Operations Research. Report Copyright c 2005 Operációkutatási Tanszék, 2005 március. Budapest ISSN

Operations Research Report 2005-02

Az ´ arut˝ ozsde gabona szekci´ oj´ anak ´ arv´ arakoz´ asai a kukorica keresked´ es´ enek t¨ ukr´ eben Faluközy Tamás, Vizvári Béla

2005 március E¨ otv¨ os Lor´ and Tudom´ anyegyetem Oper´ aci´ okutat´ asi Tansz´ ek

c 2005 Oper´ Copyright aci´ okutat´ asi Tansz´ ek, E¨ otv¨ os Lor´ and Tudom´ anyegyetem, Budapest ISSN 1215 - 5918

Operations Research Reports No. 2005-02

3

Az ´ arut˝ ozsde gabona szekci´ oj´ anak ´ arv´ arakoz´ asai a kukorica keresked´ es´ enek t¨ ukr´ eben Faluközy Tamás

és

Vizvári Béla

Kivonat A cikk célja, hogy az ´ arut˝ ozsde gabona szekci´ oj´ anak ´ arait megvizsg´ alja, méghozz´ a a piaci szerepl˝ ok ´ arv´ arakoz´ asainak szempontj´ ab´ ol. Arra keres¨ unk v´ alaszt, hogy a meglév˝ o modellek jelen vannak-e ezen a piacon, a kisz´ amolt ´ arv´ arakoz´ asi paraméterek mennyire illeszkednek ezekhez a modellekhez, illetve milyen ¨ osszef¨ uggésben vannak az ar sz´ ´ azalékos v´ altoz´ as´ aval. Kulcsszavak: Hat´ arid˝ os piac; ´ arv´ arakoz´ as; adapt´ıv ´ arv´ arakoz´ as; extrapolat´ıv ´ arv´ arakoz´ as; korrel´ aci´ o; cluster.

1.

Bevezet´ es - Az ´ arut˝ ozsde

Számos mez˝ogazdasági a´ru megtermelése, beszerzése illetve feldolgozása id˝ oben jelent˝ osen elk¨ ul¨ on¨ ul az értékes´ıtést˝ol. Ebb˝ ol ad´ od´ oan ezen termékek esetén igen nagy az árfolyam-ingadoz´ asb´ ol ad´ od´ o kockázat, hiszen a két id˝ opont (id˝ oszak) közt az ár hirtelen és jelent˝osen megváltozhat. Nyilv´ an mind a termel˝ok, mind a felhaszn´ al´ ok, illetve elosztók érdeke ezen kockázat minimalizál´ asa. Ennek leghatékonyabb m´ odj´ at k´ın´ alja a hat´ arid˝ os piac, ahol hat´ arid˝ os u ¨ gyletekkel dolgoznak, azaz egy adott id˝ opontban (a tov´ abbiakban: k¨ otési dátum) egy kés˝obbi teljes´ıtési hat´ arid˝ ore (kötési határid˝ o) k¨ otnek v´ asárl´ asi szerz˝odést. Így mindkét fél, a vev˝ o és az elad´ o is el˝ore r¨ ogz´ıtett asai sor´ an. Jelen ´ır´ as célja, ad´ as-vételi árral tud kalkul´ alni el˝ ozetes szám´ıt´ hogy a piaci szerepl˝ ok a´rvárakoz´ asaira valamilyen modellt adjon, illetve a 2005-03-20

4

Faluk¨ ozy Tam´ as és Vizv´ ari Béla

´ ozsde gabona meglév˝o modellek érvényességét megvizsgálja a Budapesti Arut˝ szekciój´ ara vonatkozóan. A piac szerepl˝ oinek a´rvárakoz´ asai azért fontosak, mert a piac kor´ abbi a´llapotai ezeken kereszt¨ ul hatnak a jelenlegi a´llapotra. Ez a hat´ as d¨ ont˝ o jelent˝oség˝ u abban a vonatkoz´ asban, hogy a piac milyen mozgásokat k¨ ovet. Az elméleti irodalomban sz´ amos modell ismert az árvárakozásokra. Azonban kevés k´ısérlet t¨ ortént, hogy egy-egy hazai piac vonatkozásában kiv´ alassz´ ak azt vagy azokat a modell(eke)t, amely(ek) az adott piac szerepl˝ oinek viselkedését j´ ol k¨ ozel´ıtik. Mell´ ar és Rappai [1] mutatta ki az adapt´ıv a´rvárakoz´ as hazai jelenlétét, Bacsi, Kovács, Lakner és Vizvári [2] pedig mez˝ogazdasági termel˝ok k¨ orében mind az adapt´ıv, mind az extrapolat´ıv a´rvárakoz´ as el˝ofordul´ asát. El˝ oször ismertetj¨ uk, hogy milyen adatok állnak rendelkezés¨ unkre, és milyen m´ odon. R¨ oviden áttekintj¨ uk a legismerasi modelleket, majd tesz¨ unk néhány kezdeti, ”naiv” elemz˝ o tebb a´rvárakoz´ lépést. Ezután pr´ ob´ alunk v´ alaszt adni arra, hogy milyen modellek vannak jelen a piacon (és hogy ez egyáltal´ an mit jelent). Vég¨ ul a legjobbnak bizonyul´ o modellt tov´ abb elemezz¨ uk.

2.

Adatok

Célunk teh´ at elemzést adni az ár alakul´ asára a meglév˝o adatok alapj´ an. Ezek háromféle gabonára vonatkozóan a´llnak rendelkezésre: étkezési és takarm´ anyb´ uza valamint kukorica – a feldolgozott k¨ otési dátumok pedig 1991t˝ ol 1999-ig terjednek. Mindig megvan a k¨ otési dátum és a határid˝ o, valamint kevés kivételt˝ol eltekintve az elszámoló ´ ar (amit a t˝ozsdén minden kereskedési nap végén állap´ıtanak meg). J´ o lenne ugyanezeket a vizsgálatokat a napi maximális vagy minim´ alis a´rra, esetleg mennyiségekkel s´ ulyozva elvégezni. Ezek az adatok viszont nem minden esetben a´llnak rendelkezésre, ezért marad teh´ at az elszámoló a´r. Abban a kevés esetben, ahol ez nincs meg, szerencsére megvan a maximum és a minimum, ´ıgy azok a´tlag´ at vett¨ uk elszámoló ´ arnak. Azt pr´ ob´ aljuk elemezni, hogy ezt mi alak´ıtja, azaz a´rvárakoz´ asi modelleket pr´ ob´ alunk kimutatni. Ebben a cikkben a kukorica adatsor´ at vizsg´ aljuk. A ´ u BAT-on foly´ o kereskedés szempontjáb´ ol a termék az adott k¨ otési hat´ aridej˝ gabona; azaz egy m´ asik kötési határid˝ ore vonatkozó ár m´ ar egy m´ asik termék ára. Teh´ at minden egyes kötési határid˝ ore van egy adatsorunk: k¨ otési dátum (az id˝ o) és ár (a vizsg´ alt mennyiség). Ezeket az adatsorokat k¨ ul¨ on-k¨ ul¨ on fogjuk vizsg´ alni. Például a ’98. decemberi k¨ otési hat´ arid˝ ore az adatsor eleje és vége, illetve az ár alakul´ asa láthat´ o az 1. tábl´ azatban, illetve az 1. ábr´ an. Operations Research Reports No. 2005-02

Az a ´rut˝ ozsde gabona szekci´ oj´ anak ´ arv´ arakoz´ asai a kukorica keres. t¨ ukrében

19970731 19970801 19970804 19970805 19970806

25100 25090 24700 24700 24300

19981124 19981125 19981126 19981127 19981130

5

13560 13600 13830 13860 13760

6


által a t. id˝ opontra v´ art a´r, α – a piaci szerepl˝onk a´rvárakoz´ asi paramétere. Az extrapolat´ıv a´rvárakoz´ as képlete: pet = αpt−1 + (1 − α)pt−2 = pt−1 + (α − 1)(pt−1 − pt−2 ),

1. t´ abl´ azat. Az 1998. decemberi kötési határid˝ ore vonatkozó adatsor eleje és vége.

α≥0

(1)

(Az u ´ j a´r = az utols´ o két ár 1-¨ osszeg˝ u line´ aris kombin´ aciója, vagy m´ asképpen az utolsó ár + az utols´ o´ arváltoz´ as egy konstansszorosa.) Az adapt´ıv a´rvárakoz´ as képlete (Nerlove, 1958):

30000 Ár

pet = αpt−1 + (1 − α)pet−1 = pet−1 + α(pt−1 − pet−1 ),

25000

0≤α≤1

(2)

20000 15000 10000 5000

19 97 19 073 97 1 19 081 97 8 19 090 97 4 19 092 97 2 19 100 97 8 19 102 97 8 19 111 97 3 19 120 97 2 19 121 98 8 19 011 98 6 19 020 98 3 19 021 98 9 19 030 98 9 19 032 98 5 19 041 98 0 19 042 98 9 19 051 98 8 19 060 98 4 19 062 98 2 19 070 98 8 19 072 98 4 19 081 98 1 19 083 98 1 19 091 98 6 19 100 98 2 19 102 98 0 19 110 98 6 11 24

0

1. ´ abra. Az 1998. decemberi kötési határid˝ ore vonatkozó elszámoló a´r alakul´ asa. Megjegyzés: Az 1. ábr´ an l´ atszik, hogy a k¨ otési határid˝ o k¨ ozeledtével az ár csökken. Ez a legt¨ obb k¨ otési határid˝ onél ´ıgy van, teh´ at az eladóknak érdemes j´ oval a k¨ otési határid˝ o el˝ott szerz˝odést kötni, a v´ asárl´ oknak pedig ink´ abb a k¨ otési határid˝ o k¨ ozeledtével.

(Az utols´ o v´ art a´r hib´ aj´ anak konstansszoros´ aval korrig´ aljuk az el˝ oz˝o v´ art a´rat – ennyit tanultunk.) Célunk, hogy meg´ allap´ıtsuk, hogy léteznek-e ilyen α-k, tehát els˝o feladatunk α-k számolása az adatokból. Ha ezek megvannak, azaz rendelkezés¨ unkre a´llnak a modellekhez tartoz´ o, a vizsg´ alt id˝ osorra vonatkoz´ o konkrét adatok, akkor foglalkozhatunk azzal, hogy az egyes modellek mennyire vannak jelen a vizsg´ alt piacon. Hogy ezen pontosan mit is ért¨ unk, azt kés˝obb defini´ aljuk. Itt csak annyit jegyz¨ unk meg, hogy a kezdeti feltételezés¨ unk az, hogy a piacon t¨ obbféle modell van, és ezek egy¨ uttesen alak´ıtják ki az a´rakat. Ebbe természetesen az egyes modellek k¨ ul¨ onb¨ oz˝o s´ ullyal szólnak bele, ami r´ aad´ asul f¨ ugg a k¨ otési hat´ arid˝ ot˝ ol és a kötési dátumt´ ol. Célunk teh´ at annak meg´ allap´ıt´ asa, hogy milyen modellek érvényes¨ ulnek legink´ abb, illetve, hogy az a´ltalunk vizsg´ alt modellek mennyire érvényes¨ ulnek.

4.

Kezdeti l´ ep´ esek

A tényleges piac szerepl˝oi nagyon eltér˝oen gondolkodhatnak, és ebb˝ol ad´ od´ oan nagyon eltér˝oen viselkedhetnek. A rendelkezésre a´ll´ o adatok aggreg´ altak, ezért csak azt tudjuk vizsgálni, hogy egy modell mennyire jellemz˝ o a piac egészére. Ezért minden esetben egyetlen piaci szerepl˝ovel sz´ amolunk. Részletes adatok esetén, például ha minden napra minden k¨ otés ismert volna, lehetséges volna t¨ obbszerepl˝os modellek fel´ır´ asa, illesztése és elemzése is. A két legelterjedtebb a´rvárakoz´ asi modell az extrapolat´ıv és az adapt´ıv. Ezek form´ alisan a opontban, pet – a piaci szerepl˝onk k¨ ovetkez˝ oképpen néznek ki: pt – az ár a t. id˝

A képletekben szerepl˝o α-kat szeretnénk számolni, ehhez pedig tudni kell a v´ art a´rat. Els˝ o gondolatunk, hogy a megval´ osult a´rat tekints¨ uk annak. A v´ art a´r – a´rvárakoz´ asi modellr˝ol lévén szó – azt jelenti, hogy egy adott id˝ opontban milyen a´rat várunk a k¨ ovetkez˝ o k¨ otési dátumra az adott termék esetén (ami most egy adott k¨ otési hat´ aridej˝ u gabona). A megval´ osult a´r pedig a k¨ otési dátumhoz tartoz´ o elszámol´ o ár – valamilyen értelemben az is egy várakoz´ ast fejez ki (mégpedig azt, hogy a szerz˝ od˝ o felek milyen a´rat v´ arnak a kötési határid˝ o idejére), de ennek a két várakoz´ asnak a jelentése természetesen eltér˝o, mi csak az el˝ obbivel foglalkozunk. Mindenestre ekkor k¨ onnyen sz´ am´ıthat´ o extrapolat´ıv α (egy ár a´ll rendelkezésre minden id˝opontban – amit kapunk, az a piac egészére jellemz˝o árvárakoz´ as). A képlet (1) alapj´ an a k¨ ovetkez˝ o (feltett¨ uk, hogy pet = pt ):



3.

´ arakoz´ Arv´ asi modellek


7

8


21400

α=

pt − pt−2 pt−1 − pt−2

(3)

21000

Rögt¨ on ad´ odik az els˝o probléma: itt a nevez˝ o lehet 0. Ez azt jelenti, hogy a legutols´ o két ár megegyezik. (1) alapj´ an ekkor α-tól f¨ uggetlen¨ ul pet = pt = e pt−2 = pt−1 . Ha α = 1, akkor szintén pt = pt−1 . Tehát zéróosztó esetén α-t defin´ıció szerint 1-nek vehetj¨ uk, hiszen mindkét eset a konstans árnak felel meg. A többi esetben megtartva az eredeti értéket, az ´ıgy kapott értékeket nevezz¨ uk most el korrigált α-knak. Példaként ismét tekints¨ uk a ’98 decemberi k¨ otési határid˝ ore vonatkozó adatsor elejét (2. t´ abl´ azat): ´ DATUM

´ AR

¨ ES ´ (KOT NAPJA)

19970731 19970801 19970804 19970805 19970806 19970807 19970808 19970811 19970812 19970813

25100 25090 24700 24700 24300 24200 24100 24100 24100 24100

21200

EXTRAPOLAT´ IV ALFA

´ KORRIGALT EXTRAPOLAT´ IV

´ ´ (VART ARNAK A MEG-

´ VAN, OTT ALFA (AHOL 0 OSZTO

´ VALOSULTAT TEKINTVE)

´ ¨ ALFAT 1-NEK VESSZUK)

40.000 1.000 ´ OOSZT ´ ´ #ZER O! 1.250 2.000 1.000 ´ OOSZT ´ ´ #ZER O! ´ ´ ´ #ZEROOSZTO!

40.000 1.000 1.000 1.250 2.000 1.000 1.000 1.000

20800 20600 20400

Ár

20200 19970424

19970425

19970428

19970429

19970430

19970505

19970506

19970507

2. ´ abra. Az 1997. decemberi kötési határid˝ ore vonatkozó elszámoló ár alakul´ asa egy rendk´ıv¨ ul nagy a´rvárakoz´ as (α = 41) ut´ an.

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

2. t´ abl´ azat. Az 1998. decemberi kötési határid˝ o adatsora alapj´ an szám´ıtott α-értékek az els˝ o néhány k¨ otési dátumra. ´ Eszrevehetj¨ uk, hogy r¨ ogt¨ on az els˝o α igen nagy, és kés˝obb is el˝ ofordulnak ilyenek – ez nyilv´ an akkor t¨ orténik meg, amikor valamilyen h´ır érkezik, és ennek hat´ asára a piac abnorm´ alisan viselkedik. A 97-12 kötési határid˝ ore megvizsgálva az o¨sszes 10-nél nagyobb α-t, az adódott, hogy ilyen esetekben az ár valamelyik ir´ anyba jelent˝ osen elmozdul, majd r¨ ovid id˝ on (két héten) bel¨ ul épp az ellenkez˝o ir´ anyba megy a´t (és ez többségében más kötési határid˝ okre is elmondható) – egy példa a 2. ábr´ an l´ athat´ o. Azaz ilyen esetekben a piac r¨ ovid id˝ on bel¨ ul kiegyenl´ıti az abnormalit´ ast. Ez alapj´ an természetes kérdés, hogy a (nagy) α-k és az ár (nagy) százalékos v´ altozásai hogyan f¨ uggnek össze. Példaként a 97-12 kötési határid˝ ore vonatkozó adatokat l´ athatjuk a 3. a´br´ an (mindkett˝ ot a legnagyobb abszol´ utérték˝ uvel norm´ alva, az id˝ o a k¨ otési dátum). Operations Research Reports No. 2005-02

-1.5

Extrapolatív (korrigált) alfa, normálva

%-os változás, normálva

3. ´ abra. Az 1997. decemberi kötési határid˝ ore vonatkozó nagy α-k és nagy árváltozások elhelyezkedése id˝oben.

Látszik, hogy a nagy α-khoz által´ aban viszonylag nagy sz´ azalékos változ´ asok tartoznak, de ez ford´ıtva nem igaz. Ennek nyilv´ an az a magyar´ azata, hogy nagy sz´ azalékos változ´ ast a többi jelenlev˝ o modell is generálhat – ugyanakkor ez a modell ”jelen van annyira”, hogy a kiugr´ o α-értékei jelent˝ osen tudj´ ak befoly´ asolni az a´r alakul´ asát. Ennyi el˝ ozetes vizsg´ al´ od´ as ut´ an most már r´ atérhet¨ unk a modellek jelenlétének vizsg´ alat´ ara. Ehhez el˝ oször is konkretizáljuk, hogy milyen modelleket is akarunk kimutatni. Operations Research Reports No. 2005-02


5.

9

Tov´ abbi α-sz´ am´ıt´ asok

Ezzel kapcsolatban természetes igény, hogy az eddigi ”naiv” α-szám´ıt´ ast egy esetlegesen jobbra cserélj¨ uk, illetve hogy adapt´ıv α-kat is számoljunk, viszont ehhez már feltétlen¨ ul sz¨ ukséges várt a´rakat is sz´ amolni, hiszen az adapt´ıv modell (2) képletében t¨ obb v´ art a´r is szerepel, ´ıgy a kor´ abbi m´ odszer nem alkalmazhat´ o. Hogyan a´llap´ıtsuk meg h´ at a v´ art a´rakat, amelyek alapj´ an azt´ an számolhatunk α-kat, k¨ ovetkeztetve ezzel az a´rvárakoz´ asokra? Megint csak kézenfekv˝ o¨ otlet, hogy a´tlagoljunk, például az el˝ oz˝o öt a´r a´tlag´ at tekints¨ uk a v´ artnak. Piaci tapasztalatok alapj´ an tov´ abbi lehet˝oség maximumot venni (szintén például az el˝oz˝o öt a´rét) – a piaci résztvev˝ ok ugyanis legink´ abb a magas árakra emlékeznek. (Azaz minden egyes k¨ otési dátumn´ al a v´ art a´r az el˝oz˝o o¨t a´tlaga, illetve maximuma.) Ha teh´ at valamelyik módon kisz´ amoltuk art a´rat, akkor az (1) és (2) képletek alapj´ an k¨ onnyedén szám´ıthatunk a v´ α-kat a k¨ ovetkez˝ o módokon: Extrapolat´ıv eset:

α=

pet − pt−2 pt−1 − pt−2

(4)

Zéróosztó esetén (1) alapj´ an, α-tól f¨ uggetlen¨ ul pet = pt−2 = pt−1 ; α = 1 e uk 1-nek. esetén pedig pt = pt−1 . Tehát zéróosztó esetén α-t itt is tekinthetj¨ Adapt´ıv eset:

α=

pet − pet−1 pt−1 − pet−1

(5)

Zéróosztó esetén (2) alapj´ an, α-tól f¨ uggetlen¨ ul pet = pet−1 = pt−1 ; α = 1 e uk α-t 1-nek zéróosztó esetén. esetén pedig pt = pt−1 . Szintén tekinthetj¨ Tehát most már o¨tféle α-t tudunk sz´ amolni. Jel¨ olj¨ uk a modelleket a k¨ ovetkez˝o módon: E0 (extrapolat´ıv, ”naiv” α-szám´ıt´ as), E1 (extrapolat´ıv, a´tlagos), E2 (extrapolat´ıv, maximumos), A1 (adapt´ıv, a´tlagos), A2 (adapt´ıv, maximumos).

6.

Modellek jelenl´ ete, a jelenl´ et m´ er˝ osz´ amai

10


utal, hogy a modell nem érvényes¨ ul igaz´ an a piacon. Extrapolat´ıv esetben teh´ at a modell jelenlétének egyfajta mér˝oszáma ezen negat´ıv α-k száma. Ugyan´ıgy az adapt´ıv esetben a nem 0 és 1 közé es˝o abnorm´ alis értékek száma utal arra, hogy mennyire van jelen az adott modell. Ez esetben az α-k alulr´ ol és fel¨ ulr˝ ol is korl´ atozottak – ami ezen korlátokon k´ıv¨ ul esik, az abnormális. Az extrapolat´ıv esetben viszont csak als´ o korl´ at van. Itt teh´ at el˝ ofordulhatnak extrém α-k, kiugró értékek, amik nem abnorm´ alisak, de mégis k¨ ul¨ onb¨ oznek a t¨ obbit˝ ol – abban az értelemben, hogy ritk´ ak. Kezdeti vizsgál´ od´ asainkban l´ attuk, hogy az E0 modell esetén fontos szerep jut ezen nagy α-knak, mert ´ nagy sz´ azalékos változ´ ast vonnak maguk ut´ an. Epp ezen esetek tehát azok, amik j´ ol jellemzik a modell jelenlétét. Ha ugyanis nagy az α, akkor v´ arhat´ oan az adott modell hat´ asa er˝ osebb az adott dátumn´ al. Glob´ alisan pedig a sok nagy α jelent er˝ osebb hat´ ast. Arra érdemes tehát figyelni, hogy a sok nagy α val´ oban hat´ assal van-e az árra, azaz annak százalékos változ´ asára, azaz n¨ oveli-e a korrelációt - ez a modell jelenlétét támasztaná al´ a. A százalékos v´ altozással való magas korrel´ ació persze önmag´ aban a modell érvényes¨ ulésére ¨ utal – a fenti finom´ıt´ as egy még er˝osebb érv. Osszefoglalva teh´ at, a modellek jelenlétét a következ˝ oképpen tudjuk ”mérni”: • A százalékos változ´ assal való korrel´ acióval (konkrétan: kisz´ am´ıtjuk az αadatsor és a százalékos változ´ as adatsor tapasztalati korrel´ aciós egy¨ utthat´ oj´ at), ezt jel¨ olj¨ uk r-rel – nyilv´ an az a j´ o, ha r minél nagyobb. • Az abnormális α-k számával (jel¨ olj¨ uk ezt m-mel), pontosabban ezek ar´ any´ aval az összeshez viszony´ıtva: p = m/k, ahol k az összes α száma (nyilván az a j´ o, ha kicsi). • Extrapolat´ıv esetben a nagy (5-nél nagyobb) α-k hat´ asával a korrel´ acióra: ha a nagy α-k száma, illetve aránya 0, akkor logikus, hogy ebb˝ ol nem tudunk k¨ ovetkeztetést levonni, teh´ at ekkor a mér˝oszámunknak 0-nak kellene lennie; tov´ abb´ a, ha a korrel´ ació 0, akkor hi´ aba van esetlegesen sok nagy α, nincs hat´ asuk, tehát megint csak logikus, hogy mér˝oszámunk ebben az esetben is 0 legyen. Mindezek alapján defini´ aljuk ezt a mér˝oszámot egyszer˝ uen az ar´ any és a korreláció szorzataként: q = (n/k) ∗ r, ahol n a nagy α-k száma. Természetesen az a j´ o, ha ez a mér˝ oszám nagy, hiszen a modell jelenlétére az utal, ha nagy α-ar´ any esetén nagy a korrel´ ació.

Az extrapolat´ıv (E) modellekben α-r´ ol nemnegativit´ ast feltételez¨ unk – a kiszámolt α-k k¨ ozt azonban szép számmal el˝ofordulnak negat´ıv, azaz abnorm´ alis értékek is. Nyilv´ an ha egy adott modell esetén sok ilyen van, akkor az arra

Tehát minden egyes kötési határid˝ ore kiszámoljuk r-et és p-t mind az o¨t modellre, illetve q-t az extrapolat´ıv modellekre. Természetesen jó lenne defini´ alni ezen két, illetve három mér˝oszám alapj´ an egy olyat, ami mindegyiket tartalmazza. Nyilv´ an ebbe mindkét/mindh´ arom tényez˝o addit´ıvan kell, hogy



Az a ´rut˝ ozsde gabona szekci´ oj´ anak ´ arv´ arakoz´ asai a kukorica keres. t¨ ukrében 11

beleszóljon, megfelel˝ o konstansokkal szorozva. Ezeket a konstansokat a következ˝oképpen a´llap´ıtjuk meg: mindh´ arom mér˝oszámnak kiszámoljuk az a´tlag´ at (az összes kötési határid˝ ore és az összes modellre vonatkoztatva), majd a megfelel˝o konstansok ezen átlagok reciprokai lesznek. Így a k¨ ovetkez˝ o képleteket kapjuk a modellek jelenlétének mérésére (az egy¨ utthat´ okat kerek´ıtve): mind az öt esetben alkalmazhat´ o az x = 18r−7.5p mér˝oszám, illetve a három extrapolat´ıv modell esetén ennek tov´ abbfejlesztett változata: y = 18r−7.5p+830q. A k¨ ovetkez˝ okben a kötési hat´ arid˝ o, mint id˝ o f¨ uggvényében ábr´ azoljuk az egyes mér˝oszámok v´ altoz´ asát a k¨ ul¨ onb¨ oz˝o modellekben – ´ıgy mellékesen egyfajta obeli fejl˝ odésér˝ol is. képet kapunk a piac id˝

7.

12


érték szerepel, viszont kiugr´ o értékei ennek a legnagyobbak – az a´tlagot tekintve mégis csupán harmadik. Az A1 modell értékei viszonylag stabilan 0 k¨ or¨ ul mozognak, az a´tlag itt 0.008. Vég¨ ul az E1-es átlag m´ ar negat´ıv, olyan sok negat´ıv r érték fordul el˝o. Els˝ o mér˝oszámunk, a korrel´ ació alapj´ an teh´ at egyértelm˝ uen az A2 modell t˝ unik a legjobbnak, az E1 pedig a legrosszabbnak.

8.

Abnorm´ alis α-k

Korrel´ aci´ o a sz´ azal´ ekos v´ altoz´ assal Korreláció a százalékos változással (r)

E0 E2

1

A1

0.8

Abnormális alfák aránya (p=m/k)

E1

A2

E0 E1 E2

0.600

A1 A2

0.500

0.6 0.400

0.4 0.2

0.300

0 -0.2 92- 92- 92- 92- 93- 93- 93- 94- 94- 94- 95- 95- 95- 96- 96- 96- 97- 97- 97- 98- 98- 98- 99- 99- 9903 07 10 12 05 09 11 03 07 11 03 07 11 03 07 11 03 07 11 03 07 11 03 07 11 -0.4

0.200 0.100

-0.6 -0.8

0.000

92 -0 3 92 -0 7 92 -1 0 92 -1 2 93 -0 5 93 -0 9 93 -1 1 94 -0 3 94 -0 7 94 -1 1 95 -0 3 95 -0 7 95 -1 1 96 -0 3 96 -0 7 96 -1 1 97 -0 3 97 -0 7 97 -1 1 98 -0 3 98 -0 7 98 -1 1 99 -0 3 99 -0 7 99 -1 1

-1 -1.2

4. ´ abra. Az öt a´rvárakoz´ asi modell esetén az α-k és a százalékos árváltozás korrel´ aciója k¨ otési határid˝ onként.

5. ´ abra. Abnorm´ alis α-k aránya k¨ otési határid˝ onként a k¨ ul¨ onb¨ oz˝o módszerek szerint.

A 4. a´br´ an l´ atszik, hogy az A2 modell szinte végig pozit´ıv korrel´ aciót produk´ al (egyetlenegy korai k¨ otési határid˝ ot, a 92-09-et kivéve, amikor is -0.004, tehát gyakorlatilag 0), és mindvégig viszonylag magas. Ennek megfelel˝ oen az r-ek átlaga is ennél a modellnél a legnagyobb, 0.17 k¨ or¨ uli (1-hez k¨ ozeli korrel´ aciót nyilv´ an még a legjobb modellt˝ol sem v´ arhatunk, hiszen rendk´ıv¨ ul sok modell érvényes¨ ulhet, amik mind hatnak az a´rra). Szintén kevés negat´ıv érték szerepel az E2-höz tartoz´ o sorozatban, viszont itt az értékek által´ aban kisebbek, mint az A2 megfelel˝o értékei – az átlag valamivel nagyobb, mint az el˝oz˝o modellhez tartozó ´ atlag fele. Az E0-hoz tartozó grafikonban sok negat´ıv

Az 5. ábr´ an az A2-höz tartoz´ o vonal azért nem látszik, mert végig 0, tehát az ezen módszerrel kalkul´ alt α-kat kisz´ amolva az összes kötési hat´ arid˝ o összes kötési dátum´ ara, egyszer sem lesz a modellhez képest abnorm´ alis. A ´ szintén p mér˝oszám szerint teh´ at megint csak az A2 modell a legjobb. Es az E1 a legrosszabb, hiszen jól l´ athat´ o, hogy az ezen modellnek megfelel˝ o grafikon szinte végig a többi f¨ ol¨ ott halad. A m´ asik h´ arom modell sorrendje viszont felborul az el˝ oz˝oekhez képest: a legjobb értékeket ezek köz¨ ul most E0 produk´ alja, a legrosszabbakat pedig E2.




Nagy α-k az extrapolat´ıv esetekben ´ es hat´ asuk a korrel´ aci´ ora


Nagy alfák hatása a korrelációra extrapolatív esetben (q=n/k*r) 0.020

Eddig sz´ amunkra nem volt érdekes, azonban most megeml´ıtj¨ uk, hogy minden évben 6 k¨ otési határid˝ o van: m´ arcius, május, j´ ulius, okt´ ober, november és december, illetve 1992-ben és 1993-ban szeptemberre is viszonylag nagy szám´ u k¨ otés történt. Ezeken k´ıv¨ ul el˝ofordult még egy-egy további hat´ arid˝ o, de ott mindig igen kevés kötés jött létre, ´ıgy azokkal nem is foglalkoztunk (a k¨ otési hat´ arid˝ ok k¨ otésszámai grafikonos form´ aban megtal´ alhat´ ok a 10. a´br´ an).

0.015 0.010 0.005 0.000 -0.005

92 -0 3 92 -0 7 92 -1 0 92 -1 2 93 -0 5 93 -0 9 93 -1 1 94 -0 3 94 -0 7 94 -1 1 95 -0 3 95 -0 7 95 -1 1 96 -0 3 96 -0 7 96 -1 1 97 -0 3 97 -0 7 97 -1 1 98 -0 3 98 -0 7 98 -1 1 99 -0 3 99 -0 7 99 -1 1

9.

14

-0.010

E0

-0.015

E1

-0.020

Nagy alfák aránya extrapolatív esetben (n/k)

E0 E1

0.100

E2

E2

-0.025 -0.030

0.090

7. ´ abra. A q mér˝oszám alakul´ asa a kötési határid˝ ok f¨ uggvényében.

0.080 0.070 0.060 0.050

értékek, de sok negat´ıv érték is van, s˝ot nagy abszol´ utérték˝ u negat´ıvak is.

0.040 0.030 0.020

10.

0.010

”Eredm´ enyhirdet´ es”

6. ´ abra. A nagy α-k aránya k¨ otési határid˝ onként az extrapolat´ıv módszerek szerint. A frissebb kötési határid˝ okre, azaz a ’97-, ’98-, ’99-esekre, a kötések száma már elért egy magasabb szintet, és a piac is stabilizál´ odott a kezdeti bizonytalans´ agokat követ˝ oen. A 6. a´bra érdekessége, hogy azt mutatja, hogy ezen id˝ oszakban egy bizonytalan periodikuss´ ag figyelhet˝ o meg a nagy α-k számát tekintve. Nevezetesen az októberi hat´ arid˝ ore mindig a legkevesebb extrém érték jut, majd a novemberi hat´ arid˝ on kereszt¨ ul egyenletes emelkedés figyelhet˝o meg, a cs´ ucs mindig a decemberhez tartozik. Ezután a m´ arciusi, májusi és j´ uliusi hat´ arid˝ ok¨ on kereszt¨ ul v´ altozatos módon jutunk el ismét az októberi mélypontig. Térj¨ unk most a´t a nagy α-khoz tartozó q mér˝oszám vizsg´ alat´ ara – ez a kor´ abbiak szerint csak az extrapolat´ıv esetekben használhat´ o. A 7. a´bra szerint ebben a kategóri´ aban az E2 modell a legjobb, a q abb csak korai k¨ otési érték itt szinte végig pozit´ıv (és a negat´ıv értékek is ink´ hat´ arid˝ oknél fordulnak el˝ o). Az E1-es átlag a legkisebb, ez tehát a legkevésbé érvényes¨ ul˝ o modell ebb˝ol a szempontb´ ol. E0-n´ al megint el˝ofordulnak kiugr´ o Operations Research Reports No. 2005-02

A 8. a´br´ an l´ athat´ o a mindegyik modellre alkalmazható x mér˝oszám alakul´ asa, a 9. a´br´ an pedig az extrapolat´ıv esetekre vonatkozó tov´ abbfejlesztett v´ altozaté, y-é. A 3. t´ abl´ azat o¨sszefoglalja az r, p, q, x és y mér˝oszámok átlagait az egyes modellekre (a kötési határid˝ okh¨ oz tartoz´ o értékeket átlagoljuk). Jelenlét mérĘszáma: x=18*r-7.5*p 15.000 10.000 5.000 0.000 92 -0 3 92 -0 7 92 -1 0 92 -1 2 93 -0 5 93 -0 9 93 -1 1 94 -0 3 94 -0 7 94 -1 1 95 -0 3 95 -0 7 95 -1 1 96 -0 3 96 -0 7 96 -1 1 97 -0 3 97 -0 7 97 -1 1 98 -0 3 98 -0 7 98 -1 1 99 -0 3 99 -0 7 99 -1 1

92 -0 3 92 -0 7 92 -1 0 92 -1 2 93 -0 5 93 -0 9 93 -1 1 94 -0 3 94 -0 7 94 -1 1 95 -0 3 95 -0 7 95 -1 1 96 -0 3 96 -0 7 96 -1 1 97 -0 3 97 -0 7 97 -1 1 98 -0 3 98 -0 7 98 -1 1 99 -0 3 99 -0 7 99 -1 1

0.000

-5.000

E0

-10.000

E1 E2

-15.000

A1

-20.000

A2

8. ´ abra. Az x mér˝oszám id˝ obeli lefut´ asa. Operations Research Reports No. 2005-02


30.000 20.000 10.000

-20.000

-1 1

99

-0 7

-0 3

99

99

-0 7

-1 1

98

-0 3

98

-1 1

97

98

-0 3

-0 7

97

-1 1

97

-0 7

96

-0 3

96

-1 1

96

-0 7

95

-0 3

95

-1 1

95

94

-0 7

-0 3

94

94

-1 1

-0 9

93

93

-1 2

-0 5

93

-1 0

92

-0 7

92

92

-0 3

0.000

92


5-dimenziós α-vektorokat vizsg´ alunk, clusterezz¨ uk o˝ket, és ezzel prób´ alunk meg el˝orejelezni. Ezen vizsgál´ od´ asokn´ al csak a ’97 okt´ oberét˝ol kezd˝ od˝ o id˝ oszak k¨ otési határidejeivel foglalkozunk – mint kor´ abban eml´ıtett¨ uk, erre az id˝ oszakra a piac u ´ gy-ahogy stabilizál´ odott, és a kötésszám is elért egy magasabb szintet. (’97 j´ ulius´ aig minden hat´ arid˝ o k¨ otésszáma 170 alatt volt, onnant´ ol viszont mindig 210 föl¨ ott van – a 10. a´br´ an j´ ol megfigyelhet˝o ez a markáns v´ alt´ as.)

Jelenlét módosított mérĘszáma extrapolatív esetben: y=18*r-7.5*p+830*q

-10.000

16

E0

350

E1

-30.000

E2

-40.000 -50.000

Kötésszám 300 250

9. ´ abra. Az y mér˝oszám az extrapolat´ıv modellekre.

200 150 100

3. t´ abl´ azat. A mér˝oszámok átlagai.

50

-1 1

-0 7

99

-0 3

99

-1 1

99

-0 7

98

-0 3

98

-1 1

98

97

-0 3

-0 7

97

-1 1

97

-0 7

96

-0 3

96

-1 1

96

-0 7

95

-0 3

95

-1 1

95

-0 7

94

-0 3

94

-1 1

94

-0 9

93

-0 5

93

93

-1 0

-1 2

92

-0 7

92

-0 3

92

-1 1

92

-0 9

0 91

A2 0.000 0.171 3.073 -

91

A mér˝oszámok átlagos értékei az egyes modellekben E0 E1 E2 A1 p=m/k 0.050 0.309 0.196 0.113 n/k 0.027 0.015 0.025 q=(n/k)*r 0.001 0.000 0.002 r 0.034 -0.027 0.093 0.008 x=18*r-7.5*p 0.229 -2.801 0.193 -0.694 y=18*r-7.5*p+830*q 1.359 -2.676 1.938 -

10. ´ abra. K¨ otésszámok alakul´ asa a kötési határid˝ o, mint id˝ o f¨ uggvényében, a lényegtelenek elhagyásával.

Mindezek alapj´ an r¨ ogt¨ on l´ atszik, hogy az A2 modell, ami k¨ ul¨ on-k¨ ul¨ on is a legjobb volt a korrel´ aciós és az abnormális esetes összevetésben, összességében is messze a legjobb. Hasonló mondhat´ o el a másik oldalon, az E1-es modellel kapcsolatban is, ami a legrosszabb. Nem t´ ul meggy˝ oz˝oek az A1 eredményei sem, megállap´ıthatjuk teh´ at, hogy azon modellek, ahol a v´ art a´rat a´tlagként számoljuk, nem igaz´ an érvényes¨ ulnek – ink´ abb a maximumon alapul´ o v´ altozat all k¨ ´ ozelebb a valósághoz. A maradék két modell k¨ oz¨ ul az x mér˝oszám E0-ra nagyobb, a csak extrapolat´ıvakra vonatkoz´ o y pedig E2-re. Ez ut´ obbi ugyan meglehet˝osen magas y-t ér el, viszont itt az abnorm´ alis α-k aránya nagyon magas, átlagban az o¨sszes esetnek közel egyöt¨ odét teszik ki – ez alapján, b´ ar a módos´ıtott mér˝oszáma alacsonyabb, mégis talán azt gondolhatjuk, hogy az ul jobban a kett˝ o k¨ oz¨ ul, de az sem közel´ıti meg az A2-es E0 modell érvényes¨ szintjét. A tov´ abbiakban el˝ oször az egyes modellek α-értékeir˝ ol tesz¨ unk néhány észrevételt, majd a legjobbnak bizonyuló modellel foglalkozunk részletesebben:

Ebben a fejezetben két dolgot fogunk megvizsgálni: egyrészt azt, amit a c´ım is sugall, hogy konkrétan milyen sz´ amok fordulnak el˝ o α-kként, és ezek hogyan oszlanak el, másrészt pedig azt, hogy milyen ar´ anyban fordulnak el˝ o ”naiv” árvárakoz´ asok. Ez ut´ obbi alatt azt értj¨ uk, hogy a v´ art a´r valamilyen trivi´ alis módon ad´ odik – extrapolat´ıv esetben α = 1 (pet = pt−1 ), α = 0 (pet = pt−2 ). Ezek lényegében nem k¨ ul¨ onb¨ oznek egymástól, abban az értelemben, hogy a v´ art a´r hogyan ad´ odik - mindkétszer egy korábbi val´ os ár. A konkrét értékek alapj´ an az α = 0 esetek száma meg sem közel´ıti a α = 1 esetek számát, ´ıgy a tov´ abbiakban csak ez ut´ obbival foglalkozunk. (Furcsa jelenségre lehet¨ unk figyelmesek: ha sok van egy ilyen naiv a´rvárakoz´ asból, akkor az utalhat arra, hogy a modell jelen van, hiszen alkalmazz´ ak, méghozzá a legegyszer˝ ubb v´ altozat´ at - ugyanakkor némileg sajnálkozhatunk, hogy a vizsg´ alt piac még



11.

α-´ ert´ ekek az egyes modellekben


nem igazán fejlett, nem m˝ uk¨ odnek kifinomultabb modellek. Ez persze nem t´ ul meglep˝o, hiszen mindenki az egyszer˝ u megold´ asokra t¨ orekszik a bonyolult, kevésbé átl´ athat´ o dolgokkal kapcsolatban.) Adapt´ıv modellekben kissé más a helyzet (a fenti megjegyzés persze ott is áll). Ott az α = 1 (pet = pt−1 ) és az α = 0 (pet = pet−1 ) esetek természete más, el˝obbiben a v´ art a´r a legut´ obbi tényleges, ahogy extrapolat´ıv esetben is, ut´ obbiban viszont a v´ art a´r a legut´ obbi v´ art a´r. A tapasztalatok azt mutatj´ ak, hogy mindkett˝ o szép számmal szerepel a konkrét értékek közt, ´ıgy teh´ at mindkett˝ovel érdemes foglalkozni. ¨ Osszefoglalva teh´ at extrapolat´ıv esetben naiv árvárakoz´ asnak nevezz¨ uk az α = 1 esetet, adapt´ıv esetben pedig az α = 1 és az α = 0 eseteket. α = 1 annak felel meg, hogy a várt a´r az utols´ o val´ os ár, α = 0 pedig annak, hogy az utols´ o v´ art a´r. Azt fogjuk megvizsgálni, hogy ezek milyen ar´ anyban fordulnak el˝ o az egyes modellekben. A fenti paradoxon szerint a modell jelenlétét ink´ abb ezen naiv értékek nagy aránya er˝ os´ıti meg, hi´ aba utal ez egyben a piac fejletlenségére. (Az is igaz persze, hogy nyilv´ an épp ezeket az értékeket k¨ onnyebb kimutatni, a finomabbak jobban elvesznek a sok adatban.)

18


A 11. a´br´ an a nem-naiv α-k arány´ at a´br´ azoltuk az o¨sszeshez viszony´ıtva az egyes modellekben, az id˝ o a k¨ otési hat´ arid˝ o. J´ ol elk¨ ul¨ on¨ ulnek az egyes modellekhez tartozó vonalak, ´ıgy l´ athat´ o, hogy megint az A2 t˝ unik a legjobbnak, azt´ an az E0 és E2 fej-fej mellett haladnak, és a két legrosszabb a két átlagon alapul´ o modell (most épp ford´ıtott sorrendben). Megfigyelhetj¨ uk, hogy legjobb modell¨ unk, az A2-es grafikonja szinte végig 0.3 alatt halad, azaz

az összes eset több mint kétharmad´ aban naiv a´rvárakoz´ asi modell van jelen. Az 11. ábra képe mellesleg alát´ amasztja azt a gondolatot, hogy az extrapolat´ıv és adapt´ıv modellekben nem ugyanaz a naiv a´rvárakoz´ as, hiszen jól l´ atszik, hogy az ennek megfelel˝ oen defini´ alt naiv értékek aránya k¨ or¨ ulbel¨ ul ugyan´ ugy mozog az egyes modellekben, csak más-más szinten. Térj¨ unk most a´t az α-értékek eloszlásának vizsg´ alat´ ara. A 97-10 és 9912 közötti 15 hat´ arid˝ o mindegyikében és mind az o¨t modellben a´br´ azoltuk az egyes α-értékeket növekv˝ o sorrendben. Mind az öt modellre igaz, hogy a k¨ ul¨ onb¨ oz˝o hat´ arid˝ okh¨ oz tartoz´ o grafikonok képe igen hasonl´ıt, ugyanakkor (ahogy az várhat´ o is), az egyes modellek képei igen eltér˝oek. Az al´ abbiakban a 99-11 kötési határid˝ oh¨ oz tartoz´ o o¨t grafikont vizsg´ aljuk meg – mindegyikre igaz, hogy az adott modell grafikonjainak tipikus példája a 99-11-es. Fontos megjegyezni, hogy ezeken az a´br´ akon a k¨ onnyebb a´ttekinthet˝oség kedvéért csak az 5-nél kisebb abszol´ ut érték˝ u α-értékek szerepelnek. Extrapolat´ıv modellek esetén nem meglep˝o, hogy ilyen megszor´ıt´ ast kell tenn¨ unk, hiszen el˝ofordulhatnak nagy α-k, adapt´ıv esetben ennek nem kellene ´ıgy lennie, de sajnos az A1 modellben, mint korábban l´ attuk, a kisz´ amolt értékek valamivel t¨ obb, mint egy tizede abnorm´ alis. Szerencsénkre az A2 modellel ilyen gondok nincsenek, hiszen ott nincs abnorm´ alis érték, ´ıgy ennek a modellnek a grafikonja felép´ıtését tekintve is eltér a t¨ obbit˝ol. Hasonlóan a fentebb t´ argyalt naiv a´rvárakoz´ asokhoz, itt is u ´ gy gondoljuk, hogy az adott modell jelenlétét az támasztja alá, ha a paraméter egyszer˝ u értékeit tudjuk kimutatni (azaz egész számokat, illetve ”kerek törteket” – egész számok reciprokait, egyszer˝ u alak´ u t¨ orteket). Amennyiben ugyanis a modellt (ha nem is tudatosan, de) alkalmazz´ ak, akkor ezt val´ osz´ın˝ uleg nem t´ ul bonyolult sz´ amokkal teszik. Ha sok kerek érték van, akkor a sorbarendezett értékeket ábr´ azolva ezen értékeknek megfelel˝o ”teraszokat” kell l´ atnunk, k¨ ozt¨ uk ugr´ asokkal, azaz a grafikonnak lépcs˝ozetességet kell mutatnia. Persze minél több értéket tekint¨ unk kereknek, ann´ al t¨ obb ”teraszr´ ol”, szintr˝ ol kell beszéln¨ unk, ´ıgy az ugr´ asszer˝ uség elmosódhat, teh´ at elképzelhet˝o, hogy ez nem lesz olyan szembet˝ un˝ oen jellemz˝o a grafikonokra. A nagyon egyszer˝ u értékek un˝ o ”teraszait” azonban ez a hat´ as nem befoly´ asolja. (0, 1, 2, 12 stb.) felt˝ Els˝ oként nézz¨ uk teh´ at az E0 modellt a 12. a´br´ an. J´ ol l´ atszik, ami a naiv a´rvárakoz´ asok vizsg´ alata sor´ an felmer¨ ult, hogy rendk´ıv¨ ul sok az 1-es. A t¨ obbi érték nagyjáb´ ol egyenletesen oszlik el, az 1 értékt˝ol haladva visszafele folyamatos a csökkenés 0-ig, majd kicsit meredekebb -5-ig - ez persze nem meglep˝o, hiszen a negat´ıv értékek abnormálisak. +5-ig is többé-kevésbé egyenletes az emelkedés, közben kisebb ”teraszokkal” – (viszonylag) sok 2-es, 3-as van. Megfigyelhet˝ o teh´ at, hogy a kerek értékek többsz¨ or fordulnak el˝ o, s a fentiek értelmében ez arra utal, hogy a modell jelen van, méghozzá nem



Nem-naiv alfák aránya

E0 E2 A2

E1 A1

1.200 1.000 0.800 0.600 0.400 0.200 0.000 97-10 97-11 97-12 98-03 98-05 98-07 98-10 98-11 98-12 99-03 99-05 99-07 99-10 99-11 99-12

11. ´ abra. A nem-naiv α-k arány´ anak alakul´ asa az id˝oben.


E0 alfák növekvĘ sorrendben, 99-11 6 5 4 3

20


A 13. a´br´ an l´ athat´ o, hogy az E1 modellben j´ oval t¨ obb negat´ıv érték szerepel – nem meglep˝o, hiszen ez volt a legrosszabb modell¨ unk. Itt sokkal t¨ obb 1-nél kisebb szám van jelen, és kevesebb 1-nél nagyobb, az E0-nál ez ink´ abb ford´ıtva volt. B´ arhogyan is leszerepelt azonban az E1 modell, azt nem mondhatjuk, hogy ne lenne jelen a piacon. Hiszen itt is megfigyelhet˝ ok a ”teraszok”, igaz r¨ ovidek, de jelen vannak.

2 1

E2 alfák növekvĘ sorrendben, 99-11

0 -1

6

-2

5

-3

4

-4

3

-5

2 1

12. ´ abra. Az E0 modell α-értékei az 1999. novemberi kötési határid˝ ore.

0 -1 -2

t´ ul bonyolult sz´ amokkal. Ilyenek a ”kerek t¨ ortek” is, és ennek megfelel˝oen az ´ persze a 0 is, ebb˝ol ábr´ an megfigyelhet˝ ok az ezeknek megfelel˝ o ”teraszok”. Es is van t¨ obb, de messze nem annyi, mint 1-b˝ol. Az ugr´ asszer˝ uség itt nincs jelen, de jobban szem¨ ugyre véve az ábr´ at l´ athatjuk, hogy itt ennek val´ oban a sok r¨ ovid ”terasz” az oka. E1 alfák növekvĘ sorrendben, 99-11 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5

13. ´ abra. Az E1 modell α-értékei az 1999. novemberi kötési határid˝ ore. Operations Research Reports No. 2005-02

-3 -4 -5 -6

14. ´ abra. Az E2 modell α-értékei az 1999. novemberi kötési határid˝ ore. Az E2 modellben (14. a´bra) a lépcs˝ozetesség még ink´ abb ki¨ utk¨ ozik: az ugr´ asszer˝ uség itt nem mos´ odik el, ez tehát mindenképpen a modell er˝osebb jelenlétét támasztja alá. Fontos megjegyezni, hogy ennél a modellnél kellett a legtöbb értéket elhagyni az ábr´ azol´ askor, mert 5-nél nagyobb abszol´ ut ´ érték˝ uek voltak – ez is erre az ugr´ asszer˝ uségre utal. Erdekess´ eg, hogy itt az eddigiekhez képest jóval t¨ obb 0 is szerepel. Az A1 modellnél, a 15. ábr´ an figyelhet˝ o meg a legkevesebb 1 érték (ahogy ezt kor´ abban a 11. a´br´ an is l´ athattuk), természetesen sok a 0 és 1 közé es˝o szám, hiszen ezek lennének a normális értékek. Itt is megvannak a lépcs˝ok, emellett az emelkedés 1-ig nagyon egyenletes. Ahogy 1-esb˝ol, 0-b´ ol is kevés van, pedig ezek a naiv v´ arakoz´ as sz´ amai. Ahogy az E1 modellr˝ ol, természetesen err˝ ol sem mondhatjuk, hogy ne lenne jelen, de az biztos, hogy ezek a modellek, asosak” a piacon. ahogy azt kor´ abban is meg´ allap´ıtottuk, nem t´ ul ”befoly´ Végezet¨ ul a 16. a´br´ an l´ athat´ o A2 modellben nagyon sok 0 van, és nagyon sok 1. K¨ ozött¨ uk, kb. 0,1 el˝ ott és 0,4 után ugr´ asszer˝ u az emelkedés, a két érték k¨ ozt viszont ink´ abb egyenletes, de a ”teraszok” itt is megvannak. Ahogy edOperations Research Reports No. 2005-02


A1 alfák növekvĘ sorrendben, 99-11 4 3 2

22


modell jelenlétét, b´ ar eléggé természetes gondolat, leginkább bizonyos emberi viselkedésformák feltételezésén alapul. Mindenesetre ezek az adatok al´ at´ amasztásként szolgálhatnak az eddig meg´ allap´ıtott jelenlétekre, ahogy azt fentebb kifejtett¨ uk. Tov´ abb´ a önmagukban is érdekes eredmények, hiszen az egyes modellek alkalmazásának form´ ait ´ırj´ ak le.

1 0

12.

-1

A2-es α-vektorok

dig is tudtuk, ismét alát´ amasztást nyert teh´ at, hogy ez a legjobb modell¨ unk. Felmer¨ ul a kérdés, hogy a naiv α-k számát, illetve bizonyos kerek értékek számát miért nem használtuk a jelenlét mér˝oszámaihoz. Azért, mert ezeknél a vizsgálatokn´ al t´ ul sok, t¨ obbségében intuit´ıv feltételezést használtunk, hiszen az, hogy a naiv, illetve egyszer˝ u értékek nagy száma támasztja alá a

Mint fentebb eml´ıtett¨ uk, befejzésképpen az A2-es modell α-értékeinek o¨sszef¨ uggéseit vizsgáljuk. Ehhez o¨tdimenzi´ os α-vektorokat képz¨ unk, méghozzá az id˝ orendi sorrendnek megfelel˝ oen – teh´ at gyakorlatilag az egym´ ast követ˝ o¨ otdimenziós vektorok tartalmazzák az egym´ ast követ˝ o hetek α-értékeit (a t˝ ozsdén hétvégenként nincs kereskedés). Ezeket a vektorokat clusterezt¨ uk, méghozzá minden egyes k¨ otési határid˝ o esetén h´ arom clusterezést végezt¨ unk: 5, 6, illetve 7 osztályba soroltuk a vektorokat. Ezut´ an megvizsg´ altuk, hogy az 5 csoport elemei hogyan v´ alnak szét 6 csoportt´ a, illetve ugyanez hogyan zajlik 6-r´ ol 7-re – ezzel pr´ ob´ alva megállap´ıtani, hogy mennyire stabilak az egyes clusterek. Ezut´ an lev´ agtuk a vektorok utols´ o koordin´ at´ ait, és ugyanezeket a clusterezéseket megcsináltuk az ´ıgy kapott csonka, négydimenziós vektorokra is. Majd megvizsg´ altuk, hogy ezek a clusterek hogyan mennek a´t az ötdimenziós csoportokba. Ide´ alis esetben ugyanis a négy- és ötdimenzi´ os clusterek uen megfeleltethet˝ok lennének egymásnak, ´ıgy a t˝ ozsdén a hét els˝ o egyértelm˝ négy kereskedési napj´ ahoz tartoz´ o α-érték ismeretében el˝ orejelezhet˝o lenne az öt¨ odik, ezen kereszt¨ ul pedig az a´r. Természetesen ezt nem várhatjuk, megelégsz¨ unk azzal, ha erre utal´ o jeleket felfedez¨ unk, illetve néhány cluster esetében ezt tudjuk a´ll´ıtani. Az al´ abbiakban alapvet˝ oen az 5 clusterre bont´ as csoportjait vizsg´ aljuk, a 6, illetve 7 clusteres felbont´ ast csak a stabilit´ as vizsg´ alat´ ahoz haszn´ aljuk fel. Els˝ o tapasztalatunk, hogy mindig van egy-két olyan cluster (egyel˝ ore most az ötdimenzi´ os vektorokr´ ol beszél¨ unk), melyeknél a középpont koordin´ at´ ai k¨ ozött szerepel 0 és 1, illetve ezekhez nagyon közeli érték. Az ilyen clusterek tagszáma meglehet˝osen kicsi (által´ aban 10 alatti, ami ezt meghaladja, az sem sokkal) – stabilitásuk kötési hat´ arid˝ ot˝ ol f¨ ugg˝ oen meglehet˝osen változatos. o (A konkrét értékekre példa a F¨ uggelékben tal´ alhat´ o: a 97-10 kötési hat´ arid˝ esetében az 1-es, 2-es és 3-as cluster, m´ıg a 99-03 hat´ arid˝ onél a 1-es, 3-as és 4-es.) Az, hogy mely koordin´ at´ ak értékei széls˝ oértékek, illetve ahhoz közeliek, k¨ otési hatrid˝ot˝ ol f¨ ugg˝ oen meglehet˝osen változ´ o. Tov´ abb´ a igaz az is, hogy a k¨ ul¨ onb¨ oz˝o hat´ arid˝ ok ezen clusterei nem feleltethet˝ ok meg egymásnak, amint ez a F¨ uggelékben bemutatott két határid˝ o esetén is látszik. Felmer¨ ul a gondolat, hogy ne az o¨sszes határid˝ o k¨ ozött pr´ ob´ aljunk megfeleltetni, hanem csak



-2 -3 -4 -5 -6

15. ´ abra. Az A1 modell α-értékei az 1999. novemberi kötési határid˝ ore. A2 alfák növekvĘ sorrendben, 99-11 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

16. ´ abra. Az A2 modell α-értékei az 1999. novemberi kötési határid˝ ore.


az azonos h´ onapok k¨ ozött, azonban ez sem vezet jobb eredményre. Megjegyezz¨ uk, hogy ez a legels˝ o lépésben nem ´ıgy t˝ unik, hiszen a 98-10-es hat´ arid˝ o ezen három clustere egész jó egyezést mutat a F¨ uggelékbeli, 97-10-es clusterekkel. Ha még kiegész´ıtj¨ uk e kett˝ot a 99-10-es határid˝ ovel, akkor azt tapasztaljuk, hogy kis j´ oindulattal b´ armely kett˝o k¨ ozt tudunk megfeleltetni, de egyszerre a h´ aromra ez már bajosabb. Megvizsg´ alva a t¨ obbi h´ onapot is, azt tapasztaljuk, hogy ha nagyon akarjuk, megfeleltethet¨ unk egym´ asnak clustereket, de ezek azért kisebb-nagyobb mértékben eltérnek az egyes koordin´ at´ akban. Az el˝orejelzés szempontjáb´ ol ezek a clusterek meglehet˝ osen hektikusan viselkednek. Vannak k¨ otési határid˝ ok, ahol a h´ arom négydimenziós cluster szinte teljes egészében egy-egy megfelel˝o ¨ otdimenzi´ osba megy a´t (pl. a 97-10-es), de el˝ofordulnak olyanok is, ahol rendszertelen¨ ul szétesnek (pl. a 99-03-as, a megfelel˝o a´br´ ak a F¨ uggelékben l´ athat´ ok). Emiatt az el˝orejelzésnél más hat´ arid˝ ok adataival nem érdemes számolni. Az el˝ orejelzés u ´ gy t¨ orténhet, hogy az adott ore, amire éppen u ¨ zletet akarunk k¨ otni, elkész´ıtj¨ uk a kor´ abbi k¨ otési határid˝ arvektorok clustereit, és abba pr´ ´ ob´ aljuk besorolni az aktu´ alis négydimenziós vektort (err˝ol most feltessz¨ uk, hogy a fentebb ismertetett clusterek egyikébe esik, azaz nem sorolható be a két lentebb bemutatott csoportba – l´ atni fogjuk, hogy azok egyértelm˝ uen kisz˝ urhet˝ok). Ez persze csak a kötési határid˝ o k¨ ozeledtével lesz informat´ıv, hiszen csak akkorra gy˝ ulik o¨ssze megfelel˝o mennyiség˝ u adat. Nézz¨ uk meg, hogy mi a helyzet a maradék két clusterrel: az egyik ezek k¨ oz¨ ul azokat a vektorokat reprezentálja, ahol a koordin´ at´ ak mind 1-hez k¨ ozeliek. Ilyen cluster mindig van, b´ ar kisebb eltérések el˝ofordulnak a hat´ arid˝ ok ´ k¨ ozt. Altal´ aban jellemz˝ o, hogy az ilyen clusterek k¨ ozéppontjainak koordin´ at´ ai k¨ ozt kett˝o, h´ arom vagy négy olyan van, ami nemcsak k¨ ozel van 1-hez, hanem éppen annyi. A maradék koordin´ at´ ak néha egészen közeliek, 0,9 k¨ or¨ uliek, néha csak 0,6-0,7 k¨ oztiek, viszont az 0,5-et egy-két kivétellel mindig elérik. Ez a cluster kevés kivétellel stabilnak mondható – például a 97-10-es kötési hat´ arid˝ o esetén ez a csoport teljes egészében v´ altozatlan marad, amikor 5 helyett 6, illetve 6 helyett 7 clustert képz¨ unk (l´ asd F¨ uggelék). Nem meglep˝o tov´ abb´ a, hogy ez a csoport az el˝orejelzést tekintve is stabil: azon 4-dimenziós vektorok, melyek els˝o négy koordin´ at´ aja 1-hez közeli, által´ aban ugyanilyen 5. koordin´ at´ at eredményeznek. Az el˝orejelzés itt teh´ at meglehet˝osen egyszer˝ u: ha az els˝o négy alfa 1-hez közeli, akkor az öt¨ odik is ilyen lesz, legegyszer˝ ubb konkrétan 1-nek venni. Fontos megjegyezn¨ unk, hogy b´ ar ez a cluster mindig jelen van, a k¨ otési határid˝ o n¨ ovelésével tagszáma egyre cs¨ okken, teh´ at a naiv értékek id˝ oben egyre ink´ abb elk¨ ul¨ on¨ ulnek egymástól.

24


ordin´ at´ ak kisebbek, az utols´ ok nagyobbak. Ez a cluster szinte mindig a legtöbb vektort tartalmazza, tagjainak sz´ ama nem ritk´ an megk¨ ozel´ıti, s˝ ot eléri a 20-at. A k¨ ul¨ onb¨ oz˝o k¨ otési hat´ arid˝ okre a konkrét értékek, illetve a nagyság szerinti megosztás meglehet˝osen változatos, azonban az el˝ orejelzés szempontjáb´ ol lényeges utolsó koordin´ ata a´ltal´ aban a legnagyobb. A t¨ obbihez képest legtöbbsz¨ or stabilnak mondhat´ o, és az el˝ orejelzés szempontjáb´ ol is ”j´ ol” viselkedik: azon négydimenziós vektorok, melyek els˝o négy koordin´ at´ aja megfelel ennek a clusternek, kiegész¨ ulve nagy val´ osz´ın˝ uséggel ebbe esnek bele. A konkrét értékek kötési hat´ arid˝ ot˝ ol val´ o f¨ uggése miatt azonban itt is hasonló el˝orejelzési módszert kell alkalmazni, mint az els˝ oként t´ argyalt h´ arom cluster esetében: az adott határid˝ ore vonatkozó, már meglév˝o adatok clusterezése odik koordin´ ata. ut´ an egy adott négydimenziós vektor esetén becs¨ ulhet˝o az öt¨ Azonban az, hogy egy adott négydimenziós vektor ebbe a speci´ alis clusterbe esik, a kor´ abbi adatok ismerete nélk¨ ul is nagy biztons´ aggal eldönthet˝ o, és tekintve, hogy az o¨t¨ odik mindig a legnagyobb érték, becslésként megfelel˝o az addigi legnagyobb n¨ ovelése kb. 0,15-tel (´ atlagban ugyanis kb. ennyivel nagyobb az o¨t¨ odik érték a második legnagyobbn´ al). (Megjegyzend˝ o, hogy ebben a tekintetben vannak kivételek, ezért érdemes elkész´ıteni a kor´ abbi adatok alapj´ an a clustereket.) ¨ Osszefoglalva teh´ at azt mondhatjuk, hogy ha cs¨ ut¨ ort¨ ok¨ on becs¨ ulni szeretnénk a pénteki α-értéket, seg´ıtve ezzel az a´r el˝ orejelzését, akkor az adott k¨ otési határid˝ o a´raib´ ol, illetve az azokból alkotott o¨t- és négydimenziós vektorokb´ ol képzett clusterek seg´ıtségével meg´ allap´ıthatjuk, hogy az adott heti vektor éppen melyik clusterbe esik, és a megfelel˝o k¨ ozéppont utols´ o koordin´ at´ aj´ aval becs¨ ulhetj¨ uk a pénteki α-t. Az 1-eseket tartalmazó cluster esetében gyorsabb megold´ as az, ha a becslést 1-nek vessz¨ uk, a fenti o¨t¨ odik cluster esetén pedig a heti legnagyobb értéket 0,15-tel növelve kapjuk a becslést.

13.

¨ Osszefoglal´ as

Az öt¨ odik cluster igen hasonl´ o minden k¨ otési hat´ arid˝ onél: a k¨ ozéppont koordin´ at´ ai 0,1 és 0,5 között mozognak, olyan elosztásban, hogy az els˝o ko-

´ ozsde gabona szekciój´ Jelen cikkben megvizsg´ altuk, hogy a Budapesti Arut˝ aban a kukorica kereskedésében milyen a´rvárakoz´ asi modellek érvényes¨ ulnek: egyértelm˝ uen az adapt´ıv, maximumon alapul´ o modell van jelen legink´ abb, de kisebb hatást az ár alakul´ asára m´ as modellek is gyakorolnak, melyek legink´ abb extrém esetekben, kiugr´ o ´ arvárakoz´ asi paraméter mellett befolyásolj´ ak azt. Legjobb modell¨ unk a´rvárakoz´ asi paramétereit tovább vizsg´ alva pedig egy lehetséges el˝orejelzési módszert vázoltunk fel. A vizsg´ alatok tov´ abbfejlesztésének t¨ obb ir´ anya is lehet: egyrészt vizsg´ alhat´ ok más modellek, amikor a v´ art árat nem a´tlagol´ assal vagy maximumképzéssel állap´ıtjuk meg, illetve ezzel összef¨ uggésben öt helyett lehet t¨ obb vagy kevesebb kor´ abbi érték alapj´ an




26


becs¨ ulni. Az A2-es modellre adott el˝orejelzési módszer pedig u ´jabb adatok ismeretében esetleg továbbfejleszthet˝o, illetve programozható.

14.

K¨ osz¨ onetnyilv´ an´ıt´ as

A szerz˝ok megk¨ oszönik Lakner Zolt´ an adatszolg´ altat´ asban, B´ alint Andr´ as és Pr¨ ohle Tamás elemzések elvégzésében, valamint Csizmadia Zsolt szerkesztésben ny´ ujtott seg´ıtségét.

Alfa 5-dim. 1. koor Alfa 5-dim. 2. koor Alfa 5-dim. 3. koor Alfa 5-dim. 4. koor Alfa 5-dim. 5. koor

1 .982 .000 .097 .091 .091

2 .090 .090 .106 .279 .301

Cluster 3 .025 .065 .429 .857 1.000

Cluster 4 .910 1.000 .125 .125 .000

5 .755 1.000 1.000 1.000 .688

1 2 3 4 5

Valid Missing

11.000 21.000 7.000 8.000 16.000 63.000 1.000

1.b F¨ uggel´ ek: A 99-03 kötési határid˝ o o¨tdimenzi´ os vektorainak clusterk¨ ozéppontjai és a clusterek elemszáma 5 cluster esetén.

Hivatkoz´ asok [1] Mell´ ar Tamás, Rappai G´ abor: A fogyaszt´ as alakul´ asa a magyar gazdas´ agban, Szigma, XXIV, 35-61. [2] Bacsi Zsuzsanna, Kovács Ern˝ o, Lakner Zoltán, Vizv´ ari Béla: Empirical Analysis of Producers’ Price Expectations, Central European Journal of Operations Research, 7(2000), 327-366. ´ gabona [3] Lakner Zolt´ an, Vizv´ ari Béla: Ismétl˝ od˝ o mozg´ asform´ ak a BAT szekciój´ aban, Hitelintézeti Szemle, 2(2003), 3. sz., 69-77. ´ Titkárság, személyes adatszolgáltat´ [4] BAT as.

15.

Number of Cases in each Cluster

Final Cluster Centers



Alfa 5-dim. 1. ko Alfa 5-dim. 2. ko Alfa 5-dim. 3. ko Alfa 5-dim. 4. ko Alfa 5-dim. 5. ko

1 1.000 .700 .000 .000 .000

2 .492 .914 1.000 .000 .000

Cluster 3 4 .656 .038 1.000 .144 1.000 .076 1.000 .237 1.000 .356

Cluster

5 .000 .200 .651 1.000 1.000

6 .304 .524 1.000 1.000 .000

1 2 3 4 5 6

Valid Missing

10.000 5.000 10.000 14.000 4.000 3.000 46.000 .000

2.a F¨ uggel´ ek: A 97-10 kötési határid˝ o ötdimenzi´ os vektorainak clusterk¨ ozéppontjai és a clusterek elemszáma 6 cluster esetén.

F¨ uggel´ ek Final Cluster Centers Number of Cases in each Cluster


1 Alfa 5-dim. 1. koor 1.000 Alfa 5-dim. 2. koor .700 Alfa 5-dim. 3. koor .000 Alfa 5-dim. 4. koor .000 Alfa 5-dim. 5. koor .000

2 .472 .853 .929 .193 .000

Cluster 3 .061 .229 .767 1.000 .667

Cluster 4 .018 .125 .043 .228 .383

5 .656 1.000 1.000 1.000 1.000

Valid Missing

1 2 3 4 5

10.000 7.000 6.000 13.000 10.000 46.000 .000

1.a F¨ uggel´ ek: A 97-10 kötési határid˝ o ¨ otdimenzi´ os vektorainak clusterk¨ ozéppontjai és a clusterek elemszáma 5 cluster esetén.


Alfa 5-dim. 1. ko Alfa 5-dim. 2. ko Alfa 5-dim. 3. ko Alfa 5-dim. 4. ko Alfa 5-dim. 5. ko

1 .980 .000 .107 .100 .000

2 .074 .057 .139 .346 .067

Cluster 3 4 .025 .255 .065 .148 .429 .018 .857 .097 1.000 .903

Number of Cases in each Cluster Cluster

5 .910 1.000 .125 .125 .000

6 .755 1.000 1.000 1.000 .688

Valid Missing

1 2 3 4 5 6

10.000 15.000 7.000 7.000 8.000 16.000 63.000 1.000

2.b F¨ uggel´ ek: A 99-03 kötési határid˝ o o¨tdimenzi´ os vektorainak clusterk¨ ozéppontjai és a clusterek elemszáma 6 cluster esetén.



28

14



12

10

8 6 6

1 Alfa 5-dim. 1. koord 1.000 Alfa 5-dim. 2. koord .750 Alfa 5-dim. 3. koord .167 Alfa 5-dim. 4. koord .000

2 .092 .914 1.000 .400

Cluster 3 .061 .229 .767 1.000

Number of Cases in each Cluster Cluster

4 .038 .144 .076 .237

5 .790 1.000 1.000 1.000

1 2 3 4 5

Valid Missing

12.000 5.000 6.000 14.000 9.000 46.000 .000

5 4

4

3 2

4.a F¨ uggel´ ek: A 97-10 kötési határid˝ o csonkolt, négydimenziós vektorainak clusterk¨ ozéppontjai és a clusterek elemszáma 5 cluster esetén.

2 1

0 1

2

3

4

3.a F¨ uggel´ ek: 97-10 kötési hat´ arid˝ o, o¨tdimenzi´ os vektorok, az 5 cluster szétesése 6-ra (az egyes oszlopok jelentik az o¨t clustert, az oszlop magassága az elemsz´ amot, a 6 clustert a k¨ ul¨ onb¨ oz˝o mint´ aj´ u téglalapok teszik ki).



5

Alfa 5-dim. 1. koord Alfa 5-dim. 2. koord Alfa 5-dim. 3. koord Alfa 5-dim. 4. koord

1 .918 .398 .008 .000

2 .159 .072 .245 .971

Cluster 3 .042 .070 .145 .129

Cluster

4 1.000 .500 1.000 .000

5 .769 1.000 .941 1.000

Valid Missing

1 2 3 4 5

16.000 11.000 17.000 2.000 17.000 63.000 1.000

30

4.b F¨ uggel´ ek: A 99-03 kötési határid˝ o csonkolt, négydimenziós vektorainak clusterk¨ ozéppontjai és a clusterek elemszáma 5 cluster esetén. 20 6 5 4 10

3 2 1 Missing

0 Missing

1

2

3

4

5

3.b F¨ uggel´ ek: 99-03 kötési határid˝ o, o¨tdimenzi´ os vektorok, az 5 cluster szétesése 6-ra (az egyes oszlopok jelentik az o¨t clustert, az oszlop magassága az elemsz´ amot, a 6 clustert a k¨ ul¨ onb¨ oz˝o mint´ aj´ u téglalapok teszik ki).




30


16

14

12

10

8 5 6 4 4

3

2

2 1

0 1

2

3

4

5

5.a F¨ uggel´ ek: A 97-10 kötési határid˝ o csonkolt, négydimenziós vektorainak ´tmenete az ötdimenzi´ a os clusterekbe 5 cluster esetén (az egyes oszlopok jelentik a négydimenziós clustereket, a magasság ismét az elemsz´ amot reprezentálja, az o¨tdimenzi´ os clustereket a k¨ ul¨ onb¨ oz˝o mint´ aj´ u téglalapok jelentik). 20

5

10

4 3 2 1 0

Missing Missing

1

2

3

4

5

5.b F¨ uggel´ ek: A 99-03 kötési határid˝ o csonkolt, négydimenziós vektorainak atmenete az ötdimenzi´ ´ os clusterekbe 5 cluster esetén (az egyes oszlopok jelentik a négydimenziós clustereket, a magasság ismét az elemsz´ amot reprezentálja, az o¨tdimenzi´ os clustereket a k¨ ul¨ onb¨ oz˝o mint´ aj´ u téglalapok jelentik).


Faluk¨ ozy Tam´ as, Vizvári Béla Department of Operational Research E¨ otv¨ os Lor´ and University of Sciences 1117 Budapest, P´ azmány Péter sétány 1/C e-mail: [email protected], [email protected] Operations Research Reports No. 2005-02

Earlier Research Reports

Recent Operations Research Reports

´s, J. Mayer and T. Terlaky: A new approach to the 1991-01 T. Ille colour matching problem 1991-02 E. Klaszky, J. Mayer and T. Terlaky: A geometric programming approach to the chanel capacity problem

´s: New criss-cross type algo2003-01 Zsolt Csizmadia and Tibor Ille rithms for linear complementarity problems with sufficient matrices

1992-01 Edvi T.: Karmarkar projekt´ıv skál´ azási algoritmusa

´ a ´s and Ad ´m B. Nagy: A sufficient optimality criteria 2003-02 Tibor Ille for linearly constrained, separable concave minimization problems

1992-02 Kassay G.: Minimax tételek és alkalmazásaik ´s, I. Joo ´ and G. Kassay: On a nonconvex Farkas theorem 1992-03 T. Ille and its applications in optimization theory 1992-04 Interior point methods. Proceedings of the IPM 93. Workshop jan. 5. 1993

2004-01 Tibor Ill´ es and Marianna Nagy: The Mizuno–Todd–Ye predictor– corrector algorithm for sufficient matrix linear complementarity problem ´ s Ujva ´ri: On a closedness theorem 2005-01 Miklo ¨ zy Tama ´s, Vizva ´ri B´ 2005-02 Faluko ela : Az árut˝ ozsde gabona szekciój´ anak árvárakoz´ asai a kukorica kereskedésének t¨ ukrében

Operations Research. Report Copyright c 2005 Operációkutatási Tanszék, 2005 március. Budapest ISSN

Recommend Documents