Geometrická optika Optická soustava soubor optických prvků (čoček, hranolů, zrcadel, planparalelních desek, děličů svazku, difrakčních a jiných prvků), které jsou navzájem uspořádány určitým způsobem tak, aby optická soustava splňovala dané fyzikální a geometrické požadavky úkolem optické soustavy (podle představ geometrické optiky) je transformovat svazek paprsků do optické soustavy vstupující ve svazek paprsků požadovaných vlastností z optické soustavy vystupující
vstupní svazek
výstupní svazek
Geometrická optika Optická soustava – optické zobrazování
Předmět
Optická soustava
P
y
Obraz
y´ x
P´
O P(x,y)
- bod předmětu
P´
P´(x´,y´) - obraz bodu P(x,y) O´
x´
Geometrická optika Důležité roviny optické soustavy při vyšetřování a navrhování optických soustav je možné provádět obecný propočet libovolného paprsku soustavou pro jednoduchost se často ovšem provádí výpočty pouze v tzv. meridionální a sagitální rovině meridionální rovina
y
paprsek
z x
sagitální rovina optická osa z
Geometrická optika Optická soustava – optické zobrazování homocentrický svazek
nehomocentrický svazek
Geometrická optika Předmět množina bodů, které jsou zdrojem primárního resp. sekundárního záření
y
Optické zobrazení transformace, která převádí O svazek paprsků do optické soustavy vstupující ve svazek paprsků z optické soustavy vystupující
Obraz množina bodů, které odpovídají předmětu zobrazenému optickou soustavou
Sdružené body dva body, z nichž jeden je obrazem druhého
P
y´ x
P´
O´
P´
x´
Geometrická optika Optická soustava – optické zobrazování
A
OS
A′
B
OS
B′ skutečný (reálný) obraz
nekutečný (zdánlivý) obraz
Geometrická optika Ideální optická soustava každému bodu předmětového prostoru odpovídá právě jeden bod obrazového prostoru ( x, y, z ) ⇒ ( x′, y′, z′) každé přímce (úsečce) v předmětovém prostoru odpovídá právě jedna přímka (úsečka) v obrazovém prostoru každé rovině předmětového prostoru odpovídá právě jedna rovina v obrazovém prostoru stigmatické zobrazení
x′ = x′( x, y, z )
y′ = y′( x, y, z ) z′ = z′( x, y, z )
zobrazení, které každému bodu A(x,y,z) předmětu přiřazuje určitý bod v obrazovém prostoru A´(x´,y´,z´)
A
OS
A′
Geometrická optika Ideální optická soustava geometrickou transformací, která splňuje předpoklady ideální optické soustavy je kolineace z′ =
az x + bz y + cz z + d z Ax + By + Cz + D
y
z=
a′z x + bz′ y + c′z z + d z′ A′x′ + B′y′ + C ′z′ + D′
P
z′ = ∞
Ax + By + Cz + D = 0
z=∞
A′x′ + B′y′ + C ′z′ + D′ = 0
Q y´
R
ohniskové roviny
R´
x O
Q´ O´
P´
x´
Geometrická optika Osově souměrná soustava zobrazovací rovnice pro y´ a x´ jsou stejné počátky souřadných soustav O,O´ volíme v ohniskových rovinách d z′ = z Cz
y′ =
by y Cz
paprsek y = y0 + pz
y′ =
z = z0 + qz
z′ =
h
b y y0 dz by z 0 dz
x′ + p x′ + q
C by C
tg σ′ = ±
by dz
y02 + z02 = ±
h′ = ± y0′2 + z0′2 = ±
OS
σ
by
všem paprskům, které protínají předmětovou rovinu ve stejné vzdálenosti h od osy odpovídají v obrazovém prostoru paprsky svírající stejný úhel σ′ s osou a naopak
h′
σ′
f =−
by C
by C
by dz
tg σ
f′=−
dz by
ohniskové vzdálenosti
h
Geometrická optika Zobrazovací (Newtonova) rovnice vztažená k ohniskům
y′ = − f
z′z = ff ′
optická soustava ξ′
ξ
n h F
O1 H
n′
∞
h′ F′
H′ O2
∞ (−) z
(−) f
(+) f ′
(+) z′
y z′ =− y z f′
Geometrická optika Základní body optické soustavy obrazovým ohniskem F´ nazýváme obraz nekonečně vzdáleného bodu na optické ose předmětovým ohniskem F´ nazýváme bod na optické ose soustavy v předmětovém prostoru, jehož obraz leží v nekonečnu optická soustava ξ′
ξ
n h F
O1 H
n′
∞
F - předmětové ohnisko F´ - obrazové ohnisko H, H´ - hlavní body m(H,H´) = h´/h = 1
h′ F′
H′ O2
n = n′ ⇒
∞ (−) f
(+) f ′
f′=−f
Geometrická optika m=
Příčné zvětšení optické soustavy
dy′ y′ = dy y
určeno jako poměr změny příčné velikosti obrazu a velikosti předmětu příčné zvětšení nezávisí na příčné velikosti předmětu, ale závisí na jeho vzdálenosti od optické soustavy
m = 1 … obraz je stejně velký jako předmět |m| < 1 … obraz je menší nežli předmět |m| > 1 … obraz je větší nežli předmět m < 0 … obraz je převrácený m > 0 … obraz je vzpřímený m = 0 … předmět v nekonečnu
optická soustava η
m = -2
ξ′
ξ
B
(+ ) y
P
P′
h
h′ A′
F′
H′
H
A
η′
F
(−) y′
q
f′
f Q
q′
Q′
B′
Geometrická optika Zobrazovací rovnice y y′ =− f′ q′
y y′ =− q f
1
f′ f + =1 a′ a
q′ = a′ − f ′
q =a− f
2
Newtonova zobrazovací rovnice
q q′ = ff ′
zobrazovací (Gaussova) rovnice vztažená na hlavní body
optická soustava η
n
B
P
(−)σ
F
O1
n′
P′
h
(+ ) y
A
ξ′
ξ
příčné zvětšení
h′ H′
H
η′
F′
O2
(+)σ′
A′ ( −) y′
Q Q′
(−)q (−)a
(−) f
(+) f ′
(+)q′
(+) a′
B′
m=
y′ f f =− =− y q (a − f )
m=
(a′ − f ′) y′ q′ =− =− y f′ f′ m=−
a′ f a f′
Geometrická optika Podélné (osové) zvětšení optické soustavy určeno jako poměr změny podélné velikosti obrazu a změny velikosti předmětu (ve směru optické osy) ∆q′ q′B − q′A α= = ∆q qB − q A
q′B =
ff ′ qB
m=− optická soustava ξ
η
ξ′
A
B
F′
α=−
η′
B′
ff ′ qB q A
f q′ =− q f′
q′A
f′
ff ′ qA
α=−
q′B
H H′
q′A =
ff ′ f′ = − mB mA qB q A f
A′
F mA = mB = m qB
qA
f
α=−
f′ 2 m f
Geometrická optika γ=
Úhlové zvětšení optické soustavy
tgσ′ tgσ
určeno jako poměr tangent úhlů, které svírá obrazový a předmětový paprsek s optickou osou soustavy tg σ′ =
h a′
tg σ =
h a
γ=
ξ
sU = sU′
ξ′
sU = sU′ = f ′ + f
h h′
A
U H
ω
σ
F
sU
f′
U′
sU′
F′ σ′
H′
ω′
A′
f ( −) y′
q
f
a′ f a f′
η′
B (+ ) y
m=−
−y − y′ = f + q − su f ′ + q′ − su
tg ω = tg ω′
Uzlové body γ(U,U´) = 1
η
tg σ′ a f 1 = =− tg σ a′ f′m
f′
q′
f′ f + =1 a′ a
B′
f ′tg σ′ + f tg σ = h
Geometrická optika Příklad: (ideální zobrazení) Fotografický objektiv f´=-f = 50 mm zobrazuje předmět o velikosti y=50 mm, který se nachází ve vzdálenosti a=-300 mm. Určete polohu obrazu a jeho velikost. f′ f + =1 a′ a m=−
a′ =
f a′ a′ = = −0,2 f′ a a
af ′ = 60 mm a+ f′ y′ = my = −10 mm
Příklad: (ideální zobrazení) Určete ohniskovou vzdálenost fotografického objektivu f´, který zobrazí předmět velikosti y=2 m, jenž se nachází ve vzdálenosti a=-3 m, tak, že velikost obrazu je y´=-20 mm. m=
y′ = −0,01 y
a′ = ma = 30 mm
f′=
aa′ = 29,7 mm a − a′
Geometrická optika Katoptrické (zrcadlové) soustavy
F′
F′
(−) f ′ kolektivní (spojná) soustava f´ < 0 f <0
(+) f ′ dispanzivní (rozptylná) soustava f´ > 0 f>0
Geometrická optika Dioptrické (čočkové) soustavy
ξ′
ξ′
F′
H′
(+) f ′ kolektivní (spojná) soustava f´ > 0 f <0
F′
H′
(−) f ′ dispanzivní (rozptylná) soustava f´ < 0 f >0
Geometrická optika Zobrazování lomem a odrazem paprsků a) Rovinná plocha
ε=σ
n sin ε = n′ sin ε′
ε′ = σ′ ε′′ = −ε
n′
n
ε′
ε′′ ε A
σ A′ σ′ s′
s
h
s′ =
h tg σ =s tg σ′ tg σ′
s′′ =
h h =− = −s ′ ′ tg ε tg σ
A′′ s′′
lom
odraz
Geometrická optika r − s sin(180o + ε) sin ε = = r − sin σ sin σ
b) Kulová plocha -lom − ε′ + (180o − ϕ) + σ′ = 180o − σ + (180 + ε) + ϕ = 180 o
n
ε
σ′ = σ + ε′ − ε
o
B
A
O
σ
s
⎛ sin ε′ ⎞ s ′ = r ⎜1 − ⎟ ′ σ sin ⎝ ⎠
h
ϕ
r s′
ε′
sin ε′ =
n sin ε n′
⎛ s′ ⎞ ⎛ s⎞ n′⎜1 − ⎟ sin σ′ = n⎜1 − ⎟ sin σ ⎝ r⎠ ⎝ r⎠
n′
p
r − s′ sin ε′ = r sin σ′
p′ C σ′
A′
sin σ′ =
h p′
sin σ =
n′ n n ′ s ′ n s − − = p′ p r p′ r p
h p
Geometrická optika n′ sin ε = = −1 n sin ε′′
c) Kulová plocha -odraz
sin ε ⎞ ⎛ s ′ = r ⎜1 + ⎟ ′ σ sin ⎝ ⎠
ε′′
A
h O σ′ A′
s
s′
1 1 1 ⎛ s′ s ⎞ + = ⎜⎜ + ⎟⎟ ′ p p r ⎝ p′ p ⎠
n′
B
ε
σ
n′ = − n
u odrazu platí všechny rovnice, pouze se zamění n´= -n
σ′ = σ + ε′′ − ε = σ − 2ε
n
ε′′ = −ε
ϕ
r
C
Geometrická optika Paraxiální zobrazování v praxi se často uvažuje s tzv. paraxiálními paprsky, které svírají malé úhly (1°-6°) vůči optické ose (optické systémy jsou bez monochromatických vad) paraxiální zobrazování má základní význam pro popis funkce, konstrukci a základní návrh optických soustav σ3 σ5 sin σ = σ − + − ... 3! 5!
σ→0
σ2 σ4 cos σ = 1 − + − ... 2! 4!
sin σ ≈ tg σ ≈ σ
cos σ ≈ 1
paraxiálními vztahy se často popisuje i oblast zobrazování mimo paraxiální prostor úlohou optických výpočtů je potom korekce vad zobrazení u paprsků mimo paraxiální prostor
Geometrická optika Paraxiální zobrazování – kulová plocha sin σ ≈ σ =
h s
sin σ′ ≈ σ′ =
⎛ s′ ⎞ ⎛ s⎞ n′⎜1 − ⎟ sin σ′ = n⎜1 − ⎟ sin σ ⎝ r⎠ ⎝ r⎠
h s′
p′ ≈ s′
p≈s n′ n n′ − n − = s′ s r
n′σ′ − nσ = h
B
n p y
A
ω F O≡H
f s
n′ − n r
s′ =
R
n′sr s (n′ − n) + nr
ω′ = −
n′ > n F′
C≡U
r >0
p′
f′ s′
ω′
A′
y′ s′
ω′ = −
y s
n′ω′ = nω
y′ B′ m=
y ′ n s′ n σ = = y n′ s n′ σ′
Geometrická optika Zobrazení lomem na kulové ploše n′ n n′ − n − = s′ s r
lámavost sférické plochy ϕ
n′ n′ − n = s = ∞ ⇒ s′ = f ′ ⇒ ϕ = f′ r
f′=
n n′ − n = f r
f =−
s′ = ∞ ⇒ s = f
⇒ ϕ=−
příčné zvětšení
m=
y′ n s′ n σ nr = = = y n′ s n′ σ′ s(n′ − n) + nr
úhlové zvětšení
γ=
ohnisková vzdálenost
tg σ′ σ′ n 1 ≈ = tg σ σ n′ m
n′ n′ r= ϕ n′ − n n n r=− ϕ n′ − n
Dioptrická soustava n´ > n r < 0 … rozptylná soustava r > 0 … spojná soustava n´ < n r > 0 … rozptylná soustava r < 0 … spojná soustava m = +1 … hlavní body → s = 0 s´= 0 γ = +1 … uzlové body → sU = r sU´= r
Geometrická optika ohnisková vzdálenost
Zobrazení odrazem na kulové ploše (zrcadla) n′ n n′ − n − = s′ s r
1 1 2 + = =ϕ ′ s s r
n′ = − n
y′ s′ r =− = y s r − 2s
f = f′=
r 2
n
y
úhlové zvětšení
γ=
rs 2s − r
B
příčné zvětšení
m=
s′ =
σ′ 1 =− σ m
m = +1 … hlavní body → s = 0 s´= 0 γ = +1 … uzlové body → sU = r sU´= r
C ≡ U A′ F
A
y′
B′
s
s′
O≡H
f = f′
Geometrická optika Zobrazení lomem a odrazem na kulové ploše zobrazení kulovou plochou není stigmatické (je zatíženo vadami – otvorová vada, barevná vada)
n′ > n
Geometrická optika Zrcadla – rovinná
P
Z
P′
jednoduchá katoptrická teleskopická zobrazovací soustava ideální rovinné zrcadlo není zatíženo vadami obraz je neskutečný vzpřímený a stranově převrácený r =∞
s′ =
rs = −s 2s − r
příčné zvětšení
m = +1
úhlové zvětšení
γ = −1
předmět
obraz
Geometrická optika Příklad: (zorné pole rovinného zrcadla)
Z
d ϑ ϑ a′
d min
1 h∗ h ∗ = (h − h ) + = = 0,9 m 2 2 2
a
h∗ = 0,15 m
h = 1,8 m
Geometrická optika Odrazy na rovinných plochách
při sudém počtu koplanárních zrcadlových odrazů nezávisí odchylka paprskového svazku na otočení
δ
ε1
ε ε
α
ε2
δ δ = π − 2ε
∆δ = −2∆ε
δ = 2α
∆δ = 0
Geometrická optika Příklad: (kaleidoskop – vícenásobné zrcadlové odrazy)
Geometrická optika Zrcadla – kulová s′ =
rs 2s − r
m=
y′ s′ r =− = y s r − 2s
Katoptrická soustava • vyduté zrcadlo r < 0 … spojná soustava • vypuklé zrcadlo r > 0 … rozptylná soustava
B B′
y y′ F
A
A′
O≡H
C≡U
f
r s
s′
r>0
…zmenšený neskutečný vzpřímený obraz
Geometrická optika Zrcadla – kulová
vyduté zrcadlo r < 0 … spojná soustava s > f … vzdálenost předmětu
B
y C ≡ U A′ F
A
y′
B′
s
s′
O≡H
f = f′
zmenšený skutečný převrácený obraz
Geometrická optika Zrcadla – kulová
vyduté zrcadlo r < 0 … spojná soustava s < f … vzdálenost předmětu
B′ B C≡U
y
F
A
y′ O≡H A′
s
f = f′
r
s′
zvětšený neskutečný vzpřímený obraz
Geometrická optika
Video – kulová zrcadla
Geometrická optika Příklad: (zrcadlo na holení) Určete vzdálenost tváře od vydutého zrcadla (r = -35 cm), aby zvětšení bylo m=2,5.
m=
y′ s′ r =− = y s r − 2s
B′ B r (m − 1) s= = −10,5 cm 2m
C≡U
y′
y
F
A
s′ = −ms = 26,25 cm
O≡H
A′
s
f = f′ r = −35 cm
s′
Geometrická optika Příklad: (zpětné zrcátko automobilu) Určete, jak daleko se v konvexním zrcátku (r = 4 m) jeví obraz automobilu ve vzdálenosti s = -100 m a jaké je jeho zvětšení m. m=
y′ s′ r =− = =& 0,0196 y s r − 2s
B
s′ = −ms =& 1,96 m
y B′ y′ O≡H
A
f
A′
F
r s
s′
C
Geometrická optika Zrcadla –parabolická, hyperbolická, eliptická zrcadla se dají se použít jako osvětlovací nebo zobrazovací soustavy nejsou zatíženy barevnou vadou
F
F
F′
Geometrická optika Soustava lámavých ploch ni′ ni ni′ − ni − = = ϕi si′ si ri
si =
ni′σ′i − ni σ i = hi ϕi
i =1
hi +1 = hi − d i σi +1
k
σ i +1 = σ′i
i
ni
ni′ = ni +1
hi
σi
Oi
Ai
Oi +1
i =1
ni′+1 σ′i +1 si′+1
si +1 si′
f′=
σ′i A′i +1
hi σ′i
σ′k n1 1 = σ1 nk′ m
ohnisková vzdálenost (σ1=0)
nk′ σ′k − n1σ1 = ∑ hi ϕi
i +1
hi +1
di si
m = ∏ mi =
příčné zvětšení
si′ =
n1 σ1 n1 s1′s2′ ...s′k = ′ ′ nk σ k nk′ s1s2 ...sk
k
si +1 = si′ − d i
γ=
úhlové zvětšení
ni +1 = ni′
hi σi
n′ h1 h1 = sk′ = − k f σ′k hk n1
A′i
s′F ′ =
hk σ′k k
ϕ=∑ i =1
hi ϕi h1
Geometrická optika Příklad: (rybka v akváriu) Určete přibližné zvětšení, se kterým vidí pozorovatel rybku v akváriu a kocoura, který z druhé strany sleduje rybku n2 n1 n2 − n1 − = ′ s s r
s′ =
n2 sr = − 85,8 mm s (n2 − n1 ) + rn1
m=
n1 s′ =& 1,14 n2 s
R = 0,2 m
n1 = 1,33
s = r/2
n2 = 1
Geometrická optika s1 = − 50 mm
n1 =1
r1 = 200 mm
d = 400 mm
n2 =1,33
r2 = − 200 mm
n3 =1 s1′ =
n2 s1r1 = − 72,5 mm s1 (n2 − n1 ) + r1n1
s2 = s1′ − d = − 472,48 mm s2′ =
n3 s2 r2 = − 858,5 mm s2 (n3 − n2 ) + r2 n2
R = 0,2 m
m=
n1 s1′s2′ = 2,63 n3 s1s2
s1 = − 50 mm
Geometrická optika Čočka ve vzduchu
ξ′
ξ
čočky se používají pro transformaci světelných svazků v zobrazovacích a osvětlovacích soustavách (+)r1
C2
n
V1 H
H′ V2 (−)r2
sH
C1 D
s′H ′
(+ )d čočka má 2 sférické plochy s různými poloměry křivosti
Geometrická optika Tvary čoček
tvarový parametr čočky
X=
r2 + r1 r2 − r1
spojky f´ > 0
rozptylky f´<0 X < -1 X = -1
X=0
X=1
X>1
Geometrická optika Video – tlustá spojná čočka
Geometrická optika ni′σ′i − ni σ i = hi
Čočka ve vzduchu
ni′ − ni ri
n1 = n3 = 1 n2 = n
ni +1 = ni′
hi +1 = hi − d i σi +1
B y
n3
n2 σ
F
sF f
a
σ3 = nσ 2 − h2
d
n1 h
h
H
H′
sH
s′H ′ ∆H
n −1 nr1
h2 = h1 − dσ 2
předmět v nekonečnu: σ1 = 0
σ i +1 = σ′i
A
σ 2 = h1
σ′
f′=
h1 h1 = σ′2 σ3
A′
F′
y′
s′F ′ f′
a′
B′
1− n r2
Geometrická optika ⎛ 1 1 ⎞ (n − 1) 2 1 1 ϕ= = − = (n − 1)⎜⎜ − ⎟⎟ + d f′ f r r n r r 1 2 ⎝ 1 2⎠
ϕ = ϕ1 + ϕ 2 − ϕ1ϕ 2
⎛ n −1 ⎞ h s′F ′ = 2 = f ′ ⎜⎜1 − d ⎟⎟ σ3 n r 1 ⎝ ⎠
n −1 s′H ′ = s′F ′ − f ′ = − f ′ d n r1
⎛ n −1 ⎞ h sF = 1 = − f ′ ⎜⎜1 + d ⎟⎟ σ1 n r 2 ⎝ ⎠
sH = sF − f = − f ′
f′=−f =
1 1 1 − = =ϕ a′ a f ′ h σ′ − σ = = hϕ f′
parametry tlusté čočky d
n
B
y
a′ =
a f′ a+ f′
a′ σ m= = a σ′
1 ϕ
n −1 d n r2
⎡ f′ ⎛ 1 1 ⎞⎤ ∆ H = d − s H + s′H = d ⎢1 − (n − 1)⎜⎜ − ⎟⎟⎥ ⎝ r1 r2 ⎠⎦ ⎣ n zobrazení tlustou čočkou ve vzduchu
d n
σ
A
F
sF f
a
h
h
H
H′
sH
s′H ′ ∆H
σ′
A′
F′
y′
s′F ′ f′ a′
B′
Geometrická optika Příklad: (zobrazení čočkou ve vzdálenosti L od předmětu s příčným zvětšením m) a′ =
L = − a + ∆ H + a′
m( L − ∆ H ) a′ = m −1
(L − ∆ H ) a= m −1
m=
a′ f′ = a a+ f′
a a′ m( L − ∆ H ) =− f′= (m − 1) 2 a − a′
n
B y
σ A
a f′ a+ f′
F
f
h
h
H
H′
∆H
σ′ F′
y′
B′
f′ a′
a L
A′
(m − 1) 2 L = ∆H − f′ m
můžeme určit, v jaké vzdálenosti od předmětu se bude nacházet obraz při zobrazení optickou soustavou s parametry f´,m
Geometrická optika Tenká čočka v praxi se provádí první návrhy optických soustav pomocí tzv.tenkých čoček (d = 0)
σ′ − σ =
A
h = hϕ f′
h
σ F
H ≡ H′ f
a
F′
s′F ′ = − s F = f ′
a′ σ = a σ′
m=
σ′
⎛1 1⎞ 1 1 = − = (n − 1)⎜⎜ − ⎟⎟ f′ f ⎝ r1 r2 ⎠
s′H ′ = s H = ∆ H = 0
a f′ a′ = a+ f′
1 1 1 − = =ϕ a′ a f ′
ϕ=
f′=−f =
A′
r1r2 (n − 1)(r2 − r1 )
ohnisková vzdálenost tenké čočky
f′ a′
Geometrická optika Příklad: (zobrazení tenkou čočkou ve vzdálenosti L = 1000 mm od předmětu s příčným zvětšením m = -3) a′ =
L = − a + a′ a=
L = −250 mm m −1
a f′ a+ f′ a′ =
m= mL m −1
f′=
B y
h
σ A
a′ f′ = a a+ f′
F
σ′
A′
F′
H
y′
B′
f′
f
a′
a L
a a′ mL =− = 187,5 mm (m − 1) 2 a − a′
Geometrická optika Příklad: (zobrazení tenkou čočkou – spojka a rozptylka) - určete vzdálenost obrazu od spojky a rozptylky a příčné zvětšení obrazu Spojka r1=∞, r2=-100, a=-300
f1′ =
n = 1,5
r1r2 = 200 (n − 1)(r2 − r1 )
a f1′ a1′ = = 600 a + f1′
F′
A a
a′ m1 = 1 = −2 a
Rozptylka r1=-100, r2=200 , a=-150
f 2′ =
r1r2 = −133,3 (n − 1)(r2 − r1 )
a f 2′ = −70,6 a2′ = a + f 2′
a′ m2 = 2 = 0,47 a
F′ A
A′ a2′ a
A′
a1′
Geometrická optika Příklad: (zobrazení tenkou čočkou – spojka a rozptylka) - určete poloměry křivosti symetrické bikonvexní a plankonkávní tenké čočky, jestliže jejich lámavosti jsou 4 resp. –4 dioptrie. ϕ=
ϕ1 = 4 D
⎛1 1⎞ 1 1 = − = (n − 1)⎜⎜ − ⎟⎟ f′ f ⎝ r1 r2 ⎠
r1 = − r2 = R n = 1,5
2 ϕ = (n − 1) R
R = (n − 1)
2 = 250 mm ϕ1
ϕ2 = −4 D r1 = ∞ r2 = R
ϕ=
(1 − n) R n = 1,5
R=
(1 − n) = 125 mm ϕ2
Geometrická optika Kapalná čočka pomocí elektrostatických sil se mění tvar rozhraní dvou kapalin umožňuje plynulou velmi rychlou změnu ohniskové vzdálenosti a miniaturní rozměry
0,03s
Geometrická optika zobrazovací rovnice
Složená centrovaná soustava v praxi se vyskytují soustavy složené z několika členů (k)
ni′σ′i − ni σi = hi ϕi ni +1 = ni′
každý z členů je charakterizován svojí lámavostí ϕi a polohou hlavních rovin
ϕi
ni′ = ni +1
ni Ai
hi
σi Hi
ai
hi +1 = hi − d i σi +1 i = 1,2,..k
ϕi +1 ni′+1 hi +1
H′i
σi +1 = σ′i
σ′i
H i +1 H′i +1 di ai +1 ai′
A′i ≡ A i +1
Geometrická optika Dvoučlenná centrovaná soustava velmi důležitou optickou soustavou je dvoučlenná centrovaná optická soustava - dvoučlenná optická soustava je základem mnoha optických přístrojů (mikroskopy, dalekohledy,…)
Geometrická optika Dvoučlenná centrovaná soustava čoček
n1 = n2 = n3 = 1 σ 2 = h1ϕ1
předmět v nekonečnu: σ1 = 0
h2 = h1 − dσ 2
ϕ1
ϕ2
n1
A1
σ3 = σ 2 + h2 ϕ 2 = h1ϕ1 + h2 ϕ 2
a′H ′
aH n2 h1
σi H1
F
h2 H1′ H H′
H2 ∆ H2
∆ H1
aF
a1
n3
d
L
A2
σ3 F′
H′2 a′F ′ a′2
ϕ=
1 σ3 = f ′ h1
Geometrická optika Dvoučlenná centrovaná soustava čoček ϕ=
h 1 σ3 = = ϕ1 + 2 ϕ2 f ′ h1 h1
a′F ′ =
h2 = f ′(1 − dϕ1 ) σ3
h aF = 1 = f (1 − dϕ2 ) σ1
ϕ=
d 1 1 1 = ϕ1 + ϕ2 − d ϕ1ϕ2 = + − f′ f1′ f 2′ f1′f 2′
a′H ′ = a′F ′ − f ′ f′=
aH = aF − f
parametry dvoučlenné soustavy
- dvoučlenná optická soustava je základem mnoha optických přístrojů (mikroskopy, dalekohledy,…)
m=−
q′ f ′ = f′ q
q′ = a2′ − a′F ′
⎛1 d ⎞ a1 = f ′⎜⎜ − 1 + ⎟⎟ f 2′ ⎠ ⎝m
f1′f 2′ f1′ + f 2′ − d
q = a1 − aF
⎛ d⎞ a2′ = f ′⎜⎜1 − m − ⎟⎟ f1′ ⎠ ⎝
Geometrická optika Teleskopická (afokální) soustava
f′=
σ1 = σ′2 = 0
základem dalekohledů (teleskopů) f′=
f1′ f 2′ f1′ + f 2′ − d
d 1 −1 + = 0 m f 2′
f1′ + f 2′ − d = 0
ϕ2
∞ ∞
H1′
H2 h2
f1′
f2
γ=
f 2′ h2 = ′ f1 h1
1 f′ =− 1 m f 2′
- zvětšení teleskopické soustavy je konstantní
F1′ ≡ F2
h1 H1
m=−
∞
ϕ1
h1 =∞ σ′2
H′2
∞
Geometrická optika Příklad: (okulár ) - určete ohniskovou vzdálenost Huygensova okuláru složeného ze dvou tenkých plankonvexních čoček obrácených proti sobě s poloměry křivosti r1=-50 mm a r2=-25 mm r f1′ = 1 = 100 mm 1 − n1 f 2′ =
r2 = 50 mm n2 − 1
n1
n1 = n2 = 1,5
r1
n2
r2
F′ F1′ F2′ f′
d = 80 mm
f 2′
f1′ f ′=
f1′f 2′ =& 71,4 mm f1′+ f 2′ − d
oční člen clona
a′F ′ = f ′(1 − d / f1′) = 14,286 mm
a′H ′ = a′F ′ − f ′ = −57,11 mm
aF = f (1 − df 2′) = 42,86 mm
aH = aF − f = 114,26 mm
sběrný člen
Geometrická optika Příklad: (soustava dvou centrovaných kulových zrcadel) - určete ohniskovou vzdálenost a polohu ohniska dvou zrcadel f1′ =
r1 2
f ′=
f1′f 2′ f1′+ f 2′ − d
f 2′ =
r2 2
F′ a=
( f1′ − d ) f 2′ −d ′ ′ f1 + f 2 − d
d
a
Geometrická optika Příklad: (rozšiřovač svazku ) - určete ohniskové vzdálenosti čoček (spojky nebo rozptylky) rozšiřovače svazku je-li dáno příčné zvětšení m = ± β = D2/D1 ϕ2
f′ m=− 2 f1′
f1′+ f 2′ = d
∞
F1′ ≡ F2
h1
1⎞ ⎛ f 2′⎜1 m ⎟ = d ⎝ m⎠
∞
ϕ1
H1
D1
H1′
∞
H′2
H2 h2
f1′
f2
∞
d ϕ2
f 2′ =
∞
1⎞ ⎛ ⎜1 m ⎟ ⎝ m⎠
F1′ ≡ F2 H1
D1
f1′ = m
f 2′ m
∞
ϕ1
d
D2
∞
H1′
H2
H′2
D2
h2
f1′
d f2
∞
Geometrická optika Centrovaná soustava tenkých čoček čočky, které se vzájemně dotýkají dublet
d= 0
ϕi =
1 f i′
triplet
ϕ=
1 = ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 + ... f′
Příklad: (triplet ) f1′= 50 mm f 2′ = −80 mm f 3′ = 100 mm
ϕ=
1 1 1 1 = + + ⇒ f ′ f1′ f 2′ f 3′
f ′ = 57,1 mm
Geometrická optika Příklad: (dvoučlenná soustava tenkých čoček ) - určete ohniskové vzdálenosti soustavy tenkých čoček B f 1′ = 10 cm f 2′ = 5 cm d = 35 cm
y
F1′
F1
A
f1
a1 = −25 cm
a1
B′ y′
F2
f1′
f2
a1′
a2
f 2′ F2′ A′
a′2
d 1 1 1 − = a1′ a1 f1′ a2 = a1′ − d = −18,33 cm
f′=
f1′ f 2′ = −2,5 cm f1′ + f 2′ − d
f ′a a1′ = 1 1 = 16,67 cm a1 + f1′
m1 =
a1′ f1′ = = −0,667 ′ a1 a1 + f1
f 2′a2 = 6,875 cm a2 + f 2′
m2 =
a2′ f 2′ = = −0,375 a2 a2 + f 2′
a2′ =
m = m1m2 = 0,25
