Normálové napětí a přetvoření prutu namáhaného tahem (prostým tlakem) - staticky určité úlohy

Pružnost a plasticita, 2.ročník bakalářského studia

Normálové napětí a přetvoření prutu namáhaného tahem (prostým tlakem) - staticky určité úlohy • Základní vztahy a předpoklady řešení • Napětí a přetvoření osově namáhaného prutu Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Osový (prostý) tah nebo tlak Jediná nenulová složka vnitřních sil v libovolném průřezu prutu je normálová síla N. V y  Vz  0

T 0

N  0 … tah

My  Mz  0

N

N

a

b

Rax

N

N

a

Rax

F

tah

N  0 … tlak

b

tlak

+

F 2

Výchozí předpoklady řešení a) průřezy zůstávají rovinnými a kolmými k ose i po deformaci (Bernoulliova hypotéza) Předpoklad má povahu deformačně – geometrickou. Příčné průřezy se nezkřiví a zůstanou vzájemně rovnoběžné. Daniel Bernoulli (1700 - 1782)

N

N Důsledek:

 xy   xz  0   xy   xz  0 dx

dx před i po deformaci

 x  konst. … pro x = konst. N

3

Výchozí předpoklady řešení

b) podélná vlákna na sebe vzájemně netlačí N

N

y z  0

c) platí pouze v lineární oblasti (Hookeova zákona) !!!

4

Jednoosá napjatost Ze 6 složek napětí je pouze 1 nenulová

Tenzor napětí:

 x  0  xy  0  xz  0      y  0  yz  0  sym.  z  0 

Velikost normálového napětí:

N x    x dA   x  dA   x . A A

A

x 

Nx A

5

Omezená platnost předpokladů řešení a) Zatížení soustředěné na malé ploše b) Pruty proměnného průřezu

q

q

q

q

d

b

6

Přetvoření taženého (tlačeného) prutu l 

Nx l EA

z Hookeova zákona

EA  l  k  l l

Nx 

EA k l

k … tuhost prutu stálého průřezu v tahu

Příčné deformace

 y   Z     x

Změna teploty

  t  C 

T C 

l

l

lT    x ,T dx    T  Tdx   T  T  l 0

 y  Z  x

0

7

Obecný případ osově zatíženého prutu s proměnným průřezem nebo normálovou silou l x dx před deformací

x, u

0 N u  du

M

dx

l po deformaci

u F

0 x, u

l

M

N

l   0

Nx E  A x 

dx

8

Výchozí vztahy – průřezová charakteristika

x 

Nx A

x

N

l 

pro daný průřez platí:

l  

 x  konst l

l  

Průřezová charakteristika při osovém namáhání je PLOCHA PRŮŘEZU A

Nl EA

F

0

N i li Ei Ai

Nx  dx E. A x 

x 9

Dimenzování osově namáhaného prutu podle MSÚ

Přejděme nyní k části:

Principy navrhování stavebních konstrukcí

10

Dimenzování osově namáhaného prutu podle MSÚ (návrh a posouzení)

Návrh nosné konstrukce

N Ed , f d  Amin Askut , N Rd Zvětšit A

fd 

fk

M

Amin 

N Ed fd

Dimenzování

Posouzení návrhu dle MS únosnosti

N Ed  N Rd

N Rd  Askut  f d Realizace 11

Návrh průřezu Mezní stav únosnosti (MSÚ): Na základě vyřešených N sil určíme pro každý průřez INmaxl, která v návrhových hodnotách představuje NEd . Stanovíme pevnost materiálu fd. Určíme minimální plochu průřezu průřezu Amin1 ze vztahu:

Amin 1 

N Ed fd

Mezní stav použitelnosti (MSP): Z odvozeného Hookeova zákona (v charakteristických hodnotách!!! ) získáme Amin2

ldov 

Nl EAmin 2

12

Návrh průřezu Rozhodující je větší z obou Amin. Je-li průřez čtvercový, kruhový nebo obdélníkový…, spočítáme z rozhodující minimální plochy minimální délkový rozměr (hranu a, průměr d, šířku b…) průřezu a navrhneme rozměr zaokrouhlený na celý milimetr (nebude-li stanoveno jinak). Z navržené hodnoty spočítáme skutečnou plochu Askut. Je-li průřez normalizovaný válcovaný, určíme velikost průřezu z tabulek na základě rozhodující minimální plochy (stanovíme nejbližší vyšší A). Z tabulek odečteme skutečnou plochu Askut.

U tlačených průřezů platí pouze pro masivní průřezy, U kterých nedochází ke ztrátě stability.

13

Posouzení průřezu

Na základě skutečné plochy Askut spočítáme: únosnost v tahu a tlaku NRd a skutečné přetvoření. Potvrdíme, že platí podmínky spolehlivosti:

N Ed  N Rd

lskut  ldov

14

Příklad Ocelová tyč čtvercového průřezu o straně a = 16mm je zatížena osovými silami podle obrázku, zatížení náhodilé γQ =1,5. E = 2,1*105 MPa. Ocel Fe360/S235, γM=1,0. Posuďte tyč podle obou mezních stavů, tzn.: - určete prodloužení tyče Δl a porovnejte s δlim= 5mm (MS použitelnosti) - posuďte tyč na mezní stav únosnosti Nezapomeňte vykreslit průběh N.

l1 = 1,7 m

P1

l2 = 1,1 m

P2

P3

σx y

l3 = 0.6 m

l1

l2

l3

P1,k = 20 kN

z

P2,k = 10 kN

N

P3,k = 20 kN

vykreslit v charakteristických i návrhových hodnotách

σ1 =175,78MPa σ2= 58,59MPa

MS použitelnosti: Δl = 1,376 mm < δlim = 5 mm

σ3=117,18MPa

MS únosnosti: NEd = 45 kN < NRd = 60,16 kN 15

Okruhy problémů k ústní části zkoušky

1. Napětí při osovém tahu a tlaku 2. Přetvoření taženého a tlačeného prutu 3. Návrh a posudek osově namáhaného prutu

16