PARADOXEN 5 Dr. Luc Gheysens

PARADOXEN 5 Dr. Luc Gheysens KANSREKENEN EN STATISTIEK : EEN NEST VOL PARADOXEN “Er bestaan drie soorten leugens : leugens om bestwil, opzettelijke leugens en statistieken.” (Benjamin Disraeli, Engels auteur en bekend politicus, 1850). Historische nota De Franse wis- en natuurkundige en filosoof Blaise Pascal (1623-1662) legde omstreeks 1650 samen met Pierre de Fermat (1601-1665) de grondslagen voor de waarschijnlijkheidsrekening. Pascal ontdekte algauw dat het berekenen van winstkansen niet zo eenvoud ig was en ongetwijfeld zal hij wel op een aantal schijnbare tegenstrijdigheden zijn gebotst. Zo legde de goklustige edelman Chevalier de Méré (1607-1684) in 1654 het volgende probleem voor aan zijn vriend Pascal. Als je met één dobbelsteen gooit, zijn er 6 mogelijke uitkomsten en met twee dobbelstenen zijn er 6 x 6 = 36 mogelijke resultaten. Uit ervaring blijkt dat wedden op minstens 1 keer 6 werpen met één dobbelsteen in 4 worpen voordelig is (meer dan 50% kans), terwijl wedden op minstens 1 keer een dubbele 6 gooien in 24 worpen met twee dobbelstenen nadelig is (minder dan 50% kans). Nochtans is 4/6 gelijk aan 24/36. Hoe kan dat? Pascal vond hiervoor een correcte wiskundige verklaring door de kansen op de juiste manier te berekenen. Als je 4 keer werpt met één dobbelsteen is de kans op minstens 1 keer 6 gelijk aan 1 – (5/6)4 ≈ 51,77%. Maar als je 24 keer dobbelt met twee stenen is de kans op minstens één keer een dubbele 6 gelijk aan 1 – (35/36)24 ≈ 49,14%. Wie ietwat vertrouwd is met kansberekening en met statistiek, zal beseffen dat je binnen deze tak van de wiskunde vaak met haast onverklaarbare anomalieën af te rekenen hebt. In deze rubriek hebben we het over een aantal van de meest gekende paradoxen en problemen uit dit vakgebied. Het probleem va n Monty Hall (driedeurenprobleem)

Bron: http://users.pandora.be/chris.cambre/chris.cambre/drie_deuren_probleem.htm Paradoxen 5 – dr. Luc Gheysens

1

Jaren geleden was er op de Amerikaanse TV een populair spelprogramma ‘Let’s make a deal’ waarbij de spelleider Monty Hall een deelnemer voor het volgende probleem stelde. De speler moest een keuze maken uit drie deuren. Achter één van de deuren stond een auto en achter beide andere deuren een waardeloze prijs (bijvoorbeeld een geit). De speler koos een deur. Monty Hall, die precies wist zich achter elke deur bevond, opende dan één van de twee andere deuren met een waardeloze prijs. Dan vroeg hij of de kandidaat bij zijn keuze bleef of nog van deur wilde veranderen. Had de kandidaat er voordeel bij om van mening te veranderen, m.a.w. was de kans op de auto groter als hij een andere deur koos? Het antwoord op dit probleem bood in een Amerikaans magazine heel wat discussiestof. Duizenden reacties stroomden binnen, ook van wiskundigen. Sommigen meenden dat de kans om de hoofdprijs te winnen gelijk bleef omdat er, na het openen van een deur, twee deuren gesloten bleven en er dus 50 % kans was dat de auto achter de gekozen deur stond. Anderen meenden – op basis van een simulatie van dit probleem – dat het beter was van deur te veranderen. Hoewel ze in dit geval geen onmiddellijke verklaring konden geven. Het antwoord op de vraag is nochtans niet zo moeilijk. Als we veronderstellen dat de spelleider weet waar de auto staat, kunnen we de kansen om de auto te winnen berekenen via een kansboom. We nemen aan dat de auto achter deur C staat. We krijgen dan het volgende boomdiagram:

keuze van de speler

deur die de spelleider opent

A

B

B

A

1/3

1/3

1/3

A

C

B

Paradoxen 5 – dr. Luc Gheysens

2

De speler wijst dus deur A, B of C aan, telkens met een kans gelijk aan 1 op 3. Aangezien de spelleider weet dat de auto zich achter deur C bevindt, zal hij deur B openen als de speler deur A heeft gekozen en zal hij deur A openen als de speler deur B heeft gekozen. Mocht de kandidaat deur C kiezen, dan zal de spelleider deur A of B openen. Hoe groot is de kans dat de speler de auto wint als hij niet van deur verandert? In dit geval is 1 1 1 1 de kans gelijk aan .0 + . 0 + .1 = . Zijn kans is nul als hij deur A of B kiest en niet 3 3 3 3 verandert. Kiest hij daarentegen deur C, dan wordt hij de gelukkige winnaar. Hoe groot is de kans dat de speler de auto wint als hij wel van deur verandert? Dan is die kans 1 1 1 2 gelijk aan .1 + .1 + .0 = . Immers, bij de optie A of B, zal de spelleider – die weet waar 3 3 3 3 de auto zich bevindt – de andere deur openen waarachter een geit staat. In beide gevallen levert veranderen van deur de auto op. Enkel wanneer de speler deur C heeft gekozen en zijn keuze verandert, wint hij de auto niet. Besluit: aangezien de spelleider weet achter welke deur de auto staat, kan men beter van deur veranderen!

De paradox van Simpson Deze paradox is genoemd naar de statisticus E. H. Simpson en werd in 1951 voor het eerst gepubliceerd. We bespreken de paradox aan de hand van drie voorbeelden. Voorbeeld 1. Hieronder staan de slaagcijfers van jongens en meisjes voor de drie grote universitaire studiegroepen van medische, humane en exacte wetenschappen.

MEISJES Studiegroep Ingeschreven Geslaagd Aantal % Medische 4 584 2 292 50,00% Humane 5 000 2 050 41,00% Exacte 416 258 62,02% TOTAAL 10 000 4 600 46,00%

JONGENS Ingeschreven Geslaagd Aantal % 4 000 1960 49,00% 2 400 960 40,00% 3 600 2180 60,56% 10 000 5 100 51,00%

Uit deze tabel blijkt dat in de drie verschillende studiegroepen de slaagpercentages bij de meisjes net iets hoger liggen dan bij de jongens. Paradoxaal genoeg blijken de jongens in totaal toch beter te presteren dan de meisjes: 51% van de jongens slagen en slechts 46% van de meisjes. Men kan dit enkel verklaren door het feit dat meisjes inschrijven voor studierichtingen waar de slaagkansen kleiner zijn.


3

Voorbeeld 2. Op een aantal mannen en vrouwen wordt een nieuw geneesmiddel uitgetest. Verklaring van de gebruikte afkortingen in de onderstaande tabel: G = genezen NG = niet genezen % G = percentage dat genezen is N = aantal patiënten MANNEN behandeld niet behandeld

N 100 300

G 70 180

NG 30 120

%G 70 60

VROUWEN behandeld niet behandeld

N 300 100

G 90 20

NG 210 80

%G 30 20

MANNEN + VROUWEN behandeld niet behandeld

N

G

NG

%G

400 400

160 200

240 200

40 50

Zowel bij de mannen als bij de vrouwen blijkt er procentueel meer kans te bestaan op genezing na behandeling met het nieuwe geneesmiddel dan wanneer je er niet mee werd behandeld. Verrassend genoeg blijkt dan uit de statistieken waarin de procentuele cijfers van de mannen en de vrouwen zijn samengevoegd (onderste tabel), dat er meer kans is op genezing wanneer je niet met het nieuwe medicament werd behandeld.

Voorbeeld 3. Op een eerste tafel staan twee bokalen: in de linkse bokaal zitten 4 witte ballen en 1 zwarte bal en de rechtse bokaal bevat 6 witte en 2 zwarte ballen. Een geblinddoekte persoon neemt uit één van beide bokalen een bal. De kans dat hij een zwarte bal ophaalt is het grootst als hij de rechtse bokaal kiest: 1/5 < 2/8.

Op een tweede tafel staan eveneens twee bokalen: in de linkse bokaal zitten 6 zwarte en 2 witte ballen en in de rechtse bokaal 4 zwarte ballen en 1 witte bal. De geblinddoekte persoon heeft weer meest kans om een zwarte bal op te halen als hij de rechtse bokaal kiest: 6/8 < 4/5.


4

De ballen uit de twee linkse bokalen en ook de ballen uit de twee rechtse bokalen worden samengevoegd. De linkse bevat nu 7 zwarte en 6 witte ballen en de rechtse bokaal 6 zwarte en 7 witte. Merkwaardig genoeg is de kans om een zwarte bal boven te halen nu groter als de geblinddoekte persoon de linkse bokaal kiest: 7/13 > 6/13.

Paradoxale dobbelstenen

Op vier dobbelstenen staan cijfers zoals op de bovenstaande afbeelding. Laat nu je tegenspeler een dobbelsteen kiezen. Kies daarna zelf een andere dobbelsteen. Elke speler gooit een vrij groot aantal keren met de gekozen dobbelsteen (bijvoorbeeld 60 keer) en wie in die beurten het meest aantal keren hogere ogen heeft gegooid dan zijn tegenspeler, wint het spel. Dobbelsteen A biedt meer winstkansen dan B, B meer dan C, C meer dan D en D biedt paradoxaal ge noeg meer winstkansen dan A, zoals blijkt uit de onderstaande berekening. •

De kans dat A wint van B is

2 , want er is een kans van 4 op 6 dat je met dobbelsteen 3

A een winnende 4 gooit.


5

•

De kans dat B wint van C is

2 , want er is een kans van 4 op 6 dat je met C een 2 3

gooit. •

•

2 , want er is een kans van 3 op 6 dat je met D een 1 3 gooit (dan wint C zeker) en ook een kans van 3 op 6 dat je met D een 5 gooit en dan zijn de winstkansen van C gelijk aan 2 op 6 (wanneer je met C een 6 gooit). Het 3 3 2 2 betekent dat de kans dat C wint van D gelijk is aan + . = . 6 6 6 3 2 De kans dat D wint van A is , want er is een kans van 2 op 6 dat je met A een 0 3 gooit (dan wint D zeker) en ook een kans van 4 op 6 dat je met A een 4 gooit en dan zijn de winstkansen van D gelijk aan 3 op 6 (wanneer je met D een 5 gooit). Het 2 4 3 2 betekent dat de kans dat D wint van A gelijk is aan + . = . 6 6 6 3

De kans dat C wint van D is

Hoe werd deze foto gemaakt? http://conflusions.com Opdracht. Op 4 dobbelstenen zet men de volgende cijfers: • Dobbelsteen A: 1-1-6-6-7-7 • Dobbelsteen B: 2-2-2-8-8-8 • Dobbelsteen C: 3-3-3-9-9-9 • Dobbelsteen D: 4-4-4-5-5-5. Hoe groot zijn de kansen dat A wint van B, B van C, C van D en D van A? Paradoxen 5 – dr. Luc Gheysens

6

Opdracht. Hieronder staat het magische vierkant van orde 3. 4 9 2

3 5 7

8 1 6

Op 3 dobbelstenen plaats je nu telkens de cijfers uit één van de rijen en wel zo dat op de tegenoverliggende zijden van de dobbelstenen hetzelfde cijfer staat. Je bekomt zo 3 dobbelstenen met de volgende cijfers: • dobbelsteen A: 4-3-8-4-3-8 • dobbelsteen B: 9-5-1-9-5-1 • dobbelsteen C: 2-7-6-2-7-6. Hoe groot zijn de kansen dat A wint van B, B van C en C van A?

En hoe zit het als je op 3 dobbelstenen telkens de cijfers uit één van de kolommen van het magische vierkant plaatst en wel zo dat op tegenoverliggende zijden van de dobbelstenen hetzelfde cijfer staat?

De paradox van Condorcet (stemparadox) Deze paradox is genoemd naar de Franse wiskundige en filosoof Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, marquis de Condorcet (1785). Veronderstel dat er bij verkiezingen drie kandidaten zijn, André (A), Bernard (B) en Charles (C) en 300 kiesgerechtigden. De kiezers wordt gevraagd dat ze elk op een briefje de letters A, B en C in de volgorde van hun voorkeur zetten: de meest geschikte kandidaat eerst, dan de tweede en als laatste wie ze als de minst geschikte aanzien. Bij het tellen van de uitgebrachte stemmen blijkt het volgende: • 100 mensen kozen als volgorde A – B – C. • 100 mensen kozen als volgorde B – C – A. • 100 mensen kozen als volgorde C – A – B. Wie van de drie kandidaten kan de verkiezingsoverwinning opeisen? A zeker niet, want C behaalde bij tweederden van de kiezers een betere score. C zeker ook niet, want B behaalde bij tweederden van de kiezers een betere score. Dan zou je denken dat B het haalt, maar dan blijkt weer dat A bij tweederden van de kiezers een betere score haalt dan B …


7

Paradox van Bertrand Dit probleem werd voor het eerst door Joseph Bertrand gepubliceerd in zijn werk Calcul des probabilités (1888). Het is een prachtig voorbeeld om te illustreren hoe men vertrekkend van drie verschillende zienswijzen tot drie verschillende oplossingen kan komen voor een probleem uit de kansrekening. Het gestelde probleem luidt als volgt: Als men in een cirkel een willekeurige koorde tekent, hoe groot is dan de kans dat ze langer is dan de zijde van een ingeschreven gelijkzijdige driehoek?

Oplossing 1.

Een koorde is langer dan de zijde van de ingeschreven gelijkzijdige driehoek als het midden M van die koorde op het lijnstuk [CD] ligt. De lengte van dit lijnstuk is gelijk aan de helft van 1 de lengte van de diameter [AB]. De kans is daarom gelijk aan . 2


8

Oplossing 2.

Een koorde met beginpunt A is langer dan de zijde van de ingeschreven gelijkzijdige driehoek ∩

∩

∩

als het eindpunt P van die koorde op de boog BC ligt (en niet op de bogen AB of AC ). De 1 kans is daarom gelijk aan . 3

Oplossing 3.

Een koorde is langer dan de zijde van de ingeschreven gelijkzijdige driehoek als het midden M van die koorde binnen de ingeschreven cirkel ligt van de gelijkzijdige driehoek. De straal van die cirkel is gelijk aan de helft van de straal van de grote cirkel en dus is de oppervlakte van de kleine cirkel één vierde van de oppervlakte van de grote cirkel. De kans is daarom 1 gelijk aan . 4


9

De paradox van de jongen en het meisje In een gezin zijn er twee kinderen en minstens één ervan is een jongen. Hoe groot is de kans dat ook het andere kind een jongen is? Intuïtief zou men verwachten dat die kans 50% is, want het andere kind is ofwel een jongen 1 ofwel een meisje. De kans is echter . 3 Dit blijkt duidelijk uit de onderstaande tabel (J = jongen en M = meisje): mogelijkheid 1 2 3 4

jongste kind J J M M

oudste kind J M J M

Daar het gezin minstens één jongen telt, is mogelijkheid 4 uitgesloten. In slechts één van de drie andere gevallen, nl. bij mogelijkheid 1 zijn er twee jongens. Je kunt dit probleem ook als volgt formuleren: In een tas zit een papiertje waarvan we enkel weten dat het wit of zwart is. Nu wordt er een wit papiertje bij ingestopt en de tas met de twee papiertjes wordt geschud. We trekken er lukraak één papiertje uit en dat blijkt wit te zijn. Hoe groot is de kans dat het papiertje in de tas ook wit is? Antwoord. 2 kansen op 3. In de tas zitten twee papiertjes: wit en wit of wit en zwart. Als beide papiertjes wit zijn, kan je zowel het ene als het andere trekken. Dit zijn twee gunstige mogelijkheden. Er doet zich ook nog een derde geval voor waarbij je een wit papiertje kan trekken, nl. als het andere papiertje zwart is. Daarom is de gezochte kans 2/3. Variatie op het thema: In een tas zitten drie papiertjes. Het eerste papiertje is wit aan beide zijden, het tweede is aan beide zijden zwart en het derde heeft een witte en een zwarte zijde. Je haalt er lukraak een papiertje uit en legt het op tafel. Je kan dus enkel de bovenzijde van het papiertje zien. Veronderstel dat het wit is. Hoe groot is dan de kans dat de onderkant ook wit is? Antwoord: 2 kansen op 3. De verklaring is helemaal analoog als bij het vorige probleem.

De paradox van de samenvallende verjaardagen Hoe groot is de kans dat er bij een toevallige bijeenkomst van n personen minstens twee van hen op dezelfde dag van het jaar verjaren? Als je de kans intuïtief laat inschatten voor bijvoorbeeld 23 personen, dan ben je geneigd te 23 denken dat die kans ongeveer gelijk is aan of 6,3 %. De kans blijkt echter ongeveer 51 % 365 te zijn!


10

Via elementaire kanswetten kun je bewijzen dat de kans P dat er bij n personen minstens twee personen op dezelfde dag verjaren gelijk is aan P =1−

365.364.363.....(365 − n + 1) 365n

.

Hierbij houden we geen rekening met personen die op 29 februari verjaren. Dit geeft de volgende paradoxale resultaten: n kans P

10 20 11,69 % 41,14 %

23 50,73 %

30 70,63 %

40 89,12 %

50 97,04 %

60 99,41 %

Bij 50 personen zijn er dus zo goed als zeker twee die op dezelfde dag verjaren!

Paradoxale munten Op vier kaartjes staat telkens een rij van drie letters te kiezen uit K (kop) en M (munt): MKK

KKM

KMM

MMK

Vertel je tegenspeler dat een aantal keren een munt zal worden opgegooid waarbij telkens het resultaat (K of M) wordt genoteerd. Op die manier zal bijvoorbeeld de volgende rij ontstaan K K M K M M M K K M K M … Het is de bedoeling dan jij en je tegenspeler ieder een kaartje kiezen. Wie als eerste de drie letters van zijn kaartje in dezelfde volgorde ziet verschijnen in de rij, wint het spel. Men heeft het volgende kunnen bewijzen (*): MKK wint van KKM (3 tegen 1)

wint van KMM wint van MMK wint van MKK (2 tegen 1) (3 tegen 1) (2 tegen 1)

Laat je tegenspeler eerst kiezen. Dan heb jij paradoxaal genoeg altijd nog een kaartje dat hogere winstkansen biedt! Met een relatief grote zekerheid zal jij pas blijken te winnen nadat een vrij groot aantal spelletjes werd gespeeld.

(*) Bron: E. R. BERLEKAMP, J. H. CONWAY, R. K. GUY, Winning Ways for your mathematical plays Volume 2: Games in particular, Academic Press, London, 1982.


11

Statistici (en wiskundigen): een raar volkje •

Statistici hebben bewezen dat het vieren van verjaardagen goed is voor de gezondheid. Statistieken tonen immers aan dat mensen die het meest aantal verjaardagen vieren het langst leven.

•

Een statisticus en een zakenman zitten in de hal van een luchthaven te wachten op hun vlucht. De zakenman vertelt aan de statisticus dat hij een grote vliegangst heeft. Zegt de statisticus: “ Maak je hierover niet zo veel zorgen. Slechts om de 10 000 vluchten is er een crash”. “Wat?”, zegt de zakenman, “1 op 10 000? Zo veel? Het zal zeker op mijn vlucht gebeuren!”. “Wel”, antwoordt de statisticus, “er is een eenvoudige uitweg. Neem de volgende vlucht. De kans dat er twee vluchten na elkaar crashen is immers gelijk aan 1 op 100 000 000!”.

•

Een bioloog, een statisticus en een wiskundige zijn op fotosafari in Afrika. Ze rijden door de savanne en speuren de horizon af met hun verrekijker. Plots roept de bioloog: “Kijk daar: een kudde zebra’s met in het midden een witte zebra. Fantastisch! Er bestaan witte zebra’s! We zijn beroemd door deze unieke ontdekking!”. Waarop de statisticus antwoordt: “ Dit is niet zo bijzonder. We weten enkel dat er één witte zebra bestaat.” Waarop de wiskundige onmiddellijk repliceert: “Sorry, heren. Wat we momenteel enkel weten, is dat er een zebra bestaat die aan de ene kant wit is”.

•

Een geoloog, een fysicus en een statisticus voeren een discussie over wie nu het meest oorspronkelijke onderzoek voert. “Geologie is het meest oorspronkelijke onderzoeksgebied”, zegt de geoloog, “want wij gaan terug naar de tijd dat de aarde ontstond.” “Excuseer”, zegt de fysicus, “ wij vertrekken vanuit een veel oorspronkelijker standpunt omdat wij de chaos bestuderen die in het heelal bestond nog voor de aarde werd gevormd.” Waarop de statisticus direct repliceert:” En wie denk je dat er verantwoordelijk is voor die chaos?”.

•

Een patiënt vraagt aan de jonge chirurg, die aan zijn tweede operatie toe is, hoe groot de kansen zijn dat hij de zware operatie overleeft. “Statistisch gezien is er 50% kans”, zegt de chirurg, “ maar ik kan je geruststellen: mijn eerste patiënt is gisteren al overleden.”

•

Statistieken wijzen uit dat kinderloosheid erfelijk is: als jouw ouders geen kinderen hebben, is de kans erg groot dat jij er ook geen zult hebben.

•

Als jouw schoonouders geen kinderen hebben, is statistisch gezien de kans erg groot dat jij niet zult trouwen.

•

Statistieken leren ons dat huwen de voornaamste oorzaak is van scheidingen. Er is immers nog geen enkele scheiding geweest die niet werd voorafgegaan door een huwelijk.


12

De paradoxale wandeling

Peter wandelt op een willekeurige manier van punt A naar punt B in het onderstaande stratenplan en beweegt daarbij altijd in de richting van de pijlen: van links naar rechts en van onder naar boven. Hoe groot is de kans dat hij door het centrale punt C passeert?

Eerste redenering. Het eerste kruispunt dat hij voorbijkomt, ligt op het punt F of G. Elk van deze punten biedt maar twee mogelijkheden: ofwel gaat hij langs C, ofwel gaat hij niet langs C. De kans is dus gelijk aan ½.

Tweede redenering. Je kunt zelf vaststellen dat er zes mogelijke routes zijn van A naar B. Eén ervan gaat via D en één ervan gaat via E. De andere vier routes lopen via het punt C. De kans dat de route door C gaat, is bijgevolg gelijk aan 4/6 = 2/3.


13

Het probleem van de twee omslagen Dit probleem werd geformuleerd door Barry Nalebuff, professor aan de Yale School of Management. Hij is een autoriteit op het gebied van economie en speltheorie. Twee personen ontmoeten elkaar. Ze stellen het volgende spelletje voor. Wie het minste geld in zijn portefeuille heeft, krijgt al het geld dat in de portefeuille van de andere persoon steekt. Beide spelers zijn enthousiast, hoewel het in tegenstrijd is met het feit dat er zeker maar één persoon kan winnen en dat er zeker één persoon verlies zal lijden. We volgen de redenering van persoon A, die x euro op zak heeft en nemen aan dat persoon B y euro op zak heeft. “Ik heb 50% kans om te verliezen. In dat geval verlies ik x euro. Ik heb echter ook 50% kans om te winnen, namelijk als persoon B meer geld op zak heeft dan ik. Dan win ik een bedrag van y euro dat groter is dan x euro. Er is dus 50% kans om meer te winnen dan ik op zak heb. Ik doe het dus!” Het is evident dat persoon B dezelfde redenering kan maken en het verklaart ook waarom beide personen zonder aarzeling het spel willen spelen.

De paradox van Sint-Petersburg Deze paradox uit de speltheorie wordt toegeschreven aan Daniel Bernoulli (1700-1782), maar is wellicht eerder door de Zwitserse wiskundige Nikolaus Bernoulli (1687-1759) bedacht. Na het betalen van een vast inlegbedrag, wordt in een casino in Sint-Petersburg een (eerlijke) munt herhaaldelijk geworpen totdat “munt” boven komt te liggen. Als bij de eerste worp “munt” wordt gegooid (de kans hiertoe is 1 op 2), krijg je 1 euro uitbetaald. Als men pas bij de tweede beurt “munt” gooit (kans gelijk aan 1 op 4), krijg je 2 euro uitbetaald. Gooit men pas”munt” bij de derde worp (kans 1 op 8), dan krijg je 8 euro uitbetaald. Hoeveel heb je over om aan dit spel deel te nemen, m.a.w. hoeveel ben je bereid in te zetten, zodat je uiteindelijk een kans maakt om op de lange duur winst te maken bij dit spel? Om dit te berekenen vertrekken we van een eenvoudiger gokspelletje. Men gooit een eerlijke dobbelsteen. Als hij 1 of 6 gooit, krijg je 3 euro uitbetaald. Als hij 2, 3, 4 of 5 gooit, krijg je niets. Bij elke spelbeurt verlies je natuurlijk jouw inzet. Hoeveel ben je bereid per spelbeurt in te zetten? 2 4 . 3 + . 0 = 1 euro. Je mag dus 6 6 verwachten dat bij een inzet van 1 euro per spel dit een eerlijk spel is, m.a.w. dat de kans op winst of verlies even groot is. We kunnen dit narekenen:

Bij dit spel is de verwachte winst per spelbeurt gelijk aan

de verwachte nettowinst per spelbeurt (men verliest telkens 1 euro inzet per beurt) = 2 4 4 4 . (3 − 1) + (0 − 1) = − = 0 euro . 6 6 6 6


14

We passen deze berekeningswijze nu toe op het muntspelletje uit het casino van SintPetersburg. Als je 2k euro krijgt uitbetaald als er pas bij de k-de worp “munt” wordt gegooid, dan verloopt de uitbetaling volgens de bedragen uit de onderstaande tabel. Hierin is P(k) de kans dat er pas bij de k-de beurt “munt” wordt gegooid.

De verwachte winst is dan gelijk aan +∞ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .1 + . 2 + . 4 + . 8 + ... = + + + + ... = ∑ = +∞ . 2 4 8 16 2 2 2 2 k =1 2

Het betekent dat je in principe een (heel) groot bedrag mag inzetten per spelbeurt. Nochtans zal niemand bereid zijn dat te doen. Probeer maar eens het spel te spelen en zet per beurt 5 euro in. Je moet in feite al geluk hebben dat er pas bij de vierde beurt “munt” wordt gegooid om winst te maken. De nettowinst na die vierde spelbeurt bedraagt dan immers 8 – 5 = 3 euro. Je vindt een online-simulatie van dit spelletje (met een inzet van 20 dollar per spelbeurt) op: http://www.mathematik.com/Petersburg/Petersburg.html .

De lottoparadox Bij het lottospel moet men 6 getallen raden uit 42, te kiezen uit 1, 2, … tot en met 42. Sara kiest de getallen 1, 2, 3 , 4 , 5 en 6, terwijl Abraham de getallen 4, 32, 16, 9, 18 en 40 aankruist. Wie heeft de meeste kansen om te winnen? Via kansberekening toont men aan dat de winstkansen van beide spelers even groot zijn! Dit is in tegenspraak met de intuïtieve verwachting dat de cijfers 1, 2, 3 , 4 , 5 en 6 nooit samen zullen worden uitgeloot bij een lottotrekking.


15

De paradox van de gemiddelde prijs

Twee winkels sturen in september een prijsofferte naar een school. A-Office biedt 20 markeerstiften aan tegen 3 euro per stuk en 80 pakken A4-drukpapier tegen 5 euro per stuk. B-Office biedt 80 markeerstiften aan tegen 4 euro per stuk en 20 pakken A4-drukpapier tegen 6 euro per stuk. De econoom van de school berekent in beide gevallen de gemiddelde prijs van de aangeboden producten: -

voor A-Office:

20 x 3 + 80 x 5 = 4,60 euro ; 100

-

voor B-Office:

80 x 4 + 6 x 20 = 4,40 euro . 100

Hij besluit de aankopen te plaatsen bij B-Office. De directeur van de school merkt echter op dat beide producten per stuk 1 euro goedkoper zijn bij A-Office. Merkwaardig toch?


16

PARADOXEN 5 Dr. Luc Gheysens

Recommend Documents