Op zoek naar veelvouden Een rekenles op de Mickley First School in Engeland Hanneke Jones-Teuben In hoeverre verschilt het Engelse rekenonderwijs van het Nederlandse? Hanneke Jones gunt ons een blik in haar Engelse klas en doet ons een lesidee aan de hand waar ook Nederlandse kinderen van groep 3/4 van zullen smullen. In dit artikel wil ik een reken-wiskundeles beschrijven die ik onlangs gegeven heb aan mijn groep op de Mickley First School in Engeland. Ik ben groepsleerkracht van 21 kinderen uit year 1 en 2, in leeftijd variërend van 5 tot 7 jaar (de Nederlandse groepen 2 en 3). Ik ben in Nederland geboren en getogen en ik bezocht een Nederlandse PA (Pedagogische Academie), maar ik ben sinds 10 jaar werkzaam als leerkracht in Engeland. In mijn loopbaan ben ik altijd geboeid geweest door de enorme veelzijdigheid en praktische toepasbaarheid van het Engelse rekenonderwijs. Jonge kinderen leren niet alleen rekenen, maar ook omgaan met getalpatronen, meetkunde en meten, onderzoeken en oplossen van vraagstukken, en omgaan met data. Het rekenen zelf wordt vooral praktisch, aan de hand van veel telmaterialen en spelletjes, en in hoge mate gedifferentiëerd onderwezen. Het nadeel daarvan is, dat in sommige gevallen de overgang van concreet handelen naar inzichtelijk leren vaak pas laat plaatsvindt.
Grote wijzigingen in het Engelse reken-wiskundeonderwijs Met de officiële invoering van de National Numeracy Strategy in 1999 heeft het Engelse reken- en wiskundeonderwijs grote veranderingen ondergaan. Hoewel de andere aspecten van het wiskundeonderwijs nog steeds een plaats hebben, is numeracy (rekenvaardigheid) nu veel belangrijker geworden dan het voorheen was. De nadruk ligt nu op het hoofdrekenen (mental calculations) in de vorm van klassikaal, direct en interactief onderwijs. Het Britse ministerie van onderwijs heeft het Framework for Teaching Mathematics ingevoerd. Daarin wordt het leerprogramma voor alle jaren van het basisonderwijs beschreven. Ook is vastgelegd dat de dagelijkse rekenles zo’n 45 tot 60 minuten moet duren en hoe zo’n les eruit zou moeten zien: 1 1. De mental and oral starter: mondeling hoofdrekenen als start (ongeveer 5 tot 10 minuten); 2. de main teaching activity: het hoofdgedeelte van de les (ongeveer 30 tot 40 minuten); 3. de plenary session: klassikale nabespreking (ongeveer 10 tot 15 minuten). Welke hoort er niet bij? Op mijn school zijn wij al een aantal jaren betrokken bij de ontwikkeling van onderwijs in zogeheten Thinking Skills. Dat
houdt in dat we de verbale en metacognitieve ontwikkeling van de kinderen proberen te stimuleren door middel van speciale opdrachten. Dit jaar concentreren wij ons op de Odd-OneOut-benadering. De kinderen krijgen een combinatie van objecten of getallen aangeboden. Ze moeten aangeven welk object of getal volgens hen niet in het groepje thuishoort en hun keuze toelichten. Een belangrijk element in deze activiteit is het luisteren naar en nadenken over de inzichten van andere kinderen. Onlangs heb ik met mijn groep een aantal Odd-One-Out-activiteiten met getallen uitgevoerd. De leerlingen kregen bijvoorbeeld de getallen 3, 10 en 15 en moesten aangeven welk getal niet in het groepje thuishoorde. Zie afbeelding 1. Het bleek dat de kinderen in mijn klas vooral Odd-One-Out-oplossingen bedachten op grond van visuele kenmerken van getallen: ‘De 10 past niet in het groepje, want er zit een 0 in.’ of ‘De 3, want die bestaat uit één cijfer.’ Sommige kinderen baseerden hun keuze op de grootte van de getallen:
Een voorbeeld van een odd-one-out-activiteit.
2000/2001 ■ jrg. 20 nr. 5 ■ willem bartjens ■ 17
‘De 3 past er niet bij want dat is het kleinste getal.’of ‘15, want dat is het grootste getal.’ Deze redeneringen kwamen voort uit een concreet niveau van denken over getallen. Slechts twee kinderen baseerden hun keuze op andere eigenschappen van getallen: ‘De 10 want dat is een ‘dubbel’ getal en de 3 en de 15 zijn dat niet.’ en ‘De 10 want dat is een even getal.’ Deze benadering leek een meer abstract niveau van wiskundig denken aan te geven, en naar aanleiding hiervan besloot ik een les te geven over de veelvouden van getallen. Een les over veelvouden Wij hanteren op onze school een gepubliceerde rekenmethode, maar het staat ons vrij hier naar eigen inzicht van af te wijken. Op veel Engelse scholen wordt zelfs helemaal geen gepubliceerde methode gebruikt. De leerkrachten op die scholen produceren hun eigen leermiddelen, wat heel veel tijd kost. Het Framework for Teaching Mathematics geeft aan dat het leren van vermenigvuldigen en delen met de getallen 2, 5 en 10 pas hoeft te begin-
18 ■ willem bartjens ■ jrg. 20 nr. 5 ■ 2000/2001
nen in year 2 (een Nederlandse groep 3), maar dat kinderen van year 1 al wel moeten leren verdubbelen en halveren. Uit mijn ervaring van voorgaande jaren, waarin ik deze beide jaargroepen in één klas heb onderwezen, had ik gemerkt dat veel year 1kinderen het concept van veelvouden concreet kunnen inzien aan de hand van praktische activiteiten, en dat dit ze kan helpen bij het meer formele leren van veelvouden een jaar later. Hoewel het mengen van jaargroepen organisatorisch moeilijkheden kan geven, is een van de voordelen van dit systeem dat scaffolding veelvuldig voorkomt. Dit ‘samen op de steigers staan en elkaar ondersteunen’ is een aanduiding voor het idee dat samenwerking tussen twee leerlingen van verschillend niveau voor beiden een leerzame ervaring kan zijn. De leerling op het hogere niveau geeft uitleg en kan daardoor zijn eigen kennis verduidelijken en verdiepen. Voor de leerling op het lagere niveau biedt deze samenwerking de kans om een ‘bereikbaar’ voorbeeld te volgen, individueel hulp te krijgen, en deel uit te maken van bijvoorbeeld het succesvol
oplossen van een vraagstuk, wat zeer motiverend kan werken. De mental and oral starter Ik begon de les met een clap-andcount-spelletje, waarbij de kinderen in koor de veelvouden moesten opzeggen van 2, 5 of 10, van 0 tot respectievelijk 20, 50 en 100, en weer terug. Het is als het ritmisch opzeggen van een versje, waarbij ze om beurten in
Een clap-and-count spelletje om reeksen te onthouden hun handen klappen en op hun knieën slaan. Hierop zijn allerlei varianten te bedenken, die het opzeggen van de getallen spannender maken voor de kinderen. De meeste kinderen vinden dit leuk om te doen, en zijn door dit soort spelletjes veel behendiger geworden in het onthouden van getallenreeksen.
Als tweede warm-up-spelletje nam ik een getal onder de 100 in gedachten, waar de rest van de klas achter moest zien te komen door het stellen van vragen waarop ik alleen met ja of nee mocht antwoorden: ‘Is het even?’ ‘Ligt het tussen de 50 en 60?’ ‘Is het de helft van 100?’ enzovoort. Later mochten enkele kinderen mijn rol overnemen. Dit spelletje stimuleert de kinderen om wiskundig te denken en te redeneren. De main teaching activity Ik besprak eerst de doelstellingen van de les met de kinderen: ‘We gaan leren wat het woord ‘veelvoud’ betekent. We zullen zien dat sommige getallen tot en met 20 de veelvouden zijn van andere getallen, en dat dit inzicht ons kan helpen bij het vergelijken van getallen.’ Vervolgens vroeg ik de kinderen om hun rekenpartner op te zoeken. Elk kind heeft een partner van een ander niveau uit de eigen of de andere jaargroep. Door dit niveauverschil kan scaffolding plaatsvinden. Ik deelde de klas in vier tafelgroepen en elke groep kreeg de opdracht om straks tijdens de activiteit de veelvouden van een van de volgende getallen te gaan verzamelen: 3, 4, 5 en 10. Voor de duidelijkheid zal ik deze getallen hierna ‘groepsgetallen’ noemen. Als voorbeeld zou ik zelf de veelvouden van het groepsgetal 2 gaan verzamelen. Aan iedere tafel hadden de kinderen
de beschikking over een hoeveelheid multilink (plastic blokjes die aan elkaar gevoegd kunnen worden), schrijfmateriaal, en papier in de (overigens willekeurige) vorm van een appel waarop ik het betreffende groepsgetal groot had genoteerd, en waarop de kinderen de bijbehorende veelvouden konden schrijven. We zouden klassikaal de getallen van 1 tot 20 één voor één op een concreet niveau bekijken, en van elk getal vaststellen bij welke
We sparen veelvouden in de vorm van blokjes groepsgetallen het behoorde. Ik begon met het getal 1, en in elke groep namen de partners één blokje. Hierna kwam het getal 2, en nadat iedereen een tweede blokje had gepakt, liet ik zien dat twee blokjes samengevoegd mijn groepsgetal vormden. Hierna volgde het getal drie. Iedereen voegde drie blokjes samen en in de ‘3’-groep ging een gejuich op, omdat ze hun eerste set hadden. De andere groepjes wachtten vol ongeduld op het moment waarop ook zij hun eerste set blokjes multilink konden noteren. Ik liet zien dat ik mijn derde blokje niet samenvoegde met mijn eerste set van 2, maar ging sparen voor mijn
volgende set. Bij het getal 4 kon natuurlijk de ‘4’-groep zijn eerste set maken. Ik liet nu zien dat ik al mijn tweede set kon maken, en dat ik daarom de 4 kon bijschrijven op mijn appel. Ik noemde nu het woord ‘veelvoud’ en zei dat 4 een veelvoud van 2 is. Ik vroeg nu de kinderen met hun partner vast te bedenken wat de veelvouden zouden kunnen zijn van hun eigen groepsgetal. Dit bracht heel wat denken en discussie teweeg, maar het viel mij op dat op dit moment slechts heel weinig kinderen veelvouden van hun groepsgetal konden ‘voorspellen’. De meeste kinderen konden alleen op concreet niveau met dit begrip werken. In de ‘5’- en de ‘10’-groep waren er wel enige (year 2-)kinderen die een aantal getallen juist konden ‘voorspellen’ en mij konden vertellen dat het de getallen waren die we aan het begin van de les in koor hadden geoefend. Deze kinderen hadden blijkbaar al wel een hoger abstractieniveau bereikt in hun inzicht in de getallen 5 en 10. Ik vroeg deze kinderen mee te denken met de ‘3’- en de ‘4’-groep, en te voorspellen wat hiervan de veelvouden zouden kunnen zijn, maar dat kostte hun aanmerkelijk meer moeite. Op den duur brak het inzicht door We keerden terug naar het concreet tellen en in setjes samenvoegen. Al gauw begon de ‘10’-groep nogal beteuterd te kijken en te spelen met de blokjes. Ik vroeg wat er aan de hand was en ze zeiden dat ze alleen een setje van 10 en een van 20 zouden kunnen vormen. Daarop liet ik deze groep mijn ‘2’-groep erbij nemen. Daar waren ze meteen voor te porren, want ze hadden allang gezien, dat er bij het groepsgetal 2 veel viel te doen. In deze groep van vier kinderen was het voornoemde scaffolding duidelijk te zien. De twee kinderen die formeel konden nadenken, hielden hele redeneringen tegen hun partners, die al luisterend concreet de setjes vormden. Het resultaat was dat deze groep het begrip ‘veelvoud’ op formeel niveau veel beter ging beheersen dan ik voor-
2000/2001 ■ jrg. 20 nr. 5 ■ willem bartjens ■ 19
2
komen en gingen stoppen, riep een meisje uit de ‘3’-groep in het vuur van de strijd: ‘Ahhh, kunnen we niet tot 21 doorgaan? Wij hebben er bijna nog één!’
Laat leerlingen van verschillende niveaus samenwerken
Groeperingsvormen van multilink gebruikt door de ‘4-groep’.
af voor mogelijk had gehouden. Het volgende kwartier van de les verliep steeds volgens het patroon van het noemen van het volgende getal, het bijtellen van een nieuw blokje, het al dan niet samenvoegen van de blokjes om de nieuwe set van het groepsgetal te vormen - wat met veel enthousiasme gepaard ging -, en vervolgens een klassikaal rondje om vast te stellen bij welke groepsgetallen dàt getal kon worden bijgeschreven. Ik vroeg de kinderen hierbij niet alleen aan hun eigen groepsgetal te denken, maar ook juist te luisteren naar de andere groepen om te horen in welke andere groepen bepaalde getallen konden worden bijgeschreven. Sommige kinderen begonnen te ontdekken dat er tussen de ‘5’en de ‘10’-groep een verband leek te bestaan. Twee kinderen in de ‘4’-groep merkten na enige tijd op dat bij elk veelvoud van 4 ook de ‘2’-groep dat getal kon bijschrijven, terwijl de leden van de ‘3’-groep juist zagen dat zij bij heel andere getallen ‘scoorden’ dan de andere groepen. Hierdoor begon het accent te verschuiven van de concrete handeling naar een meer formeel niveau. Gaandeweg werd het de meeste kinde-
20 ■ willem bartjens ■ jrg. 20 nr. 5 ■ 2000/2001
ren, ook de jongste, duidelijk welk getal vervolgens zou kunnen worden bijgeschreven. Het lukte steeds meer kinderen om hun veelvoudgetallen te ‘voorspellen’. De kinderen mochten zelf weten hoe ze de multilink-blokjes in groepjes van hun groepsgetal neerlegden. Het was interessant om te zien dat de meeste kinderen met hun partner ervoor kozen om dit steeds op dezelfde manier te doen, maar dat er binnen elk groep zeer verschillende patronen waren (zie afbeelding 2). Toen we bij het getal 20 waren aange-
De plenary session Vervolgens kwamen de kinderen on the carpet (op het kleed) zitten en samen bekeken we de getallen die op de appels waren geschreven. De hoofdzakelijk concrete leersituatie maakte nu dus plaats voor het meer abstracte denken over de veelvouden in de getallen tot 20, aanvankelijk aan de hand van de getallenverzamelingen op de verschillende appels. De kinderen waren nu duidelijk zeer geïnteresseerd in de veelvouden die de hele klas gevonden had. Dat bleek uit hun opmerkingen: - ‘De veelvouden van 2 zijn allemaal even getallen!’ - ‘Als je omhoog telt in tweeën (two’s) kom je bij 4, en na twee keer meer heb je nog een 4 en zo gaat het maar door, dus een heleboel tweeën zijn ook vieren.’ - ‘20 komt voor op de appel van 2,
van 4, van 5, en van 10. Dat is dus een heel goed getal!’ - ‘Sommige getallen zoals 7, staan nergens op!’ Deze opmerking leidde tot het zoeken naar andere getallen die blijkbaar ook geen veelvoud waren. En waren er ook getallen die maar op één appel stonden? - ‘De ‘2’-appel heeft veel meer getallen dan de ‘10’-appel. Waardoor komt dat?’ De verklaringen varieerden van ‘de 10 is zelf al groot’ tot ‘de helft van alle getallen zijn veelvouden van twee’.
- ‘Het lijkt wel of een heleboel getallen in elkaar passen!’ Deze opmerking werd gemaakt door een kind van 5 jaar, dat het voorbeeld kon geven van de 5 die in de 10 zit, en de 10 die op zijn beurt in de 20 zit. Het was duidelijk dat sommige kinderen door na te denken over de getallen op de appels, een hoog formeel niveau bereikten. Door de appels werden ze op nieuwe ideeën gebracht.
Een kijkje in de Mickley First School Mickley is een dorp aan de rivier de Tyne in Northumberland, in het noordoosten van Engeland, ongeveer 15 km ten westen van Newcastle-upon-Tyne. De leeftijd van de kinderen op een Engelse First school is 4-9 jaar. Wij hebben momenteel 48 kinderen op school in 3 groepen: Class 1: Reception: momenteel 8 kinderen van 4 en 5 jaar; Class 2: (hier gaat het artikel over) year 1 en 2 met 21 kinderen van 5-7 jaar; Class 3: year 3 en 4 met 19 kinderen van 7-9 jaar. In Class 1 krijgen de kinderen 30 minuten rekenles per dag, wat later oploopt tot 1 uur rekenles per dag in class 3. Al onze leerlingen dragen een uniform: een grijze broek of een grijze rok met maillot, een wit poloshirt, en een rood sweatshirt met het embleem van de school. Het gebruik van zakrekenmachines wordt voor kinderen tot 7 jaar nu niet meer aangemoedigd, vóór 1999 was het wel een verplicht onderdeel van het rekenonderwijs, ook in de laagste klassen. In iedere klas hebben we tenminste twee computers die ook voor rekenactiviteiten gebruikt worden. De kinderen van class 2 en class 3 krijgen regelmatig huiswerk voor rekenen, dat aansluit bij de lessen. In class 2 is dat eens per week ongeveer 20 minuten. In class 3, twee keer per week ongeveer 30 minuten.
Hoe het verder ging Als besluit van de les gaf ik de kinderen op het bord dezelfde Odd-OneOut-activiteit die ze enige weken geleden als werkblad hadden gemaakt: ‘15, 10 en 3. Welk getal hoort er niet bij?’ Met hun partner, en daarna met de hele klas bediscussiëerden en beredeneerden de kinderen de mogelijke uitkomsten, waarbij nu regelmatig (maar niet uitsluitend) gebruik werd gemaakt van onze veelvoud-appels. Duidelijk bleek dat veel kinderen in beide jaargroepen hun nieuw verworven inzicht ook daadwerkelijk begonnen toe te passen in vraagstukken: ‘3 is de Odd-One-Out omdat 15 en 10 veelvouden zijn van 5’. Daarna bekeken we ook een OddOne-Out-vraag over 4, 2 en 5 waarbij veel kinderen de 5 kozen, ‘omdat de 2 en 4 op de ‘2’-appel staan’, òf (meer abstract) ‘omdat alle veelvouden van 4 ook veelvouden van 2 zijn.’ Een kind merkte op dat 4 en 2 ook allebei 8 en 16 als veelvoud hebben. Toen ik de kinderen herinnerde aan mijn doelstelling van de les, en vroeg wie het idee had dat hij of zij meer te weten was gekomen over de veelvouden tot 20, gingen enthousiast de meeste vingers omhoog. Om de kinderen hun nieuwe inzicht in veelvouden te laten behouden en verdiepen, zullen we er natuurlijk geregeld op terug moeten komen. Uit het verdere verloop van ons OddOne-Out-project zal moeten blijken of de kinderen ook in minder gestructureerde situaties hun inzicht in veelvouden zullen gaan toepassen bij het vergelijken van getallen. Voor mijzelf vormde deze les in ieder geval een interessante en positieve ervaring, gestimuleerd door het enthousiasme en de leergierigheid van mijn leerlingen. De auteur van dit artikel is groepsleerkracht op de Mickley First School in Mickley, Engeland.
2000/2001 ■ jrg. 20 nr. 5 ■ willem bartjens ■ 21
