Pagina 1 van 11
Oefeningen Financiële wiskunde Hoofdstuk 1:
Inleidende begrippen
1.1. Bereken het renteperunage en de rentefactor
4% 10% 100% 11,2/8% 11,11% 111%
Renteperunage (i) 0,04 0,1 1 0,1125 0,1111 1,11
Rentefactor (u) 1,04 1,1 2 1,1125 1,1111 2,11
1.2. Bereken n voor 11 jaar en 6 maanden als i = 0,11 per semester n = 23 semesters (22+1) 8 jaar en 3 maanden als p = 12% per kwartaal n = 33 kwartalen (32+1) 10 jaar en 9 maanden als i = 0,08 per trimester n = 43 trimesters (40+3) 1.3. Een contract liep van 5 december 1999 tot 27 maart 2000. Bepaal het aantal rentedagen. December 31-5=26, januari 31, februari 29 en maart 27 : Σ 113 1.4. Idem maar in 2000 en 2001. December 31-5=26, januari 31, februari 28 en maart 27 : Σ 112 1.5. Een contract loopt het laatste kwartaal. Bepaal het aantal rentedagen. Oktober 31, november 30 en december 31-1 : Σ 91 (eerste of laatste dag niet)
Pagina 2 van 11
Hoofdstuk 2:
Enkelvoudige intrest
2.1. Bereken I en Kn Ko 200 000 250 000 300 000 330 000 50 000 80 000 110 000 125 000
n 4 jaar 380 dagen 225 dagen 3 jaar en 70 dagen 95 dagen 225 dagen 61 dagen 145 dagen
i 8,1/8% per jaar 7,7% per semester 1,8% per maand 4,15% per trimester 0,10 0,12 0,14 0,16
*
250 000.(7,7/100).2 = 38 500 250 000.(7,7/100).15/180 = 1 604,17
**
300 000.(1,8/100).225/30 = 40 500
I (Ko.i.n) 65 000 40 104,17 * 40 500 ** 174 991,67 *** 1 301,37 5 917,81 2 573,70 7 945,21
Kn (Ko+I) 265 000 290 104,17 340 500 504 991,67 51 301,37 85 917,81 112 573,70 132 945,21
*** 330 000.(4,15/100).(4.3+70/90) = 174 991,67 2.2. Bereken Ko I 27 778,8 2 275 13 883,3 3 258,5 265 000 290 639 340 500
n 3 jaar en 7 maanden 6 maanden 340 dagen 190 dagen 4 jaar 380 dagen 225 dagen
i 0,0775 0,0910 0,1225 0,1715 8,1/8% per jaar 7,7% per semester 1,8% per maand
*
27 778,8 / (0,0775.(3+7/12)) = 100 028,69
**
265 000 / (0,8125.4) = 815 384,62
***
290 639 / (7,7/100).(2+15/180) = 1 811 775,58
****
340 500 / (1,8/100).(225/30) = 2 522 222,22
Ko (I/i.n) 100 028,69 * 50 000 121 666,37 36 500 815 384,62 ** 1 811 775,58 *** 2 522 222,22 ****
2.3. Bereken n Ko 700 200 300 500
000 000 000 000
i 0,09 0,11 0,12 0,16
I 36 750 31 166,66 81 000 100 000
n (I/Ko.i)
0,583… = 7 maanden 1,416… = 1 jaar 5 maanden 2,25 = 2 jaar en 3 maanden 1,25 = 1 jaar en 3 maanden
2.4. Bereken i per jaar en per kwartaal Ko 200 000 150 000 175 000 80 000
n 2 jaar 3 jaar en 1 maand 190 dagen 310 dagen
I 45 000 45 787,5 11 545,14 6 200
* 45 787,5 / (150 000.37/12) = 0,0990
i/jaar (I/Ko.n) 0,1125 0,0990 * 0,1267 0,09125
i/kwartaal 0,028125 0,02475 0,03168 0,0228125
Pagina 3 van 11
2.5. Stel Kn grafisch voor a) Ko = 1000 b) Ko = 100 Kn = Ko + Ko . i . n
i = 0,12 n=5
n = 2; i = 0,1;
4; 0,05;
6 0,02
a) 2 jaar: Kn = 1 000 + (1 000 . 0,12 . 2) = 1 240,00 4 jaar: Kn = 1 000 + (1 000 . 0,12 . 4) = 1 480,00 6 jaar: Kn = 1 000 + (1 000 . 0,12 . 6) = 1 720,00
b) i 0,1: Kn = 100 + (100 . 0,1 . 5) = 150,00 i 0,05: Kn = 100 + (100 . 0,05 . 5) = 125,00 i 0,02: Kn = 100 + (100 . 0,02 . 5) = 110,00
2.6. Bereken de intrest van een lening van 200 000 gedurende 2 maanden aan 4% per semester. i = 200.000,00 . 4 % . 2/6 = 2 666,67 2.7. Een belastingplichtige is 100 000 schuldig aan de fiscus sinds 4 maand. De nalatigheidintrest bedraagt 1% per maand. Bereken zijn nalatigheidintrest. i = 100 000,00 . 1% . 4 = 4000,00 2.8. Een gezin koopt nieuwe meubelen met een waarde van 1 500 en betaalt 3000 contant en de rest in 36 maandelijkse afbetalingen. De lasten bedragen 4% per jaar. Bepaal de grootte van de afbetalingen. Te financieren bedrag : 1 500 – 300 = 1 200,00 Gemiddelde looptijd (m’): 1 + 36/2 = 18,5 I = 1 200,00 . 24 % . 18,5/12 = 444,00 Ko + I = 1 200,00 + 444,00 = 1 644,00 Grootte afbetaling: 1 644,00/36 = 45,67
Pagina 4 van 11
2.9. Iemand koopt een auto van 35 000 op volgende condities: contant 10 000 en de rest met 12 tweemaandelijkse afbetalingen van 300. Welk lastenpercentage werd hier aangerekend? Te financieren bedrag: 35 000 – 10 000 = 25 000 Gemiddelde looptijd (m’): 2 + 24/2 = 13 De koper moet 3000 . 12 betalen = 36 000 De vergoeding voor intrest & kosten bedraagt dus: 36 000 – 25 000 = 11 000 i = (11 000. 12)/(25 000. 13) = 40,62 % 2.10.Een gezin koopt goederen voor een waarde van 30 000,16. Contant betaalt men 6 000 en de rest met maandelijkse termijnen van 1 576,12. De lasten belopen 23% per jaar. Bereken het aantal termijnen. Te financieren bedrag: 30 000,16 – 6 000,00 = 24 000,16 Gemiddelde looptijd: (m’): (1+X)/2 1 576,12 X = Ko + I (Ko . i . m’)/12 = 24 000,16 + [24 000,16 . 0,23 . (1+X)/2]/12 1 576,12 X = 24 000,16 + 230 + 230 X 1 346,12 X = 24 230,16 X = 18 maanden 2.11.Iemand wenst een persoonlijke lening aan te gaan van 15 000. Terugbetaling over 36 maanden. Intrest 0,80% per maand verhoogd met 10% dossierkosten. Bereken de maandelijkse termijnen en de werkelijke intrest. Kapitaal: 15 000,00 Intrest: 4 320,00 (15 000 . 0,008 . 36) 423,00 (0,10 . 4 320,00) Dossierkost: Totaal: 19 752,00 Maandelijkse termijn: 19 752,00/36 of 548,67 i = (4 752 . 12) / (15 000 . 18,5) m’ = 1 + 36 / 2 = 0,20549 of 20,55 % (ook wel JKP genoemd) 2.12.Iemand koopt huisraad voor een contante waarde van 25 000. Men betaalt contant 5 000 en de rest in maandelijkse termijnen van ongeveer 150. De aangerekende lasten belopen 18% per jaar. Stel het afbetalingsplan op. Te financieren bedrag: 25 000,00 – 5 000,00 = 20 000,00 Gemiddelde looptijd (m’): 1 + X / 2 De koper betaald: 150 X = 20 000 + [20 000 . 0,18 . (1+X)/2]/12 150 X = 20 000 + 150 + 150 X X = 20 150,00 Oplossing: * Wanneer betaalt men? 1 maand na aankoop * Hoeveel betaalt men? 150 EUR per maandag * Hoelang betaalt men? Zonder einde, want men betaalt in feite te weinig terug: het deel terugbetaling is kleiner dan het deel van de aangerekende intrest.
Pagina 5 van 11
Hoofdstuk 3:
Samengestelde intrest
3.1. Bereken Kn i 0,11 0,03 per trimester 1% per maand 0,06 1/11 2,75% per semester
Ko 20 000 50 000 50 000 1 20 000 250 000 *
50 000.(1,03)40 = 163 101,89
**
50 000.(1,01)120 = 165 019,35
***
1.(1,06)75/12 = 1,44
****
20 000.(1+1/11)10 = 47 743,65
*****
250 000.(1,0275)14 + 4/6 = 372 169
n 10 jaar 10 jaar 10 jaar 6 jaar en 3 maanden 10 jaar 7 jaar en 4 maanden
Kn = (Ko.un) 56 788,42 163 101,89 * 165 019,35 ** 1,4393 *** 47 743,65 **** 372 169 *****
3.2. Een gemeente telt 9 500 inwoners en kent een bevolkingsgroei van 2/53 per jaar. Hoeveel volk zal er wonen na 20 jaar? Kn = Ko . un = 9 500 . (1 + 2/53)20 = 19 928 3.3. Bereken Ko Kn 50 000 1 100 000 100 000
i 0,0465 3,87% 0,06 per trimester 2% per semester
*
50 000/1,046515 = 25 286,08
**
1/1,03874 = 0,86
n 15 jaar 4 jaar 10 jaar en 3 maanden 5 jaar en 3 maanden
Ko = (Kn/un) 25 286,08 * 0,8590 ** 9 171,90 *** 81 226,59 ****
*** 100 000/1,0641 = 9 171,90 **** 100 000/1,0210,25 = 81 629,71 3.4. Men kan een eigendom onderhands kopen onder volgende voorwaarden: a) 200 000 contant b) ofwel 280 000 betaalbaar na 4 jaar c) ofwel 325 000 betaalbaar na 6 jaar Als men rekening houdt met een rentevoet van 9,25% per jaar, wat is dan de beste keuze? a) 200 000 b) Ko = Kn/un = 280 000 / (1,0925)4 = 196 549,64 c) Ko = 325 000 / (1,0925)6 = 191 141,37
De beste keuze is: c
Pagina 6 van 11
3.5. Een persoon heeft op zijn 30ste verjaardag 100 000 geplaatst aan 10%. Vanaf zijn 60ste neemt hij telkens op zijn verjaardag 10 000 op. Hoeveel laat hij na als hij kort na zijn 75ste verjaardag sterft?
Kn = Ko . un Kn = 100 000 . (1,1)45 - 10 000 . (1,1)0 - 10 000 . (1,1)1 - 10 000 . (1,1)2 … - 10 000 . (1,1)15 = 6 929 549,08 3.6. Welk kapitaal moet men plaatsen à 12% per jaar om hetzelfde kapitaal te bekomen van 100 000 à 15% geplaatst. De duur van beide beleggingen is 9 jaar. Kn = Kn . un = 100 000 . (1,15)9 = 351 787,63
Ko = Kn / un = 351 787,63 / (1,12)9 = 126 858,15
3.7. Een persoon wenst gedurende 7 jaar en 7 maand een lening aan te gaan die afbetaald wordt met 1 000 000. De ingecalculeerde intrest is 4,25%. Hoeveel kan hij nu lenen? Ko = Kn / un = 1 000 000 / (1,0425)7 + 7/12 = 729 328,50 3.8. Na hoeveel tijd zullen 2 kapitalen nl. 50 000 à 5% en 80 000 à 3,5% eenzelfde slotwaarde van 250 000 hebben. n = log (Kn/Ko) / log u a) n = log (250 000 / 50 000) / log 1,05 = 32,987 -> 32 jaar, 11 maand en 26 dagen (32 jaar en 361 dagen) b) n = log (250 000 / 80 000) / log 1,035 = 33,122 -> 33 jaar, 1 maand en 14 dagen (33 jaar en 45 dagen) 3.9. Indien het aantal overlijdens constant 1/42 bedraagt per jaar en het aantal geboorten 1/35 per jaar, na hoeveel tijd zal deze populatie dan verdubbeld zijn? n= = = =
log (Kn/Ko) / log u log 2 / log (1 + 42 - 35/42 . 35) 145,9072072 145 jaar, 10 maand en 27 dagen
Pagina 7 van 11
3.10 Iemand leent 236 750 die hij met 2 betalingen van elk 200 000 moet terugbetalen. Wat is de werkelijke rente indien de eerste terugbetaling na 5 jaar en de tweede 5 jaar later gebeurt?
236 750 = 200 000 . u-5 + 200 000 . u-10 Stel: u-5 = x 236 750 = 200 000 . x + 200 000 . x2 ax2 + bx + c = 0 hier is a = 200 000 b = 200 000 c = 236 750
x = -b +- √b2 – 4ac / 2a hier is a = 1 b=1 c = - 236 750 / 200 000 = - 1,18375 x1 = -1 + √12 – [4 . 1 . (-1,18375)] 2 = -1 + √5,735 / 2 = 0,697393 x2 = -1 - √12 – [4 . 1 . (-1,18375)] 2 = -1 - √5,735 / 2 = -1,697393 (niet bruikbaar)
u = x1-1/5 of -5√x = 0,697393-1/5 i = 0,697393-1/5 – 1 . 100 = 7,47 % 3.11 Een erfenis van 4 500 000 moet verdeeld worden onder 3 personen van 15, 11 en 8 jaar. Hoe moet de verdeling gebeuren opdat ze alledrie op hun 21ste ofwel hetzelfde bedrag ofwel dezelfde koopkracht zouden bezitten. Men rekent met een verrekenintrest van 10%. Koopkracht: 4 500 000 / 3 = 1 500 000 Hetzelfde bedrag: 8 jaar: 4 500 000 / 1 + 1(1,1)3 + 1(1,1)7 = 1 051 471,37 1 051 471,37 . (1,1)13 = 3 629 964,34 11 jaar: 4 500 000 / 1(1,1)-3 + 1 + 1(1,1)4 = 1 399 508,39 1 399 508,39 . (1,1)10 = 3 629 964,34 15 jaar: 4 500 000 / 1(1,1)-7 + 1(1,1)-4 + 1 = 2 049 020,24 2 049 020,24 . (1,1)6 = 3 629 964,34 Controle : 1 051 471,37 + 1 399 508,39 + 2 49 020,24 = 4 500 000
Pagina 8 van 11
3.12.Iemand plaatst een kapitaal van 120 000 op samengestelde intrest. Na 10 maand bedraagt het 125 000. Na nog eens 2 jaar en 6 maand is het tot 144 900 aangegroeid. Bereken i voor beide perioden. i = (Kn/Ko)1/n – 1 Na 10 maand: i = (125 000/120 000)1/10/12 – 1 = 5,02 % Na nog eens 2 jaar en 6 maand: i = (144 900/125 000)1/2,5 – 1 = 6,09 % 3.13.Iemand bezit een kapitaal van 100 000 dat hij plaatst op samengestelde intrest. Als hij het een jaar minder lang plaatst is het eindkapitaal 3 914,32 minder en als hij dat een jaar langer plaatst 4031,77 meer dan wat het werkelijk is. Hoe lang heeft het kapitaal uitgestaan en tegen welk rendement? •
Kn + 4 031,77 = (Kn + 3 914,32) u i = 4 031,77/3 914,32 – 1 = 3 %
•
100 000 . un = 100 000 . 1,03n – 1 + 3 914,32 of 1 . un = 1 . 1,03n – 1 + 3 914,32/100 000 1,03n – 1,03n – 1 = 3 914,32/100 000
n = log (Kn/Ko) / log u n = log (3 914,32/100 000)/1 – 1,03 -1 log 1,03 = 10 jaar
Pagina 9 van 11
Hoofdstuk 4:
De gelijkwaardige of equivalente rentevoet
4.1. Bereken de werkelijke rentevoet van 7,1% per semester. r = (1,071)2 – 1 = 0,147041 . 100 = 14,70 % 4.2. Bereken de reële rentevoet van 1,2% en van 1,4% per maand. 1,2 % r = (1,012)12 – 1 = 15,39 % per jaar (altijd reële rentevoet) 1,4 % r = (1,014)12 – 1 = 18,16 % per jaar 4.3. Bereken de rentevoet per semester gelijkwaardig aan 1% per maand. r = (1,01)6 – 1 = 6,152 % Æ 3 cijfers na komma want tis semester 4.4. Bereken de kwartaalrentevoet gelijkwaardig aan 10% reële rente. En wat indien het 10% nominale rente was? Kwartaalrentevoet r = (1,1)1/4 – 1 = 2,411 % Æ kwartaal dus 3 cijfers na komma Nominale rentevoet i = j(k) i = 10 %/4 = 2,5 % 4.5. Bereken de nominale rentevoet gelijkwaardig met een reële rentevoet van 4,7% bij maandelijkse, driemaandelijkse en semesteriele kapitalisaties. Maandelijks r = 12 . (12√1,047 – 1) = 4,60 % Driemaandelijks r = 4 . (4√1,047 – 1) = 4,62 % Semesterieel r = 2 . (√1,047 – 1) = 4,65 % 4.6. Bereken de reële rentevoet van a) 2% op 5 maand b) 4% op 8 maand c) 4/43 op 9 maand a) r = (1,02)12/5 – 1 = 4,87 % b) r = (1,04)12/8 – 1 = 6,06 % c) r = (1 + 0,093023256)12/9 – 1 = 12,59 % 4.7. Bereken de rentekracht van een reële rente van 10% en van een nominale rentevoet van 10% bij 2, 4, 12 kapitalisaties. K . ln(1 + j(k)/k) = ln(1 + r) = ln(1 +0,1) = 9,53 %
Pagina 10 van 11
Bij 2 kapitalisaties 2 . ln(1,05) = 9,76 % Bij 4 kapitalisaties 4 . ln(1,025) = 9,88 % Bij 12 kapitalisaties 12 . ln(1 + 0,1/12) = 9,96 % 4.8. Bereken de slotwaarde van een kapitaal van 1 000 000 na 10 jaar bij een rentekracht van 0,04. Kn = Ko . e§n
RM: 0,04 . 10 2nd ex . 1 000 000
Kn = 1 000 000 . e(0,04 . 10) = 1 491 842,7 4.9. Iemand kan een kapitaal van 250 000 plaatsen gedurende 10 jaar aan de volgende voorwaarden a) 16, 1% per jaar b) 8,05% per semester c) 4,025% per kwartaal Zijn de condities gelijkwaardig? Verklaar waarom? Kn = Ko . un a) Kn = 250 000 . (1 + 16,1 %)10 = 1 112 403,14 b) Kn = 250 000 . (1 + 8,05 %)20 = 1 176 076,12 c) Kn = 250 000 . (1 + 4,025 %)40 = 1 211 850,34 Î ze zijn niet gelijkwaardig. (nominaal zijn ze wel gelijkwaardig). 4.10.Iemand heeft 200 000 aan 8,5% nominaal per jaar geplaatst voor een duur van 5 jaar en 3 maanden. Bereken de eindwaarde. Bekomen we dezelfde eindwaarde bij kapitalisatie per trimester en per maand? Kn = Ko . un 5 jaar en 3 maanden Kn = 200 000 . (1,085)5,25 = 306 927,73 Kapitalisatie per trimester Kn = 200 000 . (1,085/4)21 = 311 030,84 Kaptialisatie per maand Kn = 200 000 . (1,085/12)63 = 311 997,23
Pagina 11 van 11
4.11.Een belegging aan 9% nominaal per jaar zal op 3 jaar een slotwaarde van 1 574 000 bereikt hebben. Wat is haar aanvangswaarde bij a) jaarlijkse kapitalisatie b) trimesteriele kapitalisatie c) maandelijkse kapitalisatie d) halfmaandelijkse kapitalisatie Ko = Kn/(1 + j(1)/1)1n a) Ko = 1 574 000/(1 + 0,09/1)3 = 1 215 416,80 b) Ko = 1 574 000/(1 + 0,225/1)12 = 1 205 160,46 c) Ko = 1 574 000/(1 + 0,0075/1)36 = 1 202 770,46 d) Ko = 1 574 000/(1 + 0,00378/1)72 = 1 202 166,25
