Pembahasan Soal Final Kompetisi Matematika Pasiad ( KMP ) VIII Tahun 2012 Tingkat SMP

Tutur Widodo

Pembahasan Final KMP VIII 2012

Pembahasan Soal Final Kompetisi Matematika Pasiad ( KMP ) VIII Tahun 2012 Tingkat SMP Oleh Tutur Widodo

I. Soal Pilihan Ganda (Cara Penilaian : Benar = 1 poin, Kosong = 0, Salah = −0.25 poin) √ 1. Terdapat berapa banyak solusikah untuk persamaan x 2 · 2x = 4? a. 3

c. 1

b. 2

d. 0

Jawaban : c √ x

1

2 · 2x = 4 ⇔

2 x · 2x = 4 1

⇔

2x+ x = 22 1 x+ =2 x 2 x − 2x + 1 = 0

⇔

(x − 1)2 = 0

⇔ ⇔

Oleh karena itu, hanya ada satu nilai x yang memenuhi yaitu x = 1. 2. Jika k adalah sebuah bilangan bulat ganjil, maka bentuk sederhana dari 2k ·7k ·(−2)−k adalah ... a. 14k

c. 7k

b. 7−k

d. (−7)k

Jawaban : d 2k · 7k · (−2)−k

⇔ ⇔ ⇔

2k · 7k (−2)k 2k · 7k −2k − 7k = (−7)k

x √ 2 3. Jika = 3, 5 maka nilai dari x adalah ... 7 a. − 12 b.

c. − 23

1 2

d. 1

Jawaban : a x 12 2 7 = 7 2 x − 12 2 2 ⇔ = 7 7 1 ⇔ x=− 2

x p 2 = 3, 5 ⇔ 7

Visit us at : mathematic-room.blogspot.com

1

Tutur Widodo


4. Jika x dan y adalah bilangan bulat maka nilai dari xy adalah ... x

√

a. 90 b. 56

17

y

c. 72 d. 42 Jawaban : c Dari dalil Phytagoras diperoleh, x2 − y 2 = 17 ⇔

(x − y)(x + y) = 17

Jadi, (x − y) dan (x + y) adalah faktor positif dari 17. Oleh karena itu, x + y = 17 dan x − y = 1. Sehingga didapat x = 9 dan y = 8, yang berarti xy = 72. √ √ √ √ 5. Jika diketahui a = 5 + 2, b = 6 + 1, c = 2 + 3. Maka urutan yang benar dari a, b, dan c adalah ... a. a < b < c

c. b < a < c

b. c < b < a

d. a < c < b

Jawaban : c Perhatikan, √ a2 = 7 + 2 10,

√ √ √ b2 = 7 + 2 6, dan c2 = 7 + 4 3 = 7 + 2 12

karena a, b, c > 0 dan b2 < a2 < c2 maka b < a < c q √ 6. Bentuk sederhana dari (2 − 5)2 adalah ... a. 2 −

√

b. 2 +

5

√

5

c.

√

5−2

d. 4 −

√

5

Jawaban : c q √ √ Untuk setiap bilangan riil x berlaku, x2 = |x|. Oleh karena itu, (2 − 5)2 = √ √ √ |2 − 5| = 5 − 2, karena 2 < 5. A

7. Berapa banyak segitiga dalam gambar di samping!

D

a. 35

E

b. 154

F

c. 73 d. 220

C B

G

H

I

J

K

L

Jawaban : -


2

Tutur Widodo


• Banyak segitiga yang memuat titik A yaitu, C27 · 4 = 21 · 4 = 84 • Banyak segitiga yang tidak memuat titik A yaitu, C24 · 6 = 6 · 6 = 36 Jadi, banyaknya segitiga dari gambar adalah 84 + 36 = 120. Note : Apabila pada soal di atas terdapat garis AL, maka banyaknya segitiga adalah : • Banyak segitiga yang memuat titik A yaitu, C28 · 4 = 28 · 4 = 112 • Banyak segitiga yang tidak memuat titik A yaitu, C24 · 7 = 6 · 7 = 42 Jadi, banyaknya segitiga dari gambar adalah 112 + 42 = 154. 8. Berapa jumlah digit dari 12510 · 328 · 1505 ? a. 31

c. 48

b. 44

d. 58

Jawaban : b Misal N = 12510 · 328 · 1505 , diperoleh N = 12510 · 328 · 1505 = 530 · 240 · (6 · 52 )5 = 530 · 240 · 65 · 510 = 540 · 240 · 65 = 1040 · 7776 Jadi, banyak digit dari N adalah 44. 9. Seekor semut berjalan menyusuri rangka sebuah bangun seperti dalam gambar, dari titik A menuju B. Ada berapa banyak jalan berbeda yang dapat dilalui oleh semut tersebut? (Jalur yang dipilih merupakan lintasan terpendek)

B

a. 48 b. 90

A

c. 60 d. 180 Jawaban : b Perhatikan, agar semut berjalan pada lintasan terpendek maka dia harus berjalan 2 ke kanan, 2 ke atas dan 2 ke belakang tidak peduli bagaimanapun lintasan yang dia Visit us at : mathematic-room.blogspot.com

3

Tutur Widodo


pilih. Sedangkan panjang lintasannya adalah 6. Oleh karena itu, banyak lintasan yang bisa dipilih si semut ada sebanyak, 6! = 90 2! · 2! · 2! 10. Jika diketahui |x − 4| +

√

y + 2 + (z + 1)2 = 0, maka nilai x + y + z adalah ...

a. −2

c. 1

b. −1

d. 2

Jawaban : c √ Untuk setiap bilangan riil, x, y, z berlaku |x − 4| ≥ 0, y + 2 ≥ 0 dan (z + 1)2 ≥ 0. Kesamaan terjadi jika dan hanya jika x − 4 = 0, y + 2 = 0 dan z + 1 = 0, sehingga x = 4, y = −2 dan z = −1. Oleh karena itu, x + y + z = 4 + (−2) + (−1) = 1. 11. m dan n adalah dua bilangan bulat positif sedemikian sehingga m + n + mn = 24. Berapakah nilai m + n? a. 7

c. 9

b. 8

d. 10

Jawaban : b Perhatikan, m + n + mn = 24 ⇔ (m + 1)(n + 1) = 25 sehingga (m + 1) dan (n + 1) adalah faktor positif dari 25. Sedangkan faktor positif dari 25 ialah 1, 5 dan 25. Akan tetapi m dan n bilangan bulat positif sehingga (m + 1) > 1, (n + 1) > 1. Oleh karena itu, m + 1 = n + 1 = 5 atau equivalen m = n = 4. Jadi, m + n = 8. 12. Sebuah angka 6 digit cdbcda dapat dibagi dengan 11. Jika a + b = 10, maka nilai ab adalah ... a. 30

c. 15

b. 25

d. 10

Jawaban : b Karena cdbcda dapat dibagi 11 maka c + b + d − (d + c + a) = b − a habis dibagi 11. Mengingat 0 ≤ a, b ≤ 9 dan b − a habis dibagi 11, maka b − a = 0 ⇔ b = a. Jadi, a = b = 5, yang berarti ab = 25. 13. Ada berapa kemungkinan bilangan asli n, sehingga a. 4

c. 2

b. 3

d. 5

Jawaban : b Perhatikan,

3n + 21 adalah bilangan asli. n+3

3n + 21 12 =3+ n+3 n+3


4

Tutur Widodo


12 Agar n+3 merupakan bilangan asli maka haruslah n + 3 membagi 12. Dengan kata lain, n + 3 adalah faktor dari 12. Karena n bilangan asli berakibat n + 3 ≥ 4. Oleh karena itu kemungkinan nilai n + 3 adalah 4, 6 dan 12 yang bersesuaian dengan nilai n sama dengan 1, 3, 9. Jadi, terdapat tiga nilai n yang memenuhi.

14. Misalkan a dan b adalah digit - digit pada bilangan ab dan ba, sehingga ab − ba=72. Maka berapakah nilai dari a2 + b2 a. 52

c. 82

b. 72

d. 62

Jawaban : c Perhatikan bahwa, 8 ≤ a ≤ 9 dan 1 ≤ b ≤ 2. Dari soal diperoleh, 10a + b − (10b + a) = 72

⇔

9a − 9a = 72

⇔

a−b=8

sehingga didapat a = 9 dan b = 1. Jadi, a2 + b2 = 92 + 12 = 82. 2 2 1 1 3 4 15. Diberikan 0, 5 dan y = 0, 25 . Maka nilai x + − x− = ... y y a. 128

c. 108

b. 120

d. 64

Jawaban : a 2 2 1 1 2 − x− = (2x) x+ y y y x =4 y 0, 53 =4 0, 254 3 2 · 0, 253 =4 0, 254 8 =4 0, 25 = 4 · 8 · 4 = 128 16. Diketahui x2 − 2x − 2 = 0, maka berapakah nilai dari x2 + a. 6

c. 10

b. 8

d. 14

4 ? x2

Jawaban : b Dari persamaan x2 − 2x − 2 = 0, jelas x 6= 0. Oleh karena itu, dengan membagi persamaan tersebut dengan x diperoleh, x−2−

2 2 =0 ⇔ x− =2 x x


5

Tutur Widodo


kuadratkan kedua ruas sehingga didapat, x2 +

4 −4=4 x2

⇔

x2 +

4 =8 x2

17. Berapakah sisa pembagian 50 + 51 + 52 + 53 + · · · + 52012 dibagi 125. a. 29

c. 61

b. 30

d. 31

Jawaban : d Untuk k ≥ 3 maka 5k ≡ 0

( mod 125). Oleh karena itu,

50 + 51 + 52 + 53 + · · · + 52012 ≡ 50 + 51 + 52 ≡ 1 + 5 + 25 ≡ 31

( mod 125) ( mod 125)

( mod 125)

18. Apakah digit terakhir dari bilangan (1! + 2! + 3! + · · · + 2012!)2012 . a. 1

c. 7

b. 3

d. 9

Jawaban : a Misal, N = 1! + 2! + 3! + · · · + 2012! Perhatikan untuk k ≥ 5, maka k! ≡ 0 sehingga N = 1! + 2! + 3! + · · · + 2012! ≡ 1! + 2! + 3! + 4! ≡ 1 + 2 + 6 + 24 ≡ 33 ≡3

( mod 10),

( mod 10) ( mod 10)

( mod 10) ( mod 10)

Oleh karena itu, digit terakhir dari N adalah 3. Perlu diketahui juga, 34k ≡ 1

( mod 10)

34k+1 ≡ 3

( mod 10)

34k+2 ≡ 9

( mod 10)

34k+3 ≡ 7

( mod 10)

untuk setiap bilangan bulat nonnegatif k. Sehingga N 2012 = N 4·503 ≡ 1 ( mod 10). 19. Misalkan a, b, c dan d adalah anggota bilangan bulat positif. Jika a dibagi b menghasilkan 15 sisa 7, b dibagi 6 menghasilkan c sisa 3, dan a dibagi 18 menghasilkan d sisa x. Berapakah nilai x? a. 13

c. 15

b. 14

d. 16


6

Tutur Widodo


Jawaban : d a dibagi b menghasilkan 15 sisa 7 dapat ditulis, (1)

a = 15b + 7 b dibagi 6 menghasilkan c sisa 3 dapat ditulis,

(2)

b = 6c + 3 dan a dibagi 18 menghasilkan d sisa x dapat ditulis,

(3)

a = 18d + x Dari pers.(1), (2) dan (3) diperoleh, 15b + 7 = 18d + x ⇔

15(6c + 3) + 7 = 18d + x

⇔

90c + 52 = 18d + x

⇔

18d = 90c + 52 − x

Karena 18 habis membagi 90, maka haruslah 52 − x juga habis dibagi 18. Dengan kata lain, 52 − x = 18k ⇔ x = 52 − 18k untuk suatu bilangan bulat k. Salah satu nilai x yang memenuhi adalah x = 16 untuk k = 2. 20. Sederhanakan |1 − 3x − |x − 1|| untuk x < 0. a. −2x

c. x

b. 2x

d. −x

Jawaban : a |1 − 3x − |x − 1|| = |1 − 3x − (1 − x)|

karena x < 0

= |−2x| = −2x 21. Ada berapa bilangan asli kurang dari 579 yang habis dibagi 3 atau 5 ? a. 270

c. 280

b. 269

d. 240

Jawaban : b 578 = 192. Banyaknya bilangan asli kurang dari 579 yang habis dibagi 3 yaitu 3 578 Banyaknya bilangan asli kurang dari 579 yang habis dibagi 5 yaitu = 115. 5 578 Banyaknya bilangan asli kurang dari 579 yang habis dibagi 15 yaitu = 38. 15 Jadi, banyaknya bilangan asli kurang dari 579 yang habis dibagi 3 atau 5 adalah 192 + 115 − 38 = 269. 22. Berapakah nilai maksimum dari

8 ? |x − 2| + |x + 6|

a. 4

c. 2

b. 3

d. 1


7

Tutur Widodo


Jawaban : d Misalkan, f (x) = |x − 2| + |x + 6|. Agar nilai

8 maksimum maka nilai f (x) harus f (x) minimum. Perhatikan bahwa fungsi f dapat ditulis,    −2x − 4, x < −6 f (x) = 8, 6≤x<2   2x + 4, x≥2 sehingga nilai minimum dari fungsi f adalah 8. Oleh karena itu, nilai maksimum dari 8 adalah 1. f (x) 23. Sederhanakan −a + |a| + | − a|, jika a < 0. a. 2a

c. −3a

b. −2a

d. 3a

Jawaban : c −a + |a| + | − a| = −a + (−a) + (−a) = −3a 24. Misalkan A = |9999{z. . . 9} dan A = 1050 − 1, carilah nilai m. m

a. 50

c. 51

b. 49

d. 40

Jawaban : b Cukup jelas. 25. Misalkan a2 − 12a − b + 41 = 0, dengan a, b ∈ Z. Berapakah nilai a untuk b yang paling minimum ? a. 5

c. 7

b. 6

d. 4

Jawaban : b Perhatikan, a2 − 12a − b + 41 = 0 ⇔ (a − 6)2 + 5 = b karena (a − 6)2 ≥ 0 untuk ∀a ∈ R, maka b akan bernilai minimum saat a − 6 = 0 ⇔ a = 6. 26. Berapakah nilai x + y, jika diketahui x2 + y 2 − 4x + 10y + 29 = 0 ? a. −2

c. −3

b. −1

d. 1

Jawaban : c x2 + y 2 − 4x + 10y + 29 = 0 ⇔

(x − 2)2 + (y + 5)2 = 0

Jadi, x = 2 dan y = −5 sehingga x + y = −3. Visit us at : mathematic-room.blogspot.com

8

Tutur Widodo


27. Berapakah sisa pembagian bilangan 1 · 2 · 3 · 4 · · · 2012 − 1 dibagi dengan 100101 ? a. 99

c. 10001

b. 101

d. 10099

Jawaban : 100100 Perlu diketahui bahwa 100101 = 3 · 61 · 547. Jadi, 2012! habis dibagi oleh 100101. Oleh karena itu, 2012! − 1 jika dibagi 100101 akan bersisa 100100. 28. Diketahui a dan b adalah digit - digit pada bilangan dua digit ab dan ba, sehingga (ab)2 − (ba)2 = 1089. Berapakah nilai a2 + b2 ? a. 11

c. 61

b. 35

d. 83

Jawaban : c Dari soal kita peroleh, (10a + b)2 − (10b + a)2 = 1089 ⇔

(11a + 11b)(9a − 9b) = 1089 = 32 · 112

sehingga (11a + 11b) dan (9a − 9b) adalah faktor positif dari 1089. Karena (11a + 11b) dan (9a − 9b) berturut - turut merupakan kelipatan 11 dan 9, maka diperoleh (11a + 11b) = 121 dan (9a−9b) = 9. Sehingga a+b = 11 dan a−b = 1. Dengan menyelesaikan kedua persamaan tersebut, diperoleh a = 6 dan b = 5. Jadi, a2 + b2 = 62 + 52 = 61. 29. Hitunglah (1 + 3 + 5 + 7 + · · · + 307) − (2 + 4 + 6 + · · · + 306)? a. −154

c. 153

b. −153

d. 154

Jawaban : d (1 + 3 + 5 + 7 + · · · + 307) − (2 + 4 + 6 + · · · + 306) = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + · · · · · · + 305 − 306 + 307 = (−1) + (−1) + (−1) + (−1) + · · · · · · + (−1) +307 | {z } sebanyak 153

= −153 + 307 = 154 30. Berapakah sisa pembagian 47474747 {z · · · 47} dibagi 9? | 108

digit

a. 0

c. 2

b. 1

d. 3

Jawaban : a Karena jumlah digit - digit dari |47474747 {z · · · 47} yaitu 54 · (4 + 7) habis dibagi 9, maka 108

digit

47474747 | {z · · · 47} juga habis dibagi 9. Sehingga 47474747 | {z · · · 47} bersisa 0 jika dibagi 9. 108

digit


108

digit

9

Tutur Widodo


31. Diketahui a, b dan c adalah bilangan bulat yang memenuhi −5 < a ≤ 3, −8 < b < 1 dan b2 − 2a + 3c = 6. Berapakah nilai terkecil c yang mungkin ? a. −7

c. −17

b. −12

d. −19

Jawaban : c Karena 3c = 6 + 2a − b2 , maka agar c minimum haruslah dipilih a terkecil dan b2 terbesar yang mungkin dengan juga memperhatikan bahwa 2a − b2 adalah bilangan kelipatan 3. Oleh karena itu, pilih a = −4 dan b = −6 sehingga diperoleh 3c = 6 + 2 · (−4) − (−7)2 = 6 − 8 − 49 = −51 yang equivalen dengan c = −17. 1 1 1 1 1 1− 2 1 − 2 ··· 1 − 2 1− 2 ? 32. Berapakah nilai 1 − 2 2 3 4 19 20 a.

1 20

c.

21 2

b.

21 40

d.

21 20

Jawaban : b 1 1 1 1 1 1− 2 1− 2 1 − 2 ··· 1 − 2 1− 2 2 3 4 19 20 1 1 1 1 1 1 1 1 1− 1+ 1− ··· 1 + 1− 1+ 1− = 1+ 2 2 3 3 19 19 20 20 3 1 4 2 20 18 21 19 = ··· 2 2 3 3 19 19 20 20 3 4 20 21 1 2 18 19 = ··· ··· 2 3 19 20 2 3 19 20 21 1 = 2 20 21 = 40 33. Urutkan bilangan bulat positif a, b, dan c jika

1 1 1 > > . a+b b+c a+c

a. a > b > c

c. c > a > b

b. a > c > b

d. b > a > c

Jawaban : c 1 1 1 1 Karena > maka a + b < b + c ⇔ a < c, dan > maka a+b b+c b+c a+c b + c < a + c ⇔ b < a. Sehingga diperoleh b < a < c. 34. Diketahui x, y, dan z adalah bilangan bulat positif yang memenuhi 3x + 2y + 5z = 37. Berapakah nilai y terbesar yang mungkin? a. 29

c. 14

b. 14,5

d. 13

Jawaban : d Karena 2y genap, maka 3x + 5z harus ganjil. Selain itu, agar y terbesar maka x dan z harus nilai terkecil yang mungkin. Oleh karena itu, pilih x = 2 dan z = 1 sehingga didapat 3 · 2 + 2y + 5 · 1 = 37 ⇔ y = 13. Visit us at : mathematic-room.blogspot.com

10

Tutur Widodo


35. Berapakah nilai dari a2 + b2 + c2 , jika a + b = c + 6 dan ab − ac = bc − 1? a. 40

c. 36

b. 38

d. 34

Jawaban : b Perhatikan bahwa, ab − ac = bc − 1 ⇔ ac + bc − ab = 1, dan (a + b − c)2 = 62

⇔

a2 + b2 + c2 + 2ab − 2bc − 2ac = 36

⇔

a2 + b2 + c2 − 2(ac + bc − ab) = 36

⇔

a2 + b2 + c2 − 2 · 1 = 36

⇔

a2 + b2 + c2 = 38

36. Misalkan x = 0, 02468101214 · · · 100102104, angka - angka di belakang koma pada bilangan desimal x tersusun dari bilangan bulat genap dari 0 hingga 104. Maka, berapakah angka ke-101 di belakang koma? a. 0

c. 2

b. 1

d. 4

Jawaban : c Dari 0, 2, 4, 6, 8 ada 5 digit. Dari 10, 12, 14, · · · , 98 ada 5 x 2 x 9 = 90 digit. Dari 100, 102, 104 ada 9 digit. Jadi, total ada (5 + 90 + 9 = 104) digit angka di belakang koma. Mudah dilihat bahwa angka ke-101 adalah 2. 37. Manakah yang merupakan faktor dari x2 − y 2 − 6x − 8y − 7? a. x + y + 1

c. x − y − 1

b. x − y − 5

d. x + y + 7

Jawaban : a x2 − y 2 − 6x − 8y − 7 = x2 − 6x + 9 − (y 2 + 8y + 16) = (x − 3)2 − (y + 4)2 = (x − 3 + y + 4)(x − 3 − (y + 4)) = (x + y + 1)(x − y − 7) 38. Berapakah angka terakhir pada bilangan 20122012 ? a. 8

c. 4

b. 6

d. 2


11

Tutur Widodo


Jawaban : b Perhatikan pola berikut, 24k ≡ 6

( mod 10)

24k+1 ≡ 2

( mod 10)

24k+2 ≡ 4

( mod 10)

4k+3

2

≡8

( mod 10)

untuk setiap bilangan bulat positif k. Selanjutnya diperoleh, 20122012 ≡ 22012

( mod 10)

≡ 24·503

( mod 10)

≡6

( mod 10)

39. Diketahui m dan n adalah bilangan bulat positif, dan m + n + mn = 34. Berapakah nilai dari m + n? a. 6

c. 10

b. 8

d. 34

Jawaban : c m + n + mn = 34 ⇔ (m + 1)(n + 1) = 35 Jadi, m + 1 dan n + 1 adalah faktor positif dari 35. Karena m dan n bilangan bulat positif maka m + 1 > 1 dan n + 1 > 1. Oleh karena itu, m + 1 = 5 ⇔ m = 4 dan n + 1 = 7 ⇔ n = 6. Sehingga m + n = 10. 40. Umur ayah sekarang adalah 60 tahun. Ketika umur ayah seumuran umurku, umurku setengah dari umurku sekarang. Berapakah umurku sekarang? a. 45

c. 35

b. 40

d. 30

Jawaban : b Misalkan, umurku sekarang x, dan misalkan pula k tahun yang lalu umur ayahku seumuran umurku, kita peroleh 60 − k = x

dan

x−k =

x 2

⇔ k=

x 2

Oleh karena itu, 60 −

x =x 2

⇔ x = 40

41. Misalkan a, b dan c adalah angka - angka pada sebuah bilangan kuadrat tiga angka abc. Jika satuan dan puluhan pada bilangan tersebut dinaikkan berturut - turut 1 dan 3, juga akan menghasilkan bilangan kuadrat. Maka berapakah nilai a + b + c? Visit us at : mathematic-room.blogspot.com

12

Tutur Widodo


a. 9

c. 11

b. 10

d. 12

Jawaban : a Diketahui, 100a + 10b + c = m2 dan 100a + 10(b + 3) + (c + 1) = n2 untuk suatu bilangan bulat m, n. Dari kedua persamaan di atas diperoleh, n2 − m2 = (n + m)(n − m) = 31 Oleh karena itu, n+m = 31 dan n−m = 1. Dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut, diperoleh m = 15, sehingga m2 = 225, yang berarti a + b + c = 2 + 2 + 5 = 9. 42. Diberikan (2a − 3)2 + (b + 2)2 + 1, 5 =

√3 . 4

Carilah nilai 4a − b.

a. 6

c. 12

b. 8

d. 16

Jawaban : b 3 (2a − 3)2 + (b + 2)2 + 1, 5 = √ 4 Sehingga 2a − 3 = 0 4a − b = 6 + 2 = 8.

⇔ (2a − 3)2 + (b + 2)2 = 0

⇔ 2a = 3 dan b + 2 = 0

43. Diketahui persamaan 2x2 + (x + 1)2 = 1. Carilah p a. − 32 + (−4)2 p b. −5 (−4)2 − 3)2

c.

√

√

⇔ b = −2. Oleh karena itu,

x − 5?

32 + 42

d. 1

Jawaban : a 2x2 + (x + 1)2 = 1 ⇔ 2x2 + x2 + 2x + 1 = 1 ⇔ 3x2 + 2x = 0 ⇔ x(3x + 2) = 0 sehingga diperoleh x = 0 atau x = − 32 . Ambil x = 0, sebab bilangan negatif bukan √ domain dari fungsi akar. Jadi, nilai x − 5 = −5. 44. Sebuah mobil angkutan antar kota biasa menempuh perjalanan dari kota A ke kota B dengan kecepatan 70 km/jam. Namun pada suatu ketika mobil itu mengalami kerusakan sehingga harus menurunkan kecepatan 50 km/jam tepat di tengah perjalanan, sehingga sampai ke kota B terlambat 3 jam dari waktu biasanya. Berapakah jarak dari kota A ke kota B? a. 525 km

c. 850 km

b. 775 km

d. 1050 km


13

Tutur Widodo


Jawaban : d Misalkan jarak kota A ke kota B adalah s, maka diperoleh s = 70t 2 dan

s = 50(t + 3) 2 dengan t waktu yang dibutuhkan untuk menempuh setengah perjalanan dengan kecepatan 70 km/jam. Dari kedua persamaan di atas diperoleh, ⇔ 20t = 150

70t = 50(t + 3)

⇔ t = 7, 5 s = 70 · 7, 5 ⇔ s = 1050 km. 2 p p √ √ 6 6 45. Misalkan A = 11 + 57 · 11 − 57, maka carilah nilai A2 + 5? Jadi,

a. 1

c. 9

b. 4

d. 16

Jawaban : c q q q √ √ √ √ 6 6 6 A = 11 + 57 · 11 − 57 = (11 + 57)(11 − 57) √ = 6 121 − 57 √ 6 = 64 √ √ Jadi, A2 + 5 = ( 6 64)2 + 5 = 3 64 + 5 = 4 + 5 = 9. s r √ √ 3 (1 + a) 1 + a 3 3 · ? 46. Sederhanakan −1 3a 9 + 18a + 9a−2 a. b.

√ 6 a √ 6

a 3

c. d.

√ 6

a 4

√ 6a √ 3 9

Jawaban : b s s √ √ 3 (1 + a) 1 + a 3 3 · = −1 3a 9 + 18a + 9a−2 =

! 12 ! 13 1 1 (1 + a)(1 + a) 3 3 2 · a2 3a 9(a2 + 2a + 1) ! 12 ! 31 4 1 (1 + a) 3 3 2 · a2 3a 32 (a + 1)2 2

=

(1 + a) 3 1

1

32 · a2

2

·

a3 1

2

3 2 (a + 1) 3

1

a6 = 3 √ 6 a = 3


14

Tutur Widodo


47. Diberikan sistem persamaan berikut : x+y =6

√ x2 + y 2 = 40 + 12 2 Carilah nilai x − y ? p √ a. 2 11 + 6 2 p √ b. 2 11 − 6 2

√ c. 2 2 d. 2

Jawaban : a x+y =6 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

(x + y)2 = 36 x2 + y 2 + 2xy = 36 √ 40 + 12 2 + 2xy = 36 √ 2xy = −4 − 12 2

(x − y)2 = x2 + y 2 − 2xy √ √ = 40 + 12 2 + 4 + 12 2 √ = 44 + 24 2 sehingga, x − y = ±

p p √ √ 44 + 24 2 = ±2 11 + 6 2.

48. Perhatikan gambar di samping! Diketahui BE = CE = DE, ∠ADB = 10◦ , dan ∠BAC = 50◦ . Maka berapakah besar sudut ACE?

A B

a. 10

E

b. 15 c. 30

D

C d. 45 Jawaban : c Karena 4BEC dan 4CED sama kaki maka ∠CBD = ∠BCE dan ∠DCE = ∠CDE. Pada 4BCD berlaku, ∠CBD + ∠BCE + ∠DCE + ∠CDE = 180◦ 2∠BCE + 2∠DCE = 180◦ ∠BCE + ∠DCE = 90◦ ∠BCD = 90◦ karena ∠BCD dan ∠BAD siku - siku maka segiempat ABCD adalah segiempat tali busur.


15

Tutur Widodo

Pembahasan Final KMP VIII 2012 A

B

E

D C Oleh karena itu diperoleh, ∠ACE = ∠BCD − ∠BCA − ∠DCE = 90◦ − ∠ADB − ∠CDE = 90◦ − 10◦ − ∠BAC = 90◦ − 10◦ − 50◦ = 30◦ √ 49. Misalkan |x − |4 − x|| − 2x = 4, berapakah nilai ( x − 1)3 ? a. 9

c. 1

b. 4

d. −1

Jawaban : d • Untuk x < −4, persamaan pada soal menjadi : |x − |4 − x|| − 2x = 4 ⇔

|x − (4 − x)| − 2x = 4

⇔

|2x − 4| − 2x = 4

⇔

4 − 2x − 2x = 4

⇔

4x = 0

⇔

x=0

• Untuk x ≥ −4, persamaan pada soal menjadi : |x − |4 − x|| − 2x = 4 ⇔

|x + 4 − x| − 2x = 4

⇔ 4 − 2x = 4 ⇔ x=0 √ Oleh karena itu, satu - satunya nilai x yang memenuhi adalah x = 0. Jadi, ( x−1)3 = −1. 50. Diketahui

x2

1 1 14 + 2 = . Berapakah nilai x2 + 3? + 4x x + 4x + 4 45

a. 3

c.

13 4

b. 4

d.

76 25


16

Tutur Widodo


Jawaban : b Misal, x2 + 4x = t maka persamaan pada soal menjadi, 1 14 1 + = t t+4 45

t+4+t 14 = t2 + 4t 45 ⇔ 45(2t + 4) = 14(t2 + 4t) ⇔

⇔ 90t + 180 = 14t2 + 56t ⇔ 14t2 − 34t − 180 = 0 ⇔ 7t2 − 17t − 90 = 0 ⇔ (7t + 18)(t − 5) = 0 18 atau t = 5 ⇔ t=− 7 • Jika t = − 18 maka diperoleh persamaan : x2 +4x = − 18 ⇔ 7x2 +28x+18 = 0 7 7 yang kedua akarnya irasional. Padahal dari pilihan jawaban yang ada, tidak ada yang irasional. Oleh karena itu, untuk kasus ini tidak perlu kita cek. • Jika t = 5 maka diperoleh persamaan : x2 + 4x = 5 ⇔ x2 + 4x − 5 = 0 ⇔ (x + 5)(x − 1) = 0. (a) Jika x = −5 maka x2 + 3 = (−5)2 + 3 = 28 (b) Jika x = 1 maka x2 + 3 = 12 + 3 = 4


17

Tutur Widodo


II. Soal Uraian Carilah penyelesaian dari

Jawaban :

Misal,

√ p p √ √ √ 3 − 5 + 3 + 5 = 10 x+2−2 x+1

5 3 atau − 4 4

p p √ √ 3 − 5 + 3 + 5 = t maka diperoleh, q q √ √ 2 t = 3− 5+ 3+ 5 q √ √ √ √ = 3 − 5 + 3 + 5 + 2 (3 − 5)(3 + 5) √ =6+2 9−5 2

=6+4 = 10 1

t = 10 2 sehingga diperoleh, menjadi,

p p √ √ 1 3 − 5 + 3 + 5 = 10 2 . Oleh karena itu persamaan pada soal √ √ 10 = 10 x+2−2 x+1 1 2

⇔ ⇔ ⇔

q √ 1 = x+2−2 x+1 2 q √ 1 = ( x + 1 − 1)2 2 1 √ = x + 1 − 1 2

sehingga didapat, √

1 2 √ 3 x+1= 2 9 x+1= 4 5 x= 4

x+1−1=

atau atau atau atau

√ 1 x+1−1=− 2 √ 1 x+1= 2 1 x+1= 4 3 x=− 4

Keterangan : Soal uraian nilainya akan diperhitungkan hanya untuk peserta 5 besar nasional. Jika tidak ada perolehan nilai yang sama pada 5 besar nasional maka skor peserta hanya dilihat berdasarkan soal pilihan ganda.

Disusun oleh : Tutur Widodo Apabila ada saran, kritik maupun masukan silakan kirim via email ke [email protected] Terima kasih. My blog : http://mathematic-room.blogspot.com


18

Pembahasan Soal Final Kompetisi Matematika Pasiad ( KMP ) VIII Tahun 2012 Tingkat SMP

Recommend Documents