Ontwerp een gearticuleerde robot op schaal Bachelor verslag Industrieel Ontwerpen
Niek van den Hout
Opdrachtgever: Universiteit Twente Begeleider: ir. M.S. Essers Examinator: dr. ir. M.C. van der Voort Tweede Examinator: dr. ir. J.F. Broenink
Verslag bachelor eindopdracht Universiteit Twente Faculteit Construerende Technische Wetenschappen Opleiding Industrieel Ontwerpen Postbus 217, 7500 AE Enschede Enschede, 18 september 2013 Aantal bladzijden: 101
Voorwoord Dit verslag is geschreven naar aanleiding van de bachelor eindopdracht van de opleiding Industrieel Ontwerpen aan de Universiteit Twente. Bij deze opdracht heb ik mij gericht op het ontwerpen van een industriële robot op schaal. Als industrieel ontwerper heb ik mij al vanaf het begin geïnteresseerd voor zowel vormgeving als techniek. Toen het aankwam op het zoeken van een bachelor opdracht, heb ik in de eerste plaats gezocht naar een opdracht waarbij de nadruk lag op vormgeving. Uiteindelijk is de opdracht die ik heb uitgevoerd voornamelijk technisch georiënteerd geweest. Hoewel dit niet in lijn is met mijn eerste intenties, heb ik dit als zeer positief ervaren. Niet alleen heb ik mij op technisch gebied verder kunnen ontwikkelen, maar ook heb ik gemerkt dat mijn interesses en vaardigheden meer technisch georiënteerd zijn dan ik dacht. De ervaring van deze bachelor opdracht is niet alleen nuttig en leerzaam geweest op zichzelf, maar heeft ook bijgedragen aan mijn standpunt voor het kiezen van een masteropleiding.
Tijdens het uitvoeren van de opdracht heb ik ondervonden dat het ontwerpen van een robot om veel specifieke kennis vraagt waarover ik op voorhand niet beschikte. Dit vormde een grote uitdaging, maar bood ook de mogelijkheid om mij te verdiepen in een voor mij onbekend vakgebied. Zo heb ik niet alleen geleerd om mijn vaardigheden als ontwerper toe te passen, maar heb ik ook veel nieuwe kennis opgedaan. Dit heeft er mede toe geleid dat ik deze opdracht met veel plezier heb uitgevoerd en ik wil graag de mensen bedanken die daaraan hebben bijgedragen. In het bijzonder mijn begeleider en opdrachtgever Maarten Essers. Hij heeft mij binnen deze opdracht de vrijheid gegeven om mijn interesses na te volgen en heeft mij daarbij begeleid. Enschede, september 2013 Niek van den Hout
Samenvatting De opdracht die in dit verslag beschreven wordt, richt zich op het ontwerpen van een industriële robot op schaal. Het doel van dit schaalmodel is om te onderzoeken of de manier waarop industriële robots worden bestuurd door experts als handig wordt ervaren. Daarnaast wordt het schaalmodel toegepast bij het uitvoeren van autonome experimenten.
Industriële robot is een breed begrip waaronder meerdere typen robots vallen met elk andere eigenschappen. Deze verschillende typen zijn onderzocht en geclassificeerd waarna is bepaald welk type het meest geschikt is om op schaal te maken en aansluit bij de uitgangspunten van dit project. Zo is er gekozen voor het type gearticuleerde robot. Dit type is veel voorkomend in de industrie en is daarom representatief voor de productgroep van de industriële robot. Daarnaast is het door de kinematische en esthetische eigenschappen goed mogelijk om de karakteristieken van de gearticuleerde robot om te zetten op schaal. Na deze keuze is het type gearticuleerde robot in meer detail onderzocht. Zo is onder andere een visueel overzicht gemaakt van verschillende modellen van het geselecteerde type. Op basis van dit overzicht kunnen de esthetische eigenschappen en de verhoudingen tussen de onderdelen worden getypeerd.
De analyse van de gearticuleerde robot resulteert in uitgangspunten die zorgen dat het ontwerp de juiste kenmerken bezit die het tot een gearticuleerde robot maken. Daarnaast is het van belang dat de constructie die wordt ontworpen bestand is tegen de krachten die op de robotarm werken. Daartoe wordt een analyse uitgevoerd van de belasting die resulteert in een model waarmee het benodigd koppel van de motoren berekend kan worden. Ook is een analyse gedaan van de kinematica, omdat dit de basis vormt voor de aansturing van de industriële robot. Uit deze analyse volgen onder andere richtlijnen voor de positionering en oriëntatie van de gewrichten waarmee een vereenvoudigd kinematisch model kan worden gerealiseerd. Deze vereenvoudiging biedt voordelen voor de aansturing van de robotarm.
Volgens de kenmerken van de gearticuleerde robot worden uitsluitend rotatiegewrichten toegepast die ieder worden aangedreven door een eigen elektromotor die in het gewricht is geplaatst. Het type elektromotor dat wordt toegepast is van grote invloed op de bewegingseigenschappen en de aansturing. Vandaar dat een analyse is uitgevoerd van de verschillende typen waarvan de eigenschappen zijn afgewogen tegen de gewenste toepassing. Zo blijkt dat met name twee typen elektromotoren geschikt zijn voor toepassing in de modelbouw. Dit zijn de stappenmotor en de servomotor. Op basis van nader onderzoek is gekozen voor de servomotor, omdat dit type beschikt over positiefeedback waardoor een hogere nauwkeurigheid kan worden bereikt dan met de stappenmotor.
De kennis de resulteert uit de voorbeschreven analyse van de gearticuleerde robot, de mechanica en de actuatoren wordt verwerkt tot een programma van eisen waaraan het ontwerp kan worden getoetst. Op deze manier worden de doelen en uitgangspunten gewaarborgd gedurende het project. Met dit als basis wordt het ontwerpproces gestart. Daarbij wordt eerst gekeken naar de ontwerpvrijheid in de kinematische structuur. Deze vrijheid levert een aantal conceptrichtingen die tegen elkaar worden afgewogen. Er wordt gekozen voor het concept dat de meeste flexibiliteit geeft voor het positioneren van de eind-effector binnen het werkgebied.
Na het vaststellen van de kinematische structuur wordt begonnen met het ontwerpen van een constructie die voldoet aan deze structuur en bestand is tegen de werkende belasting. Daartoe worden bestaande schaalmodellen van robotarmen onderzocht waaruit een abstracte basisstructuur van de schakel volgt. Met deze structuur als uitgangspunt wordt door middel van iteratief ontwerpen een schakel ontworpen die voldoet aan de gestelde eisen van belastbaarheid. Het ontwerp vormt een afweging tussen gewicht en stijfheid en kan vervaardigd worden door middel van conventionele productiemethoden. Alle vijf de schakels worden op deze manier ontworpen en vormen samen de constructie van de robotarm. Om ook een realistische uitstraling van het ontwerp te realiseren wordt een behuizing ontworpen. Het ontwerp van de behuizing is enerzijds gebaseerd op de esthetische kenmerken van de gearticuleerde robot en anderzijds op een persoonlijke invloed die de robotarm tot een onderscheidend product maakt. De constructie en behuizing gecombineerd vormen het totale schaalmodel van een gearticuleerde robot en daarmee het eindproduct van deze opdracht. De robot beschikt over de kinematische, esthetische en constructieve eigenschappen van een gearticuleerde robot en is te vervaardigen met conventionele productiemethoden. Bovendien is het ontwerp geschikt voor het uitvoeren van een freesbewerking. Daarmee wordt voldaan aan de gestelde eisen en worden door middel van dit product de doelen van de opdracht behaald.
Summary The thesis which is described by this report is aimed at the design of an industrial robot on scale. The goal of this scale model is to provide a way to research if experts experience the control of industrial robots as convenient. Moreover the scale model will be applied at autonomous experiments.
Industrial robot is a term which includes multiple types of robots with each different characteristics. These different types have been researched and classified. This led to the determination of one type that is most suitable for a scale design and corresponds with the starting points of this project. The type that was chosen is the articulated robot. This type appears often in industrial applications and is therefore representative for the product class of the industrial robot. Besides that the characteristics of the articulated robot are suited for a translation to a scale model thanks to the kinematic and aesthetic properties. After this choice the articulated robot was analysed more thoroughly. Amongst others a graphic overview of different models of the selected type was made. Based on this overview the aesthetic properties and proportions between the different parts could be characterized. The analysis of the articulated robot leads to guidelines that ensure the design to contain the right properties to make it an articulated robot. Furthermore it is of importance that the designed structure is able to withstand the applied forces. To this extend the load on the robotic arm was analysed which resulted in a mathematical model that can be used for calculating the required motor torque. Besides that the robot kinematics were studied because this is the foundation of robot control. From this study guidelines could be concluded for the position and orientation of the joints that lead to a simplified kinematical model. This simplification offers advantages for controlling the robot.
The articulated robot consists of only articulated joints according to its characteristics. These joints are moved by electric motors that are placed at the centre of the joints. The movement properties and control depend strongly on the type of electric motor that is used. That is why several electric motors have been analysed to consider their properties opposed to the required application. This study shows that mainly two types of electric motors are suited for the required scale and movement. These are the stepper motor and the servomotor. Based on further research the servomotor was chosen, because this type has position feedback which results in a higher accuracy than can be achieved with the stepper motor.
The knowledge resulting from the before described research of the articulated robot, mechanics and electric motors is processed into a list of requirements. This can be used to assess the final design and safeguard the goals and starting points of this thesis. The next step is the design process which is based on the results of the analysis phase. First the design freedoms of the kinematic structure are explored. These freedoms result in several conceptual designs that are compared to each other. The concept that offers the most flexibility in positioning the end-effector within the workspace is then chosen as a base for the further design.
After determining the kinematic structure the design is aimed at a mechanical construction that is in accordance with the determined kinematic structure and can withstand the applied load. First existing scale models of robotic arms were studied to provide a starting point for the construction design. This study lead to the definition of an abstract base construction of a robot link. Based on this construction and by way of an iterative design process a link was designed that meets the demands of mechanical properties. The design is formed by a consideration between weight and stiffness and can be produced by way of conventional production methods. All five links are designed this same way and together form the entire construction of the industrial robot. Then a casing was designed to seal the construction and to realize a realistic appearance. The design of this casing based in both the aesthetic characteristics of the articulated robot and a personal influence that makes the robotic arm into a distinguishing product.
The construction and casing combined form the total scale model of the articulated robot and with that the end product of this thesis. The robot has the kinematic, aesthetic and constructive properties of an articulated robot and can be produced with conventional production methods. Moreover the design is appropriate for performing milling tasks. This way the design meets the set requirements and achieves the objectives of this thesis.
Inhoudsopgave Inleiding __________________________________________________________________________________________________ 1 Analyse __________________________________________________________________________________________________ 4 1 Typen industriële robots __________________________________________________________________________ 1.1 Seriële manipulator __________________________________________________________________________ 1.1.1_ Cartesiaanse robot ____________________________________________________________________ 1.1.2_ Cilindrische robot _____________________________________________________________________ 1.1.3_ Sferische robot _________________________________________________________________________ 1.1.4_ SCARA robot ___________________________________________________________________________ 1.1.5_ Gearticuleerde robot __________________________________________________________________ 1.1.6_ Vergelijking van de kinematische structuren ��������������������������������������� 1.2 Parallelle manipulator _______________________________________________________________________ 1.2.1_ Delta robot _____________________________________________________________________________
5 5 5 6 6 7 7 8 10 10
3 Mechanica ___________________________________________________________________________________________ 3.1 Statica _________________________________________________________________________________________ 3.2 Dynamica _____________________________________________________________________________________ 3.3 Kinematica ___________________________________________________________________________________ 3.3.1_ Voorwaartse kinematica ______________________________________________________________ 3.3.2_ Inverse kinematica ____________________________________________________________________
17 18 19 21 23 28
2
Gearticuleerde robot _______________________________________________________________________________ 12 2.1 Karakterisering model B ____________________________________________________________________ 14
4
Actuatoren __________________________________________________________________________________________ 30 4.1 Elektromotoren ______________________________________________________________________________ 30 4.2 Motorkeuze ___________________________________________________________________________________ 31
5
Programma van eisen ______________________________________________________________________________ 34
6
Basisstructuur ______________________________________________________________________________________ 6.1 Vorm van schakel DE ________________________________________________________________________ 6.2 Positionering van het schoudergewricht __________________________________________________ 6.3 Structuur van schakel CD ____________________________________________________________________
Ontwerpstudie _____________________________________________________________________________________________ 36
7 Constructieontwerp ________________________________________________________________________________ 7.1 Ontwerpaanpak ______________________________________________________________________________ 7.2 Ontwerp van de schakels ____________________________________________________________________ 7.2.1_ Plaatdelen_______________________________________________________________________________ 7.2.2_ Dwarsverbinding_______________________________________________________________________
37 37 38 39
41 41 43 44 45
8
9
10
Ontwerp van de behuizing _________________________________________________________________________ 47
Aansturing __________________________________________________________________________________________ 49 9.1 Aansturingsmethode_________________________________________________________________________ 49 9.2 Aansturingscomponenten____________________________________________________________________ 50
Eindontwerp ________________________________________________________________________________________ 10.1 Productomschrijving ________________________________________________________________________ 10.2 Analyse van de belastbaarheid _____________________________________________________________ 10.3 Terugkoppeling programma van eisen _____________________________________________________
51 51 57 59
Conclusie __________________________________________________________________________________________________ 62
Begripsbepaling ___________________________________________________________________________________________ 64 Bijlagen __________________________________________________________________________________________________ 65 Referenties ________________________________________________________________________________________________ 98
Inleiding De Europese productie-industrie gaat zich steeds meer richten op een productie met hoge toegevoegde waarde. Daarbinnen spelen industriële robots een belangrijke rol voor het uitvoeren van repetitieve taken, maar de ontwikkeling van deze robots loopt achter op de ontwikkeling van het productieproces. Het SInBot-project richt zich op de ontwikkeling van de methode en tools voor het vergemakkelijken van intelligente, gedecentraliseerde samenwerking van industriële robots, zodat ze beter functioneren binnen de vernieuwde productieomgeving (SmartBot, 2013). Daarbij wordt gestreefd naar een meer flexibele inzet van industriële robots in het productieproces en een verhoging van de efficiëntie in werkvoorbereiding. Een van de kennisinstellingen die betrokken is bij dit project is de Universiteit Twente. Zij is de opdrachtgever voor deze bachelor eindopdracht. De Universiteit Twente doet binnen het SInBot-project onderzoek naar een verbeterde aansturing van de industriële robotarm. Evolutionaire ontwikkelingen op het gebied van de aansturing worden normaal gesproken getest op kleine industriële robots. Echter, wanneer het gaat om revolutionaire ontwikkelingen mogen deze om veiligheidsredenen niet getest worden op een bestaande robot. De ontwikkelingen binnen het onderzoek van de Universiteit Twente zijn revolutionair van aard en daarom is er behoefte aan een manier om deze ontwikkelingen te testen. Om in deze behoefte te voorzien richt deze opdracht zich op het ontwerpen van een schaalmodel van een industriële robot. Er zijn twee doelen die worden nagestreefd met het ontwerpen van dit schaalmodel. Ten eerste wordt door middel van het schaalmodel onderzocht of de manier van het besturen van een robotarm door experts handig gevonden wordt. Daartoe wordt de robot op afstand bestuurd en is het van belang dat de experts bij het besturen de ervaring hebben alsof ze een echte industriële robot besturen. Ten tweede wordt de schaalrobot gebruikt bij het uitvoeren van autonome experimenten. Daarbij moet vermeld worden dat de primaire eis van deze opdracht stelt dat het schaalmodel bestand is tegen de belasting ten gevolge van het eigen gewicht van de constructie. Rond de ontwerpfase van dit project is op verzoek van de opdrachtgever rekening gehouden met een freesbelasting. Er is dan ook geen analyse uitgevoerd naar de exact optredende belasting tijdens een freesbewerking. In plaats daarvan is op basis van een aantal aannames het bestaande model dat resulteerde uit de analyse aangevuld. Dit is met name van invloed geweest op de selectie van de motoren en het ontwerpen van de constructie. Om de gestelde doelen te bereiken is het van belang dat het schaalmodel in zowel beweging als uitstraling representatief is voor robots die worden toegepast in de industrie. Het is daarbij wenselijk dat de robot die wordt ontworpen aansluit bij de uitgangspunten van project SInBot, maar dit is geen vereiste. Vandaar dat het onderzoek dat wordt uitgevoerd deels verifiërend en deels verkennend van aard is. Allereerst wordt onderzoek gedaan naar bestaande industriële robots. Aan de hand van dit onderzoek kunnen karakteristieken in kaart worden gebracht die kenmerkend zijn voor een industriële robot. Deze zullen als richtlijn bij het ontwerp gebruikt worden om de representativiteit van het schaalmodel te waarborgen. Daarnaast is het voor het uitvoeren van autonome experimenten belangrijk dat de constructie van de robot bestand is tegen zijn eigen gewicht en tegen het krachtenspel dat optreedt tijdens een freesbewerking. Daartoe
1
wordt een model opgesteld van de belasting aan de hand waarvan motoren worden geselecteerd en de constructie wordt ontworpen. Een voldoende stijve constructie en voldoende krachtige motoren resulteren in de gewenste realistische beweging. Voor een realistische uitstraling wordt een behuizing ontworpen die op de constructie wordt gemonteerd. Deze behuizing moet in overeenstemming zijn met bestaande industriële robots, maar er wordt ook gepoogd om hierin een deel persoonlijke input te verwerken wat de robot tot een origineel en eigen ontwerp maakt.
Er is door de opdrachtgever een aantal randvoorwaarden voorgeschreven waar de robotarm die bij dit project wordt ontworpen aan moet voldoen. Allereerst dient het product realiseerbaar te zijn tegen beperkte kosten. Hiervoor is een richtlijn gegeven van €100,- voor elektronische componenten. Daarnaast is het vereist dat de robotarm met conventionele productiemethoden te vervaardigen is. Dit is in lijn met de eerder gestelde voorwaarde van beperkte kosten en biedt flexibiliteit bij het produceren van een klein aantal exemplaren en het uitvoeren van eventuele aanpassingen of reparaties. Er wordt geen limiet gesteld aan de grootte van het schaalontwerp. Wel wordt gesteld dat het eindproduct zodanig mobiel moet zijn dat het gemakkelijk verplaatsbaar is en in een testopstelling is te plaatsen. De uiteindelijke keuze voor de schaal waarop de robotarm is ontworpen, is het resultaat van een afweging tussen kosten en ontwerpvrijheid. Een grote schaal betekent meer vrijheid bij het plaatsen van de onderdelen en maakt het mogelijk om op een hoger detail niveau te ontwerpen. Aan de andere kant betekent dit ook hogere kosten door de benodigdheid van meer materiaal en sterkere motoren. Er wordt gestreefd naar een minimalisering van de kosten. Vandaar dat de schaal zodanig gekozen is dat er precies voldoende ruimte is voor het plaatsen van de motoren in de gewrichten met de mogelijkheid om de constructie volledig te omsluiten met een behuizing.
Leeswijzer
De opbouw die eerder in deze inleiding is beschreven wordt hier toegelicht aan de hand van de hoofdstukkenstructuur die in dit verslag wordt gehanteerd. De analyse die de theoretische basis legt voor het ontwerpproces wordt beschreven in het eerste deel van dit verslag. In hoofdstuk 1 worden bestaande industriële robots onderzocht en geclassificeerd. Dit onderzoek leidt tot de keuze van een specifiek type robot waar het ontwerp op wordt gericht. Dit type wordt nader onderzocht en gedefinieerd in hoofdstuk 2. Vervolgens zal in hoofdstuk 3 worden gekeken naar de mechanica van de robotarm. Op basis van deze analyse kunnen modellen worden opgesteld van de constructieve en kinematische structuur van de robotarm. Hoofdstuk 4 richt zich op de toepassing van elektromotoren om een beweging van de robotarm te realiseren. Het resultaat van deze analyse vormt samen met de opgestelde fysische modellen een basis voor de selectie van motoren voor de robotarm. De hiervoor beschreven analyse wordt in hoofdstuk 5 samengevat in een programma van eisen waar het ontwerp aan moet voldoen. Deze dient als richtlijn voor het ontwerpproces en ter toetsing van het eindresultaat. In hoofdstuk 6 worden verschillende conceptrichtingen geanalyseerd die worden opgesteld aan de hand van de variabele eigenschappen van de gearticuleerde robot. Uit deze concepten wordt een kinematische structuur samengesteld voor het ontwerp. Op basis van deze structuur wordt een constructie ontworpen. Daarvan wordt het ontwerp beschreven in hoofdstuk 7. Maar de constructie vormt niet het volledige product. Er wordt ook een behuizing ontworpen om de robot zijn realistische uitstraling te geven. Hiervan wordt een vormstudie beschreven in hoofdstuk 8. Vervolgens wordt in hoofdstuk 9 kort stilgestaan bij de aansturing van de motoren waarbij met
2
name gericht wordt op de benodigde hardware en de implementatie daarvan in het ontwerp. De ontwerpaspecten die beschreven zijn in de hoofdstukken 6 tot en met 8 worden gecombineerd tot een totaal productontwerp dat zal worden toegelicht in hoofdstuk 10. Daarbij wordt ingegaan op de meest kenmerkende eigenschappen en de samenhang tussen de onderdelen waaruit de robotarm is opgebouwd. Ter validatie van het ontwerp wordt in dit hoofdstuk ook geëvalueerd of er met het ontwerp wordt voldaan aan de gestelde eisen en richtlijnen en of daarmee wordt voorzien in de behoeften van de opdrachtgever.
3
Analyse Om een robotarm te kunnen ontwerpen dient allereerst een theoretische basis gelegd te worden die als uitgangspunt kan worden gebruikt voor het ontwerpproces. De theoretische basis wordt gevormd door een analyse van verschillende aspecten die samenhangen met het ontwerp van een industriële robotarm. In dit deel volgt een beschrijving van deze analyse. Allereerst zal er gekeken worden naar een classificering van de verschillende typen robotarmen die worden toegepast in de industrie. Vervolgens wordt de mechanica van een robotarm geanalyseerd op het gebied van statica, dynamica en kinematica. Zo kunnen modellen worden opgesteld die informatie geven over de relevante ontwerpparameters. Ten slotte wordt een analyse gedaan naar de verschillende typen elektromotoren gericht op de toepassing op een schaalmodel van een robotarm. Deze informatie gecombineerd met de fysische modellen vormt de basis voor de motorkeuze.
Het resultaat van de hiervoor beschreven analyse is een lijst van eisen waar het ontwerp aan moet voldoen. Daarnaast wordt op basis van de analyse een aantal keuzes gemaakt voor het vastleggen van zekere ontwerpparameters. De parameters die nog variabel zijn, worden als ontwerpvrijheden beschouwd tijdens het ontwerpproces.
4
Hoofdstuk 1
Typen industriële robots Het schaalmodel dat bij dit project ontworpen wordt, zal gebruikt worden om vernieuwde aansturing methoden te testen die bedoeld zijn voor de controle van bestaande industriële robots. Om die reden is het van belang dat het schaalmodel representatief is voor robotarmen die worden toegepast in de industrie. Vandaar dat in dit hoofdstuk een analyse wordt gedaan naar de verschillende typen industriële robots en hun kenmerkende eigenschappen. Op basis van deze eigenschappen, ten opzichte van de doelstelling van de opdracht, wordt na deze analyse een keuze gemaakt voor het type robotarm dat het meest geschikt is om voor dit project te ontwerpen. Er zijn meerdere eigenschappen aan de hand waarvan de typen industriële robots geclassificeerd kunnen worden. Bij deze analyse wordt een indeling gemaakt op basis van de kinematisch structuur van de robot. Dit is een eigenschap die voor ieder type robot onderscheidend is en daarnaast het meest bepalend is voor zowel de toepassing als de aansturing van de robotarm. Zo zijn er twee categorieën te omschrijven waarbinnen de typen robotarmen ingedeeld kunnen worden. Dit zijn de seriële manipulator en de parallelle manipulator.
1.1 Seriële manipulator
De seriële manipulator dankt zijn naam aan de eigenschap dat de schakels in serie met elkaar zijn verbonden, zodat het uiteinde van schakel 1 via een gewricht is verbonden met het begin van schakel 2. Een nadeel van deze schakeling is dat onnauwkeurigheden van de gewrichten een cumulatieve werking hebben op de eind-effector. Een kleine onnauwkeurigheid van het eerste gewricht werkt via de schakel door op het tweede gewricht. De nauwkeurigheid van de seriële manipulator heeft daarom een negatief verband met het aantal gewrichten. Daarnaast heeft een seriële manipulator een relatief lage stijfheid ten gevolge van de open kinematische structuur. Een gevolg daarvan is dat het gewicht van een seriële manipulator groot is ten opzichte van de maximale belasting op de eind-effector. De verhouding tussen eigen gewicht en maximale belasting ligt voor de gemiddelde seriële robot tussen de 10/1 en de 5/1 (Mohammed, 2011). Het voornaamste voordeel van dit soort manipulator is het grote werkgebied in relatie tot de afmeting van de robot en het vloeroppervlak dat deze in beslag neemt. De typen robots die onder deze categorie vallen zijn de cartesiaanse robot, de cilindrische robot, de sferische robot, de SCARA robot en de gearticuleerde robot.
1.1.1 Cartesiaanse robot
De cartesiaanse robot kan transleren langs drie lineaire assen die ten opzichte van elkaar onder een hoek van 90° zijn gepositioneerd. De robot dankt zijn naam aan de gelijkenis van de bewegingsassen met het orthogonale, of ook wel cartesiaanse, coördinatenstelsel. Doordat de
5
Figuur 1.1: Kenmerken van een cartesiaanse robot.
robot uitsluitend transleert langs de assen en niet roteert, is de aansturing van een cartesiaanse robot relatief eenvoudig. Dat maakt dat dit type robotarm veel wordt toegepast in de vorm van een computer numerated control machine (CNC machine) waarbij de robot via een computer geprogrammeerd wordt voor een specifieke taak. Dit type robot heeft een hoge nauwkeurigheid door zijn stijve constructie en kan hoog worden belast.
1.1.2 Cilindrische robot
Figuur 1.2: Kenmerken van een cilindrische robot.
De naam van dit type industriële robot is afgeleid van zijn werkgebied dat een cilindrische vorm heeft. De robot heeft drie bewegingsassen waarvan een rotatie as op het voetstuk en twee lineaire assen bij de verbinding tussen de schakels. Het is voor een cilindrische robot niet mogelijk om langs obstakels te bewegen of boven zichzelf te reiken.
1.1.3 Sferische robot
Figuur 1.3: Kenmerken van een sferische robot.
De sferische robot is opgebouwd uit minimaal twee rotatie gewrichten en een translatie gewricht. Het werkgebied van deze robot is sferisch gevormd waardoor de bereikbare vlakken berekend
6
kunnen worden in het sferische coördinatenstelsel. Dit type robot is hoger ontwikkeld dan de cartesiaanse of de cilindrische robot en is de voorganger van de verder ontwikkelde gearticuleerde robot. Beide typen hebben een gelijkvormig werkgebied, maar verschillen in configuratie en toepassing. Een nadeel van de sferische robot is dat dit type niet in staat is om langs obstakels te bewegen.
1.1.4 SCARA robot
Figuur 1.4: Kenmerken van een SCARA robot.
Net als de sferische robot heeft de SCARA robot twee rotatie gewrichten en een translatie gewricht. Echter zijn de kinematische structuur en het werkgebied sterk verschillend. De twee rotatie gewrichten zijn parallel georiënteerd waardoor er altijd twee configuraties mogelijk zijn voor dezelfde positie van de eind-effector. Daarom is het voor een SCARA robot beperkt mogelijk om obstakels te ontwijken. Dit zorgt voor een hogere complexiteit in de aansturingtechniek. Het werkgebied van de SCARA robot is groot in relatie tot het vloeroppervlak dat dit type robot in beslag neemt. In vergelijking met een cartesiaanse robot is een SCARA robot over het algemeen sneller en meer geschikt voor de manipulatie van kleinere objecten.
1.1.5 Gearticuleerde robot
Figuur 1.5: Kenmerken van een gearticuleerde robot.
Een gearticuleerde robot maakt gebruik van uitsluitend rotatiegewrichten om zich binnen zijn werkgebied te verplaatsen. Er zijn minimaal drie rotatiegewrichten nodig om de eind-effector op iedere positie binnen het werkgebied te brengen, maar een veelvoorkomende configuratie is er een met zes gewrichten, ook wel zes assig genoemd. Het begrip ‘gearticuleerd’ betekent door gewrichten verbonden en komt uit de menselijke anatomie. Omdat in de menselijke anatomie uitsluitend rotatiegewrichten voorkomen, is het begrip articulatie het best van toepassing op dit type robot. Zoals eerder gezegd is dit type robot voortgekomen uit de sferische robot, maar door een extra rotatiegewricht
7
is de gearticuleerde robot, in tegenstelling tot de sferische robot, in staat om langs objecten heen te bewegen. Dat maakt dat de gearticuleerde robot flexibeler is, maar ook een complexere aansturing heeft. Een bijkomend voordeel van het gebruik van alleen rotatiegewrichten is dat dit type robot goed te beschermen is tegen vuil waardoor er minder onderhoud nodig is. 1.1.6 Vergelijking van de kinematische structuren
Tabel 1.1 geeft een overzicht van de voor- en nadelen die inherent zijn aan de kinematische structuur van ieder type seriële manipulator. Daarnaast geeft de tabel informatie over de toepassingen waar de typen manipulators het meest geschikt voor zijn en het percentage dat ieder type wordt toegepast in de industrie. Deze percentages zijn gemeten in 1990. De verwachting is dat sindsdien met name de toepassing van gearticuleerde robots is toegenomen en dat de toepassing van cilindrische en sferische robots is afgenomen. Op basis van deze verwachting wordt aangenomen dat de onderlinge verdeling van de resultaten uit 1990 nog wel klopt, maar dat de verschillen groter zijn. Bij de interpretatie van de percentages wordt niet gekeken naar de absolute waarde, maar naar de relatieve waarde ten opzichte van de andere typen robots. Zo kan geconcludeerd worden of het ene type meer of minder wordt toegepast dan het andere type en welk type dus het meest representatief is voor de totale toepassing van seriële manipulators in de industrie. Type
Cartesiaans
Tabel 1.1: Vergelijking van de verschillende typen seriële manipulators.
Voor- en nadelen
Voordelen: Eenvoudig kinematisch model Stijve constructie Kan toegepast worden op grote schaal Nadelen: Gewrichten moeilijk te beschermen tegen vuil Kan niet onder objecten reiken Groot vloeroppervlak in relatie tot het volume van de robot
Toepassing
• pick and place • afdichtmiddel aanbrengen • assemblage
Gebruik1 18%
• gereedschap hanteren • booglassen • CNC machine • 3D printer
8
Cilindrisch
Sferisch
SCARA
Gearticuleerd
1
9
Voordelen: Eenvoudig kinematisch model Stijve constructie Groot horizontaal bereik
• assemblage • gereedschap hanteren • puntlassen
15%
Voordelen: Groot horizontaal bereik
• • • • •
gereedschap hanteren puntlassen booglassen autogeen lassen spuitgieten
10%
Voordelen: Hoge bewegingssnelheid Mogelijk objecten te ontwijken Groot werkgebied in relatie tot het volume van de robot
• • • •
pick and place afdichtmiddel aanbrengen assemblage gereedschap hanteren
25%
Voordelen: Maximale flexibiliteit Mogelijk objecten te ontwijken Groot werkgebied in relatie tot het volume van de robot Gemakkelijk te beschermen tegen vuil
• • • • •
spuitgieten assemblage spuitverven booglassen gaslassen
32%
Nadelen: Beperkt werkgebied Gewrichten moeilijk te beschermen tegen vuil Niet mogelijk objecten te ontwijken Niet mogelijk om boven zichzelf te reiken
Nadelen: Complex kinematisch model Niet mogelijk objecten te ontwijken Beperkt verticaal bereik
Nadelen: Complex kinematisch model
Nadelen: Complex kinematisch model Lineaire beweging is moeilijk aan te sturen Minder stijve structuur rond het maximale bereik
De percentages zijn verkregen via http://courseweb.stthomas.edu/tpsturm/private/notes/qm380/robotype.html. De auteur en het publicatiejaar van deze bron zijn niet te achterhalen.
1.2 Parallelle manipulator Bij een parallelle manipulator is de eind-effector verbonden met het voetstuk door meerdere, onafhankelijke schakels die parallel werken. De term parallel slaat hier niet op de oriëntatie van de schakels, maar op het werkingsprincipe: ze werken gelijktijdig. Door de parallelle configuratie van de schakels worden onnauwkeurigheden in positionering gemiddeld met de andere schakels. Dat maakt dat de stijfheid en nauwkeurigheid van een parallelle manipulator, in tegenstelling tot een seriële manipulator, een positief verband houden met het aantal schakels. De configuratie van een parallelle robot maakt het mogelijk om de actuatoren centraal te positioneren op een platform waardoor ze niet meebewegen met de beweging van de manipulator. Dat betekent dat de schakels een lagere massa hebben en dus minder inertie waardoor de robotarm sneller kan bewegen. De grootste voordelen van de parallelle robot zijn de hoge nauwkeurigheid en de hoge bewegingssnelheid. Een nadeel is de beperkte werkruimte ten opzichte van een seriële manipulator. Het type industriële robot dat binnen deze categorie valt is de Delta robot.
1.2.1 Delta robot
Figuur 1.6: Kenmerken van een delta robot.
Een delta robot bestaat uit een platform en een eind-effector die met elkaar verbonden worden door drie parallelle schakels. De schakels vormen samen een driehoek, vandaar de naam delta. Het platvorm is de gefixeerde basis en is in functionaliteit vergelijkbaar met de basis van de seriële robot. Op dit platvorm zijn de actuatoren bevestigd. De delta robot maakt gebruik van parallellogrammen om de positie van de eind-effector te bepalen. Dit betekent dat de beweging van de eind-effector is beperkt tot translaties. Het toevoegen van een vierde parallelle schakel zou de eind-effector een extra rotatievrijheid kunnen geven.
Conclusie
De voorgaande analyse van de verschillende typen robots dient als basis voor de keuze van het type robotarm dat ontworpen gaat worden bij dit project. Vanuit project SInBot wordt het onderzoek gericht op de aansturing van seriële manipulators. De parallelle manipulator is voor de volledigheid van de classificering wel opgenomen in de analyse, maar wordt bij deze keuze buiten beschouwing gelaten.
Er zijn twee belangrijke criteria aan de hand waarvan een type industriële robot gekozen wordt. De eerste is dat het type representatief moet zijn voor industriële robots die worden toegepast in de industrie. Uit de percentages van tabel 1.1 kan geconcludeerd worden dat de gearticuleerde robot (32%) en de SCARA robot (25%) de twee meest voorkomende typen industriële robots zijn. Op basis van het eerste criterium zijn dit de twee typen robots die het meest geschikt zijn om bij dit project als uitgangspunt te nemen.
10
Het tweede criterium waar naar gekeken wordt, is dat de kinematische structuur van de robot geschikt moet zijn om realistisch op schaal te ontwerpen. Bij de beoordeling van dit criterium wordt met name gekeken naar de mogelijkheid om met de gegeven kinematische structuur een stabiele constructie te ontwerpen. Daarbij is de oriëntatie van de rotatie assen het meest bepalende verschil tussen de gearticuleerde robot en de SCARA robot. Bij de gearticuleerde robot staan de rotatie assen van het merendeel van de gewrichten loodrecht op de werklijn van de zwaartekracht. Dit zorgt ervoor dat de beweging van de robotarm in grote mate wordt beïnvloed door het eigen gewicht van de constructie waardoor er een hoog risico is op een onnauwkeurige beweging en positionering van de robotarm. In het geval van de SCARA robot zijn de rotatie assen parallel georiënteerd aan de werklijn van de zwaartekracht. Hierdoor wordt de rotatiebeweging van de gewrichten minimaal beïnvloed door het eigen gewicht. Dit maakt het mogelijk om een hoge nauwkeurigheid en een vloeiende beweging te realiseren. Vandaar dat volgens het tweede criterium de SCARA robot meer geschikt is als uitgangspunt voor dit project. Een objectieve afweging op basis van de beoordelingscriteria zou waarschijnlijk resulteren in een keuze voor de SCARA robot. Hoewel dit niet het meest voorkomende type industriële robot is, is dit wel het type robot met een constructie die het meest geschikt lijkt om een schaalontwerp van te maken. Echter wordt de keuze voor het type industriële robot niet uitsluitend gebaseerd op de resultaten van de analyse die is beschreven in dit hoofdstuk. Er wordt ook rekening gehouden met de belangen van de opdrachtgever. Binnen project SInBot staat de gearticuleerde robot centraal door zijn flexibiliteit en brede toepassingsmogelijkheden. Dit onderzoek is aan de ene kant ingezet als een verkennend onderzoek naar de verschillende typen industriële robots en hun eigenschappen in relatie tot het maken van een schaalontwerp. Aan de andere kant is het een verificatie onderzoek om te onderzoeken of het type gearticuleerde robot, dat al centraal staat bij het SInBot project, ook geschikt is om als uitgangspunt te dienen voor een schaalmodel. Dit laatste wordt bevestigd door de resultaten van dit onderzoek en daarom wordt ervoor gekozen om een robotarm te ontwerpen van het type gearticuleerde robot.
11
Hoofdstuk 2
De gearticuleerde robot In hoofdstuk 1 is bepaald dat de robotarm die bij dit project ontworpen wordt van het type gearticuleerde robot is. Om deze keuze toe te kunnen passen op het ontwerpproces, wordt in dit hoofdstuk een meer gedetailleerde analyse gedaan naar de gearticuleerde robot. Allereerst wordt gekeken of er binnen deze klasse nog verder onderscheid te maken is tussen verschillende modellen. Vervolgens zal een van deze modellen worden gekozen als ontwerprichting. Van dit model wordt in paragraaf 2.1 een overzicht gemaakt van de karakteristieken die als concrete richtlijnen dienen voor het ontwerp.
Binnen de klasse van de gearticuleerde robot komen hoofdzakelijk twee varianten voor die zijn weergegeven in figuur 2.1. De modellen hebben dezelfde kinematische structuur, maar verschillen van elkaar in de bouw van de constructie en daarmee ook in de toepassingen waar ze het meest geschikt voor zijn. Model A komt veelal voor op grote schaal en wordt toegepast voor de zwaardere assemblage en pick and place werkzaamheden die een beperkte nauwkeurigheid vereisen. Model B wordt uitgevoerd op een kleinere schaal en is meer geschikt voor nauwkeurige materiaalbewerkingen en assemblages.
(A)
(B)
Figuur 2.1: Twee veel voorkomende modellen binnen de klasse gearticuleerde robot.
Het zou mogelijk zijn om deze modellen beiden mee te nemen in het ontwerpproces, zodat op een hoger niveau besloten kan worden welk model het beste aansluit bij de doelstelling van dit project. Maar om te voorkomen dat de omvang van dit project te groot wordt, wordt op basis
12
van deze analyse al een keuze gemaakt voor een van de twee modellen uit figuur 2.1. Deze keuze convergeert het ontwerpproces, zodat er efficiënter en gerichter tot een detailontwerp gekomen kan worden dat wordt vertaald naar een prototype. Op deze manier is de bouw van het prototype bewust verkozen boven een uitgebreidere ontwerpstudie.
Normaal gesproken volgt de keuze voor een type robot uit de toepassing die de robot moet verrichten. In dit geval wordt de robotarm niet ontworpen voor het uitvoeren van een specifieke manipulatie, waardoor andere criteria een rol spelen bij de keuze. Wel is bekend dat de opdrachtgever de intentie heeft om het eindresultaat van deze opdracht door te ontwikkelen, zodat er een freesbewerking mee uitgevoerd kan worden. Omdat dit niet een directe eis is voor deze opdracht is de toepassing niet het leidende criterium bij de keuze voor een model. Maar de wensen voor doorontwikkeling wordt wel meegewogen in de keuze. De keuze voor het model gearticuleerde robot dat wordt ontworpen voor dit project wordt gebaseerd op de mogelijkheid om dit model realistisch op schaal te maken. Of het model aan dit criterium voldoet, is afhankelijk van twee factoren. Allereerst wordt beoordeeld of de karakteristieke constructie van het model zodanig op schaal te maken is dat deze stabiel genoeg is om de robotarm op realistische wijze te laten bewegen. Om hier een uitspraak over te kunnen doen, wordt er gekeken naar de structuur van de schakels en de verhouding tussen de lengte van de schakels en het volume van de gewrichten.
De structuur van de schakels is voor een groot deel bepalend voor de stijfheid en de nauwkeurigheid van de robot. Hoe stijver de constructie, hoe groter de mogelijkheid voor een realistische beweging. Waneer de structuur van de schakels van model A en model B met elkaar vergeleken worden, blijkt dat de schakels van model A slanker zijn vormgegeven dan die van model B. Bovendien beschikt model A over twee parallel georiënteerde schakels die de constructie meer stevigheid geven. Door de slanke geometrie van model A is de grootte van de gewrichten klein in verhouding tot de lengte van de schakels. Dit zou een beperking kunnen zijn voor de bouw van het prototype, omdat de constructie weinig vrijheid geeft voor de plaatsing van componenten en de keuze van actuatoren wordt beperkt door de afmetingen. Model B heeft een groot volume in relatie tot de lengte van de arm en geeft daarmee veel vrijheid in de keuze en positionering van componenten. Ten tweede wordt er gekeken naar de mogelijkheid om de esthetische kenmerken van het model realistisch om te zetten op schaal. Een belangrijk punt voor dit criterium is dat bij model B de constructie volledig wordt omsloten door een behuizing. Bij model A is dit niet het geval en zijn de componenten en de bedrading goed zichtbaar. Dat betekent dat de schaal van het prototype voor een groot deel wordt beïnvloed door de zichtbare componenten. Daarnaast biedt model A weinig ontwerpvrijheid, omdat de constructie aan de eisen van zowel stevigheid als esthetiek moet voldoen. In het geval van model B kan het ontwerp van de constructie volledig gericht worden op stevigheid en wordt de esthetiek bepaald door het ontwerp van de behuizing. Concluderend wordt ervoor gekozen om een robotarm te ontwerpen die voldoet aan de karakteristieken van model B. De esthetische eigenschappen van dit model zijn geschikt om realistisch om te zetten op schaal. Daarnaast geven de bouw en de verhoudingen van model B veel vrijheid bij het kiezen van een schaal en het ontwerpen van de constructie. Gezien de toepassing is dit ook het model dat in lijn ligt met de wensen voor doorontwikkeling.
13
2.1 Karakterisering model B In hoofdstuk 1 zijn de verschillende typen industriële robots geanalyseerd. Deze analyse heeft geleidt tot de keuze voor het type gearticuleerde robot. Van dit type zijn in het eerste deel van dit hoofdstuk twee veelvoorkomende modellen bekeken en daaruit volgde de keuze voor een specifiek model. Deze paragraaf analyseert de kenmerken van het gekozen model B en is daarmee de laatste verdiepende analyse van bestaande industriële robots. Het totaal van de hiervoor beschreven analyses resulteert in richtlijnen voor het ontwerp die onder andere terug komen in het
Figuur 2.2: Overzicht van verschillende varianten van model B.
14
programma van eisen in hoofdstuk 5. Op deze manier kan worden getoetst of het ontwerp daadwerkelijk tot het gekozen type industriële robot behoort.
Het model B gearticuleerde robot wordt met name geanalyseerd op vormgeving, omdat in deze eigenschap het grootste onderscheid ten opzichte van andere gearticuleerde robots tot uitdrukking komt. In figuur 2.2 is een overzicht weergegeven van verschillende robots die behoren tot de klasse van model B gearticuleerde robots. Het doel van dit overzicht is om de globale kenmerken en onderlinge diversiteit van de robots uit de gekozen klasse te illustreren. Daarnaast dient dit overzicht om de esthetiek van het ontwerp te beoordelen. Uit figuur 2.2 kan geconstateerd worden dat alle robots voldoen aan dezelfde verhoudingen tussen de verschillende onderdelen van de robotarm. Met name bij het ontwerpen van een schaalmodel is het voor een realistisch ontwerp van belang dat het ontwerp aan dezelfde verhoudingen voldoet. Vandaar dat de verhoudingen in formulevorm worden uitgedrukt om als richtlijn te dienen bij het bepalen van de dimensies van het ontwerp.
LDE
LEF
rEF rDE
rCD
rBC rAB
LCD
LAC
Figuur 2.3: Annotatie van de maten die in verhoudingen worden uitgedrukt.
In figuur 2.3 zijn de maten van de robotarm aangegeven waarvan de onderlinge verhoudingen in formulevorm worden uitgedrukt in tabel 2.1. Dit zijn de meest kenmerkende maten van de constructie en dit zijn ook de maten die als invoerparameters dienen voor het rekenkundig model dat wordt opgesteld in paragraaf 3.2.
15
Tabel 2.1: Afmetingsverhoudingen van een model B gearticuleerde robot.
formule
nr.
0,8 LCD < LAC < LCD
2.1
LDE ≈ LCD
2.3
0,9 LDE < LCD < 1,1 LDE LEF ≈ 0,2 LDE
0,2 LCD < rAB < 0,5 LCD rAB ≈ rBC ≈ rCD rCD > rDE rDE > rEF
2.2 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
Conclusie In aanvulling op de analyse van hoofdstuk 1 is in dit hoofdstuk een verdiepende analyse uitgevoerd van de gearticuleerde robot. Deze analyse is gericht op het definiëren van kenmerkende eigenschappen, zodat deze als richtlijn kunnen worden gebruikt bij het ontwerp. Uit de analyse komt naar voren dat er binnen het type gearticuleerde robot meerdere varianten voorkomen. Om voldoende focus aan te brengen in het ontwerpproces worden twee van de meest onderscheidende varianten nader bekeken waarna gekozen is om het ontwerp te richten op model B. Dit model is vanwege de esthetische eigenschappen en verhoudingen geschikter om op schaal te maken en ligt beter in lijn met de wensen voor doorontwikkeling. Op twee manieren worden de karakteristieken van het gekozen model gedefinieerd. Allereerst wordt een visueel overzicht gemaakt van industriële robots die binnen de gekozen klasse vallen. Dit overzicht wordt onder andere gebruikt ter toetsing van de esthetiek van het eindontwerp. Ten tweede worden de meest kenmerkende maten van de constructie uitgedrukt in onderlinge verhoudingen. Dit dient als richtlijn bij het bepalen van de dimensionering van het ontwerp.
16
Hoofdstuk 3
Mechanica Voor zowel het ontwerpen van een constructie als het programmeren van de aansturing van de robotarm is het van belang om inzicht te krijgen in de mechanica van een industriële robot. Er zal een theoretische analyse gedaan worden van de relevante mechanica op basis waarvan natuurkundige modellen worden opgesteld. Deze modellen worden onder andere gebruikt om richtlijnen voor het ontwerp te herleiden en dienen als ondersteuning bij de selectie van actuatoren en bij het bepalen van de specificaties van de robotarm.
Binnen de natuurkunde houdt de klassieke mechanica zich bezig met de fysica die beschrijft hoe objecten bewegen onder invloed van krachten. De benadering van de klassieke mechanica is beperkt tot het domein van grote objecten met snelheden die buiten benadering van de lichtsnelheid liggen. De industriële robot valt binnen dit domein en daarom zal de fysica van de robotarm benaderd worden vanuit de klassieke mechanica. Binnen de klassieke mechanica kunnen hoofdzakelijk drie gebieden worden onderscheiden. Het eerste gebied is de statica en zal besproken worden in paragraaf 3.1. De statica gaat uit van een krachtenevenwicht waarbij voorwerpen in rust zijn of met een constante snelheid bewegen. Het tweede gebied, de dynamica, richt zich op de relatie tussen de massa, traagheid en beweging en de werkende krachten en momenten. Een analyse van dit gebied van de mechanica zal beschreven worden in paragraaf 3.2. Ten slotte wordt in paragraaf 3.3 gesproken over de kinematica die zich bezig houdt met de implicaties van beweging zonder rekening te houden met de oorzaken van de beweging. D
E
F
C
B
A
Figuur 3.1: Vereenvoudigd model van een industriële robotarm.
17
Om een mechanische analyse te kunnen doen van een industriële robot is het van belang om de robot te vereenvoudigen naar een model. Dit model wordt weergegeven door figuur 3.1 en is de basis voor het opstellen van een vrije lichaam structuur en het herleiden van het kinematische model. Volgens het model in figuur 3.1 is de robotarm opgebouwd uit vijf schakels die met elkaar verbonden worden door de rotatiegewrichten B, C, D en E. Schakel AB vormt de basis van de robotarm en is ingeklemd onder een hoek van 90° met de grond. In elk van de rotatiegewrichten is een motor aangebracht die zorgt voor de beweging van de schakels.
Naast een vereenvoudigde weergave van de geometrie wordt nog een aantal aannames gedaan om de krachtenberekening voldoende te simplificeren. De eerste aanname is dat de bewegingen van de robotarm plaatsvinden in een en hetzelfde vlak. De rotatie assen van de gewrichten C, D en E staan loodrecht op dit vlak en de rotatie as van gewricht B loopt in dit vlak en is verticaal georiënteerd. Om aan deze aanname te voldoen, wordt gewricht B beschouwd als starre verbinding. Daarnaast wordt aangenomen dat de massa van iedere schakel homogeen verdeeld is en de wrijvingskrachten worden buiten beschouwing gelaten.
3.1 Statica
In deze paragraaf worden de krachten in de bevestigingspunten A tot en met E berekend, uitgaande van een statisch evenwicht. Uit deze berekening volgt onder andere een momentkracht in de gewrichten B tot en met E. Deze kracht wordt gebruikt bij het selecteren van de actuatoren en moet minimaal gelijk zijn aan het aanzetkoppel dat de actuator kan leveren.
De industriële robot van dit project wordt niet ontworpen voor het uitvoeren van een manipulatie en beschikt daarom niet over een eind-effector. Hieruit volgt de eis dat de constructie enkel bestand moet zijn tegen het eigen gewicht. Met oog op de selectie van actuatoren en de wensen voor doorontwikkeling, wordt er bij deze analyse toch rekening gehouden met een belasting (Py) op het uiteinde van de robotarm. De gedachte hierachter is dat de actuatoren die gekozen worden op basis van deze berekening niet zullen beperken in de mogelijkheden van de robotarm om meer dan de vereiste belasting kan dragen. De belasting (Py) werkt als puntbelasting in punt F en wordt beschouwd als constant in grootte en richting. Voor deze berekening wordt ervan uitgegaan dat de belasting wordt veroorzaakt door het bevestigen van een gewicht aan punt F. Daarom kan Py ook geschreven worden als mPyg. Door de belasting in punt F te beschouwen als gewicht, wordt D
E
F
C
B
Py
A
Figuur 3.2: Robotarm configuratie waarbij het moment maximaal is.
18
rekening gehouden met de toevoeging van een eind-effector aan de manipulator. De belasting Py wordt gevormd door het gewicht van de eind-effector en de belasting die op de eind-effector werkt. Daarbij wordt aangenomen dat de belasting op de eind-effector in dezelfde richting werkt als de zwaartekracht. Bij deze analyse worden de reactiekrachten in de punten A tot en met E berekend. Daarbij worden de normaalkracht, de zwaartekracht en de belasting in beschouwing genomen. De momentkracht wordt gegeven door de formule M = F ∙r . Hieruit is af te leiden dat het moment afhankelijk is van de kracht (F) en de krachtarm (r). Aangezien de massa van de robotarm en de belasting in punt F constant zijn, varieert de grootte van het moment door de krachtarm (r) die afhankelijk is van de configuratie van de robotarm. Er zijn tal van configuraties mogelijk en het is voor het doel van deze analyse niet zinvol om voor elk van deze configuraties het moment te bereken. In plaats daarvan wordt gekeken naar de configuratie waarbij de krachtarm maximaal is en zo ook het moment maximaal is. Als de constructie bestand is tegen deze momentkracht, zal deze ook bestand zijn tegen de momentkracht bij elke andere willekeurige configuratie. Figuur 3.2 geeft de configuratie weer waarvoor de momentkracht in de gewrichten maximaal is. Van deze configuratie wordt een vrije lichaam structuur opgesteld die in combinatie met de evenwichtsvergelijkingen voor een statisch krachtenevenwicht resulteert in uitdrukkingen voor de reactiekrachten in de gewrichten van de robotarm. In tabel 3.1 worden de uitdrukkingen weergegeven die het resultaat zijn van deze analyse en aangeven welke kracht er door de motoren geleverd moeten worden. In bijlage A is de volledige berekening te vinden waaruit de formules zijn herleid.
Gewricht gewricht AA BB CC
DD EE
Tabel 3.1: Reactiekrachten in de gewrichten voor een statische situatie.
Formule formule 1
1
nr.
3.3
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) +
3.3
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 )
3.18 3.18
2
1
1
2
𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 ) 2
1
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 2
1
1
2
𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 ) 2
1
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 ) 2
1
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 2
3.2 Dynamica
2
3.9
3.9
3.12 3.12 3.15 3.15
Als aanvulling op paragraaf 3.1 wordt in deze paragraaf gekeken naar de krachten op de constructie ten gevolge van een beweging van de robotarm. Daartoe worden ook hier de krachten berekend in de bevestigingspunten A tot en met E. De resulterende momentkrachten worden gebruikt bij het bepalen van het nominaal koppel dat de actuator moet kunnen leveren. Daarnaast wordt de stijfheid van de constructie geoptimaliseerd voor deze krachten. Net als bij de analyse van de statica wordt de dynamica geanalyseerd voor de situatie waarin de krachten maximaal zijn. Ook in dit geval wordt deze situatie bepaald door de momentkracht
19
Nr.
en is daarom gelijk aan de situatie die werd beschouwd in paragraaf 3.1. Naast de invloed van de normaalkracht, de zwaartekracht en de belasting (Py) wordt nu ook rekening gehouden met een hoekversnelling in de gewrichten B, C, D en E. Daarbij wordt de beweging van een schakel beschouwd als een rotatie van een star lichaam om een vaste as. De reactiekrachten in de punten A tot en met E worden berekend door eerst een vrije lichaam structuur op te stellen en door middel van de evenwichtsvergelijkingen tot een uitdrukking voor de reactiekrachten te komen. Deze volledige berekening is te vinden in bijlage B. De resulterende uitdrukkingen voor de het koppel dat de motoren moeten leveren, worden weergegeven door tabel 3.2.
Gewricht gewricht
Tabel 3.2: Reactiekrachten in de gewrichten voor een dynamische situatie.
Formule formule 1
1
AA
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) +
BB
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 ) + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐵𝐵𝐵𝐵 �
2
𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 ) 2
1
𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿2 3 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶
+
2
𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑟𝑟𝑟𝑟 2 5 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 2
1
3.21
2
1
+
𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶
2
1
+
2
1
3.48
2 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑟𝑟𝑟𝑟𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑟𝑟𝑟𝑟𝐶𝐶𝐶𝐶2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑟𝑟𝑟𝑟𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 +
2 1
𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑟𝑟𝑟𝑟 2 4 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷
5
+
4 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 12 1
1
Nr.
nr.
+
2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑟𝑟𝑟𝑟𝐷𝐷𝐷𝐷2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑟𝑟𝑟𝑟𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸
CC
1
1
𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿2 12 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸
2
5
4
2
1
+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 )2 2
1
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 2
1
2
𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 ) + 1 3
2
2
1
2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑟𝑟𝑟𝑟𝐶𝐶𝐶𝐶2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑟𝑟𝑟𝑟𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 5
2
1
4
2
1
12
1
2 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐶𝐶𝐶𝐶 � 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑟𝑟𝑟𝑟𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 4
𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 +
+
3.34
1
2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑟𝑟𝑟𝑟𝐷𝐷𝐷𝐷2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑟𝑟𝑟𝑟𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 1
DD
1
𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿2 12 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸
5
4
2
1
+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 )2 ) 2
1
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 ) + 2
1
2 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐶𝐶𝐶𝐶 � 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑟𝑟𝑟𝑟𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 4 1
EE
2
12
1
+
1
𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿2 3 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷
+
1
2
𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑟𝑟𝑟𝑟 2 5 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 2
+
2
𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷
+
1
𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑟𝑟𝑟𝑟 2 4 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸
𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 )2 ) 2
1
1
+
2 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐷𝐷𝐷𝐷 � 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑟𝑟𝑟𝑟𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸𝐸𝐸 2 � 2
4
3
3.39
3.44
Het resultaat van de berekeningen aan de statica en dynamica van de robotarm is verwerkt in een rekenkundig model dat is geprogrammeerd in Microsoft Office Excel. Dit model kan gebruikt worden om het koppel te berekenen dat de motor moet leveren voor een bepaalde beweging van de robotarm. Daarbij wordt gebruik gemaakt van de aanname die in het begin van dit hoofdstuk is gedaan die stelt dat de motoren in de gewrichten zijn bevestigd. Dat betekent dat de momentkracht die op motor C werkt gelijk is aan het moment om punt C. Om echter tot een waarde te komen voor het benodigde koppel van de motor, dient nog met een aantal dingen rekening gehouden te worden. De eerste is het feit dat er bij het uitvoeren van deze analyse een aantal aannames gedaan is om de berekening te vereenvoudigen. Dat betekent dat de werkelijkheid hoogst waarschijnlijk afwijkt van de situatie waar bij deze analyse van uit wordt gegaan. Om er zeker van te zijn dat
20
𝐴𝐴𝐴𝐴
𝐴𝐴𝐴𝐴
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷
𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷
𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐴𝐴𝐴𝐴 1
2
1
1
2
(3.46)
1
2 2 2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 2
1
12 1
12
5
4
1
3
2
2
5
4
1
2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2
5
1
4
2
𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 2
1
2
1
(3.47)
1
2 2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐴𝐴𝐴𝐴 � 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 2 5 4 3 deze onnauwkeurigheid in de berekening niet tot gevolg heeft dat een verkeerde motor wordt 2 2 1 1 1 2 2veiligheidsfactor 2 toegepast, 𝑚𝑚𝑚𝑚 wordt 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚een + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + toegepast. 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 +Daarnaast 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 wordt + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷er � nog + rekening 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 + gehouden met 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 5 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 4 12 2 5 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 de efficiëntie van de motor. Een motor is nooit 100% efficiënt waardoor maar een deel van het 2 1 1 1 2 2 2 (𝐿𝐿𝐿𝐿 ) 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 �𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 � + koppel dat effectief omgezet wordt in een𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷koppelkracht. Dat alles leidt tot de 𝐷𝐷𝐷𝐷 de 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶motor 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 kan leveren 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 4 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 12 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 volgende algemene formule voor de benodigde koppelkracht van motor U. 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 (3.48)
Waarin Mh = momentkracht om punt h η = efficiëntie van de motor q = veiligheidsfactor
𝑀𝑀𝑀𝑀ℎ � 𝑞𝑞𝑞𝑞 𝜂𝜂𝜂𝜂
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑈𝑈𝑈𝑈 = �
(3.49)
Op basis van formule 3.49 en de formules uit tabel 3.1 en tabel 3.2 kunnen de invoerparameters van het model bepaald worden. Deze zijn weergegeven in tabel 3.3 in bijlage C.
3.3 Kinematica
De robot kinematica bestudeert de relatie tussen afmetingen en verbindingen van de kinematische ketens en de positie, snelheid en versnelling van de schakels. Op basis van deze relatie kan bepaald worden welke krachten de actuatoren moeten leveren om de robotarm een bepaalde beweging te laten maken. Om de bewegingen van de robotarm te kunnen analyseren, wordt het mechanische systeem vereenvoudigd tot een wiskundig model. Dit model wordt ook wel de kinematische keten genoemd. Een kinematische keten is opgebouwd uit schakels die met elkaar verbonden worden door gewrichten. De schakels worden gemodelleerd als starre lichamen en de bewegingen van de gewrichten worden beschouwd als zuivere translaties of rotaties.
Het aantal vrijheidsgraden, of mobiliteit, van de kinematische keten is gelijk aan het aantal parameters dat de configuratie van de keten bepaalt (McCarthy & Soh, 2010). Dit worden ook wel de gegeneraliseerde coördinaten genoemd. Om een schakel in de vrije ruimte te positioneren, zijn er zes parameters nodig. Drie om de positie vast te leggen en drie om de oriëntatie vast te leggen. Zo heeft een systeem met n schakels 6n vrijheidsgraden. Maar doordat de schakels aan elkaar verbonden zijn, wordt hun bewegingsvrijheid beperkt. Deze kinematische beperking wordt opgelegd door de gewrichten. Een beperking betekent een afname van het aantal parameters dat bepalend is voor de configuratie van de keten en dus het aantal vrijheidsgraden. Dit resulteert in de formule van Grübler voor de mobiliteit (M) van een kinematische keten. 𝑗𝑗𝑗𝑗
(3.50)
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 6(𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝑗𝑗𝑗𝑗 − 1) + � 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑗𝑗𝑗𝑗 Met n = aantal schakels 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑞𝑞𝑞𝑞𝑖𝑖𝑖𝑖 ) j = aantal gewrichten 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝜃𝜃𝜃𝜃 −𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝛼𝛼𝛼𝛼 ⎡ f = aantal vrijheidsgraden van een gewricht ⎢ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝛼𝛼𝛼𝛼 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑜𝑜𝑜𝑜𝑅𝑅𝑅𝑅𝑧𝑧𝑧𝑧,𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑇𝑇𝑇𝑇𝑧𝑧𝑧𝑧,𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑇𝑇𝑇𝑇𝑥𝑥𝑥𝑥 ,𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑜𝑜𝑜𝑜𝑅𝑅𝑅𝑅𝑥𝑥𝑥𝑥,𝛼𝛼𝛼𝛼 = ⎢ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝛼𝛼𝛼𝛼 ⎢ 0 ⎣ 0 0 𝑐𝑐𝑐𝑐1 0 𝑇𝑇𝑇𝑇1 0 ⎡ ⎤ 0 −𝑐𝑐𝑐𝑐1 0 ⎥ ⎢ 𝑇𝑇𝑇𝑇1 𝐴𝐴𝐴𝐴1 = ⎢ ⎥ 1 0 𝑑𝑑𝑑𝑑1 ⎥ ⎢0 ⎣0 0 0 1⎦ 21
𝑐𝑐𝑐𝑐2 ⎡ ⎢ 𝑇𝑇𝑇𝑇2 𝐴𝐴𝐴𝐴2 = ⎢ 0
−𝑇𝑇𝑇𝑇2
0
0
1
𝑐𝑐𝑐𝑐2
0
𝑎𝑎𝑎𝑎2 𝑐𝑐𝑐𝑐2
⎤ 𝑎𝑎𝑎𝑎2 𝑐𝑐𝑐𝑐2 ⎥ ⎥ 0
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝛼𝛼𝛼𝛼
−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝛼𝛼𝛼𝛼 0
𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝜃𝜃𝜃𝜃
⎤ 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝜃𝜃𝜃𝜃 ⎥ ⎥ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ⎥ 1 ⎦
(3.51)
(3.52)
(3.53)
(3.54)
(3.55)
Dit is de algemene formule die voor vrijwel ieder mechanisme van toepassing is. Door de kenmerken van een seriële robotarm kan de formule van Grübler voor dit type verder vereenvoudigd worden. Deze kenmerken hebben betrekking op specifieke eigenschappen van de schakels en gewrichten. De constructie van een seriële manipulator bestaat uit binaire schakels waarvan de eerste schakel is gefixeerd. Een binaire schakel kan maar op twee punten verbonden worden met een andere schakel of met de omgeving, dus geldt n = j + 1. De gewrichten die de 𝑗𝑗𝑗𝑗 schakels met elkaar verbinden, zijn van een lage orde en hebben een enkele vrijheidsgraad. j 𝑀𝑀𝑀𝑀 =Grübler 6(𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝑗𝑗𝑗𝑗kan − 1)daarmee + � 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 vereenvoudigd worden tot (3.50) Daardoor geldt ∑ i - 1 fi = j. De formule van 𝑖𝑖𝑖𝑖=1
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑗𝑗𝑗𝑗
(3.51)
(3.52) 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑞𝑞𝑞𝑞𝑖𝑖𝑖𝑖 ) Het aantal vrijheidsgraden van een seriële manipulator is dus gelijk aan het aantal gewrichten. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝜃𝜃𝜃𝜃 −𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝜃𝜃𝜃𝜃 ⎡ ⎤ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 ⎢ ⎥ 𝜃𝜃𝜃𝜃 𝜃𝜃𝜃𝜃 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝜃𝜃𝜃𝜃 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝜃𝜃𝜃𝜃 Door de manier waarop de schakels met elkaar verbonden worden door gewrichten, kunnen twee 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑜𝑜𝑜𝑜𝑅𝑅𝑅𝑅 (3.53) 𝑧𝑧𝑧𝑧,𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑇𝑇𝑇𝑇𝑧𝑧𝑧𝑧,𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑇𝑇𝑇𝑇𝑥𝑥𝑥𝑥 ,𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑜𝑜𝑜𝑜𝑅𝑅𝑅𝑅𝑥𝑥𝑥𝑥,𝛼𝛼𝛼𝛼 = ⎢ ⎥ 0 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑑𝑑 typen kinematische ketens worden onderscheiden: een open kinematische keten en een gesloten 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝛼𝛼𝛼𝛼 ⎢ ⎥ kinematische keten. Bij een open kinematische keten ⎣ 0 kan het0 eindgewricht ⎦ 0 vrij worden 1 bewogen. Dit betekent dat de gewrichten in een open kinematische 𝑐𝑐𝑐𝑐1 0 𝑇𝑇𝑇𝑇1keten 0 onafhankelijk van elkaar kunnen ⎡ bewegen zoals het geval is bij een seriële manipulator. De totale ⎤beweging van een open keten 0 −𝑐𝑐𝑐𝑐1 0 ⎥ ⎢ 𝑇𝑇𝑇𝑇1 komt tot stand door een opeenvolging 𝐴𝐴𝐴𝐴 van van de afzonderlijke gewrichten. Dit is(3.54) 1 =bewegingen ⎢ ⎥ 0 1 0 𝑑𝑑𝑑𝑑 1 te vergelijken met een beweging van een menselijke arm. Een buiging van de elleboog betekent ⎢ ⎥ ⎦ het geval van een gesloten niet automatisch een beweging van de pols of⎣ 0 van de 0 schouder. 0 1In kinematische keten kan het eindgewricht niet𝑐𝑐𝑐𝑐vrij worden −𝑇𝑇𝑇𝑇2 0 bewogen. 𝑎𝑎𝑎𝑎2 𝑐𝑐𝑐𝑐2 Als een van de gewrichten in 2 ⎡ ⎤ een gesloten kinematische keten beweegt, zullen ook de andere worden bewogen. Dit 𝑐𝑐𝑐𝑐2 0 𝑎𝑎𝑎𝑎2 𝑐𝑐𝑐𝑐gewrichten ⎢ 𝑇𝑇𝑇𝑇2 2⎥ (3.55) 𝐴𝐴𝐴𝐴2 = ⎢ Een gesloten kinematische is van toepassing op een parallelle manipulator. keten kan vergeleken ⎥ 0 0 1 0 ⎥ ⎢ worden met de beweging van het been terwijl de voet contact maakt met de grond. Als in deze ⎦ de heup bewegen. 0 0 1 en situatie het kniegewricht beweegt, zullen ook⎣ 0 het enkelgewricht 𝑐𝑐𝑐𝑐3 −𝑇𝑇𝑇𝑇3 0 𝑎𝑎𝑎𝑎3 𝑐𝑐𝑐𝑐3 ⎡ ⎤ De kinematische analyse wordt gebruikt om ⎢de robotarm en de positie van de 𝑇𝑇𝑇𝑇3 configuratie 𝑐𝑐𝑐𝑐3 0 van 𝑎𝑎𝑎𝑎3 𝑐𝑐𝑐𝑐de 3⎥ = begin𝐴𝐴𝐴𝐴3 de ⎢ eind-effector te bepalen. Daarmee wordt en eindpositie ⎥van de beweging bepaald en(3.56) dat 0 0 1 0 ⎥ ⎢ dient als input voor de actuatoren om de beweging te realiseren. Omdat de kinematische analyse ⎣0 ⎦ 0 is het 1 van beïnvloed wordt door de kinematische keten van de0robot, belang om hier enige kennis 𝑐𝑐𝑐𝑐4de analyse −𝑇𝑇𝑇𝑇4 0van𝑎𝑎𝑎𝑎de 4 𝑐𝑐𝑐𝑐4kinematische keten. Dit zijn de van te hebben. Er zijn twee benaderingen voor ⎡ ⎤ 𝑐𝑐𝑐𝑐4 relatie 0 tussen 𝑎𝑎𝑎𝑎4 𝑐𝑐𝑐𝑐4 ⎥ beide benaderingen wordt voorwaartse kinematica en de inverse kinematica. ⎢ 𝑇𝑇𝑇𝑇4 De (3.57) 𝐴𝐴𝐴𝐴4 = ⎢ ⎥ geïllustreerd door figuur 3.15. 0 0 1 0 ⎢ ⎥ ⎣0 0 0 1 ⎦ 𝑚𝑚𝑚𝑚11 𝑚𝑚𝑚𝑚12 𝑚𝑚𝑚𝑚13 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑥𝑥𝑥𝑥 ⎡ ⎤ cartesiaanse coördinaten ⎢𝑚𝑚𝑚𝑚21 𝑚𝑚𝑚𝑚22 𝑚𝑚𝑚𝑚23 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑦𝑦𝑦𝑦 ⎥ 0 𝑇𝑇𝑇𝑇4 = 𝐴𝐴𝐴𝐴1 𝐴𝐴𝐴𝐴2 𝐴𝐴𝐴𝐴3 𝐴𝐴𝐴𝐴4 = ⎢ (3.58) ⎥ Inverse Voorwaartse 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑝𝑝𝑝𝑝 31 32 33 𝑧𝑧𝑧𝑧 ⎢ ⎥ kinemaca
⎣0
0
gewrichten coördinaten
0
1⎦
kinemaca
Figuur 3.15: Schematische weergave van voorwaartse en inverse kinematica.
22
In paragraaf 3.3.1 wordt een uitgebreide analyse gedaan naar de voorwaartse kinematica die resulteert in de beschrijving van een methodiek voor het opstellen van een transformatiematrix waarmee de positie van de eind-effector kan worden berekend aan de hand van de stand van de motoren. De inverse kinematica wordt beschreven in paragraaf 3.3.2. Deze analyse is voor een seriële manipulator vele malen complexer dan de voorwaartse kinematica en valt buiten de grenzen van deze opdracht. Vandaar dat de principes van de inverse kinematica op een globaal niveau worden beschreven zonder in te gaan op de methodiek voor het uitvoeren van een kinematische analyse.
3.3.1 Voorwaartse kinematica
Bij de voorwaartse kinematica wordt de positie en oriëntatie van de eind-effector berekend door de configuratie van de gewrichten en de schakels. De totale transformatie van de robotarm, die leidt tot de positie van de eind-effector, is voor een seriële manipulator te bepalen door het totaal van afzonderlijke transformaties van de schakels en gewrichten. Dit is een relatief eenvoudig berekening in het geval van een seriële manipulator, maar voor een parallelle manipulator, waar de schakels op een andere manier geordend zijn, is het berekenen van de voorwaartse kinematica een erg complexe procedure. Door de voorwaartse kinematica te analyseren, kan een beter idee worden gekregen van hoe een verdraaiing van de gewrichten van invloed is op de positionering van de eind-effector. Bij het ontwerpen van de robotarm wordt gestreefd naar een flexibele arm met groot werkgebied en vrijheid in het positioneren van de eind-effector binnen dit werkgebied. Aan de hand van deze analyse wordt inzicht verkregen in de parameters die bepalend zijn voor de positionering en wat vanuit kinematisch oogpunt een optimale configuratie is. Dit gecombineerd met de analyse van de dynamica geeft een basis voor het beoordelen en bepalen van de kinematische eigenschappen van de robotarm.
Er zijn meerdere methoden waarmee de voorwaartse kinematica van een manipulator geanalyseerd kan worden. Veel van deze methoden bieden een conventie waarmee de voorwaartse kinematica in vereenvoudigde vorm opgelost kan worden. Dit biedt met name voordelen bij manipulators met een groter aantal schakels, omdat de complexiteit van de analyse toeneemt met het aantal schakels. Een van de meest toegepaste conventiemethoden is de Denavit-Hartenberg conventie (Kucuk & Bingul, 2006). Vandaar dat in dit hoofdstuk de voorwaartse kinematica van een seriële manipulator geanalyseerd zal worden aan de hand van deze conventiemethode.
Denavit-Hartenberg conventie
De aanname dat ieder gewricht een enkele vrijheidsgraad heeft, betekent dat de beweging van ieder gewricht beschreven kan worden door een enkele variabele die ook wel de gewrichtvariabele wordt genoemd. In het geval van een rotatiegewricht is dit de hoekverdraaiing en in het geval van een translatiegewricht is dit de verplaatsing. Het doel van de voorwaartse kinematica is om het totale effect van alle gewrichtvariabelen op de positie van de eind-effector te bepalen.
De eerste stap in de analyse is het typeren van de schakels en gewrichten van de manipulator, zodat hier op een consequente manier naar verwezen kan worden. Deze typering wordt beschreven door figuur 3.16. Een seriële manipulator met n gewrichten heeft n + 1 binaire schakels. De gewrichten worden genummerd van 1 tot n en de schakels worden genummerd van 0 tot n, beginnende bij de
23
basis van de robotarm. Op deze manier verbindt gewricht i schakel i met schakel i – 1. De basis, schakel 0, is gefixeerd en beweegt niet onder invloed van een beweging in de gewrichten. Daarom geldt dat schakel i verplaatst door een beweging in gewricht i.
zi-1
Gewricht i
zi-2
xi-1
Sch
i-1 akel
ai-1
Sch
Oi-1
ai
ake
li
Gewricht i+1
zi Oi
xi
Figuur 3.16: Typering van schakels en gewrichten volgens de Denavit-Hartenberg conventie.
Zoals eerder gezegd wordt met ieder gewricht een gewrichtvariabele geassocieerd die de beweging van het gewricht beschrijft. Voor gewricht i wordt deze gewrichtvariabele weergegeven door qi. Wanneer er sprake is van een rotatiegewricht is qi gelijk aan de hoekverdraaiing θi en voor een translatiegewricht is qi gelijk aan de verplaatsing di. Om nu de beweging van de manipulator te analyseren wordt aan iedere schakel een coördinatenframe bevestigd, zodat frame oi xi yi zi is bevestigd aan schakel i. Een transformatie van de robotarm wordt beschreven door een transformatie van deze coördinatenframes. Daarbij is het van belang om een referentieframe te hebben aan de hand waarvan de transformaties worden beschreven. Dit is het frame o0 x0 y0 z0 dat is bevestigd aan de basis van de robot, omdat dit het onderdeel is dat niet beweegt onder invloed van een beweging in de gewrichten.
De beweging en oriëntatie van oi xi yi zi ten opzichte van oi - 1 xi - 1 yi - 1 zi - 1 worden beschreven door de homogene transformatiematrix i - 1Ti . Ter vereenvoudiging zal de notatie i - 1Ti vanaf hier worden afgekort als Ai . Deze matrix verandert met de configuratie van de robotarm. De beweging van twee 𝑗𝑗𝑗𝑗 aangrenzende schakels ten opzichte van elkaar wordt bepaald door de gewrichtsvariabele qi . Dat (3.50) 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 6(𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝑗𝑗𝑗𝑗 − 1) + � 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 betekent dat de homogene transformatiematrix Ai enkel afhankelijk is van deze variabele waardoor 𝑖𝑖𝑖𝑖=1 geldt dat 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑗𝑗𝑗𝑗 (3.51) 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑞𝑞𝑞𝑞𝑖𝑖𝑖𝑖 )
(3.52)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝜃𝜃𝜃𝜃 −𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝜃𝜃𝜃𝜃 Het is mogelijk om de voorwaartse kinematica van ⎡ een manipulator te analyseren met willekeurige ⎤ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝜃𝜃𝜃𝜃 ⎥ ⎢ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝛼𝛼𝛼𝛼 vereenvoudigd frames verbonden aan iedere schakel. Echter kan de𝜃𝜃𝜃𝜃analyse significant worden 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑜𝑜𝑜𝑜𝑅𝑅𝑅𝑅𝑧𝑧𝑧𝑧,𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑇𝑇𝑇𝑇𝑧𝑧𝑧𝑧,𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑇𝑇𝑇𝑇𝑥𝑥𝑥𝑥 ,𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑜𝑜𝑜𝑜𝑅𝑅𝑅𝑅𝑥𝑥𝑥𝑥,𝛼𝛼𝛼𝛼 = (3.53) ⎥ door de frames systematisch te positioneren. De⎢manier waarop 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝛼𝛼𝛼𝛼 de Denavit-Hartenberg 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑑𝑑𝑑𝑑 conventie ⎢ 0 ⎥ bijdraagt aan een simplificatie van de analyse van kinematica is het bieden ⎣ de 0 voorwaartse 0 0 1 ⎦ van een systematiek voor het selecteren van de coördinatenframes. 𝑐𝑐𝑐𝑐1 0 𝑇𝑇𝑇𝑇1 Door 0 deze conventie kan de homogene ⎤ basistransformaties (Forward transformatiematrix Ai worden weergegeven⎡ als product van vier 0 −𝑐𝑐𝑐𝑐1 0 ⎥ ⎢ 𝑇𝑇𝑇𝑇1 z.j.). Kinematics: The Denavit-Hartenberg Convention, (3.54) 𝐴𝐴𝐴𝐴1 = ⎢ ⎥ 1 0 𝑑𝑑𝑑𝑑1 ⎥ ⎢0 ⎣0 𝑐𝑐𝑐𝑐2 ⎡ ⎢ 𝑇𝑇𝑇𝑇2 𝐴𝐴𝐴𝐴2 = ⎢ ⎢0 ⎣0 𝑐𝑐𝑐𝑐3 ⎡ ⎢ 𝑇𝑇𝑇𝑇3 𝐴𝐴𝐴𝐴3 = ⎢ 0
0 −𝑇𝑇𝑇𝑇2
0 0
0
1
𝑐𝑐𝑐𝑐2
0
0 −𝑇𝑇𝑇𝑇3
0 0
0
1
𝑐𝑐𝑐𝑐3
0
1⎦ 𝑎𝑎𝑎𝑎2 𝑐𝑐𝑐𝑐2
⎤ 𝑎𝑎𝑎𝑎2 𝑐𝑐𝑐𝑐2 ⎥ ⎥ 0 ⎥ 1 ⎦ 𝑎𝑎𝑎𝑎3 𝑐𝑐𝑐𝑐3 ⎤ 𝑎𝑎𝑎𝑎3 𝑐𝑐𝑐𝑐3 ⎥ ⎥ 0
(3.55)
24
(3.56)
𝑗𝑗𝑗𝑗
(3.50)
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 6(𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝑗𝑗𝑗𝑗 − 1) + � 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑖𝑖𝑖𝑖=1
(3.51)
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑞𝑞𝑞𝑞𝑖𝑖𝑖𝑖 )
(3.52)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝜃𝜃𝜃𝜃 −𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝜃𝜃𝜃𝜃 ⎡ ⎤ ⎢ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝛼𝛼𝛼𝛼 −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝜃𝜃𝜃𝜃 ⎥ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑜𝑜𝑜𝑜𝑅𝑅𝑅𝑅𝑧𝑧𝑧𝑧,𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑇𝑇𝑇𝑇𝑧𝑧𝑧𝑧,𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑇𝑇𝑇𝑇𝑥𝑥𝑥𝑥 ,𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑜𝑜𝑜𝑜𝑅𝑅𝑅𝑅𝑥𝑥𝑥𝑥,𝛼𝛼𝛼𝛼 = ⎢ (3.53) ⎥ 0 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝛼𝛼𝛼𝛼 ⎢ ⎥ ⎣ 0 0 0 1 ⎦ 𝑐𝑐𝑐𝑐1 0 𝑇𝑇𝑇𝑇1 0 ⎡ Een willekeurige transformatie tussen twee objecten in een drie⎤dimensionale ruimte wordt 0 de−𝑐𝑐𝑐𝑐 0⎥ ⎢ 𝑇𝑇𝑇𝑇kan 1 1 gekarakteriseerd door zes parameters.𝐴𝐴𝐴𝐴Echter uit bovenstaande matrix worden (3.54) 1 = ⎢ ⎥ 1 conventie 0 𝑑𝑑𝑑𝑑1een afgeleid dat door middel van de Denavit-Hartenberg ⎢0 ⎥ transformatie tussen twee schakels beschreven kan worden met vier parameters. ⎣0 0 De 0 reden 1 ⎦dat er met deze conventie maar vier in plaats van zes parameters nodig zijn, 𝑐𝑐𝑐𝑐2 ligt −𝑇𝑇𝑇𝑇2in de 0 keuze 𝑎𝑎𝑎𝑎2 𝑐𝑐𝑐𝑐2 van de positionering van de ⎡ ⎤ positie van een deel van de coördinatenframes. Zo zijn er twee voorwaarden op te stellen die de 𝑐𝑐𝑐𝑐2 0 𝑎𝑎𝑎𝑎2 𝑐𝑐𝑐𝑐2 ⎥ ⎢ 𝑇𝑇𝑇𝑇2 coördinatenframes definiëren, namelijk: (3.55) 𝐴𝐴𝐴𝐴2 = ⎢ ⎥ 0 1 0 ⎥ ⎢0
(DH1) As x1 staat loodrecht op as z0 (DH2) As x1 is snijdend met as z0
⎣0 0 0 1 ⎦ 𝑐𝑐𝑐𝑐3 −𝑇𝑇𝑇𝑇3 0 𝑎𝑎𝑎𝑎3 𝑐𝑐𝑐𝑐3 ⎡ ⎤ 𝑐𝑐𝑐𝑐3 0 𝑎𝑎𝑎𝑎3 𝑐𝑐𝑐𝑐3 ⎥ ⎢ 𝑇𝑇𝑇𝑇3 = ⎢ (3.56) 𝐴𝐴𝐴𝐴3 homogene zoals weergegeven in figuur 3.17. Iedere transformatiematrix die aan deze voorwaarden ⎥ 0 0 1 0 ⎥ ⎢ voldoet, kan geschreven worden in de vorm 3.53 en is met de vier parameters θ, a, d en α te 0 volgt 0 geïnterpreteerd: 0 1 ⎦ specificeren. Elk van deze parameters wordt⎣als 𝑐𝑐𝑐𝑐4 −𝑇𝑇𝑇𝑇4 0 𝑎𝑎𝑎𝑎4 𝑐𝑐𝑐𝑐4 ⎡ ⎤ ai = de afstand van Oi tot de kruising tussen de langs xi 𝑐𝑐𝑐𝑐4xi en0zi - 1𝑎𝑎𝑎𝑎gemeten ⎢ 𝑇𝑇𝑇𝑇4assen 4 𝑐𝑐𝑐𝑐4 ⎥ (3.57) 4 = ⎢ de assen x en z ⎥ di = de afstand van Oi - 1 tot de kruising 𝐴𝐴𝐴𝐴 tussen gemeten langs zi - 1 i1 i-1 0 0 0 ⎥ αi = de hoek tussen zi - 1 en zi gemeten om de ⎢xi as. De positieve draairichting wordt bepaald van as ⎣0 ⎦ 0 0 1 zi - 1 tot as zi door de rechterhandregel (figuur 3.18) 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚12 𝑚𝑚𝑚𝑚13 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑥𝑥𝑥𝑥 θi = de hoek tussen xi - 1 en xi gemeten om de zi - 1 as.⎡ 11 De positieve draairichting wordt bepaald van ⎤ 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑝𝑝𝑝𝑝 22 23 𝑦𝑦𝑦𝑦 ⎥ as xi - 1 tot as xi door de rechterhandregel (figuur ⎢ 213.18) 0 𝑇𝑇𝑇𝑇4 = 𝐴𝐴𝐴𝐴1 𝐴𝐴𝐴𝐴2 𝐴𝐴𝐴𝐴3 𝐴𝐴𝐴𝐴4 = ⎢ (3.58) ⎥ 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑧𝑧𝑧𝑧 ⎥ ⎢ 31 32 33 ⎣ 0 a0 0 1⎦ α
z1 x1 d
x0
θ y0
y1 O1
z0 O0
Figuur 3.17: Coördinatenframes volgens de aannames DH1 en DH2.
Gegeven dat de matrix Ai afhankelijk is van een enkele parameter zijn drie van de vier boven genoemde parameters constant. Voor iedere manipulator zijn de parameters ai en αi constant voor iedere i. Daarmee zijn dit de karakteristieken van de manipulator. Voor een rotatiegewricht is di constant (gelijk aan 0) en θi variabel. In het geval van een translatiegewricht is θi constant (gelijk aan 0) en di variabel.
25
z1
zi-1 θi
αi
zi-1
xi-1
xi
xi Figuur 3.18: Positieve draairichting voor ai en θi
Er is vastgesteld dat de Denavit-Hartenberg conventie het mogelijk maakt om door een systematische keuze van de coördinatenframes een transformatie tussen twee aangrenzende schakels te beschrijven met vier parameters. Zo zijn er twee voorwaarden (DH1) en (DH2) beschreven waar het kinematische model aan moet voldoen om te kunnen worden geanalyseerd met de Denavit-Hartenberg conventie. Daarnaast bestaat er echter nog een groot aantal vrijheden in de keuze van de rest van de coördinatenframes. Hoewel hier geen voorwaarden aan verbonden zijn voor de analyse, is er wel een aantal richtlijnen op te stellen ten gunste van een systematische analyse. Het is altijd mogelijk om voor een gegeven manipulator de frames 0, . . , n zo te kiezen dat aan de voorwaarden (DH1) en (DH2) wordt voldaan. Buiten deze voorwaarden is de keuze van de oorsprong en de assen van de coördinatenframes grotendeels willekeurig. Om hier toch structuur in aan te brengen ten gunste van een eenduidige methodiek wordt de plaatsing van de coördinatenframes gedaan aan de hand van de volgende richtlijnen.
• zi wordt zo gekozen dat dit de bewegingsas is voor gewricht i + 1. Als gewricht i + 1 een rotatiegewricht is, is zi de rotatie as van gewricht i + 1. Als gewricht i + 1 een translatiegewricht is, is zi de translatie as van gewricht i + 1. • De drie assen van het coördinatenframe zijn vormen samen een rechterhand frame a2
y1
d1
z0
y2
θ2 x1
z1
a3
z2
a4
y3
θ3 x2
z3
y4
θ4 x3
z4
x4
y0 x0
θ1 Figuur 3.19: Toewijzing van de coördinatenframes voor een 4R manipulator.
26
• Het coördinaten frame van schakel i is geplaatst in het distale uiteinde van schakel i. Dat betekent dat coördinatenframe i - 1 gepositioneerd is in gewricht i. • xi loopt collineair aan de normaal tussen zi - 1 en zi . • zn staat in dezelfde richting als zn - 1 wanneer het nde gewricht een rotatiegewricht is.
Aan de hand van de voorbeschreven methodiek zal nu de voorwaartse kinematica van een 4R gearticuleerde robot worden geanalyseerd. Deze robot is opgebouwd uit vijf binaire schakels die met elkaar zijn verbonden door vier rotatiegewrichten. De eerste stap in de analyse is het opstellen van een model van de kinematische structuur van de manipulator. Dit model wordt weergegeven in de kinematische nulpositie waarbij iedere hoek θ gelijk is aan nul (figuur 3.19). De coördinatenframes worden geplaatst volgens de richtlijnen die eerder zijn beschreven. Op basis van figuur 3.19 kan tabel 3.3 worden opgesteld met de parameters θi , ai , di en αi . De variabele parameters worden aangegeven door de grijs gemarkeerde cellen. i
Tabel 3.3: Denavit-Hartenberg parameters van de 4R manipulator.
ai
αi
di
θi
link type
𝑗𝑗𝑗𝑗 θ R R(90) d1 α1 1 𝑗𝑗𝑗𝑗 (3.50) 𝑀𝑀𝑀𝑀0 = 6(𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝑗𝑗𝑗𝑗0− 1) + � 𝑓𝑓𝑓𝑓 2 R ∥ R(0) 𝑗𝑗𝑗𝑗 θ 𝑖𝑖𝑖𝑖 a2 2 (3.50) 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 6(𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝑗𝑗𝑗𝑗 − 1) + � 𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 (3.50) 𝑀𝑀𝑀𝑀0 = 6(𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝑗𝑗𝑗𝑗0− 1) + � 𝑓𝑓𝑓𝑓 3 R ∥ R(0) 𝑖𝑖𝑖𝑖=1θ 𝑖𝑖𝑖𝑖 a3 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑗𝑗𝑗𝑗 (3.51) 3 𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑗𝑗𝑗𝑗 (3.51) 4 0 0𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑞𝑞𝑞𝑞 R ∥ R(0) a4 θ4 (3.52) 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑖𝑖𝑖𝑖 ) (3.51) (3.52) 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖 =𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑞𝑞𝑞𝑞𝑖𝑖𝑖𝑖 )−𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝜃𝜃𝜃𝜃 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝜃𝜃𝜃𝜃 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝜃𝜃𝜃𝜃 (3.52) 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖𝜃𝜃𝜃𝜃(𝑞𝑞𝑞𝑞𝑖𝑖𝑖𝑖 ) ⎡𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 −𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇3.53 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝜃𝜃𝜃𝜃de 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇homogene 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝜃𝜃𝜃𝜃 ⎤ Door de parameters uit tabel 3.3 in te vullen in uitdrukking 𝜃𝜃𝜃𝜃 𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜kunnen 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝜃𝜃𝜃𝜃 −𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙∙ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝜃𝜃𝜃𝜃 ⎤⎥ ⎡⎢𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝜃𝜃𝜃𝜃 𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝛼𝛼𝛼𝛼vereenvoudigde 𝜃𝜃𝜃𝜃 , A3 en 𝑥𝑥𝑥𝑥A,𝑎𝑎𝑎𝑎4𝑅𝑅𝑅𝑅𝑜𝑜𝑜𝑜𝑅𝑅𝑅𝑅 als 𝑥𝑥𝑥𝑥,𝛼𝛼𝛼𝛼 volgt opgesteld. Voor transformatie A1 , A𝑧𝑧𝑧𝑧,𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖 =matrices 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑜𝑜𝑜𝑜𝑅𝑅𝑅𝑅𝑧𝑧𝑧𝑧,𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑇𝑇𝑇𝑇 = ⎡⎢worden (3.53) 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜een 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝜃𝜃𝜃𝜃 ⎤⎥ 2 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑇𝑇𝑇𝑇 𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝛼𝛼𝛼𝛼 𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝛼𝛼𝛼𝛼 0 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑜𝑜𝑜𝑜𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑜𝑜𝑜𝑜𝑅𝑅𝑅𝑅 = (3.53) notatie worden cosθi𝑧𝑧𝑧𝑧,𝜃𝜃𝜃𝜃en sinθi𝑧𝑧𝑧𝑧,𝑑𝑑𝑑𝑑 geschreven en 𝛼𝛼𝛼𝛼si −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝜃𝜃𝜃𝜃 ⎥ ⎢ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜c𝜃𝜃𝜃𝜃i𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑥𝑥 ,𝑎𝑎𝑎𝑎 als 𝑥𝑥𝑥𝑥,𝛼𝛼𝛼𝛼respectievelijk 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑜𝑜𝑜𝑜𝑅𝑅𝑅𝑅𝑧𝑧𝑧𝑧,𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑇𝑇𝑇𝑇𝑧𝑧𝑧𝑧,𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑇𝑇𝑇𝑇𝑥𝑥𝑥𝑥 ,𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑜𝑜𝑜𝑜𝑅𝑅𝑅𝑅𝑥𝑥𝑥𝑥,𝛼𝛼𝛼𝛼 = ⎢⎣ 0 (3.53) 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑑𝑑𝑑𝑑 ⎥⎦ 0 0 0 1 0 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝛼𝛼𝛼𝛼 ⎢⎣ 0 ⎥ ⎦ 0 1 𝑐𝑐𝑐𝑐1 0 𝑇𝑇𝑇𝑇1 0 0 0 ⎤ 0 1 ⎦ ⎡ 𝑐𝑐𝑐𝑐 ⎣ 00 𝑇𝑇𝑇𝑇 0 1 1 0 −𝑐𝑐𝑐𝑐 0 ⎥ ⎡⎢ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑐𝑐𝑐𝑐11 ⎤ 1 0 𝑇𝑇𝑇𝑇1 0 (3.54) 𝐴𝐴𝐴𝐴1 = ⎡⎢ 𝑇𝑇𝑇𝑇 0 −𝑐𝑐𝑐𝑐1 0 ⎤⎥ 1 0 1 0 𝑑𝑑𝑑𝑑 (3.54) 𝐴𝐴𝐴𝐴1 = ⎢ 𝑇𝑇𝑇𝑇1 0 −𝑐𝑐𝑐𝑐1 01 ⎥ (3.54) 𝐴𝐴𝐴𝐴1 = ⎢⎣ 0 1 0 𝑑𝑑𝑑𝑑1 ⎥⎦ 0 0 0 0 1 0 𝑑𝑑𝑑𝑑11 ⎥ ⎢⎣ 0 0 2 00 𝑎𝑎𝑎𝑎12 𝑐𝑐𝑐𝑐⎦ 2 ⎣⎡ 𝑐𝑐𝑐𝑐02 −𝑇𝑇𝑇𝑇 0 0 1⎦ 𝑐𝑐𝑐𝑐2 −𝑇𝑇𝑇𝑇2 0 𝑎𝑎𝑎𝑎2 𝑐𝑐𝑐𝑐2 ⎤ 𝑐𝑐𝑐𝑐2 0 𝑎𝑎𝑎𝑎 ⎡⎢ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑇𝑇𝑇𝑇22 −𝑇𝑇𝑇𝑇 0 𝑎𝑎𝑎𝑎22 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐22 ⎤⎥ 2 (3.55) 𝐴𝐴𝐴𝐴2 = ⎡⎢ 𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑐𝑐𝑐𝑐2 0 𝑎𝑎𝑎𝑎2 𝑐𝑐𝑐𝑐2 ⎤⎥ 2 1 𝑎𝑎𝑎𝑎 0𝑐𝑐𝑐𝑐 ⎥ (3.55) 𝐴𝐴𝐴𝐴2 = ⎢ 𝑇𝑇𝑇𝑇02 𝑐𝑐𝑐𝑐02 0 2 2 (3.55) 𝐴𝐴𝐴𝐴2 = ⎢⎣ 0 0 1 0 ⎥⎦ 0 0 0 1 0 0 1 0 ⎢⎣ 0 ⎥ 03 0 0 𝑎𝑎𝑎𝑎31𝑐𝑐𝑐𝑐3 ⎦ ⎣⎡ 𝑐𝑐𝑐𝑐03 −𝑇𝑇𝑇𝑇 0 0 1 ⎦ 𝑐𝑐𝑐𝑐3 −𝑇𝑇𝑇𝑇3 0 𝑎𝑎𝑎𝑎3 𝑐𝑐𝑐𝑐3 ⎤ 𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑐𝑐𝑐𝑐 0 𝑎𝑎𝑎𝑎 ⎡⎢ 𝑐𝑐𝑐𝑐3 −𝑇𝑇𝑇𝑇33 0 𝑎𝑎𝑎𝑎33 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐33 ⎤⎥ (3.56) 𝐴𝐴𝐴𝐴3 = ⎡⎢ 𝑇𝑇𝑇𝑇3 𝑐𝑐𝑐𝑐3 0 𝑎𝑎𝑎𝑎3 𝑐𝑐𝑐𝑐3 ⎤⎥ 3 1 𝑎𝑎𝑎𝑎 0𝑐𝑐𝑐𝑐 ⎥ (3.56) 𝐴𝐴𝐴𝐴3 = ⎢ 𝑇𝑇𝑇𝑇03 𝑐𝑐𝑐𝑐03 0 3 3 (3.56) 𝐴𝐴𝐴𝐴3 = ⎢⎣ 0 0 1 0 ⎥⎦ 0 0 0 1 0 0 1 0 ⎢⎣ 0 04 0 0 𝑎𝑎𝑎𝑎41𝑐𝑐𝑐𝑐4 ⎥⎦ ⎣⎡ 𝑐𝑐𝑐𝑐04 −𝑇𝑇𝑇𝑇 0 0 1 ⎦ 𝑐𝑐𝑐𝑐4 −𝑇𝑇𝑇𝑇4 0 𝑎𝑎𝑎𝑎4 𝑐𝑐𝑐𝑐4 ⎤ 𝑐𝑐𝑐𝑐4 0 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎4 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐4 ⎤⎥ ⎡⎢ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑇𝑇𝑇𝑇4 −𝑇𝑇𝑇𝑇 0 4 4 4 (3.57) 𝐴𝐴𝐴𝐴4 = ⎡⎢ 𝑇𝑇𝑇𝑇4 𝑐𝑐𝑐𝑐4 0 𝑎𝑎𝑎𝑎4 𝑐𝑐𝑐𝑐4 ⎤⎥ 4 0 1 (3.57) 𝐴𝐴𝐴𝐴4 = ⎢ 𝑇𝑇𝑇𝑇04 𝑐𝑐𝑐𝑐4 0 𝑎𝑎𝑎𝑎40𝑐𝑐𝑐𝑐4 ⎥ (3.57) 𝐴𝐴𝐴𝐴4 = ⎢⎣ 0 0 1 0 ⎥⎦ 0 0 0 1 0 1 0 ⎥ ⎢⎣ 0 ⎦ 0 𝑚𝑚𝑚𝑚0 𝑚𝑚𝑚𝑚0 𝑚𝑚𝑚𝑚131 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑥𝑥𝑥𝑥 ⎣ 0 ⎡ 011 12 0 𝑚𝑚𝑚𝑚 1 ⎦ 𝑝𝑝𝑝𝑝 ⎤ 𝑚𝑚𝑚𝑚11 𝑚𝑚𝑚𝑚12 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚21 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚22 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚13 𝑝𝑝𝑝𝑝 23 ⎢ 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑦𝑦𝑦𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥 ⎤⎥ ⎡ 0 11 12 13 𝑇𝑇𝑇𝑇4 = 𝐴𝐴𝐴𝐴1 𝐴𝐴𝐴𝐴2 𝐴𝐴𝐴𝐴3 𝐴𝐴𝐴𝐴4 = ⎡⎢𝑚𝑚𝑚𝑚21 𝑚𝑚𝑚𝑚22 𝑚𝑚𝑚𝑚23 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑦𝑦𝑦𝑦 ⎤⎥ (3.58) 0 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑧𝑧𝑧𝑧 33 27 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚31 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚32 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚23 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 = (3.58) 21 22 𝑦𝑦𝑦𝑦 1 2 3 4 4 ⎢ ⎥ 0 𝑇𝑇𝑇𝑇4 = 𝐴𝐴𝐴𝐴1 𝐴𝐴𝐴𝐴2 𝐴𝐴𝐴𝐴3 𝐴𝐴𝐴𝐴4 = ⎢⎣𝑚𝑚𝑚𝑚31 𝑚𝑚𝑚𝑚32 𝑚𝑚𝑚𝑚33 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑧𝑧𝑧𝑧 ⎥⎦ (3.58) 0 𝑚𝑚𝑚𝑚0 𝑚𝑚𝑚𝑚0 𝑝𝑝𝑝𝑝1 31 32 33 𝑧𝑧𝑧𝑧 ⎥ ⎢⎣𝑚𝑚𝑚𝑚0 ⎦ 0 0 1 ⎣0 0 0 1⎦
1
0
⎡⎢ 𝑇𝑇𝑇𝑇2 𝑐𝑐𝑐𝑐2 0 𝑎𝑎𝑎𝑎2 𝑐𝑐𝑐𝑐⎤ 2 ⎥ (3.55) 𝐴𝐴𝐴𝐴2 = ⎢ 𝑇𝑇𝑇𝑇1 0 −𝑐𝑐𝑐𝑐1 0 ⎥ ⎥ 0 1 0⎥ ⎥ (3.54) 𝐴𝐴𝐴𝐴1 = ⎢ 0 1 0 𝑑𝑑𝑑𝑑1 ⎥ ⎢⎣ 0 ⎦ 0 0 0 1 ⎣0 0 00 𝑎𝑎𝑎𝑎1 𝑐𝑐𝑐𝑐⎦ 𝑐𝑐𝑐𝑐3 −𝑇𝑇𝑇𝑇 3 3 3 ⎡ 𝑐𝑐𝑐𝑐2 −𝑇𝑇𝑇𝑇2 0 𝑎𝑎𝑎𝑎2 𝑐𝑐𝑐𝑐2 ⎤ ⎡⎢ 𝑇𝑇𝑇𝑇3 𝑐𝑐𝑐𝑐3 0 𝑎𝑎𝑎𝑎3 𝑐𝑐𝑐𝑐3 ⎤⎥ (3.56) 𝐴𝐴𝐴𝐴3 = ⎢ 𝑇𝑇𝑇𝑇2 𝑐𝑐𝑐𝑐2 0 𝑎𝑎𝑎𝑎2 𝑐𝑐𝑐𝑐2 ⎥ 0 1 0 ⎥ (3.55) 𝐴𝐴𝐴𝐴2 = ⎢ 0 0 1 0 ⎥ ⎢⎣ 0 0 0 0 1 ⎦ ⎣0 ⎦ 0 0 𝑐𝑐𝑐𝑐4 −𝑇𝑇𝑇𝑇4 0 𝑎𝑎𝑎𝑎41𝑐𝑐𝑐𝑐4 ⎡ 𝑐𝑐𝑐𝑐3 −𝑇𝑇𝑇𝑇3 0 𝑎𝑎𝑎𝑎3 𝑐𝑐𝑐𝑐3 ⎤ ⎡⎢ 𝑇𝑇𝑇𝑇4 𝑐𝑐𝑐𝑐4 0 𝑎𝑎𝑎𝑎4 𝑐𝑐𝑐𝑐4 ⎥⎤ (3.57) 𝐴𝐴𝐴𝐴4 = ⎢ 𝑇𝑇𝑇𝑇3 𝑐𝑐𝑐𝑐3 0 𝑎𝑎𝑎𝑎3 𝑐𝑐𝑐𝑐3 ⎥ 0 1 0 ⎥ (3.56) 𝐴𝐴𝐴𝐴3 = ⎢ 0 0 1 0 ⎢⎣ 0 0 0 0 1 ⎦⎥ ⎣0 0 𝑚𝑚𝑚𝑚131 ⎦ 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑚𝑚𝑚𝑚011 𝑚𝑚𝑚𝑚12 ⎡ ⎤ De totale transformatie van de eind-effector ten frame 𝑐𝑐𝑐𝑐4 opzichte −𝑇𝑇𝑇𝑇4 0van 𝑎𝑎𝑎𝑎 4 𝑐𝑐𝑐𝑐4 𝑝𝑝𝑝𝑝o0 x0 y0 z0 wordt verkregen 𝑚𝑚𝑚𝑚21 𝑚𝑚𝑚𝑚22 𝑚𝑚𝑚𝑚23 ⎡ ⎤ 𝑦𝑦𝑦𝑦 ⎢ ⎥ deze zijn gegeven door 0 door het totaal van de transformaties de aangrenzende 𝑇𝑇𝑇𝑇4 = 𝐴𝐴𝐴𝐴van (3.58) 1 𝐴𝐴𝐴𝐴2 𝐴𝐴𝐴𝐴3⎢𝐴𝐴𝐴𝐴𝑇𝑇𝑇𝑇44 = ⎢𝑐𝑐𝑐𝑐4 0 links 𝑎𝑎𝑎𝑎4 𝑐𝑐𝑐𝑐4zoals ⎥ ⎥ 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑧𝑧𝑧𝑧 ⎥ resultaat is de homogene (3.57) 𝐴𝐴𝐴𝐴4 = te de formules 3.54 tot en met 3.57 met elkaar ⎢𝑚𝑚𝑚𝑚31 𝑚𝑚𝑚𝑚32 𝑚𝑚𝑚𝑚33 ⎥Het ⎢ vermenigvuldigen. 0 0 1 0 0 ⎣ ⎦ ⎢ 0 03.58.0 ⎥ 1 transformatiematrix T4 die gegeven wordt door formule ⎣0 0 0 1 ⎦ 𝑚𝑚𝑚𝑚11 𝑚𝑚𝑚𝑚12 𝑚𝑚𝑚𝑚13 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑥𝑥𝑥𝑥 ⎡ ⎤ ⎢𝑚𝑚𝑚𝑚21 𝑚𝑚𝑚𝑚22 𝑚𝑚𝑚𝑚23 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑦𝑦𝑦𝑦 ⎥ 0 𝑇𝑇𝑇𝑇4 = 𝐴𝐴𝐴𝐴1 𝐴𝐴𝐴𝐴2 𝐴𝐴𝐴𝐴3 𝐴𝐴𝐴𝐴4 = ⎢ (3.58) ⎥ 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑝𝑝𝑝𝑝 31 32 33 𝑧𝑧𝑧𝑧 ⎢ ⎥ ⎣0 0 0 1⎦
Met r11 = c1 c2 c3 c4 - c1 s2 s3 c4 - c1 c2 s3 s4 - c1 s2 c3 s4 r12 = - c1 c2 c3 s4 + c1 s2 s3 s4 - c1 c2 s3 c4 - c1 s2 c3 c4 r13 = s1 px = c1 c2 c3 c4 a4 - c1 s2 s3 c4 a4 - c1 c2 s3 s4 a4 - c1 s2 c3 s4 a4 + c1 c2 c3 a3 - c1 s2 s3 a3 + c1 c2 a2 r21 = s1 c2 c3 c4 - s1 s2 s3 c4 - s1 c2 s3 s4 - s1 s2 c3 s4 r22 = - s1 c2 c3 s4 + s1 s2 s3 s4 - s1 c2 s3 c4 - s1 s2 c3 c4 r23 = - c1 py = s1 c2 c3 c4 a4 - s1 s2 s3 c4 a4 - s1 c2 s3 s4 a4 - s1 s2 c3 s4 a4 + s1 c2 c3 a3 - s1 s2 s3 a3 + s1 c2 a2 r31 = s2 c3 c4 + c2 s3 c4 - s2 s3 s4 + c2 c3 s4 r32 = - s2 c3 s4 - c2 s3 s4 - s2 s3 c4 + c2 c3 c4 r33 = 0 pz = s2 c3 c4 a4 + c2 s3 c4 a4 - s2 s3 s4 a4 + c2 c3 s4 a4 + s2 c3 a3 + c2 s3 a3 + s2 a2 + d1
px , py en pz geven de waarden van respectievelijk de x-, y- en z-coördinaat van de eind-effector.
3.3.2 Inverse kinematica
De inverse kinematica houdt zich bezig met het bepalen van de benodigde beweging van de actuatoren om een gewenste positie van de eind-effector¬ te bereiken. Daartoe is een omzetting nodig van het cartesiaanse coördinatenstelsel, dat de positie van de eind-effector¬ in de ruimte beschrijft, naar het gewrichten coördinatenstelsel dat als input dient voor de actuatoren. Bij seriële robots is deze kinematische analyse het meest complex. Afhankelijk van de kinematische keten kan de inverse kinematica geanalyseerd worden in gesloten of in open vorm. Een open vorm betekent een iteratieve analyse die veel rekencapaciteit vraagt. Daarom wordt bij het ontwerpen vaak gestreefd naar een kinematische keten die in gesloten vorm geanalyseerd kan worden. Let op dat dit iets anders is dan een gesloten kinematische keten. Het is namelijk wel mogelijk om een seriële manipulator, met open kinematische keten, in gesloten vorm te analyseren. Donald L. Pieper (1968) concludeert in zijn proefschrift dat het voor iedere seriële manipulator met zes gewrichten waarvan de assen van drie opeenvolgende gewrichten elkaar snijden mogelijk is om de inverse kinematica in gesloten vorm te analyseren. Daartoe omschrijft hij een
28
4 3
5 6
2
1
Figuur 3.20: Rotatie assen van een 6R seriële manipulator.
richtlijn voor de specifieke positionering van de gewrichten die ook wel de 321 kinematische structuur wordt genoemd. Deze structuur wordt weergegeven door figuur 3.20. De assen van de drie polsgewrichten (4, 5 en 6) snijden elkaar orthogonaal in een punt, het schouder- (2) en ellebooggewricht (3) staan parallel aan elkaar en het eerste gewricht (1) staat loodrecht op het schouder gewricht. De kinematische structuur kan in gesloten vorm geanalyseerd worden doordat positie en oriëntatie kinematica van elkaar los gekoppeld kunnen worden. De geometrische eigenschap die dit mogelijk maakt is de intersectie van gewrichtsassen. Vanwege de significante simplificatie van de kinematische analyse door deze specifieke structuur is het grootste deel van de gearticuleerde robots opgebouwd volgens de 321 kinematische structuur.
Conclusie
In dit hoofdstuk is de mechanica van een industriële robot geanalyseerd. Daartoe is allereerst een vereenvoudigd model opgesteld van een robotarm dat als basis dient voor het opstellen van een rekenkundig en kinematisch model. De analyses van de statica en dynamica zijn gecombineerd tot een rekenkundig model waarmee het benodigd motorkoppel berekend kan worden. Daarbij is niet alleen rekening gehouden met het eigen gewicht van de robot, maar ook met een belasting op de eind-effector. De analyse van de kinematica geeft een methodiek voor het opstellen van een transformatiematrix waarmee de positie van de eind-effector kan worden berekend. Dit model van de voorwaartse kinematica kan als input dienen voor een berekening van de inverse kinematica, maar het daadwerkelijk uitvoeren van een dergelijke berekening valt buiten de grenzen van dit project. Op basis van de analyse van de kinematica kan geconcludeerd worden dat de complexiteit van de kinematische keten bepaald door twee factoren. De eerste is de topologie. Dit omvat de ordening van de schakels. Bijvoorbeeld een seriële schakeling of een parallelle schakeling. De tweede factor is de geometrie die bepaalt hoe de opeenvolgende gewrichten te opzichte van elkaar zijn gepositioneerd. De 321 kinematische structuur is een goed voorbeeld van hoe door middel van geometrie de complexiteit kan worden vereenvoudigd.
29
Hoofdstuk 4
Actuatoren De actuator is het onderdeel van de robotarm dat voor de beweging van de onderdelen zorgt. Een actuator kan zijn van het type hydraulisch, pneumatisch of elektrisch. Aangezien moderne industriële robots vrijwel uitsluitend worden aangestuurd met elektrische actuatoren, worden in deze analyse de hydraulische en pneumatische actuatoren buiten beschouwing gelaten. Bij een elektrische actuator, of elektromotor, wordt elektrische energie omgezet in mechanische energie door middel van elektromagnetisme. De mechanische energie komt tot uitdrukking in warmte en beweging. In de meeste gevallen is dit een roterende beweging, maar er zijn ook elektromotoren met een lineaire beweging. Zoals in paragraaf 1.1.5 is geconstateerd, beweegt een gearticuleerde robot uitsluitend door rotaties in de gewrichten. Om de bouw van het schaalontwerp overeen te laten komen met het gekozen type robot, worden ook bij dit ontwerp de schakels bewogen door middel van roterende bewegingen. Daarom worden in deze analyse motoren met een lineaire beweging buiten beschouwing gelaten.
Het doel van deze analyse is om kennis op te doen van de verschillende elektromotoren, zodat een beargumenteerde keuze gemaakt kan worden voor de elektromotoren die worden toegepast op het schaalontwerp van de industriële robot. Daartoe zal in paragraaf 4.1 gekeken worden naar de verschillende typen elektromotoren en hun eigenschappen. Uit deze analyse volgt de keuze voor een type elektromotor dat toegepast wordt op de robotarm. Vervolgens richt paragraaf 4.2 zich op de selectie van de specifieke motoren van het gekozen type. Daarbij wordt onder andere gekeken naar het benodigd koppel dat de motoren moeten leveren en wordt er een marktonderzoek gedaan naar de beschikbare modellen en onderlinge verschillen in prijs en specificaties. Hieruit volgt de keuze voor vier elektromotoren die in de robotarm zullen worden verwerkt om de gewenste beweging van de schakels te realiseren.
4.1 Elektromotoren
Er zijn verschillende typen elektromotoren die variëren in constructie en toepassing. In figuur 4.1 is een classificering weergegeven van enkele veelvoorkomende typen elektromotoren (Electrical Engineering, z.j.). Deze typen motoren zijn nader onderzocht op relevante karakteristieke eigenschapen. Hiervan is een uitvoerige beschrijving te vinden in bijlage D. Uit deze analyse blijkt dat met name twee typen elektromotoren geschikt zijn voor toepassing in de modelbouw. Dit zijn de servomotor en de stappenmotor. Allebei deze typen zijn geschikt om toegepast te worden op de schaal waarop de robotarm wordt ontworpen en kunnen relatief eenvoudig worden aangestuurd vanaf een externe computer. Deze eigenschappen van de servomotor en stappenmotor zijn in kaart gebracht en worden afgewogen tegen de gewenste functionaliteit van de robotarm om zo tot een keuze te komen van het type elektromotor dat toegepast zal worden (zie bijlage D).
30
elektromotor
wisselstroommotor
synchroon
gelijkstroommotor
overige motoren
asynchroon
stappenmotor
servomotor
Figuur 4.1: Classificering van de verschillende typen elektromotoren.
Op basis van deze afweging wordt geconcludeerd dat een servomotor meer geschikt is voor toepassing op een industriële robotarm. Bij een stappenmotor wordt de beweging aangestuurd in een aantal stappen. In het geval van een te hoge belasting kan het voorkomen dat de motor een stap overslaat wat resulteert in een onnauwkeurigheid in de positionering. Bij een servomotor komt dit risico niet voor doordat de motor beschikt over positie feedback. Dit zorgt ervoor dat altijd de gewenste positie wordt bereikt en dat het systeem bovendien weet in welke positie de motor staat op het moment van inschakelen. Door deze eigenschap positioneert een servomotor nauwkeuriger dan een stappenmotor. Dit kan met name van belang zijn wanneer de robotarm bewerkingen als frezen uit gaat voeren waarbij de motoren zwaarder belast worden dan bij een normale verplaatsing van de eind-effector door de ruimte. Een bijkomend voordeel dat de servomotor niet in stappen beweegt, is dat de beweging van een servo vloeiender is, waardoor er minder kans is op resonantie in de beweging. Dit zorgt voor een lagere belasting van de constructie, een hogere nauwkeurigheid en een meer realistische beweging.
4.2 Motorkeuze
In paragraaf 4.1 is gekozen voor de toepassing van servomotoren. De volgende stap is het selecteren van modellen servomotoren die specifiek geschikt zijn voor de robotarm van dit project. De eerste selectie voor deze keuze wordt gemaakt op basis van het koppel dat de servomotor moet kunnen leveren om de gewenste beweging te realiseren. Het model dat is opgesteld in paragraaf 3.2 wordt gebruikt om het benodigde motorkoppel te berekenen. Het resultaat van de berekening is weergegeven in tabel 4.2. ∙ gewricht A B C
1 2
31
D
Tabel 4.2: Benodigd motorkoppel per gewricht.
motorkoppel1 (kg ∙ cm)
motorkoppel2 (kg ∙ cm)
49,2
61,5
10,1 19,0 1,6
12,6 23,8 2,0
motorkoppel berekend zonder rekening te houden met een veiligheidsfactor motorkoppel berekend met veiligheidsfactor van 1,25
Tabel 4.3 in bijlage E geeft de waarden voor de modelparameters die voor deze berekening zijn gebruikt. Bij het inschatten van de parameters zijn de specificaties van de Lynxmotion AL5D robotarm als referentie genomen. Allereerst is er een schaal gekozen voor de afmetingen van de robotarm. Door middel van de in paragraaf 2.1 vastgestelde verhoudingen kon met de keuze van een armlengte de rest van de afmetingen worden bepaald. De schaal is iets groter gekozen dan die van de AL5D, omdat er rekening mee gehouden moet worden dat de constructie en de motoren binnen de behuizing passen.
Naar aanleiding van de resultaten uit tabel 4.2 is de keuze voor het type servomotor heroverwogen. Het bleek dat servomotoren die geschikt zijn om het benodigd koppel te leveren in een hoog prijssegment zitten waardoor het budget voor dit project zou worden overschreden. Vandaar dat er twee alternatieven zijn onderzocht waarmee mogelijk dezelfde benodigde functionaliteit kan worden gerealiseerd tegen een lagere kostprijs. De eerste mogelijkheid is het toepassen van een gelijkstroommotor in plaats van een servomotor. Gelijkstroommotoren leveren een hoog koppel tegen een relatief lage prijs. Een nadeel is wel dat dit type motor gekoppeld moet worden aan een extra stuk elektronica om feedback over de positie van de motor te krijgen. Het bleek echter dat de implementatie van positiefeedback in combinatie met een gelijkstroommotor zodanig veel meer complicaties met zich mee brengt dat dit niet opweegt tegen de extra kosten van een servomotor. Vandaar dit alternatief is afgeschreven.
Een tweede alternatief was het toepassen van een overbrenging. De overbrenging dient ter verhoging van het motorkoppel, zodat een goedkopere servomotor met een lager koppel kan worden gebruikt. Een nadeel hiervan is dat het rotatiebereik van de servomotor afneemt met dezelfde overbrengingsverhouding als waarmee het motorkoppel toeneemt. Bijlage F beschrijft een analyse van het toepassen van een overbrenging waarbij wordt gekeken naar de mogelijkheden om een overbrenging te koppelen aan een servomotor en wat dat voor implicaties heeft voor de nauwkeurigheid van de robotarm. Uit deze analyse volgt dat het mogelijk is om een overbrenging zodanig toe te passen dat met een goedkopere servo de gewenste kracht te leveren is. Door de juiste positionering van het rotatiebereik van gewricht C kan de maximale momentkracht in dit gewricht verminderd worden tot 41,9 kg ∙ cm. Daarnaast kan met een geschikt overbrenging een koppel van 57,6 kg ∙ cm worden behaald. Daarmee heeft de aandrijving een acceptabele veiligheidsfactor van 1,37. Uitgaande van de aanname dat er geen speling zit in de motor en de ophanging van de tandwielen bedraagt de onnauwkeurigheid van de overbrenging ongeveer 0,04 mm. Wanneer echter in overweging wordt genomen dat de robotarm geproduceerd wordt met conventionele productiemethoden die geschikt zijn voor enkelstuks productie, is het niet realistisch om aan te nemen dat een constructie kan worden gerealiseerd met een voldoende nauwkeurige ophanging voor de tandwielen. Omwille van de nauwkeurigheid van de robotarm is er daarom in overleg met de opdrachtgever besloten om servomotoren toe te passen zonder overbrenging.
Na deze constatering is er voor ieder rotatiegewricht gekeken naar motoren die het benodigde koppel kunnen leveren. Van deze motoren zijn de specificaties en onderlinge verschillen geanalyseerd op basis waarvan twee voorstellen zijn opgesteld die voor elk gewricht een geschikte motor bevatten. Het eerste voorstel is gericht op een laag budget en bevat motoren waarvan de betrouwbaarheid onzeker is. Dit voorstel is weergegeven door tabel 4.3 in bijlage G. Het tweede
32
voorstel wordt omschreven door tabel 4.4 in bijlage H en bevat motoren in een hoger prijssegment waarvan bekend is dat ze betrouwbaar en accuraat functioneren. Beide voorstellen worden tegen elkaar afgewogen op prijs-kwaliteitverhouding. Op basis hiervan is in overleg met de opdrachtgever de motorkeuze tot stand gekomen die is weergegeven in figuur 4.4. Shenzhen XQ Power XQ-S4016D voltage
snelheid
koppel
4,8 V
0,14 s/60°
15,5 kg·cm
6,0 V
0,12 s/60°
17,5 kg·cm
afmetingen
gewicht
40 x 20 x 39 mm
56 g
Shenzhen XQ Power XQ-S5650D voltage
snelheid
koppel
7,2 V
0,20 s/60°
48 kg·cm
8,5 V
0,18 s/60°
60 kg·cm
afmetingen
gewicht
60,1 x 30,1 x 59,7 mm
177,5 g
Savöx SA-1230SG voltage
snelheid
koppel
4,8 V
0,20 s/60°
30 kg·cm
6,0 V
0,16 s/60°
36 kg·cm
afmetingen
gewicht
40,3 x 20,2 x 45 mm
79 g
Savöx SH-0254 voltage
snelheid
koppel
6,0 V
0,13 s/60°
3,9 kg·cm
afmetingen
gewicht
22,8 x 12 x 29,4 mm
15,8 g
Figuur 4.4: Specificaties van de gekozen servomotoren.
33
Hoofdstuk 5
Programma van eisen De analysefase resulteert in een aantal eisen en specificaties waar het ontwerp aan moet voldoen. De eisen en specificaties zijn zodanig opgesteld dat ze voldoen aan de uitgangspunten en doelen van de opdracht. Door ontwerpen te evalueren aan de hand van deze lijst, kan getoetst worden of ze voldoen aan de behoeften van de opdrachtgever. Zo blijft de kwaliteit gedurende het project gewaarborgd en zal er niet worden afgeweken van de uitgangspunten. De eisen zijn in de linker kolom van tabel 5.1 beschreven in abstracte vorm. De tweede kolom koppelt daar indien mogelijk een toetsbare waarde aan. eis
Tabel 5.1: Programma van eisen
De beweging wordt aangedreven door elektrische actuatoren De robotarm moet geproduceerd kunnen worden met conventionele productiemethoden
De robotarm moet aangestuurd worden vanaf een externe computer De robotarm is een realistische representatie van een industriële robot
De robotarm moet stabiel bewegen onder invloed van het eigen gewicht
De snelheid waarmee de gewrichten van de robotarm bewegen, moet overeen komen met de snelheid van een echte gearticuleerde robot De robotarm moet herprogrammeerbaar zijn
De robotarm moet programmeerbaar zijn in meerdere assen De robotarm is opgebouwd uit binaire schakels
De schakels van de robotarm zijn in serie met elkaar verbonden
De schakels van de robotarm worden met elkaar verbonden door rotatiegewrichten
specificatie
servomotoren
lasersnijden, 3D printen, (CNC) frezen
herhaalbaarheid van ±0,3mm
minimaal drie assen vijf schakels
vier gewrichten met één vrijheidsgraad
34
Het proximale uiteinde van schakel AB moet door middel van een vaste verbinding verbonden kunnen worden met de omgeving
De rotatie assen 2, 3 en 5 zijn evenwijdig aan elkaar en staan parallel aan grondvlak XY
losneembare bout-moer verbinding
Rotatie as 1 staat loodrecht op grondvlak XY
De oorsprongen van de gewrichten 1, 2, 3 en 5 liggen in hetzelfde vlak XZ
De robotarm voldoet aan de esthetische kenmerken van een gearticuleerde robot
figuur 2.2
De robotarm kan tegen beperkte kosten worden geproduceerd
€100,- voor elektronische componenten
De robotarm voldoet aan de verhoudingen van een gearticuleerde robot
tabel 2.1
Naast de eisen die worden geformuleerd in tabel 5.1 volgt er nog een aantal richtlijnen waarvan het voor het behalen van de doelstellingen niet noodzakelijk is dat het ontwerp hieraan voldoet, maar die wel bij kunnen dragen aan een goed ontwerp. Op basis van de analyse uit paragraaf 3.3.2 kan geconcludeerd worden dat het mogelijk is om door middel van de geometrie van de robotarm de kinematische analyse te vereenvoudigen. Dit is gunstig voor het aansturen van de robotarm. Om dit te bereiken is het wenselijk dat de kinematische keten van de robot in gesloten vorm geanalyseerd kan worden. Dit kan worden bereikt door de drie polsgewrichten (4, 5 en 6) zo te positioneren dat de gewrichtsassen elkaar orthogonaal snijden. Daarnaast kan het ontwerp worden gestuurd door de richtlijn dat de schakels zodanig zijn vorm gegeven dat ze de eigen beweging zo min mogelijk belemmeren. Dit heeft een positief effect op de grootte van het werkgebied en de flexibiliteit van de robotarm net als het streven om een robot te ontwerpen met een compacte basis die toegang tot het centrum van het werkgebied zo min mogelijk belemmert.
35
Ontwerpstudie Bij dit project wordt door middel van het ontwerpen van een product voorzien in de behoeften van de opdrachtgever. De kennis die is vergaard in het voorgaande deel van dit verslag dient ter ondersteuning van het ontwerpproces. Door middel van dit ontwerpproces wordt onderzocht hoe een product kan worden gerealiseerd dat voldoet aan de gestelde eisen en randvoorwaarden. Een groot deel van de eigenschappen van het ontwerp wordt vastgelegd op basis van de hiervoor beschreven analyse. Zo blijft er slechts een gering aantal producteigenschappen over dat door middel van iteratief ontwerpen kan worden gespecificeerd. Vandaar dat de omvang van de ontwerpstudie relatief beperkt is.
Dit verslagdeel richt zich op de beschrijving van zowel het product als het proces waarmee deze tot stand is gekomen. Allereerst wordt voortgebouwd op de theoretische basis die is gelegd in hoofdstuk 1 en hoofdstuk 2 door verschillende conceptrichtingen samen te stellen op basis van de variabele eigenschappen van een gearticuleerde robot. Daaruit wordt een kinematische structuur gekozen voor het ontwerp. Op basis van deze structuur zal een constructie worden ontworpen die het geraamte vormt van de robotarm en zorgt voor de vereiste stevigheid en bewegingsvrijheid. Om ook een realistische uitstraling te realiseren wordt een behuizing ontworpen die de constructie volledig omsluit. De constructie en behuizing worden gecombineerd tot een totaal productontwerp. Van dit ontwerp zullen de meest kenmerkende eigenschappen en de samenhang tussen de verschillende onderdelen worden beschreven. Om te valideren dat het ontwerp voorziet in de behoeften van de opdrachtgever, worden de specificaties geëvalueerd en vergeleken met de opgestelde richtlijnen en eisen. Ten slotte wordt met oog op doorontwikkeling en meervoudige productie een overzicht gemaakt van de kosten.
36
Hoofdstuk 6
Basisstructuur Vanwege het doel van deze opdracht om een robotarm te ontwerpen waarmee onderzocht kan worden hoe experts de besturing van een industriële robot ervaren, is het van belang dat het ontwerp representatief is voor industriële robots die worden toegepast in de industrie. De aansturing die op deze robot wordt getest, wordt namelijk ontwikkeld om toegepast te worden op bestaande industriële robots. Om deze reden richt het ontwerpproces zich op een optimale vertaling van de eigenschappen van een bestaande gearticuleerde robot naar een schaalmodel. Daarbij wordt zo veel mogelijk de bestaande ontwerpen als uitgangspunt genomen.
Een groot deel van de basisstructuur van de robotarm volgt uit de analyses uit hoofdstuk 1 en 2. Dit is het deel van de structuur dat kenmerkend is voor het gekozen typen en is daarmee een vereiste eigenschap van het ontwerp. Daarnaast zijn er binnen het gekozen type gearticuleerde robot verschillen tussen de modellen te constateren. In dit hoofdstuk worden een evaluatie gedaan van de variabele eigenschappen. Zo zijn er drie belangrijke structuureigenschappen te onderscheiden die variëren tussen de modellen. In paragraaf 6.1 zal besproken worden hoe de vorm van schakel DE varieert. Vervolgens wordt in paragraaf 6.2 gekeken naar de positionering van het schoudergewricht (C) waarna in paragraaf 6.3 wordt beschreven hoe er verschillen optreden in de constructie van schakel CD. Op basis van deze analyses wordt aan het eind van dit hoofdstuk gekozen volgens welke structuur de robotarm ontworpen wordt.
6.1 Vorm van schakel DE
De vorm van schakel DE varieert op twee manieren die zijn weergegeven in figuur 6.1. In deze paragraaf zullen de voor en nadelen van beide varianten worden besproken om op basis hiervan een keuze te maken voor de variant die wordt toegepast op de robotarm.
Variant A is de conventionele schakel waarbij de structuur van de schakel een lineaire verbinding vormt tussen de uiteinden D en E. Bij variant B vormt de schakel een soort L-profiel waarbij punt E langs de verticale as is verplaatst ten opzichte van D. Voor de verhouding tussen de twee varianten geldt dat l1 = l2 en h ≤ d. Het voordeel van variant B is dat het met dit ontwerp mogelijk is om schakel CD en DE parallel te positioneren. Met deze eigenschap is de robotarm flexibeler en heeft een groter werkgebied doordat de beweging van de manipulator minder wordt beperkt door de eigen constructie. Omdat l1 = l2 is de momentkracht om punt D voor beide varianten gelijk. Er wordt aangenomen dat beide varianten met voldoende stijfheid kunnen worden ontworpen, zodat de gehele constructie van de robotarm stevig en nauwkeurig genoeg is. Om die reden wordt op basis van de toegevoegde flexibiliteit gekozen om de structuur van schakel DE te ontwerpen volgens variant B.
37
l1
l2
D
E
h
D
E
E E D
C
C
D
(A)
d
(B)
Figuur 6.1: Twee varianten van de structuur van schakel DE.
6.2 Positionering van het schoudergewricht De positie van het schoudergewricht (C) varieert op twee manieren ten opzichte van het referentieframe. Dit wordt beschreven door figuur 6.2. Volgens variant A is het schoudergewricht snijdend met de rotatie as van gewricht C. Bij variant B is het schoudergewricht in x-richting verschoven, zodat z1 en z0 niet in hetzelfde vlak liggen. Door het schoudergewricht te positioneren volgens variant B is het mogelijk om een groter werkgebied te realiseren met hetzelfde volume en gewicht van de constructie. Een nadeel is dat de punten A en B belast worden met een groter moment, maar dit heeft een minimale invloed op de beweging en nauwkeurigheid van de robot, omdat de rotatie as in punt B verticaal georiënteerd is en punt A is gefixeerd. Op basis hiervan wordt ervoor gekozen om het schoudergewricht te verplaatsen in x-richting ten opzichte van het referentieframe, zodat z1 en z0 niet coplanair zijn.
-y1 C
-y1 C
x1 z0
z0 B
x1
x0
A
(A)
x0
B A
(B)
Figuur 6.2: Twee varianten van de positionering van het schoudergewricht.
38
6.3 Structuur van schakel CD Een schakel vormt een starre verbinding tussen twee gewrichten. Een vervorming van een schakel leidt tot een onnauwkeurigheid in het kinematische model waardoor de positie van de eind-effector een afwijking heeft. Uit figuur 2.2 blijkt dat er zowel een symmetrische als een asymmetrische constructie wordt toegepast op bestaande industriële robots. In deze paragraaf wordt nog niet de beslissing genomen voor de exacte constructie van de schakels van de robotarm. Wel zal worden bepaald of symmetrische of asymmetrische schakels worden toegepast.
s
s
D
D
C
C
B
B
A
A
(A)
(B)
Figuur 6.3: Asymmetrische (A) en symmetrische (B) variant van schakel CD.
In figuur 6.3 zijn twee vooraanzichten te zien van een gearticuleerde robot die is uitgestrekt in verticale richting. Variant A illustreert een asymmetrische constructie van schakel CD en variant B is een weergave van een symmetrisch geconstrueerde schakel CD. Lijn s is de middenlijn van de robotarm. Hierop liggen de oorsprongen van alle vier de gewrichten. Tevens loopt lijn s collineair met rotatie as van gewricht B. Om de constructies van de varianten A en B te evalueren op stijfheid, wordt van beide varianten een vereenvoudigd model opgesteld (figuur 6.4). Er wordt aangenomen dat er een statische belasting op de eind-effector werkt die collineair loopt met de symmetrie as s.
P
D
P
D
1
1
C
39
2
C
(A)
(B)
Figuur 6.4: modelweergave van figuur 6.4.
In geval A bestaat het risico dat schakel CD1 doorbuigt onder invloed van het moment dat wordt geleverd door belasting P. Dit heeft tot gevolg dat de rotatie assen door C en D niet meer parallel zijn georiënteerd aan het grondvlak waardoor het kinematische model waar de aansturing op gebaseerd is niet langer overeenkomt met de werkelijkheid. Dit resulteert in een onnauwkeurigheid in de positionering van de eind-effector. Constructie B is stijver, omdat de belasting P gelijk wordt verdeeld over de schakeldelen CD1 en CD2. Het risico op een onnauwkeurigheid in de positionering is daarom minder groot. Op basis daarvan wordt besloten om bij het ontwerp van de robotarm uitsluitend schakels toe te passen die symmetrisch zijn gevormd rond de middenlijn s die collineair loopt met de werklijn van de belasting op de eindeffector
Conclusie
Dit hoofdstuk richt zich op het vaststellen van de kinematische structuur van de robotarm. Deze structuur wordt deels bepaald door de kenmerkende eigenschappen van de gearticuleerde robot die geanalyseerd zijn in hoofdstuk 1 en hoofdstuk 2. Er is ook een aantal eigenschappen dat varieert tussen robots van hetzelfde type. Van de variabele eigenschappen die bepalend zijn voor de kinematische structuur worden de vorm van schakel DE en de positionering van het schouder gewricht het meest onderscheidend bevonden. Deze eigenschappen zijn geanalyseerd en dat heeft geleid tot de keuze voor een L-vormige schakel DE waarbij punt E in positieve z-richting is verplaatst ten opzichte van D en de keuze voor een verplaatsing van het schoudergewricht (C) in positieve x-richting ten opzichte van gewricht B. Wanneer deze gekozen eigenschappen worden gecombineerd met de standaard kinematische structuur van een gearticuleerde robot resulteert dat in de kinematische structuur die is weergegeven in figuur 6.5. E
C
F
D
B
z A
x
Figuur 6.5: Gekozen kinematische structuur voor het ontwerp.
Daarnaast is ook de constructie van schakel CD onderzocht. Deze is niet bepalend voor de kinematische structuur, maar wel voor de constructieve eigenschappen van de robotarm. Het blijkt dat schakel CD zowel symmetrisch als asymmetrisch wordt gepositioneerd rond de middenlijn s. Op basis van deze analyse wordt besloten om de schakels symmetrisch te positioneren rond de lijn s, zodat de belasting (P) evenredig wordt verdeeld over de constructie.
40
Hoofdstuk 7
Constructieontwerp Het vorige hoofdstuk heeft geresulteerd in een kinematische structuur van de robotarm. Dit hoofdstuk richt zich op het ontwerp van een constructie die aan deze structuur voldoet. Hierbij wordt gestreefd naar een ontwerp dat tegen lage kosten met conventionele productiemethoden te produceren is en een voldoende laag gewicht heeft met een voldoende stijfheid. Bij de selectie van de motoren is een schatting gemaakt van het gewicht van iedere schakel (bijlage E). Hierop zijn de motoren geselecteerd en dit is dan ook het gewicht waarnaar gestreefd wordt bij het constructieontwerp. Allereerst wordt in paragraaf 7.1 beschreven hoe het ontwerpproces is aangepakt. Op basis van een analyse van onder andere het krachtenspel en bestaande schaalmodellen is een aantal richtlijnen opgesteld voor het ontwerp. Vervolgens beschrijft paragraaf 7.2 de ontworpen constructie met motivatie van de ontwerpkeuzes die tot dit ontwerp hebben geleid.
7.1 Ontwerpaanpak
Om een eerste richting te geven aan het ontwerpproces worden bestaande schaalmodellen van industriële robots geanalyseerd. Bij deze analyse wordt er specifiek gekeken naar de manier waarop de schakels zijn geconstrueerd. Daartoe is een overzicht van enkele modellen gemaakt dat wordt weergegeven door figuur 7.1 in bijlage I. Hieruit kan worden geconcludeerd dat het overgrote deel van de schaalmodellen vergelijkbaar geconstrueerde schakels heeft. Deze constructie wordt vereenvoudigd weergegeven door figuur 7.2.
2
1
3 Figuur 7.2: Veel voorkomende schakelconstructie bij schaalmodellen van industriële robots.
41
De schakel uit figuur 7.2 is opgebouwd uit twee parallelle plaatdelen (1) die ten opzichte van elkaar worden verbonden door een dwarsverbinding (2) die rond het zwaartepunt van de schakel is gepositioneerd. De rotatieassen van de gewrichten worden weergegeven door een stippellijn (3). Dit model wordt als uitgangspunt genomen voor het ontwerp van de schakels. De vorm van deze constructie wordt hoofdzakelijk ontworpen om bestand te zijn tegen de werkende krachten op de robotarm. Daarom is het van belang om een idee te hebben van hoe de krachten op de constructie werken. Daartoe wordt er een dwarskrachten- en een momentenlijn opgesteld van de constructie van een schakel (figuur 7.3) met als doel om een beeld te verkrijgen van de verdeling van de belasting over de constructie. Bij deze analyse wordt de schakel benaderd door een balk die aan een zijde is ingeklemd. Op het uiteinde werkt een puntbelasting P in negatieve y-richting. Deze belasting simuleert het gewicht van de aangrenzende schakels dat wordt overgebracht in het gewrichtspunt waar de schakels aan elkaar zijn bevestigd. P
L P
PL P
V P
x M x
-PL
Figuur 7.3: Dwarskrachtenlijn (V) en momentenlijn (M) voor de belasting van een schakel.
42
Op basis van figuur 7.3 kan worden geconcludeerd dat de dwarskracht over de gehele lengte van de balk gelijk is, maar dat de momentkracht het grootst is aan het proximale uiteinde van de schakel die is ingeklemd en steeds kleiner wordt richting het distale uiteinde waar de kracht werkt. Wanneer deze constatering wordt omgezet naar het ontwerpen van een geometrie, wordt gekozen voor een conische vorm van de schakels waarbij de schakel het dikst is aan het proximale uiteinde. Zo loopt de verdeling van het materiaal, en dus ook van de sterkte van de constructie, mee met het verloop van de momentkracht. Op deze manier is het mogelijk om een voldoende stijve constructie te realiseren met een laag gewicht. Het resultaat van de hiervoor beschreven analyse wordt ondersteund door de bevindingen van Ahmed en Alyaa (2011) die onderzoek gedaan hebben naar de optimalisatie van het ontwerp van een seriële manipulator.
7.2 Ontwerp van de schakels
Bij het ontwerp van de constructie wordt gestreefd naar een zo laag mogelijk gewicht met zo min mogelijk vervorming. Daarbij mag de maximale spanning in het materiaal niet hoger zijn dan de vloeigrens van het materiaal. Na het vaststellen van de basisstructuur die is beschreven in paragraaf 7.1, is er direct overgegaan op een iteratieve ontwerpaanpak waarbij de constructie is gemodelleerd in SolidWorks. Van daaruit kon het ontwerp eenvoudig worden geëvalueerd op gewicht, vervorming en spanning door middel van SolidWorks Simulation. Aanpassingen in het ontwerp zijn direct doorgevoerd in het model, zodat het effect op de constructie-eigenschappen zichtbaar werd. Deze aanpak was doeltreffend, omdat de relatief eenvoudige geometrie van de schakel snel gemodelleerd kon worden. Zo is het mogelijk geweest om binnen beperkte tijd van een aanzienlijke hoeveelheid iteraties de prestaties te beoordelen en op basis hiervan ontwerpbeslissingen te maken.
C
2
D
1
Figuur 7.4: Constructie schakel CD
De ontwerpaanpak die is gehanteerd, wordt toegelicht aan de hand van schakel CD die wordt afgebeeld door figuur 7.4. De andere vier schakels zijn op dezelfde manier ontworpen, dus daar zal geen aparte beschrijving van worden gegeven. Zoals gezegd dient het model uit figuur 7.2 als uitgangspunt voor het ontwerp van de schakels. Volgens dit model bestaat de schakel uit twee parallel georiënteerde plaatdelen die met elkaar verbonden worden door een dwarsverbinding
43
rond het zwaartepunt van de constructie. Bij het ontwerp wordt als uitgangspunt genomen dat de dwarsverbinding en de plaatdelen bestaan uit aparte onderdelen. Paragraaf 7.2.1 gaat in op het ontwerp van de plaatdelen (nr. 1, figuur 7.4) waarna de dwarsverbindingen (nr. 2, figuur 7.4) worden toegelicht in paragraaf 7.2.2.
7.2.1 Plaatdelen
De plaatdelen zijn hoofdzakelijk verantwoordelijk voor de stijfheid van de constructie. Daarnaast worden deze delen aan de uiteinden verbonden aan de aangrenzende schakels. De verbindingspunten vormen de gewrichten van de robotarm doordat hier de motoren zijn bevestigd.
g
y g
z
x
d Figuur 7.5: Ontwerp met maximale ondersteuning tussen de twee plaatdelen.
Voor voldoende rotatievrijheid van de robotarm is er een zekere ruimte nodig rond ieder gewricht. Deze benodigde ruimte wordt geïllustreerd door cirkel g in figuur 7.5. Binnen deze ruimte kunnen geen dwarsverbindingen worden geplaatst. Dit heeft gevolgen voor de minimaal haalbare vervorming van de schakel. Deze minimale vervorming wordt hoofdzakelijk bepaald door de sterkte van het plaatdeel op de plekken waar deze niet wordt ondersteund door de dwarsverbinding. Om te onderzoeken wat deze minimaal haalbare vervorming is voor een bepaalde plaatdikte (d), is een analyse uitgevoerd van twee plaatdelen die op het gehele beschikbare oppervlakte tussen de cirkels (g) wordt ondersteund (figuur 7.5). Uit deze analyse bleek dat met een plaatdikte (d) van 2mm een minimale vervorming te realiseren is van 0,167 mm in y-richting en 0,103 mm in z-richting. De constructie weegt dan 1604 g wanneer deze wordt vervaardigd uit aluminium. Door het toepassen van een plaatdikte (d) van 3 mm is het mogelijk om de constructie zo ver te optimaliseren dat met een gewicht van 232 g een maximale vervorming optreedt van 0,166 mm in y-richting en 0,093 mm in z-richting. Zo is door uitsluitend het aanpassen van de geometrie een stijvere constructie gerealiseerd met 1372 g minder gewicht.
Figuur 7.6 beschrijft aan de hand van vier 2D aanzichten de iteratiestappen van het ontwerp van het plaatdeel van schakel CD. Allereerst is op basis van de constatering in paragraaf 7.1 uitgegaan van een conische vorm waarbij de hoogte afloopt in de lengterichting van punt C naar punt D. Op de plaatsen waar de dwarsverbindingen zijn bevestigd is minder spanning in het onderdeel. Daar is materiaal weggehaald om gewicht te besparen. Dit is zo gedaan dat er een driehoeksconstructie
44
C
D
Figuur 7.6: Iteratiestappen van het ontwerp van schakel CD.
wordt gevormd die door zijn geometrische eigenschappen geschikt is voor het opvangen van krachten in y-richting. Vervolgens is rond de randen extra materiaal weg gehaald en ten slotte is er rond de uiteinden materiaal weg gehaald, zodat er nog net voldoende materiaal aanwezig is voor een voldoende stevige bevestiging in de gewrichtspunten.
7.2.2 Dwarsverbinding
Er moet bij het ontwerpen van de constructie rekening gehouden worden met de beschikbare ruimte voor het plaatsen van elektronische componenten. De dimensie die hier het meest op van invloed is, is de afstand tussen de twee plaatdelen van de schakelconstructie en deze wordt bepaald door de dwarsverbindingen. Vanwege de beperking die wordt opgelegd door de benodigde ruimte voor componenten zal deze dimensie als gegeven worden beschouwd en niet als variabele om de eigenschappen van de constructie te optimaliseren. Allereerst is gekeken naar de vorm van de dwarsverbindingen. Daarbij is onder andere rekening gehouden met de mogelijkheid om het onderdeel met conventionele productiemethoden te vervaardigen. 3D printen is daarbij buiten beschouwing gelaten, omdat deze methode met de voorzieningen van de Universiteit Twente is beperkt tot het kunststof ABS. Een metaal is op basis van zijn materiaaleigenschappen een meer geschikt materiaal voor deze toepassing. Op basis
45
hiervan is gekeken naar de mogelijkheid om de constructie van de dwarsverbinding op te bouwen uit plaatonderdelen of cilindrische staven. Het blijkt uit een analyse met SolidWorks Simulation met beide concepten mogelijk om de gewenste constructie-eigenschappen te bereiken. Er is gekozen voor de toepassing van cilindrische staven, omdat deze nauwkeurig gepositioneerd kunnen worden op de plaatdelen door middel van een vormgesloten en losneembare verbinding. Bovendien de cilindrische onderdelen nauwkeurig te produceren zijn door middel van een freesbewerking.
Conclusie
In dit hoofdstuk is beschreven welke aanpak is gehanteerd bij het ontwerpen van de constructie van de robotarm. De gehele constructie bestaat uit het totaal van de vijf schakels waarvan het ontwerp allemaal wordt gericht op een constructie met een zo laag mogelijk gewicht en zo min mogelijk vervorming tegen een materiaalspanning die kleiner is dan de vloeigrens. Omdat de schakels weinig van elkaar verschillen en met dezelfde methodiek worden ontworpen, is het ontwerpproces met de belangrijkste ontwerpbeslissingen besproken aan de hand van het voorbeeld van schakel CD. Door te analyseren hoe bestaande schaalmodellen van robotarmen zijn opgebouwd is een vereenvoudigd model opgesteld van een schakelconstructie. Om het ontwerp te kunnen optimaliseren voor het opvangen van de werkende krachten is de belasting op een schakel geanalyseerd door middel van een kracht- en momentlijn. Deze kennis dient als uitgangspunt voor het ontwerpen van de geometrie van de schakel. Daarbij wordt een iteratief ontwerpproces toegepast waarbij de iteraties direct geëvalueerd worden aan de hand van SolidWorks Simulation. Dit resulteert in een ontwerp voor de constructie van de schakels. Binnen de uitgangspunten en grenzen van de ontwerpmethodiek is het ontwerp zodanig geoptimaliseerd dat deze een voldoende laag gewicht heeft met voldoende stijfheid om te voldoen aan de gestelde eisen.
46
Hoofdstuk 8
Ontwerp van de behuizing De behuizing heeft als functie om de robotarm een realistische uitstraling te geven. Daarnaast dient deze ter bescherming van de constructie en de elektronica. De constructie wordt beschermd tegen vuil en de elektronica wordt afgeschermd van direct contact met de omgeving. Het ontwerp van de behuizing wordt gericht op de esthetische functionaliteit. Net als de constructie moet ook de behuizing voldoen aan de kenmerken van het gekozen model gearticuleerde robot dat is beschreven in hoofdstuk 2. De relevante kenmerken voor het esthetisch ontwerp worden herleid uit figuur 2.2. Het ontwerp wordt gebaseerd op deze kenmerken, zodat een realistische uitstraling kan worden gerealiseerd. Daarnaast is er bewust voor gekozen om een eigen invulling te geven aan het ontwerp van de behuizing, zodat het wel voldoet aan de gestelde eisen, maar ook onderscheidend is binnen de gekozen productklasse.
47
48
Hoofdstuk 9
Aansturing Voor het functioneren van de robotarm is het van belang dat de actuatoren aangestuurd kunnen worden. Bij het programmeren van deze aansturing kan gebruik gemaakt worden van de kinematische analyse uit paragraaf 3.3. Het softwarematig programmeren van de beweging van de robotarm valt buiten de grenzen van deze opdracht. Toch is het voor het behalen van de doelstellingen wel van belang dat de robotarm aangestuurd wordt. Daarom is in overleg met de opdrachtgever besloten dat de benodigde hardware voor de aansturing wordt onderzocht en verwerkt in het ontwerp. De opdrachtgever draagt zorg voor de software codering waarmee de beweging wordt aangestuurd. In paragraaf 9.1 wordt een korte beschrijving gegeven van de theoretische achtergrond van de aansturing die is aangeleverd door de opdrachtgever. Paragraaf 9.2 beschrijft vervolgens de benodigde hardwarecomponenten.
9.1 Aansturingsmethode
De robot arm wordt aangestuurd door een Arduino Mega, welke over een relatief sterke microprocessor beschikt om complexe berekeningen in een korte loop uit te voeren. De servomotoren in de robotarm worden aangestuurd door middel van pulsbreedtemodulatie (PWM), waardoor een aansturingsnauwkeurigheid van ongeveer 10 stappen per graad rotatie kan worden gerealiseerd. De uiteindelijke nauwkeurigheid is een combinatie van vier punten: • de nauwkeurigheid van de servo bij belasting • het aantal stappen dat de servo nodig heeft voor zijn kleinst mogelijke beweging • de aansturingsnauwkeurigheid • de omzetting van cartesiaanse coördinaten naar gewricht coördinaten en de afronding naar PWM G-Code Feeder
G-Code Interpreter Inverse Kinematica Controller Figuur 9.1: Software architectuur voor de aansturing van de robotarm.
49
Voor project SInBot zijn een groot aantal applicaties ontwikkeld, waaronder een Arduino programma welke seriële communicatie van CNC-codes (G-Code) omzet naar PWM. In figuur 9.1 is een deel van de uiteindelijke software architectuur belicht om dit te verduidelijken. Boven de G-code Feeder lopen meerdere applicaties die de omgeving in de gaten houden, veiligheid garanderen, sensor informatie opvragen en taken claimen. De G-code Feeder stuurt CNC-codes lijn voor lijn via een seriële verbinding (dubbele groene lijn) naar een bijbehorende Arduino. De G-code Interpreter is een aangepaste versie van de G-code Interpreter van de RepRap, toegespitst op gearticuleerde robots. Deze G-code Interpreter stuurt met hoge frequentie cartesiaanse coördinaten naar de Inverse Kinematica algoritmes. De Inverse Kinematica algoritmes zijn gebaseerd op de cosinusregel van driehoeken, gevalideerd met de Jacobian matrix. Deze opbouw van de architectuur en aansturing is gevalideerd met Lynxmotion AL5D 5-DOF robotarmen.
9.2 Aansturingscomponenten
In de vorige paragraaf is het theoretische aspect van de aansturing toegelicht. In deze paragraaf worden de benodigde hardware componenten besproken. Deze worden toegelicht aan de hand van figuur 9.2 waarin alle componenten worden beschreven inclusief de onderlinge verbindingen. Een servomotor (1) heeft drie aansluitingen. Dit zijn een plus- en minpoort voor de aansluiting op de voeding (2) en een PWM-poort waarover de aansturingsprotocollen worden verstuurd. De PWMpoort wordt verbonden met de Arduino Mega 2560 (3) die de aansturingssignalen naar de servo verstuurt. Op de Arduino zit een USB-poort waarmee de Arduino aangesloten kan worden op een computer. Vanaf deze computer wordt de aansturing geprogrammeerd. Daarnaast wordt ook de Arduino aangesloten op de voeding. Deze voeding bestaat uit een adapter die aangesloten wordt op het lichtnet. De adapter zet 230V wisselstroom om naar 12V gelijkstroom. Wanneer de servomotor minder dan 12V nodig heeft, kan een spanningsregulator (4) die de 12V ingangsspanning omzet naar een lagere uitgangsspanning. Om het systeem uit te kunnen schakelen, is een schakelaar (5) aangebracht die de stroomkring kan doorbreken.
4
2 230 V
5 IN
+
-
OUT
1
+
PWM
+
-
3 PWM
USB
Figuur 9.2: Schematisch overzicht van de aansturingscomponenten.
50
Hoofdstuk 10
Eindontwerp De constructie die is beschreven in hoofdstuk 7 en de behuizing die is behandeld in hoofdstuk 8 vormen samen het totale ontwerp van de robotarm. Het ontwerp als geheel zal in dit hoofdstuk worden besproken. In paragraaf 10.1 zal het ontwerp worden beschreven aan de hand van een exploded view. Daarbij wordt met name ingegaan op de samenhang tussen de verschillende onderdelen en een aantal kenmerkende ontwerpaspecten. In paragraaf 10.2 zal worden geëvalueerd hoe de constructie zich gedraagt onder invloed van een belasting. Tot dat doel wordt een model opgesteld dat wordt gebruikt om een simulatie uit te voeren in SolidWorks Simulation. Ten slotte zal in paragraaf 10.3 het ontwerp worden teruggekoppeld naar de eisen en richtlijnen die zijn opgesteld in analyse sectie van dit verslag. Het ontwerp zal zowel kinematisch, mechatronisch als esthetisch worden beoordeeld.
10.1 Productbeschrijving
Het resultaat van dit project is een schaalontwerp van een industriële robot die wat betreft constructie, beweging en uitstraling representatief is voor het type gearticuleerde robot (figuur 10.1). In bijlage J zijn de belangrijkste parameters van het ontwerp weergegeven in een tabel en de belangrijkste afmetingen worden geillustreerd door een maattekening. Het product is door middel van de conventionele productieprocessen frezen, lasersnijden en 3D printen te vervaardigen. Dit biedt de mogelijkheid voor enkelstuksproductie of productie in kleine series.
De onderdelen zijn zodanig ontworpen dat het product eenvoudig te assembleren is door middel van vormgesloten, losneembare verbindingen. Dit resulteert in een minder arbeidsintensieve productie en maakt het mogelijk om reparaties of aanpassingen aan het product uit te voeren. Bovendien verzekert een vormgesloten verbinding met de juist passing een hoge nauwkeuringheid. Allereerst wordt gekeken naar de manier waarop de robotarm is opgebouwd uit verschillende schakels. Uit figuur 10.2 wordt duidelijk dat het product bestaat uit vijf schakels die met elkaar verbonden worden door vier rotatiegewrichten die gepositioneerd zijn in de distale uiteinden van de schakels AB, BC, CD en DE. De schakels worden aan de twee buitenzijden verbonden met de opeenvolgende schakel. Aan een zijde is een directe verbinding met de servomotor en aan de andere zijde is een glijlager geplaatst die een nauwkeurige bevestiging mogelijk maakt ten gunste van een stabiele beweging. De positionering van de schakels is zodanig dat de middenas van iedere schakel is uitgelijnd met de rotatie as van gewricht B. Zo wordt een symmetrische constructie gerealiseerd waarbij een belasting op de eind-effector evenredig wordt verdeeld voor een optimale nauwkeurigheid.
51
Figuur 10.1: Schaalontwerp van een gearticuleerde robot.
52
DE
EF
CD
BC
AB
Figuur 10.2: Exploded view van de schakels.
Nu duidelijk is hoe de robotarm is opgebouwd uit de verschillende schakels wordt nader gekeken naar het ontwerp van de schakels op zich. Iedere schakel wordt op onderdeelniveau beschreven waarbij de belangrijkste onderdelen worden toegelicht. De nummering in de tekst verwijst naar de nummers in de figuren 10.3 tot en met 10.7. 1
4 5 6
53
De onderdelen 1, 2 en 3 vormen samen een kogellager dat is ontworpen voor een verhoogde stabilisatie in het gewricht. Onderdeel 2 is de lagerkooi die wordt bevestigd op de grondplaat (3). De stalen kogels (1) worden in de gaten van de lagerkooi gelegd. Wanneer schakel BC aan de servo (4) wordt bevestigd, zal de deze ondersteund worden door het kogellager. Doordat de kogels vrij rollen in het lager, zal er een minimale weerstand worden ondervonden bij een rotatie in gewricht B. Shenzhen XQ Power XQ-S4016D servomotor Metalen plaat om de arduino (10) te positioneren in de schakel. De positie is zo gekozen dat de USB aansluiting op een gunstige positie staat ten opzichte van de behuizing. Daarnaast is er rekening mee gehouden dat er voldoende ruimte beschikbaar blijft om een aanvullend component, zoals een WiFi module, op de arduino aan te sluiten. Dit onderdeel dient ter ondersteuning van de arduino (10) bij de bevestiging op onderdeel 5 en voorkomt dat de arduino direct op het metaal wordt bevestigd. Onderaan de printplaat van de arduino steken de contacten uit. Deze mogen niet in aanraking komen met de het metaal van de constructie, omdat dit kortsluiting veroorzaakt. Dit onderdeel wordt vanwege de kleine dimensies en een gemakkelijke assemblage geproduceerd door middel van 3D printen.
1
2 3
4
8
9
5 6
10
7
7 8 9 10 11
12 13 14
Figuur 10.3: Exploded view van schakel AB.
Grondplaat van schakel AB. Onderaan de grondplaat wordt nog een MDF rand bevestigd, omdat er schroefkoppen uitsteken. Op de vier hoekpunten van dit onderdeel zijn gaten aangebracht voor een M5 bout. Hiermee kan de robotarm verbonden worden met de omgeving. Bevestigingsplaat van de servomotor. Deze is zo gepositioneerd dat de servo horn op dezelfde hoogte staat als het loopvlak van de kogellager. Busje waarmee onderdeel 8 op de juiste hoogte wordt geplaatst. Rondom zijn vijf van deze onderdelen gepositioneerd. Dit geeft de constructie de benodigde stijfheid. Tussen onderdeel 8 en onderdeel 3 is in het verlengde van deze busjes nog een tweede reeks busjes aangebracht om de rollager op de juiste hoogte te positioneren. Arduino Mega 2560. Dit is de component die het mogelijk maakt om de motoren aan te sturen via pulsbreedtemodulatie. Glijlager waarmee schakel BC bevestigd kan worden aan schakel CD. Dit onderdeel is zodanig gedimensioneerd dat de constructieplaten (12) gecentreerd zijn ten opzichte van de constructie van schakel CD. Dit onderdeel wordt gemaakt van POM, omdat dit materiaal de juiste eigenschappen heeft voor de toepassing van een glijlager en nauwkeurig gemaakt kan worden door middel van een freesbewerking op een draaibank. Constructieplaat die de schakel hoofdzakelijke stijfheid geeft. Er zijn twee van deze platen die op de juiste afstand gepositioneerd worden door middel van busjes (14). Daarnaast dient een van deze platen ter bevestiging van de servomotor. Grondplaat van de schakel. Dit onderdeel wordt bevestigd aan de servo van schakel AB. Busje dat de twee onderdelen 12 met elkaar verbindt.
54
14 15
11
12 16
13
15
16
Figuur 10.4: Exploded view van schakel BC.
De glijlager wordt door middel van een bout-moer verbinding tussen schakel BC en schakel CD bevestigd. Om ervoor te zorgen dat deze verbinding vanaf een kant in te stellen is, is onderdeel 15 ontworpen. Deze wordt aan de binnenzijde van de schakel bevestigd aan onderdeel 12. In dit onderdeel worden een moer en een sluitring gelegd die zo op hun plaats worden gehouden. Door de vormgesloten verbinding tussen moer en onderdeel 15, kan de bout van buitenaf aangedraaid worden, zonder dat de moer meedraait. Deze verbinding maakt een eenvoudige assemblage en demontage mogelijk. Shenzhen XQ Power XQ-S5650D servomotor.
17
18
17
55
Figuur 10.5: Exploded view schakel CD.
Busje om de twee onderdelen 15 op de juiste afstand van elkaar te positioneren. De busjes zijn in een driehoek patroon gepositioneerd voor een verhoogde stijfheid van de constructie.
18
Constructieplaat die zorgt voor de stevigheid van de constructie. De linker plaat wordt bevestigd aan de glijlagers van de gewrichten C en D en de rechterplaat wordt bevestigd aan de motoren in de gewrichten C en D. 19
20
21
23
22
19 20 21 22 23
Figuur 10.6: Exploded view van schakel DE.
Constructieplaat. In functie vergelijkbaar met de onderdelen 12 en 18. Glijlager. In functie vergelijkbaar met onderdeel 11 Dit onderdeel heeft dezelfde functie als onderdeel 15, maar is lichtelijk anders gedimensioneerd vanwege de dimensies van onderdeel 19. Busje om de twee onderdelen 19 met elkaar te verbinden. Dit onderdeel is in functie vergelijkbaar met de onderdelen 9, 14 en 17. Savöx SA-1230SG servomotor. 24
27 25
26 28
Figuur 10.7: Exploded view van schakel EF.
56
24 25 21 22 23
Glijlager. In functie vergelijkbaar met onderdeel 11 en Constructieplaat. In functie vergelijkbaar met de onderdelen 12, 18 en 19. Dit onderdeel heeft dezelfde functie als onderdeel 15 en 21, maar is lichtelijk anders gedimensioneerd vanwege de dimensies van onderdeel 25. Busje om de twee onderdelen 25 met elkaar te verbinden. Dit onderdeel is in functie vergelijkbaar met de onderdelen 9, 14, 17 en 19. Savöx SH-0254MG servomotor.
Materiaal
De krachtdragende onderdelen van de constructie worden gemaakt van aluminium. Dit is een materiaal dat geschikt is voor bewerking met conventionele productiemethoden zoals lasersnijden en frezen. Daarnaast heeft het materiaal de eigenschappen van een hoge stijfheid met een lage dichtheid wat het materiaal geschikt is voor toepassing op een lichtgewicht constructie. De onderdelen van de behuizing worden gemaakt van het kunststof ABS, omdat de productie van deze onderdelen in de eerste plaats is gericht op de faciliteiten van de Universiteit Twente. Gezien de geometrie en de eisen aan de uitstraling is 3D printen het meest geschikte proces voor de productie van de behuizing. Het model 3D printer van de Universiteit Twente dat het meest geschikt is voor deze productie, print ABS. Hieruit volgt de keuze voor het materiaal.
10.2 Analyse van de belastbaarheid
In een vroeg stadium van het ontwerpproces wordt de constructie al geëvalueerd op doorbuiging en spanning onder invloed van een belasting. Daarbij wordt gebruik gemaakt van SolidWorks Simulation. Om de evaluatie uit te kunnen voeren dient een model van de belasting opgesteld te worden. Bij het opstellen van het model wordt uitgegaan van de configuratie waarvoor de belasting maximaal is, zoals deze is beschreven in figuur 3.2.Wanneer de schakels vanuit deze configuratie individueel worden beschouwd, kan er onderscheid gemaakt worden tussen de belasting van de schakels AB en BC en de schakels CD, DE en EF. Dit onderscheid komt voort uit de oriëntatie van de schakels in de beschouwde configuratie. Daarbij zijn de schakels AB en BC verticaal georiënteerd in y-richting en zijn de schakels CD, DE en EF horizontaal georiënteerd in x-richting. Er wordt voor zowel de horizontaal georiënteerde als voor de verticaal georiënteerde schakels een model opgesteld welke zijn weer gegeven in respectievelijk figuur 10.8 en figuur 10.9. In deze modellen wordt de schakel benaderd door een massieve balk. Geometrisch gezien is dit geen realistische representatie, maar bij de analyse in SolidWorks Simulation kan de analyse direct uitgevoerd worden op het 3D model van de schakel. De modellen uit figuur 10.8 en figuur 10.9 worden dan gebruikt om te bepalen hoe de constructie moet worden ingeklemd en waar de belasting aangebracht moet worden. Vandaar dat de geometrische representatie van de schakel voor dit doeleinde niet van belang is.
57
x z 1 y
Fz
2 Fy Figuur 10.8: Model van de belasting van een horizontaal georiënteerde schakel.
y
1 z
x
2 Fz Fy Figuur 10.9: Model van de belasting van een verticaal georiënteerde schakel.
Bij het ontwerpen van de constructie wordt rekening gehouden met een kracht op de eind-effector. Volgens de opdrachtomschrijving hoeft enkel rekening gehouden te worden met het eigen gewicht van de constructie. Bij het opstellen van het rekenkundig model in paragraaf 2.2 en de motorkeuze in paragraaf 4.3 is rekening gehouden met een belasting met oog op een doorontwikkeling van het resultaat van deze opdracht. Aan het begin van de ontwerpfase is ervoor gekozen om ook bij het ontwerpen van de constructie rekening te houden met een belasting op de eind-effector. Dit gaat weliswaar buiten de grenzen van deze opdracht, maar wanneer erin geslaagd wordt om een constructie te ontwerpen die bestand is tegen een belasting heeft dit een significant toegevoegde waarde voor de opdrachtgever. Met oog op de toepassing van een freesbewerking wordt rekening gehouden met een belasting in y-richting (Py ) en een kracht in z-richting (Pz ). De grootte van Py wordt bepaald op basis van de gemiddelde verhouding tussen de lading en het eigen gewicht van bestaande industriële robots, zoals deze is vastgesteld in paragraaf 1.1. Volgens de gegevens uit
58
tabel 10.1 in bijlage J weegt de robotarm ongeveer 2 kg. Vandaar wordt gekozen voor een waarde van 0,25 kg voor Py. Er zal een belasting in z-richting optreden wanneer de frees zijwaarts door het materiaal wordt bewogen. Er wordt aangenomen dat Pz een waarde heeft van 0,15 kg. Omdat de schakels individueel worden geëvalueerd, moet berekend worden hoeveel kracht er in de eindpunten van de schakels werkt. Deze waarden zijn weergegeven in tabel 10.2. Tabel 10.2: Belasting op de eind-effector omgerekend naar een belasting in de gewrichten.
gewricht
Fy (N)
Fz (N)
D
3,24
18
F
1,47
C
E
4
1,62
22 7
3,2
Tabel 10.3 geeft van de schakels BC tot en met EF een overzicht van enkele constructie eigenschappen en de optredende spanning en vervorming onder invloed van de krachten die zijn beschreven in tabel 10.2. In bijlage K wordt dit geïllustreerd door een plot van de belasting waarin goed is te zien hoe de spanning door de constructie loopt. Uit deze plots kan geconcludeerd worden dat de spanning goed wordt verdeeld over de constructie en dat er geen overmatige spanningsconcentraties optreden. Tabel 10.3: Prestaties van de individuele schakels
schakel
m (kg)
l (m)
ϵy (mm)
ϵz (mm)
σmax (N/mm2)
CD
0,448
0,25
0,176
0,093
43,87
0,001
14,19
BC
DE EF
0,178 0,340 0,052
0,09 0,25 0,05
0,012 0,040 0,000
0,067 0,076
6,57
22,39
Zoals beschreven in paragraaf 10.2 zijn de constructieonderdelen gemaakt van aluminium. Om precies te zijn Al 5052-H32. Dit materiaal heeft een vloeigrens van 195 N/mm2. De gegevens in de laatste kolom van tabel 10.3 geven de maximale spanning die optreedt bij een belasting van de schakel. De hoogste waarde is 43,87 N/mm2 bij schakel CD, maar ver onder de waarde van de vloeigrens. Dit betekent dat de deformatie die optreedt elastisch is en dat het materiaal hier dus van hersteld bij een afname van de belasting.
10.3 Terugkoppeling programma van eisen
Het eindproduct van deze opdracht is een schaalmodel van een gearticuleerde robot die bestaat uit vijf binaire schakels die door middel van vier rotatiegewrichten serieel met elkaar worden verbonden. De eerste schakel (AB) wordt door middel van een losneembare bout-moer verbinding met de omgeving verbonden. In alle vier de rotatiegewrichten is een servomotor bevestigd waarvan de beweging wordt aangestuurd door een Arduino Mega. Deze Arduino is
59
herprogrammeerbaar vanaf een externe computer. Wanneer gekeken wordt naar de kinematische structuur van het ontwerp liggen de oorsprongen van alle gewrichten in hetzelfde vlak XZ. Daarvan is de rotatie as van het eerste gewricht zo georiënteerd dat deze loodrecht staat op het grondvlak XY. De rotatie assen van de andere drie gewrichten zijn evenwijdig aan elkaar georiënteerd en staan parallel aan het grondvlak XY (figuur 3.19). Bovendien is de gehele constructie inclusief behuizing te vervaardigen met de conventionele productiemethoden lasersnijden, frezen en 3D printen. Het feit dat erin geslaagd is om te ontwerpen voor deze processen met gangbare materialen betekent dat het product tegen beperkte kosten kan worden geproduceerd. Ondanks dat is er niet voldaan aan de eis van maximaal €100,- voor elektronische componenten. Dit heeft te maken met de servomotoren waarvan de kosten, vanwege het benodigd koppel, boven het budget uitkwamen. Dit kan gevalideerd worden door het rekenkundig model dat is opgesteld en een onderzoek naar mogelijke alternatieven zoals het toepassen van een ander soort motor of een overbrenging. Op basis hiervan is in overleg met de opdrachtgever het budget verruimd. Met het ontwerp van de behuizing kan gesteld worden dat het schaalmodel voldoet aan de esthetische kenmerken van een gearticuleerde robot, zoals deze worden beschreven door figuur 2.2. Dit wordt aangetoond door bijlage L waarin een afbeelding van het schaalmodel in figuur 2.2 is geplaatst. Ook voldoet het ontwerp aan de verhoudingen van een gearticuleerde robot, zoals deze zijn beschreven door tabel 2.1. Dit wordt aangetoond door tabel 10.4 waarin de uitdrukkingen voor de verhoudingen zijn ingevuld met de waarden van de variabelen. Daarbij is alleen de eerste formule niet volledig correct, maar dit een zodanig klein verschil dat het geen afbreuk doet aan de gestelde verhoudingen Tabel 10.4: Verhoudingsvergelijkingen ingevuld met de afmetingen van het schaalmodel.
formule
nr.
0,2 < 0,2 < 0,25
2.1
0,25 ≈ 0,25
2.3
0,225 < 0,25 < 0,275 0,05 ≈ 0,05
0,05 < 0,06 < 0,125 0,06 ≈ 0,06 ≈ 0,058 0,058 > 0,035 0,035 > 0,022
2.2 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
De beweging van de robotarm kan niet worden beoordeeld, omdat er nog geen prototype is gerealiseerd. Vandaar dat niet kan worden bevestigd dat de robot een realistische beweging heeft die overeenkomt met de snelheid van een gearticuleerde robot en een herhaalbaarheid heeft van ongeveer 0,3 mm. Wel kan worden gesteld dat de geselecteerde servomotoren een snelheid kunnen bereiken die theoretisch gezien de snelheid van een gearticuleerde robot benadert. Bovendien is de constructie zodanig ontworpen dat deze een nauwkeurigheid heeft van 0,23 mm bij een belasting van 250 g. Dit staat nog niet gelijk aan de herhaalbaarheid, maar is hierop wel van invloed. Doordat
60
de nauwkeurigheid in dezelfde orde grootte ligt als de herhaalbaarheid, kan aangenomen worden dat de vereiste herhaalbaarheid met dit ontwerp kan worden gerealiseerd. Daarbij moet wel kritisch worden vermeld dat er bij de analyse van de constructie geen rekening gehouden is met onnauwkeurigheid in de gewrichten. Bovendien kan het gewicht van de onderdelen nog variëren door de toevoeging van verbindingen of afwerkingsmateriaal. Toch is de verwachting dat deze onzekerheden geen zodanige uitwerking hebben dat de gestelde doelen met dit ontwerp niet kunnen worden bereikt.
61
Conclusie De opdracht voor dit project was het ontwerpen van een schaalmodel van een industriële robot. Dit schaalmodel heeft als doel om te onderzoeken of de manier waarop een industriële robot wordt bestuurd handig gevonden wordt door experts. Daarnaast wordt de robotarm toegepast bij het uitvoeren van autonome experimenten. De behoefte aan een schaalmodel komt voort uit het feit dat revolutionaire ontwikkelingen in de aansturingsmethodiek niet getest mogen worden op bestaande industriële robots vanwege de veiligheidsrisico’s. Met name voor het testen van de gebruikservaring van experts is het van belang dat het schaalmodel representatief is voor robots die worden toegepast in de industrie. Dit geldt voor zowel de kinematische en esthetische eigenschappen als voor de beweging. Om de representativiteit van het ontwerp te realiseren, wordt een onderzoek gedaan naar bestaande typen industriële robots en hun eigenschappen. Om voldoende focus aan te brengen binnen de opdracht wordt op basis van dit onderzoek een specifiek type gekozen waarvan een schaalrobot ontworpen wordt. Dit type is de gearticuleerde robot die onder andere gekenmerkt wordt door de toepassing van uitsluitend rotatiegewrichten. Wanneer de kenmerken van het schaalontwerp worden geëvalueerd, kan gesteld worden dat erin is geslaagd om een schaalmodel te maken van een industriële robot dat representatief is voor het type gearticuleerde robot. De esthetische eigenschappen van de behuizing en de verhoudingen van de onderdelen komen overeen met de conclusies uit hoofdstuk 2. Daarnaast is het ontwerp gevormd volgens de juiste kinematische structuur waarbij de rotatiegewrichten serieel met elkaar worden verbonden door binaire schakels. Bovendien is de positionering en de oriëntatie van de gewrichten zodanig dat een simplificatie mogelijk is van zowel de voorwaartse als de inverse kinematica wat voordelen biedt voor de aansturing van de beweging.
De constructie die is ontworpen is in de eerste plaats gericht op het dragen van de belasting die het gevolg is van het eigen gewicht en beweging van de robotarm. Daarnaast is er gekeken naar het effect van de belasting die optreedt bij een freesbewerking. Er is voor gekozen om de constructie zo ver te optimaliseren dat deze voldoende sterk is om een freesbewerking uit te voeren met de gewenste nauwkeurigheid. Op deze manier is het schaalmodel ook geschikt voor het uitvoeren van autonome experimenten, zoals frezen. De gehele robot bestaande uit behuizing en constructie is te produceren met conventionele productiemethoden. Dit biedt de mogelijkheid voor een enkelstuksproductie tegen lage kosten en de optie om gemakkelijk aanpassingen en reparaties aan het ontwerp uit te voeren in het geval van eventuele doorontwikkeling.
Er is bij de selectie van de motoren zo goed mogelijk rekening gehouden met de belasting en de eisen aan de beweging. Door een veiligheidsfactor mee te wegen in de berekening van het motorkoppel, worden verschillen tussen de werkelijkheid en het rekenkundig model gecompenseerd. Daarnaast is bij het selecteren van een type motor rekening gehouden met de nauwkeurigheid en karakteristieken van de beweging, zodat er theoretisch gezien een vloeiende en nauwkeurige beweging kan worden gerealiseerd. Toch is het niet mogelijk om op basis hiervan te concluderen dat de beweging van het schaalmodel representatief is voor een gearticuleerde robot. Dit kan pas bevestigd worden na de bouw van een prototype.
62
Al met al kan geconcludeerd worden dat is voldaan aan de gestelde eisen en dat daarmee een schaalontwerp gerealiseerd is waarmee de gestelde doelen worden behaald. Wel is het zo dat deze uitspraak is gebaseerd op de theoretische eigenschappen van het ontwerp. Dit betreft bijvoorbeeld de doorbuiging van de constructie die is gebaseerd op een computer simulatie en de eigenschappen van de beweging die worden gebaseerd op de theoretische kenmerken van het geselecteerde motor type. Voor een volledige verificatie van het ontwerp is het nodig om een prototype te realiseren waarvan de prestaties worden beoordeeld.
63
Begripsbepaling Aanzetkoppel Basis Binaire schakel Distaal
Eind-effector Gewrichtsas Gewrichtvariabele Industriële robot Kinematische structuur Nominaal koppel Proximaal Rondsel Schakel Volger
Werkgebied Wiel
De koppelkracht die een motor levert wanneer de hoeksnelheid gelijk is aan nul.
De schakel van een robotarm die door middel van een vaste verbinding verbonden is met de omgeving. Deze schakel beweegt niet onder invloed van een actuatie van de gewrichten. Een schakel die op twee punten door middel van een gewricht verbonden wordt met een andere schakel. Het meest veraf gelegen van de basis.
De eind-effector is verbonden met het uiteinde van de robotarm en is het onderdeel dat een manipulatie uitvoert aan de omgeving. De as waarover de beweging plaatsvindt van een eendimentionaal rotatie- of translatiegewricht. De grootheid die variëert ten gevolge van een beweging in het gewricht
Een automatisch aangestuurde, herprogrammeerbare, multifunctionele manipulator die programmeerbaar is in drie of meer assen. Beschrijft de topoligische aspecten van een kinematische representatie door middel van schakels en gewrichten.
De koppelkracht bij een zekere hoeksnelheid die het beoogde gebruik van de motor representeert. Het dichtst gelegen bij de basis. Aangedreven tandwiel.
Starre verbinding tussen twee gewrichten. Het tandwiel dat ingrijpt op het rondsel.
Een gebied in de driedimentionale ruimte waarbinnen de eindeffector gepositioneerd kan worden. Zie definitie volger.
64
Bijlagen Bijlage A: Statica berekening van een seriële manipulator �������������������������������������������� 66
Bijlage B: Dynamica berekening van een seriële manipulator ���������������������������������������� 70
Bijlage C: Invoerparameters rekenkundig model________________________________________________________ 77 Bijlage D: Elektromotoren_________________________________________________________________________________ 78
Bijlage E: Modelparameters motorkeuze________________________________________________________________ 84 Bijlage F: Tandwieloverbrenging servomotor___________________________________________________________ 85
Bijlage G: Voorstel motorkeuze budget___________________________________________________________________ 90 Bijlage H: Voorstel motorkeuze kwaliteit________________________________________________________________ 91
Bijlage I: Overzicht schaalmodellen robotarm___________________________________________________________ 92 Bijlage J: Parameters robotarm___________________________________________________________________________ 93 Bijlage K: Spanningsplots van de constructie____________________________________________________________ 95 Bijlage L: Overzicht van gearticuleerde robots inclusief eindontwerp ������������������������������� 97
65
Bijlage A Statica berekening van een seriële manipulator
De eerste stap in de berekening is het opstellen van een vrije lichaam structuur die is weergegeven in figuur 3.3. Bij het opstellen van iedere vrije lichaamstructuur worden de positieve richting van de krachten bepaald door het assenstelsel dat in de rechter onderhoek is weergegeven. Voor alle andere vrije lichaamstructuren in deze analyse wordt hetzelfde assenstelsel toegepast tenzij anders aangegeven. Om de krachten in punt A te kunnen berekenen is de constructie in dit punt losgekoppeld van de vaste wereld en zijn als gevolg daarvan de reactiekrachten Fx, Fy en MA ingetekend. Op dezelfde manier wordt de constructie in de punten B, C, D en E losgekoppeld om daar de reactiekrachten te bereken. De vrije lichaamstructuren van deze situaties zijn weergegeven in respectievelijk de figuren 3.4 tot en met 3.7. D
E
F
C
mC g
mD g mCD g
mBC g
mE g mDE g
mEF g
B
Py
mB g y
mAB g A
Fx
MA
M
x
Fy Figuur 3.3: Vrije lichaam structuur losgekoppeld in punt A.
In het geval van een statisch evenwicht gelden de volgende evenwichtsvergelijkingen: ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0
∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 0
∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0
∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑜𝑜𝑜𝑜 = 0
∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 0
𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � 1
1
∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 2
1
2
(3.1) (3.2)
𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 0
1
2
1
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 2
1
2
𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) 2
∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0
∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 0 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � 1
1
∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 2
1
2
𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 0
1
2
1
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) +
(3.3)
(3.4)
(3.5)
66
∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0
∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 0
C ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0
∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑜𝑜𝑜𝑜 = 0
D
E
F
mC g mD g mE g ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − mCD g
𝑔𝑔𝑔𝑔 =g 0 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦m BC
mDE g
mEF g
B 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 Fx + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � M 1B mB g − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 + 1 𝐿𝐿𝐿𝐿 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 ) − ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2
(3.1)
Py
2
1
𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 0 2 Fy 1 1 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 2 2 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹 = 0 ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑜𝑜𝑜𝑜 = 0 Figuur1 3.4:𝑦𝑦𝑦𝑦 Vrije lichaam structuur losgekoppeld in punt B. 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )
(3.3)
2
∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0
∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 −𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 0 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔−−𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔−−𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔− 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔−−𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐵𝐵𝐵𝐵0+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐴𝐴𝐴𝐴𝑔𝑔𝑔𝑔+−𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦+
1 1 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 −+𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦𝐿𝐿𝐿𝐿�𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦𝐴𝐴𝐴𝐴==𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 − +𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 −𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 +𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿+ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝐴𝐴𝐴𝐴𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 2 1
2 1
)=0 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿+ ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿+𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶1 𝐿𝐿𝐿𝐿+ 𝐿𝐿𝐿𝐿)𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷++𝑚𝑚𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 2 1
2 1
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶1 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿+ ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2 1
(3.1) (3.4)
(3.5)
(3.2)
2 1
∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑀𝑀𝑀𝑀 −𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 − 𝑚𝑚𝑚𝑚1𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿+ ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 0 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 1𝑚𝑚𝑚𝑚
(3.2)
(3.6)
∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚=𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷0𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )
(3.3) (3.7)
∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚D𝐶𝐶𝐶𝐶+𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑚𝑚𝑚𝑚 −𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑚𝑚𝑚𝑚�𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔E − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚− +𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔𝐶𝐶𝐶𝐶−+𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 +𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚+ 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑔𝑔𝑔𝑔 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷 + F 0 Fx 1 𝑚𝑚𝑚𝑚 1 +𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵−+𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦𝐵𝐵𝐵𝐵 ==𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐴𝐴𝐴𝐴 +𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 �𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑀𝑀𝑀𝑀C𝐵𝐵𝐵𝐵 − −𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝑚𝑚+𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 +𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚)𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷−+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 2 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 M mC g m g mE g 1C 1 D 1 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶+ 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 −+𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿+ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿) −)𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷−𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶− − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = 0
(3.8)
∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − = 𝑚𝑚𝑚𝑚 0 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑔𝑔𝑔𝑔 −Fy𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 0
2
1 m g m)DE=g0 mEF g 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿+ )CD− 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿+𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶1 𝐿𝐿𝐿𝐿+ 𝐿𝐿𝐿𝐿)𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷++𝑚𝑚𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 1𝑚𝑚𝑚𝑚 2 1
2 1
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶1 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿+ ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2
Figuur 1 3.5: Vrije lichaam structuur losgekoppeld in punt C.
∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚=𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷0𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )
(3.4)
(3.5)
Py (3.9)
(3.6) (3.10)
− 𝑚𝑚𝑚𝑚 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 = 0 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 0
(3.7)
1 𝑚𝑚𝑚𝑚 1� + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶−+𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷�𝐿𝐿𝐿𝐿+ 𝑚𝑚𝑚𝑚+ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 ==𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵−+ 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 −𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 0
(3.8)
∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑚𝑚𝑚𝑚+ 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐷𝐷𝐷𝐷−+𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 +𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 � − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 0 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑚𝑚𝑚𝑚− 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚+ 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦𝑔𝑔𝑔𝑔 2 1
1
2
1 𝐵𝐵𝐵𝐵 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 1 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) 2
2
1
∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚=𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷0𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 0 1 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 −+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 0 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐵𝐵𝐵𝐵==𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 +𝑔𝑔𝑔𝑔𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶
1
+ 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 2
𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) 1
2
(3.11) (3.12)
(3.13)
(3.14) (3.9)
∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = 0 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥𝐷𝐷𝐷𝐷= 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 02
(3.10)
𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 �
(3.11)
1 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐷𝐷𝐷𝐷==𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑔𝑔𝑔𝑔 − + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷
67
1
− 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 0 1
∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 0 1
2
1
2
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) 2
2
(3.15)
(3.12)
𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � 1 1 ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 − 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 1 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 − 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 2 2 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 1 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 0 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 0 2 1 1 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 1 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 2 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 2 2 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 1 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) 2 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 F ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 y− 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 0 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 −E 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚F𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 0 Fx𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 + D 1 1 ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 − 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 −M 𝑚𝑚𝑚𝑚D𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 1 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷g) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − mD− ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 − 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 −g 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 2 m 𝐿𝐿𝐿𝐿 E ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 2 2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 1 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 0 mDE+g𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 m g )= 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 EF 0 2 P 1 1 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 = 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 1 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) +y 2 2 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 2 Figuur1 3.6: Vrije lichaam2 structuur losgekoppeld in punt D. 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 1 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) 2 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 0 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 0 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � 1 1 ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶 − 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 +1 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 0 ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 − 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 2 2 1 1 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 1 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) 2𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 0 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥1 = 0 1 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 2 2 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 = F0 y 1 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔+�𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � 2 F Fx 1 ∑ 0 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 E 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 = 0 𝑥𝑥𝑥𝑥 = − ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑥𝑥𝑥𝑥𝐷𝐷𝐷𝐷==𝐹𝐹𝐹𝐹𝑀𝑀𝑀𝑀 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 E 𝑚𝑚𝑚𝑚 m ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦1 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔M− g 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 0 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔E − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � mEF g Py 1 1 ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 0 1
2
2
Figuur 3.7: Vrije lichaam1structuur losgekoppeld in punt E.
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) 2
∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0
∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 0 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � 1
∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = 0 1
2
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2
2
(3.5) (3.2)
(3.6) (3.3) (3.7) (3.4)
(3.8) (3.5)
(3.9) (3.6) (3.10) (3.7)
(3.11) (3.8)
(3.12)
(3.13)
(3.9) (3.14)
(3.10)
(3.15) (3.11) (3.12)
(3.13)
(3.14) (3.15)
Gewricht B De voorgaande berekening geeft wel de reactiekrachten in gewricht B ten gevolge van het gewicht van de robotarm en een belasting in punt F, maar dit zijn niet de reactiekrachten die de grootste invloed hebben op de beweging van gewricht B. Dit komt doordat gewricht B roteert rond de y-as en de andere gewrichten roteren rond de z-as. Daarom wordt hier een analyse gedaan van een rotatiebeweging van gewricht B waarbij de krachten in het XZ-vlak worden beschouwd. Er wordt dezelfde configuratie beschouwd als beschreven is in figuur 3.2, omdat hierbij de grootste belasting optreedt in gewricht B.
68
F
x
P E
M
z
D
B
Fz
MA Fx
Figuur 3.8: Vrije lichaam structuur losgekoppeld in punt B.
Figuur 3.8 beschrijft de vrije lichaam structuur en de werkende krachten die worden geanalyseerd. Daarbij is schakel BC georiënteerd in y-richting en overlappen de punten B en C in het XZ-vlak. Uitgaande van een homogene massaverdeling van schakel BC en het buiten beschouwing laten van de wrijvingskracht, heeft deze schakel geen invloed op de belasting in punt B en wordt daarom buiten beschouwing gelaten. Er is wederom rekening gehouden met een belasting PZ. Deze belasting stelt de reactiekracht voor van het materiaal wanneer de robotarm tijdens een freesbewerking in z-richting door het materiaal beweegt. De kracht PZ zal worden uitgedrukt als massa en wordt daarom geschreven als mPy∙g. Zo kunnen de volgende formules worden opgesteld voor de reactiekrachten in gewricht B. ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0
(3.16)
𝐹𝐹𝐹𝐹𝑧𝑧𝑧𝑧 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑔𝑔𝑔𝑔
(3.17)
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )
(3.18)
∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑧𝑧𝑧𝑧 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑧𝑧𝑧𝑧 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 0
∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 0
69
Bijlage B Dynamica berekening van een seriële manipulator D
E
F
C
mC g
mD g mCD g
mBC g
mE g mDE g
mEF g
B
Py
mB g y
mAB g A
Fx
MA
M
x
Fy Figuur 3.9: Vrije lichaam structuur losgekoppeld in punt A.
In het geval van een dynamisch evenwicht gelden de volgende algemene evenwichtsvergelijkingen: ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎𝑥𝑥𝑥𝑥
∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎𝑦𝑦𝑦𝑦
∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑜𝑜𝑜𝑜 = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑜𝑜𝑜𝑜 𝛼𝛼𝛼𝛼
∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦is=de𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑂𝑂𝑂𝑂 𝛼𝛼𝛼𝛼vanaf 0 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑂𝑂𝑂𝑂 In de situatie die wordt beschouwd, robotarm horizontaal georiënteerd het draaipunt waardoor de0versnelling in x-richting (ax) gelijk is aan nul. De versnelling in y-richting (ay) ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = (3.19) is gelijk aan de tangentiële component van de versnelling. Dat resulteert in de volgende ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − evenwichtsvergelijkingen die van toepassing zijn op de robotarm configuratie die bij deze analyse 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 =bekeken. ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑜𝑜𝑜𝑜 = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑜𝑜𝑜𝑜 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎 wordt 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦 ∑ ∑ ∑𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐹𝐹𝐹𝐹 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎 𝐹𝐹𝐹𝐹 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦𝑜𝑜𝑜𝑜 �= =+𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝑜𝑜𝑜𝑜 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ∑ ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 = 0 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑦𝑦𝑦𝑦
∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 ∑ 𝑥𝑥𝑥𝑥 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑂𝑂𝑂𝑂
𝑂𝑂𝑂𝑂 𝑂𝑂𝑂𝑂
= = 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 = �𝐼𝐼𝐼𝐼𝑂𝑂𝑂𝑂 𝛼𝛼𝛼𝛼𝑂𝑂𝑂𝑂 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷∑+𝑀𝑀𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑂𝑂𝑂𝑂 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 =0 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚�𝑚𝑚𝑚𝑚 = 0 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚∑𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐹𝐹𝐹𝐹+ 1 ==𝐹𝐹𝐹𝐹 0 1𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔 −𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑀𝑀𝑀𝑀 −−𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 −𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 −𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝑚𝑚+𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 −) − 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝑔𝑔𝑔𝑔𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶−−𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑦𝑦𝑦𝑦𝐴𝐴𝐴𝐴= 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑔𝑔𝑔𝑔− 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑔𝑔𝑔𝑔 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷− 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝑔𝑔𝑔𝑔+−2 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 2 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦𝑚𝑚𝑚𝑚− 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 1 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑔𝑔𝑔𝑔 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑚𝑚𝑚𝑚− 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 1 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶1+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � + 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝑚𝑚𝑚𝑚+ + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 ++ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚+ + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 ++ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝑚𝑚2+ + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ++ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚+ + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ++ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 �+ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 + + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚�𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷 1 ) + 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚�𝑚𝑚𝑚𝑚1 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵2+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 1 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 2 1 1 1 )+ 𝑚𝑚𝑚𝑚− 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿 +)1+ + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚) 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷+ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷−𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 1 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 2 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐴𝐴𝐴𝐴 21 1 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 +𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 +𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 +𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )�−+𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷+ 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷))= 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐴𝐴𝐴𝐴 1𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 1 + 22 +𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 2 1 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹 = 0 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 1 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑥𝑥𝑥𝑥𝐴𝐴𝐴𝐴==𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑚𝑚𝑚𝑚 1 2 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 −𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑔𝑔𝑔𝑔 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 1 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 1 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 1 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐴𝐴𝐴𝐴 2 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 +𝑔𝑔𝑔𝑔𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 1 1 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶1 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 2 2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 +𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � + 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑔𝑔𝑔𝑔+�𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) 2 1
+ 𝐿𝐿𝐿𝐿+𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚+ +𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚 � 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵 2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚�𝑚𝑚𝑚𝑚 = 0 𝐴𝐴𝐴𝐴 +𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 1 1 ∑ =− 0 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑔𝑔𝑔𝑔 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝐹𝐹𝐹𝐹 ==𝐹𝐹𝐹𝐹 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥𝑀𝑀𝑀𝑀 −𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑔𝑔𝑔𝑔) − 𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝐴𝐴𝐴𝐴= 𝑚𝑚𝑚𝑚− 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 −𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷−𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑚𝑚𝑚𝑚2 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝑔𝑔𝑔𝑔− 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝑚𝑚 2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦𝑚𝑚𝑚𝑚− 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 − 1 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑔𝑔𝑔𝑔 𝐴𝐴𝐴𝐴− 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵= 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔+−𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦+ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 1 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷1+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � + 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 2 2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚�𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � 1 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐴𝐴𝐴𝐴� + 𝐿𝐿𝐿𝐿+𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚+ +𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿1𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔1�𝐿𝐿𝐿𝐿 +𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚�𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐵𝐵𝐵𝐵 2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 1
2 1
1
2 1
(3.20) (3.19) (3.19)
(3.20) (3.20) (3.21)
(3.22)
(3.21) (3.21) (3.23) (3.22) (3.22) 70
(3.23) (3.23)
𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼
𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚�𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � 1
(3.20)
1
∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 2
2
1
𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐴𝐴𝐴𝐴 2
1
1
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 2 constructie is ingeklemd in punt A zal 2 Omdat de αA gelijk zijn aan 0. Dat leidt tot de volgende 1 uitdrukking voor M 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 A+ 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐴𝐴𝐴𝐴 2 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎𝑥𝑥𝑥𝑥 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎𝑦𝑦𝑦𝑦 ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑜𝑜𝑜𝑜 = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑜𝑜𝑜𝑜 𝛼𝛼𝛼𝛼 1 1 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 02 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 2 ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑂𝑂𝑂𝑂 𝛼𝛼𝛼𝛼𝑂𝑂𝑂𝑂 1
∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚=𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷0𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )
∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − − 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 −∑𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑜𝑜𝑜𝑜 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑜𝑜𝑜𝑜 = ∑ = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎 = 0 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑔𝑔𝑔𝑔∑−𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦𝑚𝑚𝑚𝑚=𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑚𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔
= 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑔𝑔𝑔𝑔 𝐴𝐴𝐴𝐴−𝑔𝑔𝑔𝑔𝑚𝑚𝑚𝑚 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 = 0 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦𝑚𝑚𝑚𝑚− −𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵=𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑔𝑔𝑔𝑔 ∑ − 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑂𝑂𝑂𝑂 𝛼𝛼𝛼𝛼𝑂𝑂𝑂𝑂 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚 D E ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐹𝐹 0𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑚𝑚𝑚𝑚 =𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � + 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 C= 𝐴𝐴𝐴𝐴 +
∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹 − 𝑚𝑚𝑚𝑚+ 𝑔𝑔𝑔𝑔+− 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚+ 𝑔𝑔𝑔𝑔+−+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔+ − 𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑚𝑚𝑚𝑚+ 𝑔𝑔𝑔𝑔 �− 𝑔𝑔𝑔𝑔 −� 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 g𝑔𝑔𝑔𝑔𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚−+ g𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 m+E𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 + + 𝑚𝑚𝑚𝑚 +𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑚𝑚m 𝑚𝑚𝑚𝑚 +𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 +− 𝑚𝑚𝑚𝑚+ 𝑚𝑚𝑚𝑚 +g𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚�𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐴𝐴 C+ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶m 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 D 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷
1 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔1−+𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 +)𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶� + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚�𝑚𝑚𝑚𝑚 ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷+𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 −m 𝑚𝑚𝑚𝑚+ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚+ 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐴𝐴𝐴𝐴 − 2𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐷𝐷𝐷𝐷g𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 m𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 g mEF g CD DE m g 1 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � + 𝐹𝐹𝐹𝐹 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 1+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 +BC𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 1 𝑚𝑚𝑚𝑚 ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑦𝑦𝑦𝑦𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶+ 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) =𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶− 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2 + 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝐶𝐶𝐶𝐶 B𝐴𝐴𝐴𝐴𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 F x 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚�𝑚𝑚𝑚𝑚M 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵1 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � 1 B 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + ) = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐿𝐿𝐿𝐿𝐴𝐴𝐴𝐴 ) + 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿+𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶1 𝐿𝐿𝐿𝐿+ 𝐿𝐿𝐿𝐿)𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷++𝑚𝑚𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 g + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿+ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 +m𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 B 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 1 2 2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 1 ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 1 1 2 2 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶1 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿+ ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐼𝐼𝐼𝐼+𝛼𝛼𝛼𝛼𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 +1 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶F + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐴𝐴𝐴𝐴 21 1𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿 y + 𝐿𝐿𝐿𝐿 1 +𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 +𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚�𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 1 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 21 21 lichaam in punt B. 13.10: Vrije 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚Figuur + 𝐿𝐿𝐿𝐿structuur 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷losgekoppeld 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿+ 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿) + + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + � 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2 + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 1 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐴𝐴𝐴𝐴 2 1 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥1𝑚𝑚𝑚𝑚=𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷0𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 1 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − = 𝑚𝑚𝑚𝑚 0 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚2𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 1
) 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 �𝐿𝐿𝐿𝐿 +𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿= 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑔𝑔𝑔𝑔 − �+ + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 +𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿− 𝑚𝑚𝑚𝑚− 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝐵𝐵𝐵𝐵− ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑚𝑚𝑚𝑚 −𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 −+𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦
∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹 0 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐹𝐹𝐹𝐹 �+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑚𝑚𝑚𝑚 + �𝑚𝑚𝑚𝑚+𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦𝑚𝑚𝑚𝑚 −+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔+− 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔+−𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵𝐷𝐷𝐷𝐷𝑔𝑔𝑔𝑔𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 +−𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚 ) 𝑔𝑔𝑔𝑔 +𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚�𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚+ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 �
(3.21) (3.19) (3.22)
F
(3.19)
Py
(3.20)
(3.23) (3.20)
(3.21)
(3.24) (3.22)
(3.25) (3.21)
(3.22)
(3.26) (3.23)
11 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔11− 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷− 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 22 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 22 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 +1𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐵𝐵𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴 2 (3.23) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚�𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � 1 1 ) + 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 1 1 2 2 ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝐴𝐴𝐴𝐴 − 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 1 (3.27) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 +1 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐵𝐵𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐴𝐴𝐴𝐴 2 1 1 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 1 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 =𝐴𝐴𝐴𝐴�= 2𝜌𝜌𝜌𝜌(𝑚𝑚𝑚𝑚) ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 (3.28) 𝐼𝐼𝐼𝐼ℎ 𝑀𝑀𝑀𝑀 )+ 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 + + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷als 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 B bij 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷deze𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 Vanwege analyse wordt starre verbinding zal αB 2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷beschouwd 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 de aanname dat punt 1 ) (3.24) + 1 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷volgende � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 M 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿Dat 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 tot 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + gelijk zijn𝑚𝑚𝑚𝑚 uitdrukking voor B 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝛼𝛼𝛼𝛼 �𝐿𝐿𝐿𝐿 +leidt 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 2de 𝐿𝐿𝐿𝐿 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚aan𝑔𝑔𝑔𝑔0. 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷
2
𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷
𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷
𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴
∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥1 = 0 1 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐴𝐴𝐴𝐴= 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦2 −𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚2𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼
(3.25)
∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚= 0 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 )
(3.25) (3.26)
1
+ 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 �++𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷� + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔+�𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 2𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦
∑ 𝑚𝑚𝑚𝑚1𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔−−𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑦𝑦𝑦𝑦 −− 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 1𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑦𝑦𝑦𝑦𝐵𝐵𝐵𝐵==𝐹𝐹𝐹𝐹𝑀𝑀𝑀𝑀 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 2
2
𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 +1𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐵𝐵𝐵𝐵 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐵𝐵𝐵𝐵 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 ) 1 1 ) 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 1 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 )1+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 2 2 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 +1 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐵𝐵𝐵𝐵 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐵𝐵𝐵𝐵 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐵𝐵𝐵𝐵 2
=𝐵𝐵𝐵𝐵�= 1𝜌𝜌𝜌𝜌(𝑚𝑚𝑚𝑚) 𝑑𝑑𝑑𝑑 2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 1 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝐼𝐼𝐼𝐼ℎ 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶∙𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 71 𝑑𝑑𝑑𝑑 2
1
2
𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐵𝐵𝐵𝐵 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐵𝐵𝐵𝐵 2
(3.24)
(3.26) (3.27)
(3.28)
(3.27)
2 1
2 1
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶1 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 2 2 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2 1 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐴𝐴𝐴𝐴 2 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 =𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷0 1 1 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑦𝑦𝑦𝑦𝐴𝐴𝐴𝐴==𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑚𝑚𝑚𝑚 +𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝑔𝑔𝑔𝑔 − + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 −𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵+𝑔𝑔𝑔𝑔𝑚𝑚𝑚𝑚 −𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 −+ 𝑚𝑚𝑚𝑚2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐿𝐿𝐿𝐿𝑔𝑔𝑔𝑔𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 −)𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔+−𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) 2 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 1 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) 2
2
1
1
∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚1𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶g− 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝐷𝐷𝐷𝐷g𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿m 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) g mCD m)𝑚𝑚𝑚𝑚 DE+ 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐴𝐴𝐴𝐴 EF � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔2�𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 1 1𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶1 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 2 2 1 1 )+ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚Figuur 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶13.11: + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿lichaam + 𝐿𝐿𝐿𝐿structuur ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷losgekoppeld 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷in Vrije punt C. 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2 2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2 1 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐴𝐴𝐴𝐴 2 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 =𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷0 1 1 )+ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐴𝐴𝐴𝐴==𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 +𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 += 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑔𝑔𝑔𝑔 − + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶+𝑔𝑔𝑔𝑔𝑚𝑚𝑚𝑚 −𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 −+ 𝑚𝑚𝑚𝑚2𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑔𝑔𝑔𝑔𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 −)𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 2 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶
𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + +𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + + 1𝑚𝑚𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �++𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ++𝑚𝑚𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � + + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑔𝑔𝑔𝑔+�𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) 𝐵𝐵𝐵𝐵 2
𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 ) 𝐶𝐶𝐶𝐶 + ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚= 0 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 1
1
∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀 −𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷−𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦𝐵𝐵𝐵𝐵==𝐹𝐹𝐹𝐹𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑚𝑚2𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 −𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑔𝑔𝑔𝑔 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝑔𝑔𝑔𝑔 + − 2𝑚𝑚𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 =𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 𝐵𝐵𝐵𝐵 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝑔𝑔𝑔𝑔− 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝑔𝑔𝑔𝑔) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑦𝑦𝑦𝑦 − + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶++𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚 +1𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷)+−𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �++𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦+𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐶𝐶𝐶𝐶+ 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) =𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐵𝐵𝐵𝐵 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2
1 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 ) 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 2
2
1
(3.22)
+
𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � + ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚+𝑔𝑔𝑔𝑔𝑚𝑚𝑚𝑚−𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 +𝑔𝑔𝑔𝑔𝑚𝑚𝑚𝑚 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚�𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑔𝑔𝑔𝑔+− −𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑔𝑔𝑔𝑔 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 −𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 Fy 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 1 1 ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 =− 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷−𝑔𝑔𝑔𝑔 2−𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 2 D E Fx 1 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 � + 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 C 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵+ 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐴𝐴𝐴𝐴 2 M C+ 𝑚𝑚𝑚𝑚 m + g 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 g mE g 1 1 m+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚�𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚 C 𝑚𝑚𝑚𝑚 D 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 2
(3.21)
1
(3.21)
(3.22) (3.23)
F
Py
(3.23)
(3.24)
(3.25)
(3.24)
(3.26) (3.25) (3.26)
∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚1𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔2�𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐵𝐵𝐵𝐵 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐵𝐵𝐵𝐵 (3.27) 2 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐵𝐵𝐵𝐵 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐵𝐵𝐵𝐵 2 𝐼𝐼𝐼𝐼ℎ = � 1𝜌𝜌𝜌𝜌(𝑚𝑚𝑚𝑚) ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 1 Om formule 3.27 verder te kunnen herleiden, voor I gevonden worden. (3.28) Het 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + moet 𝐿𝐿𝐿𝐿 ) een + 𝑚𝑚𝑚𝑚uitdrukking 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + C 2 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 traagheidsmoment van een star lichaam dat roteert om een vaste as (h) wordt gegeven door de 1 (3.27) volgende𝑚𝑚𝑚𝑚 formule. 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐵𝐵𝐵𝐵 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐼𝐼𝐼𝐼ℎ = � 𝜌𝜌𝜌𝜌(𝑚𝑚𝑚𝑚) ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
2
(3.28)
𝑑𝑑𝑑𝑑
Waarin ρ(r) = massadichtheid in punt r d = radiusvector van een punt r van het lichaam tot het draaipunt h
Uit formule 3.28 kan worden geconcludeerd dat de grootte van het traagheidsmoment afhankelijk is van de massa van het object en de geometrie die de massaverdeling bepaalt. De exacte geometrie van de robotarm is nog niet bekend en daarom kan deze formule niet gebruikt worden voor de berekening van het traagheidsmoment. In plaats daarvan wordt een aantal aannames gedaan waarmee het traagheidsmoment kan worden uigedrukt in een massa en twee afmetingen die de geometrie beschrijven. De aanname is dat een schakel van de robotarm benaderd kan worden als massieve cilinder. Dat gecombineerd met de eerdere aanname dat de massa van de schakels homogeen is verdeeld, leidt tot de volgende formule voor het traagheidsmoment van een schakel om zijn massamiddelpunt G. 1
𝐼𝐼𝐼𝐼𝐺𝐺𝐺𝐺 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 + 4 2
𝐼𝐼𝐼𝐼𝐺𝐺𝐺𝐺 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 5
𝐼𝐼𝐼𝐼ℎ = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2
𝐼𝐼𝐼𝐼ℎ = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐺𝐺𝐺𝐺 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑 1
1
12
2
𝑚𝑚𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿2
2 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 4
1
12 1
12
(3.29)
(3.30)
(3.31) 1
12
1
2
2
1
2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 � 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 1
2
2
2
5
4
1
2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2
1
5
2
4
𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 2
(3.32) 72
Waarin m = massa van de schakel r = straal van cilinder L = lengte van de schakel
Naast het traagheidsmoment van de schakels van de robotarm, is er ook het traagheidsmoment van de gewrichten. Deze gewrichten worden benaderd als massieve bol waardoor de volgende formule kan worden gebruikt voor het berekenen van het traagheidsmoment een gewricht om een 1 1 2 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐺𝐺𝐺𝐺 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 + as 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿 (3.29) willekeurige door zijn zwaartepunt. 4 12 2
𝐼𝐼𝐼𝐼𝐺𝐺𝐺𝐺 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 5
𝐼𝐼𝐼𝐼ℎ = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 Waarin 2 𝐼𝐼𝐼𝐼ℎ ==massa 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐺𝐺𝐺𝐺 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑 m van het gewricht 2 r = straal van de bol 1 1 1 2 1 2 2 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 � 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 4 12 2 5 4
(3.30)
(3.31)
(3.32)
2 Ten slotte moet de 2invloed van1 de belasting (P) worden in de berekening 2 1 11 2 op punt F meegenomen 2 2 2 𝐿𝐿𝐿𝐿2 1 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐺𝐺𝐺𝐺 = 12𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 +𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 5 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 4 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + (3.29) 4 traagheidsmoment 12 van het om punt C. Gezien de aanname dat P een puntbelasting is, wordt het 2 2 1 2 traagheidsmoment volgende 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐺𝐺𝐺𝐺 = 1𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 (3.30) (𝐿𝐿𝐿𝐿de + )2 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚ten�𝐿𝐿𝐿𝐿gevolge + 𝐿𝐿𝐿𝐿 van + P𝐿𝐿𝐿𝐿gegeven � + 𝑚𝑚𝑚𝑚door 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 formule.
𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 1 1 2 1 1 (3.31) 2 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼ℎ𝐵𝐵𝐵𝐵 = = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 4 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 3 5 4 12 𝐼𝐼𝐼𝐼ℎ = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐺𝐺𝐺𝐺 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑 2 (3.32) 2 Waarin 1 2 1 1 2 2 2 2 (𝐿𝐿𝐿𝐿 ) 𝑚𝑚𝑚𝑚 �𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 1 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 van 12 gewicht 5 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 1 4 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 1 12 2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 m 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐵𝐵𝐵𝐵 ==massa 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 +het 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 � 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 4 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 12 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2 5 4 2 1 r = afstand van de puntmassa m tot de draaias h 2 𝑚𝑚𝑚𝑚 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � 1+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦2 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) (3.33) 1 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 1 2 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 121 2 5 4 1 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 iets + = 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 +zeggen 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 zal + 𝐿𝐿𝐿𝐿het Om te𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 kunnen over de𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷krachten in𝐿𝐿𝐿𝐿 de)gewrichten, van de 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) traagheidsmoment 2 2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 12 1 21 2 1 𝑚𝑚𝑚𝑚moeten 𝑚𝑚𝑚𝑚2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶berekend + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + om 𝐿𝐿𝐿𝐿 het � gewrichtspunt + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷1)van om het massazwaartepunt. schakels in + plaats 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + worden 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 1 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐺𝐺𝐺𝐺 = 12𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿 (3.29) 2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 4 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿 12 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐵𝐵𝐵𝐵 � 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + Daarbij wordt er gebruik gemaakt van de stelling van Steiner die stelt dat het traagheidsmoment 2 4 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚1𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 (h) 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 parallel 1as 1 𝐶𝐶𝐶𝐶 massazwaartepunt 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐵𝐵𝐵𝐵𝐺𝐺𝐺𝐺 = =een (3.30) 4 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 3 om de5𝑚𝑚𝑚𝑚as 𝐿𝐿𝐿𝐿door 2 2 4 5 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶aan 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶2 + + het 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷12+wordt gegeven door de volgende 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 3 5 4 12 2 formule.2 1 2 1 1 𝐼𝐼𝐼𝐼ℎ = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 (3.31) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿1𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 + 1𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 2 5 2 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 2 4 1 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷2 12 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 52 4 12 𝐼𝐼𝐼𝐼ℎ = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐺𝐺𝐺𝐺 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑 (3.32) 1 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿1𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + (3.33) 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) 2 2 2 1 𝑚𝑚𝑚𝑚 1 1 2 1 2 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) �2 2 + � +�𝑚𝑚𝑚𝑚 (3.34) 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚�𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿22 𝐿𝐿𝐿𝐿+ Waarin 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 � +15 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 4 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 4 1 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 12 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 2 I∑G =𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥traagheidsmoment om het1 massazwaartepunt G =1 2𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 (3.35) 2 2 1 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷van 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 de + 𝑚𝑚𝑚𝑚 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶1+ 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷2𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 1 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 m = massa schakel 12 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿 2 �+ 5 4 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐵𝐵𝐵𝐵 � 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = − 𝑚𝑚𝑚𝑚1𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 −𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶−+𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝑔𝑔𝑔𝑔+− 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 1 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 4 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2 punt h2 tot punt G 2 d𝐼𝐼𝐼𝐼𝐺𝐺𝐺𝐺==radiusvector van 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 +2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿 (3.29) 1 1 4 1𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 12 2 �𝐿𝐿𝐿𝐿 2 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 2+ 𝐿𝐿𝐿𝐿1 � +2𝑚𝑚𝑚𝑚 (𝐿𝐿𝐿𝐿 1 )2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 ) +𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 +𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿+ 2 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚+𝑚𝑚𝑚𝑚 +𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 � 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑚𝑚𝑚𝑚 ++ 𝑚𝑚𝑚𝑚 (3.36) 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 12 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 2 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2 3 2 5 4 12 𝐼𝐼𝐼𝐼Het = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 (3.30) 𝐺𝐺𝐺𝐺 traagheidsmoment 1 2 1 1 1 uit 2 1 1 2van 2 2 meerdere een robotarm, bestaande schakels, om punt h is gelijk 2 +𝑚𝑚𝑚𝑚 ∑ 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑀𝑀𝑀𝑀 =𝐶𝐶𝐶𝐶5= 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑚𝑚1 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 +𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 − +𝑚𝑚𝑚𝑚3 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 −𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 )+ 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶2 + 1− 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 1++ 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷2) = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 4 𝑚𝑚𝑚𝑚2 5 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 4 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 12 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 2 + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2) 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐿𝐿𝐿𝐿 �𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐿𝐿𝐿𝐿 � + + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 aan van de afzonderlijke schakels 5 4 12 om punt h. Dit gegeven (3.31) 𝐼𝐼𝐼𝐼ℎ =de 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚som van de 2traagheidsmomenten 2 1 1 1 2 1 1 2𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔 2 volgende 2𝐼𝐼𝐼𝐼 𝛼𝛼𝛼𝛼 2 leidt 𝑀𝑀𝑀𝑀 =𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿en ++ 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿3.32 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 2𝑚𝑚𝑚𝑚3.29 gecombineerd met tot tot voor IC (3.37) + �formules 𝑚𝑚𝑚𝑚 + + + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚de 𝑚𝑚𝑚𝑚 ) +𝐿𝐿𝐿𝐿uitdrukking 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿de 𝐷𝐷𝐷𝐷+ 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷)� + 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷++ 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶 +𝐶𝐶𝐶𝐶 2𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 1 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶met 2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐼𝐼𝐼𝐼ℎ =𝐶𝐶𝐶𝐶𝐼𝐼𝐼𝐼𝑚𝑚𝑚𝑚 +2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑 (3.32) 2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 5 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 4 2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 12 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐺𝐺𝐺𝐺𝑚𝑚𝑚𝑚 (3.34) 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) � 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2+ 𝑚𝑚𝑚𝑚2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 1 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 = 1𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷�𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚22 + 𝐿𝐿𝐿𝐿122𝐿𝐿𝐿𝐿 +�2𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷2𝐿𝐿𝐿𝐿+ + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 +2 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷1 +(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿 + 31𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚 (3.33) 4 𝑚𝑚𝑚𝑚 12 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐹𝐹𝐹𝐹= 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷+ 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 +5𝑚𝑚𝑚𝑚+ �𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚4+𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + )𝑚𝑚𝑚𝑚2 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚 + ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹 =𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 0+ (3.35) 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 4 𝑥𝑥𝑥𝑥𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 12 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2 5 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 4 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2 1 1𝐹𝐹𝐹𝐹 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 (𝐿𝐿𝐿𝐿 1 2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ∑𝑀𝑀𝑀𝑀𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 == − 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔 = )2 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 +𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚+ + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 (3.38) 1 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 1 2 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦+𝑔𝑔𝑔𝑔)𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 2𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 )1 + 2 𝐶𝐶𝐶𝐶+ 2 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝐿𝐿𝐿𝐿𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷� +2+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 +𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 +𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚 2𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 4 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 12 2 5 1 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 ) (3.36) 𝐹𝐹𝐹𝐹 =1𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 +1𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2+ 𝐿𝐿𝐿𝐿 ) +2 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶𝑦𝑦𝑦𝑦 =1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝑔𝑔𝑔𝑔𝐶𝐶𝐶𝐶𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 ) +𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐵𝐵𝐵𝐵+� 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚 +𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿+𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚 � 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 +𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿�𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷++𝑚𝑚𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 1 �𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 2 2𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿2�𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2 2 4 1 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝐿𝐿𝐿𝐿1𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶12=1 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐶𝐶𝐶𝐶 1−𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷2 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷2 2−1𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2+1 𝐿𝐿𝐿𝐿1𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 1 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐶𝐶𝐶𝐶 2+ 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 22 𝑚𝑚𝑚𝑚 22 + 1 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 2 2 𝐿𝐿𝐿𝐿 � 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 2𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 1 1 2 1 1 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2 2 2 2 2 4 3 5 4 𝐿𝐿𝐿𝐿 4 12 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑚𝑚𝑚𝑚3 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷12 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚5𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 5 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 +1 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶4 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿3𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷22𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 4𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 12 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐶𝐶𝐶𝐶 (3.37) 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2� + (𝐿𝐿𝐿𝐿 ) + 𝐿𝐿𝐿𝐿 � (3.39) (𝐿𝐿𝐿𝐿 ) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 1 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 1 1 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 2 2 52 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 + 4 1 2 + 2 12 1 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 1 𝐿𝐿𝐿𝐿 �𝐿𝐿𝐿𝐿2 ++ 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 + 𝐿𝐿𝐿𝐿1𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) +2 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚 2 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿 12 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷4 +𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 5 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 4 𝐹𝐹𝐹𝐹 = 0 3 5 2 4 12 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = (3.40) 1 2 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥𝑥𝑥𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + (3.34) 21 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷2) � 1 (𝐿𝐿𝐿𝐿 ) 𝑚𝑚𝑚𝑚 �𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 (3.33) 2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � 2𝑔𝑔𝑔𝑔+−𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦(𝐿𝐿𝐿𝐿𝑔𝑔𝑔𝑔𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷= + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) (3.38) ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 �𝐿𝐿𝐿𝐿 − 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷+ 𝑔𝑔𝑔𝑔 2−𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 73 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 =1𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 (3.35) 1 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚 +𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 1𝐿𝐿𝐿𝐿+𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚)𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦+)𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + =1𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 +𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝑚𝑚+ +𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝑚𝑚 �+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑚𝑚𝑚𝑚 (3.41) 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚 ∑𝑀𝑀𝑀𝑀𝐹𝐹𝐹𝐹𝐶𝐶𝐶𝐶𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 = =22𝐹𝐹𝐹𝐹𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔 −+𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔 − − 𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑚𝑚𝑚𝑚�𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑔𝑔𝑔𝑔 −+𝑚𝑚𝑚𝑚 2 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 1 1 1 2 ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷 =𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷1 + − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐷𝐷𝐷𝐷2𝛼𝛼𝛼𝛼𝐷𝐷𝐷𝐷𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 +1𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) +2 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐵𝐵𝐵𝐵 �1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 1− 𝑚𝑚𝑚𝑚 2𝑚𝑚𝑚𝑚= �+ 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 2 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷2+ 𝐿𝐿𝐿𝐿+𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚 + + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 +4𝑚𝑚𝑚𝑚 +2𝑚𝑚𝑚𝑚+ ) (3.36) 𝐹𝐹𝐹𝐹 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 �𝐿𝐿𝐿𝐿 2 𝑚𝑚𝑚𝑚 5 12
𝐼𝐼𝐼𝐼ℎ 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐺𝐺𝐺𝐺 𝐼𝐼𝐼𝐼ℎ 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐺𝐺𝐺𝐺 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐼𝐼𝐼𝐼ℎ
2 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 1 1 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿2 4 212 = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐺𝐺𝐺𝐺 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑 2 = 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 2 1 1 2 1 5 2 2 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 � 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 4 2 12 2 5 4 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝐼𝐼𝐼𝐼ℎ =
1 2 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐼𝐼𝐼𝐼12𝐺𝐺𝐺𝐺 𝑚𝑚𝑚𝑚 +𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑 1
2
1
+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 2
1
1
2
𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 5 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 22
2
+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷
)2 1
+
1
𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 4 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷
2 2 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐵𝐵𝐵𝐵 = 1𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 � 1𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷�� ++ 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚(𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚)2 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 + 𝐿𝐿𝐿𝐿22𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷++12𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶�𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 +𝐶𝐶𝐶𝐶𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 4 2 5 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 4 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 12
1
1
2
2
2
1
1
(3.31) (3.29) (3.32) (3.30)
+
(3.31)
(3.32)
1 2 21 2 𝑚𝑚𝑚𝑚 (𝐿𝐿𝐿𝐿 2 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐵𝐵𝐵𝐵 = 1𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶++ 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶2�+ + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶++ 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 +𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 𝐿𝐿𝐿𝐿+𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷++3 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 4 5 𝐿𝐿𝐿𝐿 4 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 12 12
2
2
5
4
2 1 1 2 2 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 +1𝑚𝑚𝑚𝑚 (𝐿𝐿𝐿𝐿 2 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿2 + )2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶+ +𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 5+ 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 +2𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶++𝑚𝑚𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿+ 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )12 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 4 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 12 2 1 1 22 1 1 1 2 2 2 22 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + � 𝑚𝑚𝑚𝑚+𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 +(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 1 𝑚𝑚𝑚𝑚 1+ ) + 12 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + +3𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶�𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿+ 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝐿𝐿𝐿𝐿+ 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶+ 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷4 + 4 5 2 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐺𝐺𝐺𝐺 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿 4 12 2 1 1 1 1 2 𝑚𝑚𝑚𝑚2�𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 =𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐿𝐿𝐿𝐿2 + 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶�𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿+𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶2 𝑚𝑚𝑚𝑚 +𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 )+ 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷1) 𝑚𝑚𝑚𝑚 (𝐿𝐿𝐿𝐿+ )2 𝑚𝑚𝑚𝑚 + +𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷+𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 +𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝑚𝑚 2+ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶2+ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐼𝐼𝐼𝐼Wanneer = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 2 5voor 4 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 12 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 dat in de 𝐺𝐺𝐺𝐺 deze uitdrukking I wordt ingevuld in formule 3.27 resulteert 5 C 1 1 2 1 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐺𝐺𝐺𝐺 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿2 momentkracht 2 2 + uitdrukking in𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦punt C. + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐵𝐵𝐵𝐵 �1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 �𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷1 + �𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷+� 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 4 𝑚𝑚𝑚𝑚 12 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶de 𝐼𝐼𝐼𝐼ℎ = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔voor 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 4 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) 2 2 2 1 2 1 1 = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐺𝐺𝐺𝐺𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐺𝐺𝐺𝐺ℎ = 1+𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑𝐿𝐿𝐿𝐿2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 12 + 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ++ 𝐿𝐿𝐿𝐿 ) + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 +5𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿4 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 =5 3𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 )12 +𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2 2 22 1 2 1 1 1 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼ℎ = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 22 2 2 2 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 � 𝐿𝐿𝐿𝐿 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 1 2 1 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 1 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 22 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 2 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 24 1 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷1𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2+ 2 4 𝑚𝑚𝑚𝑚 12 5+ (𝐿𝐿𝐿𝐿 ) �𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿+𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + ) 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 � 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵 4 12 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 4 𝐼𝐼𝐼𝐼ℎ = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐺𝐺𝐺𝐺 +𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2 5𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 1 12 2 1 2 2 2 2 1𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿21 1 2𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚2𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 1 𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶22+ 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + + 2 +1 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 � 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶++ 1 1+ (𝐿𝐿𝐿𝐿 2 𝐿𝐿𝐿𝐿 + + 12𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿+ 5 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 4 2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 ) �𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 + � 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 � 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿 2 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 + 1 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑚𝑚𝑚𝑚3 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 5 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 4 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚12 2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 � 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 4 12 2 4 2 5 1 1 2 2 2 1𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 1𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 (𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹 = 0 2 2 2 2 2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) 1 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑥𝑥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿 1 𝑚𝑚𝑚𝑚 + + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 )(𝐿𝐿𝐿𝐿+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 12 2 𝑚𝑚𝑚𝑚2 (𝐿𝐿𝐿𝐿 2 + 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷2𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶+ ) 4 12 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 +5 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷� + 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 12 2 5 4 1 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔1− 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷2𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 1 ∑ 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿− 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦1𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 2 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 2 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐹𝐹𝐹𝐹= 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶1 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 4 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 12 41 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 �𝐿𝐿𝐿𝐿 3 𝐿𝐿𝐿𝐿 5 � 𝐶𝐶𝐶𝐶+𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝑚𝑚1 (𝐿𝐿𝐿𝐿 ) + + 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 � 2 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿 2 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐿𝐿𝐿𝐿+ )2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 ) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷��𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 +𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 +𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿+ ++ 𝑚𝑚𝑚𝑚1𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + +𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 2 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 12 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 2 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 2 1 1 2 2 2 (𝐿𝐿𝐿𝐿 ) 𝑚𝑚𝑚𝑚 �𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿2 + 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 0 1 12 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2 5 2 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 2 1 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 1𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 1 2 4 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 1 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 12 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 2 ∑ 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑀𝑀𝑀𝑀 =𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2 3 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷++ 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 4 5 𝐷𝐷𝐷𝐷 4 12 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷1𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚2𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷1 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿1 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷2 � +Fy𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 1 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )1 1 2 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 2 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑚𝑚=𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 𝛼𝛼𝛼𝛼+𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 2𝑚𝑚𝑚𝑚+ 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐷𝐷𝐷𝐷�𝐿𝐿𝐿𝐿 ++ 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 (𝐿𝐿𝐿𝐿 )�2 + 𝐷𝐷𝐷𝐷+ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷++ 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 +𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿+ �𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚 )++𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑚𝑚𝑚𝑚 2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 + + + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 � + 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦𝐶𝐶𝐶𝐶= 2 5 12𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚4𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 ) 1 1 E + 𝐿𝐿𝐿𝐿 )F+ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 =1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶2𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶1+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 F 2 1 1 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2 2 2 2 2 2 x𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 1 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑀𝑀𝑀𝑀 = =𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 1+𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 +𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ++ 𝐿𝐿𝐿𝐿 ) = 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿 4+ D1𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿− ∑ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 (𝐿𝐿𝐿𝐿 )2 )+−12𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 4 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀 �𝐿𝐿𝐿𝐿 �5 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 +𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦− 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 +𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2+ 3𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 +𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 1 𝐷𝐷𝐷𝐷 1 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 𝑚𝑚𝑚𝑚g𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿g𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐵𝐵𝐵𝐵 � 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶1 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷2 + M𝐿𝐿𝐿𝐿D𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + m m 2 4 1 1 �𝐿𝐿𝐿𝐿 D+ 𝐿𝐿𝐿𝐿 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 1+𝐿𝐿𝐿𝐿1𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿)𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷+� 𝑚𝑚𝑚𝑚 + +𝐿𝐿𝐿𝐿+ +𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷+ 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦+ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔1�𝐿𝐿𝐿𝐿 +𝐷𝐷𝐷𝐷E𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐿𝐿𝐿𝐿) 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 + ) + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐶𝐶𝐶𝐶 =𝑚𝑚𝑚𝑚=𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚�𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 2 2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 1 21 2 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷2 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 22 2 2 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 4 1 1 g12 1 13 1 1 2 2𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 1 +5 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 2 m 2 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 2 ) P+ 𝐿𝐿𝐿𝐿DE 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚 � 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ++𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 + 1𝐿𝐿𝐿𝐿2𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚 +𝐿𝐿𝐿𝐿+𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚+2𝑔𝑔𝑔𝑔𝑚𝑚𝑚𝑚 +�𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + +)m 𝑚𝑚𝑚𝑚 + +EF 𝛼𝛼𝛼𝛼g𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 �𝐿𝐿𝐿𝐿+ + 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿2 + � 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶== 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿+ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵 �𝐿𝐿𝐿𝐿4𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 +𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 2 25𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 4 2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 3 1 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 4 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 12 1 1 y 2 2 2 2 (𝐿𝐿𝐿𝐿 ) 𝑚𝑚𝑚𝑚 �𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 1 2 1 222 1 2 1 42 2 1 12 2 2 1 52 2 2 1 2 2 2 21 � 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐶𝐶𝐶𝐶�𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐿𝐿𝐿𝐿 ) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 4 3 5 4 12 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 3 12 2 5 2 Figuur 3.12: Vrije4 lichaam structuur losgekoppeld in punt D. 1 𝑚𝑚𝑚𝑚 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 +1 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )21 � 1 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 222 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 1 1 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 2 2 2 (𝐿𝐿𝐿𝐿 ) 𝑚𝑚𝑚𝑚 �𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 � (𝐿𝐿𝐿𝐿+𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿+𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿�𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷+) 𝑚𝑚𝑚𝑚+𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 + +𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 +𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔+�𝐿𝐿𝐿𝐿 ++ 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷12) 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 5 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 4 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 2 10 1 1 2 1 1 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 2 2 2 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 + ��𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + +𝑔𝑔𝑔𝑔𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿2�𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝑔𝑔𝑔𝑔+ + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷2 − ++ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷++𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷(𝐿𝐿𝐿𝐿 +𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚 � 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 12 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 =𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷− 𝑚𝑚𝑚𝑚 4𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 4 ) 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷3 2−𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 −5𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 1
1
2
∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔2 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 1 2 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 +𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 +𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚+ � 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + )𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑥𝑥𝑥𝑥𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷=�𝐿𝐿𝐿𝐿 +𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿+ � 𝐷𝐷𝐷𝐷 + � 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 ) 𝐶𝐶𝐶𝐶0𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐿𝐿𝐿𝐿 2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 ) ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶1 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 =1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝐶𝐶𝐶𝐶==𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥𝑀𝑀𝑀𝑀= 0 12 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 − ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑥𝑥𝑥𝑥𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝐷𝐷𝐷𝐷 − 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐷𝐷𝐷𝐷 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 ) 1 − 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝑚𝑚+𝑔𝑔𝑔𝑔 1 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐶𝐶𝐶𝐶==𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦1 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐶𝐶𝐶𝐶 2 1 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐷𝐷𝐷𝐷 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐷𝐷𝐷𝐷 1 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷 = = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀 −�𝑚𝑚𝑚𝑚+𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿+𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 ) −1𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐶𝐶𝐶𝐶 2 𝐶𝐶𝐶𝐶 −+ 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦𝐶𝐶𝐶𝐶= 1 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 1 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦2) 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 2 2 1 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 2 2 𝐷𝐷𝐷𝐷 2 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 = 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 2+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 4 𝑚𝑚𝑚𝑚 1 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 1+ 13𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 5 12 1 4 door de volgende Het om formule. 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐷𝐷𝐷𝐷 =traagheidsmoment +punt 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿D𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷wordt gegeven 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝐶𝐶𝐶𝐶4= 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿 − 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚3𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐷𝐷𝐷𝐷 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦+ 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷= 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐶𝐶𝐶𝐶 2 2 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 1 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 𝑚𝑚𝑚𝑚 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 1 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 1 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷1 2 1 1 2 2 2 2 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐼𝐼𝐼𝐼 2𝛼𝛼𝛼𝛼+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑀𝑀𝑀𝑀 =𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 4 1 2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 3 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 5 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 12 1 4 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶 =1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷1 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷2𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔2 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 2 2 2 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 ++ 1𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 � 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷++𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 4 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷�𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 32 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 1 1 2 1 1 2 2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐶𝐶𝐶𝐶 � 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 4 3 5 4 12 1 1 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 2 2 2 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷1� + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 � 1 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2 1 1 22 2 2 2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐶𝐶𝐶𝐶 � 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 4 3 5 4 12 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 1
2
(𝐿𝐿𝐿𝐿=𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷�𝑔𝑔𝑔𝑔 − +𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 � ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 =𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦𝑔𝑔𝑔𝑔 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷−�𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 −2𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷
(3.33) (3.29)
volgende(3.30) (3.29) (3.31) (3.33) (3.30) (3.32) (3.31)
(3.32)
(3.34)
(3.35)
(3.34) (3.36) (3.35) (3.33) (3.37) (3.36) (3.33)
(3.38) (3.37) (3.38) (3.34) (3.39) (3.35) (3.40) (3.34)
(3.35) (3.36) (3.39) (3.41) (3.40) (3.36) (3.37) (3.42) (3.41) (3.43) (3.37) (3.38) (3.42)
(3.43) (3.38)
(3.39)
(3.40)
(3.39)
∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐷𝐷𝐷𝐷0+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 )
(3.40) (3.41)
𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 1 𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 ) 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐷𝐷𝐷𝐷 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐷𝐷𝐷𝐷 2 1 ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷 1= 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑚𝑚𝑚𝑚1𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐷𝐷𝐷𝐷 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐷𝐷𝐷𝐷 2 2 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2
(3.41) (3.42)
∑ 𝑚𝑚𝑚𝑚1𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑦𝑦𝑦𝑦 − − ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑦𝑦𝑦𝑦𝐷𝐷𝐷𝐷==𝐹𝐹𝐹𝐹𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑚𝑚− 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐷𝐷𝐷𝐷 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐷𝐷𝐷𝐷 2
4
1
3
74
(3.43)
1
2
1
1
2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 2𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿1𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 1 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 �𝐿𝐿𝐿𝐿 =𝑚𝑚𝑚𝑚 2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 0 ++12𝑚𝑚𝑚𝑚 (3.35) 5 2 2 2 24 212 𝑥𝑥𝑥𝑥 =𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐹𝐹𝐹𝐹= 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 4 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 3 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 5 2 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 4 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 12 1 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 2 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 �𝐿𝐿𝐿𝐿 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶+𝑔𝑔𝑔𝑔 𝐿𝐿𝐿𝐿− 𝑚𝑚𝑚𝑚+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷2𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿− 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 (3.33) 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 1 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )1 1 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 � 2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 5 𝑚𝑚𝑚𝑚 12 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 � + 1𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚4𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 (3.36) 𝐹𝐹𝐹𝐹 =1𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 ) 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 +2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 )𝐶𝐶𝐶𝐶+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 2 2 1 1 𝐿𝐿𝐿𝐿 +𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿− � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿1𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 (3.33) 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝑚𝑚=𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀�𝐿𝐿𝐿𝐿 ) 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐶𝐶𝐶𝐶 − 2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 1𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 1 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐶𝐶𝐶𝐶 2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐵𝐵𝐵𝐵 � 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2 4 1 1 1 1 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 == 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐿𝐿𝐿𝐿+ 𝐿𝐿𝐿𝐿) + ) + 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + +𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐿𝐿𝐿𝐿) +� 𝑚𝑚𝑚𝑚 +𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚 (3.37) 21 2 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷2 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2 2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 1 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2 2 2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷1 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 3 5 4 12 1 2 1 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔2 �𝐿𝐿𝐿𝐿 1 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 2 + 1 𝐿𝐿𝐿𝐿2 � +2 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 +1𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚 + 2𝐿𝐿𝐿𝐿 +) 1+𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 +𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶+ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵 �𝐿𝐿𝐿𝐿42𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 +𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 25𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 4 3 4 12 1 1 1 2 volgende uitdrukking 2 2 wordt de Wanneer formule+3.38 formule 3.37 voor de 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 wordt � + ingevuld 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 + 1𝑚𝑚𝑚𝑚in𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶2 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 1 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 1 ) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 12 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 22 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷2 2 5 𝐷𝐷𝐷𝐷2 𝐷𝐷𝐷𝐷 1punt 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶in+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶D 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶verkregen. + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿42𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + momentkracht 𝐶𝐶𝐶𝐶 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 4𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) 3 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿5𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 2 12 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 (3.38) 2 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿1 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷2 � + 2𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )21 � (3.34) 1 2 1 � 2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔+�𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐿𝐿𝐿𝐿+𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶1 𝐿𝐿𝐿𝐿+ 𝐿𝐿𝐿𝐿�𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷+) 𝑚𝑚𝑚𝑚+ 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + ) 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿2 + 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 12 +𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 5+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦4 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 2 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 (3.35) 2 1 1 1 2 1 2𝐿𝐿𝐿𝐿 2 2 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 2 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 1 )2 � 2 2 (𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚 �𝐿𝐿𝐿𝐿 + + 𝐿𝐿𝐿𝐿 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚 (3.34) 𝛼𝛼𝛼𝛼 � 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷− 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐷𝐷𝐷𝐷𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷= 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑦𝑦𝑦𝑦
𝑦𝑦𝑦𝑦
4
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷3 2
𝐶𝐶𝐶𝐶
𝐷𝐷𝐷𝐷
5 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦
4
12
∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝐹𝐹𝐹𝐹 1 + 𝑚𝑚𝑚𝑚2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐶𝐶𝐶𝐶0 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 =𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 = 2 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 ) 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) � ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶1 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 =1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 ∑ 𝐶𝐶𝐶𝐶 − ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥𝐶𝐶𝐶𝐶==𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥𝑀𝑀𝑀𝑀= 0 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 ) 1 1 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹 −𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐶𝐶𝐶𝐶==𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 +𝑔𝑔𝑔𝑔𝑚𝑚𝑚𝑚=𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷F𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷 2 2 1 1 ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 −y 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐶𝐶𝐶𝐶 2 𝑚𝑚𝑚𝑚 1 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 1 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑚𝑚𝑚𝑚 1 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦2) 2 1 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 2 + 2 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � + 2 𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 F 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 4 1 3 5 12 F 14 x 1 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶 = = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷− 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷= 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐶𝐶𝐶𝐶 E 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦+𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐷𝐷𝐷𝐷 𝛼𝛼𝛼𝛼 2 𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 2 1𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐿𝐿𝐿𝐿 )2 𝑚𝑚𝑚𝑚 �𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 M 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 1 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷1 1 2 1 2 2 m𝐷𝐷𝐷𝐷E𝐿𝐿𝐿𝐿g2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑀𝑀𝑀𝑀 = = 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝑚𝑚𝑚𝑚+𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚+𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐼𝐼𝐼𝐼E𝐷𝐷𝐷𝐷2𝛼𝛼𝛼𝛼+ 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 3 5 4 12 𝐷𝐷𝐷𝐷 4 2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 1 1 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶 =1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷11+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷2𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 2 2 2 2 2 2 mEF g (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐿𝐿𝐿𝐿 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷++𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷++ 2𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) Py 4 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 3 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝛼𝛼𝛼𝛼 � 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 1 𝐶𝐶𝐶𝐶 4 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 1 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 3 5 4 12 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 2
1
2 structuur losgekoppeld in punt E. 2 Figuur 3.13: Vrije lichaam
2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿 1 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 +22 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷1� + 𝑚𝑚𝑚𝑚2𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) � 1 1 2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐶𝐶𝐶𝐶 � 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 4 3 5 4 12 ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 2 1 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 � ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 =𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷−�𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 −2𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼
∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐷𝐷𝐷𝐷0+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 ) = 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 = ∑ 𝐹𝐹𝐹𝐹 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 − 𝑚𝑚𝑚𝑚1𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼𝛼𝛼 ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑦𝑦𝑦𝑦𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝐷𝐷𝐷𝐷 − 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐷𝐷𝐷𝐷 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 ) 1 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐷𝐷𝐷𝐷 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐷𝐷𝐷𝐷 2 1 ∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐷𝐷𝐷𝐷 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐷𝐷𝐷𝐷 1 2 2 1 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 4 1 3 Het traagheidsmoment om punt E wordt gegeven door de volgende formule. 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐷𝐷𝐷𝐷 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐷𝐷𝐷𝐷 2
1
1
2 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 4
3
Wanneer formule 3.43 wordt ingevuld in formule 3.42 wordt de volgende uitdrukking voor de momentkracht in punt E verkregen. 1
1
1
2 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐷𝐷𝐷𝐷 � 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 � 1
2
4
𝐼𝐼𝐼𝐼 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 2
3
(3.35) (3.36) (3.39) (3.40) (3.36) (3.37) (3.41)
(3.37) (3.38) (3.42) (3.38) (3.43)
(3.39)
(3.40) (3.39)
(3.40) (3.41) (3.41) (3.42) (3.43) (3.42)
(3.43)
(3.44)
(3.45)
∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐴𝐴𝐴𝐴
Gewricht 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧B𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐴𝐴𝐴𝐴
(3.46) Net als berekening van de statica de 2benodigde koppelkracht in gewricht B apart 1 bij de 2 1 1 wordt 1 2 2 2 2 2 2 2 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + berekend voor de5 dynamische situatie. dezelfde configuratie (figuur 3.14) 2 4 3 Daarbij wordt 5 4 2 In2 tegenstelling tot de statica 1 beschouwd onder dezelfde aannames. berekening wordt hier 1 1 2 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 12 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2 5 verband met het massatraagheidsmoment 4 wel rekening gehouden met schakel BC in ten 2 1 1 gevolge 𝑚𝑚𝑚𝑚 van 𝐿𝐿𝐿𝐿deze schakel. Deze kan berekend worden aan de hand van formule 3.45 voor het (3.47) 2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 12 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 massatraagheidsmoment van een massieve cilinder die om zijn eigen as roteert. 1 2 1 1 2 2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐴𝐴𝐴𝐴 � 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 2 5 4 3 2 5
75
1
2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 4
1
2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 4
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )2
1
12
1
12
1
2
2
𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷2 + 2
1
5
2
𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 2
𝑀𝑀𝑀𝑀ℎ � 𝑞𝑞𝑞𝑞 𝜂𝜂𝜂𝜂
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑈𝑈𝑈𝑈 = �
(3.48)
(3.49)
F
x
P E
M
z
D
B
Fz
MA Fx
Figuur 3.14: Vrije lichaam structuur losgekoppeld in punt B.
1
1
1
2 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐷𝐷𝐷𝐷 � 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 � 1
2
4
𝐼𝐼𝐼𝐼 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 2
∑ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐴𝐴𝐴𝐴 Waarin 𝑀𝑀𝑀𝑀massa 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿de + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶schakel m= van 1 2 1 2 r𝐼𝐼𝐼𝐼 = = straal 𝑚𝑚𝑚𝑚 van 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 de + cilinder 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐴𝐴 2 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 5 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵 4
(3.44)
3
1
2
(3.45) (3.46)
1
2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 3
2
5
4
1 1 2 1 2 Formule gecombineerd met 3.32 resulteert )2 2+ 𝑚𝑚𝑚𝑚3.45𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 de�formules + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚3.29 + 𝑚𝑚𝑚𝑚tot(𝐿𝐿𝐿𝐿en met + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 in + de volgende 121 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 2 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷�1 𝑚𝑚𝑚𝑚 5𝑚𝑚𝑚𝑚 2 𝐷𝐷𝐷𝐷 +𝐷𝐷𝐷𝐷 1 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿2 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 4 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑀𝑀𝑀𝑀 = + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 + + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 � (3.44) 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 uitdrukking voor de momentkracht 4in gewricht 2 3 B die gelijk staat aan de koppelkracht die in dit 2 1 1 2 2 1 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 (3.47) gewricht moet 2geleverd 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿worden. 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) 12 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐼𝐼𝐼𝐼 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 (3.45) 1 1 2 2 1 2 2 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐷𝐷𝐷𝐷 � 𝑚𝑚𝑚𝑚1𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 � 1 (3.44) 1 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 2 4 2 3 ) ++ 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶++𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵𝛼𝛼𝛼𝛼𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + ∑𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧+𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴== 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 �) = 2 5 4 3 1 𝐼𝐼𝐼𝐼 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 (3.45) 2 ) 𝑀𝑀𝑀𝑀2𝐴𝐴𝐴𝐴 =2𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 (3.46) 1 2 2 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 +1𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 +2𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐴𝐴𝐴𝐴 1 2 2 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 �𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 1 5 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 1𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 1 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 4𝐿𝐿𝐿𝐿 + 12𝐼𝐼𝐼𝐼𝑚𝑚𝑚𝑚 2𝛼𝛼𝛼𝛼𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2 2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 5 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 1 2 1 1 2 1 ∑𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 ) = = 𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 + + 𝐿𝐿𝐿𝐿 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝛼𝛼𝛼𝛼 � 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 � (3.44) 2 2𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷2𝐴𝐴𝐴𝐴 2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 3 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 +𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 +4 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐷𝐷𝐷𝐷=𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 4formule. 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 2 2 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 5 3 1 gegeven5 door Het traagheidsmoment om41 punt B2 wordt de volgende 1 2 2 1 ) 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴+𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 =𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐿𝐿𝐿𝐿)𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷++ 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚+ (3.46) (𝐿𝐿𝐿𝐿𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 �𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 � + 2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 122 𝐼𝐼𝐼𝐼 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 (3.45) 4 1 12 2 2 2 2 11 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿2 + + 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷2 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 1 + 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 � 1+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷2𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 +2𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷2) + 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2 2 22𝑚𝑚𝑚𝑚 + +𝑚𝑚𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚 ++𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚)𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚5 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 4 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐼𝐼𝐼𝐼 = 12𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 (3.48) 5 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 +4𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 5 4 ∑𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 2= 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴2𝛼𝛼𝛼𝛼𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 (𝐿𝐿𝐿𝐿 −𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 +𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )3 = 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 1 1 2 2 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿 2� + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝑀𝑀𝑀𝑀 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 ) 1 (3.47) ℎ + 𝐿𝐿𝐿𝐿 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 12 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧𝐿𝐿𝐿𝐿𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 +𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿 �𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿+𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿1)𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 (3.46) (3.49) =𝑚𝑚𝑚𝑚�𝐷𝐷𝐷𝐷𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 (𝐿𝐿𝐿𝐿� 𝑞𝑞𝑞𝑞 +𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 )2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿+ 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴�2𝛼𝛼𝛼𝛼𝐴𝐴𝐴𝐴+𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑇𝑇𝑇𝑇𝐷𝐷𝐷𝐷2𝑈𝑈𝑈𝑈+ + 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 12 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 5 4 𝜂𝜂𝜂𝜂 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 1 1 2 1 11 22 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2𝐿𝐿𝐿𝐿2𝑚𝑚𝑚𝑚 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐴𝐴𝐴𝐴+�1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶2𝐵𝐵𝐵𝐵2++𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵2 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚)𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶+𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + +𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 5+ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴== 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵+ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵2 + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿+ 2 5 4 21 𝑚𝑚𝑚𝑚 4 3 5 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )24 3 (3.47) 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 12 2 1 2 1 2 2 12 1 2 1 1 22 22 2 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 +𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �+ + + 𝑚𝑚𝑚𝑚 +𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ++𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶�𝐿𝐿𝐿𝐿+𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚 �𝐿𝐿𝐿𝐿 +)2𝐿𝐿𝐿𝐿2+𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷4�𝑚𝑚𝑚𝑚1𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷+ 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 + 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2+𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚 1𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 2 12 2 5 5 4 12 2 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐴𝐴𝐴𝐴 � 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚5𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 4 de volgende 3 Wanneer formule 3.47 wordt ingevuld2in formule 53.46 wordt uitdrukking 2 1 1 1 2 1 2 in punt2B verkregen. 2 12 2 2 momentkracht (𝐿𝐿𝐿𝐿 ) (𝐿𝐿𝐿𝐿 ) 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚 �𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 �𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 � 2 𝐷𝐷𝐷𝐷 1 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 1 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 1 2 + 2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2 2 2 2 12 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 44 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 12 5 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 12 2 5 2 1 (𝐿𝐿𝐿𝐿 ) + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝛼𝛼𝛼𝛼 � 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 + 2 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 + 1 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 + 1 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 𝐿𝐿𝐿𝐿2 + + + 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 1 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 1𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 1 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 2 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 +5 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶4 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿3𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 4 12 2 ℎ 2 2 1 1 1 2 𝑇𝑇𝑇𝑇 = � � 𝑞𝑞𝑞𝑞 2 2 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶++𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑈𝑈𝑈𝑈2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝜂𝜂𝜂𝜂 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 5 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 5 4 ) 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 12 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧𝐶𝐶𝐶𝐶(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 1
2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 4
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃𝑧𝑧𝑧𝑧 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )2
1
12
2 𝑀𝑀𝑀𝑀ℎ 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑇𝑇𝑇𝑇2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ��𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑞𝑞𝑞𝑞 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑈𝑈𝑈𝑈 = 𝜂𝜂𝜂𝜂
𝑀𝑀𝑀𝑀ℎ � 𝑞𝑞𝑞𝑞 𝜂𝜂𝜂𝜂
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑈𝑈𝑈𝑈 = �
voor de
(3.47)
(3.48)
(3.49) (3.48) (3.49)
(3.48)
(3.49) 76
Bijlage C Invoerparameters rekenkundig model
Tabel 3.3: Invoerparameters rekenkundig model.
symbool
betekenis
eenheid
mB
massa gewricht B
kg
mAB mBC mC
mCD mD mDE mE mEF mPy mPz LAB LBC LCD LDE LEF rBC rC rCD rD rDE rE rEF αB αC αD αE ηB ηC ηD ηE q
77
massa schakel AB massa schakel BC massa gewricht C
massa schakel CD
massa gewricht D massa schakel DE massa gewricht E massa schakel EF
massa belasting Py massa belasting Pz
kg kg kg kg kg kg kg kg
kg kg
lengte schakel AB
m
lengte schakel CD
m
lengte schakel BC
lengte schakel DE lengte schakel EF straal schakel BC straal gewricht C
straal schakel CD
straal gewricht D straal schakel DE straal gewricht E straal schakel EF
hoekversnelling punt B hoekversnelling punt C
hoekversnelling punt D hoekversnelling punt E efficiëntie motor B efficiëntie motor C
efficiëntie motor D efficiëntie motor E veiligheidsfactor
m m m m m m m m m m
deg/s2 deg/s2 deg/s2 deg/s2 % % % % -
Bijlage D Elektromotoren
Deze bijlage bevat een beschrijving van verschillende typen elektromotoren die worden weergegeven in figuur 4.1. Allereerst zal worden gekeken naar de gelijkstroommotor en de wisselstroommotor. Daartoe wordt een algemene beschrijving gegeven van de motortechniek, zodat aan de hand daarvan de verschillen tussen de types geduid kunnen worden. Vervolgens worden de eigenschappen geanalyseerd van twee specifieke elektromotoren die worden toegepast in de modelbouw en mogelijk geschikt zijn als actuator van een schaalmodel van een robotarm. Van deze twee motoren worden de eigenschappen geanalyseerd en geëvalueerd wat resulteert in de keuze voor een type elektromotor. Een elektromotor bestaat uit hoofdzakelijk twee onderdelen: de stator en de rotor. De stator is het statische onderdeel van de motor waarbinnen de rotor beweegt. In ieder geval is of de stator of de rotor uitgevoerd als elektromagneet. De ander kan uitgevoerd zijn als elektromagneet of als permanente magneet. Op basis van het type aanvoerstroom dat de motor nodig heeft om te functioneren, zijn er twee typen elektromotoren te onderscheiden. Deze twee typen zijn de gelijkstroommotor en de wisselstroommotor.
Gelijkstroommotor
Een gelijkstroommotor wordt aangedreven door gelijkstroom. Bij dit type elektromotor is het magneetveld van de stator constant in grootte en richting. Bij gelijkstroommotoren met een laag vermogen komt het magneetveld van de stator over het algemeen tot stand door een permanente magneet. Wanneer er sprake is van grotere vermogens bestaat de stator uit een elektromagneet. Een voordeel van het toepassen van een permanente magneet is dat de motor compacter en efficiënter is vergeleken met een elektromagnetische stator. Daarentegen is een voordeel van een elektromagneet dat de grootte van het magneetveld aangepast kan worden. 1
2
F
N
S B
F
I
4 3
Figuur 4.2: Opbouw gelijkstroommotor.
78
De opbouw van een gelijkstroommotor wordt geïllustreerd door figuur 4.2. Om een beweging van de rotor te verwezenlijken zal er in de rotor een wisselend magneetveld moeten worden opgewekt. Daartoe is er een spoel (1) op de rotor (2) bevestigd waar gelijkstroom (I) door gevoerd wordt. Door deze stroomvoerende spoel in het magneetveld (B) van de stator te plaatsen, worden Lorentzkrachten (F) opgewekt die de gelijke polen van beide magneetvelden van elkaar afstoten. Dit zet een roterende beweging in gang, maar deze stopt na 180° omwenteling wanneer de tegengestelde polen met elkaar zijn uitgelijnd. Om de beweging voort te zetten, wordt de richting van het magneetveld van de rotor omgedraaid. Dit gebeurt door de commutator (3) die de richting van de stroom door de spoel op de rotor omdraait. De spoel is door middel van sleepcontacten in de vorm van koolborstels (4) verbonden met de positieve en negatieve stroomklem van de commutator. Het toerental van een gelijkstroommotor is rechtevenredig met de frequentie waarmee het magneetveld van de rotor wordt omgedraaid. Een groot voordeel van de gelijkstroommotor is dat het toerental op eenvoudige wijze gevarieerd kan worden door de bekrachtigingsstroom of de motorspanning te variëren.
Borstelloze gelijkstroommotor
De borstelloze motor is een speciaal soort gelijkstroommotor dat niet op mechanische wijze door middel van een commutator en koolborstels de richting van de gelijkstroom omdraait, maar op elektronische wijze door middel van een sensor en een transistor. De transistor draait de richting van de stroom om en is daarmee een vervanging van de commutator. De sensor, in de meeste gevallen een Hall-sensor, vervangt de koolborstels en bepaalt het moment waarop de stroomrichting moet worden omgedraaid. Het voordeel van de borstelloze motor is dat de componenten betrouwbaarder en duurzamer zijn doordat er niet langer sprake is van vonkvorming en slijtage van de koolborstels. Daarnaast is heeft een borstelloze motor gemiddeld een efficiëntie van 85–90% waarmee deze gemiddeld 5–15% efficiënter is dan geborstelde elektromotoren (Miller, 2010). Een nadeel is dat borstelloze motoren vaak duurder zijn en een complexere aansturing hebben door het gebruik van een sensor.
Wisselstroommotor
Een wisselstroommotor werkt, in tegenstelling tot een gelijkstroommotor, op wisselstroom. Als een wisselstroommotor is aangesloten op een accu zal er een DC/AC omzetter nodig zijn, omdat een accu gelijkstroom afgeeft. Wanneer de motor is aangesloten op het lichtnet is er geen omzetter nodig. Daarom worden wisselstroommotoren vaak toegepast op stationaire robots. In het geval van een wisselstroommotor is het magneetveld van de stator variabel en is het magneetveld van de rotor constant. Daarmee lijkt de wisselstroommotor veel op de borstelloze gelijkstroommotor. Een belangrijk verschil is echter dat het wisselend magneetveld bij de wisselstroommotor tot stand komt door wisselstroom en niet door gelijkstroom. Door de eigenschap van wisselstroom dat de richting van de stroom periodiek wisselt, zijn er bij een wisselstroommotor geen commutator en koolborstels of transistor en sensor nodig om de richting van de stroom om te draaien. Dat maakt dat een wisselstroommotor betrouwbaarder en duurzamer is dan een gelijkstroommotor. Het toerental van de wisselstroommotor is rechtevenredig met de frequentie waarmee het stator magneetveld draait. Wanneer de motor is aangesloten op het lichtnet, is het dit altijd een veelvoud van de constante netfrequentie van 50Hz in Europa en 60Hz in Amerika. Met een frequentieregelaar kan, binnen grenzen, elk gewenst toerental worden ingesteld.
79
Afhankelijk van het type rotor dat wordt gebruikt, kunnen twee typen wisselstroommotoren onderscheiden worden. Het eerste type is een synchrone wisselstroommotor. Bij deze motor loopt het draaiveld van de rotor gelijk met het draaiveld van de stator. De rotor heeft een constant magneetveld door een permanente magneet of een elektromagneet gevoed met gelijkstroom. Dit kan zowel geborsteld als ongeborsteld. Het nadeel van een synchrone elektromotor is dat deze niet zelfstartend is. Er is daarom een aanloop mechanisme nodig. Vaak worden synchrone motoren toegepast op installaties waar een constant toerental nodig is zoals uurwerken, platenspelers, pompen en compressors.
Bij het tweede type, de asynchrone wisselstroommotor, loopt het draaiveld van de rotor niet gelijk met het draaiveld van de stator. Dit is nodig voor de inductiewerking in de rotor. Dat betekent dat de stator en de rotor een andere draaisnelheid hebben. Het verschil tussen deze twee draaisnelheden wordt de slip genoemd. Door de magneet van de rotor in het wisselend magneetveld van de stator te plaatsen ontstaat er een inductiespanning over de rotor. Deze spanning doet een wervelstroom vloeien die Lorentzkrachten ontwikkelt die werken als koppel dat de motor doet draaien. Een eigenschap van dit type motor is dat het een zeer groot aanloopkoppel heeft doordat vanuit stilstand de slip maximaal is en daarom de ontwikkelde spanning, stroom en Lorentzkrachten ook.
Binnen het type asynchrone wisselstroommotor zijn nog twee classificeringen aan te brengen op basis van het type stator dat bepaalt op welke manier het draaiveld in de statorholte tot stand komt. Zo kunnen eenfasige en driefasige asynchrone wisselstroommotoren worden onderscheiden. Bij een eenfasige wisselstroommotor bestaat de stator uit een parallelgeschakelde hoofdwikkeling en hulpwikkeling die onder een hoek van 90° ten opzichte van elkaar verdraaid zijn. Er wordt een condensator in serie geschakeld met de hulpwikkeling. Dit zorgt voor een faseverschuiving waardoor de magneetvelden van beide wikkelingen op een ander moment hun maximale waarde bereiken. Het resultaat is een draaiend magneetveld. De hulpwikkeling is alleen nodig om de motor op te starten en is daarom zwakker dan de hoofdwikkeling wat resulteert in een elipsvormige fluxvector. In het geval van een driefasige wisselstroommotor is de stator opgebouwd uit meerdere identieke, eenfasige wikkelingen. Zo een fasewikkeling is in feite een spoelgroep bestaande uit meerder in serie of parallel geschakelde spoelen. Het aantal wikkelingen kan variëren per model, maar voor deze beschrijving wordt uitgegaan van een stator bestaande uit drie wikkelingen. In dat geval staan de wikkelingen 120° van elkaar verschoven. Om een draaiveld op te leveren, wordt op iedere fasewikkeling een wisselstroom toegevoerd met gelijke amplitude en frequentie, maar met een 120° verschoven fase zodat het magneetveld van iedere wikkeling op een ander moment zijn maximale waarde bereikt. Doordat de spoelen van een driefasige wisselstroommotor identiek zijn, is de vorm van de fluxvector bij dit model wel cirkelvormig.
Toepassing op modelbouw
In de voorgaande twee paragrafen is de algemene theorie besproken van een gelijkstroommotor en een wisselstroommotor. De keuze voor het type motor dat toegepast wordt op de robotarm gaat echter een stap verder dan alleen de keuze voor een gelijkstroom- of een wisselstroommotor. Er zijn tal van varianten mogelijk die allemaal hun specifieke eigenschappen en toepassing hebben. Hiervan zijn er in het bijzonder twee typen motoren die veel gebruikt worden in de modelbouw en
80
robotica en geschikt zijn om toegepast te worden op een robotarm. Dit zijn de servomotor en de stappenmotor. Deze twee types zullen in de volgende paragrafen worden besproken waarna er een keuze gemaakt zal worden uit een van deze twee typen elektromotoren.
Servomotor
Een servomotor is een servomechanisme met een gesloten loop dat gebruikt maakt van positiefeedback om de beweging aan te sturen. In figuur 4.3 is een schematische weergave te zien van een servomotor. Het servosysteem bestaat uit een elektromotor, een feedback component, een elektronische controller en een driver. Er wordt een referentiesignaal opgewekt door de feedback component, in de meeste gevallen is dit een encoder, dat informatie geeft over de huidige positie van de motor. Dit referentiesignaal wordt door de controller vergeleken met het stuursignaal dat informatie geeft over de gewenste positie van de motor. Op basis van het verschil tussen referentiesignaal en stuursignaal wordt de beweging van de elektromotor aangestuurd. Dit proces wordt net zo lang herhaald tot de gewenste eindpositie is bereikt. Het gevolg van deze feedback loop is dat een servomotor altijd nauwkeurig positioneert.
controller feedback positie
driver feedback snelheid
encoder
servo
Figuur 4.3: Schematische weergave servomotor.
Wat een motor tot een servomotor maakt is de gesloten feedback loop. De elektromotor is maar een deel van het servosysteem en kan van het type gelijkstroom- en wisselstroommotor zijn en voorkomen als synchrone of asynchrone variant. Dit bepaalt voor een deel de eigenschappen van een servomotor. Om die reden is het moeilijk om een servomotor te typeren met algemene eigenschappen. Iets dat echter wel voor alle servomotoren geldt is dat de beweging van de motor continue is waardoor ze geschikt zijn voor toepassingen met een constante, vloeiende beweging. Daarnaast kan een servomotor koppel leveren zonder hoeksnelheid en kan daar daarmee als standrem fungeren.
Stappenmotor
Bij een stappenmotor is een speciaal type borstelloze gelijkstroommotor en heeft daarmee het voordeel dat de motor robuust is en weinig onderhoud vraagt. Een belangrijke eigenschap van de stappenmotor is dat de rotor niet continue draait, maar stapsgewijs. Dit veroorzaakt resonantie in de beweging waardoor een stappenmotor minder geschikt is voor toepassingen die een constante beweging vragen. De stapsgewijze beweging wordt bereikt door impulsvormige spanningen aan de stator toe te voeren. Iedere puls in het aanvoersignaal wordt omgezet in een stap van de motor. Door aanpassingen in het aanvoersignaal kan de beweging van een stappenmotor geoptimaliseerd worden. Dit wordt ook wel micro stepping genoemd. Dit houdt in dat het aantal pulsen in het signaal wordt verhoogd, zodat de motor meer, kleinere stappen zet. Door het aanpassen van de
81
stapgrootte kan de resolutie van een stappenmotor aanzienlijk worden verhoogd, maar dit heeft een negatief effect op het koppel dat de motor kan leveren. Dit kan afnemen met wel 30% (Dawson, z.j.). De beweging van de stappenmotor wordt door de controller aangestuurd in een aantal stappen. Daarbij gaat het systeem ervan uit dat iedere stap de gewenste verplaatsing tot gevolg heeft en dat na het uitvoeren van alle stappen de gewenste eindpositie is bereikt. Een probleem van deze manier van aansturen is dat het tot fouten in de beweging kan leiden wanneer de motor een stap overslaat door bijvoorbeeld een te hoge belasting. Een ander nadeel van de stappenmotor is dat de torque curve dramatisch afneemt bij een hogere snelheid. Dat betekent dat de motor minder kracht kan leveren bij een hoog toerental en daarom een hoog risico op een onnauwkeurige beweging. Het voordeel van stappenmotoren is het relatief hoog koppel dat ze kunnen leveren op een veilige 48V gelijkstroom. Daarnaast is de motor in staat om koppel te leveren zonder hoeksnelheid waardoor dit type motor geschikt is om een constructie stabiel te ondersteunen in stilstand.
Vergelijking servomotor en stappenmotor
In de voorgaande paragrafen zijn de algemene eigenschappen van een servomotor en stappenmotor besproken. Om te bepalen welk van deze typen motoren het meest geschikt is om toepast te worden op een robotarm worden de eigenschappen geëvalueerd aan de hand van de eigenschappen en gewenste functionaliteit van een gearticuleerde robot. Tabel 4.1: Voor- en nadelen servomotor en stappenmotor.
motor
voordelen
nadelen
stappenmotor
Kan koppel leveren zonder snelheid Relatief hoog koppel ten opzichte van benodigde spanning Goedkoop
Schokkerige beweging Geen positie feedback Hoog risico op onnauwkeurigheid Sterk negatief verband tussen koppel en toerental
servomotor
Positie feedback Nauwkeurige positionering Kan koppel leveren zonder snelheid Vloeiende beweging
Duur vanwege complexere aansturing
Een stappenmotor is niet geschikt vanwege de stapsgewijze beweging in combinatie met de constructie van een robotarm. Zoals in paragraaf 1.1 besproken is, heeft een onnauwkeurigheid van de gewrichten in een seriële schakeling een cumulatieve werking op de eind-effector. Dat geld ook voor de resonantie die het gevolg is van de discrete stappen in de beweging van de stappenmotor. Een robotarm moet niet alleen stabiel bewegen, maar ook stabiel zijn in stilstand. Hoewel beiden motoren als standrem kunnen fungeren, is een stappenmotor een betere keuze voor een systeem dat stabiel moet zijn in stilstand. Een servomotor kan wel koppel leveren vanuit stilstand, maar heeft dan meer last van resonantie (Dawson, z.j.). Een stappenmotor en een servomotor van ongeveer dezelfde grootte hebben een vergelijkbaar nominaal koppel. Een stappenmotor kan weinig koppel leveren bij lage en hoge toerentallen
82
waardoor dit type motor niet geschikt is voor verticale toepassingen waarbij een belasting stabiel moet worden gehouden. Een voordeel van een servomotor is dat het koppel van de motor te regelen is. Dat betekent dat er heel precies een kracht uitgeoefend kan worden waardoor de beweging nauwkeurig te sturen is. Stappenmotoren leveren van zichzelf altijd het volledig koppel. Bij zowel stappenmotoren als servomotoren geldt dat hoe hoger de stroom, hoe hoger het koppel.
83
Bijlage E Modelparameters motorkeuze
Tabel 4.3: Modelparameters voor het berekenen van het motorkoppel voor de motorkeuze.
symbool
betekenis
mB
massa gewricht B
mAB mBC mC
mCD mD mDE mE mEF mPy mPz LAB LBC LCD LDE LEF rBC rC rCD rD rDE rE rEF αB αC αD αE ηB ηC ηD ηE q
massa schakel AB massa schakel BC massa gewricht C
massa schakel CD
massa gewricht D massa schakel DE massa gewricht E massa schakel EF
waarde 0,30 0,05 0,30 0,16 0,40 0,11 0,40 0,06 0,15
eenheid kg kg kg kg kg kg kg kg kg
massa belasting Py
0,25
kg
lengte schakel AB
0,10
m
massa belasting Pz lengte schakel BC
lengte schakel CD
lengte schakel DE lengte schakel EF straal schakel BC straal gewricht C
straal schakel CD
straal gewricht D straal schakel DE straal gewricht E straal schakel EF
hoekversnelling punt B hoekversnelling punt C
hoekversnelling punt D hoekversnelling punt E
0,15
0,08 0,25 0,25 0,05 0,05 0,05 0,05 0,04 0,04 0,02 0,02
m m m m m m m m m
50
deg/s2
50 50
efficiëntie motor D
100
veiligheidsfactor
m
deg/s2
100
efficiëntie motor E
m
50
efficiëntie motor B efficiëntie motor C
kg
100 100 1
deg/s2 deg/s2 % % % %
-
84
Bijlage F Tandwieloverbrenging servomotor
De mogelijkheid voor het toepassen van een overbrenging wordt onderzocht voor het gewricht waar het hoogste koppel geleverd moet worden. Uit tabel 4.2 blijkt dat dit gewricht C is en dat daar een koppel van 49,2 kg ∙ cm geleverd moet worden. De servo die bij deze analyse als uitgangspunt wordt genomen om de overbrenging op toe te passen is de Savöx SA-1230SG. Dit is een betaalbare servo die een voldoende koppel levert (36 kg ∙ cm) om met een overbrengingsverhouding van ongeveer 2/3 het benodigde koppel te leveren met een voldoende veiligheidsfactor. Omdat de overbrengingsverhouding (i) kleiner is dan 8 wordt een overbrenging toegepast met een enkel tandwielpaar (Muhs, Wittel, Becker, & Jannasch, 2002). Voor de overbrenging worden uitwendige cilindrische tandwielen gebruikt. Hieraan is een aantal definities gerelateerd dat van belang is voor het uitvoeren van berekeningen aan de overbrenging. Deze definities worden weergegeven door tabel 4.4. Tabel 4.4: Definities van een uitwendig cilindrisch tandwiel.
grootheid
symbool
modulus
m
aantal tanden
z
d
diameter steekcirkel steek
p
tandbreedte
b γd
diameter-breedteverhouding
γd
modulus-breedteverhouding
De informatie die van tandwielen beschikbaar is, bevat vaak maar een deel van de definities uit tabel 4.4. Er kan dan gebruik gemaakt worden van formule 4.1 om ontbrekende gegevens te berekenen. 𝑚𝑚𝑚𝑚 =
𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑧𝑧𝑧𝑧
(4.1)
𝑧𝑧𝑧𝑧𝑤𝑤𝑤𝑤𝑖𝑖𝑖𝑖𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤 𝜃𝜃𝜃𝜃𝑤𝑤𝑤𝑤𝑖𝑖𝑖𝑖𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑤𝑤𝑤𝑤𝑖𝑖𝑖𝑖𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤 = = (4.2) 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 De selectie van de tandwielen voor de𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 overbrenging wordt𝜃𝜃𝜃𝜃𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 gedaan aan de hand van een aantal richtlijnen die zijn opgesteld op basis van ervaring binnen de machinebouw (Muhs et al., 2002). In 𝑧𝑧𝑧𝑧1 ∙ 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑧𝑧𝑧𝑧2 ∙ 𝑚𝑚𝑚𝑚met24 ∙ 0,5 + 45 ∙ 0,5 tabel 4.5 zijn deze richtlijnen weergegeven bijbehorende specificatie. 𝑎𝑎𝑎𝑎 = = = 17,25 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 2 𝑚𝑚𝑚𝑚 ∙ 0,0135 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 ∙ 𝛼𝛼𝛼𝛼 = 0,5 ∙ 0,0135 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 ∙ 20 = 0,0023 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑎𝑎𝑎𝑎 17,25 𝑗𝑗𝑗𝑗 = 0,07 + 0,01 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚� = 0,07 + 0,01 � + 0,5� = 0,078 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 50 50 1 1 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 2 2 1
1
1
2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐵𝐵𝐵𝐵 � 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶
2 5 1 4
85
1
2
2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 +
1
12
4
1
12
1
2
2
4
3
𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 + 1
2
2
5
𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 ) 2
(4.3)
Tabel 4.5: Richtlijnen voor de selectie van tandwielen.
richtlijn
specificatie
Tandwielen die op elkaar ingrijpen moeten dezelfde modulus hebben
De twee tandwielen hebben geen gemeenschappelijke deler om slijtage te voorkomen
z1 = priemgetal z2 = even aantal
De tandbreedte van het rondsel (b1) is vaak groter dan de tandbreedte van de volger (b2)
b 1 > b2
z1 > 14
Kies z1 zo groot mogelijk voor rustig lopende tandwielparen
b1 = d1 ∙ γd b2 = m ∙ γm
De tandbreedte wordt zo groot mogelijk gekozen voor een lage belasting van de tanden
Voor de tandwieloverbrenging is een speciaal soort tandwiel nodig voor het rondsel, omdat deze op de servospline bevestigd moet worden. Afhankelijk van het type servo heeft de servospline een verschillend aantal tanden en dus specifieke tandwielen. De Savöx SA-1230SG heeft net als Futaba motoren een spline met 25 tanden. Tabel 4.6 geeft een overzicht van verkrijgbare tandwielen die bevestigd kunnen worden op de Savöx SA-1230SG . Dit overzicht is gebaseerd op het aanbod van de webwinkel van ServoCity. Al deze tandwielen hebben een nominale drukhoek van 20°. Tabel 4.6: Geschikte rondsels voor de Savöx SA-1230SG servomotor.
z
onderdeelnummer
d (mm)
b (mm)
16
12,7
6,4
20
15,9
RSA48-FMG-15
15
RSA48-FMG-20
20
615298
615302
RSA48-FMG-24
8,0
10,6
24
RSA48-FMG-30
RSA48-FMG-36
6,4
0,5
0,8
0,8
0,5
6,4
19,1
36
0,5
6,4
15,9
30
6,4
6,4
12,7
m
0,5
6,4
0,5
Vervolgens wordt er gekeken naar mogelijke tandwielen voor het wiel. Zo worden er in tabel 4.7 vier opties samengesteld voor de overbrenging. Van iedere optie worden onder andere het koppel van het wiel (Twiel ) en het rotatiebereik van het wiel (θwiel ) berekend. Daarbij wordt gebruik gemaakt van formule 4.2. Over het rotatiebereik van de servo zijn geen gegevensbekend, dus wordt voor deze berekening aangenomen dat de servomotor een bereik heeft van 180°. 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑚𝑚𝑚𝑚 = = (4.1) 𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑤𝑤𝑤𝑤𝑖𝑖𝑖𝑖𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤 𝜃𝜃𝜃𝜃𝑤𝑤𝑤𝑤𝑖𝑖𝑖𝑖𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑤𝑤𝑤𝑤𝑖𝑖𝑖𝑖𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤 = = (4.2) 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝜃𝜃𝜃𝜃𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑧𝑧𝑧𝑧1 ∙ 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑧𝑧𝑧𝑧2 ∙ 𝑚𝑚𝑚𝑚 24 ∙ 0,5 + 45 ∙ 0,5 = = 17,25 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 2 𝑚𝑚𝑚𝑚 ∙ 0,0135 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 ∙ 𝛼𝛼𝛼𝛼 = 0,5 ∙ 0,0135 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 ∙ 20 = 0,0023 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑎𝑎𝑎𝑎 17,25 𝑗𝑗𝑗𝑗 = 0,07 + 0,01 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚� = 0,07 + 0,01 � + 0,5� = 0,078 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 50 50 1 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝑎𝑎𝑎𝑎 =
1
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2
2
1
1
1
2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 86 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐵𝐵𝐵𝐵 � 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶
2 5
1
2
2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 4
1
12
1
2
2
4
3
𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 + 2
2
5
optie
i
1
9/5
3
7/4
2 4
8/5 3/2
Tabel 4.7: Mogelijke overbrengingen Savöx SA-1230SG.
Twiel (kg ∙ cm)
zrondsel
zwiel
m
57,6 52,2
24
0,5
56
24
45
20
35
0,5
48
20
40
30
0,5
0,5
θwiel (°) 100
112,5
102,9 120
Optie 1 uit tabel 4.7 lijkt de beste keuze voor de overbrenging. Het aantal tanden van het rondsel en het wiel hebben geen gelijke deler, dus de kans op slijtage is kleiner. Daarnaast zorgt de overbrengingsverhouding voor een voldoende groot koppel. Het vervolg van deze analyse wordt gebaseerd op deze overbrenging.
Herberekening van de benodigde koppelkracht in gewricht C
Een gevolg van de toepassing van een overbrenging is dat een hoger koppel kan worden gerealiseerd, maar zoals wordt geïllustreerd door formule 4.2 is het rotatiebereik van de overbrenging omgekeerd evenredig met het krachtkoppel. Bij een overbrengingsverhouding van 9/5 kan gewricht C nog maar roteren over een bereik van 100° (tabel 4.7). Met deze beperkte rotatievrijheid kan het bereik van gewricht C zodanig worden gekozen dat niet de kinematische nulpositie kan worden bereikt waarvoor de momentkracht in punt C maximaal is. Dat resulteert in een lager maximaal moment in gewricht C, waardoor er een lager koppel nodig is voor de vereiste functionaliteit. Om te onderzoeken hoe het benodigd koppel verminderd kan worden door de juiste keuze van het bereik van gewricht C wordt een model opgesteld van deze situatie. Op basis van dit model wordt de momentkracht in gewricht C herberekend. Figuur 4.5 illustreert het rotatiebereik van gewricht C waarmee de maximale momentkracht om punt C zo veel mogelijk wordt beperkt. Het totale bereik (θwiel) is gelijk aan α + β. Het bereik is zodanig gepositioneerd dat deze evenredig is verdeeld rond de rotatie as van gewricht B die wordt weergegeven door een stippellijn. In dit geval geldt dat α = β = 0,5 ∙ θwiel . α
β
C B A Figuur 4.5: Bereik gewricht C.
Het maximale moment dat met het bereik uit figuur 4.5 optreedt, is in de uiterste stand van het gewricht. Van deze configuratie is de vrije lichaam structuur weergegeven in figuur 4.6. Door een kleiner bereik kan schakel CD niet horizontaal gepositioneerd worden waardoor de momentarm en
87
D
h
E
mD g
mE g mDE g
β Fy C
MC
Fx mC g
mCD g 𝑖𝑖𝑖𝑖 =
F
𝑚𝑚𝑚𝑚 =
mEF g
P
𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑧𝑧𝑧𝑧
(4.1)
𝑧𝑧𝑧𝑧𝑤𝑤𝑤𝑤𝑖𝑖𝑖𝑖𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤 𝜃𝜃𝜃𝜃𝑤𝑤𝑤𝑤𝑖𝑖𝑖𝑖𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑤𝑤𝑤𝑤𝑖𝑖𝑖𝑖𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤 = = 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝜃𝜃𝜃𝜃𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑧𝑧𝑧𝑧1structuur ∙ 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑧𝑧𝑧𝑧2 van ∙ 𝑚𝑚𝑚𝑚 het24 ∙ 0,5 + 45 ∙ 0,5 voor het bereik uit figuur 4.3. Figuur 4.6: Vrije lichaam maximale moment 𝑎𝑎𝑎𝑎 =
(4.2)
= = 17,25 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 2 dus ook het maximale 𝑚𝑚𝑚𝑚 moment kleiner De0,5 exacte waarde maximale ∙ 0,0135 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 ∙is. 𝛼𝛼𝛼𝛼 = ∙ 0,0135 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇voor ∙ 20het = 0,0023 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚moment voor deze situatie wordt gegeven door formule 𝑎𝑎𝑎𝑎 4.3. 17,25 𝑗𝑗𝑗𝑗 = 0,07 + 0,01 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚� = 0,07 + 0,01 � + 0,5� = 0,078 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 50 50 1 1 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 2
2
1
1
1
2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐵𝐵𝐵𝐵 � 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶
2 5 1 4
1
2
2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 +
1
4
12
1
12
1
2
2
4
3
𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 + 1
2
2
5
𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 ) 2
Formule 4.3 wordt ingevuld met de parameters uit tabel 4.3 in bijlage E. Tabel 4.8 geeft het resultaat van deze berekening voor een gegeven totaal rotatiebereik van 100°.
(4.3)
Tabel 4.8: Resultaat van de herberekening van Mc voor het bereik uit figuur 4.3.
MC (kg ∙ cm) 41,9
Twiel (kg ∙ cm) 57,6
β (°) 50
q
1,37
Op basis van de resultaten uit tabel 4.8 kan geconcludeerd worden dat er met de gekozen overbrenging in combinatie met de Savöx SA-1230SG een voldoende hoog koppel bereikt kan worden.
Nauwkeurigheid van de vertanding
Het tweede aspect dat onderzocht wordt is de onnauwkeurigheid die de overbrenging toevoegt aan de constructie. Daartoe wordt de flankspeling tussen de tandwielen berekend. Bij deze berekening wordt aangenomen dat er geen speling zit in de motor en dat de tandwielen exact nauwkeurig gepositioneerd kunnen worden. Theoretisch is de tandbreedte op de steekcirkel gelijk aan de helft van de steek. In dit geval zou echter een ingrijping van beide tandwielen op de juiste hartafstand niet mogelijk zijn, omdat de tandwielen dan zouden klemmen. Daarom is er in de praktijk een zekere flankspeling nodig. Deze kan bepaald worden aan de hand van de nauwkeurigheidsgraad, de asafstand en de modulus.
88
De nauwkeurigheidsgraad wordt volgens de DIN normalisatie onderverdeeld in 12 klassen met ieder een eigen tolerantieveld uitgaande van een nominale drukhoek van 20°. Er kan een schatting worden gemaakt van de nauwkeurigheidsgraad op basis van het productieproces waarmee de tandwielen zijn vervaardigd. Er wordt aangenomen dat de tandwielen zijn gefreesd zonder warmtebehandeling en zo wordt gekozen voor een nauwkeurigheidsgraad van 8.
Op basis van de toepassing van de overbrenging een inschatting gemaakt worden van de nauwkeurigheidsgraad van de overbrenging (Stichting Verspanersforum, 2011). De toepassing valt in dit geval in drie categorieën: kleinere industriële overbrenging, periodiek werkende aandrijving en motorredutor. Deze drie categorieën hebben de𝑝𝑝𝑝𝑝nauwkeurigheidsklassen 7 en 8 gemeen. Er 𝑑𝑑𝑑𝑑 = wordt voor gekozen om voor deze berekening𝑚𝑚𝑚𝑚de=nauwkeurigheidsklasse van 8 toe te passen. (4.1) 𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑤𝑤𝑤𝑤𝑖𝑖𝑖𝑖𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤 𝜃𝜃𝜃𝜃𝑤𝑤𝑤𝑤𝑖𝑖𝑖𝑖𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑤𝑤𝑤𝑤𝑖𝑖𝑖𝑖𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤 = = (4.2) 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚door𝜃𝜃𝜃𝜃de De hartafstand (a) van de tandwielen𝑇𝑇𝑇𝑇wordt volgende formule 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 gegeven 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑧𝑧𝑧𝑧1 ∙ 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑧𝑧𝑧𝑧2 ∙ 𝑚𝑚𝑚𝑚 24 ∙ 0,5 + 45 ∙ 0,5 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 = = 17,25 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 = = 2 (4.1) 2 𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑚𝑚𝑚𝑚 ∙ 0,0135 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑇𝑇𝑇𝑇 ∙ 𝛼𝛼𝛼𝛼 = 0,5 ∙ 𝑧𝑧𝑧𝑧0,0135 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 ∙ 20 = 0,0023 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝜃𝜃𝜃𝜃𝑤𝑤𝑤𝑤𝑖𝑖𝑖𝑖𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤 𝑤𝑤𝑤𝑤𝑖𝑖𝑖𝑖𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤 𝑤𝑤𝑤𝑤𝑖𝑖𝑖𝑖𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤 Met deze waarde kan bepaald worden voor een nauwkeurigheidsgraad van = 17,25 (4.2) 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 dat het=tolerantieveld 𝑇𝑇𝑇𝑇+𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑗𝑗𝑗𝑗 =μm 0,07 + 0,01 �Cornelis 𝑚𝑚𝑚𝑚�&=Bourguignon, 0,07 + 0,01 �𝜃𝜃𝜃𝜃z.j.). + 0,5� =vermindering 0,078 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 van de 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 8 gelijk is aan ±13,5 (Bierens, Voor een 50 50 1 1 hartafstand met 0,0135 mm wordt de vermindering van de flankspeling door de volgende ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚gegeven 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑧𝑧𝑧𝑧1𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 45 ∙ 0,5 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + ∙ 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑧𝑧𝑧𝑧2 ∙ 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 24 ∙ 0,5 2 2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 formule. 𝑎𝑎𝑎𝑎 = = = 17,25 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 2 1 1 1 2 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐵𝐵𝐵𝐵 � 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑝𝑝𝑝𝑝∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑 4 3 𝑚𝑚𝑚𝑚 ∙ 0,01352∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 ∙ 𝛼𝛼𝛼𝛼 = 0,5 ∙ 0,0135 𝑚𝑚𝑚𝑚 = = ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 ∙ 20 = 0,0023 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 (4.1) 𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑧𝑧𝑧𝑧 17,25 2 𝑎𝑎𝑎𝑎 2 1 1 1 2 2 2 + 0,01 𝑚𝑚𝑚𝑚� =2 0,07 +𝑤𝑤𝑤𝑤𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 � 𝜃𝜃𝜃𝜃+𝑤𝑤𝑤𝑤𝑖𝑖𝑖𝑖𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝐿𝐿𝐿𝐿 + �0,5� + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 �+ +𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚 +𝑧𝑧𝑧𝑧𝑤𝑤𝑤𝑤𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑚𝑚 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + =𝑚𝑚𝑚𝑚0,078 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 +𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 + 𝑤𝑤𝑤𝑤𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑤𝑤𝑤𝑤 0,01 Waarin5 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝑗𝑗𝑗𝑗 𝐿𝐿𝐿𝐿=𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶0,07 4 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝑖𝑖𝑖𝑖 50 5 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 = = 502 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 (4.2) = 12 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 𝜃𝜃𝜃𝜃𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 1 1 α = nominale drukhoek 1 1 1 ) ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 +(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿 2 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 (4.3) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐶𝐶𝐶𝐶+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷+ 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 2 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 ) 4 12 2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 1𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑧𝑧𝑧𝑧2 ∙ 𝑚𝑚𝑚𝑚 1 1 𝑧𝑧𝑧𝑧 ∙ 24 ∙ 0,5 + 45 ∙ 0,5 2 1 De minimale flankspeling gegeven volgende ) + 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝐿𝐿𝐿𝐿= + een 𝐿𝐿𝐿𝐿 nauwkeurigheidsgraad � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 +de 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 +𝑎𝑎𝑎𝑎(j) 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷bij 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 +8 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵 �4 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶door = 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝐿𝐿𝐿𝐿van =𝐿𝐿𝐿𝐿wordt 17,25 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 3 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2 2 formule. 2 2 𝑚𝑚𝑚𝑚 ∙10,01352 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇1 ∙ 𝛼𝛼𝛼𝛼 = 20,5 ∙ 0,0135 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 ∙120 = 20,0023 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 + 5 4 2 5 𝑎𝑎𝑎𝑎 12 17,25 𝑗𝑗𝑗𝑗 = 0,07 + 0,01 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚� = 0,07 + 0,01 + 0,5� = 0,078 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 � 1 1 1 50 50 2 2 (𝐿𝐿𝐿𝐿 (4.3) 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 �𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 ) 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 1 1 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 = 4 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 ∙ 12 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 2�𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 2 2 waarde voor de minimale De maximale flankspeling is gelijk aan j ∙ 1,5. Het invullen van de 1 een waarde van 0,118 mm voor de maximale 1 1 2 flankspeling in deze formule geeft flankspeling. 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶De 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ) + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝐵𝐵𝐵𝐵 � 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 2 4 3 ondermaat en bovenmaat van de tolerantie wordt verkregen door respectievelijk de minimale en 2 2 1 1 2 2 maximale te 1vermeerderen 0,0023 mm. Dat 0,04 )2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶flankspeling 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚met 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 +resulteert 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 � + in𝑚𝑚𝑚𝑚een 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 tolerantie + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 van + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 5 4 12 2 5 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 mm. Deze waarde voor de tolerantie staat gelijk aan de2 onnauwkeurigheid van de overbrenging. 1 1 1 2 (4.3) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 �𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 (𝐿𝐿𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 )2 ) 𝑎𝑎𝑎𝑎 =
4
89
12
2
Bijlage G Voorstel motorkeuze budget
Bijlage G
Voorstel motorkeuze budget Tabel 4.3: Voorstel motorkeuze gericht op lage kosten. gewricht B
motoreigenschappen
Prijs (€)
Shenzhen XQ Power XQ-S4016D Gewicht 56 g Afmetingen 40 * 20 * 39 mm
31,80
Aanvoerspanning 4,8 V Snelheid 0,14 s/60° Aanzetkoppel 15,5 kg⋅cm
Aanvoerspanning 6,0 V Snelheid 0,12 s/60° Aanzetkoppel 17,5 kg⋅cm
D
Aanvoerspanning 7,2 V Snelheid 0,20 s/60° Aanzetkoppel 48 kg⋅cm
Aanvoerspanning 8,5 V Snelheid 0,18 s/60° Aanzetkoppel 60 kg⋅cm
E
Aanvoerspanning 9,6 V Snelheid 0,15 s/60° Aanzetkoppel 24,5 kg⋅cm
Aanvoerspanning 12 V Snelheid 0,13 s/60° Aanzetkoppel 30,8 kg⋅cm
C
Shenzhen XQ Power XQ-5650D Gewicht 177,5 g Afmetingen 60,1 * 30,1 * 59,7 mm
88,07
Shenzhen XQ-Power XQ-S4230D Gewicht 56 g Afmetingen 40,2 * 20,1 * 38,8 mm
49,61
EMAX ES9258 Gewicht 26,9 g Afmetingen 35 * 14,9 * 30,1 mm
11,30
Aanvoerspanning 4,8 V (deze servo alleen met 4,8 V gebruiken) Snelheid 0,05 s/60° Aanzetkoppel 3,0 kg⋅cm
90
Bijlage H Voorstel motorkeuze kwaliteit
Bijlage H
Voorstel motorkeuze kwaliteit Tabel 4.4: Voorstel motorkeuze gericht op kwaliteit en betrouwbaarheid. gewricht B
Prijs (€)
Savöx SA-1256TG Gewicht 52,4 g Afmetingen 40,3 * 20,2 * 37,2 mm
60,13
Shenzhen XQ Power XQ-5650D Gewicht 177,5 g Afmetingen 60,1 * 30,1 * 59,7 mm
88,07
Savöx SA-1230SG Gewicht 79 g Afmetingen 40,3 * 20,2 * 45 mm
81,50
Savöx SH-0255MG Gewicht 15,8 g Afmetingen 22,8 * 12 * 29,4 mm
24,99
Aanvoerspanning 4,8 V Snelheid 0,18 s/60° Aanzetkoppel 16,0 kg⋅cm
Aanvoerspanning 6,0 V Snelheid 0,15 s/60° Aanzetkoppel 20,0 kg⋅cm
D
Aanvoerspanning 7,2 V Snelheid 0,20 s/60° Aanzetkoppel 48 kg⋅cm
Aanvoerspanning 8,5 V Snelheid 0,18 s/60° Aanzetkoppel 60 kg⋅cm
E
Aanvoerspanning 4,8 V Snelheid 0,20 s/60° Aanzetkoppel 30,0 kg⋅cm
Aanvoerspanning 6 V Snelheid 0,16 s/60° Aanzetkoppel 36,0 kg⋅cm
Aanvoerspanning 4,8 V Snelheid 0,16 s/60° Aanzetkoppel 3,1 kg⋅cm
Aanvoerspanning 6 V Snelheid 0,13 s/60° Aanzetkoppel 3,9 kg⋅cm
C
91
motoreigenschappen
Bijlage I Overzicht schaalmodellen robotarm
Figuur 7.1: Overzicht van bestaande schaalmodellen van een industriële robot.
92
Bijlage J Parameters robotarm
symbool
betekenis
mB
massa gewricht B
0,056
massa gewricht C
0,1775
kg
massa gewricht D
0,079
kg
massa gewricht E
0,0158
kg
lengte schakel AB
0,11
m
mAB mBC mC
mCD mD mDE mE mEF LAB LBC LCD LDE LEF rAB rBC rC rCD rD rDE rE rEF
93
Tabel 10.1: Parameters van het ontwerp van de robotarm. massa schakel AB massa schakel BC
massa schakel CD
massa schakel DE massa schakel EF
waarde 0,30 0,18 0,45 0,34
0,052
lengte schakel BC
0,092
lengte schakel DE
0,25
lengte schakel CD
0,25
lengte schakel EF
0,048
straal schakel BC
0,06
straal schakel AB straal gewricht C
0,06 0,04
straal schakel CD
0,058
straal schakel DE
0,035
straal schakel EF
0,022
straal gewricht D straal gewricht E
0,04
0,022
eenheid kg kg kg kg kg kg m m m m m m m m m m m m
58 57
48
35
202
250
61
250
130
130
UNLESS OTHERWISE SPECIFIED: DIMENSIONS ARE IN MILLIMETERS SURFACE FINISH: TOLERANCES: LINEAR: ANGULAR: NAME
DEBUR AND BREAK SHARP EDGES
FINISH:
SIGNATURE
DATE
DO NOT SCALE DRAWING
REVISION
TITLE:
DRAWN CHK'D APPV'D MFG Q.A
MATERIAL:
WEIGHT:
DWG NO.
SCALE:1:5
articulated_robot SHEET 1 OF 1
94
A4
Bijlage K Spanningplots van de constructie
In deze bijlage worden de spanningplots van de constructie van de schakels weergegeven. De linker kolom bevat de plots voor de belasting in y-richting en de rechter kolom bevat de plots voor de belasting in z-richting.
Schakel BC
Schakel CD
95
Schakel DE
Schakel EF
96
Bijlage L Overzicht gearticuleerde robots inclusief eindontwerp
97
Referenties 3 2 1 Kinematic Structure. (z.j.). Verkregen op 5 mei 2013 via http://web.archive.org/web/20100106074814/ http://www.roble.info/robotics/serial/html/SerialRobots-1se4.html Ahmed, F.F., & Alyaa, H.A. (2011). Design Optimization of Serial Robot Manipulators. Journal of Engineering. 17. 558-576. All On Robots. (2013). Spherical robots. Verkregen op 27 april 2013 via http://www.allonrobots.com/ spherical-robots.html
ART CNC Machines. (2009, 4 januari). Stepper or Servo [video bestand]. Verkregen op 11 juni 2013 via http:// www.youtube.com/watch?NR=1&v=oOvRf7xa5r4&feature=fvwp Asynchrone Draaistroommotor. (2013). Verkregen op 6 juni 2013 via https://nl.wikipedia.org/wiki/ Asynchrone_draaistroommotor
Bierens, H., Cornelis, F., & Bourguignon, P. (z.j.). Uitvoering en Nauwkeurigheidsgraad van Vertandingen. Verkregen op 3 juli 2013 via http://www.tandwiel.info/kennisbank/uitvoering-en-nauwkeurigheidsgraadvan-vertandingen Classical mechanics. (2013). Verkregen op 5 mei 2013 via http://en.wikipedia.org/wiki/Classical_mechanics
Dawson, N. (z.j.). 10 tips for servos and steppers. Festo. Verkregen op 16 mei 2013 via http://www.festo.com/ net/SupportPortal/Files/10257/Festo_10_Tips_servos_steppers.pdf
De Opbouw van het Bewegingsapparaat. (2011). Verkregen op 9 mei 2013 via http://assortiment.bsl.nl/files/ f660ab09-17ea-43f2-b8b1-86e727f20ec3/ 9789031387267proefhoofdstuk.pdf Delta Robot. (2013). Verkregen op 30 april via http://en.wikipedia.org/wiki/Delta_robot
Dentler, D. R., (2008). Design, Control and Implementation of a Three Link Articulated Robot Arm. Verkregen op 7 juni 2013 via http://etd.ohiolink.edu/send-pdf.cgi/Dentler%20Donald%20Richard%20II. pdf?akron1217208877 digitalPimple. (2012, 24 mei). Stepper Motor Basics and Control – How It Works [video bestand]. Verkregen op 12 juni 2013 via http://www.youtube.com/watch?NR=1&v=bngx2dKl5jU&feature=fvwp Draaistroommotor. (2013). Verkregen op 5 juni 2013 via http://nl.wikipedia.org/wiki/Draaistroommotor Draaiveld. (2013). Verkregen op 3 juni 2013 via http://nl.wikipedia.org/wiki/Draaiveld
Driefasige Asynchrone Motor. (2013). Verkregen op 5 juni 2013 via http://nl.wikipedia.org/wiki/Driefasige_ asynchrone_motor Electric Motor. (2013). Verkregen op 3 juni 2013 via http://en.wikipedia.org/wiki/Electric_motor
Electrical Engineering. (z.j.). Electrical Motor | Types Classification and History of Motor. Verkregen op 30 augustus 2013 via http://www.electrical4u.com/electrical-motor-types-classification-and-history-ofmotor/
Eriks Aandrijftechniek. (2013). Verkregen op 25 mei 2013 via http://www.elmeq.nl/theorie/elektromotorentheorie#synchrone stappenmotor Eriks Aandrijftechniek. (2013). Stappenmotoren. Verkregen op 11 juni 2013 via http://www.elmeq.nl/typen/ stappenmotoren-19.html
98
Forward Kinematics. (2005). Verkregen op 2 juni 2013 via http://www.usna.edu/Users/cs/crabbe/SI475/ current/arm-kin/kinematics.pdf
Forward Kinematics: The Denavit-Hartenberg Convention. (z.j.). Verkregen op 28 augustus 2013 via http:// www.cs.duke.edu/brd/Teaching/Bio/asmb/current/Papers/chap3-forward-kinematics.pdf Gelijkstroommotor. (2013). Verkregen op 3 juni 2013 via http://nl.wikipedia.org/wiki/Gelijkstroommotor Hibbeler, R. C. (2007). Engineering Mechanics: Dynamics (11de ed.). Singapore: Pearson Education Hibbeler, R.C. (2008). Mechanics of Materials (7de ed.). Singapore: Pearson Education Hollerbach, J. M. (2004). Forward Kinematics for Position
International Federation of Robotics. (z.j.). Industrial robots. Verkregen op 28 april 2013 via http://www.ifr. org/industrial-robots/ Jazar, R.N. (2010). Theory of Applied Robotics. New York, NY: Springer.
Kinematics. (2013). Verkregen op 5 mei 2013 via http://en.wikipedia.org/wiki/Kinematics
Kinematic Chain. (2013). Verkregen op 9 mei 2013 via http://en.wikipedia.org/wiki/Kinematic_chain
Kucuk, S., & Bingul, Z. (2006). Robot Kinematics: Forward and Inverse Kinematics. Industrial Robotics: Theory, Modelling and Control. Sam Cubero. InTech.
Machine Design. (2013). Verkregen op 2 september 2013 via http://www.electricmotors.machinedesign.com/ guiEdits/Content/bdeee4a/bdeee4a_1.aspx Mason, M. (z.j.). Mechanics of Manipulation: Kinematic Models of Contact. Verkregen op 12 mei 2013 via http://www.cs.rpi.edu/~trink/Courses/RobotManipulation/lectures/lecture11.pdf McCarthy, M., & Soh, G. S. (2010). Geometric Design of Linkages. New York, NY: Springer.
Miller, J. (2010). Brushless Motors vs Brush Motors, what’s the difference?. Verkregen op 24 juli 2013 via http://quantumdevices.wordpress.com/2010/08/27/brushless-motors-vs-brush-motors-whats-thedifference/ Mohammed, F. M. (2011). Digital Machine and Robotics. University of Technology
Muhs, D., Wittel, H., Becker, M., Jannasch, D. (2002). Roloff/Matek Machineonderdelen (3de ed.). Schoonhoven: Academic Service. Nave, R. (z.j.). Moment of Inertia: Cylinder. Verkregen op 12 mei 2013 via http://hyperphysics.phy-astr.gsu. edu/hbase/icyl.html#icyl Nave, R. (z.j.). Parallel Axis Theorem. Verkregen op 17 mei 2013 via http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/ hbase/parax.html Parallel Manipulator. (2013). Verkregen op 23 april 2013 via http://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_ manipulator
Pieper, D.L. (1968). The kinematics of manipulators under computer control. Stanford University. Department of Mechanical Engineering Robot Kinematics. (2013). Verkregen op 28 april 2013 via http://en.wikipedia.org/wiki/ Robot_kinematics Robot Types. (z.j.). Verkregen op 5 juni 2013 via http://courseweb.stthomas.edu/tpsturm/private/ notes/ qm380/robotype.html
99
Robotshop. (2013). Robot Arm Torque Tutorial. Verkregen op 2 mei 2013 via http://www.robotshop.com/ robot-arm-torque-tutorial.html
Serial Manipulator. (2013). Verkregen op 23 april 2013 via http://en.wikipedia.org/wiki/Serial_manipulator Servomotor. (2013). Verkregen op 3 juni 2013 via http://en.wikipedia.org/wiki/Servomotor
SmartBot. (2013). SInBot. Verkregen op 26 augustus 2013 via http://www.smartbot.eu/nl/projectinformatie/ sinbot/ Spong, M. W., Hutchinson, S., & Vidyasagar, M. (2005). Forward and Inverse Kinematics. Robot Modeling and Control. New York, NY: John Wiley & Sons.
Stanford University. (2008, 22 juli). Lecture 2 | Introduction to Robotics [video bestand]. Verkregen op 16 april 2013 via http://youtu.be/QKyDrUonp98 Stelling van Steiner. (2013). Verkregen op 21 mei 2013 via http://nl.wikipedia.org/wiki/Stelling_van_Steiner Stepper Motor. (2013). Verkregen op 12 juni 2013 via http://en.wikipedia.org/wiki/Stepper_motor
Stichting Verspanersforum (2011). Vertanden. Verkregen op 1 juli 2013 via http://www.verspanersforum.nl/ index.php?option=com_content&view=article&id=30&Itemid=69 Synchrone Draaistroommotor. (2013). Verkregen op 6 juni 2013 via https://nl.wikipedia.org/wiki/ Synchrone_draaistroommotor
Union College Mechanical Engineering. (z.j.). Dynamics and Kinematics (of Mechanisms) . Verkregen op 12 mei 2013 via http://www.engineering.union.edu/~tchakoa/mer312/Lectures/ Lecture%202.pdf
Afbeeldingen Figuur 1.1
http://img.directindustry.com/images_di/photo-g/cartesian-robot-for-fast-cycletime-78484-2943197.jpg
Figuur 1.2
http://www.industrial-electricity.com/images/14-2.jpg
Figuur 1.4
http://www.mikrokontrol.co.rs/slike_proizvoda/velike/adm344.jpg
Figuur 1.6
http://kvarc.extra.hu/step/motor/emc/delta_robot.jpg
Figuur 1.3 Figuur 1.5
http://preview.turbosquid.com/Preview/2010/12/02__12_12_00/polar01.jpgb43e7ba3c322-49f1-b928-9ebca3c90c64Larger.jpg
http://www.kuka.com/NR/rdonlyres/2C233B0D-8E20-47F6-B199-1F9545C90753/0/ PR_KUKA_Industrial_Robot_KR360_01.jpg
Figuur 2.1 img.directindustry.com/images_di/photo-g/6-axis-articulated-robot-15481-3082345.jpg http://www.robotsdotcom.com/f5ts.jpg
Figuur 2.2 http://www.designworldonline.com/uploads/Imagegallery/adept-clean-room-robotics.jpg http://ih.constantcontact.com/fs126/1103431943912/img/314.jpg?a=1111292339292 http://www.onexia.com/img/Denso-V6_Clean.png http://www.pv-tech.org/images/sized/assets/images/DENSO_New_VS-Series_Robot_5500x600.jpg http://www.densorobot.co.uk/images/295/1/VP6242-Lightbox.jpg http://www.robotsdotcom.com/f5ts.jpg http://www.designworldonline.com/uploads/ImageGallery/EPSON_C3_6-Axis_robot.jpg
100
http://blog.cgco.com/wp-content/uploads/2010/07/RV-2SD_Robot_Image.jpg Figuur 3.18
http://img.directindustry.com/images_di/photo-g/6-axis-articulated-robot-18836-4049208. jpg
Tabel 4.3 http://www.modellismo.it/prodotti/radiosistemi/XQ-S4016D_2.jpg http://www.xq-power.com/UploadFiles/2012116175514942.jpg http://www.the-border.com/images/P/001-182.jpg http://www.vdv-modellbau.com/media/image/thumbnail/sh-0255mg_ geschlossen_1000_720x600.jpg Figuur 7.1
http://i00.i.aliimg.com/wsphoto/v0/1224047606_1/Free-Shipping--New-6-DOFProgrammable-Clamp-font-b-Robot-b-font-font-b-Arm.jpg preview.turbosquid.com/Preview/2010/12/08__15_36_00/armbot.jpg6c16deb8-4ddf497b-b9b1-03dee9ec5fc9Larger.jpg http://users.ece.gatech.edu/~fumin/images/Lynx6.JPG http://tlogan5491.files.wordpress.com/2013/06/sg6_foldeda.jpg http://www.crustcrawler.com/products/AX-18F%20Smart%20Robotic%20Arm/images/ Side_View1.jpg www.robotshop.com/content/images/lynxmotion-al5df-kt-robotic-arm-flowbotics-studio1-large.jpg
101
