Oefeningen Smering : toepassing van de Navier-Stokes vergelijkingen
1.
Beschouw een permanente, laminaire stroming in de x-richting van een fluïdum met een laagdikte h, dichtheid D en dynamische viscositeit : over een hellend vlak onder een hoek $ met een vertikale. Bepaal de uitdrukking voor de het snelheidsprofiel Vx = f(y) en voor het debiet over een plaat met een breedte b (in de richting loodrecht op het vlak van het blad). Teken het snelheidsprofiel Vx = f(y).
Oplossing :
Vx Q
= =
yö r g h 2 cos b y æ ç2 - ÷ hè hø 2m r g h3 b cos b 3m
2.
Vlakke Couette stroming : Beschouw een vlakke plaat die met een horizontale snelheid U beweegt in de x-richting in een fluïdum met laagdikte h, dichtheid D en dynamische viscositeit : over een vlakke, horizontale, vaste plaat. Bovendien is er een drukgradiënt aanwezig in de x-richting. Veronderstel een permanente, laminaire stroming. Bepaal de uitdrukking voor de het snelheidsprofiel Vx = f(y) en voor het debiet over een plaat met een breedte b (in de richting loodrecht op het vlak van het blad). Teken het snelheidsprofiel Vx = f(y) voor het geval met respectievelijk een drukgradiënt die positief, negatief (tegendruk) of gelijk aan nul is en zowel voor het geval met als zonder horizontale snelheid U van de plaat.
Oplossing :
Vx Q
= =
h2 æ y U+ ç1 h 2m è
y ö y æ dp ö ÷ ç- ÷ h ø h è dx ø
bh b h 3 æ dp ö U+ ç- ÷ 2 12 m è dx ø
3.
Beschouw een permanente, laminaire stroming van een fluïdum met dichtheid D en dynamische viscositeit : doorheen de wand van een dubbelwandige cilinder met buitenstraal R en binnenstraal kR (wanddikte a = (1-k)R) indien er een drukgradiënt aanwezig is in de z-richting. Bepaal de uitdrukking voor de het snelheidsprofiel Vz = f(r) en voor het debiet (gebruik hiertoe cilindrische coördinaten (r, 1, z)). Teken het snelheidsprofiel Vz = f(r). Bepaal op basis van de gevonden uitdrukkingen de limietwaarde voor het snelheidsprofiel en het debiet voor het geval van een stroming doorheen een buis zonder kern.
Oplossing : 2 2 1 - k2 æ dp ö R é æ r ö æ r öù Vz = ç - ÷ 1 ln + ç ÷ú ê ç ÷ è dz ø 4 m êë è R ø ln (1 k ) è R ø úû é 1 - k2 ù p R 4 æ dp ö 2 2 Q = ç - ÷ 1 - k ê1 + k ú 8 m è dz ø ln (1 k ) û ë
(
)
Buis zonder kern :
2 2 æ dp ö R é æ r ö ù Vz = ç - ÷ ê1 - ç ÷ ú è dz ø 4 m êë è R ø úû p R 4 æ dp ö Q = ç- ÷ 8 m è dz ø
4.
Beschouw een permanente, laminaire stroming van een fluïdum met dichtheid D en dynamische viscositeit : in een cilinder met binnenstraal R met daarin een bewegende cilindrische staaf met straal kR (speling a = (1-k)R). De staaf beweegt in de z-richting met een snelheid U en er is een drukgradiënt aanwezig in de z-richting. Bepaal de uitdrukking voor de het snelheidsprofiel Vz = f(r) en voor het debiet (gebruik hiertoe cilindrische coördinaten (r, 1, z)). Teken het snelheidsprofiel Vz = f(r) voor het geval met respectievelijk een drukgradiënt die positief, negatief (tegendruk) of gelijk aan nul is.
Oplossing :
Vz Q =
2 2 U 1 - k2 æ r ö ù æ rö æ dp ö R é æ r ö + = ç- ÷ 1 ln ç ÷ ú + ln ç ÷ ê ç ÷ è R ø úû ln (1 k ) è R ø è dz ø 4 m êë è R ø ln k é æ 1 - k2 ö p R 4 æ dp ö 1 - k2 ù 2 2 2 +pR Uç - k2÷ ç - ÷ 1 - k ê1 + k ú 8 m è dz ø ln (1 k ) û è 2 ln (1 k ) ø ë
(
)
5.
Beschouw een vlakke plaat die onder een hoek $ met een horizontale voortbeweegt in de x-richting met een horizontale snelheid U in een fluïdum met een variabele dikte h , een dichtheid D en een dynamische viscositeit : over een vlakke, horizontale, vaste plaat. Veronderstel een permanente, laminaire stroming. Bepaal de uitdrukking voor de het snelheidsprofiel Vx = f(y, h) en voor het debiet tussen de platen met een breedte b (in de richting loodrecht op het vlak van het blad). Teken het snelheidsprofiel Vx = f(y, h). Bereken en teken het drukverloop p op de bewegende plaat.
Oplossing : In assenstelsel meebewegend met de plaat :
Vx Q
æ = ç1 è =
p =
h2 æ yö ÷U+ ç1 hø 2m è
bh b h3 U+ 2 12 m
p0 +
y ö y æ dp ö ÷ ç- ÷ h ø h è dx ø
æ dp ö ç- ÷ è dx ø
6 m U x (l - x)
(2 L - l) tg 2b ( L - x)2
In een vast assenstelsel :
Vx Q
= =
y h2 æ - U+ ç1 2m è h
y ö y æ dp ö ÷ ç- ÷ h ø h è dx ø
bh b h 3 æ dp ö U+ ç- ÷ 2 12 m è dx ø
met : h = (L - x) tg $
6.
Viscosimeter van Couette : Beschouw twee concentrische cilinders met hoogte h en met een fluïdum ertussen met densiteit D en dynamische viscositeit :, waarvan de buitenste cilinder met straal R roteert met een constante hoeksnelheid T, terwijl de binnenste cilinder met straal kR stil staat (speling a = (1-k)R). Bepaal de uitdrukking voor het snelheidsprofiel V1 = f(r) (gebruik hiertoe cilindrische coördinaten (r, 1, z)). Teken het snelheidsprofiel V1 = f(r). Bepaal de uitdrukking voor de dynamische viscositeit : in functie van de kracht F op de binnenste cilinder.
Oplossing :
Vq
rw w k2 R2 1 = 1 - k2 1 - k2 r
Benadering voor a zeer klein :
m
=
aF 2 p w R2 h
