O fraktálech a úlohách vedoucích ke geometrické řadě

MATEMATIKA O fraktálech a úlohách vedoucích ke geometrické řadě Pavel Trojovský, PedF UHK Hradec Králové Fraktální geometrie je velmi moderní vědní disciplína, která je rozvíjena zhruba od šedesátých let 20. století, kdy se odborníci v různých přírodovědných oborech pokoušeli charakterizovat chaotičnost přírody. Popis pomocí klasické geometrie se ukázal jako naprosto nepostačující. Ačkoliv se na první pohled může zdát, že přírodní objekty jsou zcela chaotické, není to absolutní pravda, neboť např. stromy v nekultivovaném lese jsou sice rozmístěny náhodně, ale přesto lze v této náhodnosti shledat jistá pravidla. Snaha nalézt hranici mezi chaosem a řádem v přírodě vedla k potřebě vytvořit aparát, který bude schopen chaotičnost popsat. V roce 1975 zavedl matematik Benoit Mandelbrot (nar. 1924) název fraktální ∗ ) geometrie a exaktně tuto disciplínu definoval. Ústředním pojmem fraktální geometrie je soběpodobnost (např. malinký kamínek je soběpodobný s obrovským balvanem, neboť při jistém zvětšení obrázku kamínku již nerozlišíme, co je obrázek balvanu a co kamínku; matematicky se tato vlastnost nazývá invariance vůči změně měřítka). Soběpodobná množina tedy vzniká opakováním sebe sama při určitém transformování (změně měřítka, rotaci, posunutí atd.). I když fraktální geometrie vznikla jako nová matematická disciplína až v 80. letech 20. století, neznamená to, že se první fraktály objevují až od této doby. Matematici se s některými typy fraktálů setkávali již mnohem dříve. Patrně první fraktál můžeme zaznamenat u Georga Cantora (1848–1918), když v roce 1883 popsal množinu, která je typickým představitelem soběpodobných objektů (jde o známé Cantorovo discontinuum). Druhým fraktálem je tzv. Kochova vločka, kterou v roce 1904 popsal Niels Fabian Helge von Koch (1870–1924). Je vytvářena postupně z hranice rovnostranného trojúhelníku nekonečněkrát opakovanou rekurzivní záměnou každé úsečky lomenou čarou, která vznikne rozdělením této ∗

) Název je odvozen z latinského slova fractus znamenajícího lomený, zlomený.

Ročník 81 (2006), číslo 1

1

MATEMATIKA

úsečky na tři stejné části a nahrazením střední části dvěma stranami rovnostranného trojúhelníku (obr. 1). Za výchozí obrazec je tedy zvolena hranice rovnostranného trojúhelníku a na základě zmíněné rekurze pak postupně vznikají křivky zobrazené na obr. 2.

Obr. 1

Obr. 2

Třetím typem fraktálu je tzv. Sierpi´ nského koberec, o jehož vzniku uvažoval v roce 1915 matematik Waclav Sierpi´ nski (1882–1969). Výchozím útvarem je opět rovnostranný trojúhelník. Na něj aplikujeme rekurzivní vyjímání jistých rovnostranných trojúhelníků. Jak přesně tento proces probíhá, vysvětlíme na základě úvodních tvarů vznikajícího fraktálu. V prvním kroku rozdělíme trojúhelník na čtyři shodné rovnostranné trojúhelníky a prostřední trojúhelník vyjmeme. Ve druhém kroku aplikujeme stejné rozdělení a vyjmutí na každý ze zbývajících tří trojúhelníků z prvního kroku atd. První čtyři kroky jsou znázorněny na obr. 3.

Obr. 3

ÚLOHY Z FRAKTÁLNÍ GEOMETRIE Příklad 1. Určete délku Kochovy vločky a obsah obrazce, který tato křivka ohraničuje, jestliže základní rovnostranný trojúhelník má stranu délky a. Řešení. Z rekurzivní konstrukce (obr. 1 a obr. 2) je vidět, že počet stran se v každém kroku zvětší na čtyřnásobek. Pro počet stran pn a délku 2

Rozhledy matematicko-fyzikální

MATEMATIKA

křivky ln po n-tém kroku, n ∈ N ∪ {0}, proto platí pn = 3 · 4n , n a 4 ln = pn · n = 3a · . 3 3 Délky uvažovaných křivek tedy představují členy geometrické posloupnosti s prvním členem 3a > 0 a kvocientem 43 > 1. Z toho vyplývá, že délka Kochovy vločky je nekonečná. Obsah výchozího trojúhelníku je √ 3 2 S0 = a . 4 V prvním kroku se obsah zvětší o obsahy tří trojúhelníků s třetinovou délkou strany, čili s devětkrát menším obsahem, než je obsah výchozího trojúhelníku, tj. o S0 S1 = 3 · . 9 Podobně v n-tém kroku, n ∈ N, se obsah zvětší o n S0 S0 3 4 Sn = pn−1 · n = 3 · 4n−1 · n = · · S0 . 9 9 4 9 Pro obsah S obrazce ohraničeného Kochovou vločkou proto platí √ ∞ n 4 X 3 4 3 8 2 3 2 9 S = S0 + S0 · = S0 = = S0 + S0 · a . 4 9 4 5 5 1 − 94 n=1 Příklad 2. Podobně jako v příkl. 1 určete délky fraktálů a obsahy obrazců, které ohraničují. Na obr. 4 a obr. 5 jsou vždy čtyři úvodní tvary vznikajících fraktálů; výchozí čtverec má stranu délky a. a)

Obr. 4 Ročník 81 (2006), číslo 1

3

MATEMATIKA

b)

Obr. 5

Řešení. Budeme postupovat analogicky jako v příkl. 1. Označíme opět pn počet stran a ln délku křivky po n-tém kroku. Délky úseček, jimiž je křivka po n-tém kroku tvořena, budeme značit an . V obou případech pro každé celé nezáporné číslo n platí ln = pn an . a) Pro každé n ∈ N ∪ {0} platí an =

a , 3n

pn = 4 · 5n ,

ln = pn an = 4a

n 5 . 3

Posloupnost délek křivek je tedy geometrická s kvocientem proto má uvažovaný fraktál nekonečnou délku.

5 3

> 1,

Pro výpočet obsahu obrazce fraktálem ohraničeného je důležité si uvědomit, že čtverce nalepované“ v n-tém kroku jsou navzájem dis” junktní. Dokumentuje to barevně upravený obr. 6, který znázorňuje první tři kroky vzniku fraktálu.

Obr. 6

Obsah výchozího čtverce je S0 = a2 . Pro obsah Sn plochy přidané v n-tém kroku, n ∈ N, platí Sn = pn−1 a2n . Obsah S obrazce ohraničeného fraktálem tedy vypočteme takto: 4


MATEMATIKA

S = S0 +

∞ X

S n = a2 +

n=1

∞ X

n=1

4 · 5n−1

a 3n

2

=

∞ n 5 4a2 X 5 4a2 = a2 + · 9 =a + 5 n=1 9 5 1− 2

5 9

= 2a2

b) Pro každé n ∈ N ∪ {0} platí a an = n , pn = 4 · 8n , ln = pn an = 4a · 2n . 4 Fraktál má tedy opět nekonečnou délku. Tento fraktál je však zajímavý tím, že obsahy všech postupně vznikajících obrazců, a tedy také obsah obrazce ohraničeného uvažovaným fraktálem, jsou stejné – všechny jsou rovny a2 . Je to snadno vidět z barevně upraveného obr. 7, který znázorňuje první dva kroky vzniku fraktálu.

Obr. 7

Příklad 3. Určete obsah celkově vyjmuté plochy při vzniku Sierpi´ nského koberce (obr. 3), je-li obsah výchozího rovnostranného trojúhelníku S0 . Řešení. V prvním kroku vyjmeme jeden trojúhelník o obsahu S0 /4 a tři takové trojúhelníky zachováme. Ve druhém kroku vyjmeme tři trojúhelníky o obsahu S0 /(42 ) a zachováme devět takových trojúhelníků. Dále pokračujeme stejným způsobem. Pro obsah S plochy vyjmuté po nekonečně mnoha krocích tedy platí: ∞ n 3 S0 S0 S0 S0 X 3 S0 S= + 3 · 2 + 9 · 3 + ··· = = · 4 3 = S0 4 4 4 3 n=1 4 3 1− 4 Obsah celkově vyjmuté plochy je roven obsahu celého výchozího útvaru! Ročník 81 (2006), číslo 1

5

MATEMATIKA

Příklad 4. Podobně jako Sierpi´ nského koberec vznikají fraktály, jejichž úvodní čtyři tvary jsou na obrázcích 8, 9, 10. Výpočtem ověřte, že obsah S celkově vyjmuté plochy je ve všech třech případech roven obsahu S0 výchozího útvaru. a)

Obr. 8

b)

Obr. 9

c)

Obr. 10

Řešení. Obdobným postupem jako v příkl. 3 vypočteme: a) b)

c) 6

∞ n 8 S0 X 8 S0 S= = · 9 8 = S0 8 n=1 9 8 1− 9 ∞ n 1 X 1 S = S0 = S0 · 2 1 = S0 2 1− 2 n=1 ∞ n−1 5S0 X 4 5S0 1 S= = · = S0 9 n=1 9 9 1 − 49


MATEMATIKA

Příklad 5. Tak jako fraktály v rovině lze vytvářet i fraktály v prostoru. Jedním z nejznámějších prostorových fraktálů je tzv. Mengerova houba, která je pojmenována podle svého autora Karla Mengera (1902–1985). Vznikne tak, že v prvním kroku rozdělíme krychli na 27 shodných krychliček a 7 z nich vyjmeme, ve druhém kroku aplikujeme stejné rozdělení a vyjmutí na každou ze zbývajících 20 krychliček atd.; úvodní tvary jsou na obr. 11. Výpočtem ověřte, že celkový objem V všech nekonečně mnoha vyjmutých krychlí je roven objemu V0 výchozí krychle.

Obr. 11

Řešení. Podobně jako v rovinných případech vypočteme: n−1 ∞ 7V0 X 20 7V0 1 V = = · 20 = V0 27 n=1 27 27 1 − 27 Příklad 6. Uvažujme těleso, jež je složeno z nekonečně mnoha pravidelných kolmých trojbokých hranolů, které mají stejnou výšku v = 1 a jejichž podstavami jsou trojúhelníky vyjmuté z rovnostranného trojúhelníku o délce strany a = 1 při vzniku Sierpi´ nského koberce. Představu o vzhledu výsledného tělesa si můžeme vytvořit na základě obr. 12, který zobrazuje těleso složené z hranolu H1 , tří hranolů H2 , devíti hranolů H3 a dvaceti sedmi hranolů H4 . Jaký je objem a povrch výsledného tělesa? Obr. 12 Ročník 81 (2006), číslo 1

7

MATEMATIKA

Řešení. Pro každé n ∈ N má podstavná hrana hranolu Hn délku bn = 1/(2n ), přičemž počet hranolů Hn je pn = 3n−1 (obr. 13).

H3

H2 H3

H3

H3

H3

H1

H2

H2 H3

H3

H3

H3

Obr. 13

Vypočteme obsah Sn podstavy hranolu Hn (n ∈ N): √ n √ n+1 √ 1 3 2 3 1 b = · = 3· Sn = 4 n 4 4 4 Pro objem V a povrch S výsledného tělesa platí: √ n−1 √ ∞ n−1 ∞ ∞ X X 1 3X 3 n−1 3 V = pn · (Sn · 1) = 3 = = 16 4 16 n=1 4 n=1 n=1 √ √ 3 1 3 = = · 16 1 − 34 4 " √ n n # ∞ ∞ X X 3 1 1 n−1 S= pn · 2Sn + 3 · (1 · bn ) = 3 +3 = 2 4 2 n=1 n=1 √ ∞ n 3 X 3 = + 2 2 n=1

Docházíme k zajímavému výsledku. Objem výsledného tělesa je roven objemu celého výchozího“ pravidelného kolmého trojbokého hranolu ” o podstavné hraně délky a = 1 a výšce v = 1, zatímco povrch tohoto tělesa je nekonečný. 8


MATEMATIKA

Apolloniova kružnice a kruhový kulečník Emil Calda, MFF UK Praha Úloha Představme si, že na kruhovém kulečníkovém stole se středem S a s průměrem AB jsou podle obr. 1 umístěny dvě kulečníkové koule: jedna X v bodě P uvnitř úsečky SA ve vzdálenosti p od bodu S, druhá α β v bodě Q uvnitř úsečky SB ve vzdálenosti q od bodu S. Kulečníkovým tágem chceme kouli A B P Q v bodě P uvést do pohybu tak, p S q aby po odrazu od kruhové hrany stolu v bodě X 6= A narazila do koule v bodě Q. Tento bod X na hraně stolu máme za úkol nalézt.

Obr. 1

Řešení úlohy Je-li bod S středem úsečky P Q, je řešení jednoduché – bod X je průsečíkem hrany stolu a kolmice k průměru AB vedené bodem S. Předpokládejme dále, že bod S středem úsečky P Q není. Protože musí být splněn zákon odrazu, úhly α a β na obr. 1 se rovnají, takže přímka XS je osou vnitřního úhlu P XQ trojúhelníku P QX. Využijeme-li znalosti, že osa vnitřního úhlu trojúhelníku rozděluje protější stranu na dva úseky, jejichž délky jsou ve stejném poměru jako délky odpovídajících si přilehlých stran trojúhelníku, můžeme psát |P X| p = . |QX| q Tento poměr vzdáleností bodu X od bodů P , Q je různý od jedné (bod S není středem P Q), takže hledaný bod X získáme jako průsečík Apolloniovy kružnice s kružnicí představující hranu kruhového stolu. Apolloniova kružnice je totiž množina všech bodů roviny, které mají od dvou Ročník 81 (2006), číslo 1

9

MATEMATIKA

daných různých bodů stejný poměr vzdáleností různý od jedné. Protože se Apolloniova kružnice na střední škole obvykle neprobírá, řekneme o ní pár slov a teprve pak se vrátíme ke kulečníkovému stolu. Apolloniova kružnice Mějme dva různé body P , Q a hledejme množinu všech bodů X, pro které platí |P X| = λ, |QX| kde λ je dané kladné číslo, λ 6= 1; bez újmy na obecnosti budeme předpokládat λ > 1. Nejprve sestrojíme na přímce P Q body R, T tak, aby platilo |P R| |P T | =λ= . |QR| |QT | Získáme je jako průsečíky přímky P Q s přímkami P1 Q1 a P1 Q2 , kde P1 , Q1 , Q2 jsou takové body ležící na libovolně zvolených rovnoběžkách p′ , q ′ procházejících body P , Q, pro které platí |P P1 | = p, |QQ1 | = |QQ2 | = q, přičemž p/q = λ (označení viz obr. 2). p′ P1

q′ Q1

p q P

T Q2

Q

R

q

Obr. 2

Ukážeme, že množina všech bodů X dané vlastnosti je kružnice ka s průměrem RT . 1. Na kružnici ka zvolíme libovolný bod X různý od bodů R, T (obr. 3) a dokážeme, že má danou vlastnost, tj. že platí |P X|/|QX| = λ. Za tím účelem vedeme bodem Q rovnoběžku s přímkou P X a sestrojíme 10


MATEMATIKA

její průsečíky E, F s přímkami XT , XR (v tomto pořadí). Z podobnosti trojúhelníků P T X a QT E plyne |P T | |P X| = |QT | |QE| a z podobnosti trojúhelníků P RX a QRF plyne |P R| |P X| = . |QR| |QF | Protože se levé strany těchto úměr rovnají, rovnají se i jejich pravé strany, tj. platí |QE| = |QF |. Tato rovnost znamená, že bod Q je středem přepony pravoúhlého trojúhelníku EF X, takže podle Thaletovy věty |QE| = |QF | = |QX|. Z podobnosti trojúhelníků P RX a QRF a z již uvedených rovností vyplývá |P T | |P R| |P X| |P X| =λ= = = , |QT | |QR| |QF | |QX| odkud dostáváme

|P X| = λ. |QX| X

F T P E

R Q

ka

Obr. 3 Ročník 81 (2006), číslo 1

11

MATEMATIKA

2. Dále ukážeme, že bod X, který na kružnici ka neleží, danou vlastnost nemá. V tomto případě není úhel RXT pravý, bod Q je však i nyní středem úsečky EF , takže |QE| = 6 |QX|, odkud plyne

|QF | = 6 |QX|,

|P X| 6= λ. |QX|

Pokračování řešení Vraťme se k úloze o kulečníkových koulích a sestrojme Apolloniovu kružnici ka , která je množinou všech bodů X, pro něž platí |P X| p = , |QX| q kde p, q jsou po řadě vzdálenosti bodů P , Q od středu S kruhového stolu. Tato Apolloniova kružnice je sestrojena na obr. 4. p′ P1

q′ Q1

p q

R

S P

p

Q

q q Q2

ka

Obr. 4

Abychom zjistili, kdy má uvažovaná úloha řešení, určíme průměr d = |SR| kružnice ka : d = |SQ| + |QR| = q + |QR| 12


MATEMATIKA

Z podobných trojúhelníků QRQ1 a P RP1 zjistíme |QR| p + q + |QR| = , q p odkud postupně vypočteme: q(p + q) p−q 2pq d= p−q

|QR| =

Uvědomíme-li si ještě, že bod S je střed kruhového stolu, a označíme-li poloměr stolu r, tj. r = |SB|, dostaneme výsledek, že naše úloha (zadaná podle obr. 1, kde p > q) má řešení právě tehdy, když d > r, tj. když 2pq > r. p−q Pro ilustraci je uvažovaná úloha vyřešena na obr. 5, a to pro hodnoty |AS| = |BS| = r = 3 cm,

|P S| = p = 2 cm,

|QS| = q = 1 cm.

Hledané body jsou průsečíky X1 , X2 Apolloniovy kružnice ka (s průměrem SR) s kružnicí ks představující hranu kruhového kulečníku (podrobné konstrukce pro přehlednost v obrázku nejsou).

X1

p A

P

q S

B

Q

R

ka X2 ks


Obr. 5

13

MATEMATIKA

Analytické vyjádření Apolloniovy kružnice Dané body P , Q umístíme ve zvolené kartézské soustavě souřadnic podle obr. 6, tedy P [−a, 0], Q[a, 0], a > 0. Najdeme nutnou a postačující podmínku, kterou musí splňovat souřadnice bodu X[x, y], aby byl poměr |P X|/|QX| roven danému kladnému číslu λ 6= 1. Protože |P X| =

p (x + a)2 + y 2 ,

y X[x, y]

P [−a, 0]

O

Q[a, 0]

x

Obr. 6

|QX| =

dostaneme z požadavku

p (x − a)2 + y 2 ,

|P X| =λ |QX| po umocnění a dalších úpravách postupně (x + a)2 + y 2 = λ2 (x − a)2 + λ2 y 2 , x2 1 − λ2 + 2ax 1 + λ2 + y 2 1 − λ2 + a2 1 − λ2 = 0.

Odtud – vzhledem k tomu, že λ 6= 1 – získáme po vydělení výrazem 1 − λ2 rovnici 1 + λ2 x2 + 2ax + y 2 + a2 = 0, 1 − λ2 kterou upravíme na tvar 2 2 1 + λ2 2aλ 2 x+a +y = . 1 − λ2 1 − λ2 1 + λ2 Získali jsme rovnici kružnice se středem v bodě −a , 0 a s po1 − λ2 2aλ loměrem . Zjistili jsme, že všechny body X dané vlastnosti |1 − λ2 | leží na této kružnici. Obrácením předvedeného postupu se přesvědčíme o tom, že také každý bod této kružnice má danou vlastnost. 14


MATEMATIKA

4aλ této kružnice je v případě |1 − λ2 | 2pq Apolloniovy kružnice v naší úloze roven , je nutné umístit pop−q čátek soustavy souřadnic do středu úsečky P Q. V tom případě máme P − 21 (p + q), 0 , Q 12 (p + q), 0 a dosazením a = 12 (p + q), λ = p/q, kde p > q, dostaneme vskutku Chceme-li ověřit, že průměr d =

d=

4aλ 4aλ 2pq = 2 = . |1 − λ2 | λ −1 p−q

Na závěr dodejme, že Apolloniova kružnice má své jméno po řeckém matematikovi Apolloniu z Pergy (asi 260–190 př. n. l.), jehož dílo o kuželosečkách ovlivnilo celé generace matematiků a astronomů. Od něho pocházejí i názvy parabola, hyperbola, asymptota. Pravděpodobně znáte úlohy, které se souhrnně označují jako úlohy Apolloniovy; jsou to úlohy na sestrojení kružnic nebo přímek, které procházejí danými body a dotýkají se daných kružnic a přímek, přičemž dané útvary (body, přímky, kružnice) jsou vždy v počtu tří.

Výběry monotónních posloupností Jaromír Šimša, PřF MU Brno Chcete se dozvědět o souvislostech kolem tématu jedné úlohy, kterou v roce 2005 řešili soutěžící ústředního kola Matematické olympiády v ČR a SR? Nerozumíte-li přitom dvěma slovům z názvu našeho článku, vůbec to nevadí. Prohlédněte si dvě konečné skupiny čísel (16, 4, 7, 12, 26, 20) a (4, 7, 12, 16, 20, 26). I když jsou obě skupiny tvořeny stejnými čísly, liší se jejich pořadím. To považujeme za podstatné a obě skupiny tudíž za různé. Skupině čísel s určeným pořadím říkáme v matematice posloupnost, zastoupeným číslům její členy. Ročník 81 (2006), číslo 1

15

MATEMATIKA

Čím se obě vypsané posloupnosti o šesti členech liší na první pohled? Tím, že v druhé posloupnosti jsou členy uspořádány podle velikosti, a to od nejmenšího čísla po číslo největší. Každou takovou posloupnost nazýváme rostoucí, podobně každou posloupnost, jako např. (17, 16, 13, 9, 4, 3), nazýváme klesající. Rostoucím a klesajícím posloupnostem říkáme souhrnně monotónní posloupnosti∗ ). Všimněme si nyní, že rostoucí posloupnost (4, 7, 12, 16, 20, 26), kterou jsme uvedli jako úvodní příklad, je skryta“ v delší posloupnosti ” (5, 4, 2, 7, 6, 13, 12, 10, 9, 18, 16, 15, 22, 20, 30, 26); vyznačili jsme to podtržením. Důležité samozřejmě je, že pořadí podtržených členů je takové, jaké vyžadujeme, tj. od nejmenšího čísla po největší. Dokážete z této 16členné posloupnosti vybrat rostoucí posloupnost o více než šesti členech? Po chvíli pokusů dojdete k názoru, že taková posloupnost patrně neexistuje. Zdůvodníme to tak, že celou posloupnost rozdělíme na šest klesajících úseků: (5, 4, 2, 7, 6 , 13, 12, 10, 9, 18, 16, 15, 22, 20, 30, 26) {z } | {z } | {z } | {z } | {z } |{z} |

Je jasné, že každá rostoucí posloupnost vybraná z této posloupnosti obsahuje nejvýše jedno číslo z každého z šesti vyznačených úseků, takže má celkově nejvýše šest členů. Sami vysvětlete, proč z dané 16členné posloupnosti nelze vybrat klesající posloupnost pěti čísel. Nyní jsme již dobře připraveni na to, abychom rozebrali úlohu MO, o které jsme se zmínili úvodem. Její zadání: Rozhodněte, zda členy jakékoliv posloupnosti 15 různých celých čísel lze zapsat čtyřmi barvami tak, aby čísla kterékoliv barvy tvořila monotónní posloupnost. Úloha byla pro soutěžící velmi obtížná. Z celkového počtu 42 soutěžících v ČR a 39 soutěžících v SR úplné řešení podali pouze 2 čeští a 3 slovenští účastníci. Zdůvodnili negativní odpověď, že některou posloupnost 15 čísel nelze zapsat čtyřmi barvami požadovaným způsobem. ∗

) Monotónní je i každá jednočlenná posloupnost (a), která je současně rostoucí i kle-

sající.

16


MATEMATIKA

Ukážeme, že taková je kupříkladu posloupnost (5, 4, 3, 2, 1, 9, 8, 7, 6, 12, 11, 10, 14, 13, 15 ) | {z } | {z } | {z } | {z } |{z} I

II

III

IV

V

sestavená z pěti klesajících úseků I až V. Připusťme, že jsme její čísla zapsali čtyřmi barvami tak, že čísla stejné barvy tvoří vždy monotónní posloupnost. V úseku I je pět čísel, dvě z nich proto mají stejnou barvu. Protože tato dvě čísla tvoří klesající posloupnost, jejich barvu nemá žádné z čísel úseků II až V.∗ ) V úsecích II až V jsou tedy čísla nejvýše tří barev; podobně společnou barvu dvou čísel ze skupiny II nemá žádné z čísel skupin III až V, takže v nich jsou čísla nejvýše dvou barev. Opakujeme-li stejnou úvahu ještě jednou, dojdeme ke zjištění, že čísla z úseků IV a V mají stejnou barvu, a to je spor, neboť posloupnost (14, 13, 15) není monotónní. Od vyřešené úlohy MO teď přejdeme k jednomu pěknému výsledku, který v roce 1932 získali maďarští matematikové Erdös a Szekeres. Dokázali, že pro libovolná přirozená čísla m a n platí tvrzení: Z každé posloupnosti mn + 1 navzájem různých celých čísel lze vybrat rostoucí posloupnost o m + 1 členech nebo klesající posloupnost o n + 1 členech. Uvedené tvrzení má zajímavý důkaz. Označme P = a1 , a2 , . . . , amn , amn+1

libovolnou zkoumanou posloupnost a uvažujme všechny rostoucí posloupnosti, které jsou obsaženy v P a začínají pevně zvoleným členem ai . Najděme mezi nimi tu, která má maximální počet členů ∗∗ ), a tento počet označme symbolem pi . (Není vyloučeno, že pi = 1.) Provedeme-li popsanou úvahu pro každý index i ∈ {1, 2, . . . , mn + 1}, dostaneme mn + 1 přirozených čísel p1 , p2 , . . . , pmn+1 . (1) Splňuje-li některé z těchto čísel pi nerovnost pi ≧ m + 1, lze z P vybrat rostoucí posloupnost o m + 1 členech (s prvním členem ai ) a závěr ∗ ∗∗

) Ta jsou totiž všechna větší než kterékoliv číslo z úseku I. ) Může se stát, že maximální počet členů má několik takových posloupností.


17

MATEMATIKA

Erdösovy-Szekeresovy věty platí. Zabývejme se proto dále pouze opačným případem, kdy každé z čísel pi leží v množině {1, 2, . . . , m}. Mezi mn + 1 čísly v (1) je tedy nejvýše m různých hodnot; podle Dirichletova principu∗ ) to znamená, že některých n + 1 členů pi má tutéž hodnotu. Vysvětlíme-li nyní, proč všechny ty členy ai posloupnosti P , kterým odpovídá stejná hodnota pi , tvoří v P klesající posloupnost, budeme s celým důkazem Erdösovy-Szekeresovy věty hotovi. Zbývá tedy zdůvodnit tvrzení: Jestliže pro indexy i a j platí i < j a pi = pj , pak ai > aj . Připusťme, že pro indexy i a j, kde i < j, platí rovnost pi = pj a namísto nerovnosti ai > aj naopak nerovnost ai < aj . Podle definice čísla pj existuje v P rostoucí posloupnost s prvním členem aj , která má délku pj . Připíšeme-li před tuto posloupnost člen ai , dostaneme rostoucí posloupnost v P s prvním členem ai , jejíž délka je pj + 1. To však podle definice čísla pi znamená pi ≧ pj + 1, což je ve sporu s rovností pi = pj . Tím je důkaz potřebného tvrzení ukončen. Vraťme se nyní k úloze z naší MO. Postup jejího řešení, který jsme dříve popsali, lze zřejmým způsobem zobecnit na libovolný počet barev a dokázat tak následující negativní“ tvrzení. ” Splňují-li přirozená čísla k a n rovnost n = 1 + 2 + 3 + · · · + k + (k + 1),

(2)

pak k barev nestačí k tomu, abychom jimi zapsali členy jakékoliv posloupnosti sestavené z n různých celých čísel, mají-li čísla kterékoliv barvy tvořit monotónní posloupnost.∗∗ ) V závěrečné části ukážeme, že k předchozímu výsledku lze doplnit pozitivní“ tvrzení, a to v nejlepší podobě, jakou bychom si mohli přát. ” Jeho důkaz autorovi článku poskytl Jiří Sgall z Matematického ústavu AV ČR.

∗

) Tento jednoduchý a zároveň užitečný princip (též zvaný přihrádkový) lze vyslovit

takto: Je-li mn + 1 předmětů rozděleno do m přihrádek, pak v některé z nich je alespoň n + 1 předmětů. ∗∗ ) V původní úloze MO byly zadány konkrétní hodnoty k = 4 a n = 15 splňující rovnici (2). Její prozrazení by soutěžícím mohlo posloužit jako nápověda k řešení.

18


MATEMATIKA

Splňují-li přirozená čísla k a n nerovnost n < 1 + 2 + 3 + · · · + k + (k + 1),

(3)

pak k barev stačí k tomu, abychom jimi zapsali členy jakékoliv posloupnosti sestavené z n různých celých čísel, mají-li čísla kterékoliv barvy tvořit monotónní posloupnost. Důkaz provedeme indukcí vzhledem k číslu k. Je-li k = 1, pak podle (3) platí n < 3, takže tvrzení je zřejmé.∗ ) V druhém indukčním kroku předpokládejme, že tvrzení platí pro některé k a vysvětleme, proč potom k + 1 barev stačí k vyhovujícímu zápisu libovolné posloupnosti P = (a1 , a2 , . . . , an ) různých n celých čísel, platí-li n < 1 + 2 + · · · + (k + 1) + (k + 2). (4) Lze-li v P zapsat jednou barvou k + 2 členů ai tvořících rostoucí posloupnost, můžeme tyto členy z P vyškrtnout a pokud n > k + 2, zbylou posloupnost o n − k − 2 členech zapsat požadovaným způsobem dalšími k barvami podle indukčního předpokladu, neboť z nerovnosti (4) plyne nerovnost n − k − 2 < 1 + 2 + · · · + (k + 1); spolu s vyškrtnutými čísly tak dostaneme požadovaný zápis celé posloupnosti P pomocí k + 1 barev. Zabývejme se proto dále pouze případem, kdy v P žádná rostoucí posloupnost o k + 2 členech neexistuje. Stejně jako v důkazu Erdösovy-Szekeresovy věty označíme symbolem pi maximální počet členů rostoucí posloupnosti, která se vyskytuje v P a začíná členem ai . Pro každý index i ∈ {1, 2, . . . , n} pak v našem případě platí 1 ≦ pi ≦ k + 1, takže všech různých hodnot pi je dohromady nejvýše k + 1. Avšak ze zmíněného důkazu víme, že všechny členy ai , kterým odpovídá stejná hodnota pi , tvoří v P klesající posloupnost, takže je můžeme obarvit stejnou barvou (pro každou z různých hodnot pi jinou). Tak zapíšeme všechny členy P požadovaným způsobem a využijeme přitom nejvýše k + 1 barev. Tím je celý důkaz hotov.

∗

) Každá posloupnost o méně než třech členech je monotónní, takže k zápisu jejích

členů vystačíme s jednou barvou.


19

FYZIKA Pád a vodorovný vrh ve vzduchu Jakub Benda, Benjamín Mareček, Gymnázium Jana Nerudy Praha V kroužku experimentální fyziky jsme se vrátili k pokusu, kterým jsme při výuce fyziky demonstrovali princip nezávislosti pohybů. Na fotografii (obr. 1) je stoletá pomůcka, která k tomu slouží.

Obr. 1

Ve stojánku jsou dvě kuličky, jedna leží na vodorovné destičce, druhá je ve stejné výšce přidržovaná pružným ocelovým páskem nad otvorem u svislé destičky. Třetí, kovová kulička, kterou drží na vychýlené tyčce ruka, je kladívkem“, jež po nárazu do svislého pásku uvolní levou ku” ličku a současně vodorovně vystřelí pravou kuličku. Sluchem jsme registrovali současný dopad obou kuliček na zem – pravé kuličky, padající svislým pádem, i levé kuličky, která vykonávala vodorovný vrh. Otázka, kterou jsme si v kroužku položili, byla: Je současný dopad obou kuliček ve vzduchu reálný, nebo nejsme schopni sluchem zaregistrovat málo rozdílné okamžiky dopadu? Pustili jsme se do rozboru pokusu pomocí Excelu, ve kterém jsme mohli problém řešit numericky s přihlédnutím k odporu vzduchu. 20


FYZIKA

Při výpočtu jsme vycházeli z matematického modelu zkoumaného děje, který odporovou sílu počítá z Newtonova vztahu pro odporovou aerodynamickou sílu F = 12 CS̺v 2 , (1) kde F je velikost odporové aerodynamické síly, ̺ hustota vzduchu ̺ = 1,25 kg · m−3 , S obsah průřezu kuličky (průměr 38,6 mm, hmotnost m = 35,3 g), C součinitel odporu kuličky (pro kouli 0,48) a v velikost rychlosti kuličky. Tato síla působí zrychlení o velikosti a=

SC̺ 2 v = kv 2 2m

(2)

orientované proti směru rychlosti. Konstanta k byla při našem pokusu rovna 0,021 m−1 . Použitý matematický model sice nepopisuje vyšetřovaný děj zcela přesně, ale pro situace, které jeho pomocí řešíme, se od reálného průběhu odchyluje jen velmi málo. Pohyby jsme rozložili do dvou směrů. Svisle dolů jsme orientovali osu y, vpravo ve směru letu vodorovně vržené kuličky ay pak osu x. Vektor rychlosti v a vektor a zrychlení a vodorovně vržené kuličky způsobeného odporovou silou jsou opačně orientovány (obr. 2). Pro velikosti obou vx vektorů platí x ax |vx | |ax | = , v a

v

po dosazení z (2)

vy y

|v | |ax | . q x = 2 2 k v 2 2 x + vy vx + vy

Obr. 2

S ohledem na orientaci ax = −kvx

q vx2 + vy2 .

ay = −kvy

q vx2 + vy2 .

Podobně


21

FYZIKA

Po zahrnutí tíhového zrychlení dostaneme pro vektor zrychlení a vodorovného vrhu: q vx2 + vy2 q ay = g + ay = g − kvy vx2 + vy2

ax = ax = −kvx

(3a) (3b)

Při numerickém výpočtu průběhu rychlosti rozdělíme čas t na intervaly délky dt a budeme předpokládat, že v každém takovém intervalu se kulička pohybuje rovnoměrně přímočaře. Vektor rychlosti v (t + dt) i polohu [x(t + dt), y(t + dt)] kuličky v čase t + dt vypočteme z vektoru rychlosti v (t) a z polohy [x(t), y(t)] kuličky v čase t: v (t + dt) = v (t) + a (t) dt

q h i vx (t + dt) = vx (t) − kvx (t) vx2 (t) + vy2 (t) dt q h i vy (t + dt) = vy (t) − g − kvy (t) vx2 (t) + vy2 (t) dt x(t + dt) = x(t) + vx (t) dt y(t + dt) = y(t) + vy (t) dt

(4a) (4b) (5a) (5b)

Podobně pro vektor zrychlení a ′ = (0, a′y ), vektor rychlosti v ′ = (0, vy′ ) a polohu [0, y ′ ] svisle padající kuličky dostaneme s přihlédnutím k odporu vzduchu: a′y = g − k(vy′ )2 vy′ (t + dt) = vy′ (t) + a′y (t) dt y ′ (t + dt) = y ′ (t) + vy′ (t) dt

(6) (7) (8)

Jak už bylo řečeno, výpočet jsme provedli v Excelu. V tabulce 1 jsme zadali výpočet tak, že do prvního řádku jsme zapsali značky veličin a do druhého řádku jejich počáteční hodnoty, tj. s výjimkou velikosti počáteční rychlosti vodorovného vrhu vx = v0 samé nuly. V sloupci L byla v L3 vložena hodnota časového kroku dt = 0,001 s, v L4 velikost tíhového zrychlení g = 9,81 m · s−2 , v L5 velikost počáteční rychlosti vodorovného vrhu v0 = 1,6 m · s−1 a v L6 konstanta k = 0,021 m−1 ze vztahu (2). 22


FYZIKA A

B

C

D

1

t

ax

ay

vx

2

0

0

0

$L$5

3 =A2+$L$3

=−$L$6*D2* =$L$4−$L$6*E2* =D2+B3*$L$3 ODMOCNINA ODMOCNINA (D2*D2+E2*E2) (D2*D2+E2*E2)

E

F

G

H

1

vy

x

y

a′y

2

0

0

0

0

3 =E2+C3*$L$3 =F2+D3*$L$3 I

=G2+E2*$L$3

=$L$4−$L$6*I2*I2

J

K

L

′

yy

parametry

1

vy′

y

2

0

0

0

3 =I2+H3*$L$3 =J2+I3*$L$3

=0,5*$L$4*A3*A3

Tabulka 1 Až třetí řádek tabulky je prvním krokem numerického výpočtu. V A3 k času t = 0 s (A2) přičítáme konstantní přírůstek času dt = 0,001 s ($L$3). V B3 je složka zrychlení ax daná odporem vzduchu počítaná podle vztahu (3a). Podobně v C3 je složka zrychlení ay počítaná podle vztahu (3b). Analogicky jsou naplněny buňky třetího řádku sloupců D, E, F a G podle vztahů (4a), (4b), (5a) a (5b). Sloupce H, I a J přísluší čárkovaným veličinám odpovídajícím svislému pádu ve vzduchu, jak popisují vztahy (6), (7) a (8). Pro úplnost jsme do sloupce K zadali průběh souřadnice yy volného pádu, tj. pádu ve vakuu. Když jsme třetí řádek s výpočtem zkopírovali až k hloubce pádu 2 m, ukázaly výsledky, že se vypočtené doby volného pádu τ0 , pádu ve vzduchu τ1 a vodorovného vrhu ve vzduchu τ2 sice liší (τ0 < τ1 < τ2 ), ale jen v řádu tisícin sekundy. To je hluboko pod rozlišovacími možnostmi měření, která jsme byli schopni ve škole realizovat. Výšku startu kuliček nelze zcela přesně nastavit a ani okamžik jejich startu není přesně Ročník 81 (2006), číslo 1

23

FYZIKA

identický. Zjišťování okamžiku dopadu, které jsme chtěli realizovat mikrofonem, rovněž nedosahuje dostatečné rozlišení. Proto je při školním pokusu nesoučasný dopad kuliček nerozlišitelný. Dále nás zajímalo, jak se rozdíly vypočtených časů změní, jestliže budeme náš výpočet aplikovat na brok o průměru 3,5 mm a hmotnosti 0,25 g padající ve vzduchu a na stejný brok ve vzduchu vodorovně vystřelený ze vzduchovky počáteční rychlostí v0 = 150 m · s−1 . Výpočet jsme opět stejným způsobem zadali do Excelu, ve srovnání se školním pokusem se změnil pouze parametr v0 a konstanta k, jejíž hodnota pro uvažovaný brok podle (2) vychází 0,012 m−1 . Vypočtené výsledky ukazuje dvojice grafů na obr. 3.

Obr. 3

Vypočtené výsledky pro svislý pád broku ve vakuu a ve vzduchu se téměř neliší. Ve vzduchu ale pro vodorovně vystřelený brok (graf vpravo) vychází, že o 2 metry poklesne za čas zhruba o desetinu sekundy delší než brok svisle padající (graf vlevo). Vypočtené výsledky jsou sice ovlivněny použitým matematickým modelem a rovněž chybou numerického výpočtu, jsou však natolik průkazné, že z nich můžeme učinit závěr: Těleso vržené vodorovně klesá v odporujícím prostředí pomaleji než při svislém pádu. Důvodem je narušená nezávislost pohybů v odporujícím prostředí – při vodorovném vrhu ovlivňuje vodorovná složka rychlosti svislou složku zrychlení, jak je při použitém matematickém modelu vidět ze vztahu (3b).

24


FYZIKA

Proč se kondenzátor vybije? Martin Macháček, Ondřejov Když vodivě spojíme kladnou a zápornou elektrodu nabitého kondenzátoru, kondenzátor se vybije. Elektrony ze záporné elektrody se tedy budou pohybovat směrem od kladné elektrody (obr. 1). Proč, když je přece kladná elektroda přitahuje Obr. 1 značnou silou? Abychom na tuto otázku odpověděli, připomeňme, co je podstatou kondenzátoru. Představme si nejdřív, že shromažďujeme elektrony na osamoceném vodiči ve tvaru desky. První elektron dostaneme ze země na vodič snadno, žádnou sílu překonávat nemusíme. Při přidávání druhého elektronu (obr. 2) už musíme konat práci, protože překonáváme odpudivou sílu prvního elektronu (na obrázku je naznačena šipkou). Čím víc elektronů na vodiči je, tím větší práci W musíme vykonat při přenesení dalšího elektronu ze země na vodič, protože síla, která tento elektron odpuzuje, je větší (obr. 3).

Obr. 2

Obr. 3

Napětí U našeho vodiče vzhledem k zemi je tato práce (potřebná k přenesení) dělená nábojem: U = W/e. Přímo úměrně k tomu, jak náboje na vodiči přibývá, se zvětšuje odpudivá síla, tím i práce W , a tím i napětí U = W/e vodiče vzhledem k zemi. Kapacita vodiče je podíl C = Q/U . Protože u osamělého vodiče je i při malém náboji Q napětí U velké, je tento podíl malý. Kapacita osamělého vodiče, jak je naznačen na obr. 2 a 3, je tedy malá. Ročník 81 (2006), číslo 1

25

FYZIKA

Jestliže však v blízkosti vodiče, který nabíjíme záporně, je jiný vodič, který současně nabíjíme kladně, pak se odpudivá síla elektronů na záporném vodiči skládá s přitažlivou silou kladných iontů na kladném vodiči a výsledná odpudivá síla je daleko menší (obr. 4). Práce potřebná k přenesení dalšího elektronu ze země na záporný vodič je tedy také menší, a proto je Obr. 4 menší i napětí mezi mezi zápornou deskou a zemí. Druhou desku nabijeme kladně velmi snadno: spojíme ji vodivě se zemí. Jak nabíjíme první desku záporně, elektrony z druhé jsou vypuzovány směrem do země a druhá deska tedy automaticky získá správný“ ” kladný náboj. Napětí mezi zápornou deskou a zemí je pak současně napětím mezi zápornou deskou a kladnou deskou; kapacita je rovna náboji na jedné desce dělenému tímto napětím mezi deskami. Vhodným geometrickým uspořádáním obou desek lze dosáhnout toho, že se pole záporného a kladného náboje co nejdokonaleji“ vyruší, tedy že ” kapacita je co největší. Za prvé je výhodné, když je vzdálenost obou desek co nejmenší. Za druhé je výhodné, když mají desky hodně velký obsah, protože když stejný náboj rozložíme na velkou plochu, jeho plošná hustota je malá, tudíž je malá i intenzita elektrického pole v jeho blízkosti. Proto se kondenzátory dělají ve tvaru desek přiložených těsně k sobě a platí známý vztah mezi obsahem desek, jejich vzdáleností a kapacitou kondenzátoru. Podstatné ovšem je, že práce nutná k přenesení dalšího elektronu na zápornou desku je stále kladná, i když menší než u izolovaného vodiče. To proto, že když se s elektronem blížíme z vnějšku“ k záporné desce, ” je přitahující kladná deska vždy dál než odpuzující deska záporná; jejich síly se tedy nevyrovnají přesně. Názorně je to vidět na běžně známých obrázcích siločar elektrického pole okolo dvou opačně nabitých elektrod. Takový obrázek je např. v učebnici [1] (obr. 1-15 na str. 23); vpravo od záporné elektrody má elektrické pole směr doleva, to znamená, že tam působí na záporný elektron elektrická síla směrem doprava, pryč od záporné elektrody. Na obr. 1-13 je v učebnici [1] i fotografie z experimentu, při kterém jsou tyto siločáry zviditelněny zrnky krupice na oleji okolo dvou přibližně bodových elektrod. Z obou obrázků je patrno, že elektrické pole je nenulové všude v okolí elektrod, že tedy na elektron v okolí záporné elektrody vždy působí odpudivá síla. 26


FYZIKA

Změníme-li tvar elektrod z malých kuliček na větší ploché desky, změní se samozřejmě detailní tvar siločar, ale tato obecná vlastnost zůstane zachována. Pole na vnější straně desek bude sice daleko slabší než mezi deskami, ale určitě nebude nulové. Jestliže se tedy v [1] na str. 40 píše Mezi deskami vznikne homogenní elektrické pole s intenzitou E = U/d, ” vně kondenzátoru se pole obou desek vzájemně vyruší“, je to pravda jen přibližně. Pole obou desek se vně kondenzátoru skoro vyruší, ale ten nepatrný rozdíl, který zbude, stále stačí k tomu, aby postrkoval“ ” elektrony od záporné elektrody ke kladné. To, že pole vně kondenzátoru nemůže být nulové, plyne ostatně i jednoduchou úvahou ze zákona zachování energie (obr. 5). Kdyby totiž bylo pole jen mezi deskami a jinde by se vyrušilo, mohli bychom nabitou částicí obíhat okruh AXY ZBA; mezi deskami (v úseku BA) by na náboj působila elektrická síla, ale ve zbylé části okruhu už ne. Při každém oběhu bychom tedy získali nenulovou práci, aniž by se na okolí něco Obr. 5 změnilo – měli bychom perpetuum mobile. Ze zákona zachování energie tedy plyne, že práce získaná na úseku BA je přesně stejně velká jako práce ztracená“ (tj. práce, kterou musíme ” vykonat my) na úseku AXY ZB. Na úseku BA, mezi deskami, je ovšem velká síla a malá dráha, na úseku AXY ZB, vně desek, je naopak velká dráha a malá síla. Jestliže spojíme obě elektrody kovovým drátem, elektrické pole se v něm a v jeho okolí ještě před vybitím kondenzátoru změní – volné elektrony v drátu se přemístí a jejich pole se složí s polem nabitých desek. Elektrická síla působící na volné elektrony v kovu bude pak mít směr podél drátu, ne už směr, který ukazují siločáry okolo izolovaných desek kondenzátoru. Nicméně práce potřebná k přenesení elektronu z kladné desky na zápornou zůstane stejná – podle zákona zachování energie musíme na přenos elektronu oklikou“, drátem, vy” naložit přesně stejnou práci jako na přenos elektronu nejkratší cestou z jedné desky na druhou. Proto bude elektrická síla odpuzovat elektrony od záporné desky (vybíjet kondenzátor) i v tom případě, Ročník 81 (2006), číslo 1

27

FYZIKA

když desky spojíme drátem. To je odpověď na otázku v záhlaví tohoto článku. Zkusme domyslet, co by se stalo, kdyby bylo elektrické pole vně desek přesně nulové. Pak bychom mohli kondenzátor nabíjet na libovolný náboj s vynaložením nulové práce. Kapacita takového kondenzátoru by byla nekonečně velká, protože potenciál desek by zůstával nulový. A kdyby dokonce síla, která působí na elektrony přenášené na zápornou desku, byla přitažlivá, jak naznačuje úvodní otázka, byla by kapacita kondenzátoru záporná, kondenzátor by se nabíjel sám od sebe, konal by při tom práci, jeho energie 12 Q2 /C < 0 by byla tím menší, čím větší náboj by na něm byl shromážděn . . . a skončilo by to nějakým velkým třeskem. Jako vždy, když přestanou fungovat přírodní zákony. Literatura: [1] Lepil, O., Šedivý, P.: Fyzika pro gymnázia. Elektřina a magnetismus. Praha, Prometheus 2003

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ IN VINO VERITAS ∗ ) Jakýsi básník řekl: Celý vesmír je v poháru vína.“ Nikdy se asi nedozvíme, ” co tím chtěl básník říci; básníci nepíšou proto, aby jim bylo rozuměno. Pravdou však je, že při pozorném pohledu na pohár vína uvidíme celý vesmír. Jsou v něm věci, jimiž se zabývá fyzika: vrtkavá tekutina, která se vypařuje v závislosti na větru a počasí, odrazy ve skle a naše představivost přidává atomy. Sklo je destilátem zemských hornin a v jeho skladbě vidíme tajemství vesmírného věku a vývoj hvězd. Jak divná směs chemikálií je ve víně! Jak se tam dostaly? Jsou tam kvasinky, enzymy, substráty a sloučeniny. Ve víně nalézáme velké zobecnění: všechen život je kvasením. Nikdo nemůže objasnit chemii vína, aniž by podobně jako Louis Pasteur neobjevil příčinu mnohých chorob. Jak živé je červené víno vtiskující svou existenci do vědomí, jež ho pozoruje! Jestliže naše chabá mysl z jakýchsi praktických důvodů rozdělí tento pohár vína, tento vesmír, na části – fyziku, chemii, biologii, geologii, astronomii, psychologii atd. – pamatujme, že příroda o tom nic neví. Proto složme to všechno zpět dohromady a nezapomeňme nakonec, čemu má sloužit. Ať nám připraví ještě jedno, závěrečné potěšení: vypijme ho a na všechno zapomeňme! Richard Feynman (pil červené) ∗

) Z publikace Historky o slavných matematicích a fyzicích autora Ivana Štolla,

Praha, Prometheus 2005

28


INFORMATIKA Program TI InterActive! – vytváření dokumentů o řešení matematických úloh Jan Kašpar, MFF UK Praha Úvodní informace o programu Program byl vyvinutý firmou Texas Instruments (dále TI) a má sloužit zejména učitelům matematiky. Jedná se o snadno zvládnutelný matematický software.

Obr. 1

Pomocí TI InterActive! (dále TIIA) je možné: – provádět matematické výpočty; TIIA patří mezi tzv. Computer Algebra System software – zobrazovat grafy Ročník 81 (2006), číslo 1

29

INFORMATIKA

– pracovat s daty uloženými do tabulek (včetně dat stažených z internetu) – vkládat do dokumentu volný text formou velmi podobnou běžným textovým editorům Úvodní výklad o programu TIIA se bude týkat použití ikon z třetího řádku nabídek základní obrazovky, jak je vidíte na obr. 2. Na obr. 1 je ukázka jednoduchého výpočtu doplněná průvodním textem. Matematický rámeček pro první výpočet byl otevřen kliknutím na první ikonu. Potřebné procedury a funkce pro výpočty najdeme v TI Math Palette, a to buď přímo na klávesnici, nebo v nabídce Math, popř. v katalogu, který otevřeme kliknutím na 1. ikonu horního řádku nabídek v TI Math Palette. Výpočet hodnoty funkce sinus je pro stupňovou míru, přičemž byl nastaven výpočet přesného výsledku. Nastavení režimu práce se provádí v rámečku, který otevřeme kliknutím na druhou ikonu.

Obr. 2

Program TIIA umožňuje provádět jak výpočty s konkrétními čísly, tak i výpočty symbolické. Na obr. 2 je ukázka řešení dvou kvadratických rov30


INFORMATIKA

nic pomocí procedury Solve. Procedura byla vybrána v TI Math Palette postupně z nabídek Math a Algebra. Do dokumentu lze vkládat grafy. Je možné zobrazit grafy funkcí v kartézských souřadnicích (dvěma způsoby), grafy funkcí zadaných parametricky, grafy funkcí zadaných v polárních souřadnicích a dále zobrazit data pro statistické výpočty. Pokud chceme do protokolu vložit graf, musíme nejprve po kliknutí Obr. 3 na šipku vedle třetí ikony zvolit jednu z pěti zmíněných možností (obr. 3). Pro tuto úvodní informaci jsme vybrali první typ. Po kliknutí na první ikonu se na ploše zobrazí dva rámečky, do nichž zadáme potřebné údaje pro graf (obr. 4).

Obr. 4

V rámečku Functions se do okének vpravo vyplňují předpisy funkcí, jejichž grafy mají být zobrazeny. Pro snazší zápis těchto předpisů můžeme kliknutím na první ikonu lišty nabídek v rámečku Functions otevřít ještě Ročník 81 (2006), číslo 1

31

INFORMATIKA

rámeček Symbol Palette (obr. 4). Dále je možné v rámečku Functions zadat typ a barvu grafu – čáry“. V rámečku Graph je možné zadat rozsah ” zobrazených částí souřadnicových os, způsob jejich zobrazení, opatřit graf nadpisem, připojit tabulku funkčních hodnot atd. Kromě toho se v tomto rámečku při zadávání funkcí automaticky vykresluje graf tak, jak bude zobrazen v dokumentu. Současně s rámečky Functions a Graph je na obrazovce vyznačeno místo, kam bude graf v dokumentu umístěn (šedé místo, částečně pod rámečky Functions a Symbol Palette). Dokument s grafem je na obr. 5. Graf je doplněn tabulkou funkčních hodnot a volně psaným textem – komentářem. Tabulka byla vygenerována po kliknutí na nabídku Table v rámečku Graph.

Obr. 5

Další ikony třetího řádku nabídek umožňují vkládat do dokumentu tabulky, seznamy, matice, provádět statistické výpočty a statistické vyhodnocování dat, komunikovat s kalkulačkami Texas Instruments (včetně kopírování obrazovek těchto kalkulaček), komunikovat s internetem a vkládat do dokumentu obsahy e-mail dopisů. 32


INFORMATIKA

Pomocí desáté ikony můžeme do dokumentu vkládat pohyblivé lišty. Ty umožňují přiřazovat proměnným hodnoty ze zadaného intervalu. Výpočty a grafy následující za pohyblivou lištou jsou pak realizovány pro nastavené hodnoty proměnných. V horní části dokumentu na obr. 6 jsou nejprve proměnným a a b příslušnými příkazy přiřazeny hodnoty a poté je proveden požadovaný výpočet a zobrazen požadovaný graf. V dolní části dokumentu jsou pro obě proměnné vloženy pohyblivé lišty a výpočet i graf jsou realizovány pro hodnoty proměnných a a b nastavené na těchto lištách. Pohybem jezdce po liště se automaticky přepočítávají následující výpočty a překreslují grafy. Protože hodnota přiřazená proměnné na pohyblivé liště se v dokumentu automaticky nezaznamenává, jsou zobrazené lišty doplněny jednoduchými matematickými rámečky, které obsahují pouze názvy příslušných proměnných; výsledkem těchto výpočtů“ jsou aktuální (na liště nastavené) hodnoty proměnných. ”

Obr. 6

Na závěr úvodního představení programu TIIA by bylo dobré upozornit na to, že všechny elementy, které jsme poznali a které můžeme do dokumentu vkládat (matematický rámeček, graf, tabulka, pohyblivá Ročník 81 (2006), číslo 1

33

INFORMATIKA

lišta), jsou v dokumentu editovatelné. Můžeme měnit jejich velikost, zařadit je do textu jako obtékané“ prvky, kopírovat, popř. editovat jejich ” obsah (např. pokud máme v matematickém rámečku složitý výpočet, můžeme zadání obvyklým způsobem označit, zkopírovat do jiného matematického rámečku a tam podle potřeby upravit) nebo je můžeme z dokumentu jako celek odstranit. Výsledný dokument pak lze exportovat jako .html, .doc, .rtf nebo .txt soubor. Jestliže vás program zaujal, můžete si na 30 dní stáhnout jeho demoverzi. Najdete ji na adrese www.education.ti.com po otevření odstavce Products a následně Software. Na stránkách www.akermann.cz se můžete seznámit s aktuální cenovou nabídkou. ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Komise pro vzdělávání učitelů matematiky a fyziky JČMF pořádá ve dnech 21. až 24. srpna 2006 na Gymnáziu ve Velkém Meziříčí

XIII. SEMINÁŘ O FILOZOFICKÝCH OTÁZKÁCH MATEMATIKY A FYZIKY Z připravovaného programu: EPR paradox, symetrie v mikrosvětě, Maxwelův démon, zajímavá fyzika – originální a jednoduché pokusy s vysvětlením, statistika živého těla, Ramseyova čísla, školské vzdělávací programy v proměnách věků. Pro přihlášené účastníky semináře bude vydána předseminární brožura (v elektronické i papírové formě) s podrobným programem a jako seminární materiály se připravují Sborník z XII. semináře a dva nové tituly edice Dějiny matematiky. Účastníci budou ubytováni v Domově mládeže SOUZ ve Velkém Meziříčí, který je vzdálen od budovy gymnázia asi 15 minut. Pokoje DM jsou třílůžkové a vždy dva pokoje mají společné sociální zařízení. Stravování začíná večeří v pondělí 21. 8. a končí obědem ve čtvrtek 24. 8. Snídaně a večeře budou podávány v jídelně SOUZ, naobědvat se mohou účastníci v místních restauracích. Předběžné finanční náklady: vložné 450 Kč, nocležné 150 Kč za noc, snídaně 50 Kč, večeře 65 Kč, obědy 50 až 60 Kč. Přihlášku a aktuální informace je možno získat na seminární adrese a na webových stránkách: RNDr. Aleš Trojánek, Gymnázium Velké Meziříčí, Sokolovská 27, 594 01 Velké Meziříčí; tel., fax: 566 521 600, e-mail: [email protected] www.gvm.cz/people/trojanek/jcmf-seminare www.fd.cvut.cz/Personal/Nemcova/otazky/

34


HISTORIE Studium elektrických a magnetických jevů do Oerstedova objevu magnetických účinků elektrického proudu (1820) Rudolf Kolomý, Moravská Třebová Až do konce 18. století byly v oblasti nauky o elektřině a magnetismu známy pouze statické jevy a atmosférická elektřina. Postupně byly zkonstruovány různé typy třecích elektrik, které umožnily provést základní elektrostatické pokusy a z nich vyvodit řadu vlastností elektrostatických sil. První, avšak ještě velmi primitivní třecí elektriku, rotující kouli ze síry třenou suchou dlaní ruky, sestrojil v roce 1650 německý fyzik a magdeburský starosta Otto Guericke (1602–1686), známý svými pokusy s atmosférickým tlakem a získáváním vakua. Ve svém spise Experimenta nova (1672) popsal přitažlivé a odpudivé síly, vznik elektrické jiskry, světélkování plynů v silném elektrickém poli a další jevy. Guerickeho pokusy zopakoval a dosažené výsledky potvrdil Robert Boyle (1627–1691) a přitom dokázal, že přitažlivost dvou zelektrovaných těles je vzájemná a že elektrické síly působí i ve vakuu (1675). Další krok ve výzkumu elektřiny učinil Angličan Stephen Gray (1666–1736), původně řemeslník-barvíř, který v letech 1729 až 1731 provedl řadu různých až dosti kuriózních pokusů, jimiž byl přiveden k pochopení pojmů vodič elektřiny“ a nevodič elektřiny“, které potom ” ” jasně formuloval v roce 1739 Francouz Jean Desaguliers (1683–1744) působící v Anglii. Gray prokázal, že elektrický náboj sídlí na povrchu vodiče a že k jeho uchování musí být vodič izolován. Objevil a četnými pokusy potvrdil existenci elektrostatické indukce. Na Grayovy experimenty úspěšně navázal francouzský fyzik, chemik, pozdější ředitel botanické zahrady v Paříži, badatel s encyklopedickou šíří vědeckých zájmů, Charles Francois Du Fay (někdy se také píše Dufay) de Cisternay (1698–1739), který se pokusil o první výklad elektrických jevů. V roce 1733 po četných pokusech dospěl k existenci dvou druhů elektřiny: elektřiny vznikající třením skla ( skelná“) a elektřiny vznika” jící třením jantaru ( jantarová“). Pomocí citlivého přístroje – v podstatě ” Ročník 81 (2006), číslo 1

35

HISTORIE

první konstrukce elektroskopu – se dvěma korkovými kuličkami na koncích přehnutého hedvábného nebo vlněného vlákna určoval stupeň zelektrování těles a přitom dospěl k závěru, že tělesa souhlasně elektricky nabitá se odpuzují a nesouhlasně elektricky nabitá se přitahují, a zkoumal též možnost zelektrování lidského těla. V této souvislosti připomeňme, že významný anglický lékař William Gilbert (1544–1603) v prvním systematickém vědeckém díle o elektřině a magnetismu De magnete (1600) uvažoval jen o přitažlivých silách a teprve Nicolo Cabeo (1585–1650) se v roce 1629 poprvé zmiňuje i o odpudivých silách. V roce 1735 Du Fay jako jeden z prvních vyslovil myšlenku o elektrické podstatě blesku. Před ním s touto domněnkou již přišli např. Isaac Newton, Francis Hauksbee, James Wall a další. Při studiu magnetických jevů Du Fay zavedl dvě magnetická fluida, severní a jižní. Čtyřicátá léta 18. století přinesla také nový elektrický přístroj. V roce 1745 německý kanovník Ewald Jürgen (Georg) von Kleist (1700–1748) z Kamminu v Pomořanech a o rok později nezávisle také holandský profesor experimentální fyziky na univerzitě v Leidenu Pieter van Musschenbroek (1692–1761) navrhli první kondenzátor – známou leidenskou láhev, když shromáždili elektrický náboj ve vodě nebo ve rtuti obsažené v láhvi. Autoři vycházeli z fluidové teorie: Je-li elektřina fluidum čili jakási nehmotná substance, nevažitelné médium“, pak ji bude jistě možné shro” máždit ve větším množství ve vhodné nádobě. Kleist se dokonce původně pokoušel, jak se zdá, vyrobit elektrovanou“ vodu, o níž byl přesvědčen, ” že bude mít léčebné účinky na zdraví člověka. Oba autoři pomocí svých zařízení pozorovali elektrický výboj, přičemž zejména Musschenbroek podrobně popsal nepříjemné pocity při vybíjení láhve lidským tělem. Pokusy s elektřinou, s elektrickým ohněm“, jak se říkalo, se staly v po” lovině 18. století – zejména po zdokonalení konstrukcí třecích elektrik – velmi populární a efektní, přispěly k poznání vodivosti látek a předváděly se jako oblíbená zábava na šlechtických zámcích, panovnických dvorech a při různých společenských událostech. Zdálo se, že elektřina nebude nikdy sloužit k ničemu jinému než k podobným kratochvilným záležitostem. V roce 1747 Benjamin Franklin (1706–1790) poznal sací účinky kovových hrotů a v roce 1749 vyslovil předpoklad, že blesk a elektrická jiskra mají stejnou podstatu. Své tvrzení potvrdil v červnu 1752 legendárním pokusem s drakem vypuštěným do bouřkového mraku, když na druhý konec částečně vodivé konopné šňůry přivázal kovový klíč. Na základě svých úvah nejprve předpokládal (1749), že zařízení bleskosvodu by mělo 36


HISTORIE

mít čistě preventivní úlohu – tiše odvést elektrický náboj z mraků do země dříve, než by došlo k úderu. V roce 1753 dochází k jinému pojetí, když předpokládá, že bleskosvod bude jednak předcházet úderu blesku, jednak bude svádět blesk do země. Až teprve v roce 1760 vztyčil uzemněný tyčový bleskosvod na domě kupce Westa ve Filadelfii (tento typ bleskosvodu se postupně rozšířil po celém světě). Avšak o šest let dříve sestrojil a postavil uzemněný bleskosvod originální koncepce Prokop Diviš (1698–1765) na farské zahradě v Příměticích u Znojma (15. června 1754). Předpokládal, že pomocí velkého počtu kovových hrotů bude možno vysát podstatnou část elektrického náboje z mraků, a tím předejít vzniku blesků a bouří vůbec, a tak zabránit případným hospodářským škodám a obětem na lidských životech. Neméně významné byly i Franklinovy teoretické výsledky. Proti dualistickým názorům na podstatu elektrických jevů, zastávaných např. Du Fayem, vypracoval Franklin v roce 1750 unitární teorii elektrických jevů, podle níž existuje jen jeden druh elektřiny – jediné specifické fluidum, o němž předpokládal, že má částicovou strukturu. Jakmile z nějakého důvodu vznikne přebytek elektrického fluida, těleso se nabije kladně, při jeho nedostatku zase záporně. Tím bylo objasněno, jak se dva opačné náboje mohou neutralizovat. Franklin jako první začal používat pro fluidum označení dnes běžně používané pro náboje – kladný“ ” a záporný“, použil znaménka plus a miBenjamin Franklin ” nus a svými představami přispěl k formu(1706–1790) laci zákona zachování elektrického náboje. Podle Franklinovy unitární teorie zastávané a rozvíjené např. Franzem Mariem Ulrichem Theodorem Aepinusem (1724–1802), německým fyzikem, který v letech 1757 až 1798 pracoval v petrohradské Akademii věd a byl autorem pozoruhodné latinsky napsané knihy Tentamen Theoriae Electricitatis et Magnetismi (Pokus o teorii elektřiny a magnetismu, 1759), by ovšem elektřina měla sršet pouze z kladně nabitých hrotů, kde je přebytek fluida. Pokusy však ukázaly, že kladně i záporně nabitá tělesa srší elektřinu z hrotů stejně intenzivně. Tato skutečnost přivedla anglického přírodovědce Roberta Symmera (asi 1707–1763) k vyslovení dualistické teorie elektrických jevů, podle níž v normálním stavu tělesa Ročník 81 (2006), číslo 1

37

HISTORIE

existují dva druhy elektřiny (fluida) zastoupené ve stejném množství, které se navzájem neutralizují. Zelektrování nastává tehdy, když v tělese chybí jeden druh elektřiny, anebo jsou přítomny oba druhy, avšak v různých množstvích. Symmer tak na vyšší úrovni obnovil Du Fayovy představy, avšak elektřinu spíše chápal jako jednotu kladné a záporné hybné síly: Jsou-li v rovnováze, těleso je neutrální; převaha jedné z nich má pak za následek zelektrování tělesa. Symmerovo pojetí předznamenalo pozdější představu elektrického pole, zatímco Franklinův přístup byl zárodkem představy o atomismu elektřiny. Velmi brzo se objevila otázka, na čem závisí síly, které působí mezi dvěma elektrickými náboji (částicemi elektrického fluida) a mezi dvěma póly tyčového magnetu (částicemi magnetického fluida). K poznání příslušného kvantitativního vztahu se velmi přiblížil velký Newtonův obdivovatel F. M. U. T. Aepinus, který studoval elektrostatickou indukci, jako první formuloval zákon zachování elektrického náboje, zabýval se souvislostí mezi elektřinou a magnetismem a zkoumal pyroelektrický jev u turmalínu (po zahřátí přitahoval drobná tělíska, proto se často nazýval ceylonským magnetem“). Ačkoliv Aepinus postřehl analogii mezi ” elektrickými a magnetickými jevy a konstatoval mnohé jejich společné vlastnosti, přesto považoval oba jevy, podobně jako dříve Gilbert, za zcela samostatné a nezávislé. Aepinova myšlenka najít zákon vzájemného silového působení mezi elektrickými náboji a mezi magnetickými množstvími, analogický k Newtonovu gravitačnímu zákonu, podnítila mnohé badatele ke zkoumáním. Daniel Bernoulli (1700–1782), snad nejslavnější z rodu Bernoulliů, který řadu let působil v petrohradské Akademii věd, v roce 1760 oznámil, že objevil pomocí speciálně zkonstruovaného elektrometru zákon kvadratické závislosti interakce mezi zelektrovanými tělesy; výsledky bohužel nezveřejnil. První hypotézu, že elektrická síla podobně jako gravitační síla závisí nepřímo úměrně na čtverci vzdálenosti mezi náboji, vyslovil významný anglický fyzik, chemik, filozof, objevitel fotosyntézy (1771) a kyslíku (1774), velký přítel Franklina, Joseph Priestley (1733–1804) ve své knize o dějinách statické elektřiny The history and present state of electricity, with original experiments (Historie a současný stav nauky o elektřině s originálními pokusy, Londýn 1767). První poměrně přesná měření včetně odhadu možných chyb, která nakonec vedla k odvození zákona vzájemného silového působení elektricky nabitých těles, provedl v roce 1772 významný anglický fyzik a chemik Henry Cavendish (1731–1810). Bohužel své práce nepublikoval a upozornil na ně teprve 38


HISTORIE

James Clerk Maxwell (1831–1879) v roce 1879, když se v závěru své vědecké dráhy věnoval studiu a uspořádání Cavendishovy vědecké pozůstalosti (vyšla tiskem v roce 1879 pod názvem H. Cavendish: The Electrical Researches). V roce 1785 Charles August Coulomb (1736–1806) provedl pomocí torzních vah velmi přesná měření elektrostatických sil a v roce 1788 magnetostatických sil a formuloval proslulé zákony nazvané jeho jménem. Předpokládalo se, že vzájemné silové působení dvou elektricky nabitých těles a také vzájemné silové působení magnetů je okamžité, bezčasové působení do dálky ( actio in distans“), ” podobně jako v případě gravitačních sil. Coulomb začlenil elektrostatické a magnetostatické jevy do Newtonových fyzikálních představ, a tak ještě více posílil význam mechaniky. Coulombova síla se stala po Newtonově gravitační síle druhou elemenCharles August Coulomb tární silou, se kterou se lidstvo seznámilo. (1736–1806) Jejím objevem se uzavřelo období statiky v nauce o elektřině a magnetismu. Po celé 18. století byly jediným zdrojem elektřiny různé třecí elektriky, jejich konstrukce se postupně zdokonalovaly a podle autorů se také často nazývaly (F. Hauksbee 1706, G. M. Bose 1734, Hausen 1743, J. H. Winkler 1745, B. Wilson 1746, M. Planta 1755, W. Watson, J. Ramsden 1766, Le Roy 1772, J. Ingenhousz 1784, J. Cuthbertson 1786, M. van Marum 1786 aj.). Poskytovaly krátkodobé výboje, mluvilo se o elek” trickém konfliktu“, čímž se označoval krátkodobý proud neustáleného charakteru, který může vyvolávat fyziologické, chemické a magnetické účinky, elektrickou jiskru a atmosférické jevy. Sám pojem elektrického proudu však ještě zaveden nebyl. Ten zavedl až v roce 1820 André Maria Ampère (1775–1836). Přechod k dynamickému chápání elektrických jevů nastává s objevem zdroje stálého elektrického proudu. Alessandro Guiseppe Volta (1745–1827), podnícen slavnými bioelektrickými pokusy na žabách (1773–1791) profesora anatomie a medicíny v Bologni Luigi Galvaniho (1737–1798), sestrojil v roce 1793 první galvanický článek. Sestával z destiček zinkové a měděné (popř. stříbrné), ponořených do nádobky se slanou vodou, popř. se slabým roztokem kyseliny sírové. Koncem roku Ročník 81 (2006), číslo 1

39

HISTORIE

1799 zkonstruoval první galvanickou baterii, tzv. Voltův sloup“, sestávající z něko” lika párů (20, 40, 60) měděných a zinkových kotoučů oddělených plstí navlhčenou slanou nebo okyselenou vodou. Badatelé po první dvě desítky let se v odborných časopisech dohadovali, jakým způsobem elektrický proud v galvanickém článku vzniká, zda kontaktem, nebo chemickými procesy (A. Volta, H. Davy, M. Faraday aj.). V roce 1803 německý fyzik, chemik a fyziolog Johann Wilhelm Ritter (1776–1810) pozoroval polarizaci elektrod ve Voltově článku, Luigi Galvani a tím dal významný podnět k jejich zdo(1737–1798) konalování a k pozdější konstrukci nových galvanických článků a také akumulátorů. První galvanický článek, v němž byla odstraněna polarizace elektrod, zkonstruoval v roce 1836 John Frederic Daniell (1790–1845). Na zdokonalování galvanických článků později zejména pracovali William Robert Grove (1811–1896, 1839), Robert Bunsen (1811–1899, 1841), Johann Heinrich Meidinger (1831–1905, 1859), Georges Leclanché (1839–1882, 1866), Josiah Latimer Clark (1822–1898, 1878), Edward Weston (1850–1936, 1893, normální Alessandro Guiseppe Volta (1745–1827) galvanický článek, etalon EMN, definice mezinárodního voltu) a další. Voltův objev galvanického článku jako prvního poměrně stálého zdroje elektromotorického napětí poskytl mnoha experimentátorům nové podněty a možnosti zkoumat systematičtěji a důkladněji než dříve tepelné, světelné, chemické a magnetické vlastnosti elektrického proudu, nazývaného zpočátku galvanickým proudem nebo také kontaktní elektřinou“. ” Po rozlišení elektrického proudu a elektrického napětí A. M. Ampèrem (1820) a po konstrukci prvních měřicích přístrojů bylo možno hledat zákonitosti elektrického obvodu. Tento úkol připadl především na Georga Simona Ohma (1789–1854) a na Gustava Roberta Kirchhoffa (1824–1887). Ohmovým zákonem (1826) a Kirchhoffovými zákony 40


HISTORIE

(1845–1847) se později otevřel zcela nový obor elektrotechniky – teorie elektrických obvodů, k jehož mohutnému rozvoji dochází až na přelomu 19. a 20. století v souvislosti s budováním telekomunikačních a energetických sítí.

Alfred Tarski – priateľ jemnejších logických úvah Dušan Jedinák, Trnavská univerzita v Trnave Teória pravdy Sémantika je súhrn úvah, ktoré sa dotýkajú tých pojmov, ktoré vy” jadrujú určité súvislosti medzi výrazmi jazyka a objektmi, stavmi alebo dejmi, na ktoré sa tieto výrazy vzťahujú.“ Takto ozrejmil nový smer logických výskumov Alfred Tarski (1902–1983), poľský matematik a logik, ktorý v priekopníckom diele Pojem pravdy vo formalizovaných jazykoch (1933 poľsky, 1935/36 nemecky) položil základy formálnej sémantiky. Zaoberal sa aj teóriou pravdy a logického vyplývania. Veta je pravdivá, len ” ak existuje vecný stav (skutočnosť), ktorý táto veta vyjadruje.“ Aj takto možno definovať pravdu, lebo v súčasnej logike rozlišujeme pravdu formálnu (v logike, matematike, . . . ) a pravdu materiálnu (napr. v exAlfred Tarski perimentálnych vedách). Talentovaný študent Už na strednej škole sa učil ruštinu, nemčinu, francúzštinu, gréčtinu a latinčinu. Bol považovaný za výnimočného študenta, ale z logiky jednotku nemal. Zo školských predmetov mal najradšej biológiu. Univerzitné štúdium ukončil vo Varšave (1924), dvadsaťpäťročný sa stal docentom. Od roku 1939 pôsobil v USA, neskôr bol profesorom matematiky na KaRočník 81 (2006), číslo 1

41

HISTORIE

lifornskej univerzite v Berkeley (1946). Tu postupne vybudoval centrum svetoznámej školy logiky. Tarski publikoval základné vedecké práce z oblasti matematickej logiky, základov matematiky, metamatematiky, sémantiky a metodológie deduktívnych vied. Napísal viac než 150 pojednaní a 9 kníh. Zaoberal sa axiomatickou teóriou modelov, položil základy formálnej sémantiky a metalogiky, ponúkal sémantickú teóriu pravdy. Mal nezvyčajnú schopnosť vystihnúť zaujímavé problémy (jednoducho formulované a široko aplikovateľné) a podnecovať výskum ich riešenia. Vždy chcel posúvať hranice poznania, pozorne sledoval historický vývoj každej významnej myšlienky. Sám ovplyvnil aj teóriu množín, teóriu formálnych systémov, algebraickú logiku i univerzálne algebry, ale aj teóriu miery či základy geometrie. Stal sa členom Národnej akadémie vied USA i poľskej Akadémie vied. Význam logiky Alfred Tarski presvedčoval, že logické pojmy a zákony prenikajú celú matematiku, zahŕňajú mnohé špecifické matematické pojmy a sú aplikované v matematických úsudkoch. Vhodnú symboliku v logike i matematike vnímal ako neoceniteľný prostriedok pre väčšiu zrozumiteľnosť i presnosť jemnejších úvah. Odporúčal hlbšie vedomosti zo základov modernej logiky. Logika spresňuje a zjednocuje významy pojmov vo svojej ” vlastnej oblasti a zdôrazňuje nevyhnutnosť spresňovania a zjednocovania aj v iných odboroch. Tým vedie k možnosti lepšieho porozumenia medzi tými, ktorí ho chcú dosiahnuť. Zdokonaľuje a zjemňuje nástroje myslenia, robí ľudí kritickejšími a zmenšuje tak pravdepodobnosť toho, že budú pomýlení všetkými možnými pseudoúvahami.“ Prehĺbenie a rozšírenie vnímania logických súvislostí môže prispieť k racionalizácii vzťahov medzi ľuďmi. Rád a výborne prednášal. Zvažoval použitie termínov i značenie symbolikou. Za dôležité pokladal správnosť, presnosť i stručnosť. Chcel, aby poslucháči prednáške porozumeli, správne pochopili základné pojmy a vety. Ponúkal krásu i eleganciu logicko-matematickej myšlienkovej výstavby. Matematika bola pre neho vedou i umením. Kontakt so študentmi ho podnecoval. Podieľal sa aj na príprave stredoškolskej učebnice geometrie. Elementárna matematika, hlavne algebra, pre jednoduchosť svo” jich pojmov a jednotný charakter svojich metód odvodzovania je zvlášť vhodná pre uvádzanie príkladov na rôzne javy s logickou a metodologickou povahou.“ Napísal knihu Úvod do logiky a metodológie deduktívnych 42


HISTORIE

vied (1936), ktorá vyšla, okrem viacerých svetových jazykov, aj česky (Praha, Academia 1969). Posúďte sami jej obsahovú úroveň i pedagogické kvality. Šarmantný rozprávač Bol večný nespokojenec. Stále žiadal od svojich asistentov i spolupracovníkov nové a nové výsledky. Presadzoval okruh svojich vedeckých záujmov. Bol sebavedomý a veril svojmu vplyvu na ostatných. Udivoval sebadisciplínou, rozsiahlymi vedomosťami, rýchlym myslením, vytrvalosťou. Miloval klebety a zaujímavé historky, vedel byť aj zlomyseľný. Bolo pre neho jednoduchšie kritizovať než chváliť. Mal čaro rozprávača sršiaceho šarmom a vtipom. Ľudia, ktorí ho poznali, ťažko oddeľovali od seba obdiv, podráždenie, oddanosť, hnev či vďačnosť. Alfred Tarski bol človek družný a spoločenský, ale bez hlbokých osobných vzťahov. K jeho skutočným priateľom v Amerike patril J. C. McKinsey, v Poľsku L. Kolakowski (filozof) a C. Milosz (básnik). Ako skoro každý Poliak aj Tarski sa veľmi zaujímal o politiku, vo vnútropolitických záležitostiach možno patril k socialistom, ale v zahraničných sa prikláňal ku konzervatívcom. Bol rád, že vznikla poľská Solidarita, podporoval hnutie za ľudské práva. Bol jasnou hviezdou súhvezdia varšavských logikov a matematikov svojej doby. Prispel k vybudovaniu jedného z najlepších svetových centier logického výskumu v Berkeley. Patril k zakladateľom niekoľkých vedných odborov medzi logikou a matematikou. Formuláciou mnohých podnetných otázok prispel k prudkému rozvoju logickej problematiky a rozšíreniu jej pojmovej štruktúry. Alfred Tarski zvýraznil možnosti uplatnenia deduktívnej logiky v rozvoji formalizovaných matematických disciplín. Matematika rastie do výšky, šírky i hĺbky.“ ” ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Matematika je univerzální symbolický jazyk, který se nezabývá popisem věcí, ale všeobecným vyjadřováním vztahů . . . Matematický rozum je poutem mezi člověkem a světem, je klíčem k pravdivému pochopení kosmického a morálního řádu. ∗ ) Ernst Cassirer (1874–1945) ∗

) Vybral Dušan Jedinák.


43

SOUTĚŽE Úlohy domácího kola 56. ročníku Matematické olympiády pro žáky středních škol KATEGORIE A 1. V oboru reálných čísel řešte rovnici 4x4 − 12x3 − 7x2 + 22x + 14 = 0, víte-li, že má čtyři různé reálné kořeny, přičemž součet dvou z nich je roven číslu 1. (J. Šimša) 2. Kružnice vepsaná danému trojúhelníku ABC se dotýká stran BC, CA, AB po řadě v bodech K, L, M . Označme P průsečík osy vnitřního úhlu při vrcholu C s přímkou M K. Dokažte, že přímky AP a LK jsou rovnoběžné. (P. Novotný) 3. Jsou-li x, y, z reálná čísla z intervalu h−1, 1i splňující podmínku xy + yz + zx = 1, pak platí p 6 3 (1 − x2 ) (1 − y 2 ) (1 − z 2 ) ≦ 1 + (x + y + z)2 . Dokažte a zjistěte, kdy nastane rovnost.

(J. Švrček )

4. Určete, pro která přirozená čísla n je možno množinu M = {1, 2, . . . , n} rozdělit a) na dvě, b) na tři navzájem disjunktní podmnožiny o stejném počtu prvků tak, aby každá z nich obsahovala také aritmetický průměr všech svých prvků. (P. Novotný) 5. V rovině je dána kružnice k se středem S a bod A 6= S. Určete množinu středů kružnic opsaných všem trojúhelníkům ABC, jejichž strana BC je průměrem kružnice k. (J. Dula) 44


SOUTĚŽE

6. Určete všechny funkce f : Z → Z takové, že pro všechna celá čísla x, y platí f f (x) + y = x + f (y + 2006). (P. Kaňovský) KATEGORIE B 1. Najděte všechny dvojice (a, b) celých čísel, jež vyhovují rovnici a2 + 7ab + 6b2 + 5a + 4b + 3 = 0. (P. Novotný) 2. Je dána kružnice k s průměrem AB. K libovolnému bodu Y kružnice k, Y 6= A, sestrojme na polopřímce AY bod X, pro který platí |AX| = |Y B|. Určete množinu všech takových bodů X. (P. Leischner )

3. Najděte nejmenší přirozené číslo k takové, že každá k-prvková množina trojmístných po dvou nesoudělných čísel obsahuje aspoň jedno prvočíslo. (P. Novotný) 4. V libovolném trojúhelníku ABC označme T těžiště, D střed strany AC a E střed strany BC. Najděte všechny pravoúhlé trojúhelníky ABC s přeponou AB, pro něž je čtyřúhelník CDT E tečnový. (J. Mazák ) 5. Najděte všechny dvojice (p, q) reálných čísel takové, že mnohočlen x2 + px + q je dělitelem mnohočlenu x4 + px2 + q. (J. Moravčík ) 6. Je dána úsečka AA0 a přímka p. Sestrojte trojúhelník s vrcholem A a výškou AA0 , jehož těžiště a střed kružnice opsané leží na přímce p. (E. Řídká) KATEGORIE C 1. Určete všechny dvojice (a, b) přirozených čísel, pro něž platí √ √ a + 5 b = b + 5 a. (J. Švrček ) Ročník 81 (2006), číslo 1

45

SOUTĚŽE

2. Najděte všechny trojúhelníky, které lze rozřezat na lichoběžníky se stranami délek 1 cm, 1 cm, 1 cm a 2 cm. (J. Mazák ) 3. Najděte všechna přirozená čísla, jejichž zápis neobsahuje nulu a má následující vlastnost: Vynecháme-li v něm libovolnou číslici, dostaneme číslo, které je dělitelem původního čísla. (J. Šimša) 4. Je dán lichoběžník ABCD se základnami AB a CD. Označme E střed strany AB, F střed úsečky DE a G průsečík úseček BD a CE. Vyjádřete obsah lichoběžníku ABCD pomocí jeho výšky v a délky d úsečky F G za předpokladu, že body A, F , C leží v přímce. (J. Mazák ) 5. Zjistěte, pro které přirozené číslo n je podíl 33 000 (n − 4)(n + 1) a) co největší, přirozené číslo.

b) co nejmenší

(E. Řídká)

6. Je dán ostroúhlý trojúhelník ABC, v němž D je pata výšky z vrcholu C a V průsečík výšek. Dokažte, že |AD| · |BD| = |AB| · |V D|, právě když |CD| = |AB|. (J. Zhouf ) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ SOUSTAVA NEROVNIC Řešil jsem soustavu rovnic a nerovnic, málem do ústavu vezli mě do Bohnic. Mé milé rovnice, proč jen mě lákáte? Počkejte, Bohnice, však vy se dočkáte!

∗

Emil Calda ∗ )

) Z publikace Úvod do obecné teorie prostoru, Praha, Karolinum 2003

46


SOUTĚŽE

Mezinárodní olympiáda v informatice Pavel Töpfer, MFF UK Praha Před dvaceti lety byla v rámci naší matematické olympiády zřízena zvláštní kategorie P věnovaná úlohám z oblasti algoritmizace a programování. Nejlepší řešitelé jejího ústředního kola dostávají už řadu let příležitost reprezentovat Českou republiku v mezinárodních programátorských soutěžích. Mezinárodní olympiáda v informatice (IOI – International Olympiad in Informatics) je vrcholnou celosvětovou soutěží středoškoláků, má za sebou již sedmnáct ročníků a počet zúčastněných zemí postupně narostl až na současných více než sedmdesát. O něco mladší jsou obdobné regionální olympiády, kterých v Evropě existuje hned několik – baltická, balkánská či středoevropská. Nás nejvíce zajímá Středoevropská olympiáda v informatice (CEOI – Central European Olympiad in Informatics), které se od jejího vzniku před dvanácti lety rovněž pravidelně účastníme. Zatímco na IOI jezdí soutěžit čtyřčlenné družstvo sestavené z nejlepších řešitelů aktuálního ročníku MO, kategorie P, na CEOI vysíláme vždy takové čtyři nejlepší řešitele, kteří v příslušném školním roce ještě nebudou maturovat. Účast na CEOI jim tak slouží k získávání mezinárodních zkušeností, které potom mohou zúročit v nadcházejícím školním roce při cestě na IOI. Dalším zdrojem zkušeností a formou přípravy reprezentantů vybraných na IOI i na CEOI je jejich účast na každoročním týdenním česko-polsko-slovenském přípravném soustředění, které pořádá střídavě vždy jedna ze tří uvedených zemí. Zatím poslední, 17. ročník Mezinárodní olympiády v informatice, se konal v srpnu 2005 v jižním Polsku ve městě Nowy Sacz. Soutěž probíhala v učebnách první polské soukromé vysoké školy WSB-NLU (Wy˙zsza Szkola Biznesu – National Louis University), na kolejích této školy bylo zajištěno i ubytování všech účastníků. Soutěže se zúčastnilo 276 studentů ze 72 zemí celého světa. Další čtyři země vyslaly do Polska své pozorovatele, aby se připravily na účast v některém z příštích ročníků. Českou republiku letos reprezentovalo družstvo ve složení: Ondřej Bílka, student gymnázia ve Zlíně, Lesní čtvrť Jan Bulánek, absolvent gymnázia J. Vrchlického v Klatovech Zbyněk Falt, absolvent gymnázia ve Žďáru nad Sázavou Daniel Marek, student gymnázia Ch. Dopplera v Praze 5 Ročník 81 (2006), číslo 1

47

SOUTĚŽE

Naši soutěžící byli vybráni na základě výsledků dosažených v 54. ročníku Matematické olympiády, kategorie P. Vedoucími české delegace byli doc. RNDr. Pavel Töpfer, CSc., a Mgr. Zdeněk Dvořák, oba z Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy v Praze. Mezinárodní olympiáda v informatice trvá vždy jeden týden – dva dny studenti soutěží, ve zbývajících dnech probíhají různé doprovodné akce, jako slavnostní zahájení, seznámení se soutěžním prostředím, příprava soutěžních úloh, na závěr pak vyhlášení výsledků. Pořadatelé připravují pro účastníky pokaždé také několik výletů, na kterých se snaží představit některé zajímavosti hostitelské země. V letošním roce to byl celodenní výlet do Krakowa a do známých solných dolů ve městě Wieliczka, druhý výlet mířil pro změnu do Národního parku Pieniny a zahrnoval i dvouhodinovou plavbu na pltích po řece Dunajec na polsko-slovenské hranici. Vlastní soutěž probíhá podobným způsobem jako praktická část celostátního kola naší matematické olympiády, kategorie P. Každý student má po dobu soutěže přidělen osobní počítač s nainstalovanými překladači programovacích jazyků C, C++ a Pascal. Úkolem je vyřešit zadané algoritmické úlohy a dovést je až do tvaru plně odladěného funkčního programu. Vytvořené programy se odevzdávají k vyhodnocení pomocí webového rozhraní, které vedle toho umožňuje také průběžně zálohovat data a tisknout zdrojové texty. Odevzdaná řešení se testují pomocí připravené sady vstupních dat a bodují se podle toho, pro jaké množství vstupů výpočet programu úspěšně skončil a dal správné výsledky. Výpočet musí navíc skončit včas podle předem stanovených časových limitů. Tím se při hodnocení od sebe odliší programy založené na algoritmech s různou časovou složitostí – pomalejší algoritmus zvládne v časovém limitu dokončit výpočet pouze pro menší data, a dostane proto pouze částečné bodové ohodnocení. Některá vstupní data jsou vždy zvolena tak rozsáhlá, aby je bylo možné zpracovat pouze programem založeném na skutečně dobrém, maximálně efektivním algoritmu. V každém soutěžním dnu jsou zadány tři úlohy, na jejichž vyřešení mají studenti pět hodin času. Za každou úlohu lze získat maximálně 100 bodů, celkově v soutěži tedy 600 bodů. To se letos povedlo hned čtyřem studentům (dvěma z Číny, jednomu z USA a jednomu z Ukrajiny), v minulých letech však obvykle plného bodového zisku nedosáhl nikdo. Na základě dosažených výsledků se na IOI úspěšným řešitelům přidělují medaile. Je stanoveno, že nejvýše polovina účastníků obdrží některou z medailí, přičemž počet udělených zlatých, stříbrných a bronzových 48


SOUTĚŽE

medailí je přibližně v poměru 1 : 2 : 3. Letos bylo předáno 24 zlatých medailí (za zisk alespoň 496 bodů), 47 stříbrných medailí (za zisk alespoň 393 bodů) a 67 bronzových medailí (za zisk alespoň 275 bodů). Alespoň jednu medaili získali reprezentanti 57 ze 72 zúčastněných zemí. Našim studentům se tentokrát vedlo o něco hůře než v minulých letech, v soutěži získali pouze dvě bronzové medaile. Výsledky našich studentů: 82. místo

Daniel Marek

375 bodů

bronzová medaile

112. místo

Ondřej Bílka

316 bodů

bronzová medaile

Jan Bulánek

233 bodů

Zbyněk Falt

203 bodů

Mezinárodní olympiáda v informatice probíhá jako soutěž jednotlivců, žádné oficiální pořadí národních družstev se v ní nevyhlašuje a není ani jasné, podle čeho by se mělo vytvářet – zda podle součtu dosažených bodů, součtu umístění jednotlivých reprezentantů, nebo třeba podle počtu získaných medailí. Při různých způsobech počítání vychází pořadí zemí odlišně, Česká republika by se však letos v každém případě umístila někde kolem 30. až 35. místa, tedy přibližně v polovině výsledkové listiny. Nejúspěšnějšími zeměmi 17. ročníku IOI byly Čína, USA a Slovensko, které získaly po čtyřech zlatých medailích. Další místa v první desítce obsadily Thajsko, Ukrajina, Korea, Rusko, Polsko, Kanada a Izrael. V současné době u nás probíhá 55. ročník MO, kategorie P. Jeho nejlepší řešitele čeká velmi atraktivní cesta až do Mexika, kde se v srpnu 2006 uskuteční 18. ročník IOI ve městě Mérida na poloostrově Yucatan. Domluvena jsou už i další místa konání Mezinárodní olympiády v informatice – v roce 2007 bude soutěž probíhat v Chorvatsku, v roce 2008 v Egyptě a v roce 2009 v Bulharsku. Na závěr uvádíme pro ilustraci jednu ze soutěžních úloh 17. ročníku IOI v Polsku. Úloha Posloupnost patřila k těm nejlehčím, takže o její vyřešení se všichni můžete pokusit. POSLOUPNOST Mějme neklesající posloupnost celých čísel s1 , . . . , sn+1 (si ≦ si+1 pro 1 ≦ i ≦ n). Posloupnost m1 , . . . , mn definovanou pro 1 ≦ i ≦ n předpisem mi = 21 (si + si+1 ) nazveme průměrovou posloupností pro posloupnost s1 , . . . , sn+1 . Například posloupnost 1.5, 2, 3 je průměrovou Ročník 81 (2006), číslo 1

49

SOUTĚŽE

posloupností pro posloupnost 1, 2, 2, 4. Členy průměrové posloupnosti nemusí být obecně celá čísla. V této úloze se však budeme zabývat jen průměrovými posloupnostmi tvořenými pouze celými čísly. Je zadána neklesající posloupnost n celých čísel m1 , . . . , mn . Určete počet různých neklesajících posloupností s1 , . . . , sn+1 tvořených n + 1 celými čísly tak, aby daná posloupnost m1 , . . . , mn byla jejich průměrovou posloupností. Úloha Napište program, který: • Načte ze standardního vstupu neklesající posloupnost m1 , . . . , mn celých čísel. • Určí počet neklesajících posloupností, pro které je m1 , . . . , mn průměrovou posloupností. • Vypíše tento počet na standardní výstup. Vstup První řádek vstupu obsahuje jedno celé číslo n (2 ≦ n ≦ 5 000 000). Následujících n řádků obsahuje posloupnost m1 , . . . , mn . Hodnota mi (0 ≦ mi ≦ 1 000 000 000) je zadána na řádku číslo i + 1. Alespoň pro polovinu testovacích vstupních dat navíc platí n ≦ 1 000 a mi ≦ 20 000. Výstup Program vypíše na standardní výstup právě jedno celé číslo – počet neklesajících celočíselných posloupností, pro něž je posloupnost zadaná na vstupu posloupností průměrovou. Příklad Pro vstupní data: 3 2 5 9

správný výstup je: 4

Existují totiž právě čtyři neklesající celočíselné posloupnosti, pro které je 2, 5, 9 průměrovou posloupností. Tyto posloupnosti jsou: 2, 2, 8, 10; 50

1, 3, 7, 11;

0, 4, 6, 12;

−1, 5, 5, 13


SOUTĚŽE

27 let SOČ v oboru fyzika Zdeněk Kluiber, Ekogymnázium Praha a PedF UHK Hradec Králové Mezi nejvýznamnější odborné aktivity studentů středních škol v České (a Slovenské) republice v oboru fyzika jednoznačně patří Středoškolská odborná činnost (zkratka SOČ). Postupně vedle ní vznikly i další soutěže a mezi jednotlivými soutěžemi došlo i k určitým vzájemným vazbám. Společným jmenovatelem všech soutěží je kvalitní příprava studentů k vysokoškolskému studiu fyziky. Cílem SOČ bylo a zůstává vést studenty k vypracování odborné práce a učit je její výsledky obhájit – umožnit odborný růst podle individuálního zájmu studenta. Důraz je kladen na kvalitu, a proto se výrazně uplatňuje funkce konzultanta práce. Témata prací bývají často velmi aktuální, což je dáno možností alespoň částečně je zpracovávat na vědeckých pracovištích, v laboratořích. Mezi tématy prací, které postoupily až do celostátní přehlídky SOČ v oboru fyzika, jednoznačně dominuje astronomie. Autory takových prací jsou totiž zpravidla studenti, kteří se o příslušnou oblast zajímají již delší dobu a mají i hlubší odborné zázemí. Práce v celostátních přehlídkách SOČ v oboru fyzika lze podle procentuálního zastoupení seřadit takto: astronomie, resp. astrofyzika, termodynamika, mechanika, optika, elektřina a magnetismus, atomová fyzika, aplikace fyziky v různých oborech, pomůcky pro výuku fyziky. Má-li být práce v soutěži úspěšná, je třeba při jejím zpracování přihlédnout k těmto kritériím: 1. Práce musí jednoznačně patřit do daného soutěžního oboru. 2. Práce by měla korelovat s hlavními poznatky teorie daného oboru. 3. Práci je třeba pojímat jako novinku“ v daném oboru. ” 4. Je třeba akcentovat přínos práce nejen pro daný obor, ale i v širších souvislostech. 5. Je nutné práci vypracovat přehledně, srozumitelně, názorně. 6. Práce pod dohledem“ konzultanta, koordinátora má to, co má mít, ” a nemá to, co mít nemá. 7. Úspěch zajistí práci hodnotitelé, kteří hodnocenou práci pochopí. 8. Z práce musí vyvěrat autorovo nadšení pro věc“ a odborná pro” spěšnost práce. Ročník 81 (2006), číslo 1

51

SOUTĚŽE

Na celostátní přehlídce SOČ se zpravidla prezentují opravdu vyzrálé osobnosti. Lze vzpomenout na studenta, který na přehlídku přijel s velkým hnědým kufrem. Jeho komplexní práce se týkala dalekohledu. Při svém vystoupení hned na začátku kufr otevřel, hovořil a současně smontoval a nainstaloval vlastnoručně“ vyrobený dalekohled a v samotném ” závěru pak předvedl získané fotografie, obrázky, velmi zdařilé výsledky svých pozorování. Ten chlapec tehdy jednoznačně vyhrál. Obdobně lze připomenout studenta, kterému bylo doporučeno, aby svoji práci, která se týkala Nobelových cen za fyziku, dopracoval a pak vydal. Skutečně se tak stalo. A třetí příklad: Student z provinčního“ gymnázia se chtěl co ” nejvíce seznámit s lasery, které mu učarovaly. Tehdejší konzultant pro studenty Středočeského kraje se zájmem o fyziku mu pootevřel dveře do Fyzikálního ústavu ČSAV. Dnes tento vážený vědec nejen že pracuje v tomto ústavu, ale působí i na mezinárodní úrovni a patří k uznávaným expertům na laserové záření. Práce z fyziky na celostátních přehlídkách SOČ mají celkově nadprůměrnou úroveň. Je to podloženo úspěšnou prací desítek profesorů fyziky na středních školách, především na gymnáziích, kteří toho pro rozvoj SOČ hodně dělají. Mezinárodní nadstavbou nad SOČ ve fyzice, ale nejen v ní, jsou: Intel ISEF (Intel International Science Engineering Fair ) v USA, EU Contests (European Union Contests for Young Scientists) v Evropě, PKNCF (První krok k Nobelově ceně za fyziku) – vyhlašován Fyzikálním ústavem Polské akademie věd, konference ICYS (International Conference of Young Scientists) – dosud v Evropě – a mezinárodní přehlídka ESI (Expo Science International), která se konala již v pěti světadílech. Účast v těchto aktivitách je podmíněna úspěšnými výsledky v republikových soutěžích a dobrou znalostí anglického jazyka – znalostí anglické terminologie a schopností v angličtině diskutovat a argumentovat. Pro zpracování prací SOČ je každoročně k dispozici metodický materiál, který bilancuje uplynulý ročník soutěže a přináší návod, jak nejlépe zpracovat soutěžní práci. Je jistě dobré, že studenti v ČR si mohou podle svých individuálních odborných zájmů, předpokladů a schopností vybrat z celé řady soutěží a aktivit ve fyzice. SOČ má mezi nimi významné místo.

52


PRO ŽÁKY ZÁKLADNÍCH ŠKOL

Pythagorova věta coby skládačka Zdeněk Laňka, Národní technické muzeum Praha Jistě znáte Pythagorovu větu pro pravoúhlý trojúhelník: Součet obsahů čtverců nad oběma odvěsnami se rovná obsahu čtverce nad přeponou. Věta se obvykle dokazuje algebraicky, ale je možno si při důkazu pomoci skládačkou. Může to být dokonce názornější a zaa jímavější. Největší ′ II čtverec o obsahu c2 E A určitým způsobem III rozřežeme a z nařeIV zaných dílů složíme dva menší čtverce b o obsazích a2 a b2 b (obr. 1). c I I′ V C e D

d

a II

III ′

B Obr. 1

Doporučujeme vyrobit skládačku z umělohmotné desky nebo z tvrdého papíru. Začněte vyřezáním čtverce o délce strany c = 200 mm. Pak odměřte délku e = 70,4 mm a čtverec rozřežte čtyřmi navzájem kolmými . řezy na díly I až V. Délka e je vypočtena tak, aby platilo d = e a sklá. . dání nebylo tak snadné. Vychází a = 108,8 mm, b = 167,8 mm. Čtverec ABDE o obsahu c2 je rozdělen na díly I až V. Světle podbarvený čtverec o obsahu a2 je tvořen díly IV a II ′ a tmavě podbarvený čtverec o obsahu b2 díly V, I ′ a III ′ . ∗ ) ∗

) Z uvedených pěti dílů lze složit také obdélník. Pokuste se o to.


53

ZPRÁVY

Ceny PRAEMIUM BOHEMIAE 2005 Podporovat orientaci mladých lidí na vědu je prozíravé a záslužné. To od roku 2001 dělá Nadace Bohuslava Jana Horáčka Českému ráji . Dne 4. 12. 2005 již popáté udělila v zámeckém divadle na zámku Sychrov 21 studentům prestižní ceny Praemium Bohemiae za úspěšnou reprezentaci České republiky na mezinárodních (světových) přírodovědných olympiádách v roce 2005. Oceněna byla účast studentů na Fyzikální olympiádě ve Španělském království, kde 5 českých řešitelů získalo v konkurenci 346 účastníků ze 72 států 1 stříbrnou medaili a 4 čestná uznání, na Chemické olympiádě na Tchaj-wanu, kde 4 naši studenti za účasti 225 soutěžících z 59 států získali 1 zlatou, 2 stříbrné a 1 bronzovou medaili, na Biologické olympiádě v Čínské lidové republice, kde v konkurenci 200 soutěžících z 50 států 4 čeští studenti získali 2 stříbrné a 2 bronzové medaile, na Matematické olympiádě v Mexiku, kde za rekordní účasti 513 soutěžících z 91 států všech kontinentů z 6 českých studentů 5 získalo medaile: 1 zlatou, 2 stříbrné a 2 bronzové, a konečně na Olympiádě v informatice konané v Polsku, kde v konkurenci 276 řešitelů ze 72 států ze 4 českých studentů 2 získali bronzové medaile. Pro studenty chemicky orientovaných středních škol byla navíc organizována ještě jedna mezinárodní (evropská) soutěž, Grand Prix Chimique, konaná v roce 2005 v Praze. Český student, který na ní získal zlatou medaili, byl odměněn mimořádnou cenou Praemium Bohemiae. Ceny Praemium Bohemiae ve výši od 5 000 Kč do 30 000 Kč (podle míry úspěchu) v celkové částce 275 000 Kč udělila studentům Nadace Bohuslava Jana Horáčka Českému ráji v den 81. výročí narození zakladatele Nadace. Z mladých fyziků získali ocenění Pavel Motloch z Gymnázia Petra Bezruče ve Frýdku-Místku (za stříbrnou medaili), Petr Houštěk z Gymnázia Pelhřimov, Petr Morávek a Pavel Kučera z Gymnázia Pardubice a Petr Čermák z Gymnázia Jaroslava Heyrovského v Praze (všichni čtyři za zisk čestných uznání, první dva z nich byli za stejný úspěch oceněni již loni). Z mladých matematiků ocenění získali František Konopecký z Gymnázia Holešov (za zlatou medaili – loni byl oceněn za stříbrnou medaili), Pavel Kocourek ze SPŠ sdělovací techniky v Praze a Jaromír Kuben z Gymnázia Kpt. Jaroše v Brně (oba za stříbrné medaile, přičemž P. Kocourek byl již v roce 2003 oceněn za bronzovou medaili a J. Kuben za bronzové medaile v letech 2003 a 2004) a konečně Marek Pechal z Gymnázia v Lesní čtvrti ve Zlíně a Jakub Opršal 54


ZPRÁVY

z Gymnázia Kpt. Jaroše v Brně (oba za bronzové medaile). Z mladých informatiků byli oceněni Ondřej Bílka z Gymnázia v Lesní čtvrti ve Zlíně a Daniel Marek z Gymnázia Christiana Dopplera v Praze (oba za bronzové medaile, D. Marek byl oceněn již loni za stříbrnou medaili). Je příznačné, že z 21 oceněných studentů bylo 57 % fyziků nebo matematiků (včetně informatiků – programování je u nás k matematice přiřazeno). Vedle finančního ocenění dostali tito studenti také medaili B. Jana Horáčka – podle dosaženého úspěchu byla zlatá, stříbrná, nebo bronzová. Mezi oceněnými byly jen tři dívky – dvě chemičky a jedna bioložka. Přitom však chemička Eva Pluhařová z Gymnázia Ostrov nad Ohří byla absolutně nejúspěšnější českou soutěžící nejen v letošním roce, nýbrž za celou historii udělování cen Praemium Bohemiae, neboť postupně obdržela čtyři tyto ceny: dvě za zlaté medaile a po jedné za stříbrnou a bronzovou medaili. Vedle těchto malých cen“ byla letos udělena jedna velká cena ” (500 000 Kč) vědci-historikovi prof. PhDr. Františku Šmahelovi, DrSc., za mimořádný tvůrčí přínos ve studiu českých dějin v evropském kon” textu, zejména pak doby pozdního středověku a husitské epochy“. Udílení cen Praemium Bohemiae představuje kvalitativní změnu v přístupu společnosti k vědě, zejména k oceňování mladých přírodovědných talentů za jejich osobní úsilí i za reprezentaci. Ceny znamenají pro studenty stimul nejen morální, ale i materiální. V nás ostatních pak vzbuzují obdiv nad šlechetným činem zakladatele Nadace mecenáše Bohuslava Jana Horáčka, který svým životem ukázal, že pevný postoj, tvrdá práce a překonávání překážek má smysl. Je jen škoda, že v důsledku jeho náhlého úmrtí v roce 2002 (a dosud nevyřešených dědických záležitostí) se oceňování za rozvoj vědy zatím nemůže uskutečňovat ve větší míře, jak se původně plánovalo. Bohumil Vybíral ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Zaujetí matematikou lze porovnat se zájmem o mytologii, literaturu nebo hudbu. Je to jedna z nejvlastnějších oblastí člověka, v ní se projevuje lidská podstata, touha po intelektuální sféře života, která je jedním z projevů harmonie světa. ∗ ) Hermann Weyl (1885–1955) ∗

) Vybral Dušan Jedinák.


55

RECENZE

Kraus, I.: Příběhy učených žen Prometheus, Praha 2005 Příběhy učených žen jsou další knihou publicisty, experimentálního fyzika, profesora Ivo Krause z oblasti historie vědy. V pětatřiceti kapitolách čtivě napsané knihy se čtenář dozvídá o osudech talentovaných žen, které významně ovlivnily vývoj exaktních věd, především fyziky, matematiky a chemie. Životní příběhy těchto žen přesvědčivě dokazují, že dosáhnout vynikajících úspěchů v přírodních a technických oborech nikdy nebylo jen výsadou mužů. Kniha pokrývá prakticky celé období lidské civilizace, od starého Egypta, Řecka až po dnešek. Co se čtenář Příběhů dozví? • Že první žena, o jejichž výjimečných znalostech v přírodních vědách zůstalo dochováno písemné svědectví, žila už před více než čtyřmi tisíci lety. • Jak moudré manželky a přítelkyně měli Pythagoras a Perikles. • Které vzdělané královny a císařovny podporovaly vědeckou práci svých poddaných. • Která žena je považována za první anglickou scientific lady. • Osudy žen zamilovaných do Newtonova veledíla Matematické základy přírodní filozofie. • O čem si psal René Descartes s Alžbětou Falckou a se švédskou královnou Kristinou. • Která první evropská žena dosáhla univerzitního vzdělání s nejvyšší akademickou hodností. • Jaký život mají ženy, které tráví noci ve společnosti hvězd. • O ženě, která hledala odpověď na otázku, pro jakou vědu se nechal Archimedes zabít. • Kde se mohly v 19. století vzdělávat pražské dívky. • O neznámých autorkách známých technických vynálezů. • O laureátkách Nobelových cen i o tom, proč některé geniální ženy tuto poctu nedostaly. • Po kom dostal jméno programovací jazyk ADA. • Která matematička měla duši básníka. • O talentované matematičce Milevě Maričové, matce Einsteinových dětí. • O Lise Meitnerové a štěpení atomových jader uranu. • Co napsal o své práci u paní Curieové profesor František Běhounek. • Kdo byla Adéla Kochanovská a proč na ni její žáci s vděčností vzpomínají. V doslovu autor pojednává o současném postavení žen ve společnosti. Uvedena je též doplňující literatura. Kniha vyšla jako příspěvek nakladatelství Prometheus ke Světovému roku fyziky 2005 a k padesátému výročí zahájení výuky na Fakultě jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Knihu Příběhy učených žen vřele doporučuji všem středoškolským studentům a všem zájemcům o historii vědy. Stojí rozhodně za přečtení. Zdeněk Janout

56


RECENZE

Mayer, D.: Pohledy do minulosti elektrotechniky Nakladatelství Kopp, České Budějovice 2004 Skutečnost, že kniha vyšla v krátkém intervalu již ve druhém vydání, svědčí o její kvalitě i o kladném čtenářském přijetí. Neobjevuje se za výlohami knihkupectví, často ani v jejich regálech, proto může být potenciálním zájemcem přehlédnuta. Z tohoto důvodu si dovoluji upozornit na její pozoruhodnost. Specializací prof. D. Mayera je teoretická a experimentální elektrotechnika, kterou přednáší na Západočeské univerzitě v Plzni. Celý život se zajímá i o historii svého oboru a oborů příbuzných. V recenzované knize nabízí vzrušující historickou pouť k současným poznatkům z elektřiny doplněnou informacemi o jejím průběžném využívání v nejrůznějších zařízeních. Snad jen první poznatky o elektřině a magnetizmu nenašly bezprostřední využití, ale již od 18. století šly elektrické objevy ruku v ruce s technickými aplikacemi. Kniha může být pro studenty výborným příkladem praktického využití fyzikálních poznatků v technice. Úvodní část knihy popisuje utváření soustavy poznatků o statické elektřině a galvanických zdrojích (A. Volta, L. Galvani, B. Franklin, V. P. Diviš). Když byl vyřešen zdroj elektrického napětí, předmětem zkoumání se stal elektrický proud – to byla doména především Ampèrova, Ohmova a Kirchhoffova. V další části autor pojednává o propojení elektřiny a magnetizmu (Ch. Oersted, M. Faraday). Teoretickým vrcholem fyziky 19. století se stala Maxwellova teorie elektromagnetického pole. Její plné pochopení elektrotechnikům umožnilo od” poutat“ elektřinu od vodičů a využít ji jako nosič zpráv prostřednictvím elektromagnetických vln (H. Hertz). Celá jedna rozsáhlá kapitola je věnována sdělovací elektrotechnice (A. S. Popov, G. Marconi, A. G. Bell, S. Morse, W. Siemens, N. Tesla, J. Murgaš). Životní a pracovní osudy T. A. Edisona, F. Křižíka a N. Tesly seznámí čtenáře s vývojem silnoproudé elektrotechniky, jejímž hlavním cílem bylo postavit silné zdroje napětí k pohonu neobyčejně velkých motorů (např. elektrické lokomotivy). Přes F. Křižíka bude čtenář doveden k působení elektroinženýrů a konstruktérů v českých zemích (K. V. Zenger, F. A. Petřina, E. Kolben, závod Škoda ETD). Zmínku zasluhuje i vynikající grafika. Téměř na každé stránce je nějaký obrázek (portrét, technické zařízení, schéma, graf, fotografie, pérovky). Řadu těchto grafických prvků jsem poprvé viděl právě v této knize. Knihu doporučuji studentům středních škol. Utvrdí je v tom, že fyzika je krásný vědní obor, úzce spojený s praktickými potřebami. František Jáchim

O fraktálech a úlohách vedoucích ke geometrické řadě

Recommend Documents