PEMBAHASAN SOAL BABAK FINAL KMP PASIAD VIII TINGKAT SMP DISUSUN : SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)

PEMBAHASAN SOAL BABAK FINAL KMP PASIAD VIII TINGKAT SMP DISUSUN : SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) PEMBAHASAN SOAL BABAK FINAL TINGKAT SMP KOMPETISI MATEMATIKA PASIAD SE-INDONESIA VIII 19 Pebruari 2012 I.

SOAL PILIHAN GANDA

Untuk menjawab soal pilihan ganda memang terkadang perlu strategi sederhana misalnya Trial and Error (coba-coba). Sebagai contoh subtitusikan pilihan(option) yang ada ke dalam variabel persamaan yang diketahui. Strategi ini sering kali cukup jitu untuk menghemat waktu pengerjaan. Strategi semacam ini penulis serahkan pada pembaca untuk mencoba dan memikirkannya. Kali ini penulis mencoba menyelesaikan soal secara uraian berdasarkan teori matematika sederhana yang sudah dikuasai siswa SMP khususnya siswa yang menekuni olimpiade matematika. 1.

Terdapat berapa banyak solusikah untuk persamaan A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 SOLUSI : x

x

2 .2 x = 4 ?

2 .2 x = 4 1 x

2 .2 x = 2 2 2 2

1 +x x 1+ x 2 x

= 22 = 22

Sehingga

1+ x2 =2 x x2 +1 = 2x x2 − 2x +1 = 0 ( x − 1) 2 = 0 x1, 2 = 1 Jadi ada 1 solusi untuk x Jawaban : C 2.

Jika k adalah sebuah bilangan bulat ganjil, maka bentuk sederhana dari 2k . 7k .(– 2)–k adalah …. A. 14k B. 7–k C. 7k D. (–7)k SOLUSI : 2k . 7k .(– 2)–k = 2k .(– 2)–k. 7k , Untuk k bilangan ganjil maka 2k . 7k .(– 2)–k = 2k .(–1)( 2–k). 7k 2k . 7k .(– 2)–k = 2k . ( 2–k) . (–1). 7k 2k . 7k .(– 2)–k = 2k+(-k). (–1). 7k 2k . 7k .(– 2)–k = 20. (–1). 7k 2k . 7k .(– 2)–k = (–1). 7k = (–7k) Jawaban : D

http://olimatik.blogspot.com e-mail: [email protected]

HAL 1

PEMBAHASAN SOAL BABAK FINAL KMP PASIAD VIII TINGKAT SMP DISUSUN : SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) x

3.

Jika A. B. C.

2   = 3,5 , maka nilai dari x adalah …. 7 1 − 2 1 2 3 2 1

D. SOLUSI : x

2   = 3,5 7 1

x

2  7 2   =  7 2 x

2 2   =  7 7 1 x=− 2

−

1 2

Jawaban : A 4.

Jika x dan y adalah bilangan bulat maka nilai dari x . y adalah ….

A. 90 B. 56 C. 72 D. 42 SOLUSI : Dengan menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-sik, diperoleh: x2 –y2 =

( 17 )

2

x2 –y2 =17 (x + y)(x – y) = 17 . 1 Karena 17 dan 1 relatif prima, maka: x + y = 17 x-y=1+ 2x = 18 x=9 sehingga y = 8 Nilai x . y = 9 . 8 = 72 Jawaban : C


HAL 2

PEMBAHASAN SOAL BABAK FINAL KMP PASIAD VIII TINGKAT SMP DISUSUN : SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) 5.

Jika diketahui a = 5 + 2 , b = 6 + 1, c = 2 + 3. Maka urutan yang benar dari a, b, dan c adalah …. A. a < b < c B. c < b < a C. b < a < c D. a < c < b SOLUSI :

a = 5 + 2 , b = 6 + 1, c = 2 + 3.

a 2 = 5 + 2 + 2 10 = 7 + 2 10 b2 = 6 +1+ 2 6 = 7 + 2 6 c 2 = 4 + 3 + 4 3 = 7 + 4 3 = 7 + 2 12 b2 < a2 , maka b < a b2 < c2 , maka b < c a2 < c2 , maka a < c Jadi Urutan yang benar adalah b < a < c Jawaban : C 6.

Bentuk sederhana dari

(2 − 5 )

2

adalah ….

2− 5 B. 2 + 5 C. 5 −2 D. 4 − 5

A.

SOLUSI :

(2 − 5 )

2

Karena

= 2− 5

5 > 2 maka 2 − 5 < 0 (negatip), sehingga

2 − 5 = −(2 − 5 ) = 5 − 2 Jawaban : C 7.

Berapa banyak segitiga dalam gambar di samping A. 35 B. 154 C. 73 D. 220

SOLUSI : Gambar soal kita ralat sbb:

Ada 2 kasus :


HAL 3

PEMBAHASAN SOAL BABAK FINAL KMP PASIAD VIII TINGKAT SMP DISUSUN : SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) Kasus 1: Titik B dihubungkan dengan dua titik pada sisi AG, AH,AI, AJ, AK, AL dan AC. Banyaknya titik pada masing-masing sisi tersebut ada 5 Banyaknya segitiga yang ada = 5C2 x 7 = 70 Kasus 2 : Titik A dihubungkan dengan dua titik pada sisi BD , BE, BF, dan BC, tetapi tidak termasuk titik B sebab sudah terhitung pada kasus 1. Banyaknya segitiga yang ada = 7C2 x 4 = 84 Total banyaknya segitiga = 70 + 84 = 154 Jawaban : B.154 8.

Berapakah jumlah digit dari 12510 . 328 . 1505 A. 31 B. 44 C. 48 D. 58 SOLUSI : 12510 . 328 . 1505 = (53)10 . (25)8 . (3.5.10)5 12510 . 328 . 1505 = 530 . 240 . 35.55.105 12510 . 328 . 1505 = 535 . 235 . 25 . 35.105 12510 . 328 . 1505 = 1035 . 65.105 12510 . 328 . 1505 = 65.1040 = 7776 . 1040 Yang dimaksud jumlah digit pada soal ini adalah banyaknya digit yaitu 4 + 40 = 44 Jawaban : B

9.

Seekor semut berjalan menyusuri rangka sebuah bangun seperti dalam gambar dari titik A menuju B. Ada berapa banyak jalan berbeda yang dapat dilalui oleh semut tersebut? ( Jalur yang dipilih merupakan lintasan tersingkat) A. 48 B. 90 C. 60 D. 180

SOLUSI : Banyaknya langkah tepat ada 6 yaitu 2 langkah ke kanan, 2 langkah ke dalam, dan 2 langkah ke atas. Alternatif 1 : Misalkan langkah ke kanan diberi kode 1, langkah ke dalam diberi kode 2, dan langkah ke atas diberi kode 3. Maka banyaknya cara melangkah sama dengan banyaknya susunan 112233 Banyaknya cara =

6! = 90 2!.2!.2!

Alternatif 2 : Semut akan melangkah dua kali ke kanan diantara 6 langkah. Banyaknya cara = 6C2 = 15 Semut akan melangkah dua kali ke dalam diantara 4 langkah sisa. Banyaknya cara = 4 C2 = 6 Banyaknya cara seluruhnya = 15 x 6 = 90 Jawaban : B


HAL 4

PEMBAHASAN SOAL BABAK FINAL KMP PASIAD VIII TINGKAT SMP DISUSUN : SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) 10. Jika diketahui x − 4 + A. B. C. D.

y + 2 + ( z + 1) 2 = 0 , maka nilai x + y + z adalah ….

–2 –1 1 2

SOLUSI :

x − 4 + y + 2 + ( z + 1) 2 = 0 terjadi jika x − 4 = 0 ⇒ x − 4 = 0 ⇔ x = 4 , dan y + 2 = 0 ⇒ y + 2 = 0 ⇔ y = −2 , serta

( z + 1) 2 = 0 ⇒ z + 1 = 0 ⇔ z = −1 Jadi x + y + z = 4 +(-2)+(-1) = 1 Jawaban : C 11. m dan n adalah dua bilangan bulat positip sedemikian sehingga m + n + m.n = 24. Berapakah nilai m+n? A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 SOLUSI : m + n + m.n = 24 (m+ 1)(n + 1) – 1 = 24 (m+ 1)(n + 1) = 25 = 25 . 1 = 5 . 5 Kasus 1 : (m+ 1)(n + 1) = 25 . 1, sehingga didapatkan m = 24, n = 0 (bukan bilangan bulat positip) Kasus 2 : (m+ 1)(n + 1) = 5 . 5,sehingga didapatkan m = 4, n = 4, dan m + n = 8 Jawaban : B 12. Sebuah angka 6 digit cdbcda dapat dibagi dengan 11. Jika a + b = 10, maka nilai a . b adalah …. A. 30 B. 25 C. 15 D. 10 SOLUSI : cdbcda dapat dibagi 11 sehingga (c + b + d) – (d + c + a) = 11k, dengan k bilangan bulat c + b + d – d – c – a = 11k b – a = 11k ⇔ b=11k + a Padahal a + b = 10 sehingga a + (11k + a) = 10 2a = 10 – 11k

a=

10 − 11k 2

Karena a merupakan digit maka nilai k yang memenuhi adalah 0 sehingga a = 5 Selanjutnya diperoleh b = 5 Nilai a . b = 5 . 5 = 25 Jawaban : B


HAL 5

PEMBAHASAN SOAL BABAK FINAL KMP PASIAD VIII TINGKAT SMP DISUSUN : SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) 13. Ada berapa kemungkinan bilangan asli n, sehingga A. B. C. D.

4 3 2 5

3n + 21 adalah bilangan asli. n+3

SOLUSI :

3n + 21 12 =3+ n+3 n+3

Agar merupakan bilangan asli maka n + 3 harus merupakan faktor dari 12 yaitu 1, 2, 3, 4, 6, 12, sehingga kemungkinannya: n + 3 = 1, atau n = –2 (bukan bilangan asli) n + 3 = 2, atau n = –1 (bukan bilangan asli) n + 3 = 3, atau n = 0 (bukan bilangan asli) n + 3 = 4, atau n = 1 n + 3 = 6, atau n = 3 n + 3 = 12, atau n = 9 Jadi ada 3 kemungkinan bilangan asli n yang memenuhi Jawaban : B 14. Misalkan a dan b adalah digit-digit pada bilangan ab dan ba, sehingga ab – ba = 72. Maka berapakah nilai dari a2 + b2 A. 52 B. 72 C. 82 D. 62 SOLUSI : Misalkan digit bilangan ditulis [ab]=10a + b, dan [ba] = 10b + a [ab] – [ba] = 72 10a + b – (10b + a) = 72 9a – 9b = 72 a–b=8 Karena a dan b digit maka diperoleh a=9, dan b = 1, sehingga a2 + b2 = 81 + 1 = 82 atau a = 8, dan b = 0,sehingga a2 + b2 = 64 + 0 = 64 Jawaban : C 15. Diberikan x = 0,53 dan y = 0,254 2

2

 1  1  x +  −  x −  = ? y  y  A. 128 B. 120 C. 108 D. 64 SOLUSI :

3

4

1 1 1 1 x = 0,5 =   = dan y = 0,254 =   = 256 2 8 4 3

 1  1  1 1  1  1   x +  −  x −  =  x + + x −  x + −  x −   y  y  y y  y  y   2

2


HAL 6

PEMBAHASAN SOAL BABAK FINAL KMP PASIAD VIII TINGKAT SMP DISUSUN : SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)

2

2

2

2

2  1  1 1  x +  −  x −  = (2 x )  = 2  y  y 2  y 

 1  1  x +  −  x −  y  y  Jawaban : A

3

     2  4     1    4    

     1  2   1  = 2  =  (512) = 128  8   1    4      256  

16. Diketahui x2 – 2x – 2 = 0, maka berapakah nilai dari x 2 + A. 6 B. 8 C. 10 D. 14 SOLUSI : x2 – 2x – 2 = 0 (x – 1)2 – 3 = 0 (x – 1)2 = 3

4 ? x2

x – 1 =± 3 x1,2 = 1 ± 3 (x1)2 = 1 + 3 + 2 3 = 4 + 2 3 (x2)2 = 1 + 3 – 2 3 = 4 – 2 3 Untuk x = x1 maka

x2 +

4 4 = 4+ 2 3 + 2 x 4+2 3

4 4 4−2 3 = 4+ 2 3 + × 2 x 4+2 3 4−2 3 4 4( 4 − 2 3 ) x2 + 2 = 4 + 2 3 + x 16 − 12 4 x2 + 2 = 4 + 2 3 + 4 − 2 3 = 8 x x2 +

Silahkan diperiksa Untuk x = x2 dihasilkan nilai yang sama Jawaban : B 17. Berapakah sisa pembagian 50 + 51 + 52 + 53 + … + 52012 dibagi 125 A. 29 B. 30 C. 61 D. 31 SOLUSI : 50 + 51 + 52 + (53 + … + 52012)= 1 + 5 + 25 + 53(1 + 5 + 52 + …+52009) 50 + 51 + 52 + (53 + … + 52012)= 31 + 125(1 + 5 + 52 + …+52009) Artinya sisa pembagiannya adalah 31 Jawaban : D


HAL 7

PEMBAHASAN SOAL BABAK FINAL KMP PASIAD VIII TINGKAT SMP DISUSUN : SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) 18. Apakah digit terakhir dari bilangan (1! + 2! + 3! + …+2012!)2012 ? A. 1 B. 3 C. 7 D. 9

SOLUSI : (1! + 2! + 3! + …+2012!)2012 =(1 + 2 + 6 + 24 + …0+….0+….)2012 =(…..33)2012 Tinggal kita cari digit terakhir dari 32012 sbb: 32012 ≡ (34)503(mod10) 32012 ≡ 81503(mod10) 32012 ≡ 1503(mod10) 32012 ≡ 1(mod10) Jadi digit terakhir dari (1! + 2! + 3! + …+2012!)2012 adalah 1 Jawaban : A 19. Misalkan a, b, c, dan d adalah anggota bilangan bulat positip. Jika a dibagi b menghasilkan 15 sisa 7, b dibagi 6 menghasilkan c sisa 3, dan a dibagi 18 menghasilkan d sisa x. berapakah nilai x? A. 13 B. 14 C. 16 D. 15 SOLUSI : a dibagi b menghasilkan 15 sisa 7, artinya a = 15b + 7………..(1) b dibagi 6 menghasilkan c sisa 3, artinya b = 6c + 3.………...(2) dari (1) dan (2) diperoleh : a = 15(6c + 3) + 7 a = 90c + 45 + 7 a = 18(5c) + 52 a = 18 (5c + 36) + 16 misalkan 5c + 36 = d, maka a = 18d + 16 artinya a dibagi 18 menghasilkan d sisa x = 16 Jawaban : C 20. Sederhanakan 1 − 3 x − x − 1 untuk x < 0 A. –2x B. 2x C. x D. –x SOLUSI : untuk x < 0, maka

1 − 3x − x − 1 = 1 − 3x − (− ( x − 1) = 1 − 3x + x − 1 = − 2x Jawaban : A

= −2 x


HAL 8

PEMBAHASAN SOAL BABAK FINAL KMP PASIAD VIII TINGKAT SMP DISUSUN : SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) 21. Ada berapa bilangan asli kurang dari 579 yang habis dibagi 3 atau 5 A. 270 B. 269 C. 280 D. 240

SOLUSI : Bilangan asli kurang dari 579 yang habis dibagi 3 saja: 3, 6, 9, …,576 Un = 576 a + (n – 1)b = 576 3 + (n – 1)3 =576 3 + 3n – 3 = 576 3n = 576 n = 192 Bilangan asli kurang dari 579 , yang habis dibagi 5 saja: 5, 10, 15, …,575 Un = 575 a + (n – 1)b = 575 5 + (n – 1)5 =575 5 + 5n – 5 = 575 5n = 575 n = 115 Bilangan asli kurang dari 579 yang habis dibagi 3 dan 5 : 15, 30, 45, …,575 Un = 575 a + (n – 1)b = 575 15 + (n – 1)15 =575 15 + 15n – 15 = 575 15n = 575 n = 38 Jadi bilangan asli kurang dari 579 yang habis dibagi 3 atau 5 adalah 192 + 115 – 38 = 269 Jawaban : B 22. Berapakah nilai maksimum dari A. B. C. D.

8 ? x−2 + x+6

4 3 2 1

SOLUSI : Agar

8 x−2 + x+6

x−2 + x+6 bernilai maksimum maka

x − 2 + x + 6 = 8. Jadi nilai maksimum

harus minimum. Dipenuhi untuk

8 8 = =1 x−2 + x+6 8

Jawaban : D


HAL 9

PEMBAHASAN SOAL BABAK FINAL KMP PASIAD VIII TINGKAT SMP DISUSUN : SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) 23. Sederhanakan − a + a + − a , jika a < 0 A. B. C. D.

2a –2a –3a 3a

SOLUSI : Perlu diingat bahwa nilai mutlak hasilnya selalu positip, sehingga untuk a < 0 diperoleh

− a + a + − a = −a + (−a ) + (−a) = −3a Jawaban : C 50 24. Misalkan A = 999 12... 39 , dan A = 10 − 1 , carilah m ? m

A. 50 B. 49 C. 51 D. 40 SOLUSI : Perhatikan pola berikut : 102 –1 = 99 103 –1 = 999 104 –1 = 9999 ……………….. 1050 –1 = 999 12... 39 50 digit

Jadi nilai m =50 Jawaban : A 25. Misalkan a2 – 12 a – b + 41 = 0, dengan a, b ∈ Z. Berapakah nilai a untuk b yang paling minimum ? A. 5 B. 6 C. 7 D. 4 SOLUSI : a2 – 12 a – b + 41 = 0 a2–12a + 36 +5 –b = 0 (a–6)2 = b–5

a−6 = ± b−5

Untuk a, b ∈ Z, maka b minimum jika b–5=0, atau b = 5 Sehingga diperoleh a − 6 = 0 , atau a = 6 Jawaban : B 26. Berapakah nilai x + y, jika diketahui x2 + y2 – 4x + 10y + 29 = 0 ? A. –2 B. –1 C. –3 D. 1 SOLUSI : x2 + y2 – 4x + 10y + 29 = 0 ( x – 2)2 + (y + 5)2 = 0 Karena ( x – 2)2 > 0, dan (y + 5)2> 0 maka x – 2 = 0 , diperoleh x = 2, dan


HAL 10

PEMBAHASAN SOAL BABAK FINAL KMP PASIAD VIII TINGKAT SMP DISUSUN : SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) y + 5 = 0, diperoleh y = - 5 Nilai x + y = 2 + (-5) = -3 Jawaban : C 27. Berapakah sisa pembagian bilangan 1.2.3…..2012 – 1 dibagi dengan 100101 ? A. 99 B. 101 C. 10001 D. 10099 SOLUSI :

Perhatikan bahwa 100101 = 3.61.547 artinya, 100101 membagi habis (1.2.3…61…547...2012) = 2012! . Sehingga jika 2012!–1 dibagi 100101 bersisa 100101–1 = 100100 Tidak ada jawaban yang memenuhi 28. Diketahui a dan b adalah digit-digit pada bilangan dua digit ab dan ba, sehingga (ab)2 – (ba)2 = 1089. Berapakah nilai dari a2 + b2 ? A. 11 B. 35 C. 61 D. 83 SOLUSI : (ab)2 – (ba)2 = 1089 Artinya: (10a + b)2 – (10b + a)2 = 1089 100a2 + 20ab + b2 – (100b2 + 20ab + a2) = 1089 100(a2 – b2) – (a2 – b2) = 1089 99(a2 – b2) = 1089 (a2 – b2) = 11 (a + b)(a – b) = 11 . 1 Karena 11 dan 1 relatif prima, maka selanjutnya kita cari a dan b sbb: a + b = 11 a–b=1+ 2a = 12 a=6 sehingga diperoleh b = 5 Jadi a2+ b2 = 36 + 25 = 61 Jawaban : C 29. Hitunglah ( 1 + 3 + 5 + … + 307) – (2 + 4 + 6 + … + 306) ? A. –154 B. –153 C. 153 D. 154 SOLUSI : Sebenarnya soal ini bisa diselesaikan langsung menggunakan rumus deret aritmetika, namun penulis ingin menyajikan menggunakan alternatif lain sbb: ( 1 + 3 + 5 + … + 307) – (2 + 4 + 6 + … + 306) = ( 1 + 2 + 3 + … + 307 – (2 + 4 + 6 + … + 306)) – (2 + 4 + 6 + … + 306) = ( 1 + 2 + 3 + … + 307) – 2(2 + 4 + 6 + … + 306)= ( 1 + 2 + 3 + … + 307) – 2.2(1 + 2 + 3 + … + 153)= ( 1 + 2 + 3 + … + 307) – 4(1 + 2 + 3 + … + 153)=


HAL 11

PEMBAHASAN SOAL BABAK FINAL KMP PASIAD VIII TINGKAT SMP DISUSUN : SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) ½ (307)(307+1) – 4(½ (153)(153+1)) = 154 (307) –153(308)= (153 + 1)(307)–153(307+1) = 307 – 153 = 154 Perhatikan bahwa : (a + 1)b – a(b + 1) = ab + b – ab – a = b – a Jawaban : D

30. Berapakah sisa pembagian 1 474747 ...47 dibagi 9 ? 4243 108 digit

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 SOLUSI :

474747 ...47 1 4243

4 +4 74 + 44+4 74 +2 4 +474 +4 ... +444 +37 1

108 digit

108 digit

memiliki jumlah digit Karena jumlah digitnya bisa dibagi 9 maka

= 54(4+7) = 9x6x11

474747 ...47 1 4243 108 digit

juga bisa dibagi 9. Jadi bersisa 0 Jawaban : A 31. Diketahui a, b, dan c adalah bilangan bulat yang memenuhi -5 < a < 3, - 8 < b < 1, dan b2 – 2a + 3c = 6. Berapakah nilai c terkecil yang mungkin ? A. –7 B. –12 C. –17 D. –19 SOLUSI : b2 – 2a + 3c = 6 3c = 6 – (b2 – 2a)

6 − (b 2 − 2a) 3 (b 2 − 2a ) c = 2− 3 c=

Agar c terkecil, maka b2 – 2a = 3k dan harus maksimum. Dipenuhi untuk b = –7 dan a = –4, sehingga b2 – 4ac = 49+8=57 = 3 . 19 Jadi nilai terkecil c = 2 −

(b 2 − 2 a ) 57 = 2− = 2 − 19 = −17 3 3

Jawaban : C

 

32. Berapakah nilai 1 −

1  1  1   1  1  1 − 2 1 − 2 ...1 − 2 1 − 2  ? 2  2  3  4   19  20 

1 20 21 B. 40 21 C. 2 21 D. 20 A.


HAL 12

PEMBAHASAN SOAL BABAK FINAL KMP PASIAD VIII TINGKAT SMP DISUSUN : SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) SOLUSI :

1  1  1   1  1   1 − 2 1 − 2 1 − 2 ...1 − 2 1 − 2  =  2  3  4   19  20  1  1  1  1   1  1  1  1  1  1   1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − ...1 + 1 − 1 + 1 −  =  2  2  3  3  4  4   19  19  20  20   3  1  4  2  5  3   20  18  21  19        ...     =  2  2  3  3  4  4   19  19  20  20 

 3  4  5   20  21    1  2  3   18  19   2  3  4 ... 19  20    2  3  4 ... 19  20  =                 21  1   21     =    2  20   40 

Jawaban : B

33. Urutkan bilangan bulat positip a, b, dan c, jika

1 1 1 . > > a+b b+c a +c

A. a>b>c B. a>c>b C. c>a>b D. b>a>c SOLUSI : Ambil contoh : a = 2, b = 1, dan c = 3 sehingga c > a > b

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? = ? ? = > > a + b b + c a + c 2 +1 1+ 3 2 + 3 3 4 5

Jawaban : C

34. Diketahui x,y, dan z adalah bilangan bulat positip yang memenuhi 3x + 2y + 5z = 37. Berapakah nilai y terbesar yang mungkin ? A. 29 B. 14,5 C. 14 D. 13 SOLUSI : 3x + 2y + 5z = 37 2y = 37 – 3x – 5z

y=

37 − (3 x + 5 z ) 2

Nilai y terbesar jika x dan z minimum. Untuk x = z = 1, diperoleh y = 14,5 (bukan bilangan bulat) Untuk x = 2, dan z = 1 diperoleh y terbesar yaitu 13 Jawaban : D 35. Berapakah nilai dari a2 + b2 + c2, jika a + b = c + 6 dan ab – ac = bc – 1 ? A. 40 B. 38 C. 36 D. 34 SOLUSI : a + b = c + 6⇔ a + b – c = 6 ab – ac = bc – 1 ⇔ ab – ac – bc = –1 (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – bc – ac)


HAL 13

PEMBAHASAN SOAL BABAK FINAL KMP PASIAD VIII TINGKAT SMP DISUSUN : SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) 62 = a2 + b2 + c2 + 2(–1) a2 + b2 + c2 = 36 + 2 = 38 Jawaban : B 36. Misalkan x = 0,02468101214…100102104 Angka-angka di belakang koma pada bilangan desimal x tersusun dari bilangan bulat genap dari 0 hingga 104. Maka, berapakah angka ke-101 di belakang koma? A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 SOLUSI : 0,2,4,6,8, ada 5 digit 10,12,14,…,98, total ada 2x5x9 = 90 digit Digit berikutnya 100,102 total ada 6 digit 5 + 90 + 6 = 101 digit Jadi digit ke-101 adalah 2 Jawaban : C 37. Manakah yang merupakah faktor dari x2 – y2 – 6x – 8y – 7 ? A. x + y + 1 B. x – y – 5 C. x – y – 1 D. x + y + 7 SOLUSI : x2 – y2 – 6x – 8y – 7 = (x2 – 6x + 9) – (y2 + 8y + 16) x2 – y2 – 6x – 8y – 7 = (x–3)2 – (y + 4)2 x2 – y2 – 6x – 8y – 7 = (x–3 + y + 4) (x– 3 – y – 4) x2 – y2 – 6x – 8y – 7 = (x + y + 1) (x – y – 7) Salah satu faktornya adalah x + y + 1 Jawaban : A 38. Berapakah angka terakhir pada bilangan 20122012 ? A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 SOLUSI : 20122012 ≡ (201x10+2)2012(mod10) 20122012 ≡ 22012(mod10) 20122012 ≡ (25)402.22(mod10) 20122012 ≡ (2)402.22(mod10) 20122012 ≡ (2)404(mod10) 20122012 ≡ (25)80.24(mod10) 20122012 ≡ (2)84(mod10) 20122012 ≡ (25)16.24(mod10) 20122012 ≡ 220(mod10) 20122012 ≡ (25)4(mod10) 20122012 ≡ 24(mod10) 20122012 ≡ 16(mod10) 20122012 ≡ 6(mod10) Jadi angka terakhirnya adalah 6


HAL 14

PEMBAHASAN SOAL BABAK FINAL KMP PASIAD VIII TINGKAT SMP DISUSUN : SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) Solusi Alternatif Pola :21= 2, 22 =4, 23 = 8, 2 4 =..6, 25 =…2, 26 = …4,… (berulang setiap 4 kali) 2012 : 4 = 503 sisa 0, Angka terakhir bisa dihitung dari 24= 16 Jawaban: B 39. Diketahui m dan n adalah bilangan bulat positip, dan m + n + mn = 34. Berapakah nilai dari m + n ? A. 6 B. 8 C. 10 D. 34 SOLUSI : m + n + mn = 34 (m + 1)(n + 1) – 1= 34 (m + 1)(n + 1) = 35= 35 . 1 = 7 . 5 Kasus 1: m + 1 = 35 ⇔ m = 34, sedangkan n + 1 = 1 ⇔ n = 0 (bukan bilangan bulat positip) Kasus 2: m + 1 = 7 ⇔ m = 6, sedangkan n + 1 = 5 ⇔ n = 4 Jadi m + n = 6 + 4 = 10 Jawaban : C 40. Umur ayah sekarang adalah 60 tahun. Ketika umur ayah seumuran umurku, umurku setengah dari umurku sekarang. Berapakah umurku sekarang ? A. 45 B. 40 C. 35 D. 30 SOLUSI : Diketahui umur ayah sekarang 60 tahun Misal umur anak sekarang = x “Ketika umur ayah seumuran umurku, umurku setengah dari umurku sekarang” Artinya umur ayah k tahun lalu sama dengan setengah umur anak sekarang. Juga tersirat bahwa k = x . Jika ditulis dalam persamaan: 60 – k = ½ x 60 – x = ½ x

3 x = 60 2 x = 40

Jadi, umurku (anak) sekarang adalah 40 tahun Jawaban : B 41. Misalkan a, b, dan c adalah angka-angka pada sebuah bilangan kuadrat tiga angka abc. Jika satuan dan puluhan pada bilangan tersebut dinaikkan berturut-turut 1 dan 3, juga akan menghasilkan bilangan kuadrat. Maka, berapakah nilai a + b + c ? A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 SOLUSI : Pertama kita tulis bilangan 3 digit abc dengan[abc] Karena merupakan bilangan kuadrat maka [abc]=m2, artinya 100a + 10b + c = m2


HAL 15

PEMBAHASAN SOAL BABAK FINAL KMP PASIAD VIII TINGKAT SMP DISUSUN : SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) Selanjutnya diketahui [(a)(b+3)(c+1)] = n2, artinya 100a + 10(b + 3) + (c + 1) = n2 100a + 10b + 30 + c + 1 = n2 100a + 10b + c + 31 = n2 n2 – m2 = 31 (n + m)(n – m) = 31 . 1 Karena 31 dan 1 relatif prima maka n dan m dapat dicari sbb n + m = 31 n–m=12m = 30 m = 15 Jadi 100a + 10b + c = m2 = 152 = 225 Diperoleh a = 2, b = 2, dan c = 5 Jadi nilai a + b + c = 2 + 2 + 5 = 9 Jawaban : A 42. Diberikan (2a – 3)2 +( b + 2)2 + 1,5 = A. B. C. D.

3 . Carilah nilai 4a – b ? 4

6 8 12 16

SOLUSI : (2a – 3)2 + (b + 2)2 + 1,5 = (2a – 3)2 + (b + 2)2 +

3 4

3 3 = 2 2

(2a – 3)2 + (b + 2)2 = 0 2a – 3 = 0 dan b + 2 = 0 a =1,5 dan b = – 2 Jadi nilai 4a – b = 4(1,5) – (–2) =8 Jawaban : B 43. Diketahui persamaan 2x2 + (x + 1)2 = 1. Carilah

x − 5?

A. − 32 + ( −4) 2 B. − 5 ( −4) 2 − 32 C. 32 + 4 2 D. 1 SOLUSI : 2x2 + (x + 1)2 = 1 2x2 + x2 + 2x + 1 = 1 3x2 + 2x = 0 x(3x + 2) = 0 x = 0 atau x = −

2 3

x − 5 dipenuhi hanya untuk x = 0 sehingga x − 5 = 0 − 5 = −5

Jawaban : A


HAL 16

PEMBAHASAN SOAL BABAK FINAL KMP PASIAD VIII TINGKAT SMP DISUSUN : SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) 44. Sebuah mobil angkutan antar kota biasa menempuh perjalanan dari kota A ke kota B dengan kecepatan 70 km/jam. Namun pada suatu ketika mobil itu mengalami kerusakan sehingga harus menurunkan kecepatan 50 km/jam tepat di tengah perjalanan, sehingga sampai ke kota B terlambat 3 jam dari waktu biasanya. Berapakah jarak dari kota A ke kota B? A. 525 km B. 775 km C. 850 km D. 1050 km SOLUSI :

S(A-C) + S(C-B)=S

t t 70( ) + 50( + 3) = 70t 2 2 35t + 25t + 150 = 70t 10t = 150 t = 15

S = 70t = 70 x 15 = 1050 Jadi jarak kota A ke kota B adalah 1050 km Jawaban : D 45. Misalkan A = 6 11 + 57 .6 11 − 57 , maka carilah nilai A2 + 5 ? A. 1 B. 4 C. 9 D. 16 SOLUSI :

A = 6 11 + 57 .6 11 − 57

A = 6 (11 + 57) (11 − 57 ) A = 6 121 − 57 A = 6 64 = 2

A2 + 5 = 22 + 5 = 4 + 5 = 9 Jawaban : C 46. Sederhanakan A.

6

(1 + a)3 1 + a 3 3 . ? −1 3a 9 + 18a + 9a −2

a

6

a 3 6 a C. 4 6 a D. 3 9 B.


HAL 17


SOLUSI :

 1 (1 + a )3 1 + a 3 3  (1 + a ) (1 + a ) . = 3a 3a 9 + 18a −1 + 9a −2    (1 + a ) =  3a 

4 3

   

1 2

1 3

   

1 2

  3   32 (1 + 2 + 12 a a 

1

1 2

    

1 3

2

  1 2  2   −3  3  3  −  − 12        3 3 2 2   3 (1 + a )  3 (1 + a)  3   1 + a   1    =  1 1 =  =  1 1    1 2 2 1 3  2 2  1+ a   2  1 3    (1 + 1 ) 2  2 2  3 a   (1 + )   (1 + )   3 a   3a  a    a  a  a   

Jadi : − 3 1 1 6 6a (1 + a)3 1 + a 3 3 2  = . a =  3  3 a = 3 9 + 18a −1 + 9a −2 3a 2 1

1

Jawaban : B 47. Diberikan sistem persamaan berikut :

x+ y=6

x 2 + y 2 = 40 + 12 2 Carilah nilai x – y ? A. 2 11 + 6 2 B. 2 11 − 6 2 C. 2 2 D. 2 SOLUSI :

Diketahui x + y = 6 Jika kedua ruas dikuadratkan diperoleh

( x + y ) 2 = 36 ⇔ x 2 + y 2 + 2 xy = 36 ⇔ 2 xy = 36 − ( x 2 + y 2 ) Selanjutnya perhatikan bahwa (x – y )2 =x2 + y2 – 2xy Subtitusikan 2xy diperoleh (x – y )2 =x2 + y2 – ( 36 − ( x 2 + y 2 ) ) (x – y )2 =2(x2 + y2) – 36 Subtitusikan x2 + y2 yang diketahui pada soal diperoleh (x – y )2 =2( 40 + 12 2 ) – 36 (x – y )2 = 80 + 24 2 – 36 (x – y )2 = 44 + 24 2 (x – y )2 = 4(11 + 6 2 ) Jadi nilai x – y = ± 4(11 + 6 2 ) x – y = ± 2 11 + 6 2 Jawaban : A 48. Perhatikan gambar di samping.


HAL 18

PEMBAHASAN SOAL BABAK FINAL KMP PASIAD VIII TINGKAT SMP DISUSUN : SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) Diketahui BE = CE = DE, m∠ADB = 100 , dan m∠BAC = 500. maka berapakah besar sudut ACE ? A. 10 B. 15 C. 30 D. 45 SOLUSI : Dari kondisi soal misalkan BE = CE = DE= r,atau BD=2r dan mengingat sifat besar sudut keliling yang menghadap diameter = 900 , maka dapat digambar segiempat talibusur ABCD sebagai berikut:

Pada Segitiga ABD ditemukan ∠ ABD = 1800 – (90+10)0 = 800 Pada segitiga AHB ditemukan ∠ AHB = 1800 – (50 + 80)0 = 500 ∠ EHC = ∠ AHB = 500 (bertolak belakang) ∠ BEC = 2. ∠ BAC = 2 . 500 = 1000 (hubungan sudut pusat dan sudut keliling) Pada segitiga HEC ditemukan ∠ HCE = 1800 – (100 + 50)0 = 300 Jadi ∠ ACE = ∠ HCE = 300 Jawaban : C 49. Misalkan x − 4 − x − 2 x = 4, berapakah nilai ( x − 1) 3 ? A. 9 B. 4 C. 1 D. –1 SOLUSI :

x − 4 − x − 2x = 4 x − 4 − x = 4 + 2x Kedua ruas dikuadratkan diperoleh :

( x − 4 − x ) 2 = 16 + 16 x + 4 x 2 x 2 − 2 x 4 − x + (4 − x) 2 = 16 + 16 x + 4 x 2 x 2 − 2 x 4 − x + 16 − 2 x + x 2 = 16 + 16 x + 4 x 2 − 2 x 4 − x = 16 + 16 x + 2 x + 4 x 2 − 2 x 2 − 16 − 2 x 4 − x = 16 x + 4 x 2 − 2 x 4 − x = 4(4 x + x 2 ) − x 4 − x = 2(4 x + x 2 ) Kedua ruas dikuadratkan diperoleh : x2(4 – x )2 = 4(16x2 +8x3 + x4) x2(16 – 8x + x2) = 64x2 + 32 x3 + 4x4


HAL 19

PEMBAHASAN SOAL BABAK FINAL KMP PASIAD VIII TINGKAT SMP DISUSUN : SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) 16x2 – 8x3 + x4 =64x2 + 32 x3 + 4x4 3x4 + 40x3 + 48x2 = 0 x2(3x2 + 40x + 48) = 0 x2 (3x+4)(x+12) = 0 x = 0 atau x =

−

4 3 , atau x = –12

( x − 1) 3 dipenuhi untuk x = 0 sehingga ( x − 1) 3 = ( −1) 3 = −1

Nilai Jawaban : D 50. Diketahui A. 3 B. 4

1 1 14 + 2 = . Berapakah nilai x2 + 3 ? x + 4 x x + 4 x + 4 45 2

13 4 76 D. 25

C.

SOLUSI :

1 1 14 = . + 2 x + 4 x x + 4 x + 4 45 2

Misalkan y = x2 + 4x, maka :

1 1 14 + = . y y + 4 45 y+4 y 14 + = . y ( y + 4) y ( y + 4) 45 2 y + 4 14 = . y ( y + 4) 45 90y + 180 = 14y2 + 56y 14y2 – 34y – 180 = 0 7y2 – 17y – 90 = 0 (7y + 18)(y – 5 )=0 7y = – 18 atau y = 5

y=−

18 , atau y = 5 7

Kasus 1: x2 + 4x = y

18 7 2 7 x + 28 x + 18 = 0 x2 + 4x = −

Diskriminan = D = 282 – 4 . 7 . 18 D = 28(28 – 18) = 28 . 10 = 280 Sehingga nilai x bentuk akar. Kasus 2 : x2 + 4x = 5 x2 + 4x – 5 =0 (x +5)(x –1) = 0 x = - 5 atau x = 1 x2 + 3 = 25 + 3 = 28 atau 1 + 3 = 4 Jawaban : B


HAL 20


II. SOAL URAIAN Carilah penyelesaian dari

3 − 5 + 3 + 5 = 10

x + 2− 2 x +1

SOLUSI :

3 − 5 + 3 + 5 = 10

x + 2− 2 x +1

……………(1)

Misalkan p = 3 − 5 + 3 + 5

p 2 = 3 − 5 + 3 + 5 + 2 (3 − 5 )(3 + 5 ) = 6 + 2 4 = 10 1 2

Jika kedua ruas dipangkatkan ½ diperoleh : p = 10 ……………(2)

q =

Misalkan q

2

=

x + 2 − 2 x +1

x + 2 − 2 x + 1 = ( x + 1) + 1 − 2 x + 1 − 1) 2 = ( x + 1 − 1) 2

Jika kedua ruas dipangkatkan ½ diperoleh :

q =

x +1 − 1 ……………..(3)

Selanjutnya dari (1) , (2) dan (3) diperoleh ; 1

10 2 = 10

x +1 −1

Persamaan ini dipenuhi jika x +1 − 1 =

1 2

3 2 9 x +1 = 4 5 x = 4 x +1 =

Demikian uraian pembahasan lengkap Soal Babak Final KMP Pasiad VIII. Komentar, kritik, saran, catatan, maupun solusi alternatif dari pembaca sangat penulis harapkan untuk perbaikan dan menambah wawasan penulis maupun penggemar olimpiade matematika. Mudah-mudahan sedikit usaha penulis yang bisa dilakukan ini bisa membantu mencerdaskan anak bangsa khususnya dalam penguasaan matematika. Silahkan pembaca dapat mengirimkannya melalui: 1. Kolom komentar blog : http://olimatik.blogspot.com 2. email: [email protected]


HAL 21

PEMBAHASAN SOAL BABAK FINAL KMP PASIAD VIII TINGKAT SMP DISUSUN : SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)

Recommend Documents