I. SISTEM KONTROL I.Konsep dan Penegrtian Sistem Kontrol Cerita kasus : kehidupan sehari-hari, - Kasus Pendingin - Kasus kecepatan - Kasus pemanas - Kasus lainnya ( Sistem Komunikasi ) I.1. System terkontrol/terkendali ( Controlled system ). System terkontrol/terkendali : system yang dapat dikontrol/dikendalikan baik secara langsung maupun tak langsung. a. System terkendali langsung ( on-line controlled system ) loop terbuka
Controller
Plant/Obyek
b. System terkendali langsung loop tertutup, dengan umpan balik
Set point
controller
Plant/Obyek
sensor Latar belakang kontrol / kendali : Terjadinya keluaran/hasil yang menyimpang dari harapan Diperlukan dinamika output sesuai dengan harapan Tujuan kontrol / kendali : Untuk mendapatkan keluaran/hasil dengan criteria : a. Sesuai dengan harapan. b. Peningkatan qualitas output 1.1. CONTROL PROBLEM Pada dasarnya masalah kontrol/kendali adalah masalah menentukan/seting nilai parameter sistem/input agar diperoleh output yang sesuai dengan harapan. Untuk menentukannya diperlukan pemahaman karakteristik fisis dari sistem. Karakteristik sistem didapatkan dari model sistem, dan keluaran sistem funsi waktu.
Keluaran sistem sebagai fungsi waktu ( solusi persamaa differensial lengkap) Model sistem ( model dinamika sistem ) biasanya di nyatakan dalam bentuk –bentuk : a. Pesamaan differensial-Solusinya b. Fungsi transfer c. Diagram blok d. Diagram aliran sinyal ( Signal Flow diagram )
Representasi Control Problem ; Theory Concept Problem Fisik/teknis
Formulasi Problem
Formulasi Matematik ( P dif & Laplace trsf )
Tranlasi
Matematik Problem/Solusi ( P dif & Laplace trsf )
1.2.Persamaan Diferensial Sistem dinamis biasa dimodelkan secara matematik dengan bentuk persamaan differensial.
x sebagai variable keadaan sistem, y atau u biasanya input keadaan sistem x adalah solusi persamaan differensial/respon sistem/output sistem terhadap suatu input. 1.3.Transformasi Laplace Transformasi Laplace dalam sistem kontrol digunaan untuk : a. Memodelkan sistem dalam variable laplace( P Diff laplace) b. Memudahkan solusi lengkap pesamaan differensial, karena solusi pers. Diff dapat dengan mudah dengan bantuan tranformasi Laplace.
Definisi : F(s) = L f(t); L= operator Transformasi Laplace F(t) = L-1 [F(s)]; L-1 = operator Transformasi Laplace balik
Bentuk umum F(s) = ∫ f(t) e-st dt ; Transformasi Laplace F(t) =
∫ F(s) est ds ; Transformasi Laplace balik
Penggunaan trasformasi Laplace : 1. model sistem . Sistem dinamik dalam sistem persamaan differensial:
Model sistem dalam variable laplace : [aos2 + a1s + a2] . x(s) = b u(s) Model sistem tersebut dapat dinyatakan sebagai fungsi transfer : x(s) = output ; u(s) = input ao,a1,a2 dan b = konstanta 2, dari sistem 2. Solusi pesamaan diferensial dengan transfomasi Laplace.
Output sistem : 1 X(s)= --------------------- x b.U(s) [aos2 + a1s + a2] X(s) merupakan bentuk output( solusi pers. diff), dan x(t) dicari dengan transformasi Lapalce balik dari X(s), dengan bantuan tabel laplace.
1.4. Fungsi Transfer (FT) Fungsi Transfer ( FT ) adalah perbandingan Output terhadap Input dalam variable Laplace Sistem dalam variable laplace, yang telah diturunkan dari persamaan differensial sistem : [aos2 + a1s + a2] . X(s) = b U(s) maka fungsi Transfer sistem adalah : X(s) 1 G(s) = ------- = -------------------U(s) [aos2 + a1s + a2] 1.4.1 Fungsi Transfer sistem Loop terbuka dan Loop tertutup Loop terbuka
R(s)
C(s) G(s)
Fungsi Transfer loop terbuka dinyatakan dengan bentuk ; C(s) T(s)= -------- = G(s) R(s) Loop tertutup R(s) +
G(s) H(s)
Fungsi Transfer loop tertutup dinyatakan dengan bentuk
C(s) G(s) T(s) =-------- = -----------------R(s) 1 + G(s) H(s)
C(s)
II. MODEL SISTEM Model Sistem Kontrol digambarkan dengan : II.1. Model Persamaan Differensial Model ini merupakan model sistem dinamik bentuk persamaan diferensial : an yn + an-1 yn-1 +…….. +ao = bmxm + bm-1xm-1 +…+ b0 dengan
yn = dny/dtn dan xm = dmx/dtn
y = output ( respon ) ; x = input dalam bentuk laplace yn = dny/dtn = sn y(s)
II.2. Model Fungsi Transfer dan Diagram Blok Fungsi tranfer sistem menggambarkan hubungan input dan output sistem Fungsi tranfer sistem : perbandingan antara Output fungsi laplace terhadap input fungsi laplace [aos2 + a1s + a2] . X(s) = b U(s) maka fungsi Transfer sistem adalah : X(s) 1 G(s) = ------- = -------------------U(s) [aos2 + a1s + a2] 1.4.1 Fungsi Transfer sistem Loop terbuka dan Loop tertutup Loop terbuka
R(s)
C(s) G(s)
Fungsi Transfer loop terbuka dinyatakan dengan bentuk ; C(s) T(s)= -------- = G(s) R(s)
Loop tertutup R(s) +
C(s)
G(s) H(s)
Fungsi Transfer loop tertutup dinyatakan dengan bentuk
C(s) G(s) T(s) =-------- = -----------------R(s) 1 + G(s) H(s) II.3. Model Ruang keadaan
X’ = AX + BU Y = CX + DU X matrik kolom varisbel keadaan Y variabel output U Variabel input A = Matrik keadaan (bujur sangkar ); B dan D = matrik Input ; C = Matrik output
II.4. Model Grafik aliran sinyal G4
R
G1
G2
G3
c
H1 R = sinyal input dan C = sinyal output III. TANGGAPAN/RESPON SYSTEM Respon system adalah tanggapan system terhadap sinyal input Respon sistem dapat diketahui dari output sistem, setelah mendapatkan sinyal input. Tinjauan Respon system ada dua kawasan :
a. Kawasan waktu ( Time respon ) b. Kawasan frekuensi ( Frekuensi respon ) Time respon [ c(t) ].I
R(s)
Respon transient ( peralihan ) ….(1) Respon Steady State ( mantap )…….(2)
G(s)
Magnitude …(3) Frekuensi respon [ c(f) ].II Phasa……….(4) Bentuk/kurva respon output sistem menggambarkan karakteristik sistem, dan secara teori dapat diketahui secara empiris dari solusi persamaan diferensial system. Input sinyal test Sinyal test biasa digunakan dalam melihat respon sistem terhadap masukan. Sinyal tersebut dapat menggambarkan keadaan : (1). Adanya gangguan sesaat berupa impulse, ( dengan unit impulse ) (2). Adanya input sinyal tetap-DC, secara mendadak , ( dengan unit Step) (3). Adanya input sinyal yang berubah, secara mendadak, (dengan unit Ramp) Sinyal test 1. Unit impulse : δ(t) 2. Unit Step : r(t) = u(t) = 1………….t > 0 3. Unit Ramp : r(t) = t…………………t > 0 III.1. Tangapan (Respon) Transient sistem III.1.1. Sistem Orde 1 1. Sistem Orde 1, dengan unit unit impuls 1 G(s) = -------- ; input : r(t) = δ(t) = 1 ……t = to ; τs + 1 = 0…….t ≠ to dlm bentuk laplace R(s) = 1 ; τ = konstanta waktu
Tangapan sistem orde 1 terhadap input Unit impulse. 1 C(s) = G(s) .R(s) = ---------; C(t) = e-(1/ τ) t … t >0 ; (τs+1) Kurva respon sistem orde 1 terhadap input unit Impuls
c(t)
t 2. Sistem Orde I, dengan input unit step 1 1 G(s) = --------- ; input : r(t) = 1….t > 0 ; dlm bentuk laplace R(s) = --τs + 1 s Tangapan sistem orde 1 terhadap input Unit Step. 1 C(s) = -----------; C(t) = [1 – e-(1/ τ) t ] … t >0 ; τ = konstanta waktu s (τs+1) Kurva respon sistem orde 1 terhadap input unit step c(t) 1
t
2. Sistem Orde 1, dengan input unit Ramp sistem orde 1: 1 G(s) = -----------τs + 1 1 input unit Ramp : r(t) = t ; dlm bentuk laplace : R(s) = ------s2
Tanggapan sistem orde I, terhadap input unit Ramp 1 C(s) = G(s) . U(s) = -----------------; c(t) = t – τ + τe-(1/τ) t …..t >0 s2(τs + 1)
Kurva respon sistem orde 1 terhadap input unit Ramp
c(t)
t
III.1.2 Sistem Orde 2 Sistem orde 2 : 1 G(s) = --------------- ; Js2 + Fs + K ωn = K/J ;
atau
ωn G(s) = --------------------s2 + 2ζωns + ω2
2ζωn = F/J = 2σ
σ = atenuasi wn = Frekuensi natural ζ = Rasio redaman sistem Persamaan karakteristik sistem orde 2 s2 + 2ζωns + ω2 = 0 akar2 persamaan karakteristik sistem : s1, s2 = - ζωn + V (ζωn)2 - ωn = -ζωn + ωn Vζ2 −1 σ = ζωn dan ωd = ωn Vζ2 −1 disini koefisien factor redaman :
0< ζ < 1, sehingga
menjadi bentuk imajiner Æ jωd = j ωn V(1 - ζ2) maka s1, s2 = - σ + jωd bentuk komplek untuk sistem orde 2 diatas, G(s) dapat dinyatakan :
ωn G(s) =----------------------- ; (s – s1 ) ( s – s2 ) III.2.1 Respon sistem orde II Respon sistem orde 2 untuk 3 macam input seperti pada orde 1dapat digambarkan sebagai berikut:
(1). Respon sistem orde 2 terhadap input unit impuls r(t) =δ(t) input unit impulse dalam bentuk laplace : R(s) = 1 ωn maka outputnya C(s) = R(s).G(s) = --------------------- ; (s – s1 ) ( s – s2 ) dengan mencari faktornya didapat : A B C(s) = R(s).G(s) = -------- + ----------- ; (s – s1 ) ( s – s2 ) dengan transformasi laplace balik maka output dalam fungsi waktu : c(t) = A es1t + B es2t = A e (- σ + j ωd )t + B e(- σ − j ωd ) t nilai A dan B, didapat dari syarat batas ( awal dan akhir ), atau gunakan pecahan parcial.
(2). Respon sistem orde 2 terhadap input unit Step 1 input unit Step dalam bentuk laplace : R(s) = ----s
ωn maka outputnya C(s) = R(s).G(s) = --------------------- ; s (s – s1 ) ( s – s2 ) dengan mencari faktornya didapat :
A B C C(s) = R(s).G(s) = ------- + -------- + ----------- ; s (s – s1 ) ( s – s2 ) output dalam fungsi waktu : c(t) = A +B es1t + C es2t = A + B e (- σ + jωd )t + C e(- σ − jωd ) t nilai A, B dan C didapat dari syarat batas ( awal dan akhir ) untuk kedua bentuk respon masukan impulse dan Unit step, terjadi bentuk output exponensial komplek yang dapat di uraikan menjadi bentuk sinusoid : jumlahan (sin w t dan Cos wt ), dan perkalian dengan factor redaman e (- σ) t . Note : e (- σ + jωd )t = e - σ t . e
jω t d
= e - σ t ( Cos ωd t +j Sin ωd t )
Karakteristik respon sistem orde 2 terhadap input unit Impuls dan Unit Step dipengaruhi oleh, keadaan nilai ( ζ ). a. Jika ζ = 0 , maka redaman sistem α = 0, sehingga sistem akan mengalami osilasi terus dengan ωd = ωn , hal ini dapat ditunjukkan dengan bentuk C(t) = ( Cos ωn t + j Sin ωn t ) Sistem dinamakan dalam kondisi tanpa redaman Un-damp
b. Jika : 0 < ζ < 1 , maka redaman sistem σ = ζ ωn > 0, sehingga sistem akan mengalami osilasi teredam dengan ωd = ωn V(1 - ζ2 ), hal ini dapat ditunjukkan dengan bentuk C(t) = e - σ t ( Cos ωn t + j Sin ωn t )
Sistem dinamakan dalam kondisi underdamp
c. Jika : ζ = 1 , maka redaman sistem σ = ωn > 0, sehingga sistem akan mengalami redaman tanpa osilasi , dengan ωd = ωn V1 - ζ2 = 0, sehingga output menjadi bentuk C(t) = e - σ t = e - ωn t Sistem dinamakan dalam kondisi Critical damp
Untuk sistem dengan ζ > 1 , disebut Over-damp
III.2 KARAKTERISTIK TANGGAPAN STEADY STATE (Mantap) Saat steady state(mantap) pada suatu sistem, ada dua hal penting yang perlu diperhatikan, dalam sistem kontrol : a. Steady state Error b. Besar nilai steady state Error Karena keluaran kondisi mantap inilah yang, dibutuhkan oleh subsistem yang ada di belakangnya Kedua hal tersebut nilainya ditentukan oleh koefisien Error III.2.1. Koefissien Error tergantung pada dua hal , yaitu : 1. Type sistem 2. Input sistem 1. Type sistem: Type digunakan untuk memberikan ciri karakteristik sistem terhadap jumlah akar persamaan karakteristik pada titik Nol ( nilai Nol ) pada bidang komplek. (a). Type 0 ( Nol ) jika, akar persamaan karakteristik bernilai nol tidak ada ( tak terdapat s = 0, dari akar persamaan karakteristik ) K(s+z1)(s+z2) …. G’(s) =--------------------------(s+p1)(s+p2)(s+p3)… (b) Type 1 ( satu ) jika, akar persamaan karakteristik bernilai nol berjumlah 1 ( satu ) atau ada satu buah, akar persamaan karakteristik s = 0 K(s+z1)(s+z2) …. G’(s) =--------------------------s(s+p1)(s+p2)(s+p3)… (c) Type n, jika akar persamaan karakteristik bernilai nol berjumlah n, atau ada n buah, akar persamaan karakteristik s = 0 K(s+z1)(s+z2) …. G’(s) =--------------------------sn(s+p1)(s+p2)(s+p3)… n = type sistem ( 0,1,2,3,…. ) bilangan bulat.
G’(s) = G(s)H(s) ; untuk loop tertutup
Error Steady state pada berbagai type sistem Koefisien Error sistem, meliputi : 1. koefisien error posisi/static error (Kp), terhadap input unit step 2. Koefisien error kecepatan/Velocity error (Kv), terhadap input Ramp 3. Koefisien error percepatan/Acceleration error ( Ka), terhadap input Parabolic. c(t)ss Kp = --------- = lim G(s) e(t)ss s Æ 0
(dc(t)/dt)ss Kv = -----------------= lim s G(s) sÆ0 e(t)ss (d2c(t)/dt2)ss Ka = -----------------= lim s2 G(s) e(t)ss sÆ0 a. untuk Type 0 (nol), k.z1.z2… Kp = lim G(s) = ----------------= k’ sÆ 0 P1.p2.p3…. Kv = lim s G(s) = 0 sÆ0 Ka = lims2G(s) = 0 sÆ0
b. untuk Type 1 (satu), k.z1.z2… Kp = lim G(s) = --------------------= ~ sÆ 0 s (P1.p2.p3…). k.z1.z2… Kv = lim s G(s) = --------------------= k’ sÆ 0 (P1.p2.p3…).
s k.z1.z2… Ka = lim s2 G(s) = --------------------= 0 sÆ 0 (P1.p2.p3…). c. untuk Type-2 (dua), k.z1.z2… Kp = lim G(s) = --------------------= ~ sÆ 0 s2 (P1.p2.p3…). k.z1.z2… Kv = lim s G(s) = --------------------= ~ sÆ 0 s (P1.p2.p3…). k.z1.z2… Ka = lim s2 G(s) = --------------------= k’ sÆ 0 (P1.p2.p3…)
a.2. STEADY STATE ERROR R(s) Error = E(s) = R(s) – C(s) = -------------1 + G(s) Error steady state : s R(s) e(t)ss =lim sE(s) = lim ---------s Æ0 sÆ0 1 + G(s)
Error steady state untuk berbagi type a. Type 0 (nol) K ( s+z1)(s+z2)…. G(s) =----------------------------(s+p1)(s+p2)(s+p3)... 1 1. Type sistem 0, dengan input unit step: R(s) =---S s( 1/s) 1 e(t)ss = lim ------------ = ----------sÆ0 1 + G(s) 1 + Kp
1 2. Type sistem 0, dengan input unit Ramp: R(s) =---S2 2 1/s s( 1/s ) e(t)ss = lim ------------ = lim -----------= ~ sÆ0 1 + G(s) sÆ0 1 + G(s) 2 3. Type sistem 0, dengan input unit Parablic: R(s) =---S3 3 2 s( 2/s ) 2/s e(t)ss = lim ------------ = lim -------------= ~ sÆ0 1 + G(s) sÆ0 1 + G(s)
b. Type sistem 1, k ( s+z1)(s+z2)…. G(s) =----------------------------S (s+p1)(s+p2)(s+p3)... 1 1. Type sistem 1, dengan input unit step: R(s) = ---S s( 1/s) 1 e(t)ss = lim ------------ = ----------- = 0 sÆ0 1 + G(s)
1+~
1 2. Type sistem 1, dengan input unit Ramp: R(s) =---S2 2 s( 1/s ) 1 1 e(t)ss = lim --------------- = limit -------------- = ---------sÆ0 1 + G(s) sÆ0 s(1 + G(s)) Kv 2 3. Type sistem 1, dengan input unit Parablic: R(s) =-----S3 3 2 2/s s( 2/s ) e(t)ss = limit ------------ = limit --------------= ~ sÆ0 1 + G(s) sÆ0 1 + G(s)
c. Type 2 Dengan cara sama untuk type 2 akan didapatkan hasil berikut : a. Type 2, input unit step, maka e(t)ss = 0 b. Type 2, input unit ramp, maka e(t)ss = 0 c. Type 2, input unit parabolic, maka e(t)ss = 1/ Ka
III. 3. Spesifikasi tanggapan waktu ( Time Respon spesifikasi ) sistem orde 2. Spesifikasi tanggapan waktu sistem orde 2, merupakan sifat yang dimiliki oleh sistem orde 2. sifat tersebut sbb :
a. Rise Time ( waktu naik ) Rise time = waktu respon ( 10 s/d 90 )% dari nilai/kondisi akhir untu redaman lebih, dan ( 0 s/d 100 ) % untuk redaman kurang. Tr = (1/ωd) tan –1(ωd /-σ). b. Percent Overshoot (lewatan maksimum), Mpt = c(tp) –1 = - e - ζ ωn(π/ωd ) (Cos π + (σ/ωd)Sin π ), ζ dengan (σ/ωd ) = -----------------V(1 - ζ2 ) Percent Overshoot = e
- (σ/ω )π d
Mpt - Css x 100 % = ---------------- x 100 % Css
Css = C (tss) c. Setling Time (Waktu tetapan) : Ts Waktu mencapai set output beberapa percent terhadap final value, ( 2 % dan 5 % ).
Untuk 2 % maka Ts = 4 T = (4/σ) Untuk 5 % maka Ts = 3 T = (3/σ) d. Peak Time ( waktu puncak ) : tp Peak time adalah waktu untuk mencapai puncak Overshoot. Waktu puncak berkaitan dengan terjadinya puncak pertama kali. Maka : tp = (π/ωd ) III. 4. Respon frekuensi sistem . Respon frekuensi sistem, merupakan gambaran tanggapan sistem terhadap input sinusoida pada kondisi mantap.
atau
Jika r(t) = A cos ωt, R(s) = As/(s2 +ω2)
dan
C(s) = G(s) R(s) = G(s) [ As/(s2 +ω2)]
dengan mengubah bentuk tersebut kedalam pecahan parcialnya : C(s) = k1/(s-jω) + k2/(s-jω) + Cg(s) Untuk t Æ ~ maka suku Cg(s) akan konvergen menuju nol (sistem stabil ), sehingga C(s) hanya dipengaruhi oleh sinusoida pada kondisi mantapnya. sebab G(jω) merupakan bentuk komplek = | G(jω)| e jθ Dengan : k1 = (1/2) AG(jω) dan k2 = (1/2) AG(-jω) Maka c(t) = k1 e - jωt + k2 e - jωt atau = (A/2) | G(jω)| e jθ e - jωt + (A/2) | G(jω)| e -jθ e - jωt = A | G(jω)| cos (ωt + θ )
IV. ANALISA SISTEM IV.1. KESTABILAN SISTEM Kestabilan system : sifat stabilitas suatu sistem Definisi : Sistem linier stabil, Jika sistem linier mendapatkan input terbatas ( bounded ), maka outputnya juga terbatas ( bounded ). [ Bouded input, bouded output ] = BIBO Sifat kestabilan : - Dapat ditentukan / dicari dari akar2 persamaan karakteristik. - Ada kaitan antara nilai & tanda akar2 persamaan karakteristik dengan kestabilan.
1V.1. Sifat Kestabilan Sistem loop tertutup.
R(s)
C(s) G(s)
H(s)
C G T =--------- = ----------R 1 + GH Bentuk umum fungsi transfer :
C(s) k(s-z1)(s-z2)(s-z3)…. --------- = -----------------------------------R(s) (s – p1 ) (s – p2) (s – p3 ).. Atau
C(s) Ao A1 An --------- = ------------- + ---------------- + ……… + ----------R(s) s – p1 s – p2 s – p3 Persamaan karakteristik sistem :
a3s3 – a2s2- a1s - ao = (s – p1) ( s – p2) ( s – p3 ) = 0 s 1 = p1 ,
s2 = p2 dan s3 = p3
s1, s2 dan s3 , biasanya bentuk komplek α + j ω keluaran sistem saat transient/peralihan : c(t) = k est Cara menentukan kestabilan sistem dengan mencari akar2 persamaan karakteristik Kondisi stabil dapat dipenuhi, jika akar persaman karakteristik sistem bagian riil bertanda negatif ( stabil ), jika bertanda positif tak terpenuhi ( tak stabil ). akar2 persamaan karakteristik sistem : si = αi + jϖi αi = bagian riil;
ϖi = bagian Imajiner
Secara matematik untuk t Æ ~, jika : αi < 0, maka | c(t) | = berhingga, sehingga sistem stabil dan αi > 0, maka | c(t) | = tak berhingga, sistem tak stabil namun cara menentukan kestabilan sistem dengan mencari akar persamaan karakteristik, jika dilakukan secara manual untuk sistem dengan orde tinggi perlu waktu lama dan sulit. Cara yang cepat dengan metode Routh-Hurwitz
Metode Routh-Hurwitz untuk menentukan keastabilan : Perhatikan sistem dengan persamaan polinom :
Q(s) = ansn + an-1 sn-1 +….+ ao Deret Routh : Sn Sn-1 Sn-2 … … So
an an-1 B1
an-2 an-3 b2
l1 M1
l2
1 an b1 = - ---an-1 an-1
an-2
1 an b2 = - ---an-1 an-1
an-4
1 an-1 c1 = - ---b1 b1
an-3
an-5 an-3 b2
an-4 an-5 b3
an-6 an-7 b4
