Optik Moderen S3 Fisika
1
I.
Gelombang EM
II. Interaksi Gelombang EM dengan Materi III. Refleksi dan Refraksi Gelombang Bidang IV. MEDIA BERLAPIS ISOTROPIK V. MEDIA BERLAPIS PERIODIK 1-D 7. GELOMBANG TERPANDU DALAM MEDIA BERLAPIS 8. OPTIK NONLINIER
2
I. Gelombang EM 1.1 Persamaan Maxwell r r ∂B (1) ∇ x E = − ∂t r r ∂D r ( 2) ∇ xH = +J ∂t r ( 3) ∇ • D = ρ r ( 4) ∇ • B = 0
r r (5 ) D = ε E r r (6) B = μ H
r r E = vektor medan listrik; H = vektor medan magnet r D = vektor pergeseran listrik dalam bahan; ε = permittivitas listrik bahan r B = vektor medan magnet induksi dalam bahan; μ = permeabilitas magnet bahan r J = rapat aruslistrik ρ = rapat muatan 3
Bahan optik bersifat dielektrik, isolator dan nonmagnetik: ρ=0, J=0
r r ∂B (1) ∇ x E = − ∂t r r ∂D (2) ∇ xH = ∂t r ( 3) ∇ • D = 0 r (4) ∇ • B = 0
r r (5 ) D = ε E r r (6 ) B = μ o H
1
ν=
εμo
; kecepatan cahaya dalam bahan dielektrik
1
c=
ε o μo
εr =
ε ; εo
n = εr ;
; kecepatan cahaya dalam ruang hampa tetapan dielektrik bahan indeks bias bahan
c n
ν = , kecepatan cahaya dalambahan
4
1.2 Syarat Batas di batas dua bahan dielektrik Divergensi Gauss:
nˆ
2
1
nˆ
2
1
r r ∫ ∇ • FdV = ∫ F • nˆ dS
r r r n • (B1 − B2 ) = 0 → B1⊥ = B2⊥ r r r n • (D1 − D2 ) = 0 → ε1 E1⊥ = ε 2 E2⊥
r r r Teorema Stokes: ∫ ∇ xF • nˆ dS = ∫ F • dl r r ˆn x ( E 2 − E 1 ) = 0 → E 1 // = E 2 // r nˆ x ( H 2 − Hˆ 1 ) = 0 → B 1 // = B 2 //
5
1.3 Persamaan Gelombang dalam bahan dielektrik
r r ∂ ∇ xH (1) & ( 6 ) : ∇ x (∇ x E ) = − μ o ∂t r 2 r ∂ ∂ E ( 2 ) & (5) : ∇ xH = ε ∂t ∂t2 r r r r 2 2 ∇ x (∇ x E ) = ∇ (∇ • E ) − ∇ E = −∇ E ( 3)
r 2 r ∂ E − ∇ 2 E = − μ oε ∂t2 r r 2 2 2 r r ∂ E n ∂ E 2 ∇ 2 E − μ oε = 0 atau ∇ − =0 E ∂t2 c2 ∂t2
6
Gelombang bidang r r r i (ω t − k .r ) E = uˆ1 E o e r r r i (ω t − k .r ) H = uˆ 2 H o e
Eo dan Ho adalah amplitudo kompleks, konstan dalam ruang dan waktu.
r r ∇ • E = 0 → uˆ1 • k = 0 r r ∇ • H = 0 → uˆ2 • k = 0 Artinya, amplitudo tegak lurus terhadap arah penjalaran.
r k x uˆ1 r dan H o = Dari pers. Maxwell (1): uˆ 2 = k uˆ1
r k uˆ 2
η=
ε Eo μo
μ o 1 μ o 377Ω = ≈ ε n εo n
Adalah impedansi material; impedansi ruang vakum=377Ω
7
1.4 Rapat energi dan Fluks energi Cahaya membawa energidalam bentuk radiasi gelombang EM. Dua aspek penting dari elektromagnet: 1. Rapat energi yang tersimpan dalam gelombang EM, 2. Fluks energi terkait dengan gelombang EM tersebut. Dari pers.Maxwell (2):
r r v r v r J E = E (∇xH ) − E ∂ t D
.
Identitas vektor: sehingga:
.
.
r r r r v r ∇ ( ExH ) = H (∇xE ) − E (∇xH )
.
.
.
r r r r r r v r J E = −∇ (ExH ) − H ∂t B − E ∂ t D r = −∇ S − ∂tU
.
. .
.
.
8
r r r ∇ S + ∂ tU = − J E r r v r ∂U r r v r = H ∂t B + E ∂t D → U = H B + E D ∂t r r r S = ExH
.
.
.
.
.
.
Rapat energi (Joule/m3) Fluks energi atau vektor poynting (Watt/m2).
r ∇ S merupakan daya EM yang mengalir keluar dari unit volum.
.
r r r ∇ S + ∂ tU = − J E
.
.
Merupakan persamaan kontinuitas, atau hukum kekekalan energi untuk gelombang EM.
9
II. Interaksi Gelombang EM dengan Materi 2.1 Konstanta dielektrik, indeks bias Kehadiran medan listrik dalam bahan menyebabkan pergeseran posisi muatan positip dan muatan negatif dalam setiap atom. Dalam bahan dielektrik, pergeseran itu menginduksikan momen dipol:
r r p =α E
α=polarizabilitas atom
Jika N=jumlah atom/unit volum, maka polarisasi listrik yang terjadi adalah: r r r P = N p = Nα E Nα χ=suseptibilitas listrik bahan r r χ = P = εoχ E εo ⎛
Konstanta dielektrik bahan:
ε = ε o (1+ χ) = ε o ⎜⎜1 +
Indeks bias: n2=εr=ε/εo
n = 1+ χ = 1+
⎝
Nα ⎞ ⎟ ε o ⎟⎠
Nα
εo
10
2.2 Indeks bias dengan model elektron iω t Misalkan medan listrik yang mengenai atom: E = E o e
Karena keelastisan elektron, persamaan geraknya:
d 2x dx m 2 + mγ + mωo2 x = −eEo eiω t dt dt x=posisi elektron relatif terhadap inti atom, m=massa elektron, ωo= frekuensi eigen dari elektron, γ=koefisien redaman. Solusi stasioner:
x=
− eE m(ωo2 − ω 2 + iγω)
Momen dipol terinduksi:
Jadi, polarizabilitas atom:
p = −ex =
α=
e2 m(ω − ω + iγω) 2 o
2
E
e2 m(ωo2 − ω 2 + iγω) 11
Indeks bias bahan:
Ne 2 n = 1+ ε o m(ωo2 − ω 2 + iγω)
Jika suku ke dua dalam tanda akar sangat kecil terhadap 1, maka
Ne 2 n ≈ 1+ 2ε o m(ωo2 − ω 2 + iγω) 1. N dan ωo bergantung pada bahan. Jelas bahwa indeks bias bergantung pada frekuensi cahaya ω. 2. Jika ω dinaikkan mendekati ωo, indeks bias juga akan naik. Ini berlaku pada semua bahan transparan. Indeks bias untuk cahaya biru > indeks bias untuk cahaya merah. Fenomena ini disebut dispersi. 3. Karena iγω, indeks bias menjadi kompleks:
Ne 2 (ωo2 − ω 2 ) Ne 2γω n ≈ 1+ −i 2 2 2 2 2 2ε o m(ωo − ω ) + γ ω 2ε o m(ωo2 − ω 2 ) 2 + γ 2ω 2 14444 4244444 3 14444244443 ril
imajiner
12
Tuliskan: n=n’-in” Tinjau gelombang EM menjalar sepanjang sb-z:
E = Eo e i (ω t −kz ) k = nk o = ( n '− in " ) k o ; k o =
2π
λ
E = Eo e − n"ko z e i (ω t −n'ko z ) Komponen imajiner dari indeks bias menyebabkan atenuasi amplitudo sepanjang penjalarannya.
13
2.3 Indeks bias logam Di dalam logam terdapat banyak elektron bebas; dengan medan listrik elektron-elektron bebas bergerak. Jadi ωo=0, dan indeks bias menjadi:
Ne 2 n = 1− ε o m(ω 2 − iγω) Jika γ<< ω:
ω p2 n = 1− 2 ω
Ne 2 ωp = ε om
Frekuensi plasma elektron
Untuk ω>ωp: n ril, gelombang menjalar bebas dalam logam. Untuk ω<ωp: n imajiner murni, gelombang teratenuasi dalam logam. Aluminium, tembaga, emas dan perak: N~1023/cm3 , ωp~2x1016s-1; jadi untuk sinar tampak ω<ωp sehingga n imajiner. Secara umum, karena γ finit maka logam memiliki n kompleks. Emas: n=0,84+ i1,84 pada 0,5 μm n=0,18+ i6,04 pada 1 μm
14
2.4 Pulsa optik dan kecepatan grup Dalam berbagai aplikasi, laser diopersikan dalam bentuk pulsa. Penjalaran pulsa laser dalam bahan linier (P=εoχE), bisa dinyatakan sebagai superposisi dari gelombang-gelombang bidang dengan berbagai frekuensi. Misalkan A(k) menyatakan amplitudo dari komponen gelombang bidang dengan k=bilangan gelombang. Pulsa dapat dituliskan: ∞
ψ ( z, t ) = ∫ A(k ) ei(ω t −kz) dk −∞
di mana dimisalkan k dan ω(k) ril. Hubungan antara ω dan k disebut hubungan dispersi. Misalkan ωo= pusat frekuensi dengan ko= bilangan gelombangnya, dan Δω disekitar ωo adalah pelebaran frekuensi dengan Δk pelebaran bilangan gelombangnya. Ekspansi Taylor dari ω(k) adalah:
⎛ dω ⎞ .......... . ⎟ (k − ko ) + .......... 1 42 4 43 4 ⎝ dk ⎠0 abaikan
ω (k) = ωo + ⎜
15
Substitusikan ke ψ(z,t):
ψ ( z , t ) ≈ e i (ω
ot − ko z )
ψ(z,0)
∞
∫
A ( k ) e i [( d ω / dk ) o t − z ]( k − k o ) dk
z
−∞
Integral di atas merupakan fungsi envelop,
A(k )
dan dituliskan:
ko
E [ z − ( d ω / dk ) o t ] =
∞
∫
k
A ( k ) e i [( d ω / dk ) o t − z ]( k − k o ) dk
−∞
ψ ( z , t ) = e i (ω
ot − ko z )
⎛ dω ⎞ vg = ⎜ ⎟ ⎝ dk ⎠o vf =
ωo ko
E [ z − ( d ω / dk ) o t ] disebut kecepatan grup dari pulsa disebut kecepatan fasa≠kecepatan grup 16
Dispersi material Bilangan gelombang: Kecepatan fasa :
Kecepatan grup:
k =n
ω
c c vf = n ⎛ dω ⎞ vg = ⎜ ⎟ ⎝ dk ⎠o
vg =
c n + ω dn/ dω
Jadi, kecepatan fasa > kecepatan grup. Kecepatan grup bergantung pada frekuensi cahaya.
serat optik Pelebaran pulsa 17
III. Refleksi dan Refraksi Gelombang Bidang 3.1 Hukum Snellius r i ( ω t − kr . rr ) r Ere
z
r kr
r kt θr
r ki
r ω kt = n2 c
r r r ki , kr , kt terletak dalam bidang-xz yang disebut bidang datang.
θt
θi
n1 r i ( ω t − kr . rr ) i Eie
r i ( ω t − kr . rr ) t Ete
r r ω ki = kr = n1 c
x
n2
Komponen tangensial ketiga medan itu sama:
r r r k i sin θ i = k r sin θ r = k t sin θ t
k iz = k rz = k tz
θ i= θ r ;
ni sin θ i = nt sin θ t Hk. Snellius 18
3.2 Refleksi dan Transmisi TE atau gel-s
n1
z
TM atau gel-p
n2
n1
H’1 E’1
θ1
n2
E’1 E2
θ2 E’2
E1
z
H2 H’2
E2
H’1+
θ1
x
H1
E1
θ 2 H2 +
H1
H’2
E’2
x
Solusi umum dari persamaan gelombang dalam setiap medium merupakan superposisi dari gelombang datang dan gelombang pantul:
r −ikr .rr r −ikr ' .rr iω t r ⎧⎪( E1e 1 + E '1 e 1 ) e ;x < 0 E=⎨ r r r r r r −ik 2 .r −ik '2 .r ⎪⎩( E 2 e + E'2 e ) e iω t ; x > 0
r H =
i
ωμ o
r ∇xE
19
TE atau gel-s Kontinuitas Ey dan Hz di x=0: z
n1
E y : E1s + E '1s = E 2 s + E ' 2 s
n2
H z : n1 ( E1s − E '1s ) cosθ1 = n2 ( E 2 s − E ' 2 s ) cosθ 2
H’1 E’1
θ1 E1
E2
θ2 E’2
H2 H’2
x
⎛E ⎞ ⎛ E1s ⎞ ⎟⎟ = Ds (2)⎜⎜ 2s ⎟⎟ Ds (1)⎜⎜ ⎝ E'2s ⎠ ⎝ E'1s ⎠
1 1 ⎞ ⎛ ⎟⎟; i = 1, 2 Ds (i) = ⎜⎜ ⎝ ni cosθ i − ni cosθ i ⎠ disebut matriks dinamis dari gel-s.
20
Reflektansi: Rs = rs
Koefisien refleksi:
2
⎛ E' ⎞ rs = ⎜⎜ 1s ⎟⎟ ⎝ E1s ⎠ E '2 s =0 =
n1 cos θ1 − n2 cos θ 2 k1 x − k 2 x = n1 cos θ 1 + n 2 cos θ 2 k1 x + k 2 x
k ix =
Koefisien transmisi:
2π
λ
ni cos θ i
Transmittans: T s = t s
2
k2x k1x
⎛E ⎞ t s = ⎜⎜ 2 s ⎟⎟ ⎝ E1s ⎠ E '2 s = 0 =
2 k1 x 2n1 cos θ 1 = n1 cos θ 1 + n 2 cos θ 2 k1 x + k 2 x
21
TM atau gel-p Kontinuitas Ez dan Hy di x=0:
z
n1
E z : ( E1 p + E '1 p ) cos θ 1 = ( E 2 p + E ' 2 p ) cos θ 2
n2
H y : n1 ( E1 p − E '1 p ) = n 2 ( E 2 p − E ' 2 p )
E’1 H’1+
θ1 E1
E2
θ 2 H2 +
H1
H’2
E’2
x
⎛ E2 p ⎞ ⎛ E1 p ⎞ ⎟ ⎟ = D p (2)⎜ D p (1)⎜ ⎜ E' ⎟ ⎜ E' ⎟ ⎝ 2p ⎠ ⎝ 1p ⎠
⎛ cos θ i D p (i ) = ⎜⎜ ⎝ ni
cos θ i ⎞ ⎟⎟; i = 1, 2 − ni ⎠
disebut matriks dinamis dari gel-p.
22
Koefisien refleksi: ⎛ E '1 p rp = ⎜ ⎜ E ⎝ 1p
Reflektansi: R p = rp
2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠ E '2 p = 0
n12 k 2 x − n 22 k 1 x n1 cos θ 2 − n 2 cos θ 1 = 2 = n1 cos θ 2 + n 2 cos θ 1 n1 k 2 x + n 22 k 1 x
Koefisien transmisi: ⎛ E2 p tp = ⎜ ⎜E ⎝ 1p =
Transmittans:
⎞ ⎟ ⎟ ⎠ E '2 p = 0
Tp = t p
2
k2x k1 x
2n n k 2 n1 cos θ 1 = 2 1 2 12x n1 cos θ 2 + n 2 cos θ 1 n1 k 2 x + n 2 k 1 x
23
Reflektans dielektrik-dielektrik, n1
θ1 n1=1 n 2 = 1,7 x
z
Reflektans
0.8 0.7 0.6 0.5 0.4
s
0.3 0.2
p
0.1 0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Sudut datang
Reflektans gelombang-s terus naik hingga sudut maksimum. Reflektans gelombang-p mempunyai harga minimum. 24
3.3 Refleksi total internal
r k1 n1>n2
θ1
n2
r' k1
Jika n1>n2: θ 2 > θ1
n1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 θ2
z
r k2
Agar
θ2=90o,
θ 1 → θ c = sin −1 ( n 2 / n1 )
x Jika θ1>θc terjadi refleksi total dari semua energi cahaya. Sudut θ2 menjadi: sin θ 2 =
n1 sin θ 1 sin θ 1 = >1 n2 sin θ c
⎛ sin θ 1 cos θ 2 = 1 − ⎜⎜ ⎝ sin θ c
2
⎞ ⎟⎟ = − i ⎠
⎛ sin θ 1 ⎜⎜ ⎝ sin θ c
2
⎞ ⎟⎟ − 1 = − i cos θ 2 ⎠
Cos θ2 berharga imajiner; transmisi meluruh eksponensial terhadap x.
E2 ∝ e
rr i (ω t −k .r )
= e −qx ei (ω t −k2 z sinθ2 )
25
Reflektans dielektrik-dielektrik, n1>n2. θc TIR
n1=1,7
θ1 z
n2 = 1 x
⎛ n2 ⎞ θ1 > θc = sin ⎜⎜ ⎟⎟; n1 > n2 ⎝ n1 ⎠ n1 = 1.7, n2 = 1.0 → θc = 36o −1
Reflektans
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0
s 10
20
p 30
40
50
θc=55,4o 60
70
80
90
Sudut datang
Total internal reflection terjadi pada θ1>θc. Penjalaran gelombang dalam serat optik berlangsung dengan TIR.
26
Koefisien refleksi pada saat refleksi total: rs =
n1 cosθ1 + in2 cosθ 2 n1 cosθ1 − in2 cosθ 2
; rp =
− in1 cosθ 2 − n2 cosθ1 − in1 cosθ 2 + n2 cosθ1
rs = rp = 1
Semua energi cahaya direfleksikan secara total. Perbedaan sinar datang dan sinar terpantul hanya pada fasa. maka
0.9
n1 = 1.7
0.8
n2 = 1.0
φp+π
0.7
1/ 2
⎛ sin 2 θ1 − sin 2 θ c ⎞ ⎟⎟ φs = 2tg ⎜⎜ 2 ⎝ 1 − sin φ1 ⎠ −1
Fasa/pi
Misalkan
r∼eiφ,
1
0.6
φs
0.5 0.4 0.3
⎡⎛ sin 2 θ − sin 2 θ ⎞1 / 2 ⎛ n ⎞ 2 ⎤ c 1 ⎟⎟ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎥ φ p = −π + 2tg −1 ⎢⎜⎜ 2 ⎢⎣⎝ 1 − sin φ1 ⎠ ⎝ n2 ⎠ ⎥⎦
0.2 0.1 0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
Sudut datang 27
90
3.4 Gelombang evanesen Berkas cahaya transmisi: E 2 ∝ e
r r i (ω t − k 2 .r )
r r k 2 .r = k 2 ( z sin θ 2 + x cos θ 2 ) n2 sinθ 2 = n1 sinθ1
k 2 sinθ 2 = k1 sinθ1
Saat berlangsung refleksi total:
E2 z
cos θ 2 = 1 − (sin θ1 / sin θ c ) = −i (sin θ1 / sin θ c ) − 1 2
2
q = ik 2 cosθ 2 = k 2 [(sin θ1 / sin θ c ) 2 − 1]1 / 2 > 0
E2 ∝ e
− qx
e
i ( ω t − k1 z sin θ 1 )
x
e −qx
n1 = 1 .7 , n 2 = 1 .4, λ = 630 nm → q = 7 .388 x 10 5 m −1 . Untuk qx = 1 → x = 1 .35 μ m
E2 menjalar diperbatasan sepanjang sb-z, dengan amplitudo yang mengalami pengecilan eksponensial terhadap x. Gelombang ini disebut gelombang evanesen.
28
E2 ∝ e r H2 = r S =
r r i (ω t − k 2 .r )
i
ωμ o 1
r ∇ xE 2 =
1
ωμ o
r r 2 Re[ E x H *] =
r r k 2 xE 2 1 2 ωμ
o
r r ⎡ Re k 2 E 2 ⎢⎣
2
⎤ e − 2 qx ⎥⎦
Harga rata-rata komponen-x dari vektor poynting: Sx =
1 2 ωμ
o
r r ⎡ Re xˆ . k 2 E 2 ⎢⎣
2
⎤ e − 2 qx ⎥⎦
r k 2 = k 2 ( zˆ sin θ 2 + xˆ cos θ 2 ) r xˆ . k 2 = k 2 xˆ . ( zˆ sin θ 2 + xˆ cos θ 2 ) = k 2 cos θ 2
xˆ
zˆ
= − ik 2 (sin θ 1 / sin θ c ) 2 − 1 = − iq Sx = 0
Artinya, pada saat refleksi total tidak ada transmisi cahaya melalui perbatasan. 29
3.5 Reflektans permukaan bahan penyerap Bahan penyerap seperti logam mempunyai indeks bias kompleks: n = n '− in " n1 = 1; n2 = n2' − in2" ' " Snellius: sin θ1 = (n2 − in2 ) sin θ 2
n1
θ2
n2
1.005
z
n1 cos θ 1 − n 2 cos θ 2 n1 cos θ 1 + n 2 cos θ 2
n cos θ 2 − n 2 cos θ 1 rp = 1 n1 cos θ 2 + n 2 cos θ 1
Reflektans
rs =
n2=0.05-i 2.87 (Ag 500 nm)
0.995
x Koefisien refleksi:
n1=1.0
1
0.99
s
θ1
0.985 0.98 0.975
p
0.97 0.965 0.96
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Sudut datang 30
Surface Plasmon 1
Pada sudut di mana reflektans gelombang-p minimum, foton-foton cahaya dari gelombang evanesen terpakai untuk menggerakkan elektron-elektron bebas di permukaan logam; dengan itu terbentuk gelombang kerapatan elektron.
Reflectance
0.98 0.96
s
0.94 0.92
p
0.9 0.88 0
20 40 60 Incident angle (degree)
80
Gelombang kerapatan elektron ini disebut surface plasmon.
Karena frekuensi foton sama dengan frekuensi eigen plasmon, maka fenomena ini disebut Surface Plasmon Resonance (SPR).
31
Penjelasan Surface Plasmon r r E H selubung x=-d x=0
Tinjau gelombang-s (TE): n1
teras
ncore
selubung
n2
z
E y ( x , z , t ) = E y ( x ) e i (ω t − β z ) β=komponen-z dari vektor gelombang.
x 2 2 2 E ∂ E y n 2ω 2 ∂ n y 2 2 0 + ( − β )E y = 0 = → ∇ Ey − 2 2 2 c2 ∂ t ∂x c
n 2ω 2 2 − β > 0 → Solusi merupakan gelombang menjalar. 2 c n 2ω 2 2 − β < 0 → Solusi merupakan fungsi eksponensial menurun 2 c Jadi, agar gelombang menjalar dalam teras, maka selain TIR juga harus dipenuhi: 2 ω2 n core n12 ω 2 n 22 ω 2 2 , 2 <β < c2 c c2
32
Dengan menggunakan syarat kontinuitas di x=0 dan x=-d dari Ey dan Hz, akan diperoleh solusi persamaan gelombang:
⎧Ce − px ; x>0 ⎪ −d < x<0 E y ( x) = ⎨C[cos hx − ( p / h) sin hx], ⎪C[cos hd + ( p / h) sin hd ]e q ( x + d ) , x < −d ⎩
h=
( n core ω / c ) 2 − β 2 ;
tg hd =
q=
β 2 − ( n 1ω / c ) 2 ;
p=
β 2 − (n 2ω / c ) 2
p+q h(1 − pq / h 2 )
33
Tinjau gelombang-p (TM):
H y ( x , z , t ) = H y ( x ) e i (ω t − β z )
Ex ( x, z, t ) =
i
ωε
Ez ( x, z, t ) = −
∂z Hy
i
ωε
∂xHy
Dengan menggunakan syarat kontinuitas di x=0 dan x=-d dari Hy dan Ez, akan diperoleh solusi persamaan gelombang:
⎧ − ( h / p )Ce − px ; x>0 ⎪ H y ( x ) = ⎨C [ − ( h / p ) cos hx + sin hx ], −d < x<0 ⎪ − C [( h / p ) cos hd + sin hd ]e q ( x + d ) , x < −d ⎩ tg hd =
h( p + q ) ; p = ( ncore / n 2 ) 2 p; 2 h − pq
q = ( ncore / n1 ) 2 q 34
Sistem 2-lapisan, d=0: x 0
n1 n2
z
Gel − s : p + q = 0 tidak mungkin terjadi karena p, q > 0 Gel− p :
p q + 2 = 0; 2 n2 n1
Karena n12 > 0 maka n22 < 0 → n 2 imajiner (?) 1/ 2
⎛ n12 n22 ⎞ β = ⎜⎜ 2 2 ⎟⎟ ⎝ n1 + n2 ⎠
ω c
2
− n24 ⎛ ω ⎞ − n14 ⎛ ω ⎞ 2 2 p = 2 2⎜ ⎟ ; q = 2 2⎜ ⎟ n1 + n2 ⎝ c ⎠ n1 + n2 ⎝ c ⎠
2
Karena β > 0 → n12 + n 22 < 0 35
⎧C e qx e i (ω t − β z ) x ≤ 0 ⎪ H y ( x, z , t ) = ⎨ ⎪C e − px e i (ω t − β z ) x ≥ 0 ⎩
⎧ β qx i (ω t − β z ) Ce e x≤0 ⎪ n 2ωε ⎪ 1 o E x ( x, z, t ) = ⎨ ⎪ β Ce− px e i (ω t −β z ) x ≥ 0 ⎪⎩ n22ωε o ⎧ iq qx i (ω t − β z ) Ce e x≤0 ⎪ n 2ωε ⎪ 1 o E z ( x, z , t ) = ⎨ ⎪− ip Ce − px e i (ω t − β z ) x ≥ 0 ⎪⎩ n22ωε o 36
Komponen2 Ex dan Ez membentuk polarisasi ellips di atas bidang-xz dekat dengan batas dielektrik-logam.
Ketiga komponen medan menjalar di perbatasan dielektrik/ logam sepanjang sbz; amplitudo masing2 mengecil secara eksponensial di dalam dielektrik dan logam.
Karena p>q>0, maka amplitudo itu lebih cepat padam di dalam logam.
E(x<0) E(x>0)
z
x
n1 n2 x
eqx z
−px
e
37
Kebanyakan logam memiliki tetapan dielektrik (n2) yang kompleks. Penjalaran gelombang permukaan pada perbatasan antara logam dan bahan dielektrik mengalami hambatan ohmik. Oleh sebab itu penjalaran akan mengalami atenuasi sepanjang sumbu-z.
n2 = n2′ − in2′′ → n22 = n2′ 2 − n2′′ 2 − i 2n2′ n2′′ ⎛ n n 2 1
2 2
⎞
⎟ β = ⎜⎜ 2 2 ⎟ ⎝ n1 + n 2 ⎠
1/ 2
ω c
→ β = β ′ − iβ ′′
38
⎡ n ( n ′ − n ′′ ) ⎤ β′ = ⎢ 2 2 2 2 2 ⎥ ⎣ n1 + ( n 2′ − n 2′′ ) ⎦ 2 1
2
2
1/ 2
ω c
; β ′′ =
Konstanta penjalaran sepanjang sb-z.
[(n′
2
n 2′ n 2′′n13 2
− n 2′′ 2 )( n12 + n 2′ 2 − n 2′′ 2 ) 3
]
1/ 2
ω c
Konstanta atenuasi sepanjang sb-z.
qx ⎧ e ⎪ H y , E x , E z ∝ e − β ′′ z ⎨ − px ⎪⎩ e
x≤ 0 x≥ 0
qx
e n1
z
n2 x
−px
e
39
3.6 Lapisan homogen dan isotropik r Tinjau gelombang-s (TE): H r E
n1
x=-d/2
n2
x=d/2
β=komponen-z dari vektor gelombang.
n3
x k ix =
z
r E y ( x , z , t ) = yˆ E y ( x ) e i ( ω t − β z )
(niω / c) 2 − β 2
⎧ Ae − ik1 x x + Be ik1 x x , x < − d / 2 ⎪ E y ( x) = ⎨Ce −ik 2 x x + De ik 2 x x , − d / 2 < x < d / 2 ⎪ −ik3 x x , x > d /2 ⎩ Fe = (ω / c ) n i cos θ i
Medan magnet bisa ditentukan dengan:
r H =
i
ωμ o
r ∇ x Ey
H x ( x, z , t ) = − H z ( x, z , t ) =
β E y ( x ) e i (ω t − β z ) ; ωμ o i
ωμ o
∂ x E y ( x ) e i (ω t − β z ) 40
H z ( x, z, t ) =
i
ωμ o
∂ x E ( x ) e i (ω t − β z ) = H z ( x ) e i (ω t − β z )
⎧ k1 x ( Ae −ik1 x x − Be ik1 x x ), x < − d / 2 ⎪ ⎪ ωμ o ⎪⎪ k H z ( x ) = ⎨ 2 x (Ce −ik 2 x x − De ik 2 x x ), − d / 2 < x < d / 2 ⎪ ωμ o ⎪ k3x Fe −ik3 x x , x > d /2 ⎪ ⎪⎩ ωμ o Kontinuitas Ey dan Hz berlaku di x=0 dan x=d:
A+ B = C + D k1x ( A − B) = k 2 x (C − D) Ce−ik2 x d + Deik2 x d = F k 2 x (Ce−ik2 x d − Deik2 xd ) = k3x F 41
F=A
(k1x + k 2 x )(k 2 x
4k1x k 2 x e − ik 2 x d + k 3 x ) + ( k1x − k 2 x )(k 2 x − k 3 x )e −i 2 k 2 x d
( k1x − k 2 x )(k 2 x + k 3 x ) + (k1x + k 2 x )(k 2 x − k 3 x )e − i 2 k 2 x d B=A ( k1x + k 2 x )(k 2 x + k 3 x ) + ( k1x − k 2 x )(k 2 x − k 3 x )e −i 2 k 2 x d
Koefisien refleksi dan transmisi sistem 3-lapisan di atas B F r= ; t= A A
Koefisien refleksi 2-lapisan:
r12 =
k1 x − k 2 x k − k3x ; r23 = 2 x k1 x + k 2 x k 2 x + k3x
2 n1 n 2 k 1 x t = Koefisien transmisi 2-lapisan: 12 n 2 k + n 2 k ; 1 2x 2 1x
t 23 =
2n 2 n3 k 2 x n 22 k 3 x + n 32 k 2 x 42
Jadi untuk sistem 3-lapisan di atas:
B (k1x − k 2 x )(k 2 x + k3 x ) + (k1x + k 2 x )(k 2 x − k3 x )e −i 2k2 x d r= = A (k1x + k 2 x )(k 2 x + k3 x ) + (k1x − k 2 x )(k 2 x − k3 x )e −i 2k2 x d r12 + r23e −i 2k2 x d = 1 + r12 r23e −i 2k2 x d
4k1x k 2 x e −ik2 x d F t= = A (k1x + k 2 x )(k 2 x + k3 x ) + (k1x − k 2 x )(k 2 x − k3 x )e −i 2k2 x d t12 + t 23e −ik2 x d = 1 + r12 r23e −i 2k2 x d Untuk gel-p, rumusan di atas tetap berlaku dengan: r12
n12 k 2 x − n 22 k 2 x = 2 n1 k 2 x + n 22 k 2 x
t12 =
2 n1 n 2 k 1 x n12 k 2 x + n 22 k 1 x
r23
n 22 k 3 x − n 32 k 2 x = 2 n 2 k 3 x + n 32 k 2 x
t 23 =
2n 2 n3 k 2 x n 22 k 3 x + n 32 k 2 x 43
Reflektans, transmittans dan absorptans: 2
R= r ;
T =
n 3 cos θ 3 2 t ; n1 cos θ 1
A = 1 − (R + T )
n1 sin θ1 = n2 sin θ 2 = n3 sin θ 3
44
3.7 Attenuation Total Reflection (ATR) Gunakan gelombang-p
θ1 n1
θ2
d
n2
θ3 x
n3
r12p + r 23p e − i 2 φ r = 1 + r12p r 23p e − i 2 φ R = r φ=
2π
λ
2
n 2 d cos θ 2
45
n1 cosθ 2 − n2 cosθ1 r12 = n1 cosθ 2 + n2 cosθ1 n2 cosθ 3 − n3 cosθ 2 r23 = n2 cosθ 3 + n3 cosθ 2 ⎛ n1 ⎞ cos θ 2 = 1 − ⎜⎜ sin θ 2 ⎟⎟ ⎝ n2 ⎠
2
⎛ n2 ⎞ ⎜ cos θ 3 = 1 − ⎜ sin θ 2 ⎟⎟ ⎝ n3 ⎠
2
Dengan rumusan di atas telah dibuat program komputer untuk R.
46
Hasil-hasil perhitungan: 1.4
1.4
1
Reflektans
1
1.2
Reflektans
1.2
n1=1.723 n2=1.6 n3=1
0.8
0.6
0.8
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 0
90
θ1 n2
10
20
30
40
50
60
70
80
Sudut datang
Sudut datang
λ=633 nm
n1=1.723 n2=2.0 n3=1
n1 d=50nm
n3 47
90
Surface plasmon
1
n2
n1
0.8
d
n3
n1=1.723 n2=0.173+i 3.422 (Au pada 633nm) d=50 nm n3=1
Reflectance
θ1
0.6 0.4 0.2 0 0
20
40 60 80 Incident angle (degree)
100
48
1
Reflectance
0.8 0.6
n3=1 0.4 0.2 0 35
36
37 38 39 Incident angle (degree)
40
49
1
Reflectance
0.8 0.6 0.4
n3=1.005
0.2 0 35
36
37 38 39 Incident angle (degree)
40
50
IV. MEDIA BERLAPIS ISOTROPIK 4.1 Perumusan Matriks
z
Perhatikan lapisan medium dielektrik ini.
n1
Karena setiap lapisan itu homogen sepanjang sumbu-z, maka gelombang bidang yang memenuhi persamaan Maxwell adalah (untuk gel-s):
A1
A’2
A2
A’3
B1
B’2
B2
B’3
n2
x=0
n3
x=d
x
E y ( x , z , t ) = E y ( x ) e i (ω t − β z ) βadalah komponen-z dari vektor gelombang. Untuk gel-p, ganti Ey dengan Hy. Ey(x) dapat dinayatakan sebagai superposisi gelombang menjalar ke kanan dan ke kiri; pada setiap lapis berlaku:
E y ( x ) = R e − ik x x + L e ik x x = A( x ) + B ( x ) di setiap perbatasan dua medium 51
Sesuai dengan rumusan refleksi-transmisi (hal.19): ' ' ' ⎛ A1 ⎞ ~ −1 ~ ⎛ A2 ⎞ ~ ⎛ A2 ⎞ ~ ⎛ A1 ⎞ ~ ⎛⎜ A2 ⎞⎟ D1 ⎜⎜ ⎟⎟ = D 2 ' → ⎜⎜ ⎟⎟ = D1 D 2 ⎜ ' ⎟ = D12 ⎜ ' ⎟ ⎜B ⎟ ⎜B ⎟ ⎜B ⎟ ⎝ B1 ⎠ ⎝ B1 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ' ' ' ⎛ A2 ⎞ ~ −1 ~ ⎛ A3 ⎞ ~ ⎛ A3 ⎞ ~ ⎛ A2 ⎞ ~ ⎛⎜ A3 ⎞⎟ D 2 ⎜⎜ ⎟⎟ = D3 ' → ⎜⎜ ⎟⎟ = D 2 D3 ⎜ ' ⎟ = D 23 ⎜ ' ⎟ ⎜B ⎟ ⎜B ⎟ ⎜B ⎟ ⎝ B2 ⎠ ⎝ B2 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠
Penjalaran: ⎛ A2' ⎞ ~ ⎛ A2 ⎞ ⎜ ⎟ = P2 ⎜ ⎟ ⎜B ⎟ ⎜ B' ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
Secara keseluruhan:
z n1
n2
n3
A1
A’2
A2
A’3
B1
B’2
B2
B’3
x=0
x=d
x
' ' ⎛ A1 ⎞ ~ −1 ~ ~ ~ −1 ~ ⎛ A3 ⎞ ~ ~ ~ ⎛ A3 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = D1 D 2 P2 D 2 D 2 ⎜ ' ⎟ = D12 P2 D 23 ⎜ ' ⎟ ⎜B ⎟ ⎜B ⎟ ⎝ B1 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠
52
⎧⎛ 1 ⎪⎜⎜ ~ ⎪⎝ ni cosθ i Di = ⎨ ⎪ ⎛⎜ cosθ i ⎪⎜ n ⎩⎝ i i = 1, 2, 3
iφ2
~ ⎛⎜ e P2 = ⎜0 ⎝
β = ni
ω c
1 ⎞ ⎟ − ni cosθ i ⎟⎠ cosθ i ⎞ ⎟⎟ − ni ⎠
untuk gel − s untuk gel − p
0 ⎞ ⎟ −iφ2 ⎟ e ⎠
sin θ i ,
k ix = n i
ω c
cos θ i ,
φ2 = k2x d
53
Catatan: ~ CT ~ −1 ~ ~ ~ −1 D D = I (identitas ) → D = ~ det D
~ ~ C T = Tranpos dari C
(C~ ) T
ji
= cij
cij = kofaktor dari d ij ⎛ d11 d12 d13 ⎞ ⎟ ~ ⎜ Misalkan D = ⎜ d 21 d 22 d 23 ⎟ ⎜d d d ⎟ ⎝ 31 32 33 ⎠
Kofaktor dari dij=(-1)i+j Mij; Mij =minor dari dij. Kofaktor dari d12= - M12
Kofaktor dari d31= M31
M 12 =
M 31 =
d 21 d 23 d 31 d 33 d 12 d 13 d 22 d 23
c12 = −
c 31 =
d 21 d 23 d 31 d 33
d 12 d 13 d 22 d 23
( )
= CT
21
( )
= CT
13
54
Gel-s:
~ ⎛ 1 Di = ⎜⎜ ⎝ ni cosθ i
1 ⎞ ~ ⎛ − ni cosθ i ⎟ → C = ⎜⎜ − ni cosθ i ⎟⎠ ⎝ −1
⎛ − ni cosθ i ~ C T = ⎜⎜ ⎝ − ni cosθ i
−1 ⎞ ⎟ 1 ⎟⎠
~ Di−1 = −
− ni cosθ i ⎞ ⎟⎟ 1 ⎠
1 2ni cosθ i
⎛ − ni cosθ i ⎜⎜ ⎝ − ni cosθ i
−1 ⎞ ⎟⎟ 1⎠
Gel-p: ~ ⎛ cosθ i Di = ⎜⎜ ⎝ ni ⎛ − ni ~ C T = ⎜⎜ ⎝ − ni
Cek:
cosθ i ⎞ ~ ⎛ − ni ⎟⎟ → C = ⎜⎜ − ni ⎠ ⎝ − cosθ i − cosθ i ⎞ ⎟ cosθ i ⎟⎠ ⎛1 ~ ~ D i−1 D i = ⎜⎜ ⎝0
~ Di−1 = −
− ni
⎞ ⎟⎟ cosθ i ⎠
1 2ni cosθ i
⎛ − ni − cosθ i ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ cosθ i ⎠ ⎝ − ni
0⎞ ⎟ 1 ⎟⎠ 55
⎛1⎛ ⎜ ⎜1 + ~ ~ −1 ~ ⎜ 2 ⎜⎝ D12 = D1 D2 = ⎜ ⎜ 1 ⎛⎜1 − ⎜2⎜ ⎝ ⎝
⎞ 1⎛ ⎟⎟ ⎜⎜1 − 2 ⎠ ⎝ n 2 cos θ 2 ⎞ 1 ⎛ ⎟⎟ ⎜⎜1 + n1 cos θ 1 ⎠ 2 ⎝
⎛1⎛ ⎜ ⎜1 + ⎜ ~ ~ −1 ~ ⎜ 2 ⎝ D12 = D1 D2 = ⎜ ⎜ 1 ⎛⎜ 1 − ⎜2⎜ ⎝ ⎝
n 2 cos θ 1 ⎞ ⎟⎟ n1 cos θ 2 ⎠
n 2 cos θ 2 n1 cos θ 1
n 2 cos θ 1 n1 cos θ 2
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎞⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎠⎟ ⎟ n 2 cos θ 2 ⎞ ⎟ ⎟⎟ n1 cos θ 1 ⎠ ⎟⎠ n 2 cos θ 2 n1 cos θ 1
n cos θ 1 ⎞ ⎞ 1⎛ ⎜⎜ 1 − 2 ⎟⎟ ⎟ n1 cos θ 2 ⎠ ⎟ 2⎝ ⎟ ⎛ ⎞ n cos θ 1 ⎟ 1 ⎜⎜ 1 + 2 ⎟⎟ 2⎝ n1 cos θ 2 ⎠ ⎟⎠
gel − s
gel − p
56
4.2 Perumusan untuk Sistem Multilapis no
n1 n2
Ao
A1 A2
Bo
B1 B2
xo
x1 d1
⎧no , ⎪n , ⎪1 ⎪⎪n2 , n( x) = ⎨ ⎪.... ⎪nN , ⎪ ⎪⎩ns ,
nN-1 …….
ns
AN-1 AN
A’s
BN-1 BN
B’s
x2 ……. d2
xN-1 dN-1
x < xo xo < x < x1 x1 < x < x2 ................ xN −1 < x < xN xN < x.
nN
xN
x
dN
d1 = x1 − xo d 2 = x2 − x1 .... d N = x N − x N −1 N=jumlah lapisan 57
Misalkan solusi persamaan gelombang adalah gelombang bidang:
E = E ( x )e i (ω t − β z ) ⎧ Ao e − ik ox x ( x − x o ) + Bo eik ox x ( x − x o ) , x < xo ⎪ − ik lx x ( x − xl ) E ( x ) = ⎨ Al e + Bl eik lx x ( x − xl ) , xl −1 < x < xl , l = 1, 2, ......, N ⎪ − ik sx x ( x − x s ) ik sx x ( x − x s ) A ' e B ' e , x N < x. + s ⎩ s
k lx = n l
ω c
2
cos θ l =
⎛ Ao ⎞ ~ −1 ~ ⎛ A1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = Do D1 P1 ⎜⎜ ⎟⎟; ⎝ B1 ⎠ ⎝ Bo ⎠
⎛ ω⎞ 2 ⎜ n l ⎟ − β , l = 0 , 1, 2 , 3 ...., N , s ⎝ c⎠
⎛ Al ⎞ ~ −1 ~ ⎛ Al +1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = Dl Dl +1 Pl +1 ⎜⎜ ⎟⎟; B B ⎝ l⎠ ⎝ l +1 ⎠
⎛ A N ⎞ ~ −1 ~ ⎛ A' s ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = DN Ds ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ BN ⎠ ⎝ B' s ⎠
58
⎛ Ao ⎞ ⎛ M11 ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ Bo ⎠ ⎝ M 21
⎛ M11 ⎜⎜ ⎝ M 21
M 12 ⎞⎛ As' ⎞ ⎟⎟⎜ ' ⎟ M 22 ⎠⎜⎝ Bs ⎟⎠
M12 ⎞ ~ −1 ⎛ N ~ ~ ~ −1 ⎞ ~ ⎟⎟ = Do ⎜⎜ ∏ Dl Pl Dl ⎟⎟ Ds M 22 ⎠ ⎝ l =1 ⎠
⎧⎛ 1 1 ⎞ ⎜ ⎟⎟ untuk gel − s ⎪⎜ ⎪⎝ nl cosθ l − nl cosθ l ⎠ ~ ⎪ Dl = ⎨ ⎪ cosθ cosθ l ⎞ l ⎪⎛⎜ ⎟⎟ untuk gel − p ⎪⎩⎜⎝ nl − nl ⎠ l = 1, 2, ......, N
iφl
~ ⎛e Pl = ⎜ ⎜0 ⎝
0 ⎞ ⎟ −iφl ⎟ e ⎠
φ l = k lx d l
59
Untuk 3 lapisan n1 n2
n3
A1 A2
A3
B1 B2
B3
d
⎛ A1 ⎞ ⎛ M 11 ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ B1 ⎠ ⎝ M 21
x
⎛ M11 ⎜⎜ ⎝ M 21
M12 ⎞⎛ A3 ⎞ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ M 22 ⎠⎝ B3 ⎠
M 12 ⎞ ~ −1 ~ ~ ~ −1 ~ ⎟⎟ = D1 D2 P2 D2 D3 M 22 ⎠
M 11 =
⎛ n cos θ 2 n3 cos θ 3 1 ⎛ n3 cos θ 3 ⎞ 1 ⎟⎟ cos φ + i sin φ ⎜⎜ 2 ⎜⎜1 + + 2⎝ 2 n1 cos θ 1 ⎠ ⎝ n1 cos θ1 n 2 cos θ 2
⎞ ⎟⎟ ⎠
M 12 =
⎛ n cos θ 2 n3 cos θ 3 1 ⎛ n3 cos θ 3 ⎞ 1 ⎟⎟ cos φ + i sin φ ⎜⎜ 2 ⎜⎜1 − − 2⎝ 2 n1 cos θ 1 ⎠ ⎝ n1 cos θ1 n 2 cos θ 2
⎞ ⎟⎟ ⎠
M 21=
⎛ n cos θ 2 n3 cos θ 3 1 1 ⎛ n3 cos θ 3 ⎞ ⎟⎟ cos φ − i sin φ ⎜⎜ 2 ⎜⎜1 − − 2⎝ 2 n1 cos θ1 ⎠ ⎝ n1 cos θ1 n 2 cos θ 2
M 22 =
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎛ n cos θ 2 n3 cos θ 3 1 ⎛ n3 cos θ 3 ⎞ 1 ⎟⎟ cos φ − i sin φ ⎜⎜ 2 ⎜⎜1 + + 2⎝ n1 cos θ1 ⎠ 2 ⎝ n1 cos θ1 n 2 cos θ 2
Gel-s
⎞ ⎟⎟ ⎠ 60
M 11
⎛ n2 cos θ 3 n3 cos θ 2 ⎞ 1 ⎛ cos θ 3 n3 ⎞ 1 ⎟⎟ ⎟ ⎜ + = ⎜ + ⎟ cos φ + i sin φ ⎜⎜ 2 ⎝ cos θ1 n1 ⎠ 2 ⎝ n1 cos θ 2 n 2 cos θ1 ⎠
M 12
⎛ n2 cos θ 3 n3 cos θ 2 ⎞ 1 1 ⎛ cos θ 3 n3 ⎞ ⎟⎟ ⎟ − = ⎜⎜ − ⎟ cos φ + i sin φ ⎜⎜ 2 2 ⎝ cos θ 1 n1 ⎠ ⎝ n1 cos θ 2 n 2 cos θ1 ⎠
M 21=
⎛ n cos θ 3 n3 cos θ 2 ⎞ 1 ⎛ cos θ 3 n3 ⎞ 1 ⎟⎟ ⎜⎜ − − ⎟⎟ cos φ − i sin φ ⎜⎜ 2 2 2 ⎝ cos θ1 n1 ⎠ ⎝ n1 cos θ 2 n 2 cos θ1 ⎠
M 22 =
Gel-p
⎛ n cos θ 3 n3 cos θ 2 ⎞ 1 ⎛ cos θ 3 n3 ⎞ 1 ⎟⎟ ⎜⎜ + + ⎟⎟ cos φ − i sin φ ⎜⎜ 2 2 ⎝ cos θ1 n1 ⎠ 2 ⎝ n1 cos θ 2 n 2 cos θ 1 ⎠
Koefisien refleksi dan transmissi: r=
M 21 M → R = 21 M11 M11
t=
n cosθs 1 1 →T = s M11 no cosθo M11 61
Sistem lapisan ¼ gelombang
N pasangan lapisan dengan n1d1=n2d2=λ/4
1 no
⎛ M11 ⎜⎜ ⎝ M 21
2 ……………. N
n1 n2
n1 n2
d1 d2
d1 d2
[
ns
]
M 12 ⎞ ~ −1 ~ ~ ~ −1 ~ ~ ~ −1 N ~ ⎟⎟ = Do D1 P1 D1 D2 P2 D2 Ds M 22 ⎠
62
V. MEDIA BERLAPIS PERIODIK 1-D 5.1 Media berlapis periodik 1-dimensi
Kristal fotonik 1-D
n1 n2
n1 n2
n1 n2
n1 n2
n1 n2
n1 n2
d1 d2
d1 d2
d1 d2
d1 d2
d1 d2
d1 d2 x
a n −1 c n a n bn −1 d n bn x=(n-2)Λ
x=(n-1)Λ
x=nΛ
unit sel ke-n
n( x ) = n ( x + Λ );
Λ = d1 + d 2 = perioda
63
Misalkan solusi persamaan gelombang: E = E ( x ) e i (ω t − β z )
⎧⎪ane−ik1x ( x−nΛ) + bneik1x ( x−nΛ) ; nΛ − d1 < x < nΛ E( x) = ⎨ −ik ( x−nΛ) ⎪⎩cne 2 x + dneik2 x ( x−nΛ) ; (n −1)Λ < x < nΛ − d1 2
nω ⎛ nω ⎞ kix = ⎜ i ⎟ − β 2 = i cosθi ; i = 1,2 c ⎝ c ⎠
⎛ a n −1 ⎞ ~ −1 ~ ~ ⎛ c n ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = D1 D2 P2 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ bn −1 ⎠ ⎝ dn ⎠
⎛ cn ⎞ ~ −1 ~ ⎛ an ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = D2 D1 P1 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ dn ⎠ ⎝ bn ⎠
⎛ e ik1 x d1 0 ⎞ ⎟ P1 = ⎜ ⎜ 0 e − ik1 x d1 ⎟ ⎠ ⎝
⎛ e ik 2 x d 2 0 ⎞ ⎟ P2 = ⎜ ⎜ 0 e − ik 2 x d 2 ⎟ ⎠ ⎝
64
Untuk gelombang-s:
⎛ ik 2 x d 2 ⎛ ⎛ k ⎞ ⎜e ⎜⎜1 + 2 x ⎟⎟ e − ik 2 x d 2 ⎜⎜1 − k1 x ⎠ ⎛ a n −1 ⎞ 1 ⎜ ⎝ ⎝ ⎟⎟ = ⎜ ⎜⎜ k 2 x ⎞ − ik 2 x d 2 ⎛ ⎝ bn −1 ⎠ 2 ⎜ ik 2 x d 2 ⎛ ⎜⎜1 + ⎟⎟ e ⎜⎜1 − ⎜e k1 x ⎠ ⎝ ⎝ ⎝
k2 x k1 x
⎞ ⎟⎟ ⎠ k2 x ⎞ ⎟⎟ k1 x ⎠
⎞ ⎟ ⎟⎛ c n ⎞ ⎟⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎝ d n ⎠ ⎟ ⎠
⎛ ik1 x d 1 ⎛ k1 x ⎞ − ik 1 x d 1 ⎛ ⎜e ⎜⎜1 − ⎟⎟ e ⎜⎜1 + k2 x ⎠ ⎛ cn ⎞ 1 ⎜ ⎝ ⎝ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ k1 x ⎞ − ik1 x d 1 ⎛ ⎝ d n ⎠ 2 ⎜ ik1 x d 1 ⎛ ⎜⎜1 + ⎜ ⎜1 − k ⎟⎟ e ⎜e 2x ⎠ ⎝ ⎝ ⎝
k1 x k2 x
⎞ ⎟⎟ ⎠ k1 x ⎞ ⎟⎟ k2 x ⎠
⎞ ⎟ ⎟⎛ a n ⎞ ⎟⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎝ bn ⎠ ⎟ ⎠
⎛ a n −1 ⎞ ⎛ A ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ bn − 1 ⎠ ⎝ C
B ⎞⎛ a n ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ D ⎠ ⎝ bn ⎠ 65
⎛ a n −1 ⎞ ⎛ A ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ bn − 1 ⎠ ⎝ C
A=e
ik1 x d1
B=e
B ⎞⎛ a n ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ D ⎠ ⎝ bn ⎠
⎛A ⎜⎜ ⎝C
B⎞ ⎟⎟ disebut matriks translasi unit sel D⎠
−ik1 x d1
⎡ ⎛ k2 x k1x ⎞ ⎤ 1 i⎜ ⎟ sin k2 x d2 ⎥; − ⎢2⎜ ⎟ ⎣ ⎝ k1x k2 x ⎠ ⎦
⎡ ⎤ ⎛ k2 x k1x ⎞ 1 ⎟⎟ sin k2 x d2 ⎥ C =e − ⎢− 2 i⎜⎜ ⎝ k1x k2 x ⎠ ⎣ ⎦ ⎡ ⎛k k ⎞ −ik1 x d1 1 i⎜ 2 x + 1x ⎟ sin k D=e cos k d − ⎢ 2 ⎜ 2x 2 2x ⎟ k k 2x ⎠ ⎝ 1x ⎣ ik1 x d1
⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎤ d ⎥⎪ ⎦⎭
⎡ ⎤ ⎛ k2 x k1x ⎞ 1 ⎟⎟ sin k2 x d2 ⎥; + ⎢cos k2 x d2 + 2 i⎜⎜ ⎝ k1x k2 x ⎠ ⎣ ⎦
AD − BC = 1
2
Matriks translasi itu menghubungkan medan-medan dari dua lapisan yang sama maka AD-BC=1.
66
Untuk gelombang-p: 2 2 ⎡ ⎤ ⎞ ⎛ n k n ik1xd1 1 2x 2 k1x 1 A=e ⎢cos k2 x d 2 + 2 i⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ sin k2 x d 2 ⎥; ⎝ n2 k1x n1 k2 x ⎠ ⎣ ⎦
B=e
−ik1xd1
C =e
ik1x d1
D=e
⎡ ⎛ n22 k1x n12 k2 x ⎢ 1 2 i⎜⎜ 2 − 2 ⎣ ⎝ n1 k2 x n2 k1x
⎤ ⎞ − ⎟⎟ sin k2 x d 2 ⎥; ⎠ ⎦
2 2 ⎡ ⎛ n k n k 1 i⎜ 2 1 x − 1 2 x − ⎢ 2⎜ 2 2 n k n 2 k1x ⎝ 1 2x ⎣
−ik1xd1
⎤ ⎞ − ⎟⎟ sin k2 x d 2 ⎥ ⎠ ⎦
2 2 ⎤ ⎡ ⎛ n k n k1x ⎞ 1 2 2 x 1 ⎢cos k2 x d 2 − 2 i⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ sin k2 x d 2 ⎥ ⎝ n2 k1x n1 k2 x ⎠ ⎦ ⎣
67
⎛ a n −1 ⎞ ⎛ A ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ bn − 1 ⎠ ⎝ C
B ⎞⎛ a n ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ D ⎠ ⎝ bn ⎠
⎛ ao ⎞ ⎛ A ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ bo ⎠ ⎝ C ⎛ a1 ⎞ ⎛ A ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ b1 ⎠ ⎝ C
B ⎞ ⎛ a1 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ D ⎠ ⎝ b1 ⎠ B ⎞⎛ a 2 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ D ⎠ ⎝ b2 ⎠
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
⎛ ao ⎞ ⎛ A ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ bo ⎠ ⎝ C −2
⎛ a2 ⎞ ⎛ A ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ b2 ⎠ ⎝ C
B⎞ ⎟⎟ D⎠
⎞ ⎛A ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎠ ⎝C
B⎞ ⎟⎟ D⎠
⎛ aN ⎜⎜ ⎝ bN
B⎞ ⎟⎟ D⎠
2
⎛ a2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ b2 ⎠
⎛ ao ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ bo ⎠
−N
− B⎞ ⎛ ao ⎞ ⎛ D ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ A⎠ ⎝ bo ⎠ ⎝ − C
N
⎛ ao ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ bo ⎠ 68
5.2 Gelombang Bloch dan struktur pita Mengambil konsep zat padat, medium periodik ekivalen dengan kisi 1-dimensi yang invarian terhadap translasi kisi.
n( x ) = n( x + Λ ); Λ = perioda Berdasarkan teorema Floquet, solusi persamaan gelombang untuk medium berlapis periodik adalah:
E K ( x , z ) = E K ( x ) e − iβ z e − iKx di mana
EK (x + Λ) = EK (x) Indeks K menyatakan fungsi EK(x) bergantung pada K. Konsanta K disebut bilangan gelombang Bloch. 69
Menentukan K dan EK(x)
E K ( x , z ) = E K ( x ) e − iβ z e − iKx E K ( x + Λ , z ) = E K ( x + Λ ) e − iβ z e − iK ( x + Λ ) = E K ( x ) e − iβ z e − iK ( x + Λ ) = E K ( x ) e − iβ z e − iKx e − iK Λ = E K ( x , z ) e − iK Λ Dalam bentuk matriks,
⎛a ⎞ ⎛a ⎞ ⎛ an ⎞ −iKΛ ⎛ an −1 ⎞ ⎟⎟ atau ⎜⎜ n −1 ⎟⎟ = eiKΛ ⎜⎜ n ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = e ⎜⎜ ⎝ bn ⎠ ⎝ bn −1 ⎠ ⎝ bn −1 ⎠ ⎝ bn ⎠ Tapi,
⎛ a n −1 ⎞ ⎛ A ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ bn − 1 ⎠ ⎝ C
B ⎞⎛ a n ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ D ⎠ ⎝ bn ⎠
70
⎛A ⎜⎜ ⎝C
a B ⎞⎛ a n ⎞ iK Λ ⎛ n ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = e ⎜⎜ ⎟⎟ D ⎠ ⎝ bn ⎠ ⎝ bn ⎠
Jadi, exp(iKΛ) adalah harga eigen dari matriks translasi. Untuk itu berlaku:
A − e iK Λ
B D−e
C
=0
iK Λ
Jadi, harga-harga eigen itu adalah
e iK Λ =
1
2 ( A + D) ±
cos K Λ =
1
2
1
2 ( A + D ) −1 4
( A + D)
1 K = cos −1 [1 2 ( A + D ) ] Λ
71
Selanjutnya, dengan vektor-vektor eigen ditentukan sbb:
a B ⎞⎛ a o ⎞ iK Λ ⎛ o ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = e ⎜⎜ ⎟⎟ D ⎠ ⎝ bo ⎠ ⎝ bo ⎠
⎛A ⎜⎜ ⎝C
ao B = iKΛ bo e −A
(
)
⎛ B ⎞ ⎛ ao ⎞ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = Q ⎜⎜ iKΛ ⎟ − e A ⎝ bo ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ aN ⎜⎜ ⎝ bN
⎞ ⎟⎟ ⎠
− B⎞ ⎛D ⎟⎟ = ⎜⎜ A⎠ ⎝− C
N
Q=konstanta
⎛ ao ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ bo ⎠ 72
Hubungan dispersi:
e iK Λ =
1
2 ( A + D) ±
1
2 + −1 ( A D ) 4
imajiner
cos K Λ =
1
2
( A + D)
⎛ k 2 x k1 x = cos k1 x d1 cos k 2 x d 2 − 2 ⎜⎜ + ⎝ k1 x k 2 x 1
⎞ ⎟⎟ sin k1 x d1 sin k 2 x d 2 ⎠
2
k ix =
nω ⎛ niω ⎞ 2 ⎜ ⎟ − β = i cos θ i ; i = 1, 2 c ⎝ c ⎠
Harga cos KΛ ditentukan oleh ω dan β. Kurva ω vs β disebut kurva dispersi.
73
1
1
2
( A + D) < 1 harga K ril, artinya gelombang Bloch dapat menjalar melalui
2
( A + D) > 1 K merupakan kompleks sehingga gelombang mengalami
medium berlapis.
evanescen; artinya gelombang Bloch tak dapat melalui medium berlapis atau disebut pita terlarang Band gap
refleksi
74
ω
β=0 gap gap gap
K
2π/Λ
Cahaya bisa lewat Cahaya tak bisa lewat (band gap) 75
⎧⎪ane−ik1x ( x−nΛ) + bneik1x ( x−nΛ) ; nΛ − d1 < x < nΛ E(x) = ⎨ −ik ( x−nΛ) ⎪⎩cne 2 x + dneik2 x ( x−nΛ) ; (n −1)Λ < x < nΛ − d1
⎛ an ⎞ −iKΛ ⎛ an−1 ⎞ ⎛a ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = e ⎜⎜ ⎟⎟ = e −inKΛ ⎜⎜ o ⎟⎟ ⎝ bn ⎠ ⎝ bn−1 ⎠ ⎝ bo ⎠
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
Hasil akhir untuk gelombang Bloch dalam lapisan n1 di unit sel ke-n adalah:
E K ( x ) e − iKx = a n e − ik 1 x ( x − n Λ ) + b n e ik 1 x ( x − n Λ )
( = [(a e
) )e
= a o e − ik 1 x ( x − n Λ ) + b o e ik1 x ( x − n Λ ) e − inK Λ o
− ik 1 x ( x − n Λ )
+ b o e ik 1 x ( x − n Λ )
iK ( x − n Λ )
]e
− iKx
periodik
76
5.3 Reflektor Bragg Medium berlapis dari N buah unit sel.
bo
ao
n2 n1 d2 d1
aN
Λ
N buah unit sel Jika gelombang Bloch jatuh dalam band gap, gelombang itu terevanesen dan tak bisa menjalar dalam medium. Jadi, gelombang itu terpantul; medium bersifat sebagai reflektor yang disebut reflektor Bragg. 77
⎛ bo ⎞ rN =⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ao ⎠bN =0
Koefisien refleksi:
⎛ ao ⎞ ⎛ A ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ bo ⎠ ⎝ C
B⎞ ⎟⎟ D⎠
N
⎛ aN ⎜⎜ ⎝ bN
⎞ ⎟⎟ ⎠
Karena matriks unimodular: Bu N −1 ⎞ ⎛ Au − u ⎛A B ⎞ sin( N + 1) KΛ ⎟⎟, u N = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ N −1 N − 2 Cu N −1 Du N −1 − u N − 2 ⎠ sin KΛ ⎝C D ⎠ ⎝ N
K Λ = cos
[
−1 1
2
( A + D )]
⎛ bo ⎞ CuN −1 C rN = ⎜⎜ ⎟⎟ = = ⎝ ao ⎠bN =0 AuN −1 − uN −2 A − uN −2 / uN −1 2
R = rN =
C A − uN −2 / uN −1
2
78
TE (s); n1=3,0 n2=3,6 d1=d2=2um θo=0o 1 0.9 0.8
Reflektans
0.7 0.6 0.5
N=15
0.4 0.3 0.2 0.1 0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
L a m d a (um ) 1 0.9 0.8
Reflektans
0.7
N=30
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
L a m d a (um )
2.4
2.6
2.8
3
79
d1=d2=2 um θo=0o
N=15, n2=3,6 1 0.9 0.8
Reflektans
0.7 0.6 0.5
n1=3,0
0.4 0.3 0.2 0.1 0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
L a m d a (um ) 0.8 0.7
Reflektans
0.6 0.5
n1=3,3
0.4 0.3 0.2 0.1 0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
L a m d a (u m )
2.4
2.6
2.8
3
80
N=15, n1=3,0 n2=3,6
d1=d2=2 um
1 0.9 0.8
Reflektans
0.7 0.6
θo=0o
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
L a m d a (um ) 1 0.9 0.8
θo=60o
Reflektans
0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
L a m d a (um )
2.4
2.6
2.8
3
81
Reflektor Bragg dengan Reflektans tinggi Cermin dengan reflektans tinggi diperlukan dalam berbagai aplikasi. Cermin dengan bahan logam bisa memiliki reflektans 99% dan yang 1% diabsorp. Jika cermin dpakai untuk laser daya tinggi, cermin logam menjadi panas. Untuk mengatasinya, digunakan refektor Bragg dari bahan dielektrik, misalnya dengan lapisan-lapisan n1d1=n2d2=λo/4. k1xd1=k0n1d1=(2π/λ)(λ/4)=90o→exp(ik1xd1)=i k2xd2=k0n2d2=(2π/λ)(λ/4)=90o →cos k2xd2=0
A=e C=e
ik1 x d1
ik1 x d1
2 2 ⎡ ⎛ n k n k1x 1 2 x 2 1 i⎜ k d cos + + ⎢ 2 ⎜ 2 2x 2 2 n k n 1 k2x ⎝ 2 1x ⎣
2 2 ⎤ ⎛ ⎞ n k n k 1 2 x 2 ⎟⎟ sin k 2 x d 2 ⎥ = − 1 2 ⎜⎜ 2 + 2 1x ⎝ n2 k1x n1 k 2 x ⎠ ⎦
⎡ ⎤ ⎛ n 22 k1 x n12 k 2 x ⎞ 1 ⎟ ⎜ − 2 − ⎟ sin k 2 x d 2 ⎥ = ⎢ − 2 i⎜ 2 n k n k 2 1x ⎠ ⎝ 1 2x ⎣ ⎦
1
⎛ n 22 k1 x n12 k 2 x 2⎜ ⎜ n2k − n2k 2 1x ⎝ 1 2x
(
⎞ ⎟⎟ ⎠
)
⎛ 12 n24 k12x − n14 k22x ⎞ ⎛ bo ⎞ CuN −1 C ⎟⎟ rN = ⎜⎜ ⎟⎟ = = = −⎜⎜ 4 2 4 2 1 ⎝ ao ⎠bN =0 AuN −1 − uN −2 A − uN −2 / uN −1 ⎝ 2 n1 k2 x + n2 k1x +1 ⎠
(
)
⎞ ⎟⎟ ⎠
82
1 0.9 0.8
n1=1.5 n2=2.5
λo=0,6 um N=30
Reflektans
0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Lamda (um)
83
Reflektor Bragg Sinusoida Homogen
Λ
A(0)
A(L) A2(L)=0
B(0)
z=L
z=0
n( z ) = no + n1 cos Gz ; G =
2π ; n1 << no Λ
[
]
E ( z , t ) = A ( z ) e − iβ z + B ( z ) e iβ z e iω t Persamaan gelombang:
d 2 E n 2 ( z )ω 2 + E=0 2 2 dz c 84
⎡d 2B ⎡d 2 A dB dA 2 ⎤ −iβ z 2 ⎤ iβ z − β B⎥ e − β A⎥e + ⎢ 2 + 2iβ ⎢ 2 − 2iβ dz dz dz dz ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ +
ω2 c
2
(n
2 o
)[
]
+ 2no n1 cos(Gz) Ae−iβ z + Beiβ z = 0
Asumsikan amplitudo gelombang berubah pelan-pelan (SVA):
d2A dA << β ; 2 dz dz
d 2B dB << β dz dz 2
⎡ ⎤ −iβ z ⎡ ⎤ iβ z dA ω 2 2 dB ω 2 2 2 2 β β β β 2 i ( n ) A e 2 i ( n ) B − + − + + − o o ⎢ ⎥ ⎢ ⎥e 2 2 dz c dz c ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ +
ω2 c
2
[
]
2no n1 cos(Gz) Ae−iβ z + Beiβ z = 0
85
Kalikan dengan exp(iβz)
⎤ i 2β z ⎡ ⎤ ⎡ dB ⎛ ω 2 2 dA ⎛ ω 2 2 2⎞ 2⎞ + ⎜⎜ 2 no − β ⎟⎟ B⎥e + ⎜⎜ 2 no − β ⎟⎟ A⎥ + ⎢2iβ ⎢− 2iβ dz dz c ⎠ ⎦ ⎠ ⎦ ⎣ ⎝c ⎝ ⎣ +
ω2 c
2
[
]
2no n1 cos(Gz) A + Bei 2 β z = 0
Lakukan perata-rataan spasial:
e 2 iβ z = 0;
cos( Gz ) = 0 ,
cos( Gz ) e i 2 β z =
1
2
(e
i ( 2 β +G ) z
+ e i ( 2 β −G ) z
)
≈
1
2
e i ( 2 β −G ) z
∂A ⎛ ω 2 2 ω2 2⎞ − 2iβ + ⎜⎜ 2 no − β ⎟⎟ A + 2 no n1 Be i ( 2 β −G ) z = 0 ∂z ⎝ c c ⎠ 86
dA ⎛ ω 2 2 ω2 2⎞ − 2iβ + ⎜⎜ 2 no − β ⎟⎟ A + 2 no n1 Be i ( 2 β −G ) z = 0 dz ⎝ c c ⎠ Dengan cara yang sama diperoleh:
ω 2 i ( 2 β −G ) z dB 2 2 2 2 2iβ + (no ω / c − β ) B + no n1 2 A e =0 dz c Misalkanlah β=G/2=noωB/c; maka dengan ω − ωB cukup kecil diperoleh
no2ω 2 / c 2 − β 2 (noω / c + β )(noω / c − β ) no δ= = ≈ (ω − ω B ) 2β 2β c
ωB =
Go c π c = 2no n o Λ
ωB disebut frekuensi Bragg, dan δ disebut frecuency detuning.
87
κ=
n o n1ω 2 / c 2
λB =
β
2π c
ωB
≈
n1 G 2no
= 2no Λ
dA + i δ A = − iκB dz dB − i δ B = i κA dz
Parameter kopling Panjang gelombang Bragg
⎫ ⎪ disebut persamaan terkopel ⎬ ⎪ ⎭
Cara penyelesaian persamaan terkopel:
a ( z ) = A ( z ) e iδ z ; b ( z ) = B ( z ) e − iδ z
88
da = −i κ b e i 2 δ z ; dz
db = iκ a e − i 2 δ z dz
da d 2a 2 − i 2 δ − κ a=0 2 dz dz
a = (C1 cosh sz + C 2 sinh sz )e iδ z ; s = κ 2 − δ 2 ≥ 0
b=
i
κ
=
e −i 2δ z i
κ
da dz
{[C1s sinh sz + C2 s cosh sz]− δ [C1 cosh sz + C2 sinh sz] }e−iδ z
89
A ( z ) = ( C 1 cosh sz + C 2 sinh sz )
B( z) =
i
κ
{[C1 s sinh sz + C 2 s cosh sz ]− δ [C1 cosh sz + C 2 sinh sz ] }
Dengan menerapkan syarat batas A (0)=Ao, dan B(L)=0, A( z ) = Ao
s cosh s ( L − z ) + iδ sinh s ( L − z ) s cosh sL + iδ sinh sL
B ( z ) = Ao
r=
i κ sinh s ( L − z ) s cosh sL + i δ sinh sL
B (0) i κ sinh sL = A ( 0 ) s cosh sL + i δ sinh sL
κ 2 sinh 2 sL R= r = 2 s cosh2 sL + δ 2 sinh 2 sL 2
90
0.7
κL = 1
0.9
κL = 2
0.6
0.8 0.7
0.5
0.6
0.4
R
R
0.3
0.5 0.4 0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0 -15
-10
-5
0
0
5
10
15
-15
-10
-5
0
1
1 0.8
0.6
R
Band gap
0.4
-15
-10
-5
15
1.2
κL = 6
0.8
R
10
δL
δL
κL = 2
5
0.6 0.4
0.2
0.2
0
0 0
5
δL
Side lobe
10
15
-15
-10
-5
0
δL
5
10
15
91
1.2
κL = 6
Misalkan: n o = 3, n1 = 0,1, Λ = 0, 2μm
1
λ B = 2 n o Λ = 1, 2μm; f B = 25 0 THz
0.8
R
Band gap
0.6
κ≈
0.4 0.2
n1 G = 0,5 μm −1 ; L = 12 μm 2 no
0 -15
-10
-5
0
δL
5
10
15
δL=-15 sd 15
δ=-1,25 sd 1,25 μm-1
Lebar pita
no δ c 1, 25 μm -1 x 3 x10 8 ms −1 δ ≈ (ω − ω B ) → ω − ω B = = = 1, 25 x10 14 s -1 c no 3 f − f B = 20 THz
Δf = 2 x 20 THz = 40THz ; f B = 250 THz f =
c
→ Δλ = Δf
λ2
; c 40 x10 12 s −1 x(1, 2 μm) 2 Δλ = = 0,19 μm; λ B = 1, 2 μm 8 −1 3 x10 ms
λ
92
Reflektor Bragg sinusoida dengan apodisasi Side lobe = Refleksi yang bervariasi di luar band gap. Side lobe itu dapat dihilangkan dengan cara apodisasi. 2 G κ ( z) = o n1 ( z) = κ o e −γ ( z / L) 2no
da = −i κ ( z ) b e i 2 δ z ; dz Misalkan:
r ( z,δ ) =
κ=
n o n1ω 2 / c 2
β
≈
n1 G 2no
db = iκ ( z ) a e − i 2 δ z dz
B ( z ) b ( z ) i 2δ z = e A( z ) a( z )
r ( z , δ ) = ρ ( z )e
i 2δ z
dρ ≈ iκ ( z ) e −i 2δ z , dz
dr = i 2δ r + iκ (1 + r 2 ) dz
dρ dr ⎛ dρ ⎞ = ⎜ + i2δ ρ ⎟ ei 2δ z = ei 2δ z + i2δ r dz ⎝ dz dz ⎠ r 2 << 1 93
L
ρ (0, δ ) = i ∫ dz κ ( z ) e −i 2δ z 0
L
r (0,δ ) = i ∫ dz κ ( z) e −i 2δ z 0
L
2
R(0, δ ) = r (0, δ = κ o2 ∫ dz e −γ ( z / L ) e −i 2δ z = κ o2 ( p 2 + q 2 ) 2
2
0
L
p = ∫e
−γ ( z / L ) 2
cos( 2δ z ) dz
−γ ( z / L ) 2
sin( 2δ z ) dz
0
L
q = ∫e 0
94
1
1
0 .8 Reflektans
0.8 0.6 0.4
0
5
10
-4
-3
-2
-1
0 D e lt a
1
2
3
4
5
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
15 0 .5 0 .4
L=10 um
κo=0,5 um-1
Reflektans
-5
0 .4
0 -5
0 -10
0 .6
0 .2
0.2
-15
γ=5
γ=10
0 .3 0 .2 0 .1 0 -5
-4
D e lt a
95
Reflektor Bragg sinusoida dengan chirp Reflektor Bragg yang memiliki lebar pita yang besar. Reflektror ini merupakan deretan sejumlah reflektror Bragg yang tersusun mulai dari yang berperioda besar dan diakhiri dengan perioda kecil.
Λ1
Λ2
Λ3
Λ4 Λ5
Λ1 > Λ2 > Λ3 > Λ4 > Λ5 R
λB = 2no Λ λB5 λB4 λB3 λB2 λB1
λ 96
n( z ) = no + n1 cos [G ( z ) z ]; n1 << no
ω2 dA ⎛ ω 2 2 2⎞ − 2iβ + ⎜⎜ 2 no − β ⎟⎟ A + 2 no n1 Be i ( 2 β −G ) z = 0 dz ⎝ c c ⎠ dB ⎛ no2ω 2 ω 2 −i ( 2 β −G ) z 2⎞ 2iβ + ⎜⎜ 2 − β ⎟⎟ B + no n1 2 A e =0 dz ⎝ c c ⎠ 2 β ≈ G o → φ ( z ) = [G ( z ) − G o ] z dA + i δ A = − i κ B e − iφ ( z ) dz
a ( z ) = A ( z ) e iδ z da = − iκ b e i[ 2δ dz
dB − i δ B = i κ Ae i φ ( z ) dz
b ( z ) = B ( z ) e − iδ z z − φ ( z )]
db = i κ a e − i [ 2 δ z −φ ( z )] dz
97
Untuk linear chirp:
G ( z ) − Go =
F 2 F z → φ ( z ) = z L2 L2
F disebut parameter chirp
Keadaan phase match terjadi jika 2δ z-φ(z)=0. 2 L2 n o 2 L2 (ω − ω B ) Jadi, cahaya berfrekuensi tinggi memerlukan z (δ ) = δ = F Fc jarak resonansi lebih besar.
ωB =
Goc πc = 2 no n o Λ z=-L/2
z=0
z=L/2 z
Fc ω = ωB − ω = ωB 4 Ln o
ω = ωB +
Fc 4 Ln o 98
r ( z,δ ) =
dφ ⎞ dr ⎛ = i⎜ 2δ − ⎟ r + iκ (1+ r 2 ) dz ⎝ dz ⎠
B( z ) −iφ ( z ) b( z ) i ( 2δz −φ ) e = e A( z ) a( z )
r ( z , δ ) = ρ ( z )e
dr ⎡ dρ dφ ⎤ = ⎢ + i(2δ − )r ⎥ ei ( 2δz −φ ) dz ⎣ dz dz ⎦
i ( 2δz −φ )
dρ ≈ iκ e − i ( 2 δz −φ ( z )) dz
L/ 2
ρ (−L / 2,δ ) = iκ ∫ dz e−i (2δz−φ ( z )) −L / 2
r (− L / 2, δ ) = iκ e i[ −2δ L / 2−φ ( − L / 2)] ∫ dz e −i[( 2δ z −φ ( z )] 2
R(− L / 2, δ ) = r (− L / 2, δ = κ 2
2
L/2
2 2 2 −i ( 2δ z −φ ( z )) dz e = κ ( p + q ) ∫
−L / 2
L/2
p=
∫ cos( 2δ z − φ ( z )) dz ;
−L / 2
L/2
q=
∫ sin( 2δ z − φ ( z )) dz
−L / 2
99
0 .8 0 .7
0 .5
L=10 μm
0 .4
κ=0,5 μm-1
0 .3
F=40
0 .2 0 .1 0 -1 0
-8
-6
-4
-2
0 D e lta
2
4
6
8
10
0 -10
-8
-6
0.7 0.6 0.5
L=10 μm
κ=0,5 μm-1 F=50
Reflektans
Reflektans
0 .6
0.4 0.3 0.2 0.1
-4
-2
0 D elta
2
4
6
8
10
100
Reflekror Bragg dengan chirp dan apodisasi L/ 2
ρ (−L / 2,δ ) = iκ o ∫ dz e−(γ / L ) z e−i (2δ z−φ ( z )) 2
2
−L / 2
r (− L / 2, δ ) = iκ o e
i[ −2δ L / 2−φ ( − L / 2 )]
2
R(− L / 2, δ ) = r (− L / 2, δ = κ o2
L/2
∫ dz e
− (γ / L2 ) z 2
e −i[( 2δ z −φ ( z )] 2
2 2 2 −(γ / L ) z −i ( 2δ z −φ ( z )) dz e e = κ ( p + q ) o ∫ 2
2
−L / 2
L/2
p=
∫
e
−L / 2
− ( γ / L2 ) z 2
cos( 2δ z − φ ( z )) dz ;
L/2
q=
∫
2
e −(γ / L
) z2
sin( 2δ z − φ ( z )) dz
−L / 2
101
L=10 μm
κ=0.5 μm-1 γ=8; 0.5
F=40
0.45 0.4
Reflektans
0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Delta
102
7. GELOMBANG TERPANDU DALAM MEDIA BERLAPIS 7.1 Pandu Gelombang Lapisan x 0
n1 n2
-t
Persamaan Maxwell:
n1
x> 0 −t < x < 0 x < −t
n3
r r 2 ∇ x H = i ωε o n E ;
Solusi gelombang bidang:
z
⎧n1 , ⎪ n( x) = ⎨n2 , ⎪n , ⎩ 3
r r ∇ x E = − i ωμ H
r r E ( x , t ) = E m ( x ) e i (ω t − β z ) r r H ( x , t ) = H m ( x ) e i (ω t − β z ) 103
r ⎡ d2 2 2⎤ ⎢ 2 + (nω / c) − β ⎥ Em ( x) = 0 ⎣ dx ⎦
[(nω / c) − β ]> 0 2
2
[(nω / c) − β ]< 0 2
2
β=komponen-z dari vektor gelombang, m=nomor modus
Solusi adalah periodik, menjalar. Solusi adalah eksponensial menurun.
Jadi, agar gelombang terpandu, harus dipenuhi:
n3ω / c < β < n2ω / c
Ada dua macam penjalaran gelombang terpandu, TE(s) dan TM(p):
104
Gelombang terpandu TE
E y ( x , z , t ) = E m ( x ) e i (ω t − β z ) ⎧C e − qx , ⎪ E m ( x ) = ⎨ A sin hx + B cos hx , ⎪ D e px , ⎩
x≥0 −t ≤ x ≤ 0 x ≤−t
h = (n2ω / c) 2 − β 2 ; q = β 2 − (n1ω / c) 2 ; p = β 2 − (n3ω / c) 2 m=bilangan yang menyatakan nomor modus, terkait dengan βm. Untuk A, B, C, D, gunakan syarat kontinuitas Ey dan Hz kontinu di batasbatas lapisan.
i ∂E y H z= ωμ ∂ x 105
⎧ ⎪ C e − qx , 0≤ x ⎪ ⎪ ⎛ q ⎞ −t ≤ x ≤ 0 E m ( x ) = ⎨ C ⎜ cos hx − sin hx ⎟ , h ⎠ ⎪ ⎝ ⎪ ⎛ q ⎞ p ( x+t ) , x ≤−t ⎪ C ⎜ cos ht + sin ht ⎟ e h ⎠ ⎩ ⎝ dan 3.5
p+q h(1 − pq / h 2 )
Ini disebut persamaan modus. Dengan suatu set harga n1, n2 dan n3 serta tebal t, persamaan modus memberikan sejumlah harga β. Modus-modus itu ortogonal satu sama lain.
TEo
β/(ω/c)
tan( ht ) =
TE1
TE2
TE3
3.2 0
0.25
0.5
0.75
1
1.25 1.5 t/λ
{ {
1 modus
2 modus
106
Gelombang terpandu TE n3=3.2
Eo(x)
n2=3.5 n1=1 x
E1(x) x
E2(x) x
107
Normalisasi C dipilih sehingga medan Em(x) sesuai dengan aliran daya 1watt sepanjang sb-z. Jadi, modus Ey=AEm(x) berkaitan dengan aliran daya ⎢A⎢2 W/m. Syarat normaliasi: ∞ ∞ r r β S z = 12 ∫ Re[ExH *] z dx = − 12 ∫ E y H x*dx = m ∫ [ Em ( x)]2 dx = 1 2ωμ −∞ −∞
Substitusi Em(x) menghasilkan: 1/ 2
⎧ ⎫ ωμ Cm = 2hm ⎨ 2 2 ⎬ β [ t + ( 1 / q ) + ( 1 / p )]( h + q m m m m)⎭ ⎩ m Ortonormalisasi modus-modus dituliskan: ∞
* E E ∫ m l dx =
−∞
2 ωμ
βm
δ ml 108
Gelombang terpandu TM
H y ( x , z , t ) = H m ( x ) e i (ω t − β z ) Syarat kontinuitas Hy dan Ez kontinu di batas-batas lapisan.
i ∂H y E z= − ωε ∂ x ⎧ h − qx 0≤ x ⎪− C e , q ⎪ ⎪⎪ ⎛ q ⎞ −t ≤ x ≤ 0 H m ( x ) = ⎨ C ⎜ cos hx − sin hx ⎟ , h ⎠ ⎪ ⎝ ⎪ ⎛h ⎞ ⎪ − C ⎜⎜ cos ht + sin ht ⎟⎟ e p ( x + t ) , x ≤−t ⎪⎩ ⎝q ⎠
109
p+q ; 2 h (1 − p q / h )
2
⎞ ⎟⎟ ; ⎠
⎛ n2 q = q ⎜⎜ ⎝ n1
⎞ ⎟⎟ ⎠
2
3.5
TEo β/(ω/c)
tan( ht ) =
⎛ n2 p = p ⎜⎜ ⎝ n3
TMo
TE1 TM1
TE2 TM2
3.2 0
0.25
0.5
0.75
1
TE3 TM3 1.25 1.5 t/λ
{ {
1 modus
2 modus
110
∞ ∞ 2 r r β [ E ( x )] * m m S z = 1 2 ∫ Re[HxE*] z dx = 1 2 ∫ H y Ex dx = dx = 1 ∫ 2ω −∞ ε ( x) −∞
ε ( x) = ε o n 2 ( x) Substitusi Hm(x) menghasilkan: 1/ 2
⎧ ⎫ ωμ Cm = 2hm ⎨ 2 2 ⎬ β [ t + ( 1 / q ) + ( 1 / p )]( h + q m m m m)⎭ ⎩ m
ωε o Cm = 2 β m t eff t eff
q 2 + h2 = q2
⎡ t q2 + h2 p2 + h2 ⎤ + 2 ⎢ 2+ 2 2 2 2 2 ⎥ + n q + h n q p h n ( ) ( ) 1 3 p⎦ ⎣ 2
111
βcut off Dari persyaratan
n3ω / c < β < n2ω / c
suatu modus disebut terpandu jika βm>βcut off
β cutoff = n3ω / c
atau p=0
Harga cut off dari t/λ:
tan(ht ) =
p+q → (t / λ )TE 2 h(1 − pq / h )
2 2 1/ 2 ⎤ ⎡ ⎛ 1 −1 n3 − n1 ⎞ ⎟ ⎥ ⎢mπ + tan ⎜⎜ 2 = 2 ⎟ 2 2 2π n2 − n3 ⎢⎣ ⎝ n2 − n3 ⎠ ⎥⎦
p+q 1 tan(ht ) = → (t / λ )TM = 2 h(1 − pq / h ) 2π n22 − n32
2 2 1/ 2 ⎤ 2 ⎡ ⎛ ⎞ n n − n −1 2 3 1 ⎜ ⎟ ⎥ ⎢mπ + tan 2 ⎜ 2 2 ⎟ n1 ⎝ n2 − n3 ⎠ ⎥ ⎢⎣ ⎦
112
7.2 Sifat umum pandu gelombang dielektrik x
z y
Selama penjalaran gelombang dalam pandu gelombang, aliran energi hanya sepanjang pandu gelombang, tidak pada arah tegak lurus. Untuk itu indeks bias teras > indeks bias cladding. Jika keseluruhan struktur dielektrik homogen sepanjang sb-z, gelombang bidang adalah:
r r E = E m ( x , y ) e i (ω t − β z )
r 2 r ∂ E 2 =0 Substitusi ke persamaan gelombang: ∇ E − μ o ε ∂t2
113
⎧ 2 ⎡ ω 2 n22 ( x, y ) ⎫r 2⎤ − β ⎥ ⎬ E m ( x, y ) = 0 ⎨∇ t + ⎢ 2 c ⎣ ⎦⎭ ⎩
ω 2ncl2 c
2
<β < 2
∂2 ∂2 ∇ = 2 + 2 ∂y ∂x 2 t
2 ω 2ncore
c2
Ada beberapa harga β yang memenuhi; ini disebut modus gelombang.
r r Misalkan E1 dan E 2 adalah dua modus sebagai solusi. r ⎡ 2 ω 2 n22 ( x, y ) ⎤ r 2 ∇ + = β E E 1 1 ⎢ t ⎥ 1 c2 ⎣ ⎦ r ⎡ 2 ω 2 n22 ( x, y ) ⎤ r 2 ⎢∇ t + ⎥ E2 = β 2 E2 2 c ⎣ ⎦
r r r r r r 2 2 2 2 E1 • ∇ t E 2 − E 2 • ∇ t E1 = β 2 − β 1 E 2 • E1
(
∫(
)
r r r r 2 2 E 1 • ∇ t E 2 − E 2 • ∇ t E 1 dx dy =
)
∫ (β
2 2
−β
2 1
r r E 2 • E 1 dx dy
)
114
Gunakan teorema Green:
lim ∫
C →∞
C
(
)
r r r r r r 2 2 E1 • ∇ t E 2 − E2 • ∇ t E1 dl = ∫ β 2 − β1 E2 • E1dx dy
(
)
r r β − β E2 • E1dx dy = 0
∫(
2 2
2 1
)
Untuk keadaan terpandu baik, E1 dan E2 →0 maka fihak kiri=0
r r Karena β1≠β2 maka ∫ E 2 • E1dx dy = 0 → E1 dan E2 ortogonal r r 2ωμ E • E dx dy = δ lm Normalisasi: ∫ l m
βm
Untuk keadaan degenerate, β1=β2, lakukan ortogonalisasi Schmidt
r' r r r' r E1 = E1 + cE2 → ∫ E1 • E2 dx dy = 0 r E1 • E2 dx dy ∫ c=− r ∫ E2 • E2 dxdy
115
7.3 Teori Perturbasi dan kopling modus Modus-modus terpandu bisa dijalarkan secara bebas satu sama lain sepanjang pandu gelombang (sb-z) jika fungsi dielektrik ε(x,y)=εon2(x,y) tidak bergantung pada z. Jika ada ketidak sempurnaan dielektrik Δε(x,y,z) maka modus-modus akan terkopel satu sama lain. Oleh sebab itu, terjadi perpindahan daya dari satu modus ke modus lainnya. Misalkan: ε(x,y,z)=εo(x,y)+Δε(x,y,z) Misalkan pula, di z=0 dimasukkan sembarang medan berfrekuensi ω, maka gelombang yang menjalar dalam pandu gelombang yang tak sempurna itu dapat dinyatakan sebagai: r r E = ∑ Am ( z ) E m ( x, y ) e i (ω t − β z ) m
Am(z)=amplitudo modus yang berganung z. 116
r 2 r ∂ E ∇ 2 E − μ oε =0 ∂t2
r ∇ + ω μ [ε o ( x , y ) + Δ ε ( x , y ) ] E = 0
{
2
}
2
Tetapi Em(x,y) ei(ωt-βz) memenuhi pers.gelombang juga:
[∇
2 t
+ ω με o ( x, y ) − β 2
2 m
]
r E m ( x, y ) = 0
Jadi:
r − iβ m z ⎛ d 2 Am dAm ⎞ r − iβ m z 2 ∑m ⎜⎜ dz 2 − 2iβ m dz ⎟⎟Em ( x, y) e + ω μ ∑m Δε ( x, y, z ) Am Em e = 0 ⎠ ⎝ 117
Andaikan perturbasi itu lemah sehingga variasi amplitudo sepanjang sb-z agak pelan dan memenuhi:
d 2 Am dAm << β m dz dz 2
Slow varying amplitude (SVA)
r −iβ m z dAm ⎞ r ⎛ − iβ m z 2 ∑m ⎜⎝ − 2iβ m dz ⎟⎠ Em ( x, y) e + ω μ ∑m Δε ( x, y, z ) Am Em e = 0
r * iβ z Kalikan dengan E k e k
lalu diintegral
dAm ⎞ r * ⎛ ∑m ⎜⎝ − 2iβ m dz ⎟⎠ ∫ Ek Em ( x, y) dx dy e −i ( βm −βk ) z r* 2 + ω μ ∑ Am ∫ E k Δε ( x, y, z ) Em ( x, y ) dx dy e −i ( β m − β k ) z = 0 m
118
dAk iω β k =− dz 4 βk
r* ∑ Am ∫ Ek Δε ( x, y, z ) Em ( x, y) dx dy e −i ( βm −βk ) z m
Ini menggambarkan evolusi amplitudo Ak(z) sepanjang sb-z. Persamaan itu merupakan suatu set persamaan-persamaan differensial yang terkopel. 7.3.1 Perturbasi uniform
Δε=Δε(x,y);
∂(Δε)/∂z=0
r r i (ω t −β z ) Misalkan modus-modus tanpa perturbasi: E = Em ( x, y) e dengan Em(x,y) memenuhi:
[∇
2 t
+ ω με o ( x, y ) − β 2
2 m
]
r E m ( x, y ) = 0
Modus-modus ini memebentuk set ortonormal. Selanjutnya, andaikan dampak perturbasi Δε=Δε(x,y) hanya menimbulkan perubahan δEm pada Em dan δβm2 pada βm2. 119
[
]
r r r r 2 2 ∇ + ω με o + ω μ Δε ( E m + δE m ) = ( β m + δβ m )( Em + δE m ) 2 t
2
2
[∇
Karena
2 t
+ ω με o ( x, y ) − β 2
2 m
r r 2 serta abaikan ΔεδE m , δβ mδE m
[
]
r E m ( x, y ) = 0 maka
]
r r r r 2 2 2 ∇ + ω με o δE m + ω μ Δε E m = β mδEm + δβ m E m 2 t
2
r Untuk menyelesaikannya, misalkan δ E m =
r ∑ a ml E l l
[
]
r r r r 2 2 2 ∑ aml ∇ + ω με o El + ω μ Δε Em = β m ∑ aml El + δβ m Em 2 t
2
l
l
r r 2 2 ∑ aml (β − β ) El = (δβ m − ω μ Δε ) Em 2 l
2 m
l
Kalikan dari kiri dengan Em* lalu diintegral:
120
r* r r* r 2 2 ∑ aml (β − β )∫ Em El dxdy = ∫ Em (δβ m − ω μ Δε ) Em dxdy 2 l
2 m
l
r* r Em Δε E m dxdy ∫ 2 2 δβ m = ω μ r* r ∫ Em Em dxdy r* r 1 = 2 ωβ m ∫ E m Δε Em dxdy 2 2 2 Karena βm → βm+ δβm dan β m → β m + δβ m
maka Jadi
δβ m2 = 2 β m δβ m
r* r δβ m = 4 ω ∫ Em Δε Em dxdy 1
121
Untuk memperoleh δEm kalikan Ek* dengan k≠m pada persamaan:
r r 2 2 ∑ aml (β − β ) El = (δβ m − ω μ Δε ) Em 2 l
2 m
l
r* r r* r 2 2 ∑ aml (β − β ) ∫ Ek El dxdy = ∫ Ek (δβ m − ω μ Δε ) Em dxdy 2 l
2 m
l
a mk
r* r ω βk = E ΔεE m dxdy 2 2 ∫ k 2( β m − β k )
r r r* r ⎤r ⎡ ωβ k δEm = ∑ amk Ek =∑ ⎢ E ΔεE m dxdy ⎥ E k 2 2 ∫ k k k ⎣ 2( β m − β k ) ⎦ Didefenisikan
κ km
r δE m =
r* r = 4 ω ∫ Ek Δε Em dxdy 1
sebagai koefisien kopling, maka
⎡ 2 β k κ km ⎤ r E ∑ ⎢ 2 2 ⎥ k k (≠m) ⎣ (β m − β k ) ⎦
δβ m = κ mm 122
7.3.2 Perturbasi dielektrik secara periodik Misalkan sepanjang pandu gelombang ada perturbasi dielektrik dalam bentuk sinusoida:
Δ ε = ε 1 cos Kz di mana ε1 adalah amplitudo perturbasi dan bisa sebagai fungsi x dan y, sedangkan K adalah:
K=
2π Λ
Λadalah perioda perturbasi. Substitusi ke persamaan terkoppel yang lalu:
dAk iω β k =− dz 4 βk
r* ∑ Am ∫ Ek Δε ( x, y, z ) Em ( x, y) dx dy e −i ( βm −βk ) z
dAk iω β k =− dz 4 βk
r* ∑ Am ∫ Ek ε 1 Em ( x, y) dx dy cos( Kz )e −i ( βm −βk ) z
m
[
]
m
123
[
][
r* dAk iω = − ∑ Am ∫ E k ε 1 E m ( x, y ) dx dy e −i ( β m − β k + K ) z + e −i ( β m − β k − K ) z dz 8 m
]
Terlihat, kopling menjadi signifikan jika:
βm − βk ± K = 0 Jika ini tak terpenuhi, maka fasa akan berubah cepat dan kontribusinya terhadap terhadap integal menjadi hilang. Oleh sebab itu βm-βk±K=0 disebut keadaan phase-matching. Untuk dua modus, dengan mengabaikan yang lain:
dA1 β = −i 1 κ 12 A2 e iΔβ z dz β1 dA2 β2 * = −i κ 12 A1e −iΔβ z dz β2
ω r* r κ12 = ∫ E1 ε1E2 dxdy; Δβ = β1 − β 2 − K 4
124
Tanda dari faktor β1 / β1 dan β2 / β2 dalam persamaan terkopel penting dan menentukan sifat dari kopling. Tanda ini menentukan aah penjalaran dari modus-modus terkopel. Ada dua kategori: 1. Codirectional coupling, kedua modus searah, 2. Contra directional coupling, kedua modus berlawanan.
125
7.4 Kopling antara dua pandugelombang
z ns na
ns
n 2 ( x, y) = ns2 ( x, y) + Δna2 ( x, y) + Δnb2 ( x, y)
nb n s
x
Misalkan gelombang pada masing-masing pandugelombang jika jarak cukup berjauhan :
E a ( x , y ) e i (ω t − β a z ) ; E b ( x , y ) e i (ω t − β b z ) d
d
dan berlaku persamaan gelombang pada masing-masing pandugelombag:
⎧ ∂2 ∂2 ω2 2 2 2 ⎫ ⎨ 2 + 2 + 2 ns ( x, y ) + Δnα ( x, y ) − β α ⎬ Eα ( x, y ) = 0 ∂y c ⎩ ∂x ⎭
[
]
α= a, b 126
Jika kedua pandugelombang berdekatan, terjadi kopel antara kedua gelombang. Gelombang di pandugelombang a mengalami perturbasi dielektrik ε o Δnb2 ( x, y ) demikian pula sebaliknya, sehingga total gelombang menjadi:
z ns na ns nb ns
x
E ( x, y, z , t ) = A( z ) E a ( x, y )e i (ω t − β a z ) + B( z ) Eb ( x, y )e i (ω t − βb z ) Gelombang ini memenuhi persamaan gelombang:
d
s
d
⎧ ∂2 ⎫ ∂2 ∂2 ω 2 2 2 2 ⎨ 2 + 2 + 2 + 2 ns ( x, y ) + Δna ( x, y ) + Δnb ( x, y ) ⎬ E ( x, y, z , t ) = 0 ∂y ∂z c ⎩ ∂x ⎭
[
]
⎛ ∂ 2 Ea ∂ 2 Ea ⎞ −iβa z ⎡ ∂ 2 A ∂A 2 ⎤ −iβa z ω 2 2 ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ Ae + ⎢ 2 − 2iβa − βa A⎥ Ea e + 2 (ns + Δna2 + Δnb2 ) AEa e−iβa z ∂z c ∂y ⎠ ⎣ ∂z ⎦ ⎝ ∂x ⎛ ∂ 2 Eb ∂ 2 Eb ⎞ −iβb z ⎡ ∂ 2 B ∂B ω2 2 −iβb z 2 ⎤ + ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟Be + ⎢ 2 − 2iβb − βb B⎥ Ebe + 2 (ns + Δna2 + Δnb2 )BEbe−iβb z = 0 ∂z ∂y ⎠ c ⎣ ∂z ⎦ ⎝ ∂x 127
dA −iβa z ω 2 dB −iβb z ω 2 −iβa z 2 − 2iβa Ea e + 2 (Δnb ) AEa e − 2iβb Ebe + 2 (Δna2 )BEbe−iβb z = 0 dz dz c c Kalikan dengan
E a* e iβ a z lalu integral:
dA * ω2 − 2iβa ∫ Ea Ea dxdy + 2 A∫ Ea* (Δnb2 )Ea dxdy dz c dB −i(βb −βa ) z * ω 2 −i(βb −βa ) z * 2 − 2iβb e Ea Eb dxdy+ 2 Be Ea (Δna )Eb dxdy= 0 ∫ ∫ dz c * E a ∫ Ea dxdy =
2ωμ o
βa
:
* * E E dxdy << E a b a ∫ ∫ Ea dxdy
Ea
Eb
128
2 ω ∂A ωμo ω 2 − 2iβ a + 2 A∫ Ea* (Δnb2 ) Ea dxdy + 2 Be −i ( βb −βa ) z ∫ Ea* (Δna2 ) Eb dxdy = 0 ∂z β a c c
dA = −iκ aa A − iκ ab Be −i ( βb −βa ) z ; dz
ωε o
κ aa =
4
κ ab = Jika dikalikan dengan
* 2 E Δ n ∫ a b ( x, y) Ea dxdy;
ωε o 4
* 2 E Δ n ( x, y) Eb dxdy a a ∫
E b* e iβ b z lalu diintegral:
dB = −iκ bb B − iκ ba Aei ( βb −βa ) z ; dz
κ bb = κ ba =
ωε o 4
ωε o 4
* 2 E Δ n ∫ b a ( x, y) Eb dxdy; * 2 E Δ n ( x, y) Ea dxdy b b ∫
129
Misalkan:
u = A e iκ aa z dan v = B e iκ bb z
du dA = −iκ aa A − iκ ab Be −i ( βb −βa ) z → = −iκ ab veiΔβ z dz dz
Δβ = ( β a + κ aa ) − ( β b + κ bb )
dv dB = −iκ bb B − iκ ba Aei ( βb −βa ) z → = −iκ ba ue −iΔβ z dz dz Misalkan κab=κba=κ
⎛ d 2u du −iΔβ z du ⎞ −iΔβ z dv ⎜ ⎟ e = −iκ v → ⎜ 2 − iΔβ ⎟e = −iκ = −κ 2ue −iΔβ z dz dz ⎠ dz ⎝ dz d 2u du 2 − i Δ β + κ u=0 2 dz dz 2 Δβ i z β Δ ⎛ ⎞ 2 u ( z ) = (C1 sin sz + C 2 cos sz )e 2 ; s = ⎜ ⎟ +κ ⎝ 2 ⎠
v = (i / κ )( du / dz )e − iΔβz = [−
Δβ i (C1 sin sz + C 2 cos sz ) + (C1 s cos sz − C 2 s sin sz )]e −iΔβ z / 2 2κ κ
130
A( z ) = (C1 sin sz + C 2 cos sz ) e i ( Δβ / 2 −κ aa ) z ;
B( z ) = [−
Δβ i (C1 sin sz + C2 cos sz ) + (C1 s cos sz − C2 s sin sz )] e −i ( Δβ / 2+κ bb ) z κ 2κ
Misalkan, A(0)=Ao dan B(0)=0. C2=A0;
C1= -iAo(Δβ/2s)
A( z ) = Ao (cos sz − i B( z ) = −iAo
κ s
Δβ sin sz )e i ( Δβ / 2 −κ aa ) z 2s
sin sz e −i ( Δβ / 2+κbb ) z
Daya: P(0)∼Ao2
Pa ( z ) = Po − Pb ( z )
{
κ2 2 2 2 [ ] Pb ( z ) = Po 2 sin κ + ( Δ β / 2 ) z 2 κ + ( Δ β / 2) 1
2
}
131
Pa ( z ) = Po − Pb ( z )
{
κ2 2 2 2 [ ] Pb ( z ) = Po 2 sin κ + ( Δ β / 2 ) z 2 κ + (Δβ / 2) 1
2
}
1
κ=4 cm-1 Pa
P/Po
0.8 0.6
Pb
0.4
Pa Pb
} }
Δβ=0
Δβ=5 cm-1
0.2 0 0
0.2
Divider
0.4 0.6 z (cm)
0.8
Directional coupler
1
132
8. OPTIK NONLINIER 8.1 Pengertian Nonlinier Optik Sifat optik nonlinier suatu bahan diungkapkan melalui hubungan antara polarisasi listrik terinduksi dalam bahan dengan medan listrik cahaya yang melalui bahan itu.
P ( z , ω ) = ε o χ eff E ( z , ω ) εo – permittivitas ruang hampa, χeff- susseptibilitas listrik efektif. Secara umum, susseptibilitas listrik efektif adalah : 2
χeff = χ (1) + χ (2) E(z,ω) + χ (3) E(z,ω) +........ Jadi, secara umum hubungan antara polarizabilitas listrik dan medan listrik adalah:
[
2
]
P(z,ω) = ε o χ (1) + χ (2) E(z,ω) + χ (3) E(z,ω) + ......... E(z,ω) Jika intensitas cahaya cukup kecil:
P ( z , ω ) = ε o χ (1) E ( z , ω ) → Bahan disebut linier 133
Jadi sifat nonlinier bahan muncul jika intensitas cahaya cukup tinggi.
χ(2) dan χ(3)……disebut suseptibilitas order-2 dan order-3, yang menyebabkan nonlinieritas; dampaknya hanya teramati jika intensitas cahaya cukup tinggi. Pada tingkat molekuler, dikenal polarizabilitas order-1(α), polarizabilitas order-2 (β), dan polarizabilitas order-3 (γ). Dengan itu maka:
χ
(1 )
∝ Nα
Bahan linier
χ
(2)
∝ Nβ
Bahan nonlinier order-2
χ
(3)
∝ Nγ
Bahan nonlinier order-3
N adalah kerapatan molekul dalam bahan. α, β, γ dari suatu molekul dapat dihitung dengan menggunakan sesuatu metoda perhitung kuantum molekul. Indeks bias bahan:
n 2 = no2 + Δn 2 ⎧⎪χ ( 2) E( z,ω Bahan nonlinier order-2 Δn 2 = ⎨ 2 (3) ⎪⎩3χ E( z,ω) Bahan nonlinier order-3 134
n ≅ no + n ≅ no +
χ ( 2) E ( z,ω )
Bahan nonlinier order-2
2no 3χ ( 3) E ( z , ω )
2
Bahan nonlinier order-3
2no
Intensitas cahaya: I ( z , t ) =
no c 2 E ( z, t ) 2π 2
iω t Berdasarkan: E( z, t ) = E( z,ω)e + cc → E( z, t ) = 2 E( z,ω)
I ( z, t ) =
no c
π
E ( z, ω )
2
2
Untuk order tiga, bisa juga dituliskan:
n2 = no2 +
3π (3) χ I noc
n ≅ no + n2 I ; n2 =
3π (3) χ 2 2no c 135
8.2 Efek Pockel dan Efek Kerr (elektro-optik)
d
n ≅ no + n ≅ no +
E=
V
χ ( 2) E ( z, ω ) 2no 3 χ ( 3) E ( z , ω ) 2no
= no + 2
V d
χ ( 2) V
Efek Pockel
2no d
3 χ ( 3) ⎛ V ⎞ = no + ⎜ ⎟ 2no ⎝ d ⎠
2
Efek Kerr
}
Elektro-optik
Elektro-optik: perubahan indeks bias bahan karena teganganlistrik dc atau frekuensi rendah. Contoh bahan: NH4H2PO4 (ADP), KH2PO4(KDP) LiNbO3, LiTaO3, CdTe 136
Modulator L d
V
φi
½Ii M
½Ii
2π
nL
λ n1V ⎞ 2πL ⎛ χ ( 2) = φi + ⎟; n1 = ⎜ no + 2 no λ ⎝ d ⎠
φo BS
Ii
φ o = φi +
L no L no+n1V/d
M
Io
V
Interferometer Mach-Zehnder
BS
I o = 1 2 I i + 1 2 I i cos ϕ = I i cos 2 (ϕ / 2) ⎛ πL ⎞ I o = TI i → T = cos 2 ϕ / 2 = cos 2 ⎜ n1V ⎟ ⎝ λd ⎠ 137
1
T
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
Vo 1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
V
Modulasi: Tegangan diatur pada posisi linier, yakni V=Vo Tegangan itu dimodulasi dengan informasi, maka T mengalami modulasi 138
Fungsi Logika XOR Polarisasi cahaya ┴ bidang
a
Polariasi cahaya // bidang c + b
z
a
b
z
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
Untuk clock saja: tegangan diatur agar beda fasa di z samadengan 180o sehingga tidak ada keluaran. Jika ada pulsa di a, tidak di b: intensitas pulsa a menambah indeks bias cabang atas; pulsa clock keluar di z karena beda fasa tak samadengan 180o. Demikian sebaliknya. Jika ada pulsa di a dan di b: tambahan indeks bias, sama di kedua cabang sehingga pulsa clock mengalami beda fasa 180o tak bisa keluar.
139
8.3 Proses Optik-optik Second and third harmonics generation
ω 2ω 3ω
ω
[
SHG THG 2
]
P(z,ω) = ε o χ (1) + χ (2) E(z,ω) + χ (3) E(z,ω) + ......... E(z,ω) Misalkan: E ( z , ω ) = E ( z ) cos ωt
P( z,ω ) = ε o χ (1) E ( z ) cosωt + ε o χ ( 2) E 2 ( z) cos2 ωt + ε o χ (3) E 2 ( z ) cos3 ωt = ε o χ (1) E ( z) cosωt + 1 2 ε o χ ( 2) E 2 ( z )(1 + cos 2ωt ) + 1 4 ε o χ (3) E 2 ( z )(3 cosωt + cos3ωt ) Jadi, suatu bahan optik nonlinier dapat melipatgandakan frekuensi. 140
Penguat Optik
P( z, ω ) = ε o χ (1) E ( z, ω ) + ε o χ ( 2) E 2 ( z, ω ) Misalkan: E ( z , ω ) = E s ( z ) cos ω s t + E p ( z ) cos ω p t ; ω p > ω s
P ( z , ω ) = ε o χ (1) [ E s ( z ) cos ω s t + E p ( z ) cos ω p t ] + + ε o χ ( 2 ) [ E s2 ( z ) cos 2 ω s t + E p2 ( z ) cos 2 ω p t + 2 E s ( z ) E p ( z ) cos ω s t cos ω p t ] = ε o χ (1) [ E s ( z ) cos ω s t + E p ( z )cos ω p t ] + 1 2 ε o χ ( 2 ) [ E s2 ( z )(1 + cos 2ω s t ) + 1 2 E p2 ( z )(1 + cos 2ω p t ) + E s ( z ) E p ( z )cos(ω p − ω s )t + E s ( z ) E p ( z ) cos(ω s + ω p )t ]
141
Medan2 yang dihasilkan oleh komponen2 polarisasi
PI( 2 ) =
dan
1
2
ε o χ ( 2 ) E p E s cos( ω p − ω s )t
Pp(1) = ε o χ (1) E p cos ω p t
akan berinteraksi didalam bahan dan menghasilkan polarisasi yang baru:
Pb( 2 ) = C 2 ε o χ ( 2 ) E p2 E s cos[ ω p − (ω p − ω s )]t = C 2 ε o χ ( 2 ) E p2 E s cos ω s t Jadi, bahan itu akan menghasilakan cahaya berfrekuensi ωs yang diperkuat dengan faktor penguatan yang sebanding intensitas sinar-p.
ωs
χ(2)
ωs
ωp 142
Switching Febry-Perot
Io
Io
Ii Ii Bahan nonlinier Susah diaplikasikan pada serat optik. Distributed feed back
ε ( z ) = ε o + Δε cos(Gz ) + η E
2
143
E ( z ) = E F e iβ z + E B e − iβ z
( + α (E
− i∂ z E F = κE B + α E F i∂ z E B = κE F ω B2
2 2
B
+ 2 EB
2
+ 2 EF
2
)E )E
F B
ω B2
Gc κ= ε η ; ω B = 1/ 2 Δε ; α = 2 2 o 2Gc 2Gc 2ε o Solusinya:
I o = 2I i {1 + nd (R m)}
Io
R = 2 I o2 + (κL) 2 ; m = (κL) 2 /(I o2 + (κL) 2 Ii =
EF (0) 2 c
E
2
2
; Io =
EF − EB Ec2
2
2 ; Ec = 3αL
κL
Ii 144
145
