Nositel Nobelovy ceny za ekonomii Jan Tinbergen

´ UNIVERZITA PALACKEHO V OLOMOUCI ˇ´ ˇ ´ FAKULTA PR IRODOVEDECK A ´ ANALYZY ´ KATEDRA MATEMATICKE A APLIKAC´I MATEMATIKY

´ RSK ˇ ´ PRACE ´ BAKALA A Nositel Nobelovy ceny za ekonomii Jan Tinbergen

Vedouc´ı bakal´aˇrsk´e pr´ace: prof. RNDr. dr hab. Jan Andres, DSc. Rok odevzd´an´ı: 2011

Vypracovala: Ivana R˚ uˇ ziˇ ckov´ a ME, III. roˇcn´ık

Prohl´ aˇ sen´ı Prohlaˇsuji, ˇze jsem vytvoˇrila tuto bakal´aˇrskou pr´aci samostatnˇe za veden´ı prof. RNDr. dr hab. Jana Andrese, DSc. a ˇze jsem v seznamu pouˇzit´e literatury uvedla vˇsechny zdroje pouˇzit´e pˇri zpracov´an´ı pr´ace.

V Olomouci dne 19. dubna 2011

Podˇ ekov´ an´ı R´ada bych na tomto m´ıstˇe podˇekovala vedouc´ımu bakal´aˇrsk´e pr´ace prof. RNDr. dr hab. Janu Andresovi, DSc. za spolupr´aci i za ˇcas, kter´ y mi vˇenoval pˇri konzultac´ıch. Tak´e dˇekuji sv´e rodinˇe a pˇra´tel˚ um, kteˇr´ı mˇe po celou dobu studia podporovali.

Obsah 1 Jan 1.1 1.2

Tinbergen ˇ Zivotopis a portr´et . . . . . . . . . . . . . . . . . Hlavn´ı d´ıla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Mathematical models of economic growth . 1.2.2 Econometric models of education . . . . . 1.2.3 Central Planning . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Business Cycles in the USA . . . . . . . . 1.2.5 Economic Policy: Principles and Design . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

5 5 8 8 8 8 9 9

2 Modely ekonomick´ eho r˚ ustu 2.1 Makromodel bez pˇreruˇsen´ı produkce a bez znehodnocen´ı . . . 2.2 Makromodel bez pˇreruˇsen´ı produkce, s opotˇreben´ım a obnovou 2.3 Makromodel s prodlevou v produkci, bez znehodnocen´ı . . . . 2.4 Optim´aln´ı m´ıra rozvoje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

10 10 12 19 21

3 Z´ akladn´ı pojmy

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

31

´ Uvod Jan Tibenbergen byl (s Ragnarem Frischem) prvn´ım nositelem Nobelovy ceny za ekonomii. V jejich dobˇe se ekonomick´a vˇeda neobyˇcejnˇe rozvinula ve smˇeru matematick´e specifikace a statistick´e kvantifikace ekonomick´ ych probl´em˚ u. Takto orientovan´a vˇedeck´a anal´ yza se pouˇz´ıv´a k vysvˇetlen´ı tak sloˇzit´ ych ekonomick´ ych hospod´aˇrsk´ ych proces˚ u jako jsou hospod´aˇrsk´ y r˚ ust, cyklick´e fluktuace a realokace hospod´aˇrsk´ ych zdroj˚ u pro rozliˇcn´e u ´ˇcely. Jejich c´ılem bylo poskytnout ekonomick´e teorii matematickou pˇresnost a prezentovat ji ve formˇe, kter´a dovoluje empirickou kvantifikaci a statistick´e testov´an´ı hypot´ez. (viz.[6]). C´ıl pr´ace spoˇc´ıv´a v sezn´amen´ı s Tinbergenov´ ym ˇzivotopisem a matematick´ ymi aspekty jeho ekonomick´eho d´ıla. Vzhledem k doporuˇcen´emu rozsahu pr´ace jsem se rozhodla tento c´ıl sn´ıˇzit v omezen´ı se na jeho partie z knihy Mathematical models of economic growth [1]. V t´eto pr´aci se zamˇeˇr´ıme pr´avˇe na matematickou ˇca´st d´ıla Jana Tinbergena. V prvn´ı kapitole (pˇrevzat´e z [2][5][6][8][7][13][14][15]) uvedeme jeho ˇzivotopis, s hlavn´ım d˚ urazem na jeho profesn´ı ˇca´st. Tak´e zde struˇcnˇe pop´ıˇseme jeho hlavn´ı d´ıla, ve kter´ ych najdeme jeho ekonomickou i matematickou pr´aci. Ve druh´e kapitole, vych´azej´ıc´ı z [1] bl´ıˇze ˇcten´aˇre sezn´am´ıme s jeho modely ekonomick´eho r˚ ustu. Na z´avˇer uvedeme pro snazˇs´ı pˇrehlednost v´ yˇcet z´akladn´ıch pojm˚ u pouˇzit´e v t´eto pr´aci. Protoˇze budeme ˇcerpat pˇredevˇs´ım z anglick´e literatury, uvedeme zde i jejich anglick´e n´azvy.

4

1

Jan Tinbergen

1.1

ˇ Zivotopis a portr´ et

Nizozemsk´ y ekonom a ekonometr Jan Tinbergen se narodil 12. dubna 1903 v Haagu. Poch´azel z intelektu´aln´ı rodiny. Jeho otec byl uˇcitel gramatiky a historie na z´akladn´ı ˇskole. Byl nejstarˇs´ı z pˇeti sourozenc˚ u. Jeho bratr Nicolas z´ıskal Nobelovu cenu za biologii v roce 1973. Nejmladˇs´ı bratr Luuk byl zn´am´ y ornitolog. Jan Tinbergen zasvˇetil vˇedˇe cel´ y sv˚ uj ˇzivot, aktivnˇe pracoval t´emˇeˇr aˇz do sv´e smrti v roce 1994. V letech 1922 aˇz 1926 studoval fyziku na universitˇe v Leydenu. Po studi´ıch se stal asistentem profesora Ehrenfesta. Doktorskou disertaci Minimum problems ” in physics and economics“ obh´ajil v roce 1929, kdy se pˇreorientov´aval z fyziky na ekonomii. Ve sv´e dobˇe byl jedin´ ym fyzikem-ekonomem, kter´ y sluˇcoval matematick´e metody s ekonomick´ ymi probl´emy. ´ redn´ıPot´e pˇreˇsel z funkce asistenta na universitˇe v Leydenu do holandsk´eho Ustˇ ho statistick´eho u ´ˇradu, kde setrval aˇz do roku 1945. V´ yzkumn´a ˇcinnost v byla t´eto dobˇe zamˇeˇrena na metodologick´e a aplikaˇcn´ı probl´emy ekonometrie. Jimi dospˇel k pokusu o sestaven´ı modelu hospod´aˇrsk´eho cyklu v holandsk´e ekonomice. V tomto dvaceti ˇctyˇr rovnicov´em modelu z roku 1936 jako prvn´ı usiloval o sjednocen´ı a ovˇeˇren´ı ˇcasto nematematicky formulovan´ ych poznatk˚ u ekonomie. V modelu jsou pˇredv´ıd´any nˇekter´e poznatky Keynesovy Obecn´e teorie a sv´ ym zp˚ usobem jsou statisticky ovˇeˇrov´any. ˇ V letech 1936 aˇz 1938 p˚ usobil v r´amci Spoleˇcnosti n´arod˚ u v Zenevˇ e. I zde se vˇenoval ekonometrick´emu vysvˇetlov´an´ı hospod´aˇrsk´eho cyklu. Jeho pr´aci se vˇsak dostalo skuteˇcn´eho uzn´an´ı teprve po v´alce, v souvislosti s obecn´ ym trendem pouˇz´ıv´an´ı matematick´ ych metod v ekonomii, s rozmachem ekonometrie a s n´astupem vˇeku poˇc´ıtaˇc˚ u. V letech 1945 aˇz 1955 zast´aval post ˇreditele Holandsk´eho centr´aln´ıho pl´anovac´ıho u ´ˇradu, poradn´ıho org´anu vl´ady pro ot´azky makroekonomick´e politiky. Zde se zab´ yval probl´emy pov´aleˇcn´e obnovy holandsk´e ekonomiky, kr´atkodobou hos5

pod´aˇrskou politikou a ot´azkami svˇetov´e ekonomiky. V tomto kontextu se zrodily jeho myˇslenky a u ´vahy o teorii hospod´aˇrsk´e politiky a ot´azk´ach blahobytu, kter´e jsou shrnuty v nˇekolika knih´ach, ve kter´ ych navazoval na pr´ace R. Frische. V roce 1933 se stal profesorem na Netherlands School of Economics, kde od roku 1956 pracoval na pln´ yu ´vazek a vyuˇcoval programov´an´ı rozvoje. Jan Tinbergen pˇrispˇel rovnˇeˇz k rozpracov´an´ı ekonomiky blahobytu, kde se zamˇeˇril na hled´an´ı optim´aln´ıho reˇzimu, tj. vytvoˇren´ı institucion´aln´ıch podm´ınek, pˇri nichˇz je maximalizov´ana funkce spoleˇcensk´eho blahobytu. Dospˇel k z´avˇeru, ˇze ekonomick´ y syst´em mus´ı b´ yt zˇr´ızen jako sm´ıˇsen´ y, nebot’ optim´aln´ı decentralizovan´a rozhodnut´ı by mˇela b´ yt v d˚ usledku externalit ve v´ yrobˇe doprov´azena centralizovan´ ym rozhodov´an´ım. Zhruba v polovinˇe 50. let 20. stolet´ı rezignoval na svou funkci, aby se mohl plnˇe vˇenovat ot´azk´am teorie a pl´anov´an´ı hospod´aˇrsk´eho rozvoje. V akademick´em roce 1956 - 1957 byl hostuj´ıc´ım profesorem Harvardovy univerzity. Poˇca´tkem 60. let Jan Tinbergen, ve sv´ ych prac´ıch pro OECD a UNESCO, vyvinul kvantitativn´ı modely pro pl´anov´an´ı v´ ychovy a vzdˇel´an´ı, kter´e nav´azaly na probl´emy hospod´aˇrsk´eho rozvoje. V roce 1969 mu byla udˇelena (spoleˇcnˇe s R. A. K. Frischem) Nobelova cena za ekonomii, za rozvoj a aplikaci dynamick´ ych model˚ u pˇri anal´ yze ekonomick´ ych proces˚ u. Soustˇredil se hlavnˇe na porovn´an´ı dynamick´e ekonomick´e teorie se statistick´ ymi aplikacemi. Pr˚ ukopnickou prac´ı v tomto smˇeru je jeho ekonometrick´a studie o cyklick´ ych fluktuac´ıch v USA. P˚ usobil jako poradce Svˇetov´e banky a vl´ad mnoha rozvojov´ ych zem´ı. Byl ˇclenem Kr´alovsk´e nizozemsk´e akademie vˇed a nositelem ˇcestn´ ych doktor´at˚ u pˇredn´ıch svˇetov´ ych univerzit. Sepsal mnoho pojedn´an´ı a knih hlavnˇe v oblasti zkoum´an´ı konjunktury, ekonometrie a hospod´aˇrsk´e politiky, mezin´arodn´ıch hospod´aˇrsk´ ych vztah˚ u a probl´em˚ u rozvojov´ ych zem´ı. [2][5][6][8][7][13][14][15]

6

Obr.1: Jan Tinbergen

7

1.2 1.2.1

Hlavn´ı d´ıla Mathematical models of economic growth

V t´eto knize je uvedeno mnoˇzstv´ı matematick´ ych model˚ u, kter´e mohou b´ yt uˇziteˇcn´e pro navrhov´an´ı rozvojov´e politiky a zejm´ena k pl´anov´an´ı rozvoje. Rostouc´ı poˇcet zem´ı - jak m´alo rozvinut´ ych tak i vyspˇel´ ych - sleduj´ı rozvojovou politiku. To opravˇ nuje k bliˇzˇs´ımu studiu mechanismu optim´aln´ı rozvojov´e politiky. Modely mohou b´ yt pouˇzity jak pro ˇreˇsen´ı analytick´ ych, tak i politick´ ych probl´em˚ u. V t´eto knize je kladen hlavn´ı d˚ uraz na probl´emy politick´e. V m´e pr´aci jsem se zamˇeˇrila na vybran´e kapitoly pr´avˇe z tohoto d´ıla. [1] 1.2.2

Econometric models of education

Tato pr´ace pojedn´av´a o modelu pl´anov´an´ı vzdˇel´av´an´ı. Zahrnuje jak r˚ uzn´e starˇs´ı jednoduˇsˇs´ı verze, tak i verze novˇejˇs´ı a komplikovanˇejˇs´ı. Tento model m´a pˇredstavovat spojitosti mezi hospod´aˇrsk´ ym rozvojem a vzdˇel´avac´ı soustavou n´aroda. Vzdˇel´avac´ı v´ yvoj mus´ı prok´azat jak kvalitativn´ıch, tak kvantitativn´ıch aspekt˚ u. Kvalitativn´ı aspekty odkazuj´ı na zmˇeny metod a pˇredmˇetu v´ yuky, kvantitativn´ı aspekty odkazuj´ı na zmˇeny v rozmˇerech a sloˇzen´ı vzdˇel´avac´ıho syst´emu. Tato studie nebere v u ´vahu kvalitativn´ı aspekty s v´ yjimkou pˇr´ıpad˚ u, kdy je v kombinaci s kvantitativn´ımi aspekty, napˇr. ˇc´ıseln´e hodnoty nˇekter´ ych koeficient˚ u. [4] 1.2.3

Central Planning

V t´eto pr´aci Jan Tinbergen pojedn´av´a o procesu centr´aln´ıho hospod´aˇrsk´eho pl´anov´an´ı. V prvn´ı kapitole popisuje proces centr´aln´ıho pl´anov´an´ı povaˇzovan´eho za jednu z pr˚ umyslov´ ych sluˇzeb modern´ıho hospod´aˇrstv´ı. Ve druh´e a tˇret´ı kapitole analyzuje tlak centr´aln´ıho pl´anovan´ı na vˇseobecn´ y hospod´aˇrsk´ y proces. V posledn´ı ˇctvrt´e kapitole se snaˇz´ı urˇcit optim´aln´ı rozsah a techniku u ´stˇredn´ıho pl´anov´an´ı. [3]

8

1.2.4

Business Cycles in the USA

Tato pr´ace je v´ yznamnou studi´ı cyklick´ ych v´ ykyv˚ u v ekonomice USA, ve kter´e Tinbergen identifikoval a kvantifikoval v´ yznam r˚ uzn´ ych faktor˚ u. Sestavil zde ekonometrick´ y syst´em, kter´ y zahrnoval 48 rovnic, a za pomoci statistick´e anal´ yzy vypoˇc´ıtal koeficienty odezvy a urˇcil tzv. ”pˇredstihy a zpoˇzdˇen´ı”. [16] [18] [7] 1.2.5

Economic Policy: Principles and Design

Hospod´aˇrsk´a politika: z´asady a tvorba je jedin´a pr´ace Jana Tinbergena, kter´a byla pˇreloˇzena do ˇcesk´eho jazyka. Tato kniha vznikla hlavnˇe ze zkuˇsenost´ı Jana Tinbergena v Nizozemsk´em u ´stˇredn´ım pl´anovac´ım u ´ˇradˇe a z jeho pod´ılu na diskuz´ıch o z´akladn´ıch ot´azk´ach ekonomick´e politiky. Pokouˇs´ı se zde soustavnˇe pojedn´avat o hlavn´ıch smˇerech hospod´aˇrsk´e politiky, nikoli o jej´ıch podrobnostech. Zab´ yv´a se zde pˇredevˇs´ım kvantitativn´ı hospod´aˇrskou politikou a v menˇs´ı m´ıˇre tak´e politikou kvalitativn´ı. V pˇr´ıkladech t´eto knihy pouˇz´ıv´a jednoduchou algebru. [2]

9

2

Modely ekonomick´ eho r˚ ustu Hospod´aˇrsk´ ym r˚ ustem rozum´ıme r˚ ust potenci´aln´ıho produktu ekonomiky. Po-

tencion´aln´ı produkt je na jedn´e stranˇe determinov´an agreg´atn´ı produkˇcn´ı funkc´ı, kter´a je definov´ana pˇri nˇejak´e u ´rovni technologie, a na druh´e stranˇe mnoˇzstv´ım zapojen´ ych v´ yrobn´ıch faktor˚ u. Hospod´aˇrsk´ y r˚ ust m˚ uˇze b´ yt dvoj´ıho typu: - extenzivn´ı r˚ ust - jako d˚ usledek zvˇetˇsov´an´ı mnoˇzstv´ı zapojen´ ych v´ yrobn´ıch faktor˚ u (vˇetˇs´ı objem zapojen´e pr´ace a kapit´alu) - intenzivn´ı r˚ ust - jako d˚ usledek efektivnˇejˇs´ıho vyuˇz´ıv´an´ı st´avaj´ıc´ıho mnoˇzstv´ı zapojen´ ych v´ yrobn´ıch faktor˚ u (vyˇsˇs´ı technologick´a u ´roveˇ n) Hospod´aˇrsk´ y r˚ ust je ovlivnˇen ˇradou dalˇs´ıch faktor˚ u. Mezi takov´e faktory m˚ uˇzeme zaˇradit napˇr´ıklad vyspˇelost instituc´ı, m´ıru st´atn´ıch z´asah˚ u do ekonomiky, vymahatelnost dodrˇzov´an´ı pravidel apod. Kr´atkodobˇe m˚ uˇze na velikost re´aln´eho produktu p˚ usobit prov´adˇen´ı hospod´aˇrsk´e politiky, ovˇsem dlouhodob´e u ´ˇcinky jsou na produkt nulov´e. Za r˚ ustem potenci´aln´ıho produktu se budou skr´ yvat faktory ovlivˇ nuj´ıc´ı produkˇcn´ı funkci. R˚ ustov´ ych teori´ı existuje cel´a ˇrada, nebot’ teorie hospod´aˇrsk´eho r˚ ustu je pˇredmˇetem zkoum´an´ı jiˇz po cel´a stolet´ı. Modern´ı r˚ ustov´e teorie se op´ıraj´ı jednak o vyuˇzit´ı produkˇcn´ı funkce, jednak se jejich autoˇri snaˇz´ı vysvˇetlit, co je zdrojem technologick´eho pokroku. [10] [11]

2.1

Makromodel bez pˇ reruˇ sen´ı produkce a bez znehodnocen´ı

Tato kapitola, kter´a byla cel´a pˇrevzata z [1], pojedn´av´a o nejjednoduˇsˇs´ıch modelech, jejichˇz podstatou je zobrazit shromaˇzd’ov´an´ı kapit´alu, tedy jev, kter´ y je pro rozvoj nejcharakteristiˇctˇejˇs´ı. Jedin´ ym vz´acn´ ym faktorem, bran´ ym do u ´vahy, je kapit´al. Nebudeme zde uvaˇzovat pˇreruˇsen´ı produkce ani znehodnocen´ı.

10

Pˇrestoˇze jsou tyto modely zjevnˇe jednoduch´e, m˚ uˇzeme je pouˇz´ıt - k prvn´ımu hrub´emu pr˚ uzkumu rozvojov´ ych proces˚ u v zemi - k demonstraci nˇekter´ ych z´akladn´ıch vztah˚ u. Budeme pˇredpokl´adat, ˇze bez pˇreruˇsen´ı produkce a bez znehodnocen´ı je tempo ˙ r˚ ustu k(= dk/dt) z´akladn´ıho kapit´alu rovno investic´ım. Tedy k˙ = j, kde k je z´akladn´ı kapit´al a j jsou investice. D´ale pˇredpokl´ad´ame velmi jednoduchou produkˇcn´ı funkci k = κy,

(1)

kde κ je fixn´ı kapit´alov´ y koeficient a y je n´arodn´ı d˚ uchod. Rovnice j = σy

(2)

ˇr´ık´a, ˇze investice (rovnaj´ıc´ı se u ´spor´am) jsou pˇr´ımo u ´mˇern´e pˇr´ıjm˚ um. Kde σ vyjadˇruje tzv. m´ıru u ´spor. Tento model pˇripouˇst´ı velmi jednoduch´e ˇreˇsen´ı sv´eho syst´emu rovnic, informuje n´as o rychlosti v´ yvoje. Dojdeme k σy = j = k˙ = κy, ˙ nebo y˙ σ = . y κ

(3)

To znamen´a, ˇze tempo r˚ ustu pˇr´ıjm˚ u (a tedy obou dalˇs´ıch promˇenn´ ych) se rovn´a σ/κ. Pˇr´ıklad: M´ame σ = 0, 12 a κ = 3 roky. Potom y/y ˙ = 0, 04 roˇcnˇe. Pˇr´ıjmy, kapit´al a investice tedy rostou o 4% roˇcnˇe. V´ yvoj pˇr´ıjm˚ u v ˇcase m˚ uˇze b´ yt vyj´adˇren jako yt = y0 eσt/κ , kde yo jsou pˇr´ıjmy v ˇcase t = 0. Aby bylo moˇzn´e urˇcit pr˚ ubˇeh rozvoje, mus´ı b´ yt d´an pˇr´ıjem, eventu´alnˇe poˇca´teˇcn´ı hodnota kapit´alu k0 nebo investic j0 . Vzorce mohou b´ yt vykl´ad´any jako ˇreˇsen´ı analytick´ ych probl´em˚ u, v kter´ ych σ a κ jsou zn´amy a vypl´ yv´a z nich rychlost v´ yvoje. Stejnˇe tak m˚ uˇze b´ yt tˇemito vzorci 11

ˇreˇsen politick´ y probl´em zahrnut´ım poˇzadovan´e m´ıry rozvoje pˇr´ıjmu ω, kter´a je d´ana, a vypoˇc´ıt´an´ım poˇzadovan´e m´ıry u ´spor σ ′ : σ ′ = ωκ.

(4)

Model m˚ uˇze b´ yt doplnˇen dalˇs´ımi promˇenn´ ymi a rovnicemi, kter´e ale uveden´e vztahy nemˇen´ı. To plat´ı v pˇr´ıpadˇe, ˇze nov´e promˇenn´e jsou z´avisl´e na promˇenn´ ych v´ yˇse zm´ınˇen´ ych a nedojde ke zmˇenˇe uveden´ ych rovnic. Nejjednoduˇsˇs´ım pˇr´ıkladem je pˇrid´an´ı promˇenn´e c vyjadˇruj´ıc´ı spotˇrebu a splˇ nuj´ıc´ı vztah c = y − j.

Dalˇs´ı promˇenn´e mohou b´ yt pˇrid´any pro otevˇrenou ekonomiku, kde budeme

uvaˇzovat import i, export e a hrub´ y produkt v. Pˇridan´e vztahy mohou b´ yt i=ω v =y+i=c+j+e e=i ´ POZNAMKA: Pojem ”hrub´ y”zde znamen´a produkt ve sv´e koneˇcn´e f´azi, tzn. tak, jak se dostane ke sv´emu spotˇrebiteli, investorovi nebo do zemˇe, do kter´e je exportov´an. Pro n´arod jako celek vyjadˇruje v tzv. celkov´e zdroje. Posledn´ı uveden´a rovnice vych´az´ı z naˇseho pˇredpokladu, ˇze c = y − j a

vyjadˇruje zn´amou ekvivalenci mezi vnitˇrn´ı finanˇcn´ı rovnov´ahou a rovnov´ahou

bilanc´ı plateb. Je nutno poznamenat, ˇze pro tyto rovnice existuje implicitn´ı pˇredpoklad, a to, ˇze objem exportu e je prodateln´ y za pˇredpokl´adanou hladinu cen.

2.2

Makromodel bez pˇ reruˇ sen´ı produkce, s opotˇ reben´ım a obnovou

Modely, kter´ ymi se budeme zab´ yvat v n´asleduj´ıc´ı kapitole, jsou charakteristick´e pˇredpokladem doˇcasn´e ˇzivotnosti Θ vˇsech kapit´alov´ ych statk˚ u. Na z´akladˇe tohoto pˇredpokladu rozliˇsujeme mezi z´asobou zaˇr´ızen´ı nebo kapit´alov´ ych statk˚ u b a z´asobou kapit´alu k. Rozd´ıl mezi tˇemito dvˇema koncepty spoˇc´ıv´a v tom, ˇze jednotliv´e stroje zachov´avaj´ı sv˚ uj objem zaˇr´ızen´ı, dokud nejsou zlikvidov´any, 12

avˇsak jejich pˇr´ınos kapit´alov´ ych statk˚ u kles´a, v d˚ usledku jejich opotˇreben´ı. N´aˇs pˇredpoklad implikuje, ˇze nedoch´az´ı k zastar´av´an´ı. V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe by pˇr´ınos k objemu zaˇr´ızen´ı nemohl b´ yt konstantn´ı. Abychom pˇredeˇsli pˇr´ıliˇsn´e sloˇzitosti modelu, uvaˇzujeme pouze line´arn´ı opotˇreben´ı. Za tˇechto podm´ınek pˇrin´aˇs´ı model zaj´ımav´e vlastnosti v´ yvoje. Pouˇzit´e promˇenn´e jsou: b. . . objem zaˇr´ızen´ı k. . . objem kapit´alu v. . . hrub´ y produkt d. . . opr´avky k investiˇcn´ımu majetku (souhrn odpis˚ u k investic´ım) r. . . obnova c. . . spotˇreba s. . . u ´spory j G . . . hrub´e investice j. . . ˇcist´e investice y. . . ˇcist´ y produkt Nyn´ı uvedeme z´akladn´ı rovnice tohoto modelu. Rovnice b˙ = j G − r

(5)

n´am ˇr´ık´a, ˇze ˇcist´ y n´ar˚ ust z´asob zaˇr´ızen´ı lze zjistit odeˇcten´ım obnovy z hrub´ ych investic. ˇ y n´ar˚ Cist´ ust kapit´alu je roven u ´spor´am k˙ = s.

(6)

Hrub´ y produkt je u ´mˇern´ y objemu zaˇr´ızen´ı, kde κ′ vyjadˇruje koeficient hrub´eho kapit´alu b = κ′ v. ˇ e investice se rovnaj´ı hrub´ Cist´ ym investic´ım po odeˇcten´ı odpis˚ u, tedy j = j G − d. 13

(7)

Obnova je rovna hrub´ ym investic´ım v pln´e ˇzivotnosti G rt = jt−Θ .

Opr´avky k investiˇcn´ımu majetku vyjadˇruj´ı novou hodnotu vˇseho zaˇr´ızen´ı vydˇelenou ˇzivotnost´ı d=

b . Θ

To, co zde naz´ yv´ame novou hodnotou, je hodnota bez odeˇcten´ı odpis˚ u. Pˇr´ıjem je roven hrub´emu produktu po odeˇcten´ı odpis˚ u y = v − d, jelikoˇz se v tomto modelu nepoˇc´ıt´a s importem, nen´ı tˇreba jej odeˇc´ıtat. Z pohledu v´ ydaj˚ u je pˇr´ıjem roven souˇctu spotˇreby a u ´spor y = c + s. V tomto vztahu se nepoˇc´ıt´a s ˇza´dnou prodlevou. ´ Uspory jsou rovn´e ˇcist´ ym investic´ım s = j. ´ Uspory jsou ˇca´st´ı pˇr´ıjmu, kde σ je m´ıra u ´spor s = σy.

(8)

Tento syst´em tak´e pˇripouˇst´ı pomˇernˇe jednoduch´e ˇreˇsen´ı, aˇckoli ne tak jednoduch´e jako pˇredchoz´ı model. Protoˇze se jedn´a o syst´em line´arn´ı, vystaˇc´ıme si s obvyklou metodou sest´avaj´ıc´ı se z ˇreˇsen´ı ve tvaru j G = j0G eωt

(9)

kde j0G je libovoln´a konstanta vyjadˇruj´ıc´ı poˇca´teˇcn´ı hodnotu j G a j G je konstanta, kter´a mus´ı splˇ novat podm´ınky vypl´ yvaj´ıc´ı ze syst´emu rovnic. Snadno lze zjistit, ˇze G rt = jt−Θ = j0G eω(t−Θ)

14

ωt

e b˙ = j G − r = j0G eωt − j0G eω(t−Θ) = j0G eωt − j0G ωΘ = j0G eωt (1 − e−ωΘ ) e

(10)

z ˇcehoˇz vypl´ yv´a, ˇze b=

1 G ωt j e (1 − e−ωΘ ). ω 0

(11)

Hodnoty v a d lze odvodit z b: v=

b , κ′

d=

b Θ

coˇz vede k j G − d = j = s = σy = σ(v − d) = σ

1

κ′

−

1 b. Θ

(12)

Doplnˇen´ım v´ yrazu j G , d a b: j0G eωt j0G eωt b

1 1 b =σ ′− b − Θ κ Θ 1 1 1 − =σ ′− Θ κ Θ

j0G eωt σ 1 σ = ′− + G ωt −ωt κ Θ Θ 1/ωj0 e (1 − e )  ω σ 1 − σ = + (1 − e−ωt ) κ′ Θ dojdeme k podm´ınce 1 − σ + (1 − e−ωΘ ). ω= ′ κ Θ σ

(13)

´ e ˇreˇsen´ı j G a dalˇs´ıch promˇenn´ Upln´ ych se skl´ad´a z tolika ˇclen˚ u tvaru zobrazen´eho v (9), kolik je koˇren˚ u rovnice (13). Koˇreny mohou b´ yt re´aln´e nebo komplexn´ı. Komplexn´ı koˇreny odpov´ıdaj´ı fluktuuj´ıc´ım pohyb˚ um promˇenn´ ych. Vlastnosti re´aln´ ych koˇren˚ u, pokud je ω > 0, kter´ ym odpov´ıdaj´ı postupnˇe stoupaj´ıc´ı hodnoty promˇenn´ ych, jsou zobrazeny v obr. 2.

15

Obr.2 Necht’ je prav´a strana rovnice (13) vyj´adˇrena Φ(ω) =

σ

κ′

+

1 − σ (1 − e−ωΘ ), Θ

pak koˇren ω0 bude vyj´adˇren bodem protnut´ı mezi pˇr´ımkou se smˇernic´ı 1 (jejichˇz ordin´aty jsou ω) a kˇrivkou s ordin´aty Φ(ω). M˚ uˇzeme uk´azat, ˇze pro σ > 0 a Θ > κ′ , coˇz jsou v obou pˇr´ıpadech re´aln´e podm´ınky, vˇzdy najdeme takov´ yto pr˚ useˇc´ık. Explicitn´ı ˇreˇsen´ı nen´ı moˇzn´e, ale pro mal´e hodnoty ωΘ v´ yraz e−ωΘ m˚ uˇze b´ yt aproximov´an 1 − ωΘ + 1/2ω 2 Θ2 · · · coˇz vede k σ

1 − σ 1 ω= + (ωΘ + ω 2 Θ2 ), ′ κ Θ 2 nebo ω = 2σ

1

κ′

−

1 . Θ

Na druhou stranu, pro vysok´e hodnoty Θ dojdeme k Domar-Harrodovˇe v´ ysledku [Harrod˚ uv-Domar˚ uv model r˚ ustu je uveden v doplˇ nku], coˇz m˚ uˇzeme vidˇet ˇ adn´e dalˇs´ı re´aln´e koˇreny zjevnˇe neexistuj´ı. z ω = σ/κ′ (13). Z´ ˇ sen´ı m˚ Reˇ uˇze b´ yt pouˇzito pro analytick´ y probl´em k vysvˇetlen´ı rozvoje, u kter´eho jsou hodnoty koeficient˚ u dan´e, vˇcetnˇe m´ıry u ´spor σ, a se zn´am´ ymi poˇca´teˇcn´ımi hodnotami promˇenn´ ych jako je j0G atd. V takov´em probl´emu budou hr´at svoji roli tak´e komplexn´ı koˇreny z rovnice (13). Analytick´ y probl´em s dan´ ymi poˇca´teˇcn´ımi hodnotami promˇenn´ ych je moˇzno ˇreˇsit pouze tehdy, je-li uvedeno 16

dostateˇcn´e mnoˇzstv´ı ˇclen˚ u obecn´eho form´atu (9). (kde, nicm´enˇe nejsou konstantn´ı faktory identick´e s j0G , nebot’ to plat´ı pouze, vezmeme-li jen jeden ˇclen jako v (9)). Tyto poˇca´teˇcn´ı hodnoty vˇsak mohou b´ yt takov´e, ˇze umoˇzn´ı syst´emu cyklick´e pokraˇcov´an´ı. Pˇri ˇreˇsen´ı politick´eho probl´emu je situace jin´a. Je zde prostor povaˇzovat za c´ıl vzorec rozvoje bez cyklicky se opakuj´ıc´ıch pokles˚ u. To v matematick´em jazyku znamen´a, ˇze je pro n´as relevantn´ı pouze jeden koˇren, a to ten re´aln´ y rovnice (13). N´aslednˇe plat´ı rovnice (9) aˇz (12) s hodnotou j0G rovnou hodnotˇe j G , pˇriˇcemˇz vˇsechny ostatn´ı hodnoty lze z toho vypoˇc´ıtat. To znamen´a, ˇze abychom mohli zaruˇcit necyklick´ y pohyb, mus´ı b´ yt naplnˇeny urˇcit´e vztahy mezi poˇca´teˇcn´ımi promˇenn´ ymi. Pokud nav´ıc poˇzadujeme urˇcitou m´ıru rozvoje ω0 , m´ıra u ´spor σ0 m˚ uˇze b´ yt odvozena z (13); mˇelo by platit σ0 =

ω0 /(1 − e−ω0 Θ ) − 1/Θ . 1/κ′ − 1/Θ

0pˇet lze snadno vidˇet, ˇze pro Θ = ∞ se tento v´ yraz shoduje s (4).

Pokud budeme vych´azet z takov´ehoto vzorce, bude mezi promˇenn´ ymi fixn´ı pomˇer. Toto je samozˇrejmˇe n´asledek ˇrady zjednoduˇsuj´ıc´ıch podm´ınek implikovan´ ych v naˇsem modelu. Pozdˇeji zm´ın´ıme modely, kde bude tato ponˇekud nerealistick´a budoucnost odstranˇena. Nicm´enˇe m˚ uˇze b´ yt zaj´ımav´e poˇc´ıtat nˇekter´e z pomˇer˚ u, kter´e mohou d´avat smysl, i kdyˇz jen pˇribliˇznˇe v obecnˇejˇs´ıch podm´ınk´ach. Budeme poˇc´ıtat k/y, k/b, a r/d. Zaˇcneme-li od (12), m´ame 1 1 b. k˙ = s = σ ′ − κ Θ Pouˇzit´ım (11), zjist´ıme   ˙k = σ 1 − 1 j G eωt (1 − e−ωΘ ). ω κ′ Θ 0 Integrac´ı v ˇcase a poˇzadavkem, aby se k pro t = −∞ bl´ıˇzilo k nule, kde vymiz´ı

i dalˇs´ı doposud zvaˇzovan´e promˇenn´e, m´ame 1  G ωt σ 1 k= 2 ′− j0 e (1 − e−ωΘ ). ω κ Θ 17

Nyn´ı m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat tˇri jiˇz zm´ınˇen´e pomˇery: k σ = , y ω

k σ 1 1 = − , b ω κ′ Θ

ωΘ r = ωΘ d e −1

Pro politick´ y probl´em je v´ yhodn´e vyj´adˇrit je ve vztahu ω, coˇz lze explicitnˇe s pomoc´ı rovnice (13); v´ ysledkem je 1/(1 − e−ω0 Θ ) − 1/ωΘ k = , y 1/κ′ − 1/Θ

k 1 1 = , − −ω Θ 0 b 1−e ωΘ

r ωΘ = ωΘ . (14) d e −1

Pro velmi mal´e a velmi vysok´e hodnoty ωΘ mohou b´ yt tyto v´ yrazy d´ale zjednoduˇseny. V´ ysledky jsou: k/y

k/b

r/d

ωΘ mal´a

1/2 1/κ′ −1/Θ

1/2

1

ωΘ velk´a

κ′

1

0

Model z˚ ust´av´a jednoduˇsˇs´ı, pokud je m´ısto rovnice (10), reprezentuj´ıc´ı ˇcistˇe technologickou produkˇcn´ı funkci, zachov´an bˇeˇznˇejˇs´ı, ale m´enˇe jasn´ y vztah k = κy.

(15)

V tomto pˇr´ıpadˇe k, s, nebo j a y z˚ ust´avaj´ı vnitˇrn´ım okruhem promˇenn´ ych a pohyby jsou nez´avisl´e na vnˇejˇs´ıch rovnic´ıch (6), (8) a (15). M´ame σ k˙ = k, κ a tak plat´ı k = k0 eωt s: ω=

σ . κ

(16)

N´aslednˇe y = (k0 /κ)eσt/κ . Abychom mohli vyj´adˇrit zb´ yvaj´ıc´ı promˇenn´e, urˇc´ıme nejdˇr´ıve promˇennou b, kter´a mus´ı splˇ novat b bt−Θ G b˙ = j G − jt−Θ = σy + − σyt−Θ − . Θ Θ 18

Toto je line´arn´ı nehomogenn´ı diferenci´aln´ı rovnice. Obecn´e ˇreˇsen´ı se skl´ad´a ze dvou ˇca´st´ı: 1) obecn´e ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice Θb˙ t = bt − bt−Θ

(17)

2) konkr´etn´ı ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice. Lze snadno pozorovat, ˇze obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice (17) je bt = b00 + b01 t Pokud ale poˇzadujeme, aby se pro t = −∞ veliˇcina bt rovnala nule, uk´aˇze se

toto ˇreˇsen´ı jako nepouˇziteln´e. O konkr´etn´ı ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice se m˚ uˇzeme

pokusit za pˇredpokladu, ˇze bt = b0 eωt , kde ω = σ/κ jako v rovnici (16). Toto ˇreˇsen´ı je pˇr´ıpustn´e, jen pokud pro b0 plat´ı ω = (1 − e−ωΘ )

σ k

0

κ b0

+

1 . Θ

Vzhledem k tomu, ˇze σ mus´ı b´ yt v politick´em probl´emu pˇrizp˚ usobena poˇzadovan´e m´ıˇre r˚ ustu ω, m˚ uˇze b´ yt tento v´ yraz upraven na 1 1 k0 = − ωΘ b0 1−e ωΘ Je zaj´ımav´e, ˇze tento vzorec je identick´ y se vzorcem pro k/b v (14). Zb´ yvaj´ıc´ı promˇenn´e lze odvodit z rovnic, kter´e je spojuj´ı s promˇenn´ ymi jiˇz urˇcen´ ymi.

2.3

Makromodel s prodlevou v produkci, bez znehodnocen´ı

Ponˇekud nerealistick´ y znak doposud popsan´ ych model˚ u je absence prodlevy v produkci. Pˇredpokl´ad´a se, ˇze kaˇzd´a jednotka investic, navyˇsuje z´akladn´ı kapit´al. Nyn´ı budeme poˇc´ıtat s ˇcasovou prodlevou θ, kter´a vznik´a mezi zah´ajen´ım jak´ehokoli investiˇcn´ıho procesu a n´ar˚ ustem z´akladn´ıho kapit´alu jiˇz dokonˇcen´eho investiˇcn´ıho majetku. Zaveden´ı tohoto jevu vyˇzaduje pˇrid´an´ı podm´ınky o investiˇcn´ım procesu bˇehem tohoto ˇcasov´eho obdob´ı. Nyn´ı vytvoˇr´ıme nejjednoduˇsˇs´ı 19

moˇznou hypot´ezu, a to, ˇze proces v tomto obdob´ı θ vyˇzaduje rovnomˇern´ y vstup u ´sil´ı. Je uˇziteˇcn´e uv´est dokonˇcen´e investice“ jako novou promˇennou oznaˇcenou ” ′ jt . Podle definice budeme pak m´ıt k˙ t = jt′ .

(18)

Celkov´a investiˇcn´ı aktivita jt v jak´emkoli ˇcase t je nyn´ı souˇctem aktivit zapoˇcat´ ych a nedokonˇcen´ ych. Coˇz znamen´a aktivit, jejichˇz ˇcas dokonˇcen´ı je mezi t a t + θ. Jelikoˇz vˇsechny tyto aktivity prob´ıhaj´ı stejn´ ym tempem, aktivita j je pouze nev´aˇzen´ y pr˚ umˇer: 1 jt = θ

Z

t+θ

j ′ dt′ . t

Tento v´ yraz m˚ uˇze b´ yt tak´e pˇreveden s pomoc´ı (18) t+θ 1 1 jt = kt′ = (kt+θ − kt ). θ t θ

(19)

Pˇrid´ame-li rovnice (2) a (1), dostaneme syst´em ˇctyˇr rovnic pro naˇse ˇctyˇri promˇenn´e. ˇ sen´ı syst´emu m˚ Reˇ uˇzeme naj´ıt vyj´adˇren´ım jt ve vztahu ke kt s pomoc´ı dvou posledn´ıch rovnic, coˇz vede k jt =

σ 1 kt = (kt+θ − kt ), κ θ

a to m˚ uˇzeme pˇrepsat jako σθ kt = kt+θ − kt , κ  θσ  kt . kt+θ = 1 + κ Stejn´a rovnice bude platit i pro dalˇs´ı promˇenn´e. Bˇehem doby θ kapit´al poroste m´ırou 1 + θσ/κ. Nebereme-li v u ´vahu fluktuace obdob´ı menˇs´ıch neˇz θ, ˇreˇsen´ı je  θσ t/θ kt = k0 1 + , κ 20

z ˇcehoˇz lze odvodit θσ  1  k˙t = ln 1 + . kt θ κ M˚ uˇzeme snadno pozorovat, ˇze pro mal´e hodnoty θσ/κ se hodnoty shoduj´ı s σ/κ, coˇz je m´ıra rozvoje vych´azej´ıc´ı z rovnice (3), kter´a plat´ı pro model bez prodlevy v rozvoji. Pro vyˇsˇs´ı hodnoty θσ/κ m˚ uˇze b´ yt odchylka od v´ yˇse zm´ınˇen´e m´ıry znaˇcn´a a r˚ ust bude pomalejˇs´ı. Investiˇcn´ı proces m˚ uˇze b´ yt r˚ uzn´eho typu. Jin´ ym jednoduch´ ym pˇr´ıkladem je vstupn´ı bod na zaˇca´tku prodlevy v´ yvoje n´asledovan´ y stejn´ ym v´ ystupn´ım bodem jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe. Dostaneme ′ jt = jt+θ .

Z ˇcehoˇz zjist´ıme, ˇze σ k˙ t = jt′ = jt−θ = kt−θ , κ a znovu pokud kt = k0 eωt , pro ω mus´ı platit ω=

σ −ωθ e . κ

Znovu zjist´ıme, ˇze pro mal´e hodnoty ωθ, ω = σ/κ.

2.4

Optim´ aln´ı m´ıra rozvoje

Rozhodnut´ı pro urˇcitou m´ıru r˚ ustu produkce je v praxi v´ yznamn´ ym probl´emem. Je zn´am´ ym faktem, ˇze v komunistick´ ych zem´ıch je tato m´ıra, a n´aslednˇe m´ıra u ´spor, t´emˇeˇr dvojn´asobn´a s porovn´an´ım se zemˇemi nekomunistick´ ymi, coˇz zn´azorˇ nuje d˚ uleˇzitost procesu rozhodov´an´ı. M˚ uˇzeme se tedy pt´at, zda-li ekonomick´a vˇeda m˚ uˇze d´at vod´ıtko numerick´emu v´ ybˇeru. Snahy realizovan´e souˇcasn´ ymi autory se klon´ı sp´ıˇse k negativn´ı odpovˇedi. Nicm´enˇe se jev´ı uˇziteˇcn´ ym tyto pokusy a jejich v´ ysledky popsat. Jedn´ım z pokus˚ u bylo interpretovat myˇslenku, ˇze optim´aln´ı m´ıra rozvoje je ta s maxim´aln´ı uˇziteˇcnost´ı v ˇcase, kter´a z´aroveˇ n zuˇzitkuje snahy vynaloˇzen´e na mˇeˇren´ı d˚ uleˇzit´ ych 21

vlastnost´ı uˇzitkov´e funkce. Maximalizace uˇzitku jako n´astroje je v kaˇzd´em pˇr´ıpadˇe nadˇrazen´a maximalizaci spotˇreby, jeˇz je zase lepˇs´ı neˇz maximalizace pˇr´ıjm˚ u. Konkr´etn´ı v´ yklad uˇzitku je zaloˇzen na domnˇence, ˇze uˇzitek z´avis´ı pouze na spotˇrebˇe ve stejn´e ˇcasov´e jednotce. To m˚ uˇze b´ yt sice pˇr´ıliˇs restriktivn´ı, ale ˇza´dn´e mˇeˇren´ı z´avislosti uˇzitku na spotˇrebˇe v jin´ ych ˇcasov´ ych obdob´ıch nen´ı dostupn´e. Pˇredpokl´ad´a se, ˇze je nˇekolik typ˚ u uˇzitkov´e funkce. Uk´azalo se ˇza´douc´ı, pˇredy. stavit minim´aln´ı hladinu spotˇreby c, pod kterou je mezn´ı uˇzitek nekoneˇcnˇe velk´ Dalˇs´ı zkoum´an´ı uk´azalo, ˇze je tˇreba pˇredstavit tak´e maxim´aln´ı m´ıru saturace cm nad c, coˇz je c = cm + c, kde je mezn´ı uˇzitek nulov´ y. Uˇzitkov´a funkce, kterou budeme pouˇz´ıvat, je zaps´ana jako  cm v u= −1 c−c

(20)

kde u je mezn´ı uˇzitek a v je konstanta. Hodnota konstanty byla odvozena z velmi zn´am´ ych odhad˚ u pruˇznosti mezn´ıho uˇzitku podle Frische. K tomu, abychom dospˇeli k jedin´e hodnotˇe pro konstantu v, bylo nutn´e doplnit Frischovy odhady o nˇekolik dalˇs´ıch podm´ınek. Frisch odhadoval pruˇznost mezn´ıho uˇzitku pro dvˇe skupiny pracovn´ık˚ u: Skupina Ameriˇcan˚ u, u kter´ ych doˇsel k −1 a skupina Fran-

couz˚ u, u kter´ ych zjistil −3, 5.

22

Pˇredpokl´ad´ame, ˇze 1) stejn´a uˇzitkov´a funkce plat´ı pro obˇe skupiny 2) hladina spotˇreby Francouz˚ u byla v dobˇe mˇeˇren´ı oproti Ameriˇcan˚ um poloviˇcn´ı. Pruˇznost, definov´ana jako (∂u/∂c) c/u je −

v−1 vcm  cm 1 vcm c c − 1 = − 2 m v m (c − c) c − c [c /(c − c) − 1] c +c−cc−c

Zn´azorn´ıme-li francouzskou spotˇrebu cF a americkou 2cF , m´ame podle Frische cm vcF = 3, 5 (cm + c − cF )(cF − c)

2cm vcF = 1, (cm + c − 2cF )(2cF − c)

Pˇrid´an´ım dalˇs´ıho pˇredpokladu, a to, ˇze cm je v porovn´an´ı s 2cF vˇetˇs´ı, m´ame pˇribliˇznˇe 2vcF = 1, 2cF − c

vcF = 3, 5. cF − c

y v´ ysledek Z tˇechto rovnic vych´az´ı, ˇze v = 0, 6 a c/cF = 5/6. Tento druh´ se nezd´a b´ yt nere´aln´ y a tak´e m˚ uˇze pˇrispˇet k vˇerohodnosti v´ ysledku v. Do budoucnosti se nepoˇc´ıt´a se ˇza´dn´ ym diskontem ve v´ıˇre, ˇze pro pl´anov´an´ı zemˇe by pˇr´ıˇst´ı generace mˇely poˇc´ıtat stejnˇe jako tyto. Podle t´eto filosofie m˚ uˇze b´ yt diskont re´aln´ y pro pl´anov´an´ı jedince, ale ne nezbytnˇe pro pl´anov´an´ı zemˇe. Nen´ı sloˇzit´e pˇredstavit diskonty pro budouc´ı spotˇrebu, pokud by to bylo tˇreba, ale pak vyvst´av´a ot´azka, na jakou u ´roveˇ n by diskont mˇel b´ yt kladen. Pˇredpokl´ad´a se, ˇze populace z˚ ustane konstantn´ı. Aˇckoliv nen´ı obt´ıˇzn´e pˇredpokl´adat urˇcitou m´ıru rozvoje π a podle toho vzorce pozmˇenit. V obecn´e rovinˇe to pozvedne optim´aln´ı m´ıru u ´spor zn´am´ ym zp˚ usobem, coˇz je o πκ, pokud pˇredpokl´ad´ame st´al´ y pomˇer kapit´alov´ ych v´ ystup˚ u. Toto je v podstatˇe produkˇcn´ı funkce uˇzitku. Dokud je kapit´al nejvz´acnˇejˇs´ım faktorem, m˚ uˇze b´ yt tento pˇredpoklad spr´avn´ ym odhadem. Uk´azalo se velmi obt´ıˇzn´ ym, moˇzn´a t´emˇeˇr nemoˇzn´ ym, nal´ezt explicitn´ı ˇreˇsen´ı, pokud se jedn´a o komplikovanˇejˇs´ı produkˇcn´ı funkce, napˇr´ıklad Cobb-Douglasovu funkci [viz. Dodatek]. 23

Probl´emu optim´aln´ı m´ıry rozvoje byl d´an n´asleduj´ıc´ı form´aln´ı tvar. Je-li d´an: - poˇca´teˇcn´ı pˇr´ıjem y0 - pod´ıl kapit´alov´ ych v´ ystup˚ u κ (coˇz implikuje poˇca´teˇcn´ı kapit´alovou z´asobu k0 = κy0 ) - uˇzitkov´a funkce (20). Jak´ y program spotˇreby c(t) (vyjadˇruj´ıc´ı program u ´spor a tud´ıˇz kapit´alov´eho R∞ y uˇzitek rozvoje) pˇrin´aˇs´ı maxim´aln´ı uspokojen´ı v ˇcase 0 U (t′ )dt′ , kde U je celkov´

spotˇreby v ˇcase t′ ?

Maximum zjevnˇe dos´ahneme splnˇen´ım vedlejˇs´ı podm´ınky, a to, ˇze v jak´emkoli ˇcase t (s pouˇzit´ım symbol˚ u jako doposud), bude c + s = y nebo s s = j = k˙ = κy˙ tedy: c + κy˙ = y.

(21)

Kromˇe t´eto vedlejˇs´ı podm´ınky bereme v u ´vahu tak´e dvˇe hraniˇcn´ı podm´ınky, zejm´ena c ≥ c,

s ≥ 0.

(22)

Pokud tyto hraniˇcn´ı podm´ınky neplat´ı, (to znamen´a, je-li pˇr´ıjem rozdˇelen mezi nˇejak´e kladn´e pˇr´ıjmy a objem spotˇreby pˇrevyˇsuje ˇzivotn´ı minimum c), maximum pro vˇsechny ˇcasov´e jednotky, coˇz je pro 0 ≤ t ≤ ∞, vyˇzaduje, aby se mezn´ı uˇzitek

ze spotˇreby v momentˇe t rovnal celkov´emu mezn´ımu uˇzitku dalˇs´ı spotˇreby v budoucnosti, z´ıskan´e odebr´an´ım jedn´e jednotky spotˇreby v ˇcase t. Jelikoˇz n´ar˚ ust budouc´ı produkce je umoˇznˇen ubr´an´ım jedn´e jednotky spotˇreby, je 1/κ do budoucna podm´ınkou 1 ut = κ

Z

∞

ut dt′ .

(23)

t

Nez´aleˇz´ı na tom, ˇze tato budouc´ı produkce nemus´ı b´ yt spotˇrebov´ana, ale ˇca´steˇcnˇe uloˇzena. Toto rozhodnut´ı m˚ uˇze b´ yt oddˇeleno od toho vytvoˇren´eho v ˇcase t. Pokud se toto budouc´ı rozhodnut´ı tak´e ˇr´ıd´ı (23), mezn´ı uˇziteˇcnost koresponduj´ıc´ıho pˇr´ır˚ ustku produkce m˚ uˇze b´ yt mˇeˇrena bud’to na stranˇe spotˇreby nebo u ´spor - obˇe tyto strany se shoduj´ı. 24

Rovnice (23) m˚ uˇze b´ yt nahrazena rovnic´ı se snadnˇejˇs´ım ˇreˇsen´ım, a to nahrazen´ım obou stran jejich deriv´aty s ohledem na ˇcas. Pozdˇeji vˇsak mus´ıme vyzkouˇset, jestli plat´ı tak´e rovnice (23), coˇz z´avis´ı na aplikovan´e integraˇcn´ı konstantˇe. Nov´a rovnice bude u du =− . dt κ

(24)

Jelikoˇz u z´avis´ı na t pˇres c, je vhodnˇejˇs´ı ji pˇrepsat na κ

du c˙ = −u. dc

Pouˇzit´ım (20) dostaneme c˙′ =

cm − c′ ′ c κvcm

(25)

kde c′ = c−c. Jelikoˇz tato rovnice obsahuje z naˇseho syst´emu pouze promˇennou c′ , nikoli promˇennou y, m˚ uˇze b´ yt jej´ı integrace provedena oddˇelenˇe. Rovnice (25) ˇ sen´ı m˚ je velmi zn´am´a diferenci´aln´ı rovnice logistick´e kˇrivky. Reˇ uˇze b´ yt zaps´ano jako c′ =

cm , 1 + Be−t/κv

kde B = et0 /κv je z´astupn´a konstanta, kter´a m˚ uˇze b´ yt nahrazena t0 , ˇcasem ve kter´em c′ = 1/2cm , coˇz je poloviˇcn´ı u ´rovn´ı asymptoty. N´aˇs v´ ysledek znamen´a, ˇze nakonec bude muset doj´ıt ke spotˇrebˇe, kter´a ale nikdy nebude muset dos´ahnout u ´rovnˇe saturace cm + c. Dalˇs´ı krok se st´av´a z integrace rovnice (21) pro y, kter´a m˚ uˇze b´ yt nyn´ı zaps´ana jako y ′ − κy˙ ′ =

cm , 1 + Be−t/κv

(26)

kdyˇz y ′ = y − c, a evidentnˇe reprezentuje nehomogenn´ı line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnici prvn´ıho ˇra´du. Standardn´ı metoda ˇreˇsen´ı lev´e strany rovnice, je vypoˇc´ıtat derivaci y ′ e−t/κ 25

s ohledem na ˇcas:  d ′ −t/κ y′  ye = e−t/κ y˙ ′ − . dt κ Podle (26) mus´ı b´ yt tento v´ yraz shodn´ ys −

cm e−t/κ . κ(1 + Be−t/κv )

M´ame tedy ′ −t/κ

ye

cm =− κ

Z

′

e−t /κ dt′ . 1 + Be−t′ /κv

(27)

Zd´a se moˇzn´e prov´est tuto integraci explicitnˇe pro cel´e hodnoty 1/v. Jelikoˇz n´aˇs odhad v = 0, 6 je jen pˇribliˇznou hodnotou, zd´a se uˇziteˇcn´e prov´est integraci pro v = 0, 5 nebo 1/v = 2. To m˚ uˇze b´ yt provedeno s pomoc´ı substituce ′

Be−2t /κ = t′′2 , √ ′ kde t′′ je nov´a integraˇcn´ı promˇenn´a. Z toho vypl´ yv´a, ˇze e−t /κ B = t′′ a −

√

B −t/κ ′ e dt = dt′′ , κ

Integr´al (27) se nyn´ı stane κ ′ −t/κ κ ye =√ m c B

Z

dt′′ , 1 + t′′2

nebo √ cm cm y ′ = √ et/κ arctan t′′ + y = √ et/κ arctan e−t/κ B + y, B B kde y je z´astupn´a konstanta, jej´ıˇz hodnota mus´ı b´ yt urˇcena s pomoc´ı hraniˇcn´ıch podm´ınek. Pˇrirozen´a hraniˇcn´ı podm´ınka se pˇripoj´ı k poˇca´teˇcn´ı podm´ınce, ˇze hodnota y0 je d´ana, a ˇze pro t = ∞ se y pˇribliˇzuje k c. Pˇresnˇeji ˇreˇceno, na hladinˇe saturace to 26

nen´ı nutn´e ˇsetˇrit, protoˇze nen´ı ˇza´dn´ y d˚ uvod tuto hladinu pˇrekonat. Ekonomick´ y rozvoj shled´av´a dosaˇzen´ı saturace pˇrirozen´ ym koncem. Jelikoˇz pro t = ∞ √ arctan e−t/κ B √ =1 e−t/κ B je y ′ = cm + y a tud´ıˇz y = 0. ˇ sen´ı pro y je tedy Reˇ yt =

cm √

e−t/κ B

√ arctan e−t/κ B + c.

To implikuje y0 = c

m arctan

√

√

B

B

(28)

+ c.

Produkce, a tedy i kapit´al, se podle (28) mus´ı rozv´ıjet podle kˇrivky, kter´a je velmi podobn´a kˇrivce logistick´e. Obˇe kˇrivky jsou charakteristick´e m´ırn´ ym stoup´an´ım v poˇca´teˇcn´ıch f´az´ıch zvyˇsuj´ıc´ı akceleraci aˇz do urˇcit´eho bodu a n´asledn´ ym zpomalen´ım a pˇribl´ıˇzen´ım se k horizont´aln´ı asymptotˇe.

Obr.3 Podstata zjiˇstˇen´ ych pohyb˚ u m˚ uˇze b´ yt ilustrov´ana nahrazen´ım posledn´ı sekce n´ahradn´ım uspoˇra´d´an´ım, coˇz se jev´ı v´ıce objasˇ nuj´ıc´ı z matematick´eho pohledu, ale z´aroveˇ n se to nezd´a b´ yt ˇspatn´ ym n´astinem z praktick´eho, ekonomick´eho u ´hlu pohledu. Dosad´ıme-li na m´ısto y˙ v rovnici (21) (yt − yt−κ )/κ, coˇz je pr˚ umˇern´a 27

m´ıra vzestupu za posledn´ı ˇcasov´e jednotky κ (v praxi dva nebo tˇri roky), zjist´ıme, ˇze m´a tato rovnice obzvl´aˇstˇe jednoduch´ y tvar ct + yt − yt−κ = yt , coˇz okamˇzitˇe vede k ˇreˇsen´ı yt−κ = ct , nebo yt = ct+κ . Praktick´e opodstatnˇen´ı pro toto alternativn´ı uspoˇr´ad´an´ı m˚ uˇze spoˇc´ıvat v tom, ˇze investice jsou zaloˇzeny na m´ıˇre vzr˚ ustu pˇr´ıjmu v posledn´ıch tˇrech nebo ˇctyˇrech letech. Sp´ıˇse neˇz na posledn´ı mal´e ˇcasov´e jednotce, kter´a je ve skuteˇcnosti pro ekonoma nejatraktivnˇejˇs´ı. Podstata v´ ysledku je pak velmi jednoduch´a: Spotˇreba i produkce se mus´ı pohybovat podle logistiky. Jedin´ ym rozd´ılem mezi nimi je ˇcasov´a prodleva ˇcasov´ ych jednotek κ. Srovnejte s Obr. 3. Posun pro y mus´ı b´ yt takov´ y, aby zanechal intercept (y-ov´a souˇradnice bodu, ve kter´em pˇr´ımka, kˇrivka nebo plocha prot´ın´a y-ovou osu) na vertik´aln´ı ose t0 . ´ Uspory se mˇeˇr´ı vertik´aln´ı vzd´alenost´ı mezi tˇemito dvˇema kˇrivkami. Z poˇca´tku jsou velmi mal´e, postupnˇe se mohou st´at velmi v´ yrazn´ ymi. Absolutnˇe i relativnˇe vzato nakonec po pˇrekroˇcen´ı poloviˇcn´ı hladiny saturace u spotˇreby, se sn´ıˇz´ı a postupnˇe vymiz´ı. Nyn´ı se pokus´ıme zmˇeˇrit m´ıry u ´spor vych´azej´ıc´ı z naˇsich vzorc˚ u za r˚ uzn´ ych podm´ınek. Jako n´asledek naˇs´ı hraniˇcn´ı podm´ınky (22), kdykoli je y0 = c, nepoˇc´ıt´ame s ˇza´dn´ ymi u ´sporami. N´asledkem toho nedoch´az´ı k ˇza´dn´emu rozvoji a spotˇreba i produkce z˚ ustanou na z´akladn´ı u ´rovni. Poˇca´teˇcn´ı u ´spory vˇsak budou kladn´e, bude-li y0 > c. Zpoˇca´tku mohou b´ yt mal´e, ale v pln´em proudu procesu rozvoje budou muset b´ yt v´ yrazn´e. To lze uk´azat vypoˇc´ıt´an´ım maxim´aln´ı m´ıry u ´spor vych´azej´ıc´ı ze vzorc˚ u. Je-li znovu √ t′′ = e−t/κ B, m´ame c=

cm + c, 1 + t′′2 28

a y=

cm arctan t′′ + c, t′′

z ˇcehoˇz odvod´ıme m´ıru u ´spor σ σ =1−

c cm /(1 + t′′2 ) + c = 1 − m ′′ . y (c /t ) arctan t′′ + c

Jednoduˇsˇs´ı je pˇredstavit t′′′ = arctan t′′ nebo t′′ = tan t′′′ . Pak pro A = cm /c dostaneme σ=

1 − (sin 2t′′′ )/2t′′′ . ′′′ 1 + A1 tant′′′t

(29)

Jelikoˇz   t′′′ y=c A + 1 , tan t′′′ a t′′′ / tan t′′′ je klesaj´ıc´ı funkce t′′′ , t′′′ m´a evidentnˇe nejvyˇsˇs´ı hodnotu pˇri poˇca´teˇcn´ıch hodnot´ach y0 a y pak kles´a. Jak lze vidˇet z (29), maxim´aln´ı hodnota σ z´avis´ı jen na A, pˇrinejmenˇs´ım tak dlouho, dokud y0 je menˇs´ı neˇz hodnota y odpov´ıdaj´ıc´ı maxim´aln´ı hodnotˇe σ. Pro ypoˇcet ukazuje, ˇze σmax n´ızk´e hodnoty y0 v porovn´an´ı s cm + c, toto vˇzdy plat´ı. V´ je pomˇernˇe vysok´a, jak ukazuj´ı n´asleduj´ıc´ı u ´daje. A 10 100 500

σmax 0, 63 0, 86 0, 94

Z uveden´ ych hodnot se zd´a, ˇze model vedl k nerealisticky vysok´ ym hodnot´am pro optim´aln´ı m´ıru u ´spor. V podstatˇe maj´ı tyto vzorce tendenci doporuˇcovat u ´sporn´a opatˇren´ı s c´ılem dos´ahnou hladiny saturace co nejdˇr´ıve“. To lze ilustro” vat vypoˇc´ıt´an´ım m´ıry vzr˚ ustu spotˇreby pro hladinu 1/2cm + c, coˇz je na poloviˇcn´ı cestˇe mezi hranic´ı ˇzivotn´ıho minima a hladinou saturace, a vyst´av´a ot´azka, jak dlouho to bude trvat pˇri t´eto m´ıˇre vzr˚ ustu, dos´ahnout u ´rovnˇe saturace. Ze vzorce (25) vypl´ yv´a, ˇze c˙ = c˙′ = cm /2 pro c′ = 1/2cm . To znamen´a, ˇze pˇri t´eto rychlosti 29

vzd´alenost z c do cm + c bude trvat 2κ roky nebo jen 6 aˇz 8 let. Pˇrestoˇze skuteˇcn´ y ˇcas bude delˇs´ı, protoˇze rychlost na poloviˇcn´ı cestˇe bude maxim´aln´ı, bude zahrnut´a ˇra´dov´a hodnota zobrazena. Zd´a se, ˇze jsou dva hlavn´ı d˚ uvody, proˇc skuteˇcn´e m´ıry u ´spor jsou o tolik niˇzˇs´ı. Na jednu stranu, aˇckoliv jsme tento jev nebrali v u ´vahu, jednotlivci budouc´ı spotˇrebˇe nepˇrikl´adaj´ı v´ahu. Na druhou stranu, spoˇr´ıc´ı programy vych´azej´ıc´ı z naˇsich vzorc˚ u vˇzdycky znamenaj´ı, ˇze souˇcasn´a generace trp´ı pro ty nadch´azej´ıc´ı generace do takov´e m´ıry, jak´a se obecnˇe povaˇzuje za patˇriˇcnou. Pokud by tedy do naˇseho konceptu uˇzitku vstoupil element vˇetˇs´ı spravedlnosti ve vztahu mezi ” generacemi“, optim´aln´ı pl´an u ´spor by se sn´ıˇzil. Jelikoˇz n´am nen´ı zn´am ˇza´dn´ y pokus o mˇeˇren´ı naznaˇcen´ ych priorit, nepokouˇseli jsme se naˇse poznatky v tomto smˇeru zobecˇ novat. N´aˇs z´avˇer, co se t´ yk´a ot´azky, zda-li ekonomick´a vˇeda m˚ uˇze indikovat optim´aln´ı m´ıru rozvoje, je tedy negativn´ı. [1]

30

3

Z´ akladn´ı pojmy Aktivum (Asset) Fyzick´ y majetek nebo nehmotn´ y n´arok maj´ıc´ı ekonomic-

kou hodnotu. D˚ uleˇzit´ ymi pˇr´ıklady jsou budovy, zaˇr´ızen´ı, p˚ uda, patenty, autorsk´a pr´ava a finanˇcn´ı n´astroje, jako napˇr. pen´ıze nebo obligace. Celkov´ y uˇ zitek (Total utility) Celkov´e uspokojen´ı odvozen´e ze spotˇreby komodit. ˇ e investice (Net investement) Hrub´e investice po odeˇcten´ı kapit´alov´ Cist´ ych statk˚ u. ´ Diskontn´ı sazba (Discount rate) (1) Urokov´ a sazba u ´ˇctov´ana centr´aln´ı bankou z jak´ekoli p˚ ujˇcky, kterou poskytuje komerˇcn´ı bance. (2) Sazba pouˇz´ıvan´a k v´ ypoˇctu dneˇsn´ı hodnoty nˇejak´eho aktiva. D˚ uchod (Income) Tok mezd a plat˚ u, u ´rokov´ ych plateb, dividend a ostatn´ıch pˇr´ıjm˚ u, jeˇz dost´av´a jednotlivec, nebo cel´a zemˇe. Ekonometrie (Econometrics) Obor ekonomie, jenˇz pouˇz´ıv´a statistick´e metody k mˇeˇren´ı a odhadu kvantitativn´ıch ekonomick´ ych vztah˚ u. Ekonomick´ y r˚ ust (Economic growth) Proces neust´al´eho zvyˇsov´an´ı mnoˇzstv´ı a kvality statk˚ u, kter´e ekonomika vyr´ab´ı, bˇehem urˇcit´eho obdob´ı. Ekonomie (Economics) Ekonomie studuje, jak se lid´e rozhoduj´ı v podm´ınk´ach vz´acnosti zdroj˚ u a jak´ y vliv m´a jejich volba na spoleˇcnost. Ekonomie blahobytu (Welfare economics) Normativn´ı anal´ yza ekonomick´eho syst´emu, tj. studium toho, co je ˇspatn´e“ a co dobr´e“ na fungov´an´ı ekono” ” miky. ˇ Externality (Externalities) Cinnost, kter´a ovlivˇ nuje pozitivnˇe nebo negativnˇe jin´e subjekty, aniˇz za to mus´ı platit nebo jsou za tuto ˇcinnost odˇskodˇ nov´any. Hospod´ aˇ rsk´ e cykly (Business cycles) V´ ykyvy celkov´e ekonomick´e aktivity vyznaˇcuj´ıc´ı se souˇcasnou expanz´ı nebo kontrakc´ı produktu ve vˇetˇsinˇe sektor˚ u ekonomiky. K hospod´aˇrsk´emu cyklu doch´az´ı, jestliˇze skuteˇcn´ y hrub´ y n´arodn´ı produkt vzhledem k potencion´aln´ımu hrub´emu n´arodn´ımu produktu roste (expanze) nebo kles´a (kontrakce nebo recese).

31

Hrub´ y n´ arodn´ı produkt (Gross national product) Hodnota vˇsech fin´aln´ıch statk˚ u a sluˇzeb vyroben´ ych obˇcany dan´e zemˇe bˇehem urˇcit´eho obdob´ı vyj´adˇren´a v bˇeˇzn´ ych trˇzn´ıch cen´ach (aniˇz se odeˇc´ıt´a znehodnocen´ı kapit´alov´ ych statk˚ u). Investice (Investment) Ekonomick´a ˇcinnost, pˇri n´ıˇz se subjekt vzd´av´a souˇcasn´e spotˇreby s v´ yhledem zv´ yˇsen´ı produktu v budoucnosti. Hlavn´ımi formami investic jsou investice do hmotn´eho kapit´alu (budovy, zaˇr´ızen´ı a z´asoby) a nehmotn´e investice (vzdˇel´an´ı, v´ yzkum a v´ yvoj, zdrav´ı). Kapit´ al (kapit´ alov´ e statky, kapit´ alov´ e zaˇ r´ızen´ı) (Capital (capital goods, capital equipment)) Kapit´al jsou statky dlouhodob´eho uˇzit´ı, jeˇz se znovu pouˇz´ıvaj´ı pˇri v´ yrobˇe. Hlavn´ımi prvky kapit´alu jsou v´ yrobn´ı zaˇr´ızen´ı, budovy a z´asoby. Makroekonomie (Macroeconomics) Anal´ yza zab´ yvaj´ıc´ı se chov´an´ım ekonomiky jako celku se zamˇeˇren´ım na produkt, d˚ uchod, cenovou hladinu a nezamˇestnanost. Nutno odliˇsit od mikroekonomie, kter´a se zab´ yv´a studiem jednotliv´ ych firem, lid´ı a trh˚ u. Mezn´ı uˇ zitek (Marginal utility) Dodateˇcn´e uspokojen´ı, jeˇz pˇrin´aˇs´ı spotˇreba jedn´e dodateˇcn´e jednotky komodity, pˇriˇcemˇz mnoˇzstv´ı vˇsech ostatn´ıch spotˇrebov´avan´ ych statk˚ u z˚ ust´av´a konstantn´ı. Ordin´ aty (Ordinates) Hodnoty na svisl´e ose. Otevˇ ren´ a ekonomika (Open economy) Ekonomika, kter´a se zab´ yv´a obchodov´an´ım (tj. v´ yvozy a dovozy) se statky a kapit´alem s jin´ ymi zemˇemi. Promˇ enn´ a (Variable) Veliˇcina, kterou lze definovat a zmˇeˇrit. Mezi d˚ uleˇzit´e promˇenn´e v ekonomii patˇr´ı ceny, v´ yˇse u ´rokov´e sazby, mˇenov´e kursy, bohatstv´ı v penˇeˇzn´ıch jednotk´ach atd. Rozvojov´ e zemˇ e (Developing countries) Zemˇe, v n´ıˇz je n´arodn´ı d˚ uchod na obyvatele mnohem niˇzˇs´ı neˇz v rozvinut´e“ zemi (kam se obyˇcejnˇe ˇrad´ı Severn´ı ” Amerika a vˇetˇsina u ´zem´ı Evropy). Saturace (Saturation) Saturace je nasycen´ı, uspokojen´ı. Sm´ıˇ sen´ a ekonomika (Mixed economy) Dominantn´ı forma ekonomick´e organizace v nekomunistick´ ych zem´ıch. Sm´ıˇsen´e ekonomiky pˇri vytv´aˇren´ı sv´eho ekonomick´eho uspoˇra´d´an´ı spol´ehaj´ı pˇredevˇs´ım na cenov´ y syst´em, avˇsak pouˇz´ıvaj´ı 32

nejr˚ uznˇejˇs´ı vl´adn´ı z´asahy pro omezov´an´ı makroekonomick´e nestability a trˇzn´ıch selh´an´ı. Spotˇ reba (Consumption) V makroekonomii celkov´e v´ ydaje jednotlivc˚ u nebo vˇsech lid´ı v zemi na spotˇrebn´ı statky bˇehem dan´eho obdob´ı. Pod pojmem spotˇreba bychom mˇeli m´ıt na mysli pouze takov´e statky, jeˇz jsou u ´plnˇe vyuˇzity nebo zuˇzitkov´any bˇehem tohoto obdob´ı. V praxi vˇsak spotˇrebn´ı v´ ydaje zahrnuj´ı vˇsechny nakoupen´e spotˇrebn´ı statky, pˇriˇcemˇz ˇzivotnost mnoh´ ych statk˚ u je delˇs´ı neˇz uvaˇzovan´e obdob´ı - napˇr. n´abytek, obleˇcen´ı, automobily. ´ Uspory (Saving) Rozd´ıl mezi disponibiln´ım d˚ uchodem a v´ ydaji na spotˇrebu. Znehodnocen´ı (aktiva) (Depreciation (of an asset)) Pokles hodnoty aktiva. V podnikov´em u ´ˇcetnictv´ı i v n´arodn´ım u ´ˇcetnictv´ı se znehodnocen´ım rozum´ı odhad rozsahu vyuˇzit´ı“ ˇci opotˇreben´ı kapit´alu bˇehem zkouman´eho ob” dob´ı vyj´adˇren´ y v penˇeˇzn´ıch jednotk´ach. V u ´ˇcetnictv´ı n´arodn´ıho d˚ uchodu je tak´e naz´ yv´an n´ahradou za kapit´alovou spotˇrebu (odpisy). [9][10]

33

Doplnˇ ek Cobb-Douglasova produkˇ cn´ı funkce M´a-li produkˇcn´ı funkce tvar f (x1 , x2 ) = Axa1 xb2 , potom ˇr´ık´ame, ˇze se jedn´a o Cobb-Douglasovu produkˇcn´ı funkci. Parametr A urˇcuje rozsah produkce, parametry a a b mˇeˇr´ı, jak´ ym zp˚ usobem reaguje mnoˇzstv´ı produkce na zmˇeny ve vstupech. [12]

Harrod˚ uv-Domar˚ uv model r˚ ustu Kl´ıˇcem k popisu Harrodova-Domarova modelu je vztah: s = g + n, G kde s je konstantn´ı m´ıra u ´spor, C je konstantn´ı pomˇer kapit´alu k v´ ystupu, n je konstantn´ı tempo r˚ ustu pracovn´ı s´ıly a g je konstantn´ı tempo technologick´eho pokroku. Souˇcet na prav´e stranˇe vyjadˇruje pˇrirozen´e tempo r˚ ustu (dan´e r˚ ustem efektivn´ı pracovn´ı s´ıly), zat´ımco lev´a strana oznaˇcuje zaruˇcen´e tempo r˚ ustu (dan´e tempem akumulace kapit´alu). Jen tehdy, plat´ı-li uveden´a rovnost mezi pˇrirozen´ ym a zaruˇcen´ ym tempem r˚ ustu, jsou vˇsechny faktory plnˇe vyuˇzity a ekonomika se nach´az´ı v dynamick´em optimu. [17]

34

Z´ avˇ er V t´eto bakal´aˇrsk´e pr´aci jsme se zab´ yvali osobnost´ı Jana Tinbergena, nositele Nobelovy ceny za ekonomii. Pozornost jsem vˇenovali jeho profesn´ı ˇca´sti ˇzivota, pˇredevˇs´ım ekonomick´e a matematick´e pr´aci. V prvn´ı kapitole jsme se zamˇeˇrili na autorovu biografii, s d˚ urazem na jeho studia a budouc´ı pr´aci v oblasti ekonomie a matematiky. D´ale jsme struˇcnˇe popsali, ˇc´ım se zab´ yval ve sv´ ych hlavn´ıch d´ılech. Jeho d´ılo Mathematical models of economic growth je povaˇzov´ano za jedno ze stˇeˇzejnˇejˇs´ıch, proto jsme ho ve druh´e kapitole bl´ıˇze rozvedli. Nejdˇr´ıve jsme kr´atce sepsali teorii k ekonomick´emu r˚ ustu a v dalˇs´ıch podkapitol´ach jsme vypsali modely ekonomick´eho r˚ ustu podle Tinbergena. Zaˇcali jsme nejjednoduˇsˇs´ım makromodelem bez pˇreruˇsen´ı produkce a bez znehodnocen´ı. D´ale jsme uvedli jeho makromodel bez pˇreruˇsen´ı produkce a s opotˇreben´ım, kter´ y je charakteristick´ y pˇredpokladem doˇcasn´e ˇzivotnosti vˇsech kapit´alov´ ych statk˚ u. V dalˇs´ım makromodelu je zahrnuta i ˇcasov´a prodleva v produkci, ale tento model je bez znehodnocen´ı. Jako posledn´ı jsme pˇribl´ıˇzili Tinbergenovu optim´aln´ı m´ıru rozvoje. Protoˇze je v t´eto pr´aci mnoho matematick´ ych a ekonomick´ ych pojm˚ u, povaˇzovali jsme za vhodn´e je v posledn´ı ˇca´sti m´e pr´ace shrnout. T´ım by mˇel b´ yt text pˇrehlednˇejˇs´ı a ˇcitelnˇejˇs´ı. Jan Tinbergen dostal Nobelovu cenu za ekonomii spoleˇcnˇe s R. A. K. Frischem. Pˇrestoˇze nebylo u ´myslem ps´at o R. A. K. Frischovi, r´adi bychom alespoˇ n v z´avˇeru t´eto pr´ace o nˇem zm´ınili p´ar slov. Norsk´ y ekonom Ragnar Anton Kittel Frisch se narodil v roce 1895 v Oslu. Poch´azel z rodiny zlatn´ık˚ u a stˇr´ıbrotepc˚ u, proto se tak´e vyuˇcil zlatn´ıkem. Jeho matka ale trvala na tom, aby se souˇcasnˇe s ukonˇcen´ım uˇcebn´ıho procesu zapsal na univerzitu. Rozhodl se proto studovat ekonometrii, protoˇze dospˇel k n´azoru, ˇze to bude nejkratˇs´ı a nejsnadnˇejˇs´ı studium. V roce 1919 ukonˇcil univerzitn´ı studia a odeˇsel studovat ekonomii a matematiku do ciziny. Navˇst´ıvil Francii, Nˇemecko, Velkou Brit´anii, Spojen´e st´aty a It´alii. Doktor´at z´ıskal v oboru matematick´e statistiky na univerzitˇe v Oslu v roce 1926. Zde byl tak´e v roce 1925 ustanoven asistentem, roku 1928 docentem a roku 1931 ˇra´dn´ ym 35

profesorem. Stal se ˇreditelem v´ yzkumu Ekonomick´eho u ´stavu univerzity v Oslu. Jeˇstˇe neˇz z´ıskal Nobelovu cenu, byla mu v roce 1961 udˇelena cena Antonia Feltrinelliho slavnou italskou Akademi´ı Nazionale dei Lincei. [6] [7] Do ˇcesk´eho jazyka bylo pˇreloˇzeno pouze jedno jeho d´ılo [2], kter´e je nav´ıc zamˇeˇreno hlavnˇe na ekonomii, proto jsem si ho nemohla vybrat pro bliˇzˇs´ı anal´ yzu. Dalˇs´ı jeho d´ıla jsou k publikov´ana hlavnˇe v angliˇctinˇe, coˇz mi dˇelalo dost velk´e probl´emy. Jsem ale r´ada, ˇze jsem se d´ıky t´eto pr´aci alespoˇ n trochu zdokonalila v anglick´em jazyce a nauˇcila jsem se pracovat i s literaturou naps´anou v jin´em neˇz rodn´em jazyce.

36

Literatura [1] Jan Tinberger, Hendricus C. Bos. Mathematical models of economic growth. New York : McGraw-Hill, 1962 [2] Jan Tinbergen, Hospod´aˇrsk´a politika: z´asady a tvorba. Vyd. 1. Praha: Svoboda, 1972 [3] Jan Tinbergen, Central planning. Yale University Press, 1964 [4] Jan Tinbergen, Econometric models of education. Paris : Organisation for Economic Co-operation and Development, 1965 [5] Robert Weinlich. Laure´ati Nobelovy ceny za ekonomii.Olomouc : Alda, 1999 [6] Jiˇr´ı Jon´aˇs a kol. Nobelova cena za ekonomii. Praha : Academia, 1993 [7] Milan Sojka. Kdo byl kdo : svˇetov´ı a ˇceˇst´ı ekonomov´e. Praha : Nakladatelstv´ı Libri, 2002 [8] Dagmar Marhoulov´a. O Tinbergenovˇe pojet´ı centr´aln´ıho pl´anov´an´ı. Praha: ˇ Ekonomick´ yu ´stav CSAV, 1967 [9] Robert H. Frank, Ben S. Bernanke. Ekonomie. Praha: Grada Publishing, 2003 [10] Paul A. Samuelson, William D. Nordhaus. Ekonomie. Praha: Svoboda, 1995 [11] Veronika Hedija, Petr Musil. Praktikum makroekonomie. Plzeˇ n: Vydavatelˇ ek, 2009 stv´ı a nakladatelstv´ı Aleˇs Cenˇ [12] Hal R. Varian. Mikroekonomie: modern´ı pˇr´ıstup. Praha: Victoria Publishing, 1995 [13] Jan Tinbergen [online]. Dostupn´e z http://www.financnici.cz/jan-tinbergen [14] Biografie Jan Tinbergen [online]. Dostupn´e z http://ciks.vse.cz/Edice/nobel/Tinbergen/tin biografie.aspx [15] Laure´ati 1969: Exaktn´ı metody maj´ı zelenou [online]. Dostupn´e z http://www.ilist.cz/clanky/laureati-1969-exaktni-metody-maji-zelenou [16] Jan Tinbergen (1903–1994) Biography [online]. Dostupn´e z http://biography.jrank.org/pages/7020/Jan-Tinbergen-(-1903[17] Od teorie r˚ ustu k politick´e ekonomii r˚ ustu. [online] z http://journal.fsv.cuni.cz/storage/2597 199807mc.pdf 37

Dostupn´e

[18] Jan Tinbergen. [online] Dostupn´e z http://www.econlib.org/library/Enc/bios/Tinbergen.html

38