Parciální diferenciální rovnice Dirichletova úloha pro Laplaceovu pro Laplaceovu (Poissonovu) rovnici (Poissonovu) rovnici Rovnice vedení tepla Vlnová rovnice l á i
Klasifikace lineárních parciálních diferenciálních rovnic 2.řádu •
• •
• •
ve dvou proměnných d ě ý h V oblasti Ω ⊂ E2, kde a(x,y), b(x,y), c(x,y), d(x,y), e(x,y), f(x,y) a g(x,y) jsou spojité, je dána rovnice ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂ 2u ∂u + c( x, y ) 2 + d ( x, y ) + e( x, y ) + g ( x, y )u = f ( x, y ) a( x, y ) 2 + 2b( x, y ) ∂x ∂x∂y ∂x ∂y ∂y Pro [x, [x y]∈Ω položíme r ( x, y ) = b 2 ( x, y ) − a ( x, y ) ⋅ c( x, y ) . ⎧ eliptickéh o ⎧< 0 ⎪ ⎪ Rovnice je v bodě pro [x0, y 0]∈Ω typu ⎨ parabolick ého když r ( x0 , y0 ) ⎨= 0 ⎪hyperbolic kého ⎪> 0 ⎩ ⎩ ⎧ eliptickéh o ⎧< 0 ⎪ ⎪ Rovnice je v oblasti Ω typu ⎨ parabolick ého když r ( x, y ) ⎨= 0 ∀[ x, y ] ∈ Ω Rovnice je v oblasti Ω ⎪hyperbolic kého ⎪> 0 ⎩ ⎩ Příklady 2 2 2 ∂u ∂u = f ( x, y ) + ∂x 2 ∂y 2 2
2
a(x,y) = 1, b(x,y) = 0, c(x,y) = 1 r(x,y) = ‐4 (<0) eliptická v E2
∂u ∂u = p 2 + f ( x, y ) ∂y ∂x
∂u 2 ∂ u = q + f ( x, y ) ∂y 2 ∂x 2
a (x,y) = ‐p, b(x,y) = 0, c(x,y) = 0 a (x,y) = ‐q2, b(x,y) = 0, c(x,y) = 1 r(x,y) = 0 ∀p∈R r(x,y) = 4 q2 (>0) ∀q∈R parabolická v E2 hyperbolická v E2
Parciální diferenciální rovnice eliptického typu Dirichletova úloha pro Poissonovu (Laplaceovu) rovnici
∂ 2u ∂ 2u + 2 = f ( x, y ), v oblasti Ω, u ( x, y ) = ϕ ( x, y ) na hranici oblasti Ω. 2 ∂y ∂x
•
Úloha :
•
Numerické řešení – Volíme krok h, stejný na osách x a y. Zadanou oblast Ω „pokryjeme sítí“, kterou tvoří síťové přímky rovnoběžné s osami x a y, vzdálené o h ve směru x i y. – Označíme a očíslujeme průsečíky síťových přímek – uzly sítě : • regulární C (všechny 4 sousední uzly jsou ve vzdálenosti = h), • neregulární (aspoň jeden sousední uzel je ve vzdálenosti < h), • hraniční (průsečík síťové přímky s hranicí oblasti). – V regulárních uzlech sítě nahradíme 2. derivace centrálními diferencemi. – V neregulárních uzlech použijeme lineární interpolaci. g p j p Tím dostáváme numerické schéma. – Pro každý vnitřní uzel sítě sestavíme rovnici podle numerického schématu. – Vyřešením soustavy rovnic získáme numerické řešení V řešením so sta ro nic ískáme n merické řešení (přibližné hodnoty hledané funkce u) v uzlech sítě [xi , yj ].
Odvození síťových rovnic.
∂u ∂u = f ( x, y ) v oblasti Ω, u ( x, y ) = ϕ ( x, y ) na hranici oblasti Ω. + H ∂x 2 ∂y 2 Regulární uzel (např. A) má 4 sousední uzly (např. L,P,H,D) ve vzdálenosti h: L h A P 2
•
2
Úloha:
Nahrazení derivací v regulárním uzlu A
D
zanedbáme centrálními diferencemi : 644444474444448 ⎫ chybu, dosadíme do ⎪ rovnice ∂ 2u u ( L) − 2u ( A) + u ( P ) 8 + Ο(h 2 ) ⎪6474 = 2 2 ∂x h 4U ( A) + U ( L) + U ( P ) + U ( H ) + U ( D) = h 2 f ( A) ⎬ → − 144444444424444444443 2 ⎪ ∂ u u ( H ) − 2u ( A) + u ( D ) 2 síťová rovnice pro regulární uzel A = + Ο h ( )⎪ 2 2 ∂y h ⎭ Neregulární uzel (např. N) má sousední hraniční uzel (např. P) ve vzdálenosti δh, (0<δ<1), a na stejné síťové přímce má sousední regulární uzel (např. R) ve vzdálenosti h. Hledanou hodnotu U(N) interpolujeme z hodnot U(R) v regulárním uzlu U(R) a v hraničním uzlu u(P)=ϕ(P) : U(N) ϕ(P) h δh U ( R) − ϕ ( P) U ( R) − U ( N ) U ( R) − ϕ ( P) U ( R) − U ( N ) R N P = ⇒ = ⇒ h + δh h 1+ δ 1 U ( R) − ϕ ( P) = U ( R)(1 + δ ) − U ( N )(1 + δ ) ⇒
(1 + δ )U ( N ) − δU ( R ) = ϕ ( P ) 14444 4244444 3
síťová rovnice pro neregulární uzel N
Příklad. Dána Dirichletova úloha pro Poissonovu pro Poissonovu rovnici: 2 2 ∂u ∂u + 2 = x − y v oblasti Ω = {[ x, y ]; x ≥ 0, y ≥ 0, y ≤ 2.25 − x 2 } , 2 ∂y ∂x x ∈< 0;1.5 > na hranici oblasti je u(x,y) určena okrajovou podmínkou: u ( x,0) = 2 x u (0, y ) = 3 y y ∈< 0;2.25 > u ( x, y ) = ax + by x ∈< 0;1.5 >, y = 2.25 − x 2 a. Určíme a, b ∈ R tak, aby v bodech [0; 0], [0; 2.25] a [1.5; 0] byla u(x,y) určena jednoznačně. [0; 0]: 2x=3y platí pro libovolné a,b 2 [1.5; 0]: 2x=ax + by ⇒3 = 1.5a ⇒ a = 2 [0; 2.25]: 3y = ax + by ⇒ 6.75 = 2.25b ⇒ b = 3 P5 1,5 b. Zvolme krok h = 0.5 na osách x a y a sestrojme síť tak, aby bod [0.5, 0.5] byl uzlem sítě, označme uzly: regulární: P1,P3, neregulární P2,P4,P5 1 c. Sestavíme rovnice pro všechny regulární uzly sítě. u ( x ,0)=2 x 678 P3 P4
− 4U1 − 4U 3
+ 2 ⋅ 0.5 + U1
+U2 +U4
+ U3 +U5
+ 3 ⋅ 0.5 + 3{ ⋅1
u ( 0 , y ) =3 y
= 0.25(0.5 − 0.5) = 0{ .25(0.5 − 1) 1 424 3 2 h
0,5
P1 P2
f ( x , y ) = x-y
0
d. V neregulárních uzlech použijeme lineární interpolaci a sestavíme rovnice.0 hran. x = 2.25− y
0,5 1 ϕ ( x , y ) =ax+by =2 x +3 y
1,5
64748 6447448 P2 : δ 2 h = 2.25 − 0.5 − 1 = 0.5 7 − 1 =& 0.32 ⇒ δ 2 = 0.64 ⇒ 1.64U 2 − 0.64U1 = 2 ⋅ 0.5 7 + 3 ⋅ 0.5 =& 4.146
P4 : δ 4 h = 2.25 − 1 − 1 = 0.5 5 − 1 =& 0.12 ⇒ δ 4 = 0.24 ⇒ 1.24U 4 − 0.24U 3 = 2 ⋅ 0.5 5 + 3 ⋅1 =& 5.236
•
Uzel P5 má ve směru x oba sousední uzly na hranici, ve směru y jsou oba sousední uzly vzdáleny o h, tedy δ dál h d δ = 1. Pro hledanou hodnotu U(P5) = U5 můžeme použít například lineární 1 P hl d h d U(P5) U5 ůž ží říkl d li á í interpolaci (při δ = 1 bude aritmetickým průměrem) hodnot v bodě P3 a horním hraničním bodě nebo lineární interpolaci s δ = 0.73 hraničních hodnot v levém a pravém sousedním bodě. P5 : δh = h ⇒ δ = 1 ⇒ 2U 5 − U 3 = ϕ (0.5;2) = 2 ⋅ 0.5 + 3 ⋅ 2 = 7
nebo δ 5 h = 2.25 − 1.5 − 0.5 = 0.5 3 − 0.5 =& 0.366 ⇒ δ 5 = 0.73 ⇒ 1.73U 5 − 0.73ϕ (0;1.5) = ϕ (0.5 3;1.5) ⇒ U 5 =
ϕ (0.5 3;1.5) + 0.73ϕ (0;1.5) 1.73
3 + 3 ⋅1.5 + 0.73 ⋅ 3 ⋅1.5 =& 5.5 1.73 Soustavu rovnic zapíšeme maticově: U5 =
•
1 1 0 ⎛ −4 ⎜ 0 0 ⎜ − 0.64 1.64 ⎜ 1 0 −4 1 ⎜ 0 − 0.24 1.24 ⎜ 0 ⎜ 0 0 −1 0 ⎝
0 ⎞⎛ U1 ⎞ ⎛ − 2.5 ⎞ 1 1 0 ⎛ −4 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟⎜ U2 ⎟ ⎜ 4.146 ⎟ 0 0 ⎜ − 0.64 1.64 1 ⎟⎜ U3 ⎟ = ⎜ − 3.125 ⎟ nebo ⎜ 1 0 −4 1 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟⎜ U4 ⎟ ⎜ 5.236 ⎟ 0 − 0.24 1.24 ⎜ 0 ⎜ ⎟ ⎜ 0 2 ⎟⎠⎝ U5 ⎠ ⎜⎝ 7 ⎟⎠ 0 0 0 ⎝
0 ⎞⎛ U1 ⎞ ⎛ − 2.5 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎟⎜ U2 ⎟ ⎜ 4.146 ⎟ 1 ⎟⎜ U3 ⎟ = ⎜ − 3.125 ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎟⎜ U4 ⎟ ⎜ 5.236 ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎟⎠⎝ U5 ⎠ ⎜⎝ 5.5 ⎟⎠
řešení: U = (2.51, 3.51, 4.04, 5.00, 5.25) ( , , , , )T nebo U = (2.51, 3.51, 4.03, 5.00, 5.50) ( , , , , )T
Parciální diferenciální rovnice parabolického typu.
Rovnice vedení tepla. • Úloha Ú ∂u ∂ 2u V oblasti Ω=(a, b)x(0, T), kde a, b, T∈R, a
0 je dána , p = p 2 + f ( x, t ) ∈ R, p >0
∂t
∂x
s počáteční podmínkou ( t=0, x ∈ )
u(x,0) = ϕ(x)
a okrajovými podmínkami (x=a, x=b, t≥0 )
u(a,t) = α(t), u(b,t)=β(t)
•
Postup řešení – Ověření podmínek souhlasu, tj. shody hodnot u(x,t) daných počáteční a okrajovou podmínkou v bodech [x=a, t=0] d í k b d h[ 0] a [x=b, t=0]: ϕ(a) [ b 0] ( ) = α(0) (0) a ϕ(b) = β(0) (b) β(0) – Volba časového prostorového kroku h a časového kroku τ a ověření stability numerické metody: pτ ≤ 0.5 explicitní ‐ stabilní při , implicitní ‐ stabilní ∀τ,h (nepodmíněně) h2 – Volba numerické metody : explicitní nebo implicitní metoda sítí. – Se zvolenými Se zvolenými kroky h, τ kroky h, τ vytvoříme síť: vytvoříme síť: uzly sítě jsou body P uzly sítě jsou body Pi (k) =[x [xi , t , tk ], x ], xi=a+ a+ ih, t ih, tk= τk. τk. Množina uzlů Pi (k) tvoří při pevném k tzv. k‐tou časovou vrstvu. Numerické řešení jsou vypočítané hodnoty Ui (k) přibližné hodnoty u(Pi (k)) v uzlech sítě. (k) určujeme ve směru rostoucího t, po jednotlivých časových vrstvách. (k) Hodnoty U d č j ě íh j d li ý h č ý h á h i
Odvození síťových rovnic Nahrazení derivací v uzlu P derivací v uzlu Pi ((k) ) =[x i,tt k] druhou derivaci ‐ centrálně
Pi k+1 τ
Pi k k
P k k i+1
P k k i‐1
h
τ ∂ 2u u ( Pi −k1 ) − 2u ( Pi k ) + u ( Pi +k1 ) 2 = + Ο ( h ) ∂x 2 h2 P k i‐1 Pi k P k i+1 Pi k‐1 první derivaci dopřednou diferencí zpětnou diferencí h
∂u u ( Pi k +1 ) − u ( Pi k ) = + Ο(τ ) ∂t τ
Po dosazení do rovnice Po dosazení do rovnice
∂u u ( Pi k ) − u ( Pi k −1 ) = + Ο(τ ) t ∂ τ 2
∂u ∂u = p 2 + f ( x, t ) dostaneme: ∂t ∂x
u ( Pi k +1 ) − u ( Pi k )
u ( Pi −k1 ) − 2u ( Pi k ) + u ( Pi +k1 ) =p + f ( Pi k ) 2 h τ pτ pτ pτ Uik +1 = 2 Uik−1 + (1 − 2 2 )Uik + 2 Uik+1 + τf ( Pi k ) 144h444444 4h2444h444444 3 k + 1 rovnice pro uzel Pi , pro i =1,...,n−1,k ≥0
u ( Pi −k1 ) − 2u ( Pi k ) + u ( Pi +k1 ) =p + f ( Pi k ) 2 τ h pτ pτ pτ − 2 Uik−1 + (1 + 2 2 )Uik − 2 Uik+1 = Uik −1 + τf ( Pi k ) h 4424 h 44444444 1h4444444 3 soustava rovnic pro k ‐ tou časovou vrstvu, k ≥ 1
k = 0 ⇒ Ui0 = ϕ ( xi ),
k = 0 ⇒ Ui0 = ϕ ( xi ),
i = 0( x0 = a) ⇒ U0k = α (t k ), i = n( xn = b) ⇒ Ukn = β (t k )
i = 0( x0 = a ) ⇒ U0k = α (t k ), i = n( xn = b) ⇒ Ukn = β (t k )
pτ explicitní schéma (stabilní pro ) li it í hé ( t bil í ≤ 0.5 ) h chyba O(h2+τ)
iimplicitní schéma li it í hé ( (nepodmíněně stabilní) d í ě ě t bil í) chyba O(h2+τ)
2
u ( Pi k ) − u ( Pi k −1 )
Rovnice vedení tepla. Příklady. 1. Je dána smíšená úloha pro rovnici vedení tepla: ∂u ∂ 2u = + 2x − t v oblasti Ω = {[x,t]:x∈(‐1, 1), t>0}: ∂t ∂x 2
s počáteční a okrajovou podmínkou:
⎧ u(x,0) = x2 x ∈<−1,1> ⎪ t ≥0 ⎨u(−1, t) = 1−t ⎪ u(1, t) = 1+ t t ≥0 ⎩
a) Ověříme, zda jsou splněny podmínky souhlasu. x =‐1,t=0:u(x,t)=u(1,0)⇒x2=1 + t⇒1=1:platí, x=1,t=0:u(x,t)=u(1,0)⇒ ( ) ( ) x2=1 – t ⇒1=1: platí. p t u(‐1,t)= 1‐t
x=‐1,t=0
u(1,t)= 1+tt
u(x,0)=x ( ) 2
x
xx=1, 1, tt=0 0
b) Volíme prostorový krok h = 0.5 a určíme maximální časový krok τ tak, aby explicitní schéma bylo stabilní a bod P = [0, 0.2] y [ , ] byl uzlem sítě. y pτ Podmínka stability: ,p =1⇒τ≤ 0.5h2⇒ τ≤ 0.125, pro bod P je τ maximálně 0.1. ≤ 0.5 2 h
pτ = 0.4 h2
c)) Se zvolenými kroky určíme přibližné řešení v první časové vrstvě užitím explicitního ý y p p p schématu. nultá časová vrstva (určíme z počáteční podmínky u(x,0) = x2): první časová vrstva (t = τ první časová vrstva (t = τ = 0.1) = 0 1) U01=0.9, U41=1.1
U11= 0.4(1+0)+(1‐0.8)0.25‐0.1=0.35,U21= 0.4(0.25+0.25)+(1‐0.8)0+0=0.2,U31= 0.4(0+1)+(1‐0.8)0.25+0.1=0.55 x
‐1 1
‐0.5 05
0
05 0.5
1
t=0:u(x,0)=x2
1
0.25
0
0.25
1
τf(x,0)=2x t=0.1:u(x,0.1)
‐0.1 1‐0.1=0.9
0.4+(1‐0.8)0.25‐0.1 =0.35
0 0.4(0.25+0.25) =0.2
0.1 (1‐0.8)0.25+0.4+0.1 =0.55
j okrajová podmínka
1+0.1=1.1 okrajová j podmínka
Určíme přibližné řešení v bodě A: U(A) =U22 = 0.4(0.35+0.55)+(1‐0.8)0.2‐0.1(0.1)=0.39. Určíme i ostatní hodnoty z druhé časové vrstvy: t = 0.2
1‐0.2=0.8
0.4(0.9+0.2)+0.2(0.35)‐ 0.11 = 0.4
0.4(0.35+0.55)+0.2(0.2)‐ 0.01 = 0.39
0.4(0.2+1.1)+0.2 (0.55)+0.09 = 0 72 0.72
1+0.2=1.2
pτ
11⋅ 0.2
d) Volíme krok τ V lí k k = 0.2, (explicitní schéma nebude stabilní) 0 2 h = 0.25 = 0.8 > 0.5 ( li it í hé b d t bil í) a sestavíme soustavu rovnic pro určení řešení v první časové vrstvě užitím implicitního schématu (které JE STABILNÍ): 2
pτ pτ ⎛ ⎞ − 2 0 ⎟ 1 ⎜1 + 2 2 0 1 h h ⎜ ⎟⎛⎜ U1 ⎞⎟ U1 + τf (−0.5,0.2) + 0.8U 0 pτ pτ ⎟ 1 0 ⎜ − pτ U U + τf (0,0.2) 1 + 2 − = ⎜ ⎟ 2 2 2 2 2 ⎜ ⎟ h h h ⎜ 1⎟ 0 1 ⎜ pτ pτ ⎟⎝ U 3 ⎠ U 3 + τf (0.5,0.2) + 0.8U 4 − 2 1+ 2 2 ⎟ ⎜ 0 h h ⎠ ⎝ U 01 = 1 − τ = 0.8, U 41 = 1 + τ = 1.2(okraj. podm.) 0 ⎞⎛ U11 ⎞ = 0.25 − 0.24 + 0.64 = 0.63 ⎛ 2.6 − 0.8 ⎜ ⎟⎜ 1 ⎟ − 0.04 = − 0.04 ⎜ − 0.8 2.6 − 0.8 ⎟⎜U 2 ⎟ = 0 ⎜ 0 ⎟⎜ U 1 ⎟ = 0.25 + 0.16 + 0.96 = 1.37 − 0 . 8 2 . 6 ⎝ ⎠⎝ 3 ⎠
Rovnice vedení tepla. Příklady •
Příklad 2 ad
∂u ∂ 2u x = 0.4 2 + ∂t ∂x t +1
⎧ x ∈< 1,3 > ⎪u ( x,0) = 10 x ⎪ 10 t≥0 ⎨ u (1, t ) = ⎪ 30 u ( 3 , t ) = t≥0 ⎪⎩ 10t + 1 a. Určete maximální kroky h a τ tak, aby bod A =[2.7, 0.1] byl uzlem sítě a explicitní schéma bylo stabilní. Je dána smíšená úloha pro rovnici vedení tepla:
V jaké časové vrstvě leží bod A? V jaké časové vrstvě leží bod A? b. Volte τ = 0.1 a zapište dvě první a dvě poslední rovnice soustavy pro určení přibližného řešení implicitní metodou. a. Maximální krok h = 0.1 (s žádným větším krokem nelze rozdělit interval na celý počet dílků tak, aby ( ý ýp , y bod A byl uzlem sítě), τ určíme z podmínky souhlasu: 0.4 τ≤0.5⋅0.01⇒τ≤0.0125⇒τmax = 0.0125, bod A leží v 8. časové vrstvě. b. h=0.1, τ = 0.1 pτ ⎛ ⎜1 + 2 2 h ⎜ p τ ⎜ − ⎜ h2 ⎜ 0 ⎜ M ⎜ ⎜ ⎜⎜ 0 ⎝
pτ − 2 h pτ 1+ 2 2 h O O L
0 pτ h2 O pτ − 2 h −
0
L 0 O pτ 1+ 2 2 h pτ − 2 h
⎞ 0 ⎟ ⎟⎛ U11 ⎞ ⎛ U10 ⎞ + τf (1.1,0.1) + 4U 01 ⎟⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟ + τf (1.2,0.1) M ⎟⎜ U 2 ⎟ ⎜ U 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎟⎜ M ⎟ = ⎜ M ⎟ pτ ⎟ 1 0 − 2 ⎟⎜U18 ⎟ ⎜U18 ⎟ + τf (2.8,0.1) h ⎟⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟ 1 pτ ⎟⎝U19 ⎠ ⎝U19 ⎠ + τf (2.9,0.1) + 4U 20 1+ 2 2 ⎟ h ⎠
1.1 + 4 ⋅10 = 51.1 1.1 1 .2 − 4U11 + 9U 21 − 4U 31 = 12 + 0.1 = 12.11 1 .1 L 2.8 − 4U171 + 9U181 − 4U191 = 28 + 0.1 = 28.255 1 .1 2.9 30 − 4U181 + 9U191 = 29 + 0.1 + 4⋅ = 89.26 1 .1 10 ⋅ 0.1 + 1 9U11 − 4U 21 = 11 + 0.1
Rovnice vedení tepla. Příklady •
Příklad 3 ad 3
Je dána smíšená úloha pro rovnici vedení tepla:
∂u ∂ 2u =4 2 +x ∂t ∂x
⎧u ( x,0) = Mx + N ⎪ 2+t ⎨u (0, t ) = ⎪u (4, t ) = −2 ⎩
x ∈< 0,4 > t≥0 t≥0
a. Určete, pro které M a N ∈ jsou splněny podmínky souhlasu. b Určete maximální kroky h a τ b. Určete maximální kroky h a τ tak, aby bod A =[1, 0.5] byl uzlem sítě a explicitní schéma bylo stabilní. tak aby bod A =[1 0 5] byl uzlem sítě a explicitní schéma bylo stabilní V jaké časové vrstvě leží bod A? c. Určete přibližné řešení v bodě A explicitní metodou. a x = 0, t a. x 0 t = 0: (počáteční podmínka) u(0,0) 0: (počáteční podmínka) u(0 0)=M⋅0+N= M 0+N 2 + 0 (okrajová podmínka ) ⇒ 2 + 0 (okrajová podmínka ) ⇒ N N = 2 2 x = 4, t = 0: (počáteční podmínka) u(4,0)=M⋅4+N= ‐2 (okrajová podmínka ) ⇒ M = ‐1 b. Max. krok h = 1, τ určíme z podmínky souhlasu: 4 τ≤0.5⋅⇒τ≤0.125⇒τmax = 0.125, A leží v 4. vrstvě. c pτ2 = 0.5 , U(A) = c. U(A) = 0.5(U(B)+U(C))+ τf(1,0.375)=2.57825 0 5(U(B)+U(C))+ τf(1 0 375)=2 57825 A h t=0.5 U(B) =2.375 (okrajová podm.) C B U(C) = 0.5(U(1,0.25) + U(3,0.25)) + τf(2,0.25)=2.53125 t=0.375 U(1 0 25)=0 5(U(0 0 125)+U(2 0 125))+ τf(1 0 125)=1 3125 t=0.25 U(1,0.25)=0.5(U(0,0.125)+U(2,0.125))+ τf(1,0.125)=1.3125 t 0 25 U(3,0.25)=0.5(U(2,0.125)+U(4,0.125))+ τf(3,0.125)=‐0.5 t=0.125 U(0,0.125)=2.125, U(4,0.125)=‐2, (okrajová podm.) U(2 0 125) 0 5(U(1 0)+U(3 0))+τf(2 0) 0 25 U(2,0.125)=0.5(U(1,0)+U(3,0))+τf(2,0)=0.25 t=0 U(1,0)=‐1+2=1, U(3,0)=‐3+2=‐1(poč.podm.)
x= 0 1 2 3 4
Parciální diferenciální rovnice hyperbolického typu.
Vlnová rovnice. • Úloha 2 ∂ 2u 2 ∂ u V oblasti Ω=(a, b)x(0, T), kde a, b, T∈R, a0 je dána , c =c + f ( x, t ) ∈ R, c >0 2 2 Ω ( b) (0 ) Ω=(a, b)x(0, ∝) s počátečními podmínkami( t=0, x ∈ ) a okrajovými podmínkami (x=a, x=b, t≥0 ) •
∂t
∂x
∂u ( x,0) = ψ ( x) ∂t u(a,t) = α(t), u(b,t)=β(t)
u ( x,0) = ϕ ( x),
Postup řešení – Ověření podmínek souhlasu Ověření podmínek souhlasu v bodech [x=a, t=0] v bodech [x=a t=0] a [x=b, t=0]: a [x=b t=0]: ϕ(a) = α(0), ψ(a) = α´(0) a ϕ(b) = β(0), ψ(b) = β´(0) – Volba časového prostorového kroku h a časového kroku τ a ověření stability: cτ ≤1 explicitní ‐ stabilní při , implicitní ‐ stabilní ∀τ,h (nepodmíněně) h – Volba numerické metody : explicitní nebo implicitní metoda sítí. – Se zvolenými ý kroky h, τ y , vytvoříme síť: y uzly sítě jsou body P y j y i (k) =[x [ i ,, tk ], ], xi=a+ ih, t , k= τk. Množina uzlů Pi (k) tvoří při pevném k tzv. k‐tou časovou vrstvu. Numerické řešení jsou vypočítané hodnoty Ui (k) přibližné hodnoty u(Pi (k)) v uzlech sítě. (k) určujeme ve směru rostoucího t, po jednotlivých časových vrstvách. H d t Ui (k) Hodnoty U č j ě t íh t j d tli ý h č ý h t á h
Odvození síťových rovnic pro explicitní metodu. Nahrazení derivací v uzlu Pi (k) =[x i,t k] : druhé derivace ‐ centrálně
∂ 2u u ( Pi k −1 ) − 2u ( Pi k ) + u ( Pi k +1 ) = + Ο(τ 2 ) 2 2 ∂t τ
∂ 2u u ( Pi −k1 ) − 2u ( Pi k ) + u ( Pi +k1 ) 2 = + Ο ( h ) 2 2 ∂x h
2 ∂ 2u 2 ∂ u =c + f ( x, t ) Po dosazení do rovnice 2 2 ∂t ∂x
u ( Pi k +1 ) − 2u ( Pi k ) + u ( Pi k −1 )
u ( Pi −k1 ) − 2u ( Pi k ) + u ( Pi +k1 ) k = + f ( P c i ) τ2 h2 c 2τ 2 k c 2τ 2 k c 2τ 2 k k +1 Ui = 2 Ui −1 + 2(1 − 2 )Ui + 2 Ui +1 − Uik −1 + τ 2 f ( Pi k ) h 444444h44244h444444444 1444 3 rovnice pro uzel Pik , pro i =1,...,n −1,k ≥2 2
dostaneme explicitní schéma dostaneme explicitní schéma pro druhou pro druhou a další a další časové vrstvy. časové vrstvy Odvození rovnic pro první časovou vrstvu s chybou O(τ) ∂u ( x,0) = ψ ( x) Počáteční podmínka ⇒ nahradíme derivaci ∂t v čase t = 0 , tj. v uzlech Pi (0) dopřednou diferencí
u ( Pi1 ) − u ( Pi 0 ) ∂u 0 ( Pi ) = + Ο(τ ) = ψ ( xi ), u ( Pi 0 ) = ϕ ( xi ) ∂t τ ⇒ U1i = ϕ ( xi ) + τψ ( xi )
i = 0( x0 = a ) ⇒ U0k = α (t k ) i = n( xn = b) ⇒ Ukn = β (t k ) k = 0 ⇒ Ui0 = ϕ ( xi ) k = 1 ⇒ U1i = ?
Pi k+1 τ h
P k i‐1
Pi k Pi k‐1
P k i+1
Taylor
Odvození rovnic pro první časovou vrstvu s chybou O(τ2)
} ∂u 0 τ 2 ∂ 2u 0 0 ( Pi ) + Ο(τ 3 ) ⇒ u ( P ) = u ( Pi ) + τ ( Pi ) + 2 ∂t 2 ∂t { } Vyhovuje diferenciální rovnici Vyhovuje diferenciální rovnici ∂u 0 ( Pi ) = ψ ( xi ) ∂t } 1 i
2 ∂ 2u 0 2 ∂ u ( Pi ) = c ( Pi 0 ) + f ( Pi 0 ) => 2 2 ∂t ∂x 0 0 0 ∂ 2u 0 2 u ( Pi −1 ) − 2u ( Pi ) + u ( Pi +1 ) ( Pi ) = c + f ( Pi 0 ) + Ο(h 2 ), 2 2 ∂t h
u ( Pi 0 ) = ϕ ( xi )
u ( Pi ) = ϕ ( xi ) + τψ ( xi ) + 1
τ2 ⎛
2 ⎜c 2⎝
ϕ ( xi −1 ) − 2ϕ ( xi ) + ϕ ( xi +1 ) h2
⎞ + f ( Pi 0 ) ⎟ ⎠
c 2τ 2 c 2τ 2 c 2τ 2 τ2 U = ϕ ( xi −1 ) + (1 − 2 )ϕ ( xi ) + 2 ϕ ( xi +1 ) + τψ ( xi ) + f ( Pi 0 ) 2 2h 2h 2 h 1 i
Vlnová rovnice. Příklady • Příklad 1 Příklad 1 ∂ 2u ∂ 2u Je dána smíšená úloha : 2 = 4 2 ∂t
∂ x
∂u ( x,0) = x(2 − x) pro x ∈< 0,1 > ∂t u (0, t ) = 0, u (1, t ) = t pro t ≥ 0
u ( x,0) = 0,
a. Ověřte splnění podmínek souhlasu. O ěřt l ě í d í k hl b. Volte h = 0.2 a určete maximální časový krok τ, aby bod A = [0.8 , 0.2] byl uzlem sítě a explicitní metoda řešení byla stabilní. c Určete přibližné řešení v bodě A V první časové vrstvě použijte aproximaci 1 řádu přesnosti c. Určete přibližné řešení v bodě A. V první časové vrstvě použijte aproximaci 1. řádu přesnosti. d. Určete přibližné řešení v bodě A. V první časové vrstvě použijte aproximaci 2. řádu přesnosti. a. x=0, t=0 : pro u(x, t): 0 t 0 ( t) počáteční podmínka u(0,0) = 0, okrajová podmínka u(0,0) = 0 čát č í d í k (0 0) 0 k j á d í k (0 0) 0 … souhlasí hl í ∂u ∂ 0 pro derivaci:počát. podmínka = 0(2‐0), derivace okr. podm. = 0 … souhlasí (0,0) ∂ t ∂t x=1, t=0: pro u(x, t): počáteční podmínka u(1,0) = 0, okrajová podmínka u(1,0) = t = 0 … souhlasí ∂u ∂ pro derivaci:počát. podmínka = 1(2‐1)=1, derivace okr. podm. = 1 … souhlasí d i i čá d í k k d ∂t t 1 hl í (1,0) 1(2 1) 1 d i ∂t cτ 2τ cτ ≤1⇒ ≤1⇒τ ≤ 0.1⇒τmax = 0.1, (⇒ =1) b. Podmínka stability: h
0.2
h
c. U(A) U(A) = U(B) + 2(1 U(B) + 2(1 ‐1)U(C) 1)U(C) + U(D) + U(D) ‐ U(E) + τ U(E) + τ2f(0.8,0.1) = 0.184 0.184 t=0.2 U(B) = ϕ(B)+τψ (B) = 0 + 0.1⋅0.6(2‐0.6) = 0.084 U(D) = t = 0.1, U(E) = 0 t=0.1 2 d U(B) = 0 5(ϕ(0 4)+ϕ(0 8)) + τψ (0.6) + 0.5τ d. U(B) = 0.5(ϕ(0.4)+ϕ(0.8)) + τψ (0 6) + 0 5τ f(0.6,0) = 0.084 f(0 6 0) = 0 084 U(A) je v tomto případě stejné. t=0, U=0
A B
C
D
E
x=0.4 0.6 0.8 1
Vlnová rovnice. Příklady • Příklad 2 Příkl d 2 ∂ 2u ∂ 2u Je dána smíšená úloha : 2 = 2 ∂t
∂ x
∂u ( x,0) = 1 pro x ∈< 0,1 > ∂t Q u (0, t ) = 2 P + sin( i ( Pt ), ) u (1, t ) = pro t ≥ 0 1+ t u ( x,0) = Mx + N ,
a. Určete M,N,P,Q ∈R tak, aby byly splněny podmínky souhlasu. b. Volte maximální kroky h a τ tak, aby bod A = [0.4 , 0.3] byl uzlem sítě a explicitní metoda řešení byla stabilní. a. x=0, t=0 : pro u(x, t): počát. podm. u(0,0) = N, okraj. podm. u(0,0) =2P + sin(0)… souhlasí při N=2P ∂ ∂u (2 P + sin( Pt )) = P cos( Pt ) = P cos(0) = P pro derivaci:počát. podm. = 1, derivace okr. podm. (0,0) ∂t ∂t souhlasí při P=1 ⇒N=2 x=1, t=0: pro u(x, t): počát. podm. u(1,0) = M+N, okraj. podm. u(1,0) = Q … souhlasí při M+N = Q⇒M=Q‐2 ∂u ∂⎛ Q ⎞ −Q = −Q ⎜ ⎟= pro derivaci:počát. podmínka = 1, derivace okr. podm. souhlasí při Q=‐1⇒M=‐3 (1,0) ∂t ⎝ 1 + t ⎠ (1 + t ) 2 ∂t b. xA = 0.4: hmax = 0.2(h = 0.4 volit nelze, protože interval <0,1>nelze rozdělit na celý počet dílků délky 0.4) 2 τ cτ Podmínka stability: cτ ⎛ cτ ⎞ 9 ≤1⇒ ≤1⇒τ ≤ 0.2 ⇒τmax = 0.15 (⇒ = 0.75,⎜ ⎟ = = 0.5625) h 0.2 h ⎝ h ⎠ 16
Vlnová rovnice. Příklady cc. Určete přibližné řešení v bodě A. V první časové vrstvě použijte aproximaci 1. řádu přesnosti. Určete přibližné řešení v bodě A V první časové vrstvě použijte aproximaci 1 řádu přesnosti d. Určete přibližné řešení v bodě A. V první časové vrstvě použijte aproximaci 2. řádu přesnosti.
A
t=0.3 t=0.15
B
C
D
E
t=0, U=‐3x+2 , x=0 0.2 0.4 0.6 0.8 U(x,0)=2 1.4 0.8 0.2 ‐0.4 c. U(A) = 0.5625(U(B)+U(D)) + 2(1 ‐0.5625)U(C) ‐ U(E) + τ2f(0.4,0.1) =0.5625 ‐ 1.9+0.875 ‐ 0.95 ‐ 0.8=1.1 U(B) = ϕ(0.2)+τψ (0.2) =‐3⋅0.2+2+0.15 =1.55 U(C) = ϕ(0.4)+τψ (0.4)=‐3⋅0.4+2+0.15=0.95 U(D) = ϕ(0.6)+τψ (0.6)=‐3⋅0.6+2+0.15=0.35 , U(E) = ϕ(E)=‐3⋅0.4+2=0.8 d. U(B) = 0.5 ⋅0.5625(ϕ(0)+ϕ(0.4)) + (1‐0.5625) ϕ(0.2)+τψ (0.2) =0.28125(2+0.8)+0.4375(1.4)+0.15=1.55 U(C) = 0.5 ⋅0.5625(ϕ(0.2)+ϕ(0.6))+ (1‐0.5625) ϕ(0.4)+τψ (0.4) = 0.28125(1.4+0.2)+0.4375(0.8)+0.15=0.95 U(D) = 0.5 ⋅0.5625(ϕ(0.4)+ϕ(0.8) + (1‐0.5625) ϕ(0.6)+τψ (0.6) =0.28125(0.8‐0.4)+0.4375(0.2)+0.15=0.35 U(A) je i v tomto případě stejné. (protože f(x,t) = 0 a ϕ(xi‐1) + ϕ(xi+1) = 2 ϕ(xi) )
Vlnová rovnice. Příklady • Příklad 3 Příkl d 3 Je dána smíšená úloha :
∂ 2u 9 ∂ 2u = + 2( x + t ) ∂ 2t 4 ∂ 2 x
u ( x,0) = x − 5, u (0, t ) =
∂u ( x,0) = 2 x pro x ∈< 0,7 > ∂t
Mt + N , u (7, t ) = 14t + 2 pro t ≥ 0 t −1
a. Určete M,N ∈R tak, aby byly splněny podmínky souhlasu. b. Volte maximální kroky h a τ tak, aby bod A = [5 , 1] byl uzlem sítě a explicitní metoda řešení byla stabilní. c. Určete přibližné řešení v bodě A. V první časové vrstvě použijte aproximaci 1. řádu přesnosti. d. Určete přibližné řešení v bodě A. V první časové vrstvě použijte aproximaci 2. řádu přesnosti. a. x=0, t=0 : pro u(x, t): počát. podm. u(0,0) = ‐5, okraj. podm. u(0,0) =N… souhlasí při N=‐5 ∂ ⎛ Mt −M ∂u ⎞ +N⎟= = −M pro derivaci:počát. podm. = 0, derivace okr. podm. souhlasí při M=0 (0,0) ⎜ 2 ∂t ⎝ t − 1 ∂t ⎠ (t − 1) x=7, t=0: pro u(x, t): počát. podm. u(7,0) =7‐5=2 , okraj. podm. u(7,0) = 2 … souhlasí ∂u ∂ (14t + 2) = 14 pro derivaci:počát. podmínka = 14, derivace okr. podm. … souhlasí ( 7, 0) ∂t ∂t b b. xA = 5: h hmax = 1, podmínka stability: d í k bl 3 τ 2 cτ ≤ 1 ⇒ 2 ≤ 1 ⇒ τ ≤ ⇒ τ max = 0.5 h 1 3
9 cτ ⎛ cτ ⎞ ⇒ = 0.75, ⎜ ⎟ = = 0.5625 h ⎝ h ⎠ 16 2
Vlnová rovnice. Příklady A
t=1 t 05 t=0.5 t=0, U=x‐5
B
C
D
E
x=3 4 5 6 7 U(x,0)=‐2 ‐1 0 1 2 c. U(A) = 0.5625(U(B)+U(D)) + 2(1 ‐0.5625)U(C) ‐ U(E) + τ2f(5,0.5) =5.625+ 4.375+0.25⋅2⋅(5+0.5)=12.75 U(B) = ϕ(4)+τψ (4) = ‐1 + 0.5⋅2 ⋅ 4 = 3 U(C) = ϕ(5)+τψ (5) = 0 + 0.5⋅2 ⋅ 5 = 5 U(D) = ϕ(6)+τψ (6) = 1 + 0.5⋅2 ⋅ 6 = 7 U(E) = ϕ(5) = 0 d. U(B) = 0.5 ⋅0.5625(ϕ(3)+ϕ(5)) +0.4375ϕ(4)+ τψ (4) + 0.5τ2f(4,0) = 3+1=4 U(C) = 0.5 ⋅0.5625(ϕ(4)+ϕ(6)) +0.4375ϕ(5)+ τψ (5) + 0.5τ2f(5,0) = 5+1.25 =6.25 U(B) = 0.5 ⋅0.5625(ϕ(5)+ϕ(7)) +0.4375ϕ(6)+ τψ (6) + 0.5τ2f(6,0) = 7+1.5=8.5 U(A) = 7.03125 + 5.46875 + 2.75 = 15.25 Poznámka: pro f(x,t) = 2xt by U(A) bylo stejné (c,d). Ověřte nebo zdůvodněte!
Implicitní schéma Odvození: v uzlu Pi (k) nahradíme druhou derivaci utt centrálně, druhou derivaci uxx kombinací centrálních náhrad v časových vrstvách t‐1, t+1: ⎡ Uik+−11 − 2Uik −1 + Uik−−11 Uik++11 − 2Uik +1 + Uik−+11 ⎤ k + ⎢ ⎥ + f ( xi , t ) 2 2 2 h h τ ⎣ ⎦ k +1 k +1 k +1 k −1 k −1 k −1 2 2 2 2 c τ Ui +1 − 2Ui + Ui −1 c τ Ui +1 − 2Ui + Ui −1 − + Uik +1 = − Uik −1 + 2Uik + τ 2 f ( xi , t k ) 2 2 2 h 2 h 2 2 2 2 2 2 2 2 c τ k +1 cτ c τ k +1 c τ c 2τ 2 k −1 k +1 k −1 k −1 (Ui −1 + Ui +1 ) − (1 + 2 )Ui + 2Uik + τ 2 f ( xi , t k ) − 2 Ui −1 + (1 + 2 )Ui − 2 Ui +1 = 2 2h 2h 2h h h 2 2 c τ tj. maticově (σ 2 = 2 ) h hodnoty vrstvy k ‐1 okrajová podm. ⎛ 64444 47444448 hodnoty vrstvy k 6 474 8⎞ ⎜ 2 ⎟ 678 2 σ k 2 k k +1 ⎟ ⎜ σ (U 0k −1 + U 2k −1 ) − ( 1 + σ 2 )U1k −1 + 2U1 + τ f ( x1 , t ) + U0 2 ⎜ 2 ⎟ 2 ⎛ ⎞ σ ⎜1 + σ 2 − ⎜ ⎟ 0 0 ⎟ L 2 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ σ σ2 ⎜ σ2 ⎟⎛ U1k +1 ⎞ ⎜ (U1k −1 + U 3k −1 ) − ( 1 + σ 2 )U 2k −1 ⎟ + 2U 2k + τ 2 f ( x2 , t k ) 2 0 M ⎟⎜ k +1 ⎟ ⎜ 2 − ⎜ − 2 1+ σ ⎟ 2 ⎜ ⎟⎜ U2 ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 σ σ ⎜ M ⎟=⎜ 2 ⎜ 0 ⎟ ⎟ 1+ σ 0 ⎜ − − M M M 2 2 ⎜ ⎟ k +1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ 2 ⎜U n 2 − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ σ ⎜ − O O ⎜ M ⎟ Ukn −+11 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎜σ 2 ⎟⎝ ⎜ ⎟ (U nk−−31 + U nk−−11 ) − ( 1 + σ 2 )U nk−−21 + 2U nk− 2 + τ 2 f ( xn − 2 , t k ) σ2 2⎟ ⎜⎜ 0 ⎜ ⎟ − L 0 1+ σ ⎟ 2 ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎜ 2 ⎟ 2 σ 2 k k +1 ⎟ ⎜⎜ σ (U k −1 + U k −1 ) − ( 1 + σ 2 )U k −1 + 2U k + τ f ( xn −1 , t ) + Un ⎟ n−2 n n −1 n −1 2 ⎝ 2 ⎠ Uik +1 − 2Uik + Uik −1
c2 = 2
Implicitní schéma – 1. časová vrstva
−σ 2Ui1−1 + 2(1+σ 2 )Ui1 −σ 2Ui1+1 = 2ϕ(xi ) −σ 2τ (ψ (xi−1) +ψ (xi+1))+ 2(σ 2 +1)τψ(xi ) +τ 2 f (xi ,0)
