PYTHAGOROVA V
TA V ROVIN
(2 HODINY) V této kapitole si ukážeme n kolik úloh, ve kterých se Pythagorova v ta využívá k výpo tu délek stran ve ty úhelnících (rovnob žníky, hranoly), obvod a obsah rovinných útvar atd. Kapitola navazuje na kapitolu o obrácené Pythagorov v t , ve které jsi se nau il po ítat chyb jící údaje v pravoúhlém trojúhelníku (p epona, odv sny, výšky, obvody a obsahy trojúhelníku). Nejprve Ti ukážu n kolik vzorových p íklad . Pokud to bude nutné, na rtnu Ti i obrázek, ze kterého bude ihned patrné, co budeš po ítat a jaký pravoúhlý trojúhelník k výpo tu použiješ. Tak poj me do toho. P íklad 1: Vypo ítej délku strany tverce, jehož úhlop í ka má délku 15 cm. Výsledek zaokrouhlete ne jedno desetinné místo (na desetiny).
u2
a2
u2
2a 2
a2
15 2
2a 2
225
2a 2 / : 2
a2
122,5
a
122,5
11,1 cm
Délka strany tverce je 11,1 cm. P íklad 2: Délka strany tverce ABCD je 10 cm. Vypo t te obvod a obsah trojúhelníku ABC. Pokud budeš v úloze d lat více výpo t , stanov si na za átek postup, kterým se budeš k celkovému výsledku ubírat. Podíváš-li se na obrázek, ihned víš, že nejprve si musíš spo ítat
pomocí Pythagorovy v ty délku úhlop í ky AC, teprve pak m žeš spo ítat obvod trojúhelníku. Obsah máš již ur it zpam ti spo ítaný.
Nyní spo teme obvod:
u2
a2
a2
u2
2a 2
u2
2.100
u
200
o
a a u
14,1 cm
o 10 10 14,1 o A na záv r spo teme obsah:
S S S S
34,1 cm
z.v 2 a.a 2 10.10 2 50 cm 2
Poznámka: P i výpo tu obsahu tverce (rovnob žníku) lze také využít známé v ci, že úhlop í ka rovnob žník p lí na dva shodné trojúhelníky. Známe-li tedy obsah rovnob žníku (100 cm2), zpam ti m žeme íci, že obsah trojúhelníku ABC je 50 cm2. Obvod trojúhelníku ABC je 34,1 cm, jeho obsah 50 cm2.
P íklad 3: Vypo t te obsah obdélníku, jehož úhlop í ka je dlouhá 8 cm a jedna jeho strana má délku 7 cm. Veškeré výpo ty zaokrouhlujte na desetiny.
Op t za neme ná rtem situace. Z n j ihned vidím, že si nejprve musím spo ítat délku strany b obdélníku a poté již mohu spo íst obsah obdélníku ABCD.
b2
u2
a2
b2
82
72
b2
64 49
b
15
Nyní již mohu spo ítat obsah obdélníku:
3,9 cm
S S
a.b 7.3,9
S
27,3 cm 2
Obsah obdélníku ABCD je 27,3 cm2.
P íklad 4: Vypo t te obvod a obsah koso tverce ABCD, víte-li´že jeho úhlop í ky mají délky e = 16 cm a f = 12 cm. Nejprve si zopakuj, co víš o koso tverci: Co platí pro jeho délky stran ? Jaký úhel svírají jeho úhlop í ky ? Co m žeš íci o pr se íku S úhlop í ek ? Co platí pro trojúhelníky, které vzniknou rozd lením koso tverce pomocí úhlop í ek e, f ? Pokud to vše dob e víš, zkontroluj si to s mým obrázkem:
Nejprve si spo ítáš délku strany koso tverce. Použijeme nap íklad pravoúhlého trojúhelníku ASB: AB
2
AB
2
82
AB
2
64 36
AB
AS
a
2
SB
2
62
100
10 cm
Velmi snadno nyní spo teš obvod koso tverce: o 4.a o
4.10
o
40 cm
Na záv r si spo teš obsah koso tverce. Na za átku úlohy jsem se T ptal, co m žeš íci o trojúhelnících, které vzniknou rozd lením koso tverce pomocí úhlop í ek e, f. Ur it aspo z obrázku jsi poznal, že úhlop í ky rozd lí koso tverec na ty i shodné pravoúhlé trojúhelníky, které mají základnu nap íklad polovinu úhlop í ky e a výšku rovnající se polovin úhlop í ky f (lze ící i naopak). S
S S S
z.v 2 e f . 2 4. 2 2 8.6 4. 2 96 cm 2 4.
Obvod koso tverce je 40 cm, jeho obsah je 96 cm2.
P íklad 5: Vypo ítej obvod kosodélníku znázorn ného na obrázku:
Abychom mohli spo ítat obvod kosodélníku, musíme si ur it stranu b = |AD|. Pokusím se Ti napov d t. Podívej se na upravený obrázek a dopl si chyb jící údaje ozna ené ?.
Pom žu Ti otázkami:
? Jakou velikost má úhel ADX ? Má velikost 45°, protože 180 45 90 180 135 45 ? Co m žeš íci o trojúhelníku ADX ? Je pravoúhlý a rovnoramenný se základnou AD a rameny AX, XD (shodné vnit ní úhly p i základn ). Délka úse ky AX je tedy 4 cm stejn jako výška v. ? Jak spo teš velikost strany AB ? Užitím Pythagorovy v ty v pravoúhlém trojúhelníku AXD
b2
v2
AX
b2
42
42
b
32
2
5,7 cm
Pro obvod kosodélníku platí:
o o o
2. a b 2. 6 5,7 23,4 cm
Obvod kosodélníku znázorn ného na obrázku je 23,4 cm.
P íklad 6: Je dán rovnoramenný lichob žník ABCD s délkami základen 15 cm a 5 cm. Délka ramen lichob žníku je 6 cm. Vypo ítej obsah lichob žníku ABCD. Op t za neme obrázkem. Pokus se v n m sám doplnit údaje ozna ené ?.
? Jaká je délka úse ky XY ? Je stejná jako délka základny CD, tedy 5 cm (rovinný útvar XYCD je rovnob žník) ? Co platí pro délky úsek AX a YB ? Jsou shodné, protože se jedná o rovnoramenný lichob žník ? Jak spo teš délku t chto úsek ? 15 5 AX YB 5 cm 2 ? A jak spo teš výšku v lichob žníku ? Spo tu ji pomocí Pythagorovy v ty z pravoúhlého trojúhelníku AXD: 2 v 2 b 2 AX v2
62
52
v
11
3,3 cm
Nyní už zbývá spo ítat obsah lichob žníku ABCD: a c .v S 2 15 5 .3,3 S 2 S 33 cm 2
Obsah rovnoramenného lichob žníku je 33 cm2.
P íklad 7: Vypo ítej obvod lichob žníku znázorn ného na obrázku:
K výpo tu obvodu je t eba znát délky všech stran lichob žníku ABCD. Nám chybí pouze velikost strany d = |AD|. Abychom ji spo ítali, musíme nejprve spo ítat velikost výšky lichob žníku XC z pravoúhlého trojúhelníku XBC:
XC
2
XC
2
XC
BC 52 v
2
XB
2
42 9
3 cm
Nyní se pokus doplnit chyb jící údaj:
Úse ka AY má velikost: AY
AB
YB
AB
YX
XB
Nyní již spo teme velikost |AD| strany lichob žníku ABCD:
22
12 4
6 cm
AD
2
AD
2
AD
AY 62 d
2
v2
32 45
6,7 cm
A nakonec spo teme obvod lichob žníku ABCD: o a b c d
o o
22 5 12 6,7 45,7 cm
Obvod lichob žníku je 45,7 cm.
P íklad 8: V trojúhelníku ABC je dáno: a = 12 cm; ta = 15 cm; t žnice tb. Výsledek zaokrouhli na desetiny centimetru.
= 90°. Vypo ti velikost
Nejprve si spo teme velikost strany AC:
a 2
AC
2
ta
AC
2
15 2
AC
2
225 36
AC
2
189
2
62
13,7 5 cm
Velikost t žnice tb spo teme z pravoúhlého trojúhelníku SCACB. Víme totiž, že délka úse ky CSCA je rovna polovin délky úse ky CA, což je 6,875 cm.
2
tb
2
a2
CS CA
tb
2
12 2
6,875 2
tb
2
144 47,27
tb
191, 27
13,8 cm
Velikost t žnice na stranu b v pravoúhlém trojúhelníku ABC je 13,8 cm.
P íklad 9: V trojúhelníku ABC je dáno: a = 12 cm; ta = 15 cm; t žnice tc. Výsledek zaokrouhli na desetiny centimetru.
= 90°. Vypo ti velikost
Tato úloha je odlišná od úlohy p edchozí. Trojúhelník ABC si doplníme na rovnob žník ACBC´, kde SAB je pr se ík úhlop í ek AB a CC´. Zkrácen lze tento krok zapsat jako užití st edové soum rnosti: S S AB : C C´ - ve st edové soum rnosti se st edem SAB se bod C zobrazí do bodu C´
Stejn jako v p edchozím p ípad si nejd íve z pravoúhlého trojúhelníku ACSCB spo teme užitím Pythagorovy v ty velikost strany AC: 2 a 2 2 AC ta 2 AC
2
15 2
AC
2
225 36
AC
189
62
13,7 5 cm
Poté si pomocí Pythagorovy v ty spo teme velikost úhlop í ky CC´: CC´
2
CC´
2
12 2 13,75 2
CC´
2
144 189
CC´
CB
2
333
BC´
2
CB
2
AC
2
18, 25 cm
Z obrázku je patrné, že velikost hledané t žnice tc je rovna polovin velikosti úhlop í ky CC´: 1 tc CC´ 2 1 tc 18,25 9,125 cm 2 Velikost t žnice na stranu c je 9,125 cm.
P íklad 10: V kružnici s polom rem r = 8,5 cm je sestrojena t tiva t délky 15 cm. Ur ete vzdálenost st edu S kružnice k od t tivy t. Nejprve si nakresli libovolnou kružnici, v ní si sestroj libovolné 3 t tivy a ze st edu S ve na tyto t tivy kolmice. Tyto kolmice Ti t tivy rozd lí na dva úseky (viz obr.). Prom je ! Co tyto kolmice p edstavují ?
Pokud jsi rýsoval a m il p esn , zjistil si, že kolmice vedené z bodu S Ti t tivu rozd lí na dva stejné úseky. Kolmice tedy p edstavuje osu t tivy. A nyní se již vra me k našemu p íkladu. Op t Ti nabízím ná rtek úlohy. Užijeme p itom p edchozího poznatku:
Hledanou vzdálenost XS ur íme z pravoúhlého trojúhelníku AXS: 2
XS
2
r2
1 t 2
XS
2
8,5 2
7,5 2
XS
2
72,25 56,25
XS
16
4 cm
Vzdálenost st edu kružnice k od t tivy t jsou 4 cm.
P íklad 11: V kružnici o polom ru 10 cm jsou sestrojeny dv rovnob žné t tivy o délkách 15 cm a 8 cm. Vypo t te vzdálenost t chto t tiv. Nejprve si op t na rtni obrázek. Užívej p itom poznatk odpov d t a provézt následující úkony:
z p edchozí úlohy. Pokus se
! Spoj si st ed kružnice s krajními body obou t tiv ! ? Jaké jsi dostal trojúhelníky ? ? Z jakých ástí se bude vzdálenost mezi t tivami skládat ? ? Jaký geometrický útvar dostaneš, spojíš-li body ABCD ? ? Co vlastn vzdálenost obou t tiv v tomto geometrickém útvaru znamená ? Nyní se podívej na m j obrázek. Hledaná vzdálenost je na n m vyzna ena erven :
Nejprve si nap íklad z trojúhelníku AXS spo teme výšku XS:
1 AB 2
XS
2
r
XS
2
10 2
XS
2
100 56,25
XS
2
2
7,5 2
43,75cm
XS
6,61cm
Poté si z trojúhelníku CSD spo teme výšku SY:
YS
2
r2
1 CD 2
YS
2
10 2
42
YS
2
100 16
YS
84cm
YS
9,17cm
Na záv r vypo teme vzdálenost dvou t tiv XY: XY XS
Vzdálenost obou t tiv je 15,78 cm.
SY
XY
6,61 9,17
XY
15,78cm
2
CVI
ENÍ
Nejprve Ti nabízím n kolik úloh na procvi ení probrané látky. Pokus se nejprve vždy sám úlohu vy ešit. Po seznamu úloh následuje p ehled výsledk a nápov d k jednotlivým p íklad m. P eji Ti hodn št stí.
Úloha 1: Rozhodni, zda obdélník s délkami stran 15 cm a 21 cm má úhlop í ku dlouhou 25 cm. Úloha 2: Vypo ítej délku strany tverce, jehož úhlop í ka má délku 10 cm. Výsledek zaokrouhlete ne jedno desetinné místo. Úloha 3: tverec má úhlop í ku dlouhou 18,2 cm. Vypo ítej obvod a obsah tverce. Úloha 4: Koso tverec ABCD má úhlop í ky dlouhé 30 cm a 20 cm. Vypo t te obvod koso tverce ABCD Úloha 5: Úhlop í ky rovnob žníku mají délky e = 18 cm a f = 24 cm. Jedna jeho strana má délku b = 26 cm. Rozhodni, zda se jedná o koso tverec nebo kosodélník. Úloha 6: Obdélník o ší ce 64 dm a tverec o stran 8 m mají stejné obsahy. Ur ete délku obdélníku. Úloha 7: Vypo ítej obvod kosodélníku znázorn ného na obrázku:
Úloha 8: Vypo ítej obvod lichob žníku znázorn ného na obrázku:
Úloha 9: Základny pravoúhlého lichob žníku s pravým úhlem p i vrcholu A mají délku 92 cm a 76 cm, jeho výška se rovná 63 cm. Vypo ítej délku ramene b. Úloha 10: Vypo t te délky stran trojúhelníku ABC z obrázku, mají t žnice délky t a 27cm; t b 36cm .
Úloha 11: Jsou dány dv kružnice o polom rech 10 cm a 14 cm, které se protínají v bodech A, B vzdálených od sebe 8 cm. Vypo ítej vzdálenost st ed kružnic. Úloha 12: V kružnici s polom rem r = 10 cm je sestrojena t tiva t neznámé délky. Ur ete ji, víte-li, že její vzdálenost od st edu S kružnice k je 5 cm.
VÝSLEDKY ÚLOH, NÁPOV DA K ÚLOHÁM Úloha 1: Pomocí Pythagorovy v ty vypo teme délku úhlop í ky obdélníku majícího dle zadání délky stran 15 cm a 21 cm: u2
a2
u2
15 2
u2
225 441
u
666cm
u
b2 212
25,8cm
25,8cm
25cm
Úhlop í ka zadaného obdélníku nemá úhlop í ku dlouhou 25 cm.
Úloha 2: Stejné ešení jako v ukázkovém p íkladu 1: u2
a2
a2
u2
2a 2
10 2
2a 2
100
2a 2 / : 2
a2
50
a
50
7,1 cm
Úloha 3: Stejné ešení jako v p edchozí úloze: u2 a2 a2
u2
2a 2
18,2 2 331,24
2a 2 2a 2 / : 2
a 2 165,62 a 12,87 cm o o
4.a 4.12,87cm 51,48cm
S
a.a
S
12,87 2 cm 2
S
165,64cm 2
a2
Úloha 4: Užiješ poznatku, že úhlop í ky se v koso tverci navzájem p lí a svírají spolu pravý úhel (viz obr.).
a2
15 2 10 2
a2
225 100
a
325cm
a 18cm o
4.a
o
4.18cm
o
72cm
Úloha 5: Nejprve si spo teme stejn jako v úloze 2 délku strany rovnob žníku z Pythagorovy v ty: 2 2 e f 2 a 2 2
a2
18 2
a2
324 576
a a
24 2
900cm 30cm
30cm
26cm
Daný rovnob žník je kosodélníkem, protože sousední strany mají r znou délku.
Úloha 6: Nejprve si spo teš obsah tverce o stran 8m: S 8. 8m 2 S
64m 2
Nyní si vypo teš délku chyb jící strany obdélníku. Nezapome si známou délku p evést na metry, protože obsah obdélníku je v m2: S a.b
S a 64 b m 6, 4 b 10m
b
Úloha 7: Úloha je totožná se vzorovým p íkladem 5. Nejprve si vypo teš délku strany b:
b2 b b Poté si vypo teš obvod rovnob žníku:
o o o
52
52
50cm 7,1cm
2.(a b) 2.(10 7,1)cm 34,2cm
Úloha 8: Op t se podívej na m j obrázek:
AD
28 2
72
AD
784 49
AD
833cm
AD Obvod lichob žníku tedy je:
2
28,9cm
o o
32 8 14 28,9 cm 82,9cm
Úloha 9: Podívej se na obrázek. Myslím si, že Ti pak již výpo et nebude init problém.
2
b2
XB
b2
29 2
b2
841 3969
b b
XC
2
632
4810cm 69,35cm
Úloha 10: Využiješ poznatku, že t žišt trojúhelníku d lí t žnice na dv ásti. Vzdálenost t žišt od vrcholu trojúhelníku je rovna dv ma t etinám délky t žnice, vzdálenost t žišt od st edu strany je rovna t etin délky t žnice. Na obrázku máš již údaje vypo tené:
AX
2
AX
18 2 12 2 324 144cm
AX
21,63cm
AC
2. AX
BY
2
BY
24 2
43,26cm 92
576 81
BY
25,63cm
BC
2. BY
AB AB AB
2
51,26cm
24 2 18 2 576 324 30cm
Délky stran trojúhelníku jsou b = 43,26 cm, a = 51,26 cm a c = 30 cm.
Úloha 11: Op t si nejd íve prohlédni obrázek. Myslím, že Ti op t nebude d lat problém spo ítat vzdálenost dvou st ed .
S1 X
2
10 2
S1 X
2
100 49
S1 X
51cm
S1 X
7,14cm
72
S2 X
196 49cm
S2 X
151cm
S2 X
12,29cm
S1 S 2
7,14cm 12,29cm
S1 S 2
19,43cm
Úloha 12: Podívej se na vzorový p íklad 10. Nejprve si spo teš polovinu t tivy AB z pravoúhlého trojúhelníku AXS, jehož vrcholy jsou st ed kružnice S, po áte ní bod t tivy A a st ed t tivy X:
t 2
2
t 2
2
t 2
2
t 2 t Délka t tivy je 17,32 cm.
AS 10 2
2
XS
2
52
100 25 75cm
75
8,66cm
2.8,66cm 17,32cm
