. Tujuan dari pemeriksaan asumsi terhadap residual adalah untuk memeriksa ketetapan model. Pengujian dengan menggunakan uji L-jung Box dilakukan untuk memenuhi asumsi white noise, dengan hipotesis: H0 : ρ1 = ρ 2 = ... = ρ k = 0 H1 : minimal ada satu nilai ρ k ≠ 0 , dimana k = 1, 2,..., K.
3
K
dengan statistik uji: Q = n(n + 2)∑ (n − k ) −1ρˆ k2 , dimana n adalah banyak pengamatan dan ρˆ k k =1 adalah sampel ACF residual pada lag ke-k. Daerah Kritis = Q > χ (2α , K − m ) atau p-value < α = 5% Pengambilan keputusan, jika H0 ditolak maka residual tidak me-menuhi asumsi white noise (Wei, 1990). Salah satu cara yang dapat digunakan untuk menduga kehomogenan varians adalah memodelkan varians dalam proses AR(q) dengan menggunakan kuadrat dari residual. Model ini dapat dituliskan sebagai berikut 2 2 2 2 t = α0 + α1 a t-1 + α2 a t-2 +…+ αma t-m + ηt (2.13) Untuk mengetahui apakah residual berdistribusi normal atau tidak dilakukan uji Kolmogorov Smirnov dengan hipotesis sebagai berikut (Daniel, 1989):
H0 : F (at ) = F0 (a t ) (residual berdistribusi normal) H1 : F (at ) ≠ F0 (at ) (residual tidak berdistribusi normal) dengan statistik Uji: D = Sup S (at ) − F0 (at ) , dimana D adalah jarak terjauh antara S (at ) dan at F0 (at ) , S (at ) , F0 (at ) , Sup masing-masing merupakan fungsi Kolmogorov peluang kumulatif yang dihitung dari data sampel, fungsi peluang kumulatif distribusi normal, dan nilai supremum untuk semua at . Daerah Kritis: To-lak H0 jika D ≥ D(1−α ,n ) atau p-value < α , dengan α = 5%. Pemilihan Model Terbaik Untuk menentukan model terbaik dapat digunakan kriteria pemilihan model adalah sebagai berikut: 1. AIC (Akaike’s Information Criterion) Kriteria AIC dirumuskan sebagai berikut (Wei, 1990): (2.14)
AIC(M) = n ln σˆ a2 + 2M
maximum likelihood dari dengan n adalah banyaknya residual, σˆ a2 adalah estimasi varians residual( σ a2 ), M adalah order optimal dari model, sebagai fungsi p dan q sehingga AIC minimum. 2. SBC (Schwart’z Bayesian Criterion) Schwartz (1978) di dalam Wei (1990) menggunakan kriteria Bayesian dalam pemilihan model terbaik yang disebut dengan SBC dengan perumusan sebagai berikut : SBC(M)= n ln σˆ a2 + M ln n (2.15) dengan n dan σˆ a 2 adalah banyaknya jumlah residual dan estimasi maximum likelihood dari varians residual( σ a2 ), se-dangkan M adalah banyak parameter dalam model. GARCH Dalam kondisi dimana varians konstan tidak terpenuhi (heteroskedastisitas), banyak pendekatan yang digunakan untuk mengatasinya, misalnya mentransformasi data supaya varians lebih stabil. Engle (1982) menggunakan metode yang berbeda untuk mengatasi hal tersebut, yaitu dengan memodelkan secara simultan mean dan varians sebagai sebuah time series. Dimana varians tersebut merupakan model conditional berdasarkan informasi pergerakan varians residual dari waktu ke waktu. Model tersebut adalah Autoregressive Conditional Heteroskedasticity (ARCH) yang dapat dituliskan sebagai berikut 4
= α0 + α1 a2t-1 + α2 a2t-2 +…+ αma2t-m (2.16) Dengan at2 adalah kuadrat residual pada waktu ke-t. Syarat untuk koefisien αi adalah α0>0 dan αi≥0 untuk i>0. Pengembangan model ARCH adalah model Generalized ARCH (GARCH) yang dikemukakan oleh Bollersev pada tahun 1986. Menurut Sanjoyo GARCH adalah model time series dengan varians tidak konstan. Untuk mendeteksi GARCH secara visual ditandai volatility clusteing (adanya peningkatan varians pada interval tertentu) model GARCH dapat ditulis sebagai berikut 2 2 a2t-i + (2.17) t = α0 + t-j dengan α0 > 0, αi ≥ 0, βj ≥ 0 dan < 1. t
2
3. Metodologi Penelitian Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yaitu data produksi lisrik pada PT. PJB Unit Pembangkitan Gresik unit 3 selama bulan Februari 2010 terhitung dari 1 Februari sampai 28 Februari 2010. Data di ukur tiap 30 menit sehingga dalam penelitan ini digunakan sebanyak 1344 data. Variabel penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah Z yaitu beban listrik selama bulan Februari 2010 dengan satuan Mwh (mega watt hours). Langkah-langkah analisis dalam penyusunan penelitian ini adalah sebagai berikut : a. Uji stasioneritas data, terdiri dari uji stasioneritas dalam varian dan mean. jika data tidak stasioner dalam varian dan perlu dilakukan transformasi dan jika tidak stasioner terhadap mean, maka dilakukan differencing. b. Menetapkan model-model sementara dengan melihat plot PACF dan ACF pada lag yang signifikan c. Melakukan pendugaan dan pengujian parameter model d. Melakukan diagnostic checking terhadap residual Jika residual tidak white noise, estimasi orde ARIMA kembali dilakukan hingga diperoleh model yang mempunyai residual white noise. Apabila asumsi white noise memang tidak terpenuhi dilakukan pemodelan GARCH e. Pembentukan model ARCH/GARCH Orde ARCH/GARCH diduga dengan melihat plot ACF dan PACF kuadrat residual. Tahap selanjutnya dari pembentukan model ARCH/ GARCH adalah estimasi dan uji signifikansi parameter 4. Analisis dan Pembahasan Model peramalan dicari dengan metode ARIMA, akan tetapi diperoleh residual yang tidak white noise. Maka untuk menyelesaikan masalah tidak white noise pada residual digunakan model GARCH. Identifikasi Model ARIMA
Langkah pertama dalam identifikasi model ARIMA adalah dengan membuat plot time series, ACF dan PACF dari data produksi listrik dari data produksi listrik Bulan Februari.
5
Time Series Plot of Beban 90
Beban
80
70
60
50
1
134
268
402
536
670 Index
804
938
1072
1206
1340
Gambar 1 Plot Time Series Data Beban
Gambar 1 mengidentifikasikan data belum stasioner terhadap mean sehingga dilakukan differencing 1 kemudian differencing 48. Differencing 48 dilakukan karena nilai autokorelasi turun secara lambat pada periode musimnya (48,96,…). Nilai autokorelasi yang besar pada data terbukti pada lag 1 nilai autokorelasi adalah 0.961687, autokorelasi pada lag 2 adalah 0.896785, autokorelasi pada lag 3 adalah 0.827398, autokorelasi pada lag 4 adalah 0.756538, autokorelasi pada lag 5 adalah 0.684793. Estimasi Parameter
Berdasarkan data yang telah didefferencing 1 dan 48 menghasilkan ACF dan PACF terptus pada lag 1, 2, 48, 96 sehingga dugaan awal modelnya adalah ARIMA (0,1,1)(0,1,1)48, ARIMA (0,1,2)(0,1,1)48, ARIMA (1,1,0)(0,1,1)48 dan ARIMA (1,1,2)(0,1,1)48. Tabel 1 Pengujian estimasi parameter Model ARIMA (0,1,1)(0,1,1)
ARIMA (0,1,2)(0,1,1)
ARIMA (1,1,0)(0,1,1)
ARIMA (1,1,2)(0,1,1)
Parameter 48
48
48
48
Koefisien
p_value
Keterangan
MA 1
-0.248
0
SMA 48
0.9351
0
Constant
-0.00346
0.809
MA 1
-0.2277
0
MA 2
0.0566
0.042
SMA 48
0.9344
0
Constant
-0.00356
0.793
AR 1
0.2061
0
SMA 48
0.9346
0
Constant
-0.00283
0.87
AR 1
0,8562
0
MA 1
0,6572
0
MA 2
0,288
0
SMA 48
0,9357
0
Constant
-0,0014439
0,089
signifikan
signifikan
signifikan
signifikan
Tabel 1 menunjukkan model yang signifikan adalah ARIMA (0,1,1)(0,1,1)48, ARIMA (0,1,2)(0,1,1)48, ARIMA (1,1,0)(0,1,1)48 dan ARIMA (1,1,2)(0,1,1)48.. Pengujian signifikasi parameter pada Tabel 1 di atas menggunakan software MINITAB. Tahap selanjunya yaitu pengujian residual.
6
Pengujian Asumsi Residual Asumsi Residual meliputi asumsi white noise yaitu iidn (identik, independen dan berdistribusi normal (0, σ2)). Uji Ljung-Box digunakan untuk memeriksa asumsi independensi dari residual dengan hipotesis sebagai berikut : H0 : ρ1 = ρ2 = ... = ρ K = 0 H1 : minimal ada satu ρ i yang tidak sama dengan nol untuk i = 1,2,...,K Dengan toleransi kesalahan sebesar 5% maka Tolak H0 jika P-value < α, yang berarti residual tidak memenuhi asumsi white-noise. Tabel 2 Pengujian asumsi white-noise Model ARIMA (0,1,1)(0,1,1)
Ljung - Box 48
lag
12
24
36
48
25,2
35,7
46,5
57,3
9
21
33
45
0,003
0,024
0,06
0,104
lag
12
24
36
48
tidak
χ2
25,7
35,6
46,4
58
independen
8
20
32
44
0,001
0,017
0,048
0,077
12
24
36
48
37,5
48,1
58,8
69,5
DF
9
21
33
45
P_Value
0
0,001
0,004
0,011
lag
12
24
36
48
2
8,4
19,2
32,2
45,4
7
19
31
43
0,303
0,445
0,407
0,374
χ
2
DF P_Value ARIMA (0,1,2)(0,1,1)
48
DF P_Value ARIMA (1,1,0)(0,1,1)
48
lag χ
ARIMA (1,1,2)(0,1,1)
48
Keterangan
χ
2
DF P_Value
tidak independen
tidak independen
tidak independen
Tabel 2 menunjukkan bahwa residual model ARIMA (0,1,1)(0,1,1)48, ARIMA (0,1,2)(0,1,1)48, ARIMA (1,1,0)(0,1,1)48 dan ARIMA (1,1,2)(0,1,1)48 tidak independen. Langkah selanjutnya adalah menguji asumsi residual berdistribusi normal dari keempat model tersebut dengan hipotesis sebagai berikut : H0 : F (at ) = F0 (a t ) (residual berdistribusi normal) H1 : F (at ) ≠ F0 (at ) (residual tidak berdistribusi normal) Tabel 3 Nilai Kolmogorov Smirnov
model
KS
p value
ARIMA (0,1,1)(0,1,1)
48
0,237 < 0.010
ARIMA (0,1,2)(0,1,1)
48
0,236 < 0.010
ARIMA (1,1,0)(0,1,1)
48
0,242 < 0.010
ARIMA (1,1,2)(0,1,1)
48
0,195 < 0.010
Berdasarkan Tabel 3 menunjukkan bahwa residual tidak berdistribusi normal. Pemeriksaan kenormalan residual dengan menggunakan Kolmogorov Smirnov meng hasilkan nilai p-value sebesar < 0.01 untuk keempat model artinya H0 diterima pada 7
tingkat signifikansi α = 5%. Penolakan H0 ini menunjukkan bahwa residual tidak berdistribusi Normal. Maka untuk menyelesaikan masalah tidak white noise pada residual digunakan GARCH untuk memperoleh residual dari model. Sebelmnya akan di pilih model tebaik yang akan digunakan pada GARCH Pemilihan Model Terbaik Pemilihan model terbaik yang di pakai yaitu berdasarkan AIC dan SBC. Berikut ini adalah nilai AIC dan SBC dengan menggunakan SAS dari ketiga model Tabel 4 Kriteria Model Terbaik model
AIC
SBC
ARIMA (0,1,1)(0,1,1)48
7423,647
7439,146
ARIMA (0,1,2)(0,1,1)
48
7417,453
7438,118
ARIMA (1,1,0)(0,1,1)
48
7435,432
7450,931
ARIMA (1,1,2)(0,1,1)
48
7392,512
7418,344 48
Tabel 4 menunjukkan model ARIMA (1,1,2)(0,1,1) merupakan model terbaik dari keempat model yang ada karena nilai AIC dan SBCnya paling kecil. Berdasarkan persamaan 2.12 model ARIMA (1,1,2)(0,1,1)48 dapat ditulis:
GARCH
Sebelum residual di modelkan dengan GARCH telebih dahulu akan diperiksa ada tidaknya heteroskedastisitas. Plot ACF dan PACF kuadrat residual dapat digunakan untuk mendeteksi terjadinya varians residual yang tidak homogen (Tsay, 2002). Berdasarkan plot ACF dan PACF kuadrat residual menunjukkan adanya beberapa lag yang keluar dari batas atas atau batas bawah. Hal itu menunjukkan bahwa residual mempunyai varian yang tidak homogen. Sehingga pembentukan model GARCH dapat dilakukan. Identifikasi orde model GARCH ini sama dengan identifikasi orde model ARMA. Plot ACF menunjukkan lag yang terpotong adalah 33, 47, 48, 49, 50, 66, 77, 96, 99 dan plot PACF menunjukkan lag yang terpotong adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ,13, 14, 15, 17, 18, 27, 29, 40, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 95. Model GARCH ini diselesaikan dengan software SAS karena mempunyai orde subset , GARCH( [33, 47, 48, 49, 50, 66, 77, 96, 99], [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 18, 27, 29, 40, 42, 43, 44, 45, 46, 47] masih memiliki beberapa parameter yang tdak signifikan. Semua parameter signifikan ketika GARCH ([48, 50, 66, 77, 96], [3]) dengan hasil estimasi parameternya dapat ditulis dalam persamaan berikut 2 2 2 2 2 t = 15.29427 + 0.006141 a t-48+0.12149 a t-50 + 0.07757 a t-66 + 0.12166 a t-77 + 2 2 0.14053 a t-96 + 0.0063 t-3 5 Kesimpulan Model ARIMA (1,1,2)(0,1,1)48 merupakan model terbaik dari data produksi Listrik dari PT PJB UP. Gresik, akan tetapi residual tidak white noise. Sehingga varians residual dimodelkan dengan GARCH diperoleh model GARCH t
2
= 15.29427 + 0.006141 a2t-48+0.12149 a2t-50 + 0.07757
0.14053 a2t-96 + 0.0063
t-3
2
8
a2t-66 + 0.12166 a2t-77 +
Daftar Pustaka Daniel WW. (1989). Statistika Non Parametrik Terapan. Jakarta:PT Gramedia. Engle, R. F. (1982). Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Infla-tion. Journal of Econometrica. Volume 50, No. 4, pp 987-1007. Sukarna & Aswi. (2006). Analisis Deret Waktu. Makasar Tsay, R. S. (2002). Analysis of Financial Time Series. New Jersey : John Wiley & Sons, Inc. Wei, W.W.S. (1990 dan 2004). Time Analysis Univariate and Multivariate Methods. New York:Addison Wesley Publishing Company, Inc.
9
