Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap

Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap 1 2 3 4a 4b 4c 5a 5b 5c

1

Rekenen met procenten, basispunten en procentpunten ......................................................... 1 Werken met indexcijfers ............................................................................................................ 3 Grafieken maken en lezen .......................................................................................................... 5 Tweedegraads functie: de parabool ........................................................................................... 7 Differentiëren ............................................................................................................................. 8 Extreme waarden ....................................................................................................................... 8 Totale, gemiddelde en marginale opbrengst ........................................................................... 10 Totale en marginale kosten ...................................................................................................... 10 Maximale totale winst .............................................................................................................. 11

Rekenen met procenten, basispunten en procentpunten

Procent betekent letterlijk ‘per cent’ ofwel ‘per honderd’. Het geheel is 100 van de 100 dus 100%. Een tiende deel is 10 per 100 : 10 per cent, geschreven als 10%. Aan de hand van een eenvoudig voorbeeld lopen we verschillende bewerkingen stap voor stap door. Als uitgangspunt kiezen we tabel 1.1, waarin voor twee landen – A en B – het bruto binnenlands product (bbp) is gegeven voor 2010 en 2011. Tabel 1.1

land A B a

bbp 2010 in miljarden euro’s bbp 2011 in miljarden euro’s 200 225 150 155 Hoeveel procent is het een van het ander?

We willen het bbp van land B in 2010 uitdrukken als percentage van dat van land A. Stap 1 Stel het bbp van land A op 100%. Dus 200 is 100%. Dan weten we dat 1% gelijk is aan 2. Stap 2 Hoeveel maal 2 is het bbp van land B (150). Antwoord: 75. Dus het bbp van land B is 75% van het bbp van land A. b

Met hoeveel procent is iets veranderd?

We willen weten met hoeveel procent het bbp van land A is toegenomen van 2010 naar 2011. Stap 1 Het bbp van land A in 2010 is 200. Stel dat op 100%. Dus 1% is gelijk aan 2. Stap 2 Het bbp is toegenomen van 200 naar 225. Dus met 25.

1 Onderneming en omgeving – Economisch gereedschap © ThiemeMeulenhoff, 2011

Stap 3 Hoeveel maal 2 is die toename (25)? Antwoord: 12,5 keer. Dus het bbp van land A is tussen 2010 en 2011 met 12,5% toegenomen. c

Een percentage berekenen van iets

Land B wil in 2011 1,5% van zijn bbp besteden aan research & development. Om welk bedrag in euro’s gaat het dan? Stap 1 Het bbp van land B in 2011 bedraagt 155. Dus 100% is 155. 1% is dus gelijk aan 1,55. Stap 2 De voorgenomen uitgaven aan research & development zijn 1,5% . Dat is dus 1,5 maal 1%. Ofwel 1,5 maal 1,55 = 2,325 (miljard euro). d

Een procentuele toename? Welk bedrag levert dat op?

Het bbp van land A zal in 2012 naar verwachting met 7% zijn gegroeid. Hoe groot zal het bbp dan zijn? Stap 1 Het bbp van land A in 2010 is 225. Dus 225 is 100%. 1% is dan 2,25. Stap 2 De toename van het bbp is naar verwachting 7%. Dat is dus 7 maal 1%. Ofwel 7 maal 2,25 : 15,75. De verwachte toename is dus 15,75 miljard euro. Het bbp in 2012 bedraagt dan 240,75 miljard euro. Procentpunten Procenten en procentpunten worden vaak door elkaar gehaald. Stel dat een onderneming zijn jaarcijfers presenteert. Het management deelt trots mee dat het marktaandeel van de onderneming is gestegen van 1% naar 1,5%, dus met maar liefst 50%. Een kritische aandeelhouder roept dat het maar een stijging is van 0,5%. Wie heeft gelijk? De toename is 0,5. Ten opzichte van de oude waarde is dat 0,5/1= 50, ofwel 50%. Bij procenten gaat het immers om relatieve cijfers. De aandeelhouder verwarde procenten met procentpunten. Het absolute verschil tussen de twee percentages (1,5 - 1) = 0,5. Dat is 0,5 procentpunt. Basispunten Op financiële markten gaat het meestal om forse bedragen waarbij kleine verschillen in bijvoorbeeld rentepercentage of wisselkoersen grote sommen geld kunnen opleveren of kosten. Daarom wordt daar gewerkt met kleinere eenheden, zogenoemde basispunten. Eén basispunt staat daarbij voor een honderdste deel van een procentpunt. Dus bijvoorbeeld: 10 basispunten = 0,1 procentpunt 50 basispunten = 0,5 procentpunt en 100 basispunten = 1 procentpunt. Dus als men zegt dat de rente, die 5% bedroeg, is gestegen met 50 basispunten, dan is hij nu 5,5%


2

Werken met indexcijfers

a In tabel 2.1 is voor drie landen het inkomen per inwoner gegeven. Tabel 2.1

land A B C

inkomen/inwoner indexcijfer € 8.000 € 11.840 € 13.200

100 148 165

We willen deze drie getallen eenvoudig met elkaar kunnen vergelijken. De waarde van het inkomen in land A kan bijvoorbeeld als basis worden gekozen. Deze 8.000 euro wordt dan op 100 gesteld. Voor het inkomen in land B geldt dan: (11.840/8.000) x 100 = 148. Voor dat in land C geldt: (13.200/8.000) x 100 = 165. De getallen 100, 148 en 165 worden indexcijfers genoemd. Je kunt met indexcijfers sneller zien dat het inkomen per inwoner in land B 1,48 maal zo groot is als dat in A. En het inkomen in land C 1,65 maal zo groot als dat in A. Je kunt ook zeggen dat het inkomen in B 48% hoger is dan in A en in C 65% hoger dan in A. Iets lastiger is het om aan te geven hoeveel procent het inkomen in C hoger is dan dat in B. Dat kun je niet direct zien. Je kunt het inkomensverschil tussen C en B uitdrukken in procenten van het inkomen in B. Dat doe je zo: ((13.200 - 11.840)/11.840) x 100% = 11,49%. Met indexcijfers kan het ook: ((165 - 148)/148) x 100% = 11,49%. Opdracht Je hebt de volgende gegevens over de inkomens per inwoner van drie landen: Tabel 2.2

land A B C 1 2 3 4 5

inkomen/inwoner indexcijfer € 6.000 € 12.000 € 24.000 Kies het inkomen in land A als basis en vul het indexcijfer voor land A in. Bereken nu het indexcijfer voor land B. Doe hetzelfde voor land C. Hoeveel procent is het inkomen in land C groter dan dat in land A? Gebruik indexcijfers. Hoeveel procent is het inkomen in land C groter dan dat in land B? Gebruik indexcijfers.

b Soms is het nodig de basis van een reeks indexcijfers te verleggen. Stel dat we nu niet het inkomen in land A maar dat in land B (€ 11.840) als basis kiezen. Als we de oorspronkelijke gegevens hebben, kunnen we nu op dezelfde manier te werk gaan als hierboven. De index voor A wordt nu: (8.000/11.840) x 100 = 67,57 en die voor C: (13.200/11.840) x 100 = 111,49.


Wanneer we alleen de oorspronkelijke indexcijfers van de drie landen hebben, gaat het verleggen van de basis zo: Indexcijfer A: (100/148) x 100 = 67,57. Indexcijfer C: (165/148) x 100 = 111,49. Tabel 2.3 geeft een overzicht: Tabel 2.3

land A B C

Inkomen/inwoner 8.000 11.840 13.200

oude index 100 148 165

nieuwe index 67,57 100 111,49

Opdracht Kies nu het inkomen in land C als basis en bereken de indexcijfers voor A en B. c Soms is het nodig de indexcijfers van het bruto binnenlands product (bbp) voor een reeks van jaren te corrigeren voor de prijsstijging gedurende die jaren. In tabel 2.4 is een voorbeeld gegeven: Tabel 2.4

jaar

waarde bbp

2010 2011 2012

index waarde prijsindex bbp (2010=100) € 380 mrd 100 € 400 mrd 105,26 € 425 mrd 111,84

100 104 107

De index van de voor prijsstijging gecorrigeerde waarde van het bbp (de reële waarde) is in 2011 (105,26/104) x 100 = 101,21. Dus een stijging met 1,21%. NB. Je mag niet zeggen: de waarde van het bbp is van 2010 op 2011 gestegen met 1,26. Met als berekening: het bbp steeg nominaal met 5,26%; de prijzen zijn in die periode met 4% omhoog gegaan. Dus de reële bbp-stijging is 5,26 - 4 = 1,26%. Als benadering is deze uitkomst wel bruikbaar. Opdracht Bereken de voor prijsstijging gecorrigeerde waarde van het bpp voor het jaar 2012. d Het consumentenprijsindexcijfer is een samengesteld en gewogen indexcijfer. In tabel 2.5 vind je een voorbeeld. Tabel 2.5

goed

prijs in prijsindex basisperiode

A B C

€2 €3 €4

100 100 100

gekochte uitgaventotaal prijs nieuwe hoeveelheid in de periode basisperiode 30 € 60 € 2,50 40 € 120 € 3,30 50 € 200 € 4,80

prijsindex

125 110 120


Gevraagd wordt het prijsindexcijfer van het uitgaventotaal in de nieuwe periode. Het is fout om een ongewogen gemiddelde van de nieuwe indexcijfers te berekenen: (125 + 110 + 120)/3 = 118,33. Je moet de afzonderlijke prijsindexcijfers wegen met het uitgaventotaal in de basisperiode. Op deze manier houd je rekening met het belang van de verschillende uitgavensoorten in dat uitgaventotaal: 125 x 60 + 110 x 120 + 120 x 200 ---------------------------------------------- = 60 + 120 + 200

44.700 ------------- = 117,63 380

Opdracht Bereken het gewogen prijsindexcijfer als in tabel 2.5 alleen de uitgaventotalen in de basisperiode van goed A, B en C veranderen in € 70, € 125 en € 180.

3

Grafieken maken en lezen

In tabel 3.1 zien we hoe in de zeven dagen van de week het aantal verkochte ijsjes van € 2 per stuk eruitziet. Tabel 3.1

dag aantal ijsjes

1 40

2 60

3 30

4 20

5 50

6 60

7 40

In figuur 3.1 is het eerste kwadrant getekend van een assenstelsel. Langs de verticale as meten we het aantal verkochte ijsjes, langs de horizontale as de dagen van 1 tot en met 7. Figuur 3.1


Je ziet hoe je de gegevens uit de tabel kunt overbrengen in een grafiek. Ieder punt in de grafiek vertelt je iets. Bijvoorbeeld punt A laat zien dat er 30 ijsjes zijn verkocht op dag 3. We noemen punt A het punt (3, 30) in deze grafiek. Opdrachten 1 Wijs nu zelf het punt (5,50) aan. 2 Hoeveel ijsjes werden op dag 6 verkocht? 3 Op welke twee dagen werden er 40 ijsjes verkocht? De ijscoman wil meer weten over de kosten van het produceren van ijsjes. Hij zoekt de zaak uit in zijn administratie en merkt dat de totale kosten (in euro) evenredig toenemen met het aantal verkochte ijsjes. Tabel 3.2 laat dit zien. Tabel 3.2 Het verloop van de totale kosten

aantal geproduceerde ijsjes totale kosten

10 stuks

20 €

20 stuks

30 stuks

40 €

60 €

40 stuks

80 €

Figuur 3.2 De gegevens uit tabel 3.2 in een grafiek

In figuur 3.2 kun je zien wat in tabel 3.2 staat. Bijvoorbeeld dat 20 ijsjes maken € 40 kost. Kun je nu ook zeggen dat 15 ijsjes maken € 30 kost? Dat kan. Als je aanneemt dat het verband tussen de totale kosten en het aantal ijsjes voor elke hoeveelheid ijsjes die je maakt geldt. Je ziet dat het verband rechtlijnig is: de totale kosten zijn steeds twee keer het aantal gemaakte ijsjes. Je kunt dit opschrijven als: 6 Onderneming en omgeving – Economisch gereedschap © ThiemeMeulenhoff, 2011

Totale kosten = twee keer het aantal geproduceerde ijsjes. We noemen dit ‘recept’ de totale kostenvergelijking. In figuur 3.3 is dit verband getekend door de punten (10,20), (20,40) en (30,60) door een rechte lijn te verbinden. Dit noemen we de totale kostenlijn. Figuur 3.3 De totale kostenlijn

Opdrachten 1 Lees in de grafiek af hoeveel het produceren van 25 ijsjes gaat kosten. 2 Vul in de totale kostenvergelijking in dat je 33 ijsjes gaat maken. Hoeveel zijn dan de totale kosten?

4a

Tweedegraads functie: de parabool

De grafiek van een tweedegraads functie zoals y = - x2 + 6x - 5 is een parabool. In figuur 4.1 is deze getekend: als x is: dan geldt voor y:

0 -5

1 0

2 3

3 4

4 3

5 0

6 -5


Figuur 4.1

4b

Differentiëren

Differentiëren is een techniek waarmee we kunnen nagaan hoe een functiewaarde verandert als een onafhankelijke variabele wordt gevarieerd. In het geval y afhangt van x, kunnen we nagaan hoe y verandert als x wordt gevarieerd. We bepalen daartoe van een functie de afgeleide functie. Van de functie y = axn is de afgeleide functie dy/dx = n . ax n-1. De coëfficiënt a wordt met de exponent n vermenigvuldigd en vervolgens wordt 1 van de exponent afgetrokken. De uitdrukking dy/dx wordt het differentiaalquotiënt genoemd. In plaats van dy/dx schrijft men ook wel y’= of f’(x). Voorbeeld Van de functie y = -x2 + 6x is de afgeleide functie dy/dx = 2 . -1x2-1 + 1 . 6x1-1 = -2x1 + 6x0 = -2x + 6. Opdracht Bepaal de afgeleide functie van y = x2 + 2x + 3. Uitwerking: y= = 2 . x2-1 + 1 . 2x1-1 > y= 2 x + 2. De constante '3' verandert per definitie niet en komt dus in de afgeleide functie niet voor.

4c

Extreme waarden

De waarde van de afgeleide functie in een bepaald punt van de grafiek geeft de helling van de grafiek in dat punt aan. Die helling is de hoek die de raaklijn aan de grafiek in dat punt maakt met de x-as. Is die helling positief dan bevinden we ons in een stijgend deel van de grafiek. Is de helling negatief dan 8 Onderneming en omgeving – Economisch gereedschap © ThiemeMeulenhoff, 2011

daalt de grafiek. Bij de overgang van stijgen naar dalen in de top van een parabool is de helling van de grafiek nul. De waarde van de afgeleide functie is dan dus nul. Anders gezegd: door de waarde van de afgeleide functie gelijk aan nul te stellen, vinden we de top van een parabool. De grafiek van de functie y = -x2 + 6x is in figuur 4.2 getekend. De top is als volgt gevonden: In de top geldt y’ = 0 → y’ = -2x + 6 → 0 = -2x + 6 → x = 3. De top wordt gevonden bij x = 3; y is dan -32 + 6.3 = 9. Figuur 4.2

Om zeker te weten dat we bij de gevonden extreme waarde met een top en niet met een dal te maken hebben, moet worden nagegaan of de grafiek overging van stijgen op dalen (top) of van dalen op stijgen (dal). Daartoe is het tekenonderzoek nodig van de afgeleide functie rond het nulpunt van die functie. Tekenonderzoek: Het nulpunt van y = -2x + 6x werd gevonden voor x = 3. Links van x = 3, als x < 3, is de eerste afgeleide positief. De helling van de raaklijn aan de grafiek van de functie is positief, wat betekent dat de grafiek daar stijgt. Rechts van x = 3, als x > 3 is de eerste afgeleide negatief; dan daalt de grafiek. De extreme waarde bij x = 3 is dus een maximum. Analoog verloopt het onderzoek of van een minimum sprake is. Samenvattend: Een maximumwaarde van een functie wordt gevonden waar geldt: 1. de eerste afgeleide = 0; 2. voor het extreem stijgt de functie, daarna daalt hij. Een minimumwaarde van een functie wordt gevonden waar geldt: 1. de eerste afgeleide = 0; 2. voor het extreem daalt de functie, daarna stijgt hij.


5a

Totale, gemiddelde en marginale opbrengst

Stel dat de prijs-afzetlijn van een monopolist wordt beschreven door de prijs-afzetfunctie p = -x + 6. De totale opbrengst (TO) is gelijk aan de verkoopprijs per eenheid vermenigvuldigd met de verkochte hoeveelheid: TO = px = -x2 + 6x. De marginale opbrengstfunctie is: MO of TO== (dTO)/dx = -2x + 6. In figuur 5.1 is ten eerste de grafiek van de TO-functie getekend: een bergparabool. Ook is afgebeeld de grafiek van de dalende lineaire MOfunctie. Ten derde zien we de grafiek van de gemiddelde opbrengstfunctie GO = (px)/x = -x + 6 in beeld gebracht. Figuur 5.1

De grafiek van de totale opbrengst stijgt vanaf het nulpunt tot de top. Raaklijnen aan deze kromme maken een positieve hoek met de x-as. De stijging neemt voortdurend af: de hoek die de raaklijnen met de x-as maken, wordt steeds kleiner. De grafiek van de marginale opbrengst, die de verandering van de totale opbrengst weergeeft, is over dit traject positief en dalend. In de top is de stijging van de TO-grafiek gelijk aan nul, de raaklijn loopt horizontaal; daarna zet een daling in. De MO-grafiek is gelijk aan nul waar de TO- zijn top bereikt en wordt daarna negatief dalend.

5b

Totale en marginale kosten

De marginale kostenfunctie is de eerste afgeleide functie van de totale kosten. De marginale kosten geven aan hoe de totale kosten veranderen als de hoeveelheid x wordt gevarieerd. De lineaire totale kostenfunctie TK = mx + n heeft als marginale kostenfunctie MK of TK= = (dTK)/dx = m. In figuur 5.2 zijn de grafieken van beide getekend. 10 Onderneming en omgeving – Economisch gereedschap © ThiemeMeulenhoff, 2011

Figuur 5.2

5c

Maximale totale winst

De totale winst (TW) is gelijk aan het verschil tussen de totale opbrengst (TO) en de totale kosten (TK): TW = TO - TK. Gegeven zijn de prijs-afzetfunctie p = -x + 6 en de totale kostenfunctie TK = 2x. Bij welke prijs is de totale winst maximaal? Er geldt: TO = -x2 + 6x TK = 2x ------------------- TW = -x2 + 4x Voor een maximum van TW moet gelden: 1. TW’ = 0 2. De afgeleide functie is vóór het extreem positief en erna negatief. 1. TW’ = -2x + 4 = 0 → x = 2 2. De TW-functie is maximaal voor x = 2, waarbij p = 4. In figuur 5.3 is een en ander getekend.


Figuur 5.3

Het maximum van TW kan ook op een andere manier worden gevonden. Uit TW = TO - TK volgt TW '= TO' - TK'. Voor een maximum geldt TW' = 0, dus TO' - TK' = 0 → TO' = TK', ofwel MO = MK. 12 Onderneming en omgeving – Economisch gereedschap © ThiemeMeulenhoff, 2011

Toegepast op het voorbeeld ad a volgt: MO = TO= = -2x + 6 MK = TK= = 2 MO = MK > -2x + 6 = 2 > x = 2. In figuur 5.3 is deze benadering getekend.


Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap

Recommend Documents