Obyčejné diferenciální rovnice. Cauchyova úloha Dirichletova úloha

Obyčejné diferenciální rovnice Cauchyova úloha Dirichletova úloha

Obyčejné diferenciální rovnice - Cauchyova úloha • Úlohy: I. y´=f(x,y) s podmínkou y(x0)=y0, y1  f1 ( x, y1 , y2 ,, yn ) y1 ( x0 )   II. y2  f 2 ( x, y1 , y2 ,, yn ) y2 ( x0 )      yn  f n ( x, y1 , y2 ,, yn ) , yn ( x0 )  

(jedna rovnice 1. řádu) (soustava n rovnic 1. řádu)

III. y (n) =f(x, y, y´, y´,´…,y (n-1)) (jedna rovnice n-tého řádu) y(x0)=y0, y´(x0)=y0´, y´´(x0)=y 0 ´´,…, y (n-1) (x0)=y 0 (n-1) • •

• •

Hledáme funkci y(x), resp. funkce y1(x) … yk(x), které vyhovují diferenciální rovnici a počáteční podmínce. Postačující podmínkou existence jediného řešení je spojitost funkce f a jejích parciálních derivací podle y. Numerické řešení je tvořeno tabulkou nalezených hodnot yi v bodech xi=x0+ih, kde h je zvolený krok (dostatečně malý) Způsob výpočtu numerického řešení je určen numerickou metodou.

Cauchyova úloha - některé numerické metody. • Eulerova metoda (prvního řádu).

yi 1  yi  hk1 , k1  f ( xi , yi )

Metody Runge - Kutty • druhého řádu: též Collatzova metoda

yi 1  yi  hk2 , k1  f ( xi , yi ), k2  f ( xi  h2 , yi  h2 k1 )

• třetího 1řádu:

yi 1  yi  4 h(k1  3k3 ),

k1  f ( xi , yi ), k2  f ( xi  h3 , yi  h3 k1 ), k3  f ( xi  23h , yi  23h k2 )

• čtvrtého řádu:

yi 1  yi  16 h(k1  2k2  2k3  k4 ),

k1  f ( xi , yi ), k2  f ( xi  h2 , yi  h2 k1 ), k3  f ( xi  h2 , yi  h2 k2 ), k4  ( xi  h, yi  hk3 )

Cauchyova úloha. Příklad I. • Příklad – jedna rovnice. Je dána Cauchyova úloha: y´ = xy, y(1)=2 a. Volíme krok h=0.2 a Eulerovu metodu. Z počáteční podmínky x0 = 1, y(x0) = y0= 2. Vypočítáme y1, y2, y3 a y 4, tj. přibližné řešení y(x1), y(x2), y(x3) a y(x4), x1 = x0 + h, x2 = x1 + h, x3 = x2 + h, x4 = x3 + h: y1 = y0 + hf(x0,y0), tj. y1 = y0 + hx0y0 , tj. y1=2+0.212, tj. pro x1 = 1.2 y1=2.4 y2 = y1 + hf(x1,y1), tj. y2 = y1 + hx1y1 , tj. y2 =2.4+0.21.22.4, tj. pro x2 = 1.4 y2=2.976 y3 = y2 + hf(x2,y2), tj. y3 = y2 + hx2y2 , y3=2.976+0.21.42.976, tj. pro x3 = 1.6 y3=3.809 y4 = y3 + hf(x3,y3), tj. y4 = y3 + hx3y3 , y4 =3.809+0.21.63.809, tj. pro x4 = 1.8 y4=5.028 b. Volíme krok h=0.2 a Collatzovu metodu. Vypočítáme y1, y2, y3 a y 4. k1=f(x0,y0) = 2, k2 = f(x0+0.5h, y0+0.5hk1) = f(1.1, 2.2) = 2.42, k1=f(x1,y1) = 2.98, k2 = f(x1+0.5h, y1+0.5hk1) = f(1.3, 2.78) = 3.62, k1=f(x2,y2) = 4.49, k2 = f(x2+0.5h, y2+0.5hk1) = f(1.5, 3.656) = 5.48, k1=f(x3,y3) = 6.887, k2 = f(x3+0.5h, y3+0.5hk1) = f(1.7, 4.993) = 8.49,

y1 = y0 + hk2 = 2.484 y2 = y1 + hk2 = 3.207 y3 = y2 + hk2 = 4.304 y4 = y3 + hk2 = 6.002

Cauchyova úloha. Příklad I – zkoumáme řešení. c. Tuto diferenciální rovnici umíme vyřešit separací proměnných,

x2  c dy dy  xy   xdx  y  e 2 , y(1)  2  2  e0.5c  c  ln 2  0.5 dx y

y  e0.5 x

2

 ln 20.5

přesné řešení je d. Porovnáme hodnoty přesného řešení s řešením vypočítaným numerickými metodami s krokem h=0.2 X

1

1.2

1.4

1.6

1.8

y_Euler

2

2.4

2.976

3.809

5.028

y_Collatz

2

2.484

3.207

4.304

6.002

y_přesné

2

2.492

3.232

4.363

6.130

e. Vypočteme numerické řešení s polovičním krokem h = 0.1 x

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

y_Euler

2

2.2

2.442

2.735

3.091

3.523

4.052

4.700

5.499

y_Collatz

2

2.22

2.49

2.82

3.225

3.726

4.346

5.121

6.093

y_přesné

2

2.221

2.492

2.824

3.232

3.736

4.363

5.146

6.130

6 5 4 3 2

yEuler yCollatz yPřesné 1,00

1,40

1,80

6 5 4 3 2

yEuler yCollatz yPřesné 1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

Cauchyova úloha. Příklad II. • Příklad – soustava rovnic. Je dána Cauchyova úloha:  y1  y1     Označíme: Y   y2 , Y    y2   y  3    y3

y1  y2  y3 , y1 (0)  2 y2  y1  y3 , y2 (0)  4 y3  y1  y2 , y3 (0)  3

  y 2  y3   2      , F   y1  y3 , Y0   4  a úlohu zapíšeme: Y´=F(x,Y), Y(0)=Y0  y y   3 2  1   

a. Určíme oblast existence jediného řešení G={[x,y1,y2,y3]:xR, y1R, y2R, y3R} b. Volíme krok h=0.4 a určíme Y1 , Y2 a Y3 Eulerovou metodou.  2  4  3   4.8        Y1  Y0  hF ( x0 , Y0 )   4   0.4 2  3    6   3  2  4   5.4       

 4.8   6  5.4   9.36        Y2  Y1  hF ( x1 , Y1 )   6   0.4 4.8  5.4   10.08   5.4   4.8  6   9.72         9.36  10.08  9.72   17.28        Y3  Y2  hF ( x2 , Y2 )  10.08   0.4 9.36  9.72   17.712   9.72   9.36  10.08  17.496       

(poznámka: přesné řešení : y1  3e

2x

 e x , y2  3e2 x  e x , y3  3e2 x )

Cauchyova úloha. Příklad II. c. Volíme stejný krok h=0.4 a určíme Y1 a Y2 Collatzovou metodou.  4  3 7     k1  F ( x0 , Y0 )   2  3    5   2  4  6        2 7  3.4    5  4.2   9.2               1 1 k 2  F ( x0  2 h, Y0  2 hk1 )  F  0.2,  4   0.2 5    F  0.2,  5     3.4  4.2    7.6     3 6  4.2    3.4  5   8.4               2  9.2   5.68        Y1  Y0  hk 2   4   0.4 7.6    7.04   3  8.4   6.36         7.04  6.36   13.4      k1  F ( x1 , Y1 )   5.68  6.36   12.04   5.68  7.04  12.72         5.68   13.4    8.36    9.448  8.904  18.352               1 1 k 2  F ( x1  2 h, Y1  2 hk1 )  F  0.6,  7.04   0.212.04    F  0.6,  9.448     8.36  8.904   17.264     6.36  12.72    8.904    8.36  9.448  17.808                5.68  18.352  13.0208        Y2  Y1  hk 2   7.04   0.417.264   13.9456   6.36  17.808  13.4832       

Cauchyova úloha. Příklad II – zkoumáme řešení.

Přesné řešení úlohy je Graficky znázorníme přesné a numerické řešení. y1  3e2 x  e x , y2  3e2 x  e x , y3  3e2 x

12 y1_E 7

y1_C y1_př

2 0

0,4

0,8

14

y2_E

9

y2_C

4

y2_př 0

0,4

0,8

13 y3_E 8

y3_C y3_př

3 0

0,4

0,8

Cauchyova úloha. Příklad III. • Příklad – rovnice vyššího řádu. 1  x ln( y ), y (0)  2, y(0)  4, y(0)  0 Je dána Cauchyova úloha: y  2 y  ' y Rovnici převedeme na soustavu 3 rovnic 1.řádu:     y  y1 y1  y y  y1   2 2       , Y (0)   4  y  y2 , y2  y , Y   y2 , Y    y3 Označíme:   y  0 1 y  y3 y3  y  3    x ln( y1 )   2 y3    y2     F ( x ,Y ) a. Určíme oblast existence jediného řešení G={[x,y1,y2,y3]:xR, y1(0,), y2 (0,), y3R} b. Volíme krok h=0.2 a určíme Y1 a Y2 Eulerovou metodou.

     2.8  4  2       Y1  Y0  hF ( x0 , Y0 )   4   0.2 0  4    1 0 20   0 ln( 2)    0.1    4        3.6  4  2.8        Y2  Y1  hF ( x1 , Y1 )   4   0.2  0.1  3 . 98    1   0.1  2  (0.1)   0.2 ln( 2.8)    0.1988     4  

Cauchyova úloha. Příklad III. c. Volíme krok h=0.4 a určíme Y1 Collatzovou metodou.     4    2  4        k1  F ( x0 , Y0 )  F  0,  4     0  0    1  0    0 ln( 2)    0.5      2 0  4       4    4  2  4   2.8                  k 2  F ( x0  12 h, Y0  12 hk1 )  F  0.2,  4   0.2 0    F  0.2,  4      0.1   0 . 1      0   0.5     0.1   2  (0.1)  1  0.2 ln( 2.8)    0.494              4    2  4   3.6        Y1  Y0  hk 2   4   0.4  0.1    3.96  0   0.494    0.1976       

Obyčejné diferenciální rovnice. Dirichletova úloha. • Úloha. y´´+f1(x)y´+f2(x)y=f3(x), s okrajovými podmínkami y(a)=ya, y(b)=yb • Hledáme funkci y, která vyhovuje diferenciální rovnici a okrajovým podmínkám. Postačující podmínky existence jediného řešení jsou formulovány pro rovnici v samoadjungovaném tvaru. • Převod na samoadjungovaný tvar: jsou li funkce f1, f2 a f3 spojité v intervalu (určeném okrajovými podmínkami), lze diferenciální rovnici zapsat ve tvaru –(p(x)y´)´+ q(x)y = f(x) … samoadjungovaný tvar,  kde p( x)  e

f1 ( x ) dx

, q( x)   p( x) f 2 ( x), f ( x)   p( x) f 3 ( x)

• Postačující podmínky existence jediného řešení:  p(x), p´(x), q(x), f(x) jsou spojité v intervalu  p(x) >0 v intervalu  q(x) ≥0 v intervalu

Ditrichletova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici. Metoda sítí. • Numerické řešení Dirichletovy úlohy hledáme v bodech xi, které získáme rozdělením intervalu s krokem h, tj. x0=a, x1 = x0 +h, x2=x1+h, … xn= b. • Hledané hodnoty y i vypočítáme jako řešení soustavy síťových rovnic:

 p( xi  h2 ) yi 1  ( p( xi  h2 )  p( xi  h2 )  h 2 q( xi )) yi  p( xi  h2 ) yi 1  h 2 f ( xi )  di

neboli v maticovém zápisu: d1  p( x1  h2 ) 0  0   y1   h 2 f ( x1 )  p( x1  h2 ) ya       2 h h d2  p ( x2  2 ) 0  h f ( x2 )    p ( x2  2 )  y2      y    0  p( x3  h2 ) d3  0 h 2 f ( x3 )    3   h      p( xn  2  2 )            2 h h 0  0  p ( x  ) d y h f ( x )  p ( x  ) y n 1 n 1 2   n 1   n 1 n 1 b 2 kde d1  p( x1  h2 )  p( x1  h2 )  h 2 q( x1 ), d 2  p( x2  h2 )  p( x2  h2 )  h 2 q( x2 ), d 3  p( x3  h2 )  p( x3  h2 )  h 2 q( x3 ) 

• Odvození síťových rovnic viz „Příklady“.

Ditrichletova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici. Příklad. 1 x 1    y  y  y   Je dána obyčejná diferenciální rovnice x ln x ln x x2 a. Určete intervaly , ve kterých jsou splněny postačující podmínky jednoznačné řešitelnosti Dirichletovy úlohy s okrajovými podmínkami y(a)=ya, y(b) = yb. 1 x 1 , f 2 ( x)  , f 3 ( x)   2 Funkce f1 ( x)  x ln x ln x x jsou spojité v I1(0,1) nebo  I2(1,).



f1 ( x)dx  

1 dx  ln | ln x |, p( x)  e ln|ln x| | ln x | x ln x

 ln x  x 2 , x  (1, )  x, x  (1, ) x 1 q( x)   | ln x | ( ) , f ( x)   | ln x | ( 2 )   ln x ln x  x, x  (0,1) x   , x  (0,1) 2 Postačující podmínky:  x

spojitost p,p´,q a f je splněna v intervalech I1 a I2, p(x)0 platí v intervalech I1 a I2, q(x) 0 platí v intervalu I2. Daná úloha má jediné řešení v libovolném intervalu  I2(1,) .

Příklad. b. Pro okrajové podmínky y(2)=1, y(4)=3 volte h = 0.4 a sestavte soustavu síťových rovnic . xi

x0 =2

x1 =2.4

x2 =2.8

x3 =3.2

x4 =3.6

x5 =4

xih/2

x1-h/2 2.2

x1 +h/2 = x2-h/2 2.6

x2 +h/2 = x3-h/2 3

x3 +h/2 = x4-h/2 3.4

x4 +h/2 3.8

p(xih/2)

ln(2.2)= 0.79

ln(2.6)= 0.96

ln(3)= 1.1

ln(3.4)= 1.22

ln(3.8)= 1.34

q(xi)

2.4

2.8

3.2

3.6

di

2.13

2.5

2.83

3.13

f(xi)

0.15

0.13

0.11

0.09

pravá strana

0.02+ 0.79

0.02

0.02

0.01+ 3x1.34

0 0  y1   0.81   2.13  0.96      2.5  1.1 0  y2   0.02    0.96     0   1.1 2.83  1.22 y3 0.02        0      y 0  1 . 22 3 . 13 4 . 03   4   

Obyčejné diferenciální rovnice. Nahrazení derivací diferencemi.