Optika nabitých ástic
Michal Lenc
Poznámky k p ednášce v akademickém roce 2004/2005
1.
Index lomu. ................................................................................................................... 3
2.
Varia ní úloha ............................................................................................................... 5
3.
Störmer v problém........................................................................................................ 6
4.
Optická soustava s p ímou osou. ................................................................................... 8
5.
4.1
Multipólová pole.................................................................................................... 8
4.2
Rovnice trajektorie............................................................................................... 11
4.3
Paraxiální rovnice................................................................................................. 12
4.4
Paraxiální rovnice pro rota n soum rná pole....................................................... 13
Elektronov optické vady. ........................................................................................... 14
5.1
Geometrické vady 3. ádu. ................................................................................... 14
5.2
Chromatické vady. ............................................................................................... 15
6.
Kvantov mechanický popis......................................................................................... 16
7.
Kružnice jako centrální trajektorie. .............................................................................. 21
7.1
Obecná rovnice trajektorie. .................................................................................. 21
7.2
Rovnice paraxiální trajektorie............................................................................... 23 1
7.3
Zobrazení sektorovým polem. .............................................................................. 25
7.4
Disperze a chromatická vada................................................................................ 26
8.
Pohybová rovnice ástice v magnetickém poli ve válcových sou adnicích..................... 28
9.
Hamiltonián pro malé p í né oscilace. .......................................................................... 29
10.
Vychylovací magnety............................................................................................... 32
11.
Silná fokusace.......................................................................................................... 34
12.
Fázová stabilita........................................................................................................ 35
12.1
Synchrotronové oscilace ...................................................................................... 35
12.2
Diferenciální rovnice ............................................................................................ 37
12.3
Adiabatický útlum................................................................................................ 38
13.
Vlnov optický popis ............................................................................................... 40
13.1
Difrak ní integrál. ................................................................................................ 40
13.2
Huygens v princip. .............................................................................................. 41
13.3
Výpo et Fresnelova integrálu. .............................................................................. 43
13.4
Zm na fáze p i doteku kaustiky (Guy v fázový posuv)......................................... 43
13.5
P enos optickou soustavou. ................................................................................. 45
13.6
Zapo tení osových vad......................................................................................... 47
14.
Metody numerického výpo tu polí pro ásticovou optiku......................................... 48
14.1
Metoda kone ných diferencí................................................................................. 48
14.2
Metoda kone ných prvk ..................................................................................... 49
14.3
Metoda okrajového integrálu. .............................................................................. 51
15.
Bodové rozlišení mikroskopu................................................................................... 52
15.1
Mezní rozlišení..................................................................................................... 52
15.2
Závislost proudu ve stop na velikosti stopy......................................................... 53
16.
Zdroje elektron a iont pro mikroskopy a mikrosondy............................................ 54
16.1
Zdroje elektron . ................................................................................................. 54
16.2
Iontové zdroje. .................................................................................................... 56
2
1. Index lomu.
Podobnost optiky nabitých ástic a sv telné optiky nejlépe vyjád íme nalezením "indexu lomu". Pohybové rovnice ástice o hmotnosti m a s nábojem q ve statickém elektrickém a
magnetickém poli, popsanými skalárním potenciálem Φ ( r ) a vektorovým potenciálem A ( r ) najdeme z Maupertoisova principu. Pole je spojeno s potenciály vztahy
E ( r ) = − ∇ ⋅Φ ( r )
, B ( r ) = ∇× A ( r )
.
(1.1)
(1.2)
Lagrangeova funkce má tedy tvar
H ( r , p) = p ⋅v − L
1 2
v2 L ( r , v ) = − m c2 1 − 2 c
+ q v ⋅ A( r ) − q Φ ( r )
a protože nezávisí explicitn na ase, zachovává se energie ástice
H (r , p) =
∂L p= =
,
∂v
(( p − q A ( r ) )
2
mv
c2 + m2 c4
v2 1− 2 c
)
12
1 2
+ q A(r ) ,
(1.3)
+ q Φ (r ) = m c2 .
Zde i v následujících vztazích je p zobecn ný impuls. Volba konstanty u zachovávající se
energie je typická pro optiku nabitých ástic: p edpokládáme, že elektrostatický potenciál je
nulový tam, kde je nulová rychlost ástice. Vztah (1.3) je možno zapsat také jako
γ m c2 =
v
!
m c2
1− c
2
= m c2 − q Φ (r ) .
12
(1.4)
2
"
Musí tedy být znaménko potenciálu voleno tak, aby byl v pro ástici dovolené oblasti kladný
#
"
#
"
pro záporn nabité ástice a záporný pro kladn nabité ástice. Podle Maupertoisova principu
3
se pohyb d je po trajektorii, na které δ
p ⋅ d r = 0 , tedy
τb
δ n(r ,t )d τ = 0 , t =
dr dτ
τa
,
(1.5)
kde trajektorii parametrizujeme pomocí parametru τ , t je te ný vektor a veli inu
Φ* ( r )
12
n(r ,t ) =
ε=
−q 2 m c2
, η=
−q 2 m Φ* ( r0 )
, γ = (1 + 2 ε Φ ( r ) ) .
(1.6)
12
, Φ* ( r ) = Φ ( r ) (1 + ε Φ ( r ) ) ,
Φ ( r0 ) *
t − η A( r ) ⋅t
m žeme interpretovat jako index lomu (anizotropního) prost edí. Nerelativistická aproximace
se dostane jednoduše dosazením ε = 0 . Normování skalárního potenciálu a kalibraci vektorového potenciálu se snažíme obvykle volit tak, aby byl index lomu roven jedná v oblasti, kde ástici považujeme za volnou.
Pro po ítání z Fermatova principu p ipomeneme dále ješt
n které vztahy. Je-li v
ortogonálních sou adnicích te ný vektor vyjád en jako
t = h1 ( q1 , q2 , q3 )
dq d q1 dq e1 + h2 ( q1 , q2 , q3 ) 2 e2 + h3 ( q1 , q2 , q3 ) 3 e3 , dτ dτ dτ
(1.7)
máme pro základní operátory vektorové analýzy vyjád ení
∇f =
1 ∂f 1 ∂f 1 ∂f e1 + e2 + e3 , h1 ∂ q1 h2 ∂ q2 h3 ∂ q3
1 ∂ ∂ ∂ ∇⋅ f = ( f1 h2 h3 ) + ( f 2 h3 h1 ) + ( f 3 h1 h2 ) h1 h2 h3 ∂ q1 ∂ q2 ∂ q3
,
1 ∂ ( f 3 h3 ) ∂ ( f 2 h2 ) 1 ∂ ( f1 h1 ) ∂ ( f 3 h3 ) ∇× f = − e1 + − e2 + h2 h3 ∂ q2 ∂ q3 h3 h1 ∂ q3 ∂ q1
1 ∂ ( f 2 h2 ) ∂ ( f1 h1 ) − e3 . h1 h2 ∂ q1 ∂ q2
Fermat v princip dává rovnici trajektorie ve tvaru
4
(1.8)
d qµ
2
hµ
d Φ 2 d τ Φ*1 0 *1 2
dτ t
=
(1.9)
Φ*1 2 ∂ t 1 1 − hµ t γ Eµ *1 2 *1 2 − η hµ t × B *1 2 Φ 0 ∂ qµ 2 Φ Φ0
(
)
µ .
2. Varia ní úloha
Typický problém nalezení geodetické áry je popsán varia ní úlohou
δ S (x ) = 0 , S =
τb
i
i
τa
j
dx dx dx − m c gi j − q g i j Ai dτ dτ dτ
j
dτ
.
(2.1)
Tato formulace ale nepracuje pro m = 0 . Zvolíme-li ale
S ( pi , x i ) =
τb
d xi 1 − pi + λ (τ ) g i j ( pi − q Ai ) ( p j − q Aj ) − m 2 c 2 dτ 2
τa
dτ
,
(2.2)
kde λ (τ ) je Lagrange v multiplikátor, dostáváme po malé úprav (variace vzhledem k pi )
S (x ) =
τb
i
!
"
"
i
+
#
j
1 1 dx dx dx − gi j + λ (τ ) m 2 c 2 − q Ai 2 λ (τ ) dτ dτ dτ "
%
'
)
τa
i
&
$
"
(
*
dτ
.
(2.3)
P ipome me, že máme ,
-
Φ Ai = ,− A c .
xi = ( c t , − r ) ,
/
pi = ( p0 , − p )
4
4
4
0
2
, 1
3
(2.4)
a m c = c p0 =
m c2
2
;
12 6
7
5
9
v2 1− 2 c
+ qΦ ,
p=
mv
;
7
6
8
:
9
Variací (2.3) dostáváme
5
v2 1− 2 c
+qA . ;
12
5
:
8
(2.5)
τb
τb
1 d xi 1 δ S =− + q Ai δ x i + λ dτ 2 τ
d xi d x j gi j − m2 c2 δ λ d τ + 2 dτ dτ λ 1
a
τb
τa
(2.6)
∂ Aj ∂ Ai d x d 1 d xi −q − δ xi d τ i j dτ λ dτ ∂x ∂ x dτ
j
.
τa
Odsud máme vyjád ení impulsu
pi = −
δ S 1 d xi = + q Ai , δ xi λ d τ
(2.7)
vazebné podmínky 1
λ
mc
=
d x i d xi dτ dτ
(2.8)
12
a pohybové rovnice
d 1 d xi d xj = q Fi j dτ λ dτ dτ
, Fi j =
∂ Aj ∂x
i
−
∂ Ai ∂ xj
(2.9)
.
Jako malý p íklad uve me situaci, kdy je intenzita elektrického pole rovna nule, tj. platí
F0 µ = − Fµ 0 = 0 . Zvolíme-li jako parametr as τ = x 0 c = t , dostáváme z (2.9) a (2.8) v = const .
3. Störmer v problém.
Rozptyl nabité ástice v poli magnetického dipólu
A=
M ×r r3
.
(3.1)
Zvolíme orientaci dipólového momentu podél osy z. Budeme používat válcovou soustavu sou adnic. P ipome me si, že v této soustav !
!
"
#
jsou jednotkové vektory dány pomocí
jednotkových vektor kartézské soustavy jako $
eρ = cos ϕ ex + sin ϕ ey %
%
%
, eϕ = − sin ϕ ex + cos ϕ e y %
%
6
%
, ez = ez %
%
(3.2)
a máme tedy
r = ρ eρ + z ez
, t = ρ eρ + ρ ϕ eϕ + z ez
A=
,
Mρ
( ρ 2 + z2 )
32
.
(3.3)
Zna íme jako obvykle
d f ≡ f dτ
d f ≡ f′ . dz
,
(3.4)
Index lomu takového prost edí je
n = ( ρ 2 + ρ 2 ϕ 2 + z2 )
ρ2 ϕ
12
−η M
(ρ
2
+z
Obvyklý postup v optice nabitých ástic je takový: sou adnice
(3.5)
.
)
2 32
je cyklická, po jejím vylou ení
dostaneme pro nový "index lomu" n ( ρ , z ) = n ( ρ , z , ϕ ) − pϕ ϕ
(3.6)
výraz 12
n( ρ , z) =
(ρ)
2
+ (z)
2 12
pϕ
1−
ρ
+η M
(ρ
ρ 2
+z
)
,
2 32
(3.7)
kde pϕ je zachovávající se úhlová složka momentu impulsu
ρ2 ϕ
pϕ =
(( ρ )
2
+ ( ρ ϕ ) + ( z)
2
)
2 12
−η M
ρ2
( ρ 2 + z2 )
32
.
(3.8)
Jako parametr zvolíme sou adnici z. Lagrangeova rovnice
d ∂n ∂n − =0 d z ∂ ρ′ ∂ρ
pak dává "rovnici trajektorie v rotující sou adné soustav "
7
(3.9)
ρ ′ (1 + ρ ′2 )
ρ ′′ +
3η M ρ z
pϕ
1−
ρ
+η M
(ρ
ρ 2
( ρ 2 + z2 )
2
52
+z
)
−
2 32
(3.10)
1 + ρ′
2
pϕ
ρ
2
pϕ
1−
ρ
+η M
(ρ
ρ 2
+z
)
3η M ρ
+
2
2
( ρ 2 + z2 )
.
52
2 32
Rotace je pak po ítána z rovnice
12
1 + ρ ′2
ϕ′ = ±
ρ2
2
pϕ
1−
ρ
+η M
(ρ
ρ 2
pϕ
+η M
1
(ρ + z 2
)
(3.11)
.
2 32
)
+z
2 32
Rovnice nám umožní najít exaktní ešení, ale nejsou p íliš pr hledné. Všimn me si, že ve
výrazu pro index lomu (3.5) vystupují sou adnice z a její derivace ve druhé mocnin , je tedy
pohyb v rovin
z=0
ešením. V takovém p ípad
máme podstatn
jednodušší úlohu,
charakterizovanou n ( ρ ,ϕ ) = ( ρ 2 + ρ 2 ϕ 2 )
12
−
ηM ϕ . ρ
(3.12)
4. Optická soustava s p ímou osou.
4.1
Multipólová pole
Pro výpo et optických vlastností jednotlivých prvk
pot ebujeme znát rozložení
elektrických a magnetických polí na ose, v jejíž blízkosti se svazek nabitých ástic pohybuje.
Protože v blízkosti optické osy nejsou ani budicí cívky, ani elektrody, m žeme pole p sobící
na
nabitou
ástici charakterizovat
pomocí skalárního
magnetického
potenciálu a
elektrostatického potenciálu. Ze známého rozložení potenciálu nebo pole na ose m žeme
vyjád it elektrostatický nebo magnetický potenciál v blízkosti osy pomocí Fourierova rozvoje
8
v sou adnicích r, nebo Taylorova rozvoje v sou adnicích x, y. Taylor v rozvoj má tu
nevýhodu, že nerozlišuje mezi potenciály r zné symetrie. Základním polem je pole rota n
soum rné (fokusa ní), a dále pole dipólové (vychylovací). Další pole používaná v ásticové
optice jsou pole kvadrupólové (jak pro fokusaci jako kvadrupólové o ky, tak pro korekci
astigmatismu), a hexapólové nebo oktupólové pole, používané pro korekci vad zobrazení. Teoreticky nejlepší zp sob, jak vytvo it tato Multipólová pole, je sestavení 2n stejných
hyperbolických elektrod o stejné absolutní hodnot
potenciálu se st ídavou polaritou.
Jednotlivé potenciály pro nejnižší multipóly jsou Φ1 = φ1c x + φ1 s y = r (φ1c cos ϕ + φ1s sin ϕ )
Φ 2 = φ2 c ( y 2 − x 2 ) + 2 φ2 s x y = r 2 (φ2 c cos 2 ϕ + φ2 s sin 2 ϕ )
(4.1)
Φ 3 = φ3 c x ( x 2 − 3 y 2 ) + φ3 s y ( 3 x 2 − y 2 ) = r 3 (φ3 c cos 3ϕ + φ3 s sin 3ϕ )
Φ 4 = φ4 c ( x 4 − 6 x 2 y 2 + y 4 ) + φ4 s x y ( x 2 − y 2 ) = r 4 (φ4 c cos 4 ϕ + φ4 s sin 4 ϕ )
kde φn c je potenciál 2n-pólu s osou x v rovin symetrie a φn s je potenciál 2n-pólu s osou x v
rovin antisymetrie.
Uvažujme nyní i možnou závislost koeficient rozvoje polí na sou adnici z. Zavedeme
ješt komplexní sou adnici w pomocí vztahu w = x + i y , w = x − i y . Skalární potenciál je
vyjád en pomocí vztahu
Φ ( w, w, z) =
∞
n=0
Φn ( w , w, z ) ,
( -1) n ! Φn ( w, w, z ) = k = 0 k !( n + k ) ! k
∞
∂ 2 k φn ( z ) Re w ∂ z 2k
k
ww 4
(4.2)
n
.
Ze známého skalárního potenciálu spo teme intenzitu elektrického pole jako
E = −∇Φ ,
Ew = E x + i E y = − 2
∂Φ ∂w
, Ez = −
∂Φ . ∂z
(4.3)
První leny rozvoje potenciál rota n soum rného pole, dipólového, kvadrupólového,
hexapólového a oktupólového pole jsou pro elektrostatický potenciál
9
2 1 1 Φ 0 = φ ( z ) − φ ′′ ( z ) ( x 2 + y 2 ) + φ IV ( z ) ( x 2 + y 2 ) − 4 64 1 Φ1 = − F1 x x − F1 y y + ( F1′′x x + F1′′y y ) ( x 2 + y 2 ) − 8 1 F2 c ( y 2 − x 2 ) − 2 F2 s x y ( x 2 + y 2 ) + Φ 2 = F2 c ( y 2 − x 2 ) − 2 F2 s x y − 12 2 2 Φ 3 = − F3 c x ( x − 3 y ) + F3 s y ( y 2 − 3 x 2 ) +
(
)
(4.4)
Φ 4 = − F4 c ( x 4 − 6 x 2 y 2 + y 4 ) − 4 F4 s x y ( x 2 − y 2 ) +
Zde φ ( z ) p edstavuje závislost osového rota n soum rného potenciálu na sou adnici z,
F1x ( z ) a F1y ( z ) p edstavují pr b h závislosti x a y složky dipólového vychylovacího pole na
ose (totéž jako F1c ( z ) a F1s ( z ) . Funkce s vyššími indexy Fnc ( z ) a Fn s ( z ) udávají (ve V m n ) pr b h osové závislosti pole multipólu.
Pro magnetický skalární potenciál platí stejný rozvoj jako pro elektrostatický
Ψ ( w, w, z) =
∞
n =0
Ψn ( w, w, z ) ,
( -1) n ! Ψn ( w, w, z ) = k = 0 k !( n + k ) ! ∞
k
∂ 2 k φn ( z ) Re i n wn ∂ z 2k
k
ww 4
(4.5)
.
Magnetický skalární potenciál bývá nej ast ji udáván v ampérech, v optice ástic se
však používá potenciál jako µ 0-násobek obvyklého potenciálu (µ 0 je permeabilita vakua). Složky indukce magnetického pole jsou B = −∇Ψ ,
Bw = Bx + i By = − 2
∂Ψ ∂w
Rozvoj potenciálu v sou adnicích x,y dává
10
, Bz = −
∂Ψ ∂z
.
(4.6)
z
Ψ0 = − B ( z ) d z +
2 1 1 B′ ( z ) ( x 2 + y 2 ) − B′′′ ( z ) ( x 2 + y 2 ) + 4 64
1 D1′′y x − D1′′x y ) ( x 2 + y 2 ) − ( 8 1 Ψ 2 = 2 D2 s x y − D2 c ( y 2 − x 2 ) − D2 s x y − D2 c ( y 2 − x 2 ) ( x 2 + y 2 ) + 12 2 2 Ψ 3 = − D3 s x ( x − 3 y ) − D3 c y ( y 2 − 3 x 2 ) + Ψ1 = D1 y x − D1 x y −
(
)
(4.7)
Ψ 4 = − D4 c ( x 4 − 6 x 2 y 2 + y 4 ) − 4 D4 s x y ( x 2 − y 2 ) +
B ( z ) D1x ( z ) a D1 y ( z ) (v jednotkách T - Tesla) je pr b h indukce fokusa ního a dipólového
pole na ose, Dn c ( z ) a Dn s ( z ) (v T m n −1 ) je multipólové osové pole - podobn jako u
elekrostatických multipól .
4.2
Rovnice trajektorie.
Ve vztahu (1.9) zvolíme
τ = z , t = ( x′ ex + y ′ ey + ez ) .
(4.8)
S použitím zna ení s komplexními ísly má získaná rovnice trajektorie tvar
d Φ w′ = *1 2 d z Φ 0 (1 + w′w′ )1 2 *1 2
(4.9)
1 1 12 − (1 + w′w′ ) (1 + 2 ε Φ ) Ew *1 2 *1 2 − i η ( Bw − w′ Bz ) . Φ Φ0 2 T etí rovnice
d Φ*1 2 1 = *1 2 d z Φ 0 (1 + w′w′ )1 2
−
1 1 η 12 (1 + w′w′) (1 + 2 ε Φ ) Ez *1 2 *1 2 + i ( Bw w′ − Bw w′ ) , 2 Φ Φ0 2
(4.10)
je nadbyte ná, ale m žeme ji s výhodou využít k vhodným úpravám (4.9). Tak m žeme
nap íklad psát
11
w′′ = −
1 (1 + 2 ε Φ ) (1 + w′w′)( Ew − w′ Ez ) 2 Φ*
−q −i 2 m Φ*
12
(1 + w′w′)
12
1 Bw + ( Bw w′ − Bw w′ ) w′ − w′ Bz 2
nebo s využitím
)
2 1 ( Bw w′ − Bw w′) w′ − w′ Bz = t Bw − B ⋅ t w′ 2
Bw +
jako
1 w′′ = − t 2
2
( Ew − w′ Ez )
−q −i 2 m Φ*
4.3
(
(
(4.12)
(1 + 2 ε Φ ) Φ*
12
t
(4.11)
( ))
t Bw − w′ B ⋅ t 2
(4.13) .
Paraxiální rovnice.
V paraxiální aproximaci pokládáme t ≈ 1 , E z ≈ − φ ′ ( z ) , Bz ≈ B ( z ) ,
1 Ew ≈ φ ′′ ( z ) w ( z ) + F1 ( z ) + 2 F2 ( z ) w ( z ) , 2 1 Bw ≈ − B′ ( z ) w ( z ) + i D1 ( z ) − 2 D2 ( z ) w ( z ) , 2
(4.14)
kde jsme ozna ili
F1 ( z ) = F1 x ( z ) + i F1 y ( z ) , F2 ( z ) = F2 c ( z ) + i F2 s ( z ) , D1 ( z ) = D1 x ( z ) + i D1 y ( z ) , D2 ( z ) = D2 c ( z ) + i D2 s ( z ) .
Dále pokládáme bu
(4.15)
Φ ≈ φ ( z ) nebo
Φ ≈ φ ( z ) − ( F1 x ( z ) x + F1 y ( z ) y ) = φ ( z ) −
1 ( F1 ( z ) w + F1 ( z ) w ) . 2
Rovnice (4.13) p ejde tak na paraxiální rovnici trajektorie
12
(4.16)
γ φ′ w′′ + − i k B w′ + 2φ *
γ φ ′′ 1 − i k B′ + 4φ * 2
(1 + γ 2 ) F1F1 8 φ *2
− k D1
γ F1 w+ 4φ *
(4.17)
(1 + γ ) F1 − k D γ F1 w = k D − γ F1 . γ F2 − 2 i k D2 + 1 1 * φ 8 φ *2 4φ * 2φ *
2
2
Zavedli jsme ozna ení
φ* , k = η 0* φ
φ = φ (z) 1+ ε φ (z) *
, γ = 1 + 2ε φ ( z )
12
−q = 2 mφ *
12
.
Pravá strana rovnice (4.17) musí být také ádu srovnatelného s w resp. w . Bu
(4.18)
jsou tedy
dipólová pole slabá, jak se p edpokládá v teorii vychylovacích systém , nebo je pro jistou
kinetickou energii φ − ∆ φ spln na Wienova podmínka, tedy
12
−q 2 m (φ * − ∆ φ * )
D1 =
γ F1
2 (φ − ∆ φ * ) *
.
(4.19)
V paraxiální aproximaci potom
k D1 ≈
γ F1 2φ *
(4.20)
a rovnice (4.17) p ejde na
γ φ′ γ φ ′′ 1 FF w′′ + − i k B w′ + − i k B′ + 1 *21 w + * * 2φ 4φ 2 8φ
γ F2 F12 γ F ∆φ − 2 i k D + w = − *1 * 2 * *2 φ 8φ 4φ φ
4.4
Paraxiální rovnice pro rota n soum rná pole. !
"
"
V tomto p ípad položíme v rovnici (4.21) F1 = F2 = D2 = 0 a po transformaci #
$
13
(4.21)
14 z φ0* i Θ 1 w =W * e , Θ = k (ς ) B (ς ) d ς φ
(4.22)
2 z0
máme rovnici
kB 2+γ 2 + W ′′ + ω ( z ) W = 0 , ω ( z ) = 2 16 2
2
2
φ′ *
φ
2
.
(4.23)
5. Elektronov optické vady. 5.1
Geometrické vady 3. ádu.
P i odvozování paraxiální rovnice byly zanedbány všechny leny, které obsahují vyšší mocniny w , w , w′ , w′ a leny se (slabými) vychylovacími poli. To se projeví tak, že k rovnici s
paraxiálními leny p ibude na pravé stran len P3 ( z ) , který m žeme psát jako P3 ( z ) =
1
φ *1 2
φ ′′
d *1 2 γ φ ′′ γF γ F1 1 w w + *1 U1 w + U1 w + w′ w′ − φ w′ * * dz 8φ 4φ 4φ 2
γ φ ′′ F γ F1 γF 1 −γ w + 1 * U1 ww + U1 w + *1 U1 w + w′ w′ + * * * 4φ 2φ 8φ 4φ 4φ 2 +
γ φ IV 2 γ F ′′ γ F1′′ 3γ F3 w w + *1 U1 w w + U1 w 2 − U 3 w2 − * * 32 φ 8φ 16 φ 2φ *
B′′
B′′′ 2 w w − −ik w w′ w + 4 16
(5.1)
D1′
D′ D′′ D′′ I1 w′ w − 1 I1 w w′ + 1 I1 w w − 1 I1 w2 + 3 D3 I 3 w2 −i k 2 2 4 8
.
Podobn jako u rovnice paraxiální rovnice s deflektory ešíme metodou variace parametr , p itom pro nalezení vady v obrazové rovin , kde w ( zi ) = 0 , sta í po ítat pouze jeden z integrál . Dosadíme-li za w = α wa + β wb + γ wm + δ we , m žeme rozd lit získaný výraz na jednotlivé vady. Jednotlivé aberace jsou rozd leny na vady rota n soum rných o ek a rota n soum rné vady vychylovacích polí. Geometrické vady o ek kS (otvorová), kL (koma), k F 14
(zklenutí pole), k A (astigmatismus) a k D (zkreslení) jsou definovány následujícím vztahem (viz obrázek dole):
∆ w = kS α 2 α + kL α α β +
kL 2 α β + kF α β β + k A α β 2 + kD β 2 β 2
.
(5.2)
Zobrazení vady elektrostatické elektronové o ky pro x = y = 0,1 mm ; vliv jednotlivých vad je
zobrazen odd len pro každou vadu a v sou tu s jinými vadami pro 10 hodnot úhlu α , které
rostou s konstantním krokem. Pro rota n invariantní vychylovací pole, tj. pro soustavu kde dipólové vychylovací pole
ve sm ru y je totéž jako ve sm ru x, a kde vychylovací pole neobsahuje hexapólovou složku,
je struktura abera ních koeficient obdobná struktu e koeficient mimoosových vad o ky
∆ w = K Lm α α γ +
K Lm 2 α γ + K Fm α γ γ + K mA α γ 2 + K Dm γ 2 γ + 2
K Le 2 α δ + K Fe α δ δ + K eA α δ 2 + K De δ 2 δ + 2 + S F α γ δ + SF α γ δ + S A α γ δ +
+ K Le α α δ +
+ SD1 γ δ 2 + SD 2 γ δ δ + SD 3 γ γ δ + SD 4 γ 2 δ
(5.3)
,
kde koeficienty K m jsou vady magnetického vychýlení, K e vady elektrostatického vychýlení a S jsou vady kombinace magnetického a elektrostatického vychýlení. Také zde je K L koma, K F , SF , S F je zklenutí pole, K A , S A astigmatismus a K D , S D n zkreslení.
5.2
Chromatické vady.
Uvažujeme-li trajektorie ástice s odchylkou e ∆ φ od nominální energie, p ibude k
rovnici s paraxiálními leny na pravé stran
len Pc ( z ) , který m žeme psát jako
15
∆φ γ φ ′ γ φ ′′ γF Pc ( z ) = * w′ + w + *1 U1 − * * φ ( zi ) 2 φ 4φ 2φ
∆φ 1 1 − * i k B w′ + B′ w + k D1 I1 2 2 φ ( zi )
(5.4)
.
Chromatické vady prvního ádu dané relativní energiovou ší kou ∆ φ φ * jsou definovány jako
∆ w = ( k X α + kT β + KTm γ + KTe δ )
∆φ
,
φ*
(5.5)
kde k X je osová chromatická vada rota n soum rné o ky, kT je mimoosová vada o ky a
KT je chromatická vada vychýlení.
6. Kvantov mechanický popis.
S lagrangiánem (1.2) máme pro zobecn ný impuls a hamiltonián výrazy (1.3).
Odstran ním odmocniny v hamiltoniánu a užitím relativisticky korigovaného potenciálu Φ* z
(1.6) dostáváme pro hamiltonián výraz
(
1 p−qA 2m
)
2
= − q Φ* .
(6.1)
Potom obvyklá substituce
pˆ =
p →
∇
(6.2)
i
vede na Schrödingerovu rovnici 2
1 ∇ − q A ψ = − q Φ* ψ 2m i
(6.3)
.
Velmi podstatným zjednodušením je skute nost, že kvasiklasická aproximace je
použitelná s velmi dobrou p esností pro celou optiku nabitých ástic. Podle standardního
postupu píšeme
16
i
ψ = F exp
S
(6.4)
a pro F a S dostáváme rovnice 2 2 1 ∆F ∇ S −q A − = −q Φ* 2m 2m F
(
)
(6.5)
a
(
∇⋅ F2 ∇ S − q A
)
=0 .
(6.6)
Použitelnost kvasiklasické aproximace závisí na tom, aby druhý len na levé stran
rovnice (6.5) byl malý, tuto podmínku m žeme zapsat jako
∆F F
2 m − q Φ*
2
.
(6.7)
Platí-li tedy (6.7), redukuje se rovnice (6.5) na Hamiltonovu-Jacobiho rovnici
(
1 ∇S − q A 2m
)
2
= − q Φ*
(6.8)
a rovnice (6.6) je rovnicí kontinuity. Amplituda vlnové funkce F m že být spo ítána jako
asov nezávislá analogie k Van Vleckovu determinantu. Pro optiku nabitých ástic je
vhodnou formou amplitudy ešení rovnice (6.6) tvaru
∂S ∂S f , ∂ c1 ∂ c2 F ( x , y , z , c1 , c2 ) = p1z 2
∂2 S ∂ x ∂ c1
∂2 S ∂ x ∂ c2
∂2 S ∂ y ∂ c1
∂2 S ∂ y ∂ c2
12
,
(6.9)
,
(6.10)
kde pz je 2 12
∂S pz = − 2 m q Φ* − − q Ax ∂x
2
!
"
#
%
17
$
∂S − − q Ay ∂y
#
!
"
$
&
a c1 a c2 jsou libovolné dv ze t í nezávislých konstant v ešení Hamiltonovy-Jacobiho rovnice
(6.8), f je libovolná reálná funkce dvou prom nných. D kaz není obtížný, po dosazení (6.9) do (6.6) využijeme dvou identit, které dostaneme derivováním (6.8) podle c1 a c2 a zjistíme, že f
je ešením takto vzniklé rovnice.
P i volb c1 = x0 a c2 = y0 a vhodného tvaru funkce f máme
( −2 m q Φ ) F (r , r ) = −i 2π ( p p )
* 12 0
0
12
z
kde
z0
∂S pz0 = − 2 m q Φ*0 − − − q Ax0 ∂ x0
∂2 S ∂ x ∂ x0
∂2 S ∂ x ∂ y0
∂2 S ∂ y ∂ x0
∂2 S ∂ y ∂ y0
12
.
∂ S − −∂ y −qA 2
y0
0
(6.11)
2 12
(6.12)
a platí −2 m q Φ lim F ( r, r ) = − ( 2 π ) lim r−1 r * 12 0
0
r → r0
r → r0
(6.13)
.
0
Je tedy vlnová funkce (6.4) s amplitudou (6.11) dobrou aproximací Greenovy funkce rovnice (6.3).
Podmínku (6.7) m žeme v paraxiální aproximaci pro rota n soum rné elektrické pole
(dané rozložením potenciálu na ose Φ ( z ) ) a rota n soum rné magnetické pole (dané rozložením indukce na ose B ( z ) ) zapsat jako
η 2 B2 4Φ
*
+
γ 2 + 2 Φ′2 16
Φ
*2
−
2 m q Φ* 2
(6.14)
,
což je v optice nabitých ástic vždy spln no, nebo na levé stran máme veli iny vyjad ující
hustotu optické mohutnosti o ky, na pravé stran 18
tverec vlnového ísla.
V paraxiální aproximaci (pro rota n soum rné elektrické a magnetické pole) je amplituda vlnové funkce (6.11) dána vztahem
− 2 m q φ ( z ) ) ( φ (z ) F (r , r ) = − i φ ( z ) 2π r ( z ) 12
*
*
0
14
0
0
(6.15)
*
a
a fáze vlnové funkce je
z r ′ (z) 2 r ( z) 2 1 1 S ( r , r0 ) = φ *1 2 (ζ ) d ζ + φ *1 2 ( z ) a x + y 2 ) + φ *1 2 ( z0 ) b x0 + y02 ) − ( ( 2 2 r z r z a( ) a( ) z0
φ *1 2 ( z0 )
1 ra ( z )
cosθ
( z )( x x0 + y y0 ) + sin θ ( z )( y x0 − x y0 )
(6.16)
,
kde ra ( z ) a rb ( z ) jsou dv nezávislá ešení paraxiální rovnice trajektorie a θ ( z ) je úhel
rotace paraxiální trajektorie. Poznamenejme ješt , že singularity determinantu ve (6.9) ur ují kaustické plochy.
P idání spinové interakce pak vede k Pauliho rovnici
2
1 q ˆ B ⋅ S ψ = − q Φ* ψ ∇−qA ψ − 2m i m
(6.17)
,
kde ψ je ovšem nyní dvoukomponentový spinor.
Ozna íme-li p =∇ S + q A , m žeme zbývající rovnice pro komponenty spinoru zapsat jako
iq B 2 p ⋅∇ f + i q B
p ⋅∇ f1 − 1
z
2
z
iq ( Bx − i By ) f 2 = 0 , 2 iq f1 − ( Bx + i By ) f 2 = 0 . 2
f1 −
(6.18)
Rovnice pro spinovou orientaci (6.18) m žeme ešit dvojím zp sobem. Budeme psát
! !
v ⋅∇ =
d dt
19
.
(6.19)
Potom substituce
iq f1 = g1 exp Bz d t 2m
,
f 2 = g 2 exp −
iq Bz d t 2m
(6.20)
vede na jednoduchou soustavu rovnic
d g1 + i G* g2 = 0 , dt
d g2 + i G g1 = 0 , dt
q iq G=− Bx + i By ) exp Bz d t ( 2m m
(6.21)
.
Jiný zp sob spo ívá v zavedení jednotkového vektoru spinové orientace Si = ( f1*
f 2* ) σˆ i
f1
f2
(6.22)
,
kde σˆ i jsou Pauliho matice. Vhodnou kombinací rovnic (6.18) a rovnic komplexn
sdružených dojdeme k tomu, že vektor spinové orientace se ídí rovnicí dS = qv×B . dt
(6.23)
Z rovnic (6.22) pak spo teme f1 a f 2 2 f1 f 2 cos ( arg f 2 − arg f1 ) = S x 2 f1 f 2 sin ( arg f 2 − arg f1 ) = S y
f1 − f 2 = S z 2
2
,
, (6.24)
,
f1 + f 2 = S = ( S x2 + S y2 + S z2 ) 2
2
12
.
Literatura ke kapitole 5. M. Born and E. Wolf, Principles of Optics. Pergamon Press, London 1975. Kap.3 a 4, 109202. P. W. Hawkes and E. Kasper, Principles of Electron Optics. Academic Press, London 1989.
Vol. I, ást I, 17-58. L. D. Landau i E. M. Lifšic, Teorija polja. Nauka, Moskva 1973. Kap. III , 64-90. 20
L. D. Landau i E. M. Lifšic, Mechanika. Nauka, Moskva 1973. Kap. VII , 165-207. M. Lenc, Immersion objective lenses in electron optics. PhD Thesis TU Delft, Delft 1992. Kap.1 a 2, 1-21. W. Pauli, Die allgemeine Prinzipien der Wellenmechanik, Handbuch der Physik V/1 (Her. S. Flügge). Spriger-Verlag, Berlin 1958. Kap.12, 87-98. P. A. Sturrock, Static and Dynamic Electron Optics. Cambridge University Press, Cambridge 1955. Kap.1 a 2, 1-60.
7. Kružnice jako centrální trajektorie. 7.1
Obecná rovnice trajektorie. Nej ast ji používaný hmotnostní analyzátor je založen na pohybu nabité ástice v
homogenním magnetickém poli, p ípadn sektoru tohoto pole, a poskytuje astigmatické
zobrazení analyzovaného svazku ze vstupní na výstupní št rbinu. Centrální trajektorie ástice
o hmotnosti m s nábojem q v homogenním magnetickém poli o indukci B je kružnice o cyklotronovém polom ru (v nerelativistickém p iblížení) R = m v q B , kde v je velikost
rychlosti ástice v rovin kolmé k magnetickému poli. Kružnice je centrální trajektorie i v
elektrostatickém válcovém nebo kulovém analyzátoru, kde platí, že odst edivá síla p sobící na
ástici je rovna dost edivé síle elektrostatického pole, tedy m v 2 R = q E . Pro svazek ástic
v blízkosti této centrální trajektorie dochází k fokusaci svazku. Ve válcových sou adnicích
ρ ,ϕ , z
bude mít kružnice centrální trajektorie rovnici
ρ = R , z = 0 . Pole s uvažovanou symetrií E = Eρ ( ρ , z ) eρ + Ez ( ρ , z ) ez
, B = Bρ ( ρ , z ) eρ + Bz ( ρ , z ) ez
21
(7.1)
m žeme získat z potenciál Φ ( ρ , z ) a Ψ ( ρ , z ) . Za p edpokladu, že pohyb ástice nem ní
orientaci, m žeme derivaci podle
asu v pohybových rovnicích nahradit derivací podle
sou adnice na oblouku kružnice s = R ϕ (tuto derivaci budeme zna it árkou). Ve vztahu
(1.5) a (1.6) zvolíme tedy
ρ
τ = s ≡ R ϕ , t = ρ ′ eρ +
R
eϕ + z ′ ez
(7.2)
.
Po úpravách získáme z obecné rovnice (1.9) rovnice
d ds
−
Φ* ( ρ , z ) Φ*0
12
1 + 2ε Φ ( ρ , z)
2 ( Φ* ( ρ , z ) Φ
d ds
−
ρ
+ ρ ′ + z′ 2
ρ2 R
2
+ ρ ′ + z′
2 (Φ ( ρ , z ) Φ
Φ* ( ρ , z Φ
* 0
2
12
2
12
1 + 2ε Φ ( ρ , z) *
(
Φ* ( ρ , z ) = Φ *0
12
2
R2
Φ* ( ρ , z ) Φ*0
a kone n
d ds
)
* 12 0
ρ′
)
* 12 0
2
R2
+ ρ ′2 + z ′2
R
2
ρ
R
+ ρ ′ + z′
ρ R
ρ
2
R2
+ ρ ′ + z′ 2
2
12
(7.3)
Bz ( ρ , z ) ,
2
= (7.4) Ez ( ρ , z ) + η
ρ R
Bρ ( ρ , z )
2
R
ρ
12
2
) 12
R
ρ 2
12
ρ2
12
Eρ ρ , z ) − η
z′
ρ2
12
2
+ ρ ′2 + z ′2
Pomocí vektorového potenciálu
22
=η
ρ R
( ρ ′ B ( ρ , z ) − z′ B ( ρ , z )) z
ρ
.
(7.5)
Bρ ( ρ , z ) = −
∂ Aϕ ( ρ , z ) ∂z
, Bz ( ρ , z ) =
1 ∂ ( ρ Aϕ ( ρ , z ) ) ρ ∂ρ
m žeme vztah (7.5) napsat jako
d ds
7.2
Φ (ρ,z *
Φ*0
)
ρ
12
R
ρ
R
Rovnice paraxiální trajektorie
2
2
+ ρ ′2 + z ′2
(7.6)
12
−η
ρ R
Aϕ ( ρ , z ) = 0 .
(7.7)
Podobn jako v p ípad systém s p ímou osou m žeme i zde v rovnicích (7.3) a (7.4)
s využitím (7.5) odd lit paraxiální leny pro trajektorie, jejichž vzdálenosti od centrální
trajektorie a úhly s touto trajektorií jsou malé. P i popisu trajektorií v urychlova ích je zvykem
zavád t sou adnice x ≡ ρ − R , s ≡ R ϕ a y ≡ z . Rozvoje potenciál a polí v okolí centrální
trajektorie jsou pak
1 1 E 2 Φ = φ − E x − E2 x 2 + E2 + y 2 2 R
E E y = − E2 + y R
, Ψ = − B y − B2 x y
, Ex = E + E2 x , By = B + B2 x , Bx = B2 y
(7.8) ,
kde φ (ur uje energii), E a E2 ur ují intenzitu homogenní a kvadrupólové složky elektrického pole a B a B2 indukci homogenní a kvadrupólové složky magnetického pole v blízkosti
centrální trajektorie. V obecném p ípad , který zde neuvádíme, je pole také popsáno výrazy podobnými (7.8), ale místo konstant tam vystupují funkce parametru s. Paraxiální rovnice získané ze vztah (7.3) až (7.8) jsou
23
R E2 + E 1 γE E + η B + η B2 + γ + * * R 2φ 2 Rφ 2φ *
x′′ +
2
x=
1 γE − −η B , R 2φ *
R E2 + E y ′′ − η B2 + γ y=0 . 2 Rφ*
(7.9)
(7.10)
P ipome me si zde zna ení
−q , η= 2 mφ *
12
φ = φ (1 + ε φ ) , γ = 1 + 2 ε φ *
, ε=
−q 2 m c2
.
(7.11)
Podmínkou pro to, aby také centrální trajektorie (tj. kružnice o polom ru R daná jako
x ( s ) = y ( s ) = 0 ) byla ešením paraxiální rovnice, je (srovnejme s (4.19) pro soustavu s p ímou
osou) 1 (1 + 2 ε (φ − ∆ φ ) ) E −q − − * * R 2 (φ − ∆ φ ) 2 m (φ * − ∆ φ * )
12
B=0 .
(7.12)
!
V paraxiální aproximaci je pak
1 γE − −η B = 0 . R 2φ *
(7.13)
Uv domíme-li si, že energii − q φ máme podle (1.3) definovánu jako kinetickou energii
ástice, m žeme dále psát "
γ =
(1 − v
− qφ* =
1 2
c
)
2 12
(p =
2
c 2 + m2 c4 )
12
mc
2
=
p mv
, (7.14)
2
q p , η= 2m p
.
Podmínku (7.13) tak m žeme zapsat do tvaru, který známe z elementárních úvah o pohybu "
nabité ástice v homogenním magnetickém poli nebo v osov symetrickém elektrostatickém
poli
24
pv = q E + q vB . R
(7.15)
Paraxiální rovnici pak m žeme zjednodušit na tvar
1 R E2 + E E + x′′ + 2 + η B2 + γ * R 2 Rφ 2φ *
2
E γ ∆φ + x=− * 4φ 2 R φ*
(7.16)
E 1 φ ∆m + − * 4φ 2 R φ* m
a R E2 + E y ′′ − η B2 + γ y=0 . 2 Rφ*
7.3
(7.17)
Zobrazení sektorovým polem.
Velmi
asto studovanými p íklady jsou sektorová pole. Pro p ípad homogenního
magnetického pole v sektoru je B = const. a B2 = E = E2 = 0 . Pro elektrostatický válcový
analyzátor je B = B2 = 0 , E = const. a E2 = − E / R . V rovin y-z nedochází k fokusaci a
v rovin
x-z m žeme v nerelativistické aproximaci psát (obecná rovnice je (7.22)) pro
magnetické sektorové pole 1 1 ∆φ ∆ m x′′ + 2 x = − + R 2R φ m
(7.18)
a x′′ +
2 1 ∆φ x=− 2 R R φ
(7.19)
pro elektrostatické pole. Neuvažujeme-li disperzi, m žeme pak snadno napsat p enosovou
matici mezi vstupem ( ϕ = 0 ) a výstupem analyzátoru ( β 2 =1 pro magnetický analyzátor a
β 2 = 2 pro elektrostatický analyzátor)
25
R
cos β ϕ
T ( Rϕ , 0) =
β
−
β R
sin β ϕ
sin β ϕ
cos β ϕ
(7.20)
.
Platí-li pro úhel β ϕ = π , dostaneme zobrazení se zv tšením M = −1 , tedy pro magnetické
pole ϕ = 180° , pro elektrostatický válcový analyzátor ϕ = π / 2 = 127,3° . Máme-li sektor s daným úhlem ϕ , pak z p enosové matice (7.20) dostaneme porovnáním s obecným vztahem
polohy hlavních rovin, ohnisková dálka sektoru je f = R ( β sin ( β ϕ ) ) .
asto se uvádí p íklad magnetické soustavy s kruhovou trajektorií a gradientním polem
By = B0 ( R ( R + x ) ) , které získáme náklonem pólových nástavc magnetu. V našem zna ení n
je pak E = E2 = 0 , B = B0 a B2 = − n B0 R . Rovnice trajektorie jsou x′′ +
1− n x=0 , R2
y ′′ +
n y=0 . R2
(7.21)
Pro n =1 2 jsou ob rovnice stejné a magnet p enáší svazek nabitých ástic stigmaticky
podobn jako rota n soum rná o ka. Podobn lze ukázat, že v elektrostatice m žeme
stigmatické zobrazení dosáhnout pro sférický elektrostatický analyzátor, kde B = B2 = 0 a E = 2 φ * R , E2 = − 4 φ * R 2 .
7.4
Disperze a chromatická vada
Ne všechny ástice mají stejnou energii a hmotnost. Uvažujme, jak se liší rovnice
paraxiální trajektorie ástice s nominální energií a hmotností a ástice, jejíž energie se liší o
malou (konstantní) hodnotu ∆ φ a hmotnost o malou hodnotu ∆ m . Pro v tší p ehlednost
uvažujme p ípad, kdy je potenciál na centrální trajektorii konstantní, E + R E2 = B2 = 0 a pohyb
26
se d je pouze v rovin
y = 0 . Pro odchylku skute né paraxiální trajektorie od trajektorie s
nominálními hodnotami dostáváme ∆ x ≡ x (φ , m ) − x (φ − ∆ φ , m − ∆ m ) rovnici
γ ∆φ 1 1 1 1 1 φ ∆m ∆ x′′ + + ∆x =− + + − 2 2 * R γ RE R 2 φ γ RE R 2 φ * m (γ RE )
γ
−
2R
1 2 ∆φ x . + 2 γ RE R γ RE2 φ *
2
+
(7.22)
Ozna ili jsme
1 γE qE = = RE 2 φ * pv
qB 1 =η B = . RB p
,
(7.23)
Veli iny RE a RB mohou nabývat i záporných hodnot, vždy však musí pro skute ný polom r
R platit 1 RE + 1 RB > 0 . První dva leny na pravé stran rovnice (47) popisují energiovou a
hmotnostní disperzi, poslední len pak chromatickou vadu. V dalším budeme uvažovat pouze
disperzi hmotového spektrometru. Uve me dva zajímavé p ípady:
(a) ist magnetický nebo ist elektrostatický spektrometr. ešeními homogenní rovnice jsou
v prvním p ípad
s xa = RB sin RB
s , xb = cos RB
(7.24)
a s jejich pomocí najdeme partikulární ešení rovnice s disperzními leny
R γ ∆φ φ ∆ m ∆ xB = − B + * φ* φ m 2
s 1 − cos RB
.
(7.25)
Stejná relativní disperze energií a hmotností se projevuje v nerelativistickém p ípad stejnou
velikostí odchylky trajektorie. U elektrostatického spektrometru je
(1 + γ )
xa =
γ RE
sin 12
(1 + γ 2 )
"
(1 + γ )
2 12
s
2 12
γ RE
!
!
#
27
, xb = cos "
γ RE
s !
!
#
(7.26)
a pro ∆ xE dostaneme výraz
∆ xE = −
RE γ ∆ φ γ (1 − γ ) φ ∆ m + 2 φ* 1+ γ 2 φ * m
1 − cos
(1 + γ )
2 12
s
γ RE
Energiová disperze je tedy v nerelativistickém p ípad
(7.27)
.
stejná jako u magnetického
spektrometru, ale hmotnostní disperze je nulová. (b) Kombinované magnetické a elektrostatické pole ( γ 2 RE = − (1 + γ 2 ) RB ). ešení homogenní
rovnice jsou
(1 + γ )
xa =
R
(1 + γ )
2 12
sin
(1 + γ )
2 12
s
2 12
, xb = cos
R
s
(7.28)
R
Disperzní len pro energii vymizel a partikulární ešení rovnice je nyní
(1 + γ ) s R ∆m 1 − cos 1+ γ 2 m R
2 12
∆x =−
(7.29)
.
To je tedy podstatný rozdíl proti spektrometru tvo enému jen jedním typem pole. V praxi není
velmi výhodné umístit elektrostatický válcový analyzátor do úzké mezery magnetického spektrometru, stejné záv ry ale platí i pro p ípad, když ob pole za adíme za sebou nezávisle
na po adí obou polí.
8. Pohybová rovnice ástice v magnetickém poli ve válcových sou adnicích
Pohybová rovnice je jako obvykle
dp = qv×B . dt
Pro Lorentzovu sílu máme
28
(8.1)
xˆ
yˆ
v × B = vx Bx
vy By
sˆ
vs = − vs By xˆ + vs Bx yˆ + ( vx By − v y Bx ) sˆ . 0
(8.2)
V pohybu v ist magnetickém poli se velikost rychlosti nem ní, a m žeme tedy psát
d2 r = 2 v2 d t 1− 2 c
dp d = dt dt
mv
m
v2 1− 2 c
(8.3)
.
Máme
r = x xˆ + ( R + x ) xˆ + y yˆ = x xˆ + ( R + x ) θ sˆ + y yˆ ,
(8.4)
xˆ = θ sˆ , θ = vs ( R + x ) .
(8.5)
kde jsme užili vztahu
Dalším derivováním dojdeme k výrazu pro zrychlení
(
)
r = x xˆ + 2 x θ + ( R + x ) θ sˆ + ( R + x )θ sˆ + y yˆ
(8.6)
sˆ = − θ xˆ
(8.7)
a s využitím vztahu
pak kone n
(
)
(
)
r = x − ( R + x )θ 2 xˆ + 2 x θ + ( R + x )θ sˆ + y yˆ .
(8.8)
9. Hamiltonián pro malé p í né oscilace.
Hamiltonián je H =c
(
p−qA
)
2
kde p je kanonický impuls
29
+ m2 c 2 + q Φ ,
(9.1)
∂L 1 = γ mv + q A , γ = ∂v 1 − v2 c2
p=
(9.2)
.
ξ η ζ ( )
Elektrické a magnetické pole je dáno zobecn ním vztah (1.1) ∂A E = − ∇Φ + ∂t
, B = ∇× A .
(9.3)
„S kanónem na vrabce“ provedeme zám nu sou adnic
r = i +
j+
k
= R + x xˆ + y yˆ .
,
(9.4)
Platí
nebo
∂ xˆ 1 = sˆ , ∂s R
xˆ = cos
s s i + sin j R R
Kanonická transformace
, sˆ = − sin
p
∂ sˆ 1 = − xˆ , R ∂s
d r − H (r , p) = dt
d dt
,
vede ke vztah m
r =−
∂ F3 ∂p
−K
$
x
=−
%) 1 )/ (
#
$
∂ F3 = p xˆ , ∂x
y
=−
H =c
− q Ax ) + 2
x
− q Ay ) + 2
y
#
∂ F3 ∂
30
yˆ = k
,
(
, K =H
s
1+ x R
$
s
+ pr
(9.8)
# ! "
.
(,
(9.7)
.
∂ F3 x = p sˆ 1 + ∂s R
=−
− q As
(9.6)
.
( ) )
a máme tak
'+ 1 -
(9.5)
d F3 p , dt
+
,
∂ F3 = p yˆ , ∂y
Nový hamiltonián bude (píšeme H místo K)
1 (
s s i + cos j R R
( )
=−
Nyní zvolíme jako vytvo ující funkci F3 = − p
∂ yˆ =0 , ∂s
2
+m c 2
2
&* 0*
.
(9.9)
12
+ qΦ .
(9.10)
Transformací x ( t ) , y ( t ) , s ( t ) → x ( s ) , y ( s ) , t ( s )
dx dt
x
dy + dt
y
ds + dt
dx − H dt = ds
s
x
dy + ds
y
dt − H − (− ds
) s
ds
(9.11)
p ejdeme k novým Hamiltonovým rovnicím (op t zachováme zna ení H i pro nový
hamiltonián, který je v p vodním zna ení roven −
H = − 1+
x R
K −qΦ c
2
− m2 c 2 − (
)
s
− q Ax ) − ( 2
x
y
− q Ay )
2
12
+ q As
, (9.12)
zatímco p vodní hamiltonián jsme ozna ili K
dx ∂H = ds ∂ x
dy ∂H = ds ∂ y
,
d x ∂H =− ds ∂x
∂H = ds ∂y
d
,
dt ∂H =− ds ∂K
,
y
,
, (9.13)
dK ∂H = ds ∂t
.
Nyní si ukážeme jednoduchý p íklad. P edpokládáme K − q Φ = ( p 2 + m 2 c 2 ) c = const , B = Bx ( x , y ) xˆ + By ( x , y ) yˆ . 12
! "$ &# # ( ) * 3 2 ,.0 +
(9.14)
Potom je magnetické pole popsáno jedinou složkou vektorového potenciálu As . Máme tedy
H = − 1+
x R
p2 −
2 x
−
* %
2 12 y
+ q As
%'
.
(9.15)
-/
Laméovy koeficienty získáme z vyjád ení te ného vektoru
1
d dx x ds dy = xˆ − 1 + sˆ + yˆ . dτ dτ R dτ dτ
@ ( @ @ ) 4:: 6<> 8 A
48
Z Maxwellových rovnic máme pro As jedinou rovnici ∂ 1 ∂ (1 + x R ) As ( x , y ) ∇× ∇× A = − ∂ x 1+ x R ∂x
59 7 = ?
+
(9.16)
∂ 2 As ( x , y ) ∂ y2
5; ;9
sˆ = 0 .
(9.17)
Je pak možné vyjád it pole kolem centrální trajektorie pomocí Taylorova rozvoje
31
v prom nných x a y. Vhodné exaktní ešení rovnice (9.17) je
R x 3 x2 − y2 x3 − 4 x y 2 4 4 B − R B + B + R B + B + B2 ( 0 ( 0 2) 2) 2 8 8 8 8R B B Bx = B2 y + 2 x y , By = B0 + B2 x + 2 ( x 2 − y 2 ) . 2R R As ( x , y ) =
, (9.18)
V paraxiální aproximaci bude
H=
1 ( 2p
+
2 x
) + 2 pR
2 y
2
1 ∆p q B2 2 x − y2 ) − . ( 2 R p
x2 −
(9.19)
Položili jsme p irozen B0 = p q R . Rovnice paraxiální trajektorie pak jsou
d2 x 1 q B2 1 ∆p + − x= 2 2 ds R p R p
,
(9.20)
d 2 y q B2 y=0 . + d s2 p
10. Vychylovací magnety. Pohybové rovnice ve válcových sou adnicích odvodíme z varia ního principu
−q , η= 2 m Φ*0
12
(
n(r ,t ) = ρ + ρ θ + z
2
2
2
2
)
12
− η A ( ρ , z ) ⋅ ρθ
,
(10.1)
tedy
d dt
ρ
ρθ 2
(ρ
+ ρ 2 θ 2 + z2
2
)
=
12
(ρ
+ ρ 2 θ 2 + z2
2
− ηθ
)
12
∂ρ A , ∂ρ
ρ2θ
d dt
(ρ + ρ θ + z
2
2
2
2
)
−η ρ A = 0 ,
d dt
(
(10.2)
12
z
(ρ
2
= −η ρ θ
+ ρ 2 θ 2 + z2
Podle (1.4) je v = ρ 2 + ρ 2 θ 2 + z 2
)
12
)
12
∂A . ∂z
= const . Se zna ením η v = q
32
(γ m ) p epíšeme (10.2) na
ρ − ρθ 2 = −
q 1 ∂ρ A , θ mγ ∂ρ
q 1 d ρ2 θ − ρA =0 , dt mγ
z=−
(10.3)
q 1 ∂A ρθ . mγ ∂z
Rovnice pole ∂ Bρ
∂ Bz ∂ρ
∂z
=
1 ∂ ρ Bρ ∂ Bz + =0 ρ ∂ρ ∂z
,
(10.4)
dávají pro vektorový potenciál
Bz =
1 ∂ρ A ∂A , Bρ = − ρ ∂ρ ∂z
(10.5)
rovnici ∂2 A 1 ∂ A ∂2 A A + + − =0 . ∂ ρ 2 ρ ∂ ρ ∂ z2 ρ 2
(10.6)
P i ešení (10.6) vycházíme z rozvoje potenciálu kolem roviny symetrie magnetického pole A( ρ , z) = f m′′ +
1
ρ
∞
m =0
fm ( ρ ) z 2m 1
f m′ −
ρ2
, (10.7)
f m + 2 ( m + 1)( 2 m + 1) f m +1 = 0 .
asto uvažované ešení za íná jako f0 =
1 B0 R n 2 − n ρ n −1
f1 =
,
n B0 R n 2 ρ n +1
,
Exaktní polynomiální ešení rovnice (10.6) se zrcadlovou symetrií v rovin
(10.8)
y = 0 jsou podle
rovnice (10.7) A1 = ρ ,
A3 = ρ 3 − 4 ρ z 2
A5 = ρ 5 − 12 ρ 3 z 2 + 8 ρ z 4
,
,
(10.9)
Prost ední rovnice (10.3) se dá integrovat jako
ρ2θ −
q mγ
ρ A ( ρ , z ) = const .
33
(10.10)
Na centrální trajektorii dané vztahy ρ = R , z = 0 je q B0 mγ
θ =ω , ω =
p q B0
, R=
(10.11)
.
11. Silná fokusace
St ídání kvadrupól
orientovaných jako spojky nebo rozptylky. Budeme používat
maticového zápisu, tedy nap . pro sm r x máme
x R x′
=
out
m11
m12
m21
m22
x R x′
(11.1)
.
in
Pohyb po oblouku kružnice délky L je vyjád en maticí
1 L R T ( L) = 0 1
(11.2)
,
p sobení kvadrupólu jako tenké spojky resp. tenké rozptylky maticí
1 T+ ( f ) = R − f
0
1
0
1 , T− ( f ) = R f
.
1
(11.3)
Jeden periodicky se opakující element bude tak vyjád en maticí
1+
M = T+ ( f ) T ( L ) T− ( f ) T ( L ) =
Vlastní hodnoty matice
34
L f
L(L + 2 f
RL − 2 1− f
)
fR L(L+ f )
f2
.
(11.4)
m11 − λ m21
m12 = λ 2 − ( m11 + m22 ) λ + m11 m22 − m12 m21 = m2 2 − λ
1 λ1 = Tr M + 2
1 Tr M 2
1 λ2 = Tr M − 2
1 Tr M 2
V našem p ípad
L Tr {M } = 2 − f
1 M + det {M } = 0 2
λ − 2 Tr 2
2
} }
12
2
− det {M
2
− det {M
(11.5) ,
12
.
, det {M } = 1 .
(11.6)
λ1 + λ2 = Tr {M } , λ1 λ2 = det {M } .
(11.7)
D ležité jsou vlastnosti ko en
$( ) %
" & !' #
Ozna me
1 1 L Tr M = 1 − 2 2 f
2
= cos µ
,
(11.8)
λ1 = exp {i µ } , λ2 = exp {−i µ} .
12. Fázová stabilita 12.1 Synchrotronové oscilace
*
A τ je as mezi pr chodem dv ma následujícími stupni pro ideální ástici. Je-li vzdálenost stup
+,
L a rychlost ástice je v , máme τ = L v . P i odchylkách od ideální situace
máme ∆τ
τ
=
∆L ∆v − . L v
Vyjád eno pomocí impulsu 35
(12.1)
∆v 1 ∆ p = v γ2 p
1
, γ =
.
v2 1− 2 c
(12.2)
Je užite né psát také relativní zm nu délky úm rnou relativnímu rozdílu impulz
∆L 1 ∆ p = . L γ t2 p
(12.3)
Pro pohyb po p ímce a pro pohyb v homogenním magnetickém poli ( L p )
1
γ
2 t
1
→0 ,
γ t2
=1 .
(12.4)
Zavedeme faktor sklouznutí
η=
1
γ
2 t
−
1
γ
2
∆τ
,
τ
∆p . p
=η
(12.5)
Na vstupu n +1 stupn bude fáze rovna
ψ n +1 = ψ n + ω (τ + ∆τ )n +1 ,
(12.6)
nebo lépe, ozna íme-li as vstupu do n -tého stupn jako Tn a definujeme φn =ψ n − ω Tn
máme ∆τ
φn + 1 = φn + ω τ n +1
τ
,
(12.7)
n +1
kde jsme využili vztahu Tn + τ n +1 = Tn +1 . Pro jednoduchost budeme p edpokládat, že ω τ n
nezávisí na n . Budeme tedy mít vztah ∆p φn +1 = φn + η ω τ p
.
(12.8)
n +1
Energie ideální (synchronní ástice) a energie obecné ástice jsou
( Es )n +1 = ( Es )n + eV sin φs
, En +1 = En + eV sin φn .
36
(12.9)
Pro odchylku energie tedy máme rovnici ∆ En +1 = ∆ En + eV ( sin φn − sin φs ) .
(12.10)
∆ p c2 ∆ E = 2 p v E
(12.11)
S využitím vztahu
dostáváme kone n
φ n +1 = φ n +
ω τ η c2 v 2 Es
∆ En + 1 ,
(12.12)
∆ En +1 = ∆ En + eV ( sin φn − sin φs ) .
12.2 Diferenciální rovnice P edchozí diferen ní rovnice aproximujeme rovnicemi diferenciálními
d φ η ω τ c2 = 2 ∆E , dn v Es
(12.13)
d∆E = eV ( sin φ − sin φs ) . dn Derivováním p ejdeme snadno k jediné diferenciální rovnici druhého ádu
d 2 φ η ω τ eV c 2 = ( sin φ − sin φs ) . d n2 v 2 Es
(12.14)
První integrál rovnice dostaneme op t snadno jako
d2φ dφ η ω τ eV c 2 d n = d n2 d n v 2 Es
( sin φ − sin φs )
dφ dn dn
,
(12.15)
odkud
1 dφ 2 dn
2
+
η ω τ eV c 2 v 2 Es
( cos φ + φ sin φs ) = const .
Dosazením máme pro trajektorii ve fázovém prostoru
37
(12.16)
2 Es eV v 2 ( cos φ + φ sin φs ) = const . η ωτ c 2
(∆ E) + 2
(12.17)
Pro malé odchylky fáze m žeme psát
φ = φs + ∆ φ , sin φ − sin φs ≈ cos φs ∆ φ
(12.18)
a rovnice (12.14) p ejde na d 2 ∆φ 2 + (τ Ω s ) ∆ φ = 0 , 2 dn
kde jsme ozna ili
η cos φs eV ω c 2 Ωs = − τ Es v 2
(12.19)
12
12.3 Adiabatický útlum
.
(12.20)
Pokud jsme mohli považovat synchronní energii a další veli iny za konstantní parametry, bylo
to v po ádku. Te si všimneme chování v delším asovém intervalu. Od rovnic
dE = eV sin φ dn
,
d Es = eV sin φs dn
(12.21)
p ejdeme pomocí vztahu d dt d d = =τ (E) dn dndt dt
(12.22)
k rovnicím
τ (E)
dE = eV sin φ dn
, τ ( Es )
d Es = eV sin φs dn
(12.23)
Ode tení rovnic a Taylor v rozvoj
τ ( E ) = τ ( Es ) +
dτ dE
( E − Es ) + Es
vedou k 38
τ ( Es ) +
dτ dE
∆E Es
(12.24)
d (τ ∆ E ) = τ µ ∆φ dt
d ∆φ =λ∆E , dt
λ=
ηω c 2
, µ=
v 2 Es
eV cos φs
, (12.25)
.
τ
Ekvivalentní rovnice druhého ádu jsou
d 2 ∆φ τ d λ d ∆φ − + Ω 2s ∆ φ = 0 , 2 dt λ dt τ dt
V novém zna ení Ω 2s = − λ µ , je tedy bu
ešení (12.26) ve tvaru ∆ φ = A ( t ) cos
Dostáváme
(
Ωs d t
)
λ > 0 , µ < 0 nebo λ < 0 , µ > 0 . Hledejme
, τ ∆ E = B ( t ) cos
(
d2 A τ d λ d A − cos d t2 λ d t τ d t
(
(
Ωs d t
)
(12.27)
.
)
)
Ωs d t = 0 , (12.28)
Ωs d t −
(
dB d Ωs 1 d (τ µ ) 2 Ωs +B − Ωs A sin dt dt τ µ dt
λ τ µ
)
d2 B 1 d (τ µ ) d A − cos d t2 τ µ d t d t
(
Ωs d t −
dA d Ωs τ d λ 2 Ωs +A − Ωs A sin dt dt λ dt τ
(12.26)
d 2 (τ ∆ E ) d (τ ∆ E ) 1 d − + Ω s2 τ ∆ E = 0 . (τ µ ) 2 dt τ µ dt dt
)
Ωs d t = 0 .
P ibližné ešení spo ívá v zanedbání len u kosinu, takže máme 12
∆φ = a
∆E =b
!
"
#
cos
Ωs
12
cos
τ Ωs
( (
Ωs d t Ωs d t
$
) )
, (12.29)
.
$
Vra me se te k rovnicím (12.25) a p edpokládejme pro ur itost, že λ > 0 . S ozna ením ∆φ = q , τ ∆ E = p ,
39
τ = m , − µτ = m ω 2 λ
(12.30)
mají tyto rovnice tvar
dq p = , dt m
dp = − mω 2 q , dt
(12.31)
tedy jsou to Hamiltonovy rovnice oscilátoru s Hamiltoniánem H=
p2 1 + m ( t )ω 2 ( t ) q 2 . 2 m (t ) 2
(12.32)
13. Vlnov optický popis
13.1 Difrak ní integrál.
Hledáme ešení Helmholtzovy rovnice
∆ψ ( r ) + k 2 ψ ( r ) = 0
(13.1)
se zadanou hodnotou v rovin z = z0 pro poloprostor z ≥ z0 . Greenova funkce je
exp ( i k r − r ) G (r , r ) = 0
,
r − r0
0
(13.2)
nebo pro r ≠ r0 je (13.2) ešením (13.1) a p i integraci po kouli se st edem v r dostáváme
lim
ρ →0
i k
( − e r ) ⋅ e r
−
ρ
1
ρ2
exp {i k ρ} ρ
2
d Ω = 4π
,
(13.3)
Sρ
takže m žeme psát Greenovu v tu ve tvaru
"
ψ (r ) =
1 4π 1 4π
!
( G ∆ψ − ψ ∆ G ) d x0 d y0 d z0 =
z ≥ z0
∂G ∂ψ ψ −G d x0 d y0 ∂n ∂n
,
∂ ∂ = ∂ n ∂ z0
(13.4) .
z0
#
$
#
Ve vztahu (13.4) jsme užili nikoliv vn jší normálu (mí í proti sm ru osy z), ale “normálu k
#
#
vlnoploše” (ve sm ru osy z). Sommerfeld využil volnosti ve volb Greenovy funkce:
40
G = lim
ζ → z0
r1 = r1 =
( (
Máme tak
exp {i k r1} r1
r2
x − x0 ) + ( y − y0 ) + ( z − ζ 2
)
2 12
2
}
−
∂ r2 = ∂ζ
− lim
ζ → z0
Výsledek je tedy
ψ (r ) =
k 2π i
(13.5)
,
2
2 12
∂ r2 d exp {i k r2 r2 ∂ ζ d r2
∂ r1 = ∂ζ
lim
ζ → z0
,
x − x0 ) + ( y − y0 ) + ( z + ζ − 2 z0 )
∂G ∂ r1 d exp {i k r1 = lim ζ → z 0 r1 ∂n ∂ ζ d r1
(
−
2
G ( r − r0 ) = 0 ,
exp {i k r2 }
.
}
, (13.6)
z0 − z x − x0 ) + ( y − y0 ) + ( z − z0 )
2
2
2 12
= − cos ( n , r − r0 ) ,
)
1 exp {i k R} 1− ψ ( r0 ) cos n , R d x0 d y0 ik R R
(
,
(13.7)
z0
kde R = r − r0 . Toto je exaktní výsledek. Druhý len v první závorce integrandu je vždy zanedbáván. V dalším si ukážeme odvození difrak ního integrálu z Huygensova principu (podle Landau a Lifšice).
!
13.2 Huygens v princip.
"
"
# "
"
"
M jme element vlnoplochy df. P ísp vek tohoto elementu k poli v n jakém bod P bude úm rný
"
•
amplitud pole u na uvažovaném elementu elementu
•
pr m tu plochy elementu do normály ve sm ru paprsku, vedoucího k bodu P (paprsky,
$ " #$
"
#
které budou p ispívat nezávisí na tvaru plochy) •
p ír stku fáze a poklesu intensity
Celkem tedy máme
41
u (P) = a u
exp {i k R} d fn . R
(13.8)
Konstantu a ur íme nap íklad pro rovinnou vlnu postupující podél osy z. Potom pro bod
P(x,y,z) dostate n vzdálený od roviny ( , ,0) máme
exp {i k z} u≈a z
∞
k ( x −ξ ) exp i 2z
∞
dξ
k ( y −η ) exp i 2z
2
−∞
2
dη =
(13.9)
−∞
2π i a exp {i k z} k
a=
k 2π i
.
Máme tak výsledek v souladu s (13.7) exp {i k R} cos nQ , R d fQ R
(
u (P) =
k 2π i
u (Q )
)
(13.10)
.
Pro zajímavost se podívejme, jak vypadá výpo et pro rovinnou vlnu podle (13.7). Pro bod na
ose P(0,0,z) máme u (P) = R
k
!
2π i
dϕ
1−
0 R
d dρ
{
exp i k ( ρ + z
2
(ρ
0
i k (ρ2 + z
0
−z
1
2
+z
)
2 12
)
{
exp i k ( ρ 2 + z 2 )
2π
(ρ
12
2
+z
)
}
2 12
(ρ
z
2
ρd ρ =
+ z2 )
12
} d ρ = exp {i k z} − z exp{i k ( R + z ) }
(13.11)
2 12
2 12
2
)
2 12
(R
2
+ z2 )
12
.
Pro R →∞ máme op t rovinnou vlnu. Pozoruhodné chování, které bylo historicky velmi "
d ležité pro uznání vlnové povahy sv tla vykazuje nenulová intenzita za neprostupným #
"
ter íkem, kterou z (13.11) dostaneme jako $
∞ %
R
=
∞ %
0
R
−
= %
0
{
z exp i k ( R 2 + z 2 )
(R
42
12
2
+ z2 )
12
}
.
(13.12)
13.3 Výpo et Fresnelova integrálu.
Pot ebujeme vypo ítat integrál
∞
F = exp {i x 2 } d x .
0
(13.13)
Cauchyova v ta pro vhodnou k ivku v komplexní rovin dává R
exp {i ρ 2 } d ρ +
0
π 4
exp { R 2 ( i cos 2θ − sin 2θ )} d θ + exp i
0
V limit R →∞ je
∞
exp {i ρ
0
2
} d ρ = exp i
}
Poisson v integrál se po ítá nap íklad jako
∞
exp {− x d x = 2
0
∞
$
∞
2
∞
exp {− ρ 2 } d ρ
0
" # !
1 π F = exp {i x } d x = 2 2 0
,
∞
1 π F = exp {− i x } d x = 2 2 0
-
.
12
& (* '+ )
Komplexn sdružený výraz k (13.17) je *
(13.15)
0
r exp {− r 2 } d r
2
2
/
2
12
(1 + i )
12
(1 − i )
13.4 Zm na fáze p i doteku kaustiky (Guy v fázový posuv). Uvažujme body Q vlnoplochy z (13.10)
43
(13.14)
R
0
∞
%
exp {− ρ 2 } d ρ = 0 .
exp {− x } d x exp {− y } d y
0
2
4
4
0
∞
π
Kone ný výsledek je
π
π
=
12
π1 2 2
.
= (13.16) .
(13.17)
.
(13.18)
ξ2
ζ =
2 R1
η2
+
(13.19)
2 R2
a bod P(0,0,z) na ose. Máme tak 1
ξ2
R = ξ 2 +η 2 + z −
2 R1
−
2
η2
2
2 R2
1 1 ξ2 1 1 η2 ≈z+ − + − z R1 2 z R2 2
.
(13.20)
Po dosazení do (13.10)
u (P) ≈ k u (O ) exp {i k z} 2π i z
∞
∞
k 1 1 2 exp i − ξ dξ 2 z R1
−∞
(13.21) k 1 1 exp i − η2 d η . 2 z R2
−∞
Podle obrázku dostáváme
Vlnoplocha s kružnicemi hlavních k ivostí a paprsky.
0 < z < R2
1 (1 + i )(1 + i ) = 1 2i
u ( P ) ≈ u (0) ,
R2 < z < R1 R1 < z < ∞
1 1 (1 + i )(1 − i ) = 2i i 1 (1 − i )(1 − i ) = −1 2i
44
u ( P ) ≈ u ( 0 ) exp − i
π
"
!
#
2
,
u ( P ) ≈ u ( 0 ) exp {− i π } .
(13.22)
13.5 P enos optickou soustavou. Vyjdeme op t z (13.10) a budeme sledovat ší ení vlny podél osy z v paraxiálním p iblížení. Máme tedy
k exp {i k ( z − z0 )}
ψ ( x, y , z) = z − z0 2π i
2 2 k ( x − x0 ) k ( y − y0 )
ψ ( x0 , y0 , z0 ) exp i 2 z − z exp i 2 z − z d x0 d y0 . ( ) ( ) 0
(13.23)
0
Opakujeme-li tento postup ješt jednou, musíme pak po ítat integrály typu
∞
k ( X − x ) ( x − x0 ) I = exp i + 2 (Z − z) ( z − z0 ) 2
2
d x .
(13.24)
−∞
Jednoduché úpravy vedou na ! 2 ! k ( X − x0 ) I = exp " $! i #! 2 ( Z − z0 ) %
23
∞
!
' 2! X ( z − z0 ) + x0 ( Z − z ) ) + % #! d x = 4 exp " !$ i 2 ( Z − z )( z − z ) * x − ( Z − z0 ) 0 3
k ( Z − z0 )
& (
−∞
- 12 ! 2 ! .. 2 π i ( Z − z )( z − z0 ) // k ( X − x0 ) #! 0 1 exp " !$ i k 2 ( Z − z0 ) % ( Z − z0 ) ,
(13.25)
.
Je tak dokázáno pot 5 ebné chování p5 enosové funkce ve volném prostoru
8 9 : ;6 k exp {i k ( z − z0 )} ik = ( x − x )2 + ( y − y )2 > T ( z0 → z ) = exp 8? 0 0 2π i z − z0 2 ( z − z0 ) ABA T ( z0 → z ) T ( z → Z ) d x d y = T ( z0 → Z ) .
8
7< @8
, (13.26)
PC sobení tenké D o D ky v rovinE z bude popsáno vztahem
G I ik 2 2 L ( z ) = exp J − x + y )K ( 2f H
F
Máme totiž (s oznaD ením z − z0 = a , Z − z = b ) 45
.
(13.27)
O ( z0 → Z ) =
T ( z0 → z ) L ( z ) T ( z → Z ) d x d y =
∞
i k x02 X 2 exp +
2π i 2 a b
k
exp {i k ( a + b )} ab
ik 1 1 1 2 X x exp + − x − i k 0 + x d x 2 a b f a b
(13.28)
−∞
∞
i k y02 Y 2 exp + 2π i 2 a b
k
ik 1 1 1 2 Y y exp + − y − i k 0 + y d y . 2 a b f a b
−∞
S o kovou rovnicí
1 1 1 + = a b f
(13.29)
a ozna ením p í ného zv tšení M = − b a pak dostaneme
O ( z0 → Z ) =
1 X δ x0 − M M
δ
y0 −
Y ik exp {i k ( a + b )} exp ! − X 2 + Y 2 )" ( M 2M f
(13.30)
.
Abbeovu teorii si vytvo íme tak, že budeme skládat zobrazení od p edm tu ( z = − a ) k o ce ( z = 0 ), p# sobení o ky, zobrazení od
o ky do obrazové ohniskové roviny ( z = f ) a
zobrazení od této roviny do roviny Gaussova obrazu ( z = b ). Budeme tak mít u ( X ,Y ,b) = ∞7
8 9
8:9
−∞
u ( x0 , y0 , − a ) exp 8
,
1
. . 5
ik 2
'
2π i ) (
*
8
3 ∞ ;
%
k &
a f (b − f )
∞7
8 8
exp {i k ( a + b )} $
/
( x − x0 ) 3
a
/
d xd y −∞
2
+
(x
f
− x)
2
f
+
(X −x ) f
b− f
2
−
x2 f
- + 0 2. 0 4 6.
(13.31)
−∞
exp
* ,
1
. 5
.
i k // 2 3
( y − y0 ) a
2
+
(y
f
− y) f
2
+
(Y − y ) f
b− f
odkud po integraci vzhledem k x a y dostaneme
46
2
−
y2 f
- + 0 2. 0 4 6.
d x0 d y0 d x f d y f
,
X + Y ( ) k ik u ( X ,Y ,b) = − exp −
M f 2π i 2 M f u ( x , y , − a ) exp − i k x x +f y y d x d y X x +Y y exp i k dx dy . exp {i k ( a + b )} 2
2
2
2
∞
∞
0
0
f
0
f
0
0
(13.32)
0
−∞
−∞
f
f
f
M f
f
Vidíme, že (13.32) obsahuje Fourierovu a inverzní Fourierovu transformaci ∞
k U F (ξ , η ) = 2π k U ( X ,Y ) = 2π
!
−∞
u ( x0 , y0 , − a ) exp {− i k (ξ x0 + η y0 )} d x0 d y0
∞
U F (ξ ,η ) exp i k
−∞
takže m žeme psát u ( X ,Y ,b) =
exp {i k ( a + b )} M
ξ X +η Y M
d ξ dη
(13.33) ,
" X +Y # $ ik ( ' ) ($ u )%+ X , Y , − a &, * exp - − $ 2 M f .$ M M 2
2
/
13.6 Zapo tení osových vad.
0
,
1
.
(13.34)
Zapo tení osových vad je jednoduše možné zavedením p enosové funkce jednotkové
1
2
!
amplitudy a s fází závislou na sou adnicích v ohniskové rovin . Stejným zp sobem lze popsat
2
0
také to, že rovina pozorování je mírn odlišná od Gaussovy roviny. Také zapo teme omezení apertury svazku. Ve vztahu (13.33) budeme tedy psát U ( X ,Y ,b + ∆) = k 2π
;
9:
∞
57
3
U F (ξ ,η ) T (ξ ,η ) exp {i k Φ (ξ ,η )} exp i k
−∞
ξ X +η Y M
4
8 6 d ξ dη
2 1 1 1 Φ (ξ ,η ) = − ∆ (ξ 2 + η 2 ) + CS (ξ 2 + η 2 ) + C A (ξ 2 −η 2 ) . 2 4 2
47
,
(13.35)
14. Metody numerického výpo tu polí pro ásticovou optiku. 14.1 Metoda kone ných diferencí.
Tyto metody d líme na metodu okrajového integrálu a sí ové metody (metoda
kone ných diferencí a metoda kone ných prvk ).
Metoda kone ných diferencí je nejznám jší, nejjednodušší a nej ast ji používanou
metodou pro výpo et elektrostatických systém ve dvou a t ech rozm rech. V (pravidelné)
pravoúhlé síti jsou první derivace potenciálu nahrazeny hodnotou diference, nap .
∂V x +
∂x
hx 2
=
h h ∂V x + x ∂V x − x 2 2 − 2 ∂ V ( x) ∂x ∂x , = 2 ∂x hx
V ( x + hx ) − V ( x ) hx
(14.1)
a stejn pro sm r y a z; jsou tak sestaveny diferen ní rovnice pro potenciály v uzlech sít . Pro
body na elektrodách a na hranici se dosadí potenciály elektrod, a v bodech s neznámým potenciálem se diferen ní rovnice eší zpravidla pomocí itera ních metod. Alternativní
odvození diferen ních rovnic je použitím Taylorova rozvoje potenciálu, který pro vnit ní body
sít splní p íslušnou Laplaceovu rovnici. Typický po et bod sít kolem 10 tisíc pro dvou
rozm rné úlohy, 500 tisíc pro t írozm rné. Problémy: malá p esnost, aproximace geometrie
problému pravidelnou sítí, délka výpo tu. P íklad programu: nejznám jší je SIMION (ve dvou
a t ech dimenzích). používaný na ÚFI. Program SIM-3D Jakuba Zlámala (diplomová práce
ÚFI FS VUT, 1996). V tomto programu se navíc umož uje ješt i modelování prostorového
náboje zejména u iontov optických systém .
48
14.2 Metoda kone ných prvk . Metoda kone ných prvk se používá zejména pro výpo ty magnetických o ek, u kterých se sytí magnetický obvod o ky. Namísto ešení Poissonovy rovnice pro úhlovou
složku vektorového potenciálu A = A ( r , z ) eϕ ∂ 1 ∂ ( r A) ∂ 1 ∂ A =J
+
∂r µr ∂r ∂z µ ∂ z
(14.2)
hledáme minimum energiového funkcionálu, který je pro o ky s permeabilitou nezávislou na magnetické indukci E = 2 π
1 ∂ A 2 1 ∂ ( r A) 2 − − J A rd rd z . + 2µ ∂z r ∂r
(14.3)
leny v kulaté závorce jsou tverce složek indukce Br2 a Bz2 . Pro sycené o ky se místo
prvního lenu v integrálu uvažuje U = H d B ; závislost B ( H ) se ur uje z magnetiza ní k ivky magnetického materiálu. Energii m žeme vyjád it v malém trojúhelníkovém kone ném prvku pomocí jednoho výrazu jak pro nesycené o ky tak pro Taylor v rozvoj energie pro sycené o ky za p edpokladu, že permeabilita µ r µ0 a proudová hustota J jsou konstantní v každém trojúhelníku. ∆ Ai je oprava hodnoty potenciálu Ai ve vrcholech trojúhelníka, a potenciál A je vyjád en jako lineární funkce v ( r , z ) . Hodnota E∆ reprezentuje energii v trojúhelníku (pak ∆ Ai = Ai ) nebo opravu k energii, jako
!
"
$ π '3 # 1' 3 E∆ = f i j ∆ Aj & ∆ Ai % gi + 3 µ0 i =1 2 j =1
kde
49
,
(14.4)
gi = rs µ0 J D pi +
Hi
µr
,
1 1 Hi H j r 1 − fi j = s
qi j + . µd µ r B 2 D µr
(14.5)
Relativní permeabilita µ r a diferenciální permeabilita µ d v magnetických materiálech se ur í z pr m rné hodnoty tverce velikosti indukce B 2 , a koeficienty pi a qi j jsou ist geometrické
leny, které za p edpokladu, že se ur í pr m rná hodnota Bz jako Bz = ∂ A ∂ r + A r , máme
D D , qi j = bi b j + ci + c j + rs rs
r +r pi = s i 4 rs
(14.6)
,
a kde platí
b1 = r2 − r3 , c1 = z3 − z2
, b2 , b3 , c2 , c3
cyklicky ,
rs = r1 + r2 + r3 , D = b1 c2 − b2 c1 ,
B2 =
3 3 1 13 q A A H i Ai = i j i j D 2 i =1 j =1 D i =1
, Hi =
13 qi j Aj D j =1
(14.7) ,
p itom D je dvojnásobek plochy trojúhelníka. (V praxi používáme vztahy nepatrn složit jší.) Se teme-li vyjád ení energie pro všechny trojúhelníky, na které rozd líme oblast uvnit hranice, na které použijeme bu
Dirichletovu okrajovou podmínku A= 0 nebo homogenní
Neumannovu podmínku ∂ ( r A ) ∂ n = 0 , kde n je jednotkový vektor normály k hranici (tuto podmínku použijeme nap . na rovin symetrie nebo na povrchu magnetických materiál ležících vn hranice), dostaneme výraz pro energii jako kvadratickou formu vyjád enou pomocí ∆ Ai , a z podmínky minima energie ∂ Etotal ∂ ( ∆ Ai ) = 0 dostaneme soustavu lineárních rovnic, kterou vy ešíme. Typický po et rovnic je kolem 5-10 tisíc. Pro sycené o ky tento postup opakujeme tak dlouho, dokud opravy ∆ Ai nebudou zanedbateln malé.
50
Metodu kone ných prvk
lze použít i pro ešení elektrostatických o ek. Zde ve
válcovém sou adném systému hledáme místo ešení Laplaceovy ( ρ = 0 ) nebo Poissonovy ( ρ ≠ 0 ) rovnice ∂2 Φ 1 ∂ Φ ∂2 Φ ρ + + =− 2 2 ∂r r ∂r ∂z ε0
(14.8)
minimum energiového funkcionálu E = 2 π
2 1 ∂Φ 2 ∂Φ ρ + − Φ r d r d z ,
ε0 2 ∂z ∂r
(14.9)
podobn jako pro vektorový potenciál. I v dalším postupujeme podobn jako u výpo tu vektororového potenciálu. Pro pravoúhlé sít
musíme dostat stejné ešení jako pro
nejjednodušší metodu kone ných diferencí. Stejn tak lze zformulovat ešení jednotlivých harmonických složek potenciálu pro vychylovací elektrostatické a magnetické systémy a pro kvadrupólové prvky se speciální geometrií, definovanou pro elektrostatické systémy rozd lením rota n
soum rných ploch na jednotlivé elektrody, pro magnetické systémy
multipóly vytvá ené sedlovými a toroidálními cívkami (a to i v p ítomnosti rota n soum rných magnetických materiál ).
14.3 Metoda okrajového integrálu.
Metoda okrajového integrálu se používá zejména pro ešení elektrostatických systém : uvnit elektrod je nulové pole, a na povrchu elektrody se vyskytuje povrchový náboj, jehož hustota σ a hodnota intenzity pole E , která je kolmá k povrchu elektrody, jsou ur eny jako E = − σ ε 0 . Rozd líme si povrch elektrod na N element , u nichž p edpokládáme konstantní
51
hodnotu σ ; p itom potenciál elektrod známe. Potom m žeme obecný výraz pro potenciál
(vlevo) psát pro body na elektrodách (resp. ve st edu elementu o ploše ∆ j ) jako
σ ( r′) d S ′
V (r ) =
1
4π ε 0
r − r′
S
V ( rj ) =
N
1
4π ε 0
k =1
σk
d S′ rj − r ′
∆k
(14.10) ,
j = 1,
,N .
P itom jsme ‘ztratili’ jednu dimenzi! Integrál na pravé stran se dá vy íslit i pro prvek k = j .
Dostaneme tak soustavu lineárních rovnic pro σ : tato soustava rovnic je ale ‘hustá’. M žeme
ji ešit - doba výpo tu je úm rná N 3 (na 486/66 Mhz PC m žeme cca 900 rovnic vy ešit za
hodinu). Když známe hodnoty σ , m žeme pak obecný výraz pro potenciál použít k ur ení
hodnot potenciálu v kterémkoliv bod prostoru, a to i pro jednotlivé derivace.
Programy využívající metodu hustoty prostorového náboje byly vypracovány i v ÚPT AV
R (dr. J. Chmelík), a byly použity pro studium elektrostatických o ek a pro studium
elektronových trysek s hrotovými katodami. Zde se dá výhodn využít to, že jednotlivé
plošky, na které rozd líme elektrody, mohou mít výrazn rozdílné velikosti. Krom toho
máme k dispozici i programy ve dvou a t ech dimenzích CPO-2DS a CPO-3DS, které byly vytvo eny na University of Manchester. Tyto programy dovolují i výpo et elektrostatických
systém s prostorovým nábojem.
15. Bodové rozlišení mikroskopu. 15.1 Mezní rozlišení. P edpokládáme, že v p ípad mezního rozlišení se neuplat uje chromatická vada, a že
rozlišení je ur eno pouze kroužkem otvorové vady a difrakce: sou et tverc obou vad je
možné psát jako
52
d 2 = d s2 + d d2 = ( 0.5 Cs α 3 ) + (1.22 λ α ) 2
2
,
(15.1)
tento výraz má minimum pro hodnotu α ≈1.1( λ Cs ) , pro které je pak velikost kroužku 14
vady dána vztahem d ≈1.3 ( λ 3 Cs ) . 14
15.2 Závislost proudu ve stop na velikosti stopy
Volba katody má závažné d sledky pro chování systému: pr m r stopy je dán
pot ebným zmenšením elektronov optického systému z p vodní velikosti zdroje (k ižišt )
M d k , difrakcí, a také osovými vadami, které všechny závisí na úhlu svazku α na vzorku jako d d =1.22 λ α , dc = Cc α ∆ V Vr , a
d s = 0.5 Cs α 3 . Druhé mocniny p ísp vk t chto všech
vliv se teme, abychom dostali výsledný kvadrát pr m ru stopy. P itom musíme vzít do úvahy
zákon zachování objemu fázového prostoru: proud ve stop , velikost stopy a úhel svazku
spolu souvisí jako I = β π d 2 π α 2 . Odtud potom dostaneme pro výslednou závislost d = d (α ) výraz
1.22 λ
d =
I
2
βπ2α2
+
α
2
∆V + Cc α Vr
2
+ ( 0.5 Cs α
)
3 2
(15.2)
který má minimum. Odtud potom dostaneme závislost proudu ve stop na pr m ru stopy jako
I max
3π 2 d 8 3 = β 16 Cs2 3
(15.3)
,
to v p ípad , když m žeme zanedbat vliv chromatické vady a také pokud je vliv difrak ní vady
zanedbatelný proti p ísp vku danému velikostí stopy; pro velmi malé proudy ve stop dává ale
difrak ní vada absolutní mez velikost stopy, která je prakticky stejná jako bodová rozlišovací
schopnost diskutovaná d íve.
53
Pro iontové sondy není ani tak rozhodující p ísp vek sférické vady, ale vliv
chromatické vady. V tom p ípad potom se p edchozí závislost (15.3) zm ní na
π2
2
d 4 Vr = β I max 16 Cc2 ∆ V
.
(15.4)
Jiný p ípad nastává, když je výchozí stopa prakticky bodová, jako je tomu pro autoemisní katody. Velikost zdroje je dána p edevším chováním jednotlivých
o ek v elektronov
optickém systému. Pokud máme u katody ‘nekvalitní’ elektrostatickou o ku, je chování
optického systému horší než v p ípad , kdy je u katody magnetická o ka. Protože je velikost
stopy dána otvorovou vadou, je i velikost proudu ve stop dána jen sférickou vadou, a proto
závislost proudu na velikosti stopy je I ≈ ( d Cs ) . 23
16. Zdroje elektron a iont pro mikroskopy a mikrosondy.
16.1 Zdroje elektron .
Proudovou hustotu termoemise udává Richardsonova závislost na teplot T, pro emisi
polem pak Fowlerova-Nordheimova závislost na poli E, jako
eΦ J k = AT exp − kT
2
k1 2 k2 Φ 3 2 , J k = E exp − Φ E
,
(16.1)
kde k je Boltzmannova konstanta, Φ je výstupní práce materiálu; hodnoty konstant A , k1 , k 2 závisí na použitém materiálu. Nap . pro oxidy barya je e Φ ≈1.8 eV , A ≈1.2 Acm − 2 K − 2 ,
provozní teplota T 1000 K a proudová hustota emise J k 1 Acm − 2 . Pro mikroskopy se
používá zpravidla W nebo LaB6 (viz tabulka). Životnost termoemisní katody je dána provozní teplotou: pro 2500 K 200 h, pro 2600 K 90 h, 2700 K 35 h a pro 2800 K jen 12 hodin.
54
Parametry termoemisních a autoemisních katod
Termoemise
Autoemise
W
LaB6
W
Výstupní práce e [eV]
4,5
2,7
4,5
Richards. konst. A [A/cm2/K2]
75-120
30
--
Emisní proud. hustota jc [A/cm2]
1-3
25
104-106
Celkový emisní proud I [ A]
10-100
10-100
1-10
Pracovní teplota [K]
2800
1400-2000
300(1000)
Jas katody [A/cm2/sr] pro 20 keV
105
5×105
5×107 - 5×108
Pr m r k ižišt dk [ m]
20-50 vlásenka
10-20
0,005-0,01
10-30 hrotová k. Energiová ší ka V [eV]
1-2
0,5-2
0,2-0,4
Životnost [h]
25
200-2000
1000 a více
Vakuum [Pa]
10-2 - 10-3
10-5 - 10-6
10-7 - 10-8
LaB6 je za pokojové teploty nevodivá keramika - ešení nep ímého žhavení dává p íloha 2.
55
16.2 Iontové zdroje. Shrnutí vlastností plazmatu: vytvá ení plazmatu, Debyeova délka, magnetické pole. Maximální hodnota proudové hustoty je dána prostorovým nábojem (Child v zákon); pro pole
Va d
4 ε 2e j= 0 9 m0
2
Va3 2 d
.
(16.2)
Typy iontových zdroj : výbojové (rf, mikrovlnný výboj), duoplazmatron, s ionizací polem, s
kapalnými kovy.
Typické vlastnosti iontových zdroj
p [torr]
I [A]
j [A/cm2]
Duoplazmatron
10-1-10-2
10-1-10-3
10-2-1
10
Rf
10-3-10-4
10-2-10-4
10-3-10-1
30-50
Penning
10-1-1
10-3-10-5
10-4-10-1
50
Elektr. impaktní
10-3-10-4
10-3
10-2
10-50
Ionizace polem a)
10-8
10-8-10-9
10-3
2-5
LMIS b)
10-7
10-4-10-8
105
5
Sm rové proudové hustoty [A/sr]/jas
Pro duoplazmatron jas
[A/cm2/sr] a) 10-6/105, b) 10-4 /107.
[A/cm2/sr] <103.
56
E [eV]
