VLIV TVARU POČÁTEČNÍHO ZAKŘIVENÍ OSY OCELOVÉHO PRUTU NA JEHO ÚNOSNOST

IV. ročník celostátní konference SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ Téma: Posudek - poruchy - havárie 23.až 24.4.2003 Dům techniky Ostrava

103 ISBN 80-02-01551-7

VLIV TVARU POČÁTEČNÍHO ZAKŘIVENÍ OSY OCELOVÉHO PRUTU NA JEHO ÚNOSNOST Zdeněk Kala Abstract The axis of a real beam is often curved into the form which - more or less- is usually distant as an imperfect form of sinusoid considered. The great influence of the beam initial curvature on load carrying capacity can be expected in problems of a member under compression. When applying the Finite Element Method, the axial initial curvature of a real member can be modelled by using the so-called random fields. The paper is based on experimentally found geometrical and material beam characteristics. The numerical methods have been applied.

1. Úvod Osa skutečného prutu je obecně křivka, o zcela přímý prut se nejedná prakticky nikdy. Experimentální zjištění přímosti osy prutů je uvedeno např. v [2, 6]. Vzhledem k tomu, že publikované výsledky těchto měření nejsou dostatečně podrobné a nereflektují dostatečně náhodnost tohoto jevu, byly v naší studii realizace měření počátečního zakřivení osy simulovány náhodně s využitím tzv. náhodných polí.

2. K otázce zohlednění počátečních odchylek přímosti prutu Představme si, že bychom počáteční zakřivení osy skutečného prutu měřili v předem zvolených místech, např. v desetinách jeho délky. Příklad realizace náhodného pole je pro těchto 11 náhodných veličin znázorněn na obr. 1 ve zvětšeném měřítku. Tvar počátečního zakřivení osy prutu je nahrazen kubickým splinem procházejícím uzly 1 až 11. Uvažujme výchylku yi každého i-tého uzlu ve směru osy y jako náhodnou veličinu s Gaussovým rozdělením, přičemž mezi výchylkami sousedních uzlů je zavedena předem zvolená kladná korelace, aby tak byly vyloučeny nereálné tvary. Pojem statistická závislost můžeme definovat jako takovou kvantitativní závislost jedné veličiny na druhé, kdy je danou hodnotou jedné veličiny určen i dílčí (podmíněný) průběh odpovídajících hodnot druhé veličiny. Člen kovariační matice ci,j lze určit např. dle gaussovské autokorelační funkce [8]:

ci , j = S 2 ⋅ e

 ξi , j −   Lcor

  

2

,

(1)

kde Lcor je tzv. korelační délka náhodného pole, S je směrodatná odchylka a ξ i , j = x j − xi je vzdálenost mezi uzly xi a xj. Korelační koeficient ρ i, j korelační matice je možno určit jako: ci , j ρi , j = . (2) ci ,i ⋅ c j , j Zdeněk Kala, Dr. Ing., Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechaniky, Veveří 95, 662 37, tel: +420-541 14 7 382, fax: +420-541 240 994, e-mail: [email protected] .

104 Budeme předpokládat, že při velkém počtu měření bychom u každé náhodné veličiny yi určili střední hodnotu myi blízkou nule, tj. předpokládáme, že záporné a kladné odchylky se vyskytují se stejnou četností a v průměru jsou přibližně stejně „vzdálené“ od osy ideálně přímého prutu. U prutu namáhaného na vzpěr budeme dále předpokládat, že paprsek tlakové síly bude procházet prvním a posledním uzlem náhodného pole, viz obr. 2. Úhel α natočení lokálního souřadného systému s osami x*, y* je závislý na náhodné poloze prvního a počátečního uzlu prutu a je možno určit jej dle vztahu: ∆y y11 − y1 tan (α ) = . (3) = ∆x x11 − x1 Transformaci souřadnic x, y do lokálního souřadného systému x*, y* lze určit dle vztahů: yi* = yi cos(α ) − xi sin (α ), xi* = yi sin (α ) + xi cos(α ).

(4)

Pro ∆y << ∆x a yi<<1 přibližně platí xi* ≈ xi , což zřejmě bude v praxi častý případ.

Obr. 1: Náhodné pole zakřivení prutu

Obr. 2: Lokální souřadný systém

Lze ukázat (např. metodou Monte Carlo), že náhodná výchylka yi* i-tého uzlu ve směru osy y* má po vyhodnocení nulovou střední hodnotu myi*=0. Směrodatná odchylka Syi* je díky okrajovým podmínkám nulová v koncových uzlech, přičemž její průběh po délce prutu je přibližně určen funkcí sinus, jejíž maximální amplituda s rostoucí korelační délkou klesá. Protože úhel α je také náhodnou veličinou, je vzájemná korelace veličin yi* nižší než korelace veličin yi.

3. Statistická analýza prutu s náhodným zakřivením Tvar náhodného zakřivení prutu je vzhledem k charakteru zatěžování prutu výhodné zavádět v lokálním souřadném systému s osami x*, y*, viz obr. 2. Budeme požadovat, aby náhodné veličiny yi* byly vzájemně korelovány dle vztahu (2). Dále budeme požadovat, aby směrodatné odchylky veličin yi* měly sinusový průběh (5). Toleranční norma [10] uvádí maximální dovolenou odchylku přímosti tyčí I a H v rozmezí 0,1 % až 0,3 % délky prutu L. V naší numerické studii budeme předpokládat, že při měření výchylky v polovině prutu (v očekávaném místě maximální směrodatné odchylky) bychom 95 % všech realizací obdrželi na intervalu − L / 1000; L / 1000 . Maximální výchylka přitom nemusí být vždy naměřena v polovině prutu, bude však nulová na jeho začátku a konci. Maximální hodnotu směrodatné odchylky je pak možno odvodit podle pravidla 2SX hodnotou L/2000.

105

L  π xi  sin  (5)  2000  L  Délka prutu L byla zavedena deterministicky L = 2m. Byly řešeny tři varianty: S *yi =

1. Průřez IPE140; poměrná štíhlost λ = 1,3 .

2. Průřez IPE180, poměrná štíhlost λ = 1,0 . 3. Průřez IPE270; poměrná štíhlost λ = 0,7 . Tvar počátečního zakřivení je závislý na velikosti korelační délky Lcor ve vztahu (1). Bylo uvažováno vždy pět variant: Lcor=0,0 m; 0,5 m; 1,0 m; 2,0 m; 3,0 m. Generujeme-li realizace vstupních veličin např. metodou Latin Hypercube Sampling (LHS), je hodnota korelace mezi jednotlivými vzorky určena pouze změnami pořadí vzorků, o čemž se můžeme přesvědčit pomocí Spearmanova koeficientu pořadové korelace. Je tedy možno realizaci náhodného pole generovat dle (1) (např. se směrodatnou odchylkou S=1,0) a následně zavést směrodatnou odchylku dle (5). Příklady realizace náhodného zakřivení prutu jsou zobrazeny na obr. 3.

Obr. 3: Příklad počátečních zakřivení prutu v závislosti na korelační délce Další vstupní náhodné veličiny (tj. mechanické a geometrické) byly uvažovány histogramy dle výsledků experimentů z 562 zkoušek válcovaných profilů IPE 160 až IPE 220 z ocelí S235, viz [7]. Statistické geometrické charakteristiky v tab. 1 jsou uvažovány jako relativní a je třeba násobit je charakteristickými hodnotami. Byl uvažován dvouose symetrický průřez, tj. u veličin b, t2 byly uvažovány histogramy získané měřením geometrie pouze jedné pásnice. Tab. 1: Model vstupních náhodných veličin Symbol

Veličina

fy h b

Mez kluzu Výška průřezu Šířka pásnice

Typ Střední Směrodatná Rozdělení hodnota odchylka Šikmost Špičatost Histogram 297,3 MPa 16,8 MPa 0,3246 2,542 Histogram 1,001 0,00443 -0,4063 3,015 Histogram 1,012 0,01026 -0,3939 4,239

106

t1 t2 E

Tloušťka stojiny Histogram Tloušťka pásnice Histogram Modul pružnosti Gauss

1,055 0,988 210 GPa

0,04182 0,04357 12,6 GPa

1,0545 -0,2991 0

7,473 2,663 3

4. Použité metody a software U prutu, který vykazuje počáteční geometrické odchylky, nedojde při stlačování ke ztrátě klasické stability, nýbrž při zvyšování zatížení se toto počáteční zakřivení zvětšuje až do vyčerpání únosnosti konstrukce. Únosnost imperfektního prutu byla řešena metodou konečných prvků počítačovým programem popsaným v [3]. Byl použit slabě zakřivený prutový prvek se střednicí ve tvaru paraboly 3° [1]. Počáteční zakřivení osy prutu je aproximováno kubickým splinem procházejícím uzly 1 až 11 (tvarově dle obr. 2). Paraboly třetího stupně jsou rovněž použity i jako bázové funkce. Průběhy momentů jsou tedy lineární, nemají v uzlech společnou tečnu. Posouvající síly mají průběh konstantní nespojitý v uzlech. Normálová síla má na oblouku slabě zakřiveného prutu obecně tvar paraboly 3°. Byla použita Eulerova - Newton-Raphsonova metoda s automatickým řízením délky zatěžovacího kroku. Jako výchozí zatížení byla uvažována hodnota rovná přibližně dvojnásobku předpokládané mezní únosnosti. Počáteční zatěžovací Eulerův krok byl zvolen jako 1/300 této síly. Zjemnění zatěžovacího kroku se provádí automaticky podle rychlosti nárůstu napětí v nejvíce namáhaném místě a podle rychlosti poklesu hodnoty determinantu, viz [3]. Únosnost byla určena s přesností 0,1 %. Únosnost byla opakovaně počítána počítačovým programem [3], a to geometricky nelineárním řešením MKP s dělením na 10 prvků. Předpokládá se, že ke ztrátě únosnosti dojde pokud normálové napětí v nejvíce namáhaném místě prutu dosáhne meze kluzu. V každém zatěžovacím kroku se toto kritérium automaticky vyhodnocuje opakovaně prvek po prvku na celé konstrukci. Zároveň je nutno splnit i podmínku, že hodnota determinantu matice tečné tuhosti nesmí být záporná. To však nastává jen zcela výjimečně, a to pouze u značně štíhlých a rovných prutů. Realizace vstupních náhodných veličin byly simulovány metodou LHS pro 200 kroků této metody. Byl použit počítačový program LHS.exe (programovací jazyk Delphi 5). Korelace mezi veličinami yi* jsou určeny změnami pořadí vzorků náhodného výběru.

5. Statistická analýza únosnosti V tab. 2 až 4 jsou uvedeny statistické charakteristiky únosnosti. Statistické vyhodnocení bylo provedeno programem Statrel 3.1. Návrhová únosnost byla v souladu s [9] počítána jako 0,1% kvantil pro Gaussovo a lognormální rozdělení pravděpodobnosti. Ve sloupci nadepsaném nadpisem „∞ (sin)“ jsou uvedeny statistické charakteristiky únosnosti prutu s prvotním zakřivením ve tvaru sinusovky (Lcor = ∞) s proměnnou maximální amplitudou. V posledním sloupci v tab. 2 - 4 jsou uvedeny maximální rozdíly mezi statistickými charakteristikami. Je nutno zdůraznit, že pro parametr Lcor = 0,0 m jsou výsledky ovlivněny též hustotou dělení prutu konečnými prvky. Tab. 2: Statistické charakteristiky únosnosti; λ = 0,7 (IPE270) Korelační délka Lcor [m]

mR [kN]

0,0 0,5 1,0 2,0 3,0 ∞ (sin) 1192,57 1189,83 1194,35 1202,46 1202,76 1206,56

Maximální rozdíl [kN] 16,73

107

SR [kN] 87,63 0,1% kvantil [kN] 921,79 Gaussovo r. 0,1% kvantil [kN] 948,07 lognormální r.

95,82

101,51

107,12

105,96

109,15

893,73

880,68

871,43

875,30

869,25

925,07

915,62

909,98

913,04

909,10

21,52 52,54 (6 %) 38,97 (4 %)

Tab. 3: Statistické charakteristiky únosnosti; λ = 1,0 (IPE180) Korelační délka Lcor [m] 0,0 493,52 42,71

mR [kN] SR [kN] 0,1% kvantil [kN] 361,53 Gaussovo r. 0,1% kvantil [kN] 376,49 lognormální r.

Maximální rozdíl [kN]

0,5 472,48 49,21

1,0 466,60 49,49

2,0 468,04 51,89

3,0 466,17 50,66

∞ (sin) 463,69 50,66

320,42

313,67

307,67

309,61

307,14

340,91

334,64

330,58

331,57

329,20

29,83 9,18 54,39 (16 %) 47,29 (13 %)

Tab. 4: Statistické charakteristiky únosnosti; λ = 1,3 (IPE140) Korelační délka Lcor [m] 0,0 233,50 19,94

mR [kN] SR [kN] 0,1% kvantil [kN] 171,91 Gaussovo r. 0,1% kvantil [kN] 178,79 lognormální r.

Maximální rozdíl [kN]

0,5 225,63 20,32

1,0 223,39 20,72

2,0 222,57 20,98

3,0 222,60 20,84

∞ (sin) 220,81 20,63

162,83

159,36

157,75

158,18

157,07

170,22

167,10

165,71

166,04

164,84

12,69 1,04 14,84 (9 %) 13,95 (8 %)

6. Závěr Z výsledků v tab. 2 - 4 je patrno, že návrhová únosnost určená dle [9] jako 0,1% kvantil je na změnu tvaru střednice nejcitlivější u prutu s relativní štíhlostí λ = 1,0 . Minimální návrhovou únosnost jsme určili u prutů s prvotním zakřivením ve tvaru sinusovky (Lcor= ∞). Přesnějším modelováním počátečního tvaru střednice je možno obdržet vyšší hodnoty návrhových únosností, což se nejvíce projeví u prutů s relativní štíhlostí přibližně λ ≈ 1,0 . Stochastické modely, ve nichž je uvažováno počáteční zakřivení ve tvaru funkce sinus, jsou konzervativní. Obdobně jsou konzervativní i stochastické modely prutů, v nichž není uvažována proměnlivost meze kluzu po průřezu. Zanedbáme-li u prutů tento vliv, můžeme v některých případech obdržet směrodatnou odchylku až o 10 % vyšší, než když tuto proměnlivost uvažujeme. To se následně projeví i na hodnotách návrhových únosností, viz např. [4]. Zmíněný vliv se nejvíce projeví u prutů s malou štíhlostí, jejichž únosnost je limitována především pevností materiálu. V limitním případě, kdy je vybočení zcela

108

bráněno (prostý tah nebo tlak), je únosnost fy·A závislá pouze na mezi kluzu fy a průřezové ploše A. S rostoucí štíhlostí se únosnost prutu limitně blíží Eulerově kritické síle π2EI/L2, a je tedy více závislá na proměnlivosti momentu setrvačnosti I, modulu pružnosti E a případně i délce prutu L. Zakřivení prutu při ztrátě únosnosti má prakticky vždy tvar sinusovky bez ohledu na prvotní zakřivení před zatěžováním. Většina nosníků začleněných do systému je však namáhána opakovaným zatížením, které způsobuje změnu napětí, jež nemusí vždy dosahovat mezních hodnot. Charakteristickým rysem působení takových systémů je vznik a šíření únavových trhlin, které se s růstem počtu zatěžovacích cyklů šíří, a to tak, že v konečné fázi způsobí kolaps nosníku. Lze očekávat, že tvar počátečního zakřivení střednice prutu bude mít velký vliv na spolehlivost zejména ocelových nosníků se střednicí „dýchající“ pod opakovaným zatížením.

Oznámení Tato práce vznikla při řešení projektů č.103/03/0233 a č.103/01/D022 Grantové agentury České republiky a výzkumného záměru MSM 261100007.

Literatura [1] BITTNAR, Z., ŠEJNOHA, J. Numerické metody mechaniky 1 a 2, Praha: Vydavatelství ČVUT, 1992, ISBN 80-01-00855-X. [2] FUKUMOTO, Y., KAJITA, N., AOKI, T. Evaluation of Column Curves Based on Probabilistic Concept, In: Proc. of Int. Conference on Stability, Prelim. Rep., Publ. by Gakujutsu Bunken Fukyu – Kai, Tokyo, 1976. [3] KALA, Z. Nelineární odezva ocelových rámů na statické zatížení, disertační práce (Ph.D.), Brno: VUT-FAST, 1998. [4] KALA, Z. and KALA, J. The Statistical Correlation of Material Characteristics Experimental and Theoretical Results of Hot-Rolled Steel Beam, In: Proc. International Conference on Metal Structures, Miskolc (Hungary), Edited by K. Jarmai & J. Farkas, Proceedings pp.23-26, 3-5. April 2003, Millpress Science Publishers, Rotterdam, ISBN 90 77017 75 5. [5] MAREK, P., GUŠTAR, M., ANAGNOS, T. Simulation-Based Reliability Assessment for Structural Engineers, CRC Press, Inc., Boca Raton, Florida, 1995. [6] MELCHER, J. Tenkostěnný kovový prut v nosném konstrukčním systému, doktorská disertační práce (DrSc.), Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební,Brno,1990. [7] MELCHER, J., KALA, Z., HOLICKÝ, M., FAJKUS, M. and ROZLÍVKA, L. Design Characteristics of Structural Steels Based on Statistical Analysis of Metallurgical Products, Journal of Constructional Steel Research. (in print) [8] NOVÁK, D., LAWANWISUT, W., BUCHER, C. Simulation of random fields based on orthogonal transformation of covariance matrix and Latin Hypercube Sampling. In: Proc. of Int. conference on Monte Carlo Simulation, Monte Carlo, 18-21. June 2000, pp.129-136. [9] EN 1990 Eurocode - Basis of Structural Design, 2002. [10] ČSN EN 10034: Tyče průřezu I a H z konstrukčních ocelí – Mezní úchylky rozměrů a tolerance tvaru, září 1995.