SMA - 1
PELUANG A. Kaidah Permutasi dan kombinasi 1. Permutasi : Banyaknya kemungkinan dengan memperhatikan urutan ada Misalkan n = A,B,C,D Terjadinya 2 kemungkinan kejadian yaitu : AB, AC,AD, BA,BC,BD, CA,CB,CD, DA,DB,DC = 12 kemungkinan AB ≠ AC ≠ AD ≠ BC ≠
BA CA DA CB
BD ≠ DB CD ≠ DC
n= 4 ; r =2 Rumusnya : Prn = n Pr =
n! (n − r )!
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan rumus ini : Prn =
4 x3 x 2 x1 n! 4! = 12 kemungkinan (sama dengan di atas) = P24 = = (n − r )! (4 − 2)! 2 x1
Contoh soal : Dari 7 orang perwakilan kelas dipilih ketua, sekretaris dan bendahara. Banyak kemungkinan yang terjadi dengan tidak ada jabatan rangkap adalah ? Jawab: Diketahui n = 7 : r = 3 Penjelasan : Jawabannya menggunakan permutasi karena setiap orang bisa menduduki kedudukan yang berbeda: Misal 7 orang itu adalah : A,B,C,D,E,F,G Apabila : A sebagai ketua B sebagai sekretaris C sebagai bendahara Akan berbeda apabila : A sebagai sekretaris B sebagai bendahara C sebagai sekretaris WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SMA - 2
Berarti memperhatikan urutan ada 7! 7 x6 x5 x 4 x3x 2 x1 P37 = = = 7x6x5 = 210 kemungkinan (7 − 3)! 4 x3x 2 x1
1.1. Permutasi dengan beberapa unsur sama: Jika ada n objek dengan r1 unsur sama, r2 unsur sama , … rn unsur sama banyaknya susunan yang mungkin ada : Pr1n,r2
, rn
=
n! r1!r2 !...rn !
Contoh soal : Banyaknya susunan berbeda yang dapat dibuat dari huruf huruf “PENDIDIK” adalah: Jawab : Diketahui jumlah huruf =n = 8 Jumlah huruf yang > 1 Æ D =2 = r1 I= 2 = r2
P281 , 2 =
8! 8 x7 x6 x5 x 4 x3 x 2 x1 = = 10.080 susunan 2!2!. 2!2!.
2. Kombinasi :
Banyaknya kemungkinan dengan tidak memperhatikan urutan ada Misalkan n = A,B,C,D dipilih 2 kejadian : AB, AC,AD, BA,BC,BD, CA,CB,CD, DA,DB,DC AB = BA BD = DB AC = CA CD = DC AD = DA BC = CB Ke 6 kejadian di atas adalah sama sehingga dihitungnya 1 Sehingga kemungkinan yang terjadi adalah 12 – 6 = 6 kemungkinan (tidak memperhatikan urutan ada)
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SMA - 3
Rumusnya : C rn = n C r =
n! r!(n − r )!
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan rumus ini : Diketahui n = 4 dan r = 2 C rn =
n! 4! 4! 4 x3x 2 x1 = = 6 kemungkinan (sama dgn di atas) = C 24 = = r!(n − r )! 2!(4 − 2)! 2!2! 2 x1x 2 x1
Contoh Soal : Berapa kemungkinan yang terjadi apabila dari 10 orang anak akan diambil sebagai pemain futsal ? jawab: pemain futsal adalah 5 orang sehingga r=5 sedangkan n = 10
penjelasan : jawabnya menggunakan kombinasi karena 1 orang hanya mewakili 1 kemungkinan saja. (beda apabila dipilih jadi ketua kelas atau sekretaris 1 orang tersebut bisa menjadi ketua kelas atau sekretarisÆ permutasi)) C rn =
n! 10! 10! 10 x9 x8 x7 x6 x5! 5040 = = = 42 kemungkinan = C 510 = = r!(n − r )! 5!(10 − 5)! 5!5! 5 x 4 x3x 2 x1x5! 120
B. Peluang suatu kejadian :
Rumus peluang kejadian : P(A) =
n( A) n( S )
p(A) = peluang kejadian n(A) = banyaknya kemungkinan kejadian A n(S) = banyaknya kemungkinan kejadian sample
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SMA - 4
Contoh soal : Jika sebuah dadu dan sekeping uang dilempar undi satu kali bersama, maka peluang untuk memperoleh gambar pada mata uang dan bilangan ganjil pada dadu adalah : 1 1 1 A. C E 12 4 2 B
1 6
1 3
D
Jawab : Yang ditanya adalah peluang sehingga kita gunakan rumus : P(A) =
n( A) n( S )
Kemudian kita cari : n(A) = banyaknya kemungkinan kejadian A n(S) = banyaknya kemungkinan kejadian sample * banyaknya kejadian sample : DADU 1
2
3
4
5
6
A
A,1
A,2
A,3
A,4
A,5
A,6
G
G,1
G,2
G,3
G,4
G,5
G,6
MATA UANG
A= Angka ; G = Gambar n(S) = banyaknya kemungkinan kejadian sample = 12 * banyaknya kemungkinan kejadian A ( gambar dan bilangan ganjil) Dari table diatas didapat (G,1); (G,3) dan (G,5) = n(A) = 3 Sehingga peluang kejadiannya= P(A) =
3 1 n( A) = = n( S ) 12 4
Æ C
C. Hukum-hukum Peluang :
1. Kejadian saling komplemen Jika A ' = kejadian bukan A (komplemen A) maka : WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SMA - 5
P( A ' ) = 1 – P(A) 2. Dua kejadian : a. P (A ∩ B ) = P(A) x P(B) Kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B atau sebaliknya (kejadian bebas) b. P (A ∪ B ) = P(A) + P(B) - P (A ∩ B ) Jika A dan B saling lepas jika A ∩ B = φ Contoh soal : Peluang siswa sekolah A dan sekolah B lulus UNAS berturut-turut adalah 0.99 dan 0.98. Peluang siswa sekolah A lulus dan siswa sekolah B tidak lulus UNAS adalah…. Jawab: Ini merupakan dua kejadian : kejadian 1 Æ siswa sekolah A lulus = P(A lulus) kejadian 2 Æ siswa seolah B tidak lulus =P(B tidak lulus) Yang ditanya adalah peluang siswa sekolah A lulus dan siswa sekolah B tidak lulus P(A lulus dan B tidak lulus) = P(A lulus ∩ B tidak lulus) = P(A lulus) x P(B tidak lulus) Diketahui : P(A lulus) = 0.99 P (B lulus) = 0.98 Dari rumus C(1) Æ P( A ' ) = 1 – P(A) P(B tidak lulus) = 1 – P(B lulus) = 1 – 0.98 = 0.02 Sehingga : P(A lulus ∩ B tidak lulus) = P(A lulus) x P(B tidak lulus) = 0.99 x 0.02 = 0.0198
3. Frekuensi Harapan Frekuensi harapan dari kejadian A adalah fH(A) = P(A) x N
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SMA - 6 fH(A) = frekuensi harapan kejadian A P(A) = peluang kejadian A N = banyaknya pecobaan Contoh Soal : Suatu percobaan lempar undi tiga mata uang logam sebanyak 104 kali. Frekuensi harapan munculnya minimal sisi dua angka adalah…. Jawab: fH(A) = P(A) x N yang diketahui adalah N = 104 n( A) P(A) = n( S ) n(A) = kemungkinan kejadian minimal dua angka ; n(S) = kejadian sample
Mata uang 1(MU1) A,G
Mata uang 2 (MU2) A,G
Mata uang 3 (MU3) A,G
A= angka : G=Gambar
MU1 n(S) =
A A A A G G G G
MU2 MU3 A A G G A A G G
A G A G A G A G
minimal dua angka * * * *
Terlihat bahwa n(S) = 8 Kejadian minimal muncul dua angka (*) =n(A)= 4 kejadian 4 1 n( A) P(A) = = = n( S ) 8 2 Frekuensi harapannya adalah fH(A) = P(A) x N =
1 x 104 = 52 2
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
