—1— Tato Příloha 801 je součástí článku 19. Návrh axiálních a diagonálních stupňů lopatkových strojů, http://www.transformacni-technologie.cz/navrh-axialnicha-diagonalnich-stupnu-lopatkovych-stroju.html.
Odvození rovnice pro optimální aerodynamické zatížení axiální stupně Přibližnou rovnici lze odvodit za těchto zjednodušujících předpokladů: (1) Součinitel odporu lopatkové mříže je velmi malý a blízký nule cx≈0. (2) Stupeň pracuje při optimální obvodové práci tzn. c2u=0 pro turbínové stupně a c1u=0 pro stupně pracovních strojů. Optimální zatížení lze vypočítat z rovnice pro hustotu lopatkové mříže: σ=
2⋅lu c a⋅cos ̄ε u⋅cz⋅w st w st⋅sin(βst+̄ε ) [16. id809]
(a).
Pro cx≈0 bude klouzací poměr roven nule: ̄ε=0 .
Odtud lze rovnici (a) zjednodušit: σ=
σ=
2⋅lu ca u⋅cz⋅w st w st⋅sin βst wst⋅sin βst =wst , a=c a 2⋅lu u⋅cz⋅w st
(b).
—2— Součinitel vztlaku při absenci třecích sil: 2 c z=cz , iz = σ (cotgβ1 −cotgβ2 ) sin βst [16. id633].
Odtud po dosazení do rovnice (b) a úpravě lze získat optimální poměr mezi obvodovou prací stupně, obvodovou rychlostí, axiální rychlostí a zakřivení proudu: σ=
1=
2⋅lu 2 u σ (cotgβ1 −cotg β2 )sinβst⋅wst lu u( cotgβ1 −cotgβ2 )c a
(c).
Dále lze rovnici ještě zjednodušit zvlášť pro turbínový stupeň a zvlášť pro stupeň pracovního stroje. Tvar rychlostních trojúhelníků pro turbínový stupeň je následující: α1 c1
w1
u
β1 β2 c2 = ca u
Optimální rychlostní trojúhelník turbínového stupně.
Z rychlostního trojúhelníku lze odvodit: c a=c1 sinα1 . cotgβ1 =
c1 u−u c 1 cos α1 −u = . ca ca
w2
—3— cotg(β2 −90°)= cotgβ2 =−
c a cotg β2⋅cotg 90 °+1 1 = = u cotg 90°−cotg β2 −cotg β2
u ca .
Dosazením posledních rovnic do rovnice (c): 1=
lu lu = u⋅c 1 cos α1 c cos α 1−u u u 1 − ca ca ca
(
(d).
)
K poslední rovnici se lze dopracovat i jednodušeji: l lu 1= u = lu u⋅c 1 cos α1 , ovšem při tomto odvození šlo
především o souvislost s aerodynamikou lopatkové mříže. Spojení s aerodynamickým zatížením stupně lze vytvořit pomocí zakřivení proudu, které je velmi blízké zakřivení střední čáry profilu lopatky, ze kterého lze usuzovat konstrukční požadavky a typ stupně. Zakřivení proudu je definováno: β2−β1 =Δ β označení zakřivení podle [15. id315].
V trigonometrii je přehlednější pracovat s funkcí tangent než kotangent, proto předchozí rovnice pro výpočet úhlu relativních rychlostí převedeme na tvar:
(
c cos α1 −u tg β1= 1 ca
−1
) (
= cotg α1 −
u c1 sin α1
−1
)
—4—
[(
β1=atg cotgα1 −
u c 1 sin α1
) ]. −1
Úhel β1 bude při c 1 cos α1 −u<0 vždy větší jak 90°. Při výpočtu je nutné tuto skutečnost kontrolovat, protože funkce tangent je opakující se. u u = c a c 1 sin α 1 u β2=atg c 1 sin α 1 . tg β2 =
(
)
( )
u Člen atg c nemůže vyjít větší než 90° přesto úhel β2 a bude vždy větší jak 90°, takže je nutné poslední rovnici psát ve tvaru:
(
β2=atg
)
u +90 ° . c 1 sin α 1
) [(
(
u u Δ β=90 °+atg −atg cotg α 1− c 1 sinα 1 c 1 sinα 1
) ]. −1
Poměr u/c1 je tzv. rychlostní poměr: x 1=
u c1 [18. id345].
(
Δ β=90 °+atg x 1
) [(
1 1 −atg cotg α1 −x1 sinα1 sinα 1
)] −1
Minimální poměr u/c1 pro případ turbínové mříže lze odvodit z nerovnosti:
(e).
—5— w2 ⩾1 . w1
Z tvaru optimálního rychlostního trojúhelníka pro axiální turbínové stupně plyne: c 1u – u⩽u c 1 cos α1 – u⩽u cosα 1 u ⩽ 2 c1
(f).
Obdobně lze pro stupeň pracovního stroje přímo odvodit: l l 1= u = u . lu u⋅c 2u
Při proudění stupněm pracovního stroje je sledovanou veličinou rychlost w1, která přímo ovlivňuje aerodynamiku profilu, a nikoliv c2, proto bude praktičtější, když poslední rovnice bude upravena jako funkce rychlosti w1: c 2u=w 2u−u ca ca → w2u= w 2u tg β2 2 2 2 c a=w 1−u β2=β1+Δ β tg β1+tgΔ β tg β2 =tg (β1 +Δ β )= 1−tg β1 tg Δ β c tg β1= a u tg β2 =
—6—
w2u=
c a (1−tgβ1 tg Δ β) = tgβ1 +tg Δ β
(
c a 1−
ca tg Δ β u
)
c a−
c2a tg Δ β u
= = ca ca +tg Δ β +tg Δ β u u u⋅c a−c 2a tg Δ β u⋅c a−w 12⋅tg Δ β+u2⋅tg Δ β = = . c a+u⋅tg Δ β c a+u⋅tg Δ β u⋅ca −w 21⋅tg Δ β+u2⋅tg Δ β −u= c a+u⋅tg Δ β u⋅c a−w 21⋅tgΔ β+u2⋅tg Δβ−u⋅c a−u2⋅tg Δ β −w 21⋅tg Δ β . = = c a +u⋅tg Δ β c a +u⋅tg Δ β c 2u=
1=−
lu l lu =− 2 u =− . 2 w ⋅tg Δ β w1⋅tg Δ β w1⋅tg Δ β u c a +u⋅tg Δβ ca tg β1+tg Δ β +tg Δ β u 2 1
Podstatné pro návrh je také to v jakých řádech se budou měnit otáčky respektive obvodová rychlost: cosβ1 =
u → u=w 1 cosβ1 . w1
Podklady pro konstrukci nomogramů Zde popsaná konstrukce nomogramu [42.] pro aerodynamické zatížení axiálního turbínového stupně je pro α1=13°. (úhel vstupní absolutní rychlosti bývá obvykle větší jak 10° a menší než 20°), v logaritmických souřadnicích, kde na svislé ose jsou velikosti vstupní absolutní rychlosti c1 a na vodorovné obvodové rychlosti
—7— u. V tomto diagramu jsou pak izopléty obvodové práce lu a zakřivení proudu Δβ jako funkce c1 a u. Izopléta obvodové rychlosti bude přímka, protože tvar Rovnice (d) v logaritmických souřadnicích bude přímka: u⋅c 1 cos α1 =lu →log u+log(0,9743⋅c 1 )=log lu .
Tato přímka má zápornou směrnici, protože při růstu obvodové rychlosti musí klesat vstupní absolutní rychlost při konstantní obvodové práci. Izopléta zakřivení proudu bude také přímka. Toto tvrzení o opřeno o tvar Rovnice (e) pro zakřivení proudu, ze které je očividné, že konstantní zakřivení bude při konstantním poměru obvodové a vstupní absolutní rychlosti. Tvar této přímky lze odvodit z následující rovnice:
—8— u =K →log u−log c 1=log K c1
kde K je konstanta, které se vypočítá pro požadovanou velikost zakřivení proudu Δβ.
—9—
c1
u Tvar nomogramu pro aerodynamické zatížení axiálního turbínového stupně.
Rozsah c1 i u navrhuji od 1 m·s-1 do 1000 m·s-1. tj. rozdíl tří řádů, jestliže vzdálenost mezi řády bude 1 potom ostatní vzdálenosti na ose c1 a u budou následující: 1~0,0000 5~0,6990 9~0,9542
2~0,3010 3~0,4771 4~0,6021 6~0,7782 7~0,8451 8~0,9031 10~1 [Tabulka 42.942]
Souřadnice konstrukce izopléty lu=10 J·kg-1 budou následující: Osu u protíná tato izopléta:
— 10 — u=
lu 10 = =10,263m⋅s−1 . c1⋅cos α1 cos 13°
Osu rychlosti c1 protíná: c 1=
lu 10 −1 = =10,263 m⋅s . u⋅cos α1 cos 13 °
Na ose c1 nebo u tato hodnota odpovídá vzdálenosti log 10,263=1,0113 . Všechny izopléty lu budou s touto izoplétou rovnoběžné. Takže izopléta o řád vyšší lu=100 J·kg-1 bude protínat osy c1 při 102,6304 m·s-1 respektive osu u při 102,6304 m·s-1. Na ose c1 nebo u tato hodnota odpovídá vzdálenosti log 102,6304=2,0113 . Hodnoty mezi lu=10 J·kg-1 a 100 J·kg-1 se vypočítají obdobně viz následující tabulka:
lu c1; u log lu c1; u log ----------------------------------------------------------------------10 10,263 1,0113 60 61,5783 1,7894 20 20,5261 1,33123 70 71,8413 1,8564 30 30,7891 1,4884 80 82,1043 1,9144 40 41,0522 1,6133 90 92,3674 1,9655 50 51,3152 1,71025 100 102,6304 2,0113
— 11 —
zde důkaz že posub o 5 na obě strany udělá chybu přibližně......
