er sb v
Blok 4 ICT - Konijnen en spreadssheets
bladzijde 242
1a
tijdstip aantal paren konijnen
0 1
1 1
2 2
3 3
4 5
b
tijdstip aantal paren konijnen
0 4
1 4
2 8
3 12
4 20
c
Het aantal konijnen op tijdstip t is de som van de aantallen op tijdstip t − 1 en t − 2 . (dus de som van de twee voorgaande is de volgende)
2a
3a b c d e
ev
Ui tg
5 =C4+1 Dit is de som van C1, C2, C3, C4 en C5 die wordt berekend met =SOM(C1:C5) In B2 staat de som van een rij en in C6 de som van een kolom. Zet in H1 de formule =SOM(A1:G1) Cel G1 is leeg en wordt niet meegeteld. C1 = A1 + B1 = 1 + 1 = 2 In F1 ontstaat de formule =D1+E1 en geeft 8. Ook nu krijg je weer de som van de twee voorafgaande waarden. Kies A1 = 4 en B1 = 4. Sleep de inhoud van cel F1 naar Y1 om de waarde op t = 24 te vinden. Je vindt 75025 konijnenparen.
off
b c d e
5 32
bladzijde 243
4a
b
Zet in cel C3 de formule =C2/B2 en sleep deze naar W3. Je ziet de waarde naderen naar 1,618. De groei is dus uiteindelijk exponentieel. De verhouding gaat steeds naar 1,618. De groei is uiteindelijk altijd exponentieel. Nee, want de verhouding gaat steeds naar 1,618.
5
6a
©
e
In 1999 zijn er geen nuljarige konijnen dus hebben de 20 nuljarige konijnen uit 1998 geen nakomelingen gekregen. S0 is de overlevingskans van een nuljarig konijn hier dus 10 = 0, 5 . 20 Rij 2: Een eenjarig, tweejarig of driejarig konijn kan één jaar later niet eenjarig zijn. Rij 3: Een nuljarig, tweejarig of driejarig konijn kan één jaar later niet tweejarig zijn. Rij 4: Een nuljarig, eenjarig of driejarig konijn kan één jaar later niet driejarig zijn. Dit is volgens een matrixvermenigvuldiging het product van rij twee van de Lesliematrix met de eerste kolom die hoort bij 1998. Zo moet je in H3 het product nemen van rij drie van de Lesliematrix met de tweede kolom die hoort bij 1999. 24 v1 = 10 = 2, 4 9 v2 = 6 = 1, 5 v3 = 0 S1 = 106 = 0, 6 S2 = 63 = 0, 5
or
b c d
Het model gaat er onder andere ook vanuit dat er geen sterfte is, dat er altijd voldoende voedsel is en dat er geen ruimtegebrek ontstaat.
No
c
dh
Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 2
0pm_MW9_VWOBB_WiskBDl2-Uitw.indd 205
© Noordhoff Uitgevers bv
⁄ 205 08-08-2008 09:50:21
f
er sb v
Blok 4 ICT - Konijnen en spreadsheets
Selecteer de aantallen van 2003 en sleep ze naar rechts totdat je in 2010 bent. Het aantal konijnen in 2010 is achtereenvolgens 131, 51, 25 en 10.
bladzijde 244
7a
b
Sleep de aantallen van 2010 verder naar 2020. Je krijgt 1196, 479, 230 en 92. De grootte van de populatie kun je laten berekenen via =SOM(G2:G5) in cel G6 en sleep vervolgens naar 2020. De groeifactor kun je vinden door in H7 =H7/G7 te zetten en ook naar 2020 te slepen. De groeifactor nadert naar 1,25. Door gebrek aan voedsel en ruimte kan de populatie niet onbeperkt groeien.
c
8a
b
c
Ui tg
ev
In 2016 zijn er 820 en in 2017 zijn er 1024 konijnen. In 2016 wordt aantal dus bereikt. Je groeifactor was 1,25 dus om de populatiegrootte constant te houden moet er 20% afgeschoten worden aangezien 1, 25 × (1 − 0, 2 = 1 . Je ziet dat er van de 613 nuljarigen er 307 in leven blijven. Daarvan worden er 258 afgeschoten en blijven er dus 49 over. De nieuwe overlevingsfactor S0 wordt dus 49 ≈ 0, 08 . Door in cel B3 0,5 te veranderen in 0,08 zie je dat de populatie uitsterft. 613
)
bladzijde 245
9a
b
Een vos eet per jaar 0, 75 × 0, 5 × 365 ≈ 137 kg konijn. Dit zijn dus inderdaad ongeveer 137 ≈ 55 konijnen per jaar. 2 ,5 258 ≈ 4 , 7 dus zijn er 5 vossen nodig. 55
10a
b
c
e
dh
©
No
Het aantal konijnen wordt vermenigvuldigd met 1,25 en er worden 55 konijnen per vos opgegeten. De extra toename per 1000 konijnen is 0, 001 ⋅ kt en het aantal vossen dat overleeft is 0, 9 ⋅vt . Model 2 is realistischer omdat met gehele waarden wordt gerekend. In beide modellen neemt het aantal konijnen steeds verder af zelfs tot negatieve waarden. De populatie is dan al lang uitgestorven. In de natuur zal de overlevingsfactor van de vos kleiner worden als er minder konijnen zijn en het aantal van 55 konijnen per vos zal dan ook veranderen. Verander elke keer als het aantal konijnen onder 1028 komt het aantal vossen in 4. Je ziet dan een soort cyclische verandering ontstaan.
or
d
off
⁄ 206
Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 2
0pm_MW9_VWOBB_WiskBDl2-Uitw.indd 206
© Noordhoff Uitgevers bv
08-08-2008 09:50:23
er sb v
Blok 4 Verdieping - Goniometrische formules bladzijde 248
Wanneer a = −1 krijg je f−1 ( x) = − cos 2 x − sin 2 x = −(cos 2 x + sin 2 x) = −1 en dit is een constante functie en dus niet periodiek. Je kunt de toppen van de grafieken vinden door fa "( x) = 0 op te lossen, dus fa '( x) = a ⋅ 2 cos x ⋅ − sin x − 2 sin x ⋅ cos x = −2 a sin x cos x − 2 sin x cos x = ( −2 a − 2)sin x cos x Dit wordt 0 als a = –1, maar dat is uitgezonderd, of als sin x = 0 of cos x = 0 en deze laatste zijn onafhankelijk van de waarde van a. Wanneer je de grafiek van f2 ( x) plot, zie je dat de grafiek evenwichtsstand y = 1 heeft, periode π en amplitude 2. Dat geeft f3 ( x) = 2 cos 2 x + 1 . Dus a = 2 , b = 2 en c = 1 .
c
1 π 4
d
∫ (3 cos
2
x − sin x)dx = 2
0
2a
b
1 π 4
∫ (2 cos 2 x + 1)dx = sin 2 x + x 0
1 π 4
0
= (sin 12 π + 14 π − sin 0 − 0.) = 1 + 14 π.
Ui tg
b
Wanneer je de grafiek van v( x) plot, blijkt deze 0 te zijn voor alle waarden van x, dus is 1 − 2 sin 2 x = cos 2 x . sin 2 x + cos 2 x = 1 ⇒ sin 2 x = 1 − cos 2 x . Dus: 1 − 2 sin 2 x = 1 − 2(1 − cos 2 x) = 1 − 2 + 2 cos 2 x = 2 cos 2 x − 1
bladzijde 249 y
3a
0,8 0,6 0,4 0,2 –6
–5
–4
–3
–2
–1 O –0,2
1
3
4
5
6
x
dh
–0,4
2
off
1a
ev
–0,6 –0,8
4
5a
b
2 Plot de grafiek van h( x) = x + 4 x − 5 − ( x + 5) . De grafiek blijkt de lijn y = 0 te zijn, x −1 mits x ≠ 1 want dan bestaat de eerste formule niet en dus h(x) ook niet, en dus lijken de formules bij dezelfde grafiek te horen.
Bekijk driehoek ABQ en driehoek PCQ. α + ∠AQB = 90° ⇒ α = 90° − ∠AQB ⇒ α = ∠PQC ∠AQB + ∠PQC = 90° ⇒ ∠PQC = 90° − ∠AQB
AB // DP ⇒ α + β = ∠APD(Z-hoeken)
©
or
Uit de grafiek blijkt: periode π , het beginpunt is (0, 0) en het amplitude is 0,5. y = 0, 5 sin 2 x
No
b
Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 2
0pm_MW9_VWOBB_WiskBDl2-Uitw.indd 207
© Noordhoff Uitgevers bv
⁄ 207 08-08-2008 09:50:28
c
∆APQ
∆ABQ
cosβ =
AQ = AQ 1
cos α = AB AQ
sinβ =
PQ = PQ 1
sinα =
∆PCQ
∆APD
CQ PQ
cos(α + β) = DP = DP 1
sinα = PC PQ
sin(α + β) = AD = AD 1
cos α =
BQ AQ
er sb v
Blok 4 Verdieping - Goniometrische functies
BQ CQ ⇒ AQ sin α = BQ en cos α = ⇒ PQ cos α = CQ AQ PQ Dus sin(α + β) = AD = BQ + CQ = AQ sin α + PQ cos α .
e
Kijk weer naar de tabel sin(α + β) = AQ sin α + PQ cos α = cos β sin α + sin β cos α
f
d
Uit de tabel volgt sin α =
ev
Kijk weer naar de tabel cos(α + β) = AQ cos α − PQ sin α = cos β cos α − sin β sin α
bladzijde 250
6a
b
sin 2 x = sin( x + x) = sin x cos x + cos x sin x = 2 sin x cos x cos 2 x − cos( x + x) = cos x cos x − sin x sin x = cos 2 x − sin 2 x
7a
∫
(cos 2 x − sin 2 x)dx =
1 12 π
b
c
1 π 2
1 π 2
1 π 4
1 π 4
∫ 4 sin x cos xdx =
∫ sin 2 x cos 2 xdx = ∫
8a
⁄ 208
1
π
sin 4 xdx = − 18 cos 4 x 04 = ( − 18 cos π − − 18 cos 0) = 18 + 18 = π
2 2 2 ∫ (cos x + sin x + sin x)dx =
−π
π
∫ (1 + sin
2
1 4
x)dx =
−π
π
− 12 cos 2 x)dx = ∫ (1 12 − 12 cos 2 x)dx = 1 21 x − 14 sin 2 x − π = −π
(1 12 π − 14 sin 2 π) − ( −1 12 π − 14 sin( −2 π)) = 3π De x-coördinaat van P is gelijk aan de x-coördinaat van R, dus cos t = cos( − t ) . De y-coördinaat van P is tegengesteld aan de y-coördinaat van R, dus sin t = − sin( −t ) . cos(t − u) = cos(t + ( − u)) = cos t cos( −u) + sin t sin( −u) = cos t ⋅ cos u + sin t ⋅ − sin u = cos t cos u − sin t sin u sin(t − u) = sin(t + ( −u)) = sin t cos( −u) + sin( −u)cos t = sin t ⋅ cos u + − sin u ⋅ cos t = cos t cos u − sin u cos t
©
b c
1 2
No
4
π
1 2
−π
π
or
π
∫ (1 +
2
1
2 2 ∫ (cos x + 2 sin x)dx =
−π
2π
sin 2 x 1 1 π = ( 12 sin 4 π − 12 sin 3π) = 0
dh
0
π
d
1 2
2 ∫ 2 sin 2 xdx = − cos 2 x 1 π = (− cos π − cos 12 π) = 1 − 0 = 1
1 π 4
0
∫ cos 2 xdx =
1 12 π
1 π 4
2π
off
2π
Ui tg
Uit de tabel volgt cos α = AB ⇒ AQ cos α = AB en sin α = PC ⇒ PQ sin α = PC AQ PQ Dus cos(α + β) = DP = AB + PC = AQ cos α − PQ sin α .
Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 2
0pm_MW9_VWOBB_WiskBDl2-Uitw.indd 208
© Noordhoff Uitgevers bv
08-08-2008 09:50:35
bladzijde 251
booglengte
1 π 2
1 4
π
oppervlakte
1 4
π
1 8
π
10a
b c d
11a
b
c
d
1 20
π
De oppervlakte is πr 2 = π en de booglengte is 2 πr = 2 π . Dus oppervlakte : booglengte is 1 : 2
Oppervlakte OBC = 12 ⋅ AB ⋅ OC = 12 sin x Oppervlakte OCD = 12 ⋅ DC ⋅ OC = 12 tan x Oppervlakte OBC ≤ oppervlakte segment OCB ≤ oppervlakte OCD ⇒ 1 sin x ≤ 12 x ≤ 12 tan x ⇒ sin x ≤ x ≤ tan x 2 Alle leden delen door sin x geeft: 1 ≤ x ≤ 1 vervolgens alle leden omdraaien sin x cos x sin x ≤1 geeft: cos x ≤ x Wanneer x naar 0 gaat, dan gaat cos x naar 1, dus als x naar 0 gaat dan krijg je lim cos x ≤ lim sin x ≤ lim 1 ⇒ 1 ≤ lim sin x ≤ 1 ⇒ lim sin x = 1 x→ 0 x→ 0 x→ 0 x→ 0 x→ 0 x x x
sin( x + ∆x) = cos ∆x sin x + sin ∆x cos x , dit volgt uit de formules uit opdracht 5e sin( x + ∆x) − sin x sin ∆x cos x + cos ∆x sin x − sin x sin ∆x cos x cos ∆x sin x − sin x h( x) = = = + = ∆x ∆x ∆x ∆x cos x ⋅ sin ∆x + sin x ⋅ cos ∆x − 1 . ∆x ∆x
Wanneer ∆x → 0 dan sin ∆x → 1 en cos ∆x → 1 , dus h( x) → cos x ⇒ f '( x) = cos x ∆x cos( x + ∆x) − cos x cos ∆x cos x − sin ∆x sin x − cos x cos ∆x cos x − cos x sin ∆x sin x = − = = ∆x ∆x ∆x ∆x cos x ⋅ cos ∆x − 1 + sin x ⋅ sin ∆x . Wanneer ∆x → 0 dan gaat dit over in: ∆x ∆x cos x ⋅ 0 − sin x ⋅ 1 = − sin x . Dus g ( x) = cos x ⇒ g '( x) = − sin x
©
No
or
1 π 12
ev
π
Ui tg
b
1 10
off
π
1 6
dh
9a
er sb v
Blok 4 Verdieping - Goniometrische functies
Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 2
0pm_MW9_VWOBB_WiskBDl2-Uitw.indd 209
© Noordhoff Uitgevers bv
⁄ 209 08-08-2008 09:50:41
