Pembahasan
Tutur Widodo
OSK SMP Tahun 2011
Pembahasan OSK Tahun 2011 Tingkat SMP Bidang Matematika
Bagian A : Pilihan Ganda 1. Nilai dari
1 2 3 − + adalah ... 8! 9! 10!
113 10! 91 b. 10! 73 c. 10!
a.
71 10! 4 e. 10! d.
Jawaban : c 1 2 3 10 · 9 − 2 · 10 + 3 73 − + = = 8! 9! 10! 10! 10! 2. Menggunakan angka - angka 1, 2, 5, 6 dan 9 akan dibentuk bilangan genap yang terdiri dari lima angka. Jika tidak ada angka yang berulang, maka selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah ... a. 70820
d. 81236
b. 79524
e. 83916
c. 80952 Jawaban : e Bilangan terkecil : 12596 Bilangan terbesar : 96512 Jadi selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah 96512 - 12596 = 83916 3. Pada gambar disamping tabung berisi air, tinggi dan diameter tabung tersebut adalah 18 cm dan 6 cm. Kemudian ke dalam tabung dimasukkan tiga bola pejal yang identik (sama bentuk) sehingga bola tersebut menyinggung sisi tabung dan air dalam tabung keluar, maka sisa air dalam tabung adalah ...
1
Pembahasan
Tutur Widodo
a. 51π
d. 54π
b. 52π
e. 55π
OSK SMP Tahun 2011
c. 53π Jawaban : d Misal sisa air dalam tabung = K, Volume tabung = Vt dan Volume bola = Vo . Karena jari - jari tabung sama dengan jari - jari bola serta r = 3, diperoleh, Vt = π · r2 · 18 dan Vo =
4 · π · r3 3
sehingga 4 · π · r3 3 = π · 32 (18 − 4 · 3)
K = Vt − 3V0 = π · r2 · 18 − 3 ·
= π · 9 · 6 = 54π 4. Seorang ilmuwan melakukan percobaan terhadap 50 ekor kelinci dan melaporkan hasilnya sebagai berikut : • 25 ekor diantaranya kelinci jantan • 25 ekor dilatih menghindari jebakan, 10 ekor diantaranya jantan • 20 ekor (dari total 50 ekor) berhasil menghindari jebakan, 4 ekor diantaranya jantan • 15 ekor yang pernah dilatih berhasil menghindari jebakan, 3 ekor diantaranya jantan. Berapa ekor kelinci betina yang tidak pernah dilatih dan tidak dapat menghindari jebakan ? a. 5
d. 8
b. 6
e. 9
c. 7 Jawaban : b Data pada soal dapat disajikan dalam diagram seperti di bawah ini,
2
Pembahasan
Tutur Widodo
OSK SMP Tahun 2011
BERHASIL JANTAN
4
1 3
BETINA
12 3
7
DILATIH sehingga didapat keterangan : • Kelinci betina yang berhasil menghindari jebakan tetapi tidak dilatih ada sebanyak 4 ekor • Kelinci betina yang berhasil menghindari jebakan dan dilatih ada sebanyak 12 ekor • Kelinci betina yang dilatih tetapi tidak berhasil menghindari jebakan ada sebanyak 3 ekor Karena jumlah kelinci betina ada 25 ekor maka banyaknya kelinci betina yang tidak dilatih dan tidak berhasil menghindari jebakan adalah 25 - 19 = 6 ekor. 5. Banyaknya bilangan bulat x sehingga
1 1 √ + √ merupakan bilangan bulat 2+ x 2− x
adalah ... a. 2
d. 6
b. 3
e. 7
c. 5 Jawaban : d Perhatikan bahwa, 1 1 4 √ + √ = 4−x 2+ x 2− x 4 agar bulat haruslah 4 − x merupakan faktor dari 4. Karena faktor dari 4 ada 4−x enam yaitu −4, −2 − 1, 1, 2, 4 maka banyaknya x juga ada enam. 6. Urutan tiga bilangan 24444 , 33333 , 42222 dari yang terkecil sampai yang terbesar adalah ... a. 24444 , 42222 , 33333
d. 42222 , 33333 , 24444 3
Pembahasan b. 24444 , 33333 , 42222
Tutur Widodo
OSK SMP Tahun 2011
e. 33333 , 24444 , 42222
c. 33333 , 42222 , 24444 Jawaban : a Kita ketahui, 24444 = (24 )1111 33333 = (33 )1111 42222 = (42 )1111 Karena 24 = 42 < 33 maka urutan dari kecil ke besar yaitu 24444 , 42222 , 33333 7. Lima pasang suami istri akan duduk di 10 kursi secara memanjang. Banyaknya cara mengatur tempat duduk mereka sehingga setiap pasang suami istri duduk berdampingan adalah ... a. 3800
d. 3900
b. 3820
e. 3940
c. 3840 Jawaban : c Pertama anggap suami dan istri sebagai satu kesatuan artinya kita mengatur 5 objek kedalam 5 tempat tersedia. Jadi ada 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 kemungkinan. Karena setiap pasang suami istri bisa saling bertukar posisi (kanan - kiri), maka total ada 120 x 25 = 3840 cara. 8. Dalam sebuah kotak berisi 15 telur, 5 telur diantaranya rusak. Untuk memisahkan telur baik dan telur rusak dilakukan pengetesan satu persatu tanpa pengembalian. Peluang diperoleh telur rusak ke 3 pada pengetesan ke 5 adalah ... 80 1001 90 b. 1001 100 c. 1001 a.
110 1001 120 e. 1001 d.
Jawaban : b Misal telur rusak dilambangkan R dan telur baik dilambangkan B. Agar mendapatkan telur rusak ke-3 pada pengetesan ke-5 maka kita harus telah mendapat dua telur rusak pada 4 pengetesan pertama. Ada 6 kemungkinan mendapat 2 telur rusak pada 4 pengetesan pertama yaitu RRBB, RBBR, BRBR, BBRR, 4
Pembahasan
Tutur Widodo
OSK SMP Tahun 2011
RBRB, BRRB (bagi yang sudah ahli bisa juga dicari dengan kombinasi). Dan perhatikan bahwa ke-6 kemungkinan tersebut memeiliki peluang yang sama yaitu 5 4 10 9 5 · · · = 15 14 13 12 91 30 5 ·6 = . 91 91 30 3 Sehingga peluang diperoleh telur rusak ke 3 pada pengetesan ke 5 adalah · = 91 11 90 . 1001 Jadi, peluang mendapat 2 telur rusak pada 4 pengetesan pertama adalah
9. Diketahui limas beraturan T.ABCD, panjang rusuk AB 2 cm dan TA 4 cm. Jarak titik B dan rusuk TD adalah ... √ √ a. 5 d. 2 5 b. c.
√ √
√ e. 2 6
6
7
Jawaban : c Misal Jarak titik B dan rusuk TD = t. Perhatikan gambar berikut! T
T
D A
C B
D
T’
B
√ √ √ 1 Dengan pitagoras didapat panjang TT’= 14, sehingga luas segitiga BDT = x 2 2 x 14 = 2 √ 2 7. √ 1 1 Perhatikan juga bahwa luas BDT = x T D x t yang berarti 2 7 = x 4 x t se2 2 √ hingga t = 7. 10. Perhatikan gambar di bawah ini!
Sembilan lingkaran kongruen terletak didalam persegi seperti terlihat pada gambar. 5
Pembahasan
Tutur Widodo
OSK SMP Tahun 2011
Jika keliling sebuah lingkaran 62,8 cm dengan π = 3, 14 maka luas daerah yang diarsir (berwarna gelap) adalah ... a. 344
d. 688
b. 364
e. 728
c. 484 Jawaban : a Perhatikan gambar berikut!
Misal jari - jari lingkaran r, diameter d dan panjang sisi persegi kecil s. Ingat keliling lingkaran K = π · d. Karena K = 62,8 maka d = 20 yang berarti r = 10. Sehingga s = 40. Jadi luas daerah yang diarsir adalah s2 − 4 · π · r2 = 402 − 4 · 3, 14 · 102 = 1600 − 1256 = 344. 11. Suatu jam dinding selalu menghasilkan keterlambatan lima menit untuk setiap jamnya. Jika saat sekarang jam tersebut menunjukkan waktu yang tepat, maka jam tersebut akan menunjukkan waktu yang tepat lagi setelah . . . jam. a. 105
d. 124
b. 110
e. 144
c. 114 Jawaban : e Sebut jam yang rusak tadi adalah jam A. Karena setiap jamnya terlambat lima menit berarti setelah 12 jam, jam A terlambat satu jam. Sehingga setelah 144 = 12 x 12, jam A terlambat 12 jam. Tetapi ingat, putaran jam periodik setiap 12 jam. Jadi, setelah 144 jam, jam A akan menunjukkan waktu yang tepat kembali. Cara lain (sedikit aljabar): Misal jam yang rusak disebut jam A dan jam yang tepat disebut jam B. Saat ini keduanya menunjukkan waktu yang tepat, tulis saja pukul t. Misalkan pula setelah
6
Pembahasan
Tutur Widodo
OSK SMP Tahun 2011
x jam keduanya menunjukkan pukul yang sama (berarti jam A menunjukkan waktu yang tepat). Maka kita punya, t + x = (t + x −
x ) + 12k 12
⇔ t+x=t+
11 x + 12k 12
⇔ x = 144k
dengan k bilangan bulat positif. Jadi, nilai x terkecil yang mungkin adalah 144 saat k = 1 12. Di dalam kotak terdapat 18 bola identik ( berbentuk sama ), 5 berwarna hitam, 6 berwarna putih dan 7 berwarna hijau. Jika diambil dua bola secara acak, maka peluang bola yang diambil berwarna sama adalah . . . 46 153 13 b. 36 4 c. 105
a.
55 162 55 e. 152 d.
Jawaban : a Kemungkinan yang terambil dua bola sama yaitu (hitam, hitam), (putih, putih) ! 5 dan (hijau, hijau) yang kemungkinannya berturut - turut ada sebanyak = 2 ! ! ! 6 7 18 10, = 15 dan = 21. Karena ruang sampelnya ada sebanyak = 2 2 2 10 + 15 + 21 153 maka peluang terambil dua bola dengan warna sama adalah = 153 46 . 153 13. Perhatikan gambar disamping! Persegi ABCD dengan panjang sisi 14 cm menyinggung lingkaran. Masing - masing sisi persegi dibuat setengah lingkaran dengan diameter sisi persegi tersebut. Jika π = 3.14 maka luas daerah yang di arsir adalah . . . cm2
f D e g
d. 178
b. 56
e. 196
k
h A
a. 49
C
B
c. 112 Jawaban : e Misal lingkaran besar yang disinggung persegi ABCD disebut lingkaran L1 dengan 7
Pembahasan
Tutur Widodo
OSK SMP Tahun 2011
jari - jari r1 . Lingkaran kecil yang diameternya adalah sisi persegi disebut lingkaran L2 dengan jari - jari r2 . Definisikan pula [ABCD] sebagai luas daerah persegi ABCD. Selanjutnya kita peroleh bahwa r1 sama dengan setengah panjang diagonal persegi ABCD sehingga √ r1 = 7 2. Dan kita juga tahu r2 = 7. Terakhir diperoleh luas daerah yang diarsir adalah √ 2 · luas L2 + [ABCD] − luas L1 = 2 · π · 72 + 142 − π · (7 2)2 = 98π + 196 − 98π = 196 . 14. Diketahui 22x + 2−2x = 2. Nilai 2x + 2−x = . . . a. 1
d.
b. 2
e.
√ √
2
3
c. 3 Jawaban : b x 2
Perhatikan, 22x + 2−2x = (2 ) +
1 2x
2 .
Padahal kita ketahui bahwa,
1 2 + x 2 x
2
x 2
= (2 ) +
1 2x
2 +2
Sehingga diperoleh, 2 1 x =2+2=4 2 + x 2 yang berarti 2x +
1 =2 2x
15. Rataan usia kelompok guru dan profesor adalah 40 tahun. Jika rataan kelompok guru adalah 35 tahun sedangkan rataan kelompok profesor adalah 50 tahun, perbandingan banyaknya guru dan profesor adalah . . . a. 2 : 1
d. 2 : 3
b. 1 : 2
e. 3 : 4
c. 3 : 2 8
Pembahasan
Tutur Widodo
OSK SMP Tahun 2011
Jawaban : a Definisikan : a : banyaknya guru b : banyaknya profesor Berdasarkan data pada soal diperoleh, 40 =
35a + 50b a+b
yang sama artinya dengan 40a + 40b = 35a + 50b ⇔ 5a = 10b Jadi,
a = 10 : 5 = 2 : 1 b
16. Diketahui jajargenjang ABCD. Titik P dan Q terletak pada AC sehingga DP dan BQ tegak lurus AC. Jika panjang AD = 13 cm, AC = 25 cm dan luas jajargenjang tersebut adalah 125 cm2 , maka panjang P Q adalah . . . cm 1 2
d.
b. 1
e.
a.
c.
√
√
3
4 3
2
Jawaban : b Perhatikan gambar di bawah ini ! D
C Q
13 A
P 25 B
Pada jajargenjang ABCD, 4ABC kongruen 4ACD sehingga [ACD] = Padahal [ACD] =
1 2
1 · [ABCD] 2
· AC · DP . Sehingga kita peroleh, 1 1 · [ABCD] = · AC · DP 2 2
Karena [ABCD] = 125 dan AC = 25 didapat DP = 5. Karena 4ADP siku - siku di P dengan rumus pithagoras didapat panjang AP = 12. 9
Pembahasan
Tutur Widodo
OSK SMP Tahun 2011
Perhatikan pula 4ADP kongruen dengan 4BCQ sehingga AP = CQ = 12. Jadi panjang P Q = AC − 2 · AP = 25 − 24 = 1. p p p √ √ √ 17. 54 + 14 5 + 12 − 2 35 + 32 − 10 7 = · · · a. 10
√ d. 5 6
b. 11
√ e. 6 6
c. 12 Jawaban : c Ingat bentuk kuadrat berikut, q √ √ √ (a + b) + 2 a · b = a + b dan
q √ √ √ (a + b) − 2 a · b = a − b
dengan a ≥ b ≥ 0 Berdasarkan bentuk diatas diperoleh, q q √ √ √ √ 54 + 14 5 = (49 + 5) + 2 49 · 5 = 49 + 5 q q √ √ √ √ 12 − 2 35 = (7 + 5) − 2 7 · 5 = 7 − 5 serta
q q √ √ √ √ 32 − 10 7 = (25 + 7) − 2 25 · 7 = 25 − 7 p p √ √ Sehingga bila kita jumlahkan ketiganya didapat 54 + 14 5 + 12 − 2 35 + p √ 32 − 10 7 = 12 18. Hasil penjumlahan 1! + 2! + 3! + · · · + 2011! adalah suatu bilangan yang angka satuannya adalah . . . a. 3
d. 6
b. 4
e. 7
c. 5 Jawaban : a Ingat kembali pengertian dari notasi faktorial (!) yaitu n! = n·(n−1)·(n−2) · · · 3·2·1. Jadi untuk n ≥ 5 angka satuannya pasti 0 sebab mengandung perkalian 2 dan 5. Jadi untuk mencari angka satuan dari 1! + 2! + 3! + · · · + 2011! cukup mencari tahu 10
Pembahasan
Tutur Widodo
OSK SMP Tahun 2011
angka satuan dari 1! + 2! + 3! + 4! yaitu 1 + 2 + 6 + 24 = 33. Jadi angka satuannya adalah 3. 19. Lima orang akan pergi ke pantai menggunakan sebuah mobil berkapasitas 6 tempat duduk. Jika hanya ada dua orang yang bisa menjadi sopir, maka banyaknya cara mengatur tempat duduk mereka di dalam mobil adalah . . . a. 60
d. 240
b. 120
e. 280
c. 180 Jawaban : d Ada 2 kemungkinan memilih sopir. Selanjutnya setelah sopir dipilih masih ada 4 orang yang akan memilih duduk diantara 5 kursi yang tersedia, dalam kasus ini kemungkinannya ada 5! = 120. Total kemungkinan cara mengatur tempat duduk adalah 120 x 2 = 240 20. Sebuah bingkai foto berbentuk persegi diputar 45◦ dengan sumbu putar titik perpotongan kedua diagonalnya. Jika panjang sisi persegi adalah 1 cm, luas irisan antara bingkai foto sebelum dan sesudah diputar adalah . . . cm2 √ √ d. 2 − 2 2 a. 1 + 2 2 √ b. 2 + 2 2
√ e. 2 2 − 2
c. 1 Jawaban : e Perhatikan gambar berikut!
Perhatikan bahwa delapan segitiga kecil berwarna putih yang ada pada gambar di atas semuanya kongruen dan sama kaki. Misal panjang sisi siku - sikunya adalah x maka panjang sisi miringnya 1 − 2x. Berdasarkan dalil pithagoras didapat, x2 + x2 = (1 − 2x)2 = 1 − 4x + 4x2 11
Pembahasan
Tutur Widodo
OSK SMP Tahun 2011
yang equivalen dengan 2x2 − 4x + 1 = 0 (1) 1√ Dengan rumus ABC didapat x = 1 − 2. 2 Perhatikan pula bahwa luas daerah yang diarsir sama dengan luas persegi dikurangi empat kali luas segitiga kecil. Atau dengan kata lain, luas daerah yang diarsir adalah 1−4·
1 2 · x = 1 − 2x2 2
1√ berdasarkan pers.(1) kita peroleh 1 − 2x = 2 − 4x = 2 − 4 1 − 2 = 2−4+ 2 √ √ 2 2 = 2 2 − 2. 2
Bagian B : Isian Singkat
1. Lima permen identik ( berbentuk sama ), satu rasa apel, dua rasa jeruk dan dua rasa jahe akan dibagikan kepada lima sekawan Anto, Bono, Carlie, Dede dan Edo sehingga masing - masing mendapat satu permen. Peluang Anto mendapat permen rasa jahe adalah . . . 1 Jawaban : 5 Misal permen rasa apel kita simbolkan A, permen rasa jeruk disimbolkan B dan permen rasa jahe kita simbolkan C. Jadi, banyaknya cara membagi permen kepada lima anak equivalen dengan banyaknya cara menyusun huruf - huruf A, B, B, C, 5! = 30 cara. Sedangkan kemungkinan Anto mendapat C yaitu ada sebanyak 2! · 2! permen jahe setara dengan banyaknya susunan huruf - huruf A, B, B, C, C dengan 4! huruf pertama selalu C yaitu ada sebanyak = 12. 2! 12 2 Jadi,peluang Anto mendapat permen jahe adalah = 30 5 2. Jumlah angka - angka dari hasil kali bilangan 999999999 dan 12345679 adalah . . . Jawaban : 81 999999999 x 12345679 = (1000000000 − 1) x 12345679 = 12345679 x 109 − 12345679 = 12345678 x 109 + 109 − 12345679 = 12345678 x 109 + 987654321 = 12345678987654321 Jadi jumlah digit - digitnya adalah 2 x ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 )+ 9 = 81 12
Pembahasan
Tutur Widodo
OSK SMP Tahun 2011
3. Perhatikan gambar berikut. ABCD adalah persegi dengan panjang sisi - sisinya adalah 2 cm. E adalah titik tengah CD dan F titik tengah AD. Luas daerah EDF GH adalah . . . cm2
A
B G
F H D
C
E
4 3 1 Kita tahu bahwa [ABCD] = 4 cm2 dan [ACD] = · [ABCD] = 2. 2 Selanjutnya perhatikan garis HC adalah garis bagi sudut BCE sehingga pada 4BCE berlaku BH : HE = BC : CE = 2 : 1. Oleh karena itu [BCH] : [CEH] = 1 1 1 1 BH : HE = 2 : 1 yang berarti [CEH] = · [BCE] = · · 2 · 1 = . Karena 3 3 2 3 1 4CEH kongruen 4AF G maka [CEH] = [AF G] = . Padahal [EDF GH] = 3 1 1 4 [ACD] − [CEH] − [AF G] = 2 − − = 3 3 3 Jawaban :
4. Nilai jumlahan bilangan berikut adalah . . . 12 − 22 + 32 − 42 + 52 − · · · − 20102 + 20112 Jawaban : 2023066 12 − 22 + 32 − 42 + 52 − · · · − 20102 + 20112 = 20112 − 20102 + 20092 − 20082 + · · · + 52 − 42 + 32 − 22 + 1 = (2011 + 2010) + (2009 + 2008) + · · · + (5 + 4) + (3 + 2) + 1 2011 + 1 = · 2011 2 = 1006 · 2011 = 2023066 5. Jika barisan x1 , x2 , x3 , · · · memenuhi x1 + x2 + x3 + · · · + xn = n3 untuk semua n bilangan asli, maka x100 = · · · Jawaban : 29701 Perhatikan, x1 + x2 + x3 + · · · + xn = n 3 (2) dan x1 + x2 + x3 + · · · + xn−1 = (n − 1)3
(3)
13
Pembahasan
Tutur Widodo
OSK SMP Tahun 2011
dengan mengurangkan pers.(2) dengan pers.(3) kita dapat xn = n3 − (n − 1)3 = (n − (n − 1))(n2 + n(n − 1) + (n − 1)2 )
ingat a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
= n2 + n2 − n + n2 − 2n + 1 = 3n2 − 3n + 1 Jadi, x100 = 3 · 1002 − 3 · 100 + 1 = 30000 − 300 + 1 = 29701 6. Semua pasangan bilangan bulat (a, b) yang memenuhi 2a = b2 − 1 adalah . . . Jawaban : (3, −3) dan (3, 3) Jelas b ganjil, sebab jika b genap maka ruas kanan menjadi ganjil padahal ruas kiri genap, tidak mungkin. Karena b ganjil maka b dapat kita tulis b = 2k−1 dengan k bilangan bulat. Sehingga persamaan pada soal equivalen dengan 2a = (2k − 1)2 − 1 = 4k 2 − 4k + 1 − 1 = 4k(k − 1)
(4)
karena k|2a dan (k − 1)|2a padahal k dan k − 1 adalah dua bilangan bulat berurutan yang pasti ada yang genap dan ada yang ganjil serta bilangan ganjil yang membagi 2a hanya bilangan ganjil 1 dan −1 berakibat nilai k yang memenuhi hanya k = −1 dan k = 2 • Jika k = −1 maka b = −3 dan a = 3 • Jika k = 2 maka b = 3 dan a = 3 Sehingga banyaknya pasangan bilangan bulat yang memenuhi 2a = b2 − 1 ada dua yaitu (3, −3) dan (3, 3) 7. Tersedia beberapa angka 2, 0 dan 1. Angka 2 ada sebanyak lima buah masing masing berwarna merah, hijau, kuning, biru dan nila. Angka 0 dan 1 masing - masing ada sebanyak empat buah dengan warna masing - masing merah, hijau, kuning dan biru. Selanjutnya menggunakan angka - angka tersebut akan dibentuk bilangan 2011 sehingga angka - angka yang bersebelahan tidak boleh sewarna. Contoh pewarnaan yang dimaksud: 2 (merah) 0 (hijau) 1 (hijau) 1 (biru). Contoh bukan pewarnaan yang dimaksud : 2 (merah) 0 (hijau) 1 (hijau) 1 (biru). Banyaknya bilangan 2011 dengan komposisi pewarnaan tersebut adalah . . . Jawaban : 144 Kita bagi dua kasus : I. Angka 2 berwarna nila, berarti angka 0 ada pilihan 4 warna, angka 1 (ratusan) ada pilihan 3 warna dan angka 1 (satuan) ada 3 pilihan warna. Total ada 1 x 14
Pembahasan
Tutur Widodo
OSK SMP Tahun 2011
4 x 3 x 3 = 36 susunan. II. Angka 2 tidak berwarna nila, berarti ada 4 pilihan warna, angka 0 ada 3 pilihan warna, angka 1 (ratusan) ada pilihan 3 warna dan angka 1 (satuan) ada 3 pilihan warna. Total ada 4 x 3 x 3 x 3 = 108 susunan. Jadi, banyak susunan adalah 108 + 36 = 144 8. Sebuah kotak berisi 500 kelereng berukuran sama yang terdiri dari 5 warna dimana masing - masing kelereng sewarna berjumlah 100. Minimum banyaknya kelereng yang harus diambil secara acak sehingga kelereng yang terambil dijamin memuat sedikitnya 5 kelereng yang berwarna sama adalah . . . Jawaban : 21 Misal kita punya lima wadah yang bersesuaian dengan kelima warna. Jika kita mengambil 21 kelereng dan karena wadahnya cuma ada lima pasti paling tidak ada satu wadah yang isinya lima. 9. Jika (3 + 4)(32 + 42 )(34 + 44 )(38 + 48 )(316 + 416 )(332 + 432 ) = 4x − 3y maka x − y = · · · Jawaban : 0 (3 + 4)(32 + 42 )(34 + 44 )(38 + 48 )(316 + 416 )(332 + 432 ) = (4 − 3)(3 + 4)(32 + 42 )(34 + 44 )(38 + 48 )(316 + 416 )(332 + 432 ) = (42 − 32 )(32 + 42 )(34 + 44 )(38 + 48 )(316 + 416 )(332 + 432 ) = (44 − 34 )(34 + 44 )(38 + 48 )(316 + 416 )(332 + 432 ) = (48 − 38 )(38 + 48 )(316 + 416 )(332 + 432 ) = (416 − 316 )(316 + 416 )(332 + 432 ) = (432 − 332 )(332 + 432 ) = 464 − 364 Jadi x = y = 64 sehingga x − y = 0 10. Suatu himpunan disebut berjenis H jika memenuhi sifat : a. Himpunan tersebut beranggotakan tiga bilangan bulat tak negatif. b. Rata - rata ketiga bilangan anggota himpunan tersebut adalah 15. Banyaknya semua himpunan berjenis H ini adalah . . . Jawaban : 169 Misalkan H = {a, b, c} maka bilangan a, b, c memenuhi kriteria a, b, c ≥ 0, a 6= b 6= c ( sebab H adalah himpunan dengan tiga anggota ) serta a + b + c = 45. Pertama kita cari seluruh penyelesaian dari pers. a + b + c = 45
(5) 15
Pembahasan
Tutur Widodo
OSK SMP Tahun 2011
yang sama artinya dengan mencari banyak kemungkinan dari penyusunan |0000{z · · · 00} 11 45 angka 0
47! yaitu sebanyak = 1081 cara ( sebut ini sebagai penghitungan awal ). 2! · 45! Perhatikan dari seluruh penyelesaian pers.(5) ada tiga susunan utama yaitu 3 angkanya sama, ada 2 angka sama dan terakhir ketiga angkanya berbeda (ini yang mau kita cari). Kita uraikan kasus tersebut : I. Ketiga angkanya sama Satu - satunya kemungkinan adalah a = b = c = 15 yang di perhitungan awal berkontribusi hanya satu juga. II. Ada 2 angka yang sama Dalam kasus ini salah satu angkanya pasti ganjil. Jadi ada 22 kemungkinan sebab angka ganjil dari 1 sampai 45 ada 23 tetapi 15 tidak masuk perhitungan. Ingat bhawa dalam kasus dua angka sama, setiap penyelesaian berkontribusi sebanyak 3 kali. Jadi, untuk tipe ada dua angka yang sama pada penghitungan awal berkontribusi sebanyak 22 x 3 =66. III. Ketiga angkanya berbeda Kasus ini yang tidak punya ciri khusus. Jadi susah dihitung. Tapi tenang, kita gunakan komplemen. Terlebih dahulu perhatikan bahwa setiap penyelesaian di tipe ini berkontribusi sebanyak 6 kali pada penghitungan awal. Sebagai contoh begini, (a, b, c) = (0, 5, 40) adalah salah satu contoh penyelesaian. Demikian juga semua permutasinya yang ada sebanyak 6 (hitung sendiri kalo tidak percaya). Lebih lanjut, kontribusi tipe III di penghitungan awal sebanyak 1081−1−66 = 1014 = 169. 1014. Jadi, banyaknya penyelesaian yang berbeda ada sebanyak 6 Oleh karena itu, banyaknya himpunan H yang memenuhi kriteria soal ada sebanyak 169. Note : Sebenarnya penyelesaian soal ini dengan cara di atas lebih gampang dan lebih cepat daripada mendaftar seluruh anggotanya satu persatu. Hanya saja, waktu harus menulis langkah - langkahnya lumayan ribet. Jadi kalau kurang jelas mohon maaf. Disusun oleh : Tutur Widodo Apabila ada saran, kritik maupun masukan silakan kirim via email ke
[email protected] Terima kasih. My blog : mathematic-room.blogspot.com
16
