Přednáška 05
Vybočení ideálně přímého prutu Vybočení prutu s počáteční deformací Okrajové podmínky a staticky neurčité případy Příklady
Copyright (c) 2011 Vít Šmilauer Czech Technical University in Prague, Faculty of Civil Engineering, Department of Mechanics, Czech Republic Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License" found at http://www.gnu.org/licenses/
1
Stabilita přímých prutů ●
● ●
Tlačené štíhlé pruty jsou ohroženy ztrátou stability – Prut zůstává přímý až do kritické hodnoty zatížení – Po překročení kritické hodnoty může prut vybočit – U viskoelastických materiálů (beton) hraje roli čas Vzpěr = namáhání prutu tlakovou osovou silou Vybočení štíhlých prutů patří mezi časté havárie konstrukcí, zatížení teplotou na stat. neurč. konstrukcích
[20.8.2000 Vinohradský pivovar, Praha. Publikováno se svolením Hasičského záchranného sboru hl.m.Prahy]
[Austrálie 31.1. 2009, 45,4oC, Zdroj: BBC, EPA, Reuters]
2
World Trade Center Vlastní tíha, užitné zatížení, zatížení větrem
Trapézový plech, lehčený beton
Vnitřní ocelové jádro
Vnitřní ocelové jádro
Vnější obvodové sloupy
Ocelové diagonály 25 mm
3
Komplex Prague Marina Praha, Holešovice ● ●
● ●
Nevhodné statické řešení 29.4.2012 Ohnutí závitových tyčí v místě uložení, problém stability vzpěry Teplotní šok z náhlého oteplení Obecné ohrožení z nedbalosti (8 let vězení)
[Foto P. Zelený iDnes]
[Foto J. Hadač archiv Blesku]
4
Vybočení tlačeného pasu příhradového mostu ● ● ●
14.10.2013 Jiujiang City, Čína Most navržen na zatížení 40 lidí, při zřícení ~100 Vybočení tlačeného horního pasu příhradového nosníku
[Euronews YouTube]
5
Prvky náchylné na vzpěr ●
●
Vybočení prutu u staticky určité konstrukce může vést ke kolapsu celé konstrukce U většiny inženýrských konstrukcí se snažíme vybočení prutu zabránit
– x
Vzpěra
–
–
6
Geometrické modely prutu
●
Geometricky imperfektní prut – Odchylky od přímého tvaru mají 0 náhodný charakter, obvykle (1/500 1/1000 l) – Kombinace tlaku s ohybem pro výpočet síly Fk
L
Ideální prut – Dokonale přímý, centricky zatížený – K vybočení je třeba příčného impulzu (příčná síla, nerovn. ohřátí) – Výpočet kritické síly F k
Fk
Fk
0 L
●
7
Teorie 2. řádu – geometrická nelinearita ●
●
Podmínky rovnováhy se sestavují na deformované konstrukci Na ohýbaných prutech posuny u a rotace y zůstávají malé, průhyby w jsou velké k
F
F
F
L/2
L/2
Δϕ
Δϕ
F
2Δ ϕ
F w
M
F
L M destab =Fw =F sin Δ ϕ 2 M stab=k 2 Δ ϕ L M destab = M stab =F k sin Δ ϕ=k 2 Δ ϕ 2 sin Δ ϕ≈Δ ϕ Netriviální řešení Δ ϕ≠0 k F k =4 L 8
Teorie 2. řádu – geometrická nelinearita Výjimkový případ dle teorie 1. řádu
F L N
L
Řešení dle teorie 2. řádu
N EA=210e+3⋅ 0.012=65.97 MN L=2 m
N
F
s o c / L'=L
N
−2 N sin ϕ+ F =0 L 1−cos ϕ Δ L= −L= L cos ϕ cos ϕ 1−cos ϕ ΔL N =EA = EA L cos ϕ 1−cos ϕ 2 EA sin ϕ= F cos ϕ
ϕ 3 ϕ5 sin ϕ≈ϕ− + −…≈ϕ 3! 5! 2 4 2 ϕ ϕ ϕ cos ϕ≈ϕ− + −…≈ϕ− 2! 4 ! 2 2 ϕ F 2 EA ϕ =F , ϕ3= 2 EA 3 F 3 F ϕ= , w≈ϕ L= L EA EA 1−cos ϕ ϕ 13 2 N =EA ≈ EA = √ EA F cos ϕ 2 2
√
√
Pozn. Do výpočtu geometricky nelineární úlohy nebyla zavedena pevnost!
9
Simulace vzpěru pomocí metody konečných prvků
10 m
E=30 GPa h=0,7 m b=1,0 m
0,7 m
=1 mrad
Posuny 500x zvětšeny
V obou případech se uvažoval čistě lineárně elastický materiál. Problém vzpěru nezávisí na pevnosti materiálu! 10
Vybočení ideálně přímého prutu ●
Eulerova geometrická metoda – publikována 1759 M y x =Fw x M y x =−EIw ' ' x
F
L
EIw ' ' x Fw x =0 w 0=0, w L=0 x
w(x)
z
F w ' ' x w x=0, = EI 2 2 Char. rovnice =0, 1,2=± i w x =C 1 sin xC 2 cos x 2
w 0=0 C 2=0 w L=0=C 1 sin L
C 1=0 ... triviální řešení sin L=0 ... netriviální řešení 11
Vybočení ideálně přímého prutu
F
sin L=0, L=n F L =n EI EIn 2 2 F= L2
L
x
w(x)
z
Kritické břemeno, n=1: F=F k =
EI L2
2
x První vlastní tvar vybočení: w x =C 1 sin L 2. vl. tvar 1. vl. tvar
EI 4 2 Kritické břemeno, n=2: F= =4 F k 2 L 2 x Druhý vlastní tvar vybočení: w x =C 1 sin L ... a další vlastní tvary ... 12
Vybočení prutu s počátečním zakřivením F
Předpoklad: w 0 x = 0 sin M =−EI w ' '−w0 ' '
0
EIw ' 'Fw =EI w 0 ' '
w(x)
x
w ' '2 w=w0 ' ' , =
z Tvar počáteční imperfeckce prutu volíme jako první vlastní tvar vybočení.
w0 ' ' =−
My
0 2
sin
L2 0 2
Argumenty (x) u funkcí vynechány Diferenciální rovnice 2. řádu pro vzpěr
+
L
w0(x)
x L
F EI
x L
x C 1 sin x C 2 cos x 2 2 2 2 L L − / L
w=−
sin
wp
w 0=0, w L=0 C 1=C 2=0 2
w − = = 2 2 = 0 w 0 L − 2 / L2
1 1 = F FL2 1− 1− Fk EI 2 13
Aproximace teorie 2. řádu pomocí teorie 1. řádu ●
Skutečné posuny (dle teorie 2. řádu) lze aproximovat, pokud známe kritické zatížení a posuny podle teorie 1. řádu δ= δ0
1 1−
F Fk
Při polovině kritického zatížení jsou skutečná přemístění dvojnásobná oproti výsledkům z teorie 1. řádu!
14
Vybočení přímého prutu oboustranně vetknutého F
ML z R L
L
x
w(x)
M y x =Fw x M L −R L x M y x =−EIw ' ' x EIw ' ' x Fw x =R L x−M L
2 F 2 w ' ' x w x= R L x −M L , = F EI
R L x −M L w x = C 1 sin xC 2 cos x F ML w 0=0 C 2= F −R L w ' 0=0 C 1= F w L=w ' L=0 Řešení dále vede na soustavu 2 algebraických rovnic s neznámými RL a ML.
15
Vybočení přímého prutu oboustranně vetknutého My
F
2 1−cos L− L sin L=0
z
L
x
[
]
sin L cos L−1 R 0 = M 0 1−cos L − sin L L−
Det
[
{ } {}
]
sin L cos L−1 =0 1−cos L − sin L L−
Pozn. Úlohu lze řešit využitím symetrie. V diferenciální rovnici se pak vyskytují 3 neznámé – C1, C2 a moment uprostřed rozpětí. I násobky momentu My vyhovují problému vlastních tvarů.
F L EI 4EI 2 EI 2 Fk = = 2 2 L 0.5 L 2 w x =1−cos x L 2 4 2 M y =−EIw ' ' =−EI 2 cos x L L
L=2 =
16
Základní Eulerovy případy vzpěru ●
Vzpěrná délka – vzdálenost inflexních bodů vlastního tvaru vybočení (míst s nulovými momenty) F
F
F
F
Osa symetrie
Lvz = L
Lvz 0,7L
Lvz =0,5L
Lvz =L
2L
L
L
0.5L
0,7L
F
Lvz =2L 17
Rekapitulace a kritické napětí Vzpěrná délka Kritická síla Poloměr setrvačnosti Štíhlostní poměr Kritické napětí
L vz EI π Fk = 2 Lvz
2
√
I i= A Lvz λ= i 2 F k EI π 2 Ei 2 π 2 π σk = = = = E A A L2vz L2vz λ2
Pro prostorový vzpěr se jednotlivé parametry indexují, např. Lvz ,y , iy , iz , y , z . 18
Eulerova hyperbola
Pevnost v tlaku
Mezní pružná deformace Nepružný vzpěr (např. elastoplasticita)
Rozhoduje pevnost
Pružný vzpěr Rozhoduje stabilita
19
Zkoušky ocelových profilů
Eulerova hyperbola 5ti procentní dolní kvantil, imperfekce prutu 1/1000 L.
Pozn. Poměr k / y se v Eurokódech označuje jako součinitel vzpěrnosti . Tím se redukuje únosnost materiálu a problém vzpěru se převádí na problém tlaku. Pro masivní pruty platí =1 a pro štíhlé pruty <1. Data převzaty z knihy Chen,Atsuta: Theory of BeamColumns, Volume 1: InPlane Behavior and Design, 2008.
20
Určete kritické zatížení prostorového sloupu 2
F
y
L = 4,8 m
HE 200B
z
E=210 GPa
4
A=7,81e-3 m , I y =57e-6 m , I z=20e-6 m i y =85,4 mm , i z=50,4 mm
4
Vybočení v rovině xz , ohyb okolo osy y L vz , y =2⋅4,8=9,6 m Lvz , y λ y= =112,4 iy EI y π 2 Fk F k = 2 =1,282 MN , σ k = =164,1 MPa A Lvz , y Vybočení v rovině xy , ohyb okolo osy z L vz , z =0,7⋅4,8=3,36 m Lk , z λz= =66,3 iz 2 EI z π Fk F k = 2 =3,672 MN , σ k = =470,2 MPa A Lvz , z
Prut vybočí v rovině xz.
21
Otázky 1. Co je ideální prut z pohledu vzpěru a proč tento model používáme? Čím se liší od skutečných prutů? 2. Jaký je rozdíl mezi teorií 1. a 2. řádu? Lze přibližně určit deformace z teorie 1. řádu na skutečné konstrukci? 3. Vysvětlete, proč problém vzpěru nesouvisí s pevností materiálu. 4. Určete vzpěrnou délku u základních Eulerových případů vzpěru. 5. Kolikrát klesne kritická síla, pokud prodloužíme prvek o 20%, 100%? 6. Uveďte příklady konstrukcí se zatížením, které vykazují nestabilní rovnováhu. 7. Na Eulerově hyperbole vyznačte oblasti, kde rozhoduje vzpěr a kde rozhoduje pevnost. Jaký je vliv reziduálních napětí v ocelových průřezech? 8. Vypočtěte štíhlost kruhové tyče o poloměru r a délce l, pokud je oboustanně vetknutá.
Vytvořeno 03/2011 v OpenOffice 3.2, Ubuntu 10.04, Vít Šmilauer, ČVUT. Poděkování patří zejména M. Jiráskovi za inspiraci jeho přednáškami.
22
