Tentamen CT2022 – Dynamica van Systemen 25 juni 2012 14.00-17.00 Let op: - Vermeld op ieder blad je naam en studienummer - Maak elk van de drie opgaven op een apart vel
Opgave 1 (30 punten)
2
Een bekken (links) met berging B wordt verbonden met een zee (rechts) door een kanaal met traagheid M. Het kanaal heeft ook een weerstand, waarvoor een constante waarde W wordt geschat. In M en W zijn overgangsgebieden aan de kanaaleinden inbegrepen. Bekken, kanaal en zee hebben op het tijdstrip t=0 dezelfde waterstand (de getekende stippellijn) en het debiet Q in het kanaal is nul. Het debiet wordt positief genoemd als het water stroomt in de richting van het zee. a) Hoe luiden voor dit systeem de bergingsvergelijking en de gecombineerde traagheids/weerstandsvergelijking (Let op de goede tekens bij de gekozen Q). b) Toon aan dat uit genoemde vergelijkingen een differentiaalvergelijking volgt voor de waterstand h(t) van het bekken die als volgt kan worden geschreven: 1 1 Mhɺɺ + Whɺ + h = hZ B B
c) De waterstand in de zee stijgt van h=0 (rusttoestand op t=0, stippellijn in figuur) naar een eindwaarde h0 . De waterstandsverandering verloopt in de tijd als volgt:
e
hz ( t ) = h0 1 − e − t τ 0
Gegeven is:
τ 0 = 10000s
j
(bijna 3 uur )
h 0 = 0,6 m B = 4⋅105 m 2 W = 10−3 sm −2 M = 10s2m −2 De oplossing voor de waterstand in het bekken bestaat uit een homogeen deel: 2π met periode Te = hh ( t ) = Ae −δ t sin ω e t + φ ωe en een particulier deel:
b
e
h p ( t ) = h0 α + β eγ t
g
j
Bepaal δ en ω e . Bepaal α , β en γ en laat zien dat het antwoord voor β kan worden geschreven als:
β=
−ω 20 τ 20
1 − 2δτ 0 + ω 20 τ 20 (Formules die u hebt of kent mag u direct gebruiken). Schets de homogene oplossing voor A = 1 m en φ = 0 . Schets de particuliere oplossing. (Kies een horizontale as met een lengte van 12 uur). d) Aan welke beginvoorwaarde(n) moet de totale oplossing van h(t) voldoen en welke
onbekende(n) kunnen daaruit worden berekend. (De berekening hoeft niet uitgevoerd te worden).
Opgave 2 (35 punten)
F(t) x z
Mz
0
k
c
Een boot, met een zeer groot laadruim, ligt in de haven om schoongemaakt te worden. Nadat de boot schoongemaakt is blijft er een enorme hoeveelheid vervuild water in het laadruim achter, waardoor de boot dieper in het water komt te liggen. Voor de boot weer geladen kan worden dient dit water m.b.v. een pomp afgezogen te worden. Om de opwaartse beweging van de boot tijdens dit afzuigen te berekenen modelleren we het geheel tot een gedempt 1-massa-veer systeem. De massa van de boot Mz wordt geconcentreerd gedacht in het zwaartepunt. De uitwendige kracht F ( t ) beschrijft het afzuigproces van het vervuild water en start vanaf t = 0 exponentieel dalend, zie onderstaande figuur. F (t ) F0
F ( t ) = F0 e− β t
t
0
Voor t ≤ 0 is het geheel in rust. We beschouwen de verticale beweging u van het zwaartepunt z van de boot. Het 0-niveau is de verticale positie van de ongeladen boot zonder water in het laadruim. a) Hoe kan de parameter β beïnvloed worden? b) Geef twee parameters waarvan de stijfheid k afhankelijk is. Neem aan dat: M z = 500 ⋅106 kg M w = 4 ⋅106 kg
β = 0.001s -1
N m c = 1.1⋅ ckr (overgedempt)
k = 50 ⋅106 F0 = M w ⋅ g
m s2 De massa Mw mag verwaarloosd worden t.o.v. Mz. c) Formuleer de twee beginvoorwaarden voor het probleem (denk aan assenstelsel). g = 10
d) Toon aan dat de gedwongen beweging (particuliere oplossing) te schrijven is als:
(
)
−1
up = − F0ξ e− β t , met ξ = M zβ 2 − cβ + k . e) Los de totale beweging van het systeem op. Tip: vereenvoudig de formules met: k c λ = δ2 − m = Mz δ= m , 2m ,
Opgave 3 (35 punten)
L = 10 m
fig 3a
fig 3b
fig 3c
Een star rechthoekig verkeersbord met een massa m= 1000 kg is gemonteerd op een elastische portaalconstructie. Het systeem ‘portaal-met-verkeersbord’ wordt gemodelleerd als een massa-veer-systeem met twee graden van vrijheid: een horizontale verplaatsing u en een rotatie ϕ , beide in het massazwaartepunt van het bord. De bewegingsvergelijkingen voor dit verkeersportaal met bord luiden:
1000 0 uɺɺ +105 3 −6 u = Fu (eenheden N, kg, rad en m) 2000 ϕɺɺ 0 −6 30 ϕ Tϕ a) Geef in woorden aan (kort; telegramstijl) hoe u de stijfheidsmatrix in de bewegingsvergelijking kunt bepalen als u beschikt over een computerprogramma voor de berekening van staafconstructies. b) Bepaal de eigenhoekfrequenties en de eigenvectoren van het systeem portaal-metbord. c) Geef de eigentrilvormen weer in een schets zoals fig.3b. d) De ontwerper wil het systeem portaal-met-bord na oplevering beproeven door in de richting van u een harmonische kracht aan te brengen: Fu = 5000 cos(10t ) (eenheden N en s) Bereken de responsie van het systeem in steady state. De starttijd wordt gelegd zodanig dat de oplossing meteen aan de beginvoorwaarden voldoet (geen faseverschuivingen)
