Opdrachten Tarski’s World Logika thema 4 13 april 2004 1 Propositielogika 1.1 Atomaire proposities in Tarski’s world Open de wereld, wittgens.sen, en het bestand met beweringen, wittgens.sen 1. Ga van de eerste tien zinnen na welke: a) correct geformuleerde formules zijn. b) beweringen zijn. c) waar zijn 2. Maak een nieuw bestand van zinnen met de volgende inhoud en sla het op met de naam, witt1.sen: 1. Tet(a)
6. Between(a, b, c)
2. Medium(a)
7. a = d
3. Dodec(b)
8. Larger(a, b)
4. Cube(c)
9. Smaller(a, c)
5. FrontOf(a,b)
10. LeftOf(b,c)
3. Ga na welke formules, goedgeformuleerd zijn; een bewering zijn en welke waar zijn. 4. Pas de wereld zo aan dat alle beweringen waar zijn en sla die op als witt1.wld. 5. Vertaal de volgende zinnen in de logische taal en sla ze op in een bestand met de naam, witt2.sen:
1
1. a is een kubus.
6. b is een tetra¨eder.
2. b is kleiner dan a.
7. e is een dodeca¨eder.
3. c ligt tussen a en d.
8. e ligt rechts van b.
4. d is groot.
9. a is kleiner dan e.
5. e is groter dan a.
10. d ligt achter a.
6. Ga na welke formules, goedgeformuleerd zijn; een bewering zijn en welke waar zijn. 7. Pas de wereld zo aan dat alle beweringen waar zijn en sla die op als witt2.wld. 1
1.2 Samengestelde proposities met: conjunctie (en) disjunctie (of) en negatie (niet). Open de wereld, kleene.sen, en het bestand met beweringen, kleene.sen 8. Ga na welke formules, goedgeformuleerd zijn; een bewering zijn en welke waar zijn. 9. Pas de wereld zo aan dat alle beweringen waar zijn en sla die op als kleen1.wld. 10. Vertaal de volgende zinnen in de logische taal en sla ze op in een bestand met de naam, witt3.sen: 1. d en e staan beide achter b.
6. e is niet groot of staat niet achter a.
2. a is klein of b en c zijn beide groot.
7. c ligt niet tussen a en b en ook niet voor 3. d en e staan beide achter b en zijn ook e´e´n van die twee. groter. 8. a en e zijn tetra¨edra of a en f zijn dat. 4. b en c zijn allebei kubussen en geen van 9. d en c liggen beide niet voor c of b. beide is klein. 5. e noch a staan rechts van c en links van 10. c ligt tussen b en f of is kleiner dan die twee. b. 11. Ga na welke formules, goedgeformuleerd zijn; een bewering zijn en welke waar zijn in wittgens.wld. 12. Pas de wereld zo aan dat alle beweringen on-waar zijn en sla die op als witt3.wld.
1 Met
Shift-F5 kun je alle zinnen van het actieve zinnenvenster in e´ e´ n keer controleren.
2
1.3 Proposities met implicatie (als ... dan ...) en equivalentie (... dan en alleen dan als ...) . 13. Controleer of de zinnen in Abelard.sen gelden in de wereld wittgens.wld. Als je een fout maakt, ga dan met de Game na waar je in de fout bent gegaan. 14. Vertaal de volgende zinnen in de logische taal en sla ze op in het bestand bolz.sen. 1. Als a een tetra¨eder is, staat het voor d.
voor b ligt.
2. a staat aan de ene of de andere kant van 7. Als b niet voor d ligt dan ligt het ook d, dan en alleen dan als het een kubus is. niet achter d, mits het een kubus is. 3. c ligt tussen a en e in of tussen a en d. 8. c ligt achter a maar voor e. 4. c ligt rechts van a als c klein is. 5. c ligt rechts van d dan en alleen dan als 9. c ligt voor d tenzij het een grote tetra¨eder is. b rechts ligt van c en links van e. 6. Als e een tetrahedron is, dan ligt het 10. Tenminste e´e´n van a, c, en e is een rechts van b, dan en alleen dan als het ook kubus. 15. Open de wereld bolzano.wld en gan na dat alle zinnen van de vorige vraag waar zijn in deze wereld.
1.4 Waarheid in een model: the Game The game volgt vaste regels om te controleren of een formule geldt in een wereld (model) of niet. In een tabel worden voor alle gevallen de volgende akties uitgevoerd:
3
formule
Gebruiker ontkent
Gebruiker bevestigt
P∨Q
Tarski’s World kiest
Gebruiker kiest
tussen P en Q.
tussen P en Q.
Gebruiker kiest
Tarski’s World kiest
bevestig: P.
ontken: P.
P∧Q ¬P
Voor beide kolommen: P⇒Q
vervang P ⇒ Q door ¬P ∨ Q
P⇔Q
vervang P ⇔ Q door (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P)
∃xP(x)
Tarski’s World kiest een
Gebruiker kiest een object
object a, en de gebruiker
a, en bevestigt P(a)
ontkent P(a) ∀xP(x)
De gebruiker kiest een
Tarski’s World kiest een
object a, en ontkent P(a)
object a en de gebruiker bevestigt P(a)
2 Predikaatlogika 2.1 De existenti¨ ele kwantor 16. Open de wereld peirce.wld met de verzameling zinnen, peirce.sen en gan na dat de zinnen waar zijn in deze wereld. 17. Open de wereld leibniz.wld met de verzameling zinnen, zorn.sen en gan na dat de zinnen waar zijn in deze wereld. Deze zinnen bevatten behalve kwantoren ook identiteit. 18. Vertaal de volgende zinnen in predikaatlogika en voer ze in, in het bestand eris.sen. Alleen het ∃-symbool komt er namelijk in voor: 7. b heeft een grote kubus aan zijn linker kant.
1. Iets is groot. 2. Er is een kubus.
8. b is rechts van een grote kubus. Gebruik: RightOf
3. Er is een grote kubus. 4. Sommige kubussen zijn groot.
5. Sommige grote kubussen staan links 9. Iets links van b staat achter c. van b. 10. Een grote kubus links van b staat achter c. 6. Een grote kubus staat links van b. 19. Open montague.wld en ga na dat al deze zinnen waar zijn in deze wereld.
4
20. Verplaats de grote kubus helemaal naar rechts achter. Ga na dat de zinnen 5, 6, 7, 8 en 10 nu onwaar geworden zijn. (Als je alles goed vertaald hebt.) 21. Maak de grote kubus klein en ga na dat de zinnen 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 10 nu onwaar zijn.
2.2 De universele kwantor 22. De volgende zinnen bevatten alleen de ∀-kwantor (universele -). Vertaal ze in predikaatlogika en sla ze op in alle.sen 1. Alle kubussen zijn klein.
8. Alles tussen a en b is een kubus.
2. Elke kleine kubus staat rechts van a.
9. Alle kleiner dan a is een kubus.
3. Alle dodeca¨edra zijn groot.
10. Alle dodeca¨edra zijn niet klein. 4. a staat links van elke dodeca¨eder. Veel mensen blijken deze zin ambigu te vinden. Kun je twee ver5. Elke medium tetra¨eder sttat voor b. talingen in predikaatlogika vinden 6. Elke kubus staat voor b ofwel achter a. die de twee mogelijke interpretaties 7. Elke kubus staat rechts van a en links weergeven. Hint: de e´ e´ n begint met ∀ van b. en de ander met ¬. 23. Open claire.wld en ga na dat al deze zinnen waar zijn in deze wereld. 24. Verplaats a naar de rechter voorhoek. Ga na dat de zinnen 2, 4 en 7 nu onwaar geworden zijn. (Als je alles goed vertaald hebt.) 25. Open wittgens.wld en ga na dat de zinnen 2, 4, 8 en 9 waar zijn, maar de rest onwaar is. (Anders heb je een foutje gemaakt - of ik, maar laten we daar niet van uit gaan - verbeter dat). 26. De file montague.sen bevat half geformaliseerde zinnen, d.w.z. de ander helft is nog engels. Dat is handig als tussenstap. Maak de vertaling af.
2.3 Gemengde kwantoren 27. Meer kwantoren in een zin. Vertaal de volgende zinnen in predikaatlogika en sla ze op in meer.sen: 1. Elke tetra¨eder staat voor elke dodeca¨eder. even groot is. 2. Geen dodeca¨eder heeft iets achter zich.
5. Alles wat tussen twee tetra¨edra in staat 3. Geen tetra¨eder is even groot als een is klein en een kubus. kubus. 6. Elke kubus ligt tussen twee objecten. 4. Voor elke dodeca¨eder is een kubus die 7. Elke kubus waar iets achter ligt is klein.
5
8. Elke dodeca¨eder met niets aan de rechterkant heeft iets aan de linkerkant. rechterkant is klein. 10. Een dodeca¨eder met links een kubus, is 9. Elke dodeca¨eder met niets aan de in alle geval groot. 28. Open bolzano.wld en ga dat deze zinnen allemaal waar zijn in die wereld. 29. Ga na dat in ron.wld de zinnen 4, 5, 8, 9 en 10 waar zijn, maar de rest niet. 30. en in claire.wld zijn 1, 3, 5, 7, 9 en 10 waar en de rest niet.
2.4 De verborgen logische struktuur 31. Parafraseer. In het gewone taalgebruik zijn kwantoren vaak verstopt omdat we referenties gebruiken i.p.v. variabelen. Zulke zinnen zijn lastiger in predikaatlogika te vertalen. Vandaar dat we die kategorie voor het laatst hebben bewaard. Vertaal de volgende zinnen en sla ze op in parafras.sen: 1. Alleen grote objecten hebben niets voor tenminste even groot als, want daar zich staan. hebben we geen speciale relatie voor. 2. Als er iets voor een kubus staat, is het 7. Als een kubus rechts van een dodeca¨eder klein. ligt, maar er niet achter, dan is het even 3. Elke kubus achter een dodeca¨eder is ook groot als de dodeca¨eder. kleiner dan die. 8. Geen kubus met niets aan zijn link4. Als e tussen twee dingen in ligt zijn ze erkant ligt tussen twee kubussen in. beide klein. 5. Als een tetre¨eder tussen twee dingen in 9. De enige grote kubussen zijn b en c. ligt zijn ze beide klein.
10. Hoogstens b en c zijn grote kubussen. 6. Elke dodeca—’eder is tenminste even (Deze zin houdt, in tegenstelling tot de groot als elke kubus.Parafraseer eerst vorige, niet in dat b en c ook groot zijn) 32. Open ron.wld en ga dat deze zinnen allemaal waar zijn in die wereld. 33. Ga na dat in bolzano.wld alleen de zinnen 3, 8 en 10 waar zijn. 34. en in wittgens.wld zijn alleen 5, 7 en 8 waar. 35. De volgende zinnen zijn waar in godel.wld. Vertaal ze en ga dat na: 1. Niets links van a is groter dan alles links van b. van b. 3. Dezelfde dingendie links van a staan, 2. Niets links van a is kleiner dan iets links staan ook links van b.
6
4. Alles dat links van a staat, is kleiner 7. Alleen dodeca¨edra zijn groter dan al het dan iets dat achter elke kubus rechts van b andere. staat. 8. Alle objecten met niets voor zich, zijn 5. Elke kubus is kleiner dan een do- tetra¨edra. deca¨eder, maar geen kubus is kleiner dan 9. Niets ligt tussen twee objecten met elke dodeca¨eder. dezelfde vorm. 6. Als a groter dan een kubus is, dan is het 10. Niets anders dan een kubus ligt tussen kleiner dan elke tetra¨eder. twee andere objecten.
7
