PYTHAGOROVA
V
TA
(2 hodiny)
V PROSTORU
V této výukové hodin si zkusíš n kolik málo úloh na užití Pythagorovy v ty v t lesech. Doposud znáš dob e pouze tato t lesa – kvádr, krychle (jsou to vlastn ty boké hranoly), trojboký hranol (podstava je trojúhelník), šestiboký hranol (podstavou je šestiúhelník). Postupn se budeš u it další t lesa (válec, kužel, jehlan). I v t chto t lesech si pak užití Pythagorovy v ty ukážeš. A poj me p ímo na úlohy: P íklad 1: Je dána krychle, jejíž st nová úhlop í ka má délku 8,5 cm. Ur i délku strany krychle. Vypo ti obsah st n krychle a objem krychle. Nejprve si na rtni krychli a vyzna si v ní aspo jednu st novou a t lesovou úhlop í ku. Nezapome na pravidla p i znázorn ní t lesa do roviny - bo ní hrany t lesa oto íme o 45˚ a naneseme jejich polovi ní velikost (viz obr.):
AB
a délka hrany krychle
a - bo ní hrany rýsujeme s polovi ní velikostí 2 DB - st nová úhlop í ka (dále nap . AC , FC , AH )
BC
BH - t lesová úhlop í ka (dále nap . AG , EC , DF ) Nyní se vrátíme k našemu úkolu. Známe délku libovolné st nové úhlop í ky, vyzna si v krychli libovolný pravoúhlý trojúhelník, ze kterého spo teš délku hrany krychle (viz obr.):
V pravoúhlém trojúhelníku ABD platí: a2
a2
2a 2
a2 a2 a a
u2 u2 2 8,5 2 2 72,25 2 36,125
Obsah krychle spo teme následovn : S 6.a.a
S
u2
6. 6 2
6 cm
6a 2 6.36
A na záv r spo teme objem krychle: V
S p .v
V
a.a.a
a3
V
6.6.6
63
216 cm 2
216 cm 3
Délka strany krychle je 6 cm, její obsah je 216 cm2, její objem 216 cm3.
P íklad 2: Je dán kvádr, jehož podstava má tvar obdélníku o rozm rech 3 cm a 4 cm a jehož výška je 12 cm. Vypo ti délku st nové a t lesové úhlop í ky. Nejprve si spo teme délku st nové úhlop í ky:
u2
AB
u2
42
u
25
2
AD
2
32 5 cm
Nyní se pokusíme spo ítat délku t lesové úhlop í ky (budeme ji zna it u´). Op t se budeme snažit n jaký pravoúhlý trojúhelník, jehož jedna strana bude práv hledaná t lesová úhlop í ka. Podívej se na následující obrázek. Vyzna il jsem na n m modrou barvou obdélník BDHF o stranách 12 cm (výška kvádru) a 5 cm (délka st nové úhlop í ky kvádru). V tomto obdélníku je rovn ž zazna ena hledaná t lesová úhlop í ka BH. Je to vlastn úhlop í ka obdélníku BDHF. A tu již pomocí Pythagorovy v ty spo ítat dokážeš. Pokus se sám si najít jiný obdélník a v n m si vyzna jinou t lesovou úhlop í ku.
u´
2
u´
2
u´
BD
2
DH
2
5 2 12 2 169
13 cm
Délka st nové úhlop í ky kvádru je 5 cm, délka t lesové úhlop í ky kvádru je 13 cm.
P íklad 3: Vypo ítej obsah trojúhelníku ABH v kvádru ABCDEFGH. Rozm ry kvádru máš vyzna eny na obrázku.
Úloha vypadá na první pohled obtížn , ale ve skute nosti je velmi jednoduchá. Pokus se sám odpov d t na následující otázky. Svou odpov si pak zkontroluj s mou:
? Co m žeš íci o st nách ABEF a ADEH ? Jsou navzájem kolmé ? Jaká je vzájemná poloha úse ky AB ze st ny ABEF a úse ky AH ze st ny ADEH ? Jsou navzájem kolmé (zkus si vzít ze svého okolí libovolné t leso tvaru kvádru a ov si) ? Jaký je tedy trojúhelník ABH ? Je pravoúhlý, strana AB je jeho základna z, strana AH je jeho výška v
Nejprve si spo teme výšku trojúhelníku (je to vlastn st nová úhlop í ka): v2
AD
v2
62
v
100
2
DH
2
82 10 cm
Nyní si spo teme obsah trojúhelníku ABH: z.v S 2 AB . AH S 2 4.10 S 20 cm 2 2
P íklad 4: Vypo t te obvod a obsah trojúhelníku SBH vyzna eného na obrázku uvnit krychle ABCDEFGH, víte-li, že délka hrany krychle je 5 cm.
Nejprve budeme po ítat obvod trojúhelníku BSH. K výpo t m budeme užívat Pythagorovu v tu: 1. Délka strany SB je vlastn rovna polovin st nové úhlop í ky BD: u 2 a 2 a 2 2a 2
u2
2.5 2
u
50
u 2
BS
7,07 cm 50 2
3,5 cm
2. Délku strany SH získáme z pravoúhlého trojúhelníku DSH (pravý úhel u vrcholu D): 2 2 2 SH DS DH SH
2
SH
2
SH
u 2
2
a2
3,5 2
52
37,5
6,1 cm
3. A na záv r spo teme délku st nové úhlop í ky BH z pravoúhlého trojúhelníku DBH: BH
2
BH
2
u2
BH
2
50 25
BH
BD
75
2
DH
a2
8,7 cm
4. A na záv r spo teme obvod trojúhelníku BSH:
2
o
BH
HS
SB
o
8,7 6,1 3,5 cm
o 18,3 cm Nyní p istoupíme k výpo tu obsahu trojúhelníku BSH. Podívej se ješt obrázek:
jednou na
Protože trojúhelník SBH není pravoúhlý, musíme najít jiné trojúhelníky, které nám k výpo tu obsahu trojúhelníku BSH pomohou. Podívej se na trojúhelníky HDB a HDS (znázorn n mod e). Oba jsou pravoúhlé (pravý úhel u vrcholu D). Navíc známe všechny strany t chto trojúhelník a m žeme tedy spo ítat jejich obsahy. Hledaný obsah žlutého trojúhelníku BSH pak získáme jako rozdíl obsah trojúhelník HDB a HDS (porovnej si na záv r jednotlivé obsahy). Nejprve spo teme obsah trojúhelníku HDB: DB . DH S HDB 2 50.5 S HDB 17,68 cm 2 2 Poté si spo teme obsah trojúhelníku DSH: DS . DH S HDS 2 50 .5 5. 50 2 S HDS 2 4 A na záv r spo teme obsah trojúhelníku BSH: S BSH S HDB S S BSH
S
HDB
2
17,68 2
HDS
17,68 8,84cm 2
8,84 cm 2
8,84 cm 2
Obvod trojúhelníku je 18,3 cm, jeho obsah je 8,84 cm2.
P íklad 5: Vypo t te objem pravidelného šestibokého hranolu o délce hrany podstavy 6 cm, víte-li, že jeho výška je 20 cm (viz obrázek)
Ur it moc dob e víš, že objem libovolného t lesa vypo teš následujícím zp sobem: V S p .v , kde Sp je obsah podstavy hranolu a v je jeho výška. Protože víme, že se jedná o pravidelný šestiúhelník, bude se jeho podstava skládat ze šesti rovnostranných trojúhelník o délce strany 6 cm (viz obr.).
Ur it si dokážeš spo ítat obsah libovolného rovnostranného trojúhelníku (viz obr.):
Nejprve si spo teme výšku v rovnostranném trojúhelníku: v 2 6 2 32 v
27
5,2 cm
Poté si spo teme obsah rovnostranného trojúhelníku ABS: z.v S 2 6.5,2 S 15,6 cm 2 2 Te si již m žeme spo ítat obsah podstavy (šestiúhelníku) ABCDEF: S p 6.S ABS
Sp
6.15,6
93,6 cm 2
A nakonec si spo teme objem šestibokého hranolu: V S p .v V
93,6.20 1872 cm 3
Objem pravidelného šestibokého hranolu je 1872 cm3.
CVI
ENÍ
Úloha 1: Vypo ítej délku st nové a t lesové úhlop í ky krychle s hranou délky 8 cm Úloha 2: Kvádr má rozm ry a = 12 cm, b = 9 cm, c = 36 cm. Vypo ítej délku t lesové úhlop í ky kvádru. Úloha 3: Kvádr s obdélníkovou podstavou o rozm rech 2 cm a 4 cm má t lesovou úhlop í ku délky 8 cm. Vypo ítej výšku a obsah kvádru. Úloha 4: Vypo ítej délku t lesové úhlop í ky kvádru, jehož objem je 144 cm3, jeho délka je 4 cm a ší ka 3 cm. Úloha 5: Vypo ítej objem kvádru, jehož délka je 24 cm, ší ka 3,2 dm a t lesová úhlop í ka má délku 0,58 m. Úloha 6: Vypo t te objem pravidelného trojbokého hranolu o délce hrany podstavy 5 cm, víte-li, že jeho výška je 10 cm. Úloha 7: Vypo t te objem pravidelného šestibokého hranolu o délce hrany podstavy 10 cm, víte-li, že jeho výška je 50 cm. Úloha 8: Vypo ítej obvod a obsah trojúhelníku vyzna eného v krychli ABCDEFGH (viz. obr.):
Úloha 9: Vypo ítej obvod a obsah trojúhelníku vyzna eného v kvádru ABCDEFGH (viz obr.):
Úloha 10 (obtížný): Vypo ítej obvod a obsah trojúhelníku vyzna eného v krychli ABCDEFGH (viz. obr.):
P íklad 11: Vypo ítej obvod šestiúhelníku KLMNOP, víš-li, že tyto body jsou postupn st edy hran krychle AB, BC, CD, GH, EH, AE. Délka hrany krychle je 10 cm.
Výsledky cvi ení a nápov dy k n kterým z nich: Úloha 1:
u ( st nová )
64 64
u´(t lesová )
128
64 128
11,3 cm
192
13,9 cm
Úloha 2: 12 2
u ( st nová )
92
15 2
u´(t lesová )
225
36 2
15 cm
1521
39 cm
Úloha 3: v S
Úloha 4:
u´2 (t lesová ) u 2 (st nová ) 2.(ab av bv)
44
6,6 cm
2.(8 2.6,6 4.6,6)
95, 2 cm 2
u ( st nová ) 5 cm V 144 v 12 cm S p 3.4 u´(t lesová )
u 2 ( st nová ) v 2
13 cm
Úloha 5:
24 2
u ( st nová )
32 2
40 cm
v
u´2 (t lesová ) u 2 ( st nová )
V
3
S p .v
24.32.42
32256 cm
42 cm
Úloha 6:
v(výška trojúhe ln íkové podstavy )
52
2,5 2
18,75 cm
z.v 5.4,3 10,83 cm 2 2 2 S p .v 10,83.10 108,3 cm 3
S p (obsah podstavy ) V Úloha 7:
v(výška rovnostranného trojúhe ln íku v podstav ) S (obsah trojúhe ln íku v podstav ) Sp
6.S
V
S p .v
6.43,3
259,8cm 2
259,8.50 12990 cm 3
z.v 2
10.8,66 2
10 2
52
43,3 cm 2
8,66 cm
Úloha 8: u ( AC ) u 2
32
5,66 cm
32 2
SC
2,83 cm
ES
EA
2
AS
EC
EA
2
u ( AC ) 2
o
ESC
S
EAC
S
ESA
S
ESC
2
16 8
4,90 cm
16 32
6,93 cm
2,83 6,93 4,90 14,66 cm 32.4 2 32 .4 2 2 S
ESA
11,30 cm 2
2. 32
32 32
S
5,65 cm 2
EAC
2 5,65 cm 2
Úloha 9: u ( BG st nová )
12 2
u ( AC
62
st nová )
u´( AG t lesová )
Úloha 10:
o
ABG
S
ABG
6 9 16,16 z.v 2
6.15 2
92 92
15 cm 10,82 cm
117 144 37,16 cm 45 cm 2
16,16 cm
AH
36 36 2
72 2
32
72
AS GH
81
9 cm
AS GH
BS GH
o
ABSGH
6 9 9
v
ABSGH
S
ABSGH
AS GH
AH z.v 2
8,49 cm 9 72
81 cm
9 cm 24 cm 72 cm rovnob žníkAS AB S GH H 6. 72 2
3. 72
25,46 cm 2
Úloha 11: Nejprve si na rtni obrázek:
Z pravoúhlého trojúhelníku PAK (pravý úhel u vrcholu A) spo teme délku PK:
PK
52
52
50
7,07 cm
Obvod šestiúhelníku pak je:
o
6. PK
6. 50
42,43 cm
