DRN/MLN
Examentoets 2 6VWO-A12 Statistiek woensdag 20 januari 2010 o Geef bij de beantwoording van de vragen ALTIJD JE BEREKENINGEN. Als je alleen een antwoord geeft worden er GEEN PUNTEN toegekend! o Geef bij gebruik van de Grafische Rekenmachine (GR) steeds aan welke functies je gebruikt hebt, welke formules je hebt ingevoerd etc. o Werk netjes.
Heel veel succes!!!
Deze toets bestaat uit 6 opgaven met totaal 23 vragen. Er zijn maximaal 81 punten te behalen. Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave
1 2 3 4 5 6
- De banden van Jansen - Geneesmiddelen - Rood licht - Leugendetector - Dommer kan het niet - Kalmeringsmiddel
1 t/m 3 4 t/m 5 6 t/m 10 11 t/m 14 15 t/m 19 20 t/m 23
DRN/MLN
Opgave 1 - De banden van Jansen
(3,3,4=10)
Van een merk autobanden is bekend dat de band een levensduur heeft die als normaal verdeeld kan worden beschouwd met een gemiddelde van 70.000 kilometer en een standaarddeviatie van 10.000 kilometer. 1. Bereken de kans op een levensduur van een band van maximaal 65.000 km in hele procenten nauwkeurig. 2. Tussen welke aantallen kilometers ligt de levensduur van de middelste 90 % van dit merk autobanden? Rond af op tientallen. Dhr. Jansen laat vier banden van dit merk onder zijn auto zetten. Hij vraagt zich af of de kans dat hij met deze vier banden gemiddeld maximaal 75.000 km kan rijden groter is dan 80 %? 3. Bereken of dit zo is.
Opgave 2 - Geneesmiddelen
(4,4=8)
Er wordt een telefonische enquête gehouden onder patiënten van twee huisartsen. Huisarts Alberts heeft twee maal zoveel patiënten die hij behandelt tegen een bepaalde huidziekte als huisarts Bernard. Huisarts Bernard schrijft een middeltje voor dat veel beter helpt dan het middeltje van huisarts Alberts. Bij Bernard is 80% binnen een week genezen. Bij Alberts is dat maar 50%. 4. Bereken de kans dat als een patiënt wordt gebeld die behandeld is tegen die huidziekte dat deze na één week is genezen. 5. Een patiënt antwoordt dat hij na behandeling na één week is genezen. U bent zeker behandeld door dhr. Bernard, zegt de enquêteur. Hoe groot is de kans dat de enquêteur gelijk heeft?
DRN/MLN
Opgave 3 – Rood licht
(4,4,4,4,4=20)
Op het kruispunt Statenweg-Bentincklaan rijden regelmatig veel scholieren van het Montessori Lyceum door het rode licht. Volgens de politie gaat het om 30% van de fietsers, maar omwonenden beweren dat het er veel meer zijn. Om duidelijkheid te verkrijgen besluit de bewonersorganisatie Blijdorp tot een onderzoek. Er wordt bij 50 fietsers gekeken of zij door rood rijden. 6. Formuleer bij deze situatie nauwkeurig het toetsingsprobleem. Vermeld ook welke hypothese bij welke bewering hoort. 7. Bereken, uitgaande van de bewering van de politie, de kans dat er minstens 15 fietsers door rood rijden. Er blijken bij het onderzoek 20 van de 50 fietsers door rood te rijden. 8. Is dit resultaat voldoende om de politie gelijk te geven? (α = 5%) De omwonenden zijn niet tevreden. Zij vinden dat er maar zeer oppervlakkig onderzocht is. Zij willen het onderzoek groter opzetten. Zij stellen voor dat er, verspreid over de hele dag, 500 fietsers worden gecontroleerd. 9. Als er van de 500 gecontroleerde fietsers 200 door rood rijden, is dat dan aanleiding tot een andere conclusie dan bij het eerste onderzoek? Er blijken in werkelijkheid 180 fietsers door rood te rijden. 10. Krijgt de politie gelijk?
DRN/MLN
Opgave 4 – Leugendetector
(3,4,3,4=14)
In het tijdschrift Nature stond enige tijd geleden een artikel waarin de werking van een bepaald soort leugendetector werd uitgelegd. Iemand die liegt, krijgt een ‘blosje’ in het gezicht. De leugendetector probeert dit blosje waar te nemen. Volgens het artikel is de leugendetector een belangrijk hulpmiddel om na te gaan of iemand liegt. Er zijn veel experimenten uitgevoerd en daaruit is gebleken dat de leugendetector niet foutloos werkt. Zo wordt in slechts 75% van de gevallen een leugenaar daadwerkelijk als leugenaar herkend. We nemen aan dat voor iedere leugenaar geldt, dat de kans dat deze correct als leugenaar herkend wordt, gelijk is aan 75%. 11. Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat de leugendetector bij 200 leugenaars 40 of meer fouten maakt. Ook bij eerlijke mensen (mensen die niet liegen) werkt de leugendetector niet altijd foutloos. Gemiddeld blijkt de leugendetector 1 van de 12 eerlijke mensen toch als leugenaar te bestempelen. We bekijken een groep van 100 personen, bestaande uit 40 leugenaars en 60 eerlijke mensen. 12. Reken na dat de leugendetector naar verwachting bij 85 personen uit deze groep de juiste conclusie zal trekken. We spreken in het voorgaande geval van een betrouwbaarheid van 85% voor deze groep. De betrouwbaarheid hangt af van de samenstelling van de groep. Wanneer we een groep van 100 personen nemen met daarin 16 leugenaars, krijgen we een andere waarde voor de betrouwbaarheid. 13. Bereken hoe groot de betrouwbaarheid dan is. Naarmate er in verhouding minder leugenaars in een groep zitten, zal de betrouwbaarheid van de leugendetector toenemen. In een zekere groep van 100 personen is de betrouwbaarheid van de leugendetector 87% 14. Bereken het aantal leugenaars in deze groep.
DRN/MLN
Opgave 5 - Dommer kan het niet
(3,3,3,3,4=16)
Bij de bekende televisie quiz "Dommer kan het niet" moeten de deelnemers met dobbelstenen werpen. Op de zes zijvlakken staan de letters D,O,M,M,E en R. De letter M staat dus op twee zijvlakken. Afhankelijk van de uitkomst van de worp krijgen de deelnemers een beloning. In de eerste ronde moeten de deelnemers met vijf dobbelstenen gooien. Wie daarbij geen enkele D gooit mag door naar de volgende ronde. 15. Hoe groot is de kans dat een deelnemer door gaat naar de tweede ronde? In de tweede ronde moeten zij met zes dobbelstenen gooien. Wie precies twee maal de letter M gooit mag door naar de derde ronde. 16. Hoe groot is de kans dat een deelnemer die de tweede ronde bereikt heeft door mag naar de derde ronde? Laat heel precies zien hoe je dit ook zonder rekenmachine zou kunnen berekenen. In de derde ronde moeten de deelnemers met 10 dobbelstenen gooien. Wie minder dan twee maal de letter E gooit mag door naar de vierde ronde. 17. Hoe groot is de kans dat iemand die aan de derde ronde meedoet de vierde ronde bereikt? In de vierde ronde gooit iedere deelnemer, die deze ronde heeft bereikt, nog één keer met de dobbelsteen. Wie een r gooit mag door naar de finale. Twintig deelnemers hebben deze vierde ronde bereikt. 18. Hoe groot is de kans dat van die 20 deelnemers er minstens 4 de finale bereiken? In de finale moeten de deelnemers tot vermaak van de kijkers in een met modder gevuld bassin naar tennisballen zoeken. In het bassin liggen 3 rode en 2 witte tennisballen. De tennisballen zijn gevuld met zand, zodat zij zinken. Om beurten moeten de deelnemers een duik in het bassin nemen en er twee ballen uithalen. Zijn de ballen verschillend van kleur dan ontvangt de deelnemer 1000 euro, hebben de ballen dezelfde kleur dan krijgt de deelnemer 500 euro. Voordat de volgende deelnemer een modderbad neemt, worden de twee tennisballen weer in de modder teruggegooid. Vier deelnemers hebben de finale bereikt. 19. Hoeveel geld zal de quizmaster gemiddeld moeten uitkeren?
DRN/MLN
o
Opgave 6 – Kalmeringsmiddel
(4,3,3,3=13)
Om na te gaan of een bepaald kalmeringsmiddel een positief effect heeft op schoolexamenresultaten krijgen 23 (willekeurig gekozen) leerlingen dat middel, en 23 andere een placebo ( nepmiddel). Vervolgens worden steeds de resultaten twee aan twee bekeken (nr. 1 van de ene groep, met nr. 1 van de tweede groep , enz.) Resultaat was dat met kalmeringsmiddel de score 13 keer hoger was, 8 keer lager, en dat er 2 keer geen verschil was. 20. Formuleer het toetsingsprobleem. (Omschrijf nauwkeurig de hypotheses, toetsingsgrootheid en de kansverdeling van de toetsingsgrootheid. Vermeld ook welke hypothese bij welke bewering hoort.) 21. Bereken de overschrijdingskans (m.b.v. de tekentoets). Rond (zo nodig) af op 3 decimalen. 22. Is de uitkomst significant als het significantieniveau 5% is? 23. Is er voldoende reden het gebruik van het kalmeringsmiddel aan te raden?
EINDE
Uitwerkingen examentoets 2 - 6vwo wiskunde A - 20 januari 2010
De banden van Jansen 1. Maximaal 65000 km, dus 65000 of minder. Gebruik normalcdf(-10000,65000,70000,10000) ≈ 0.3085 (= 31% heeft een levensduur van maximaal 65000 km) 2. De middelste 90% dus er zitten 'links' en 'rechts' nog 5%. Gebruik invNorm(0.05,70000,10000) ≈ 53550 (afronden op tientallen!) en invNorm(0.95,70000,10000) ≈ 86450 De levensduur van de middelste 90% ligt tussen de 53550 en 86450 km. 3. Het gaat om het gemiddelde van de vier banden, dus de wortl-n wet gebruiken voor de 10000 standaardafwijking. σ = = 5000 4 normalcdf(-10000,75000,70000,5000) ≈ 0.8413 (=84.13%) is groter dan 80%. Ja, de kans dat hij met vier van deze banden gemiddeld maximaal 75000 km kan rijden is groter dan 80%
Geneesmiddelen 2 1 × 0.5 + × 0.80 = 0.6 3 3 0.8 × 13 4 5. Dat is een voorwaardelijke kans: P(patiënt van B|genezen) = = (NB Als je 0 .6 9 bij opgave 4 een ander antwoord hebt, maar hier wel deelt door het antwoord van 4, is het wel helemaal goed)
4. P(gebeld worden en binnen een week genezen) =
Rood licht 6. H0: p=0.3 (de politie) H1: p>0.3 (de omwonenden) X= aantal fietsers dat door rood rijdt n = 50 Bin(50,0.3) 7. Kans op minstens 15: P(X≥15) = 1–binomcdf(50,0.3,14) ≈ 0.5532 8. Bereken de kans op een resultaat van X=20 of nog meer afwijkend van de verwachting (E(X)=50×0.3=15): P(X≥20) = 1–binomcdf(50,0.3,19) ≈ 0.0848 > α dus de politie (H0) krijgt gelijk. Dit resultaat geeft bij de gegeven significantie geen aanleiding de nulhypothese te verwerpen. 9. Nu is de verdeling Bin(500,0.3) P(X≥200) = 1–binomcdf(500,0.3,199) ≈ 1.23E-6 (=0.00000123) < α Nu krijgen de bewoners gelijk: deze uitkomst is onder de nulhypothese (significant) onwaarschijnlijk. 10. P(X≥180) = 1–binomcdf(500,0.3,179) ≈ 0.0023 <α. De nulhypothese wordt verworpen en de bewoners krijgen gelijk.
Leugendetector 11. Kans dat de leugendetector een fout maakt is 0.25. Het is een Bin(200,0.25) verdeling. X=aantal fouten P(X≥40) = 1–P(X≤39) = 1–binomcdf(200,0.25,39) ≈ 0.9595 12. Maak een boomdiagram:
0.75
30
40 L
20 0.25 1 5 12 60 E 11 55 12 30+55 = 85 van de 100 goede conclusie. 11 13. Bereken: 16 × 0.75 + × (100 − 16) = 89 . De betrouwbaarheid is 89. 12 14. Betrouwbaarheid zit tussen de twee waarden uit opgave 12 en 13 in. Het aantal (40 + 16) leugenaars is hier dus = 28 2 11 Controle: 28 × 0.75 + × (100 − 28) = 87 . Klopt dus. 12
Dommer kan het niet 1 15. Een Bin( 5, ) verdeling. P(geen D gooien) = binompdf(5,1/6,0) ≈ 0.4019 6 5
5 Of: ≈ 0.4019 6 2
4
6 2 4 16. Verdeling Bin(6,2/6). Kans op 2× een M (=2×succes) = ⋅ ⋅ = 2 6 6 6! 4 256 = ⋅ ⋅ ≈ 0.3292 4!×2! 36 1296 17. Verdeling Bin(10,1/6), minder dan 2× een E, is P(X<2) = binomcdf(10,1/6,1)≈0.4845 18. Bin(20,1/6). P(X≥4) = 1–binomcdf(20,1/6,3) ≈ 0.4335 19. Bij RR of WW keert hij €500 uit. en bij (RW) of (WR) €1000 3 2 6 P(RR)= × = 5 4 20 2 1 2 P(WW)= × = 5 4 20 8 12 P(RW)+P(WR) = 1 − = 20 20 8 12 E (uitbetaling ) = × 500 + × 1000 = 800 20 20 Bij 4 deelnemers is de verwachte uitbetaling 4×800 = €3200
Kalmerings middel 20. Tekentoets H0: p=0.5 (het middel heeft geen effect) H1: p>0.5 (het middel heeft een positief effect) Bin(21,0.5) Let op:de twee gevallen waar geen verschil was tellen niet mee. X=aantal malen positief effect 21. P(X≥13) = 1–P(X≤12) = 1–binomcdf(21,0.5,12)≈0.192 22. Nee, 0.192>0.05 dus H0 wordt geaccepteerd. 23. Nee, het waargenomen effect kan toevallig zijn. (Antwoord kan ook 'ja' zijn: er is geen negatief effect aangetoond, dus het zou best kunnen werken. Baat het niet dan schaadt het niet.)
