Noordhoff Uitgevers bv

er sb v

Hoofdstuk 2 - Transformaties

Voorkennis: Grafieken en functievoorschriften

bladzijde 34

V-1a

4 3,5 3 2,5

ev

longinhoud in liter

4,5

2 1,5 1 0,5

b

0,5

1

1,5

2

2,5

3

c

3,5

4

4,5

tijd in seconden

Van t = 0 tot t = 3 , dus 3 seconden. 5 longinhoud in liter

0

Ui tg

0

4

3

off

2

1

1

0

2

V-2a

3

4

6

dh

y

5 tijd in seconden

7

g

6

c =4

or

5

4

c =2

No

3

2

c =0

1

–3

–2

–1

O

c = –1

1

2

3

x

©

–2

⁄ 18

Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 2

0pm_MW9_VWOBB_WiskBDl2-Uitw.indd 18

© Noordhoff Uitgevers bv

08-08-2008 09:32:14

b

d

e

c

Bij verandering van de waarde van c schuift de grafiek van f evenwijdig op. Het punt (5, 25) ligt op de grafiek van f als f (5) = 5 + c = 25 , dus c = 20 ; het andere snijpunt is te vinden door x 2 = x + 20 op te lossen: x 2 − x − 20 = ( x − 5)( x + 4) = 0 ; x = −4 geeft het andere snijpunt; f ( −4) = −4 + 20 = 16 ; het andere snijpunt is ( −4, 16). x 2 = x + c ; hieruit volgt x 2 − x − c = 0 ; deze vergelijking heeft precies één oplossing als de discriminant D = ( −1)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( −c) = 0 ; hieruit volgt c = − 14 . x 2 − 2 = 2 x + p heeft één oplossing als de discriminant van x 2 − 2 x − 2 − p = 0 gelijk is aan nul: D = ( −2)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( −2 − p) = 0 ; hieruit volgt p = −3 .

ev

er sb v


Het randpunt is ( −1, 0) . Het domein van f is  −1, → en het bereik van f is  0 , → . f ( −1) = a −1 + b = 0 ; hieruit volgt b = 1 want a ≠ 0 ; f (0) = a 0 + 1 = 2 , dus a = 2 .

bladzijde 35

V-4a

Daniëlle heeft gelijk want 2 log x 2 = 2 ⋅ 2 log x ; de grafiek van f ( x) = 2 log x 2 heeft dus nog een tak voor negatieve waarden van x . f (2) = g log 2 = 2 ; hieruit volgt g 2 = 2 , dus g = 2 ; controle: f (4) = 2 log 4 = 4 want ( 2 ) 4 = 4 .

V-5a

b c d e

Op de grafiek van g ligt een willekeurig punt A( x, g ( x)) ; twee eenheden naar links ligt op de grafiek van f het punt B( x − 2, ( x − 2) 2 ) ; omdat yA = y B geldt nu ook g ( x) = ( x − 2) 2 . h( x) = ( x − 2) 2 + 1 = x 2 − 4 x + 4 + 1 = x 2 − 4 x + 5 . k( x) = x 2 − 6 x + 11 = x 2 − 6 x + 9 + 2 = ( x − 3) 2 + 2 . De coördinaten van de top zijn (3, 2) . Drie naar rechts en twee omhoog.

off

b

dh

Ui tg

V-3a b c

2.1 Standaardfuncties

bladzijde 36

1a

Kies Y1 = x 3 − 9 x 2 + 27 x − 21 en Y 2 = x 3 en maak een plot op de GRM.

or

y

8

6

No

g

f

4

2

–1

©

–2

O

1

2

3

4

5

x

–2

–4




⁄ 19 08-08-2008 09:32:23

b

2a

c d

Het nulpunt van de functie f is x ≈ 1, 18 en dat van g is x = 0 . Horizontale raaklijn in de punten (3, 6) en (0, 0) . Drie eenheden naar rechts en zes eenheden omhoog. y 3

2

ev

f 1

O

–1

1

2

3

4

5

6

x

–1

Ui tg

g –2

–3

b

er sb v


De grafieken zijn elkaars spiegelbeeld bij spiegeling in de x − as. y 2

h

f

–4

–3

–2

O

–1

–1

1

2

3

4

dh

–2

x

off

1

–3

De grafieken zijn elkaars spiegelbeeld bij spiegeling in de y − as.

bladzijde 37

3 domein

f (x) = x 2

f (x) = x 3







0 , →

←, 0 ∪ 0, →



0 , →



0 , →

←, 0 ∪ 0, →

f (x) = x

snijpunt x-as

(0, 0)

(0, 0)

(0, 0)

(0, 0)

geen

snijpunt y-as

(0, 0)

(0, 0)

(0, 0)

(0, 0)

geen

randpunt

geen

geen

geen

(0, 0)

geen

asymptoot

geen

geen

geen

geen

x-as en y-as

geen

geen

geen

geen

geen

stijgend dalend/stijgend

stijgend

stijgend

dalend

periode

©

stijgend/dalend

⁄ 20

f (x) = 1 x

f (x) = x

No

bereik

or




08-08-2008 09:32:27

f (x) = 1

f (x) = sin x

f (x) = cos x

domein







bereik

{1}

snijpunt x-as

geen

(k ⋅ π, 0)

snijpunt y-as

(0, 1)

(0, 0)

(0, 1)

geen

geen

geen

asymptoot periode

geen geen

geen 2π

geen 2π

5a b

0 , →

0 , →



geen

(1, 0)

(0, 1)

geen

geen

geen

x − as

y − as

geen

geen

stijgend

stijgend

De eerste grafiek is ontstaan uit de grafiek van f ( x) = x door vermenigvuldigen ten opzichte van de x-as met factor 12 , spiegelen in de x − as en drie eenheden omhoog schuiven. De tweede grafiek is ontstaan uit de grafiek van f ( x) = sin x door vermenigvuldigen ten opzichte van de x-as met factor 2 en vermenigvuldigen ten opzichte van de y-as met factor 12 . De derde grafiek is ontstaan uit de grafiek van f ( x) = 2 log x door één eenheid naar links schuiven. Voor b= 1 is er sprake van een standaardfunctie: f ( x) = sin x . sin(b ⋅ 12 π) = 0 als b is een even getal, bijvoorbeeld b = 2 . Hieronder is de grafiek getekend van f2 ( x) = sin(2 x) . y 2

f

1

–0,5 π

O –1

–2

0,5 π

π

1,5 π

2π

x

dh

–π

sin(b ⋅ 1 13 π) = 1 als b ⋅ 1 13 π = 12 π + k ⋅ 2 π , dit is bijvoorbeeld het geval als b = 83 . Hieronder is de grafiek getekend van f2 ( x) = sin( 83 x) .

or

c



ev

constant stijgend/dalend stijgend/dalend

f (x) = 2 log x

Ui tg

π + k ⋅ π, 0)

f (x) = 2 x

off

[–1, 1] (12

randpunt

stijgend/dalend

4a,b

[–1, 1]

er sb v


y

2

No

1

–1,5π

–π

–0,5 π

O

0,5 π

π

f

1,5 π

2π

x 2,5 π

–1

©

–2




⁄ 21 08-08-2008 09:32:33

b

0 < g < 1 of g > 1 g >1

c

f (x) = g log x met 0 < g < 1

6a

domein

0, →

bereik



snijpunt y-as

(1, 0)

verticale asymptoot

y-as

b c d

−5 = 3 x + 6 − 5 ; hieruit volgt 3 x = −6 , en dus x = −2 . Het snijpunt S = ( −2, − 5) . f ( −2) = −2 m + 2 m − 5 = −5 Invullen van het punt (4, 3) geeft 3 − 3 = n(4 − 4) , en dit is waar voor elke waarde van n . De verticale lijn met vergelijking x = 4 behoort niet tot de familie.

2.2 Translaties

bladzijde 38

8a

Ui tg

7a

dalend

ev

stijgend/dalend

er sb v


y 3

f 2

1

b

1

x g (x)

c d e

3

4

5

6

7

8

0

1

2

3

0

1

2

3

-

-

1

1

9

x

4

5

6

7

8

9

2

5

6

7

8

3

2

3

2

5

6

7

Voor elke waarde van x geldt g ( x) = f ( x − 2) . Door de grafiek van f twee eenheden naar rechts te schuiven ontstaat de grafiek van g . x f(x) h(x)

0 0 3

1 2 3 1 1,41 1,73 4 4,41 4,73

4 5 6 7 8 2 2,24 2,45 2,65 2,83 5 5,24 5,45 5,65 5,83

or

2

dh

0

off

g

9 3 6

Door de grafiek van f drie eenheden omhoog te schuiven ontstaat de grafiek van h . De grafiek van k ontstaat door de grafiek van f twee eenheden naar rechts en drie eenheden omhoog te schuiven.

g( −5) = 12 ( −5) 2 + 4 ⋅ ( −5) + 8 = 12 en f ( −1) = 12 ( −1) 2 =

9a

b

c

⁄ 22

1 2

g(3) = 12 (3) 2 + 4 ⋅ (3) + 8 = 24 12 en f ( 7) = 12 ( 7) 2 = 24 12 1 2

( x + 4) 2 = 12 ( x + 4) ⋅ ( x + 4) = 12 ( x 2 + 8 x + 16) = 12 x 2 + 4 x + 8

f ( x + 4) = 12 ( x + 4) 2 = 12 x 2 + 4 x + 8 = g ( x)

De grafiek van g ontstaat door de grafiek van f vier eenheden naar links te schuiven.

©

No

f




08-08-2008 09:32:40

er sb v


bladzijde 39

10a

y 12

w

10

v

u

8 6

2

f

s

–6 –5 –4 –3 –2 –1 O –2

functie top grafiek

1

s (0, 0)

2

3

4

5

t (–2, 0)

x

u (3, 5)

v (-4, 7)

ev

4

w (0, 10)

De grafiek van t : twee eenheden naar links. De grafiek van u : drie eenheden naar rechts en vijf eenheden omhoog. De grafiek van v : vier eenheden naar links en zeven eenheden omhoog. De grafiek van w : tien eenheden omhoog.

11a

g ( x) = 1 ; drie eenheden naar rechts en twee eenheden omlaag. x

b

f ( x) =

Ui tg

b

1 −2 x−3 y

12a

off

8

f 6

4

–4

–2

O

h

2

4

6

8

x

or

–2

g

dh

2

–4

b

c

g(x) (2, 1) geen

h(x) geen x=3

De grafiek van f ontstaat door de grafiek van p( x) = 2 x twee eenheden naar links te schuiven. De grafiek van g ontstaat door de grafiek van q( x) = x twee eenheden naar rechts en één eenheid omhoog te schuiven. De grafiek van h ontstaat door de grafiek van r( x) = 2 log x drie eenheden naar rechts en één eenheid omhoog te schuiven.

©

f(x) geen x-as

No

randpunt asymptoot




⁄ 23 08-08-2008 09:32:43

er sb v


y

13a

6

g 5

4

3

ev

2

f 1

–2

–1

O

1

2

3

x

Ui tg

–3

–1

–2

c

De grafiek van g ontstaat door de grafiek van f vier eenheden omhoog te schuiven. De grafiek van g ontstaat door de grafiek van f acht eenheden naar links te schuiven. f ( x + 8) = 12 ( x + 8) + 1 = 12 x + 4 + 1 = 12 x + 5 = g ( x) .

off

b

2.3 Verticale vermenigvuldiging

bladzijde 40 y 6

dh

14a

5

h

4

or

3

2

g

No

1

f

0

b c

2

⁄ 24

3

4

5

6

x

De afstand tot de x − as is achtereenvolgens 12 , 1, 2 en 3 maal zo groot geworden. a = −1 : de grafiek van f is gespiegeld in de x − as . a = −2 : de grafiek van f is gespiegeld in de x − as en vervolgens is de afstand van alle punten tot de x − as met factor twee vermenigvuldigd.

©

1




08-08-2008 09:32:47

15a nulpunten toppen

⋅ f ( x) = 12 ⋅ ( x 2 − 2 x) = 12 x 2 − x = g ( x) De afstand van de grafiek van g tot de x − as is half zo groot als de afstand van de grafiek van f tot de x − as . 1 2

c

16a

b

c

17a

b

d

c d

a=3 a = –1 a = –5 x = 0 en x = 2 x = 0 en x = 2 x = 0 en x = 2 (1, –3) (1, 1) (1, 5)

ev

nulpunten toppen

De grafiek van h 3 ontstaat uit de grafiek van f door vermenigvuldigen ten opzichte van de x − as met factor 3. De grafiek van h −1 ontstaat door de grafiek van f te spiegelen in de x − as . De grafiek van h −5 ontstaat door de grafiek van f te spiegelen in de x − as en vervolgens te vermenigvuldigen ten opzichte van de x − as met factor 5.

Ui tg

g x =t0 en x = 2 (1, − 12 )

f ( x) = 1 ; factor 3. x 2 f ( x) = log x ; factor 3.

f ( x) = 2 x ; factor 40 want 10 ⋅ 2 x+ 2 = 10 ⋅ 2 x ⋅ 2 2 = 40 ⋅ 2 x . f ( x) = x 2 ; factor −3 . a ⋅ 3 log 3 = 10 , dus a = 10 . a ⋅ 3 log 27 = −1 , dus a ⋅ 3 = −1 ; hieruit volgt a = − 13 . Nee want a ⋅ 3 log 1 = 9 , dus a ⋅ 0 = 9 en dat kan niet. De grafiek gaat door het punt (3, a) .

off

b

f x = 0 en x = 2 (1, –1)

bladzijde 41

18a

y

dh

er sb v


1

–3

–2

–1

O

1

2

3

x

–1

or

g

–2

No

–3

–4

–5

De grafiek van g ontstaat door de grafiek van f te spiegelen in de x − as . f ( x) = − 2 log x n( x) = − m( x)

©

b c




⁄ 25 08-08-2008 11:33:02

19a

b

20a

b

De grafiek van g ontstaat door de grafiek van f te spiegelen in de x − as en vervolgens drie eenheden naar links te schuiven. De grafiek van h ontstaat door de grafiek van f met een factor 12 te vermenigvuldigen ten opzichte van de x − as en vervolgens vier eenheden naar rechts en drie eenheden omlaag te schuiven. g ( x) = −( x + 3) 2 h( x) = 12 ⋅ ( x − 4) 2 − 3 g ( x) = 2 − 2 en h( x) = − 1 + 4 x x y

ev

er sb v


8

6

h

g h 2

–6

–4

–2

O

2

4

–2

g

–4

6

x

Ui tg

4

off

–6

Grafiek van g : x = 0 en y = −2 Grafiek van h : x = 0 en y = 4

21a

De grafiek van f ontstaat door de grafiek van g twee eenheden naar rechts te schuiven.

b

dh

f ( x) = 3 x − 2 = 3 x ⋅ 3 − 2 = 19 ⋅ 3 x = 19 ⋅ g ( x) , dus de grafiek van f kan ontstaan uit de van g door een vermenigvuldiging ten opzichte van de x − as met factor 19 . k( x) = g x+c = g x ⋅ g c = g c ⋅ h( x) k( x) = g x+c = h( x + c) De grafiek van f kan ontstaan uit de grafiek van g door een vermenigvuldiging ten opzichte van de x − as met factor g c en door een verschuiving naar links over c eenheden, naar links als c > 0 en naar rechts als c < 0 .

22

g ( x) = −3 x − 5 + 3

23a

No

g ( x) = −2 ⋅ cos( x − 3) Ja. Eerst verschuiving en dan vermenigvuldiging: g ( x) = −2 ⋅ (3 + cos x) = −6 − 2 ⋅ cos x . Eerst vermenigvuldiging en dan verschuiving: g ( x) = 3 − 2 ⋅ cos x . De functievoorschriften zijn nu verschillend.

©

b c

or

c

⁄ 26




08-08-2008 11:33:09

2.4 Horizontale vermenigvuldiging

bladzijde 42

y

24a

2

f

standaard

1

0,5 π

O

π

1,5 π

2π

2,5 π

3π

3,5 π

–1

–2

b

y

c

2

standaard

1

–0,5 π

0,5 π

O

π

–1

x 2π

1,5 π

g

Ui tg

Punten op de grafiek van f hebben een afstand tot de y − as die drie keer zo groot is als de afstand tot de y − as van de bijbehorende punten van de standaardgrafiek ; de periode wordt drie keer zo groot. f ( 7 12 π) = sin( 13 ⋅ 7 12 π) = sin(2 12 π) = 1 .

off

x 4π

ev

–0,5 π

er sb v


–2

De grafiek van g ontstaat door de standaardgrafiek ten opzichte van de y − as met factor 12 te vermenigvuldigen ; de periode wordt gehalveerd.

25a

b

c

g(24) = 2 log( 13 ⋅ 24) = 2 log(8) = 3 , dus x = 24 . f ( 13 x) = 2 log( 13 x) = g ( x) , dus als ( x, y) een punt op de grafiek van g is, dan is ( 13 x, y) een punt op de grafiek van f . Vermenigvuldiging ten opzichte van de y − as met factor drie. De grafieken van f en h zijn elkaars spiegelbeeld bij spiegeling in de y − as .

or

d

dh

bladzijde 43

y

26a

10 8

No

6

g

4

f

2

–5 –4 –3 –2 –1 O –2

1

2

3

4

5

x

–4 –6

©

–8

–10

De grafiek van g ontstaat door de grafiek van f ten opzichte van de y − as met 1 factor te vermenigvuldigen. Moderne2 wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 2



⁄ 27 08-08-2008 11:33:14

b

h( x) = f ( 13 x) = 13 ⋅ ( 13 x) 3 − 6 ⋅ ( 13 x) =

1 81

er sb v


x 3 − 2x

y 10

h

–15

f

5

–10

O

–5

5

x 15

10

ev

–5

–10

De grafiek van h ontstaat door de grafiek van f ten opzichte van de y − as met factor 3 te vermenigvuldigen.

27a

b

g ( x) = f ( 12 x) = 100( 12 x) 4 = 100 ⋅ 161 x 4 = 6, 25 x 4 h( x) = f (3 x) = 100(3 x) 4 = 100 ⋅ 81 x 4 = 8 100 x 4

28a

b

29a

b

30a

b

g ( 13 x) = 13 = 9 x x 3

2 243

x5 + 3

c

d

k( 13 x) = 2 log 13 x = 2 log 13 + 2 log x h( 13 x) = 1 +

1 3

x = 1+

1 3

x = 1+

1 3

⋅ x

Met factor 161 . f ( x) = 16 ⋅ x = 4 ⋅ x , dus met factor 4. Ja, want voor a > 0 en x > 0 geldt fa ( x) = ax = a ⋅ x , dus een vermenigvuldiging ten opzichte van de y − as met factor 1a geeft hetzelfde resultaat als een vermenigvuldiging ten opzichte van de x − as met factor a en voor a < 0 en x < 0 geldt fa ( x) = ax = − a ⋅ − x , dus een vermenigvuldiging ten opzichte van de y − as met factor − 1a geeft hetzelfde resultaat als een vermenigvuldiging ten opzichte van de x − as met factor −a . Als l vier keer zo klein wordt, dan wordt de slingertijd 4 = 2 maal zo klein.

1,5

No

0,5

0

d

T =2 ⋅

T =2 ⋅

0,2

1 100

0,4

l

g

1 6

⁄ 28

0,6

0,8 l in meter

1

= 2 ⋅ 101 ⋅ l = 0, 2 ⋅ l g g

l = 2 ⋅ 6l = 2 6 ⋅ ⋅ l g g g

©

c

or

t in seconden

2

1

dh

off

c

f ( 13 x) = 2 ⋅ ( 13 x) 5 + 3 =

Ui tg




08-08-2008 11:33:20

T in seconden

5

T maan 4

3

2

T aarde 1

0

e

0,4

0,6

0,8

1 1,2 l in centimeter

De grafiek van Tmaan ontstaat door de grafiek van Taarde ten opzichte van de y − as met factor 16 te vermenigvuldigen. De grafiek van Tmaan ontstaat ook door de grafiek van Taarde ten opzichte van de x − as met factor 6 te vermenigvuldigen.

Ui tg

0,2

ev

er sb v


2.5 Transformaties na elkaar

bladzijde 44

31a

b

Nee , want f ( x − 1) = −1 + (2( x − 1) − 1) 2 = −1 + (2 x − 3) 2 = (2 x) 2 − 12 x + 8 ≠ g ( x) . −1 + (2 x − 1) 2 = −1 + (2( x − 12 )) 2 = −1 + 2 2 ⋅ ( x − 12 )) 2 = −1 + 4 ⋅ ( x − 12 )) 2 . Vermenigvuldiging met factor 4 ten opzichte van de x − as gevolgd door een verschuiving over 12 eenheid naar rechts en één eenheid omlaag.

c

off

bladzijde 45

Punt (0, − 1) ligt op de parabool met top (3, − 2) : f ( x) = a ⋅ ( x − 3) 2 − 2 , dus f (0) = a ⋅ (0 − 3) 2 − 2 = −1 ; hieruit volgt a = 19 en dus f ( x) = 19 ⋅ ( x − 3) 2 − 2 . Vermenigvuldiging van de standaardgrafiek met −2 gevolgd door vermenigvuldiging ten opzichte van de y − as met factor π1 : g ( x) = −2 ⋅ sin( πx) . Vermenigvuldiging van de standaardgrafiek met factor a gevolgd door een verschuiving over twee eenheden naar rechts en twee eenheden omhoog geeft h( x) = a + 2 ; het punt (0, 1) ligt op de grafiek: h(0) = a + 2 = − a + 2 = 1 , dus x−2 0−2 2 2 a = 2 en h( x) = +2. x−2

33a

b

c

De grafiek van f ontstaat door de grafiek van g ( x) = 2 log x zes eenheden naar rechts en acht eenheden omhoog te schuiven. De grafiek van h ontstaat door de grafiek van g ( x) = 2 x te vermenigvuldigen met factor drie ten opzichte van de x − as en met factor twee ten opzichte van de y − as . De grafiek van k( x) = (3( x − 2)) 2 ontstaat door de grafiek van g ( x) = x 2 te vermenigvuldigen met factor drie ten opzichte van de x − as en vervolgens twee eenheden naar rechts te schuiven.

©

or

No

32

dh




⁄ 29 08-08-2008 11:33:27

y

34a

4 3

g

f

2 1 –0,5 π

0,5 π

O –1

π

1,5 π

2π

2,5 π

3π

3,5 π

–2 –3

c

d

35a

b

c

e

d

Ui tg

Vermenigvuldigen met factor 12 ten opzichte van de x − as en vermenigvuldigen met factor 12 ten opzichte van de y − as . Vermenigvuldigen met factor 13 ten opzichte van de x − as en over 12 π eenheden naar links schuiven. Vermenigvuldigen met factor 1 12 ten opzichte van de x − as , vermenigvuldigen met factor 12 ten opzichte van de y − as en over 12 π eenheden naar rechts schuiven. Volgorde heeft geen invloed op het resultaat. Bijvoorbeeld f ( x) = x − 3 + 2 . Volgorde heeft wel invloed op het resultaat. Bijvoorbeeld f ( x) = 3 ⋅ x + 2 is niet hetzelfde als g ( x) = 3 ⋅ ( x + 2) . Volgorde heeft geen invloed op het resultaat. Bijvoorbeeld f ( x) = 3 x + 1 . Volgorde heeft wel invloed op het resultaat. Bijvoorbeeld f ( x) = 2( x − 3) is niet hetzelfde als g ( x) = 2 x − 3 . Volgorde heeft geen invloed op het resultaat. Bijvoorbeeld f ( x) = 2 x + 1 .

off

b

ev

–4

x 4π

er sb v


2.6 Gemengde opdrachten

bladzijde 46

Twee eenheden omhoog schuiven. Een vermenigvuldiging met factor 14 ten opzichte van de y − as want f ( x) = 2 + 2 log x = 2 log 2 2 + 2 log x 2 = log 4 x . g ( x) = −2 + 2 log x . Een vermenigvuldiging met factor 4 ten opzichte van de y − as want g ( x) = −2 + 2 log x = 2 log 2 − 2 + 2 log x 2 = log 14 x . Een vermenigvuldiging met factor 13 ten opzichte van de x − as want

b

c

e

d

37a

b

c

log x =

2

2

log x 2 log x 1 2 = = 3 ⋅ log x . 3 log 8

g ( x) = − x + 4 ⋅ x Ze hebben dezelfde vorm ; het spiegelbeeld van de grafiek van f bij spiegeling in de lijn y = 3 , de grafiek van k, ontstaat ook door de grafiek van g over 6 eenheden naar boven te schuiven. h( x) = 6 + g ( x) = 6 − x + x Spiegelen in de y − as gevolgd door een verschuiving over tien eenheden naar rechts geeft hetzelfde resultaat als spiegelen in de lijn x = 5 : als p( x) = f ( − x) = ( − x) − 4 ⋅ ( − x) = − x − 4 ⋅ − x dan is k( x) = p( x − 10) = −( x − 10) − 4 ⋅ −( x − 10) = − x + 10 − 4 ⋅ − x + 100 .

©

d

8

or

36a

No

dh

⁄ 30




08-08-2008 11:33:34

38a

b c

d

e

12 C in mg/liter

C 1 (0) = 10 ⋅ 0, 8 0 = 10 mg/liter. C 1 (8) = 10 ⋅ 0, 8 8 ≈ 1, 7 mg/liter. Ongeveer 10 + 1, 7 = 11, 7 mg/liter. De afname van de concentratie van het geneesmiddel in de tweede injectie verloopt gelijk aan de afname van de concentratie van het geneesmiddel in de eerste injectie, maar met een vertraging van 8 uur, dus C 2 (t ) = C 1 (t ) + C 1 (t − 8) = 10 ⋅ 0, 8 t + 10 ⋅ 0, 8 t − 8 . C 3 (t ) = 10 ⋅ 0, 8 t + 10 ⋅ 0, 8 t − 8 + 10 ⋅ 0, 8 t − 16 C2

11 10

C3

ev

er sb v


C1

9 8

6 5 4 3 2 1 0

6

12

bladzijde 47

P hoog

1400 1200 1000 800 600 400 200

14

16

18

20 22 24 t in uren

25

50

75 100 125 150 175 200 225 250 h in cm

or

0

Er worden pas punten toegekend bij een sprong hoger dan 75 cm ; voor waarden kleiner dan 75 heeft de formule geen betekenis.

b

3500 3000

No

P 1500

10

Het bezwaar van het injectieschema is, dat de concentratie van het medicijn direct na elke nieuwe injectie hoger is en dat de afname steeds sneller gaat.

39a

8

off

4

dh

2

Ui tg

7

2500 2000 1500 1000

500

©

0

50 100 150 200 250 300 350 400 450 t in seconden

Er worden pas punten toegekend bij een tijd sneller dan 480 seconden; voor waarden groter dan 480 heeft de formule geen betekenis. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 2



⁄ 31 08-08-2008 11:33:36

c

40a

De gescoorde punten bij een tijd 4,5 minuten: P1500 ≈ 745 en een sprong van 2,05 m: Phoog ≈ 850 zijn van vergelijkbare grootte dankzij het feit, dat de vermenigvuldigingsfactoren in de beide formules zo verschillend van grootte zijn. Als de injectie wordt toegediend neemt de concentratie van het verdovingsmiddel eerst snel toe tot een maximale waarde en neemt daarna langzaam af waarbij de afname steeds trager verloopt.

c (t) in %

5

4

c

ev

er sb v


2

1

0

b c

25

50

75

100

125

Ui tg

3

150 175 t in minuten

De maximale concentratie is 5% na 10 minuten. De concentratie zal op den duur afnemen tot 0% ; de grafiek nadert op den duur tot t = 200 en dit nadert naar 0. de t-as ; voor grote waarden van t geldt c(t ) ≈ 200 t t2

d

Na ongeveer 60 ⋅ 0, 557 ≈ 33 seconden verliest de patiënt het bewustzijn en na ongeveer 179 minuten komt de patiënt weer bij kennis.

e

Voor de tweede injectie geldt: c(t ) =

off

dh

100 ⋅ (t − 60) 100 ⋅ (t − 60) = ; voor de totale 2 ((t − 60) + 10) (t − 50) 2

100 ⋅ (t − 60) . concentratie geldt dus: c(t ) = 200 ⋅ t 2 + (t + 10) (t − 50) 2

f

t ≥ 60

g

100 ⋅ ( x − 60) Plot de grafieken van Y1 = 200 ⋅ x 2 + en Y 2 = 1 en bereken de ( x + 10) ( x − 50) 2 coördinaten van het snijpunt van beide grafieken: (302,1). De operatie mag maximaal 302 minuten duren.

©

No

or

⁄ 32




08-08-2008 11:33:38

ICT Standaard grafieken verschuiven

bladzijde 48

I-1

←, 0 ∪ 0, →



0, →

Bereik



←, 0 ∪ 0, →

0, →



(0, 0)

-

-

Snijpunt y-as

(0, 0)

-

(0, 1)

Randpunt

-

-

-

Asymptoten

- x = 0 en y = 0

y=0

Periode

-

d

b c

I-4a b c d

I-5

I-6a b c d

←, 0 ∪ 0, →

0 , →

(0, 0)

(0(mod π), 0)

(0, 0)

-

(0, 0)

(0, 0)

(0, 0)

-

-

-

(0, 0)

x=0

-

-

-

-

2

-

-

0, →

-

 −1, 1 

-

0, →

− 12 π, 12 π (mod π) 1 2

←,0

0 , →

π, 1 12 π (mod π)

-

De grafiek van y = − f ( x) ontstaat uit de standaardgrafiek door te spiegelen in de x-as. De grafiek van y = f ( − x) ontstaat uit de standaardgrafiek door te spiegelen in de y-as. Als de grafieken symmetrisch zijn ten opzichte van de x-as of y-as zie je soms geen verschil. y = x2 + 2 y = x2 − 3 Het aantal eenheden dat je naar boven of beneden schuift, tel je op of trek je af van y = x2 . y = x2 + 2 − 3 = x2 − 1 y = ( x − 2)2 = ( x − 2)( x − 2) = x 2 − 2 x − 2 x + 4 = x 2 − 4 x + 4 (0, 0) en (2, 0) y = ( x + 3)2 = x 2 + 6 x + 9 Toppen (0, 0) en (–3, 0). Waarschijnlijk de notatie met de haakjes, omdat je daar makkelijk de top uit af kunt leiden. y = ( x − 3)2 + 2

bladzijde 49

d zorgt voor een verticale verschuiving en c zorgt voor een horizontale verschuiving. g ( x ) = ( x − 2 )3 h( x) = 3x − 2 k( x) = sin( x + 2) + 1

©

-

0, →

(1, 0)

-



0 , →



off

I-3a

-





x

dh

-

sin x

ev

Snijpunt x-as

x4

or

b

log x

No

3



Dalen

I-2a

2x

Domein

Stijgen

1 x

x3

Ui tg

er sb v





⁄ 33 08-08-2008 11:33:43

I-8a

I-9

b c d

y = x 3 + 3 y = x − 2 y = ( x + 2)2 + 1 y = sin( x − 1) − 2 y = 2 x+ 3

y = ( x − 2 )4 y = 3x − 2 y = 2 log x + 2 y= x +3 y= x+4

x , 1 naar rechts schuiven x , 1 naar beneden schuiven x 3 , 2 naar links schuiven 2 log x , 3 naar boven schuiven y=

ev

I-7

1 − 3 , de volgorde is niet van belang. x−2

Ui tg

er sb v


ICT Standaardgrafieken vervormen

bladzijde 50

I-10a

y = 2 x2

I-11a b

Als a > 1 wordt de amplitude a keer zo groot. Als a < 0 worden alle uitkomsten tegengesteld en a keer zo groot. a = −1 betekent spiegelen in de x-as. De afstand tot de x-as wordt a keer zo groot.

I-12a

sin x ; −3

b

c

1 ; 3 x 2 log x ; 3

I-13

y = −3 x 2

off

c

d

x 3 ; 1,7

e

2 x ; 40 want 10 ⋅ 2 2 ⋅ 2 x = 40 ⋅ 2 x

f

x 2 ; −3

dh

b

bladzijde 51

I-14a b c

Als b > 1 wordt de periode kleiner, de afstand tot de y-as wordt b keer zo klein. Als b > 1 krimpt de grafiek in. De afstand tot de y-as wordt b keer zo klein.

I-15a b

I-16

f ( 13 x) = 2( 13 x)5 + 3 =

g ( 13 x) = 13 = 9 x x 3 y = ( 2 x )3 y = ( 12 x) y = sin(3 x)

©

No

⁄ 34

y = 1 12 ⋅ 2 x y = − x4 y = 4x

or

y = 2 x3 y=3 x y = 12 sin x

2 243

x5 + 3

c

m( 13 x) = 1 +

d

n( 13 x) = 3 3 − 4

1

x

x

y = 2 log( 13 x) y = ( 12 x)4 y = 4x



1 3


08-08-2008 11:33:52

I-17a b

c

er sb v


Vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met factor 161 . f ( x) = 16 x = 16 ⋅ x = 4 x , dus ook een verticale vermenigvuldiging met factor 4 is mogelijk. ax = a ⋅ x (mits a > 0 ), dus horizontaal met factor 1a en verticaal met factor a .

Test jezelf

bladzijde 54

Links: grafiek ontstaat door de standaardgrafiek y = x 2 twee eenheden naar rechts en drie eenheden omlaag te schuiven. Midden: grafiek ontstaat door de standaardgrafiek y = 1 twee eenheden naar rechts x en één eenheid omlaag te schuiven. Rechts: midden: grafiek ontstaat door de standaardgrafiek y = x 3 één eenheid naar links en twee eenheden omlaag te schuiven.

T-2a

Ui tg

T-1

ev

y 8 7 6

g

5 4

h

2 1 –2 –1 O –1 –2

1

2

3

4

5

f

T-3a b c d

x 10

Grafiek van f : randpunt ( −2, − 3) . Grafiek van g : top in (4, 7) . Grafiek van h : verticale asymptoot x = 5 . De grafiek van f ontstaat door de standaardgrafiek twee eenheden naar links en drie eenheden omlaag te schuiven. De grafiek van g ontstaat door de standaardgrafiek vier eenheden naar rechts en zeven eenheden omhoog te schuiven. De grafiek van h ontstaat door de standaardgrafiek vijf eenheden naar rechts en twee eenheden omhoog te schuiven. Vermenigvuldigen met factor 3 ten opzichte van de x − as . Vermenigvuldigen met factor 0, 4 ten opzichte van de x − as . Vermenigvuldigen met factor 7 ten opzichte van de x − as . Vermenigvuldigen met factor −1 ten opzichte van de x − as . Vermenigvuldigen met factor − 12 ten opzichte van de y − as . Vermenigvuldigen met factor 18 ten opzichte van de y − as . Vermenigvuldigen met factor 23 ten opzichte van de y − as want 2 = 31 . 3x 2 x

©

T-4a b c

9

or

8

No

b

7

dh

–3

6

off

3




⁄ 35 08-08-2008 11:33:57

u = 2 ⋅ sin t u = sin( 12 t ) y 2 u in cm

1 O –1

1

2

3

4

5

7

6

–2

b T-7a b c

9

10

11

x 12

t in seconden

Links: vermenigvuldigen met factor 3 ten opzichte van de x − as , vermenigvuldigen met factor 12 ten opzichte van de y − as en één eenheid naar rechts schuiven. Rechts: vermenigvuldigen met factor 2 ten opzichte van de x − as en twee eenheden naar rechts schuiven. Links: f ( x) = 3 ⋅ sin 2( x − 1) . Rechts: g ( x) = 2 ⋅ 2 log( x − 2) .

ev

T-6a

8

(0, 0) → ( −4, 0) → ( −4, − 2) → ( −4, − 1) (1, 1) → ( −3, 1) → ( −3, − 1) → ( −3, − 12 )

y 5

4

3

Ui tg

T-5a b c

er sb v


off

2

1

–6

–5

–4

–3

–2

–1

O

1

x

dh

–1

–2

d

T-8a b

T-9

3

f ( x) =

f ( x) =

⁄ 36

1 2

–5

3

1 2

1 = 2 x −1 x −2

c

f ( x) = 2 ⋅ ( 1 + 4) = 2 + 8 x x

1 2

1 = 2 ( x − 1) x − 1

d

f ( x) = 2 + 4 x

De grafiek van f ontstaat door de standaardgrafiek drie eenheden naar rechts en twee eenheden omhoog te schuiven want f ( x) = 2 x − 5 = 2 x − 6 + 1 = 2 + 1 . x−3 x−3 x−3 x−3

©

–4

g ( x) = ⋅ (( x + 4) − 2) = ⋅ ( x + 4) − 1 1 2

No

or

–3




08-08-2008 09:33:56

er sb v

Blok 1 - Vaardigheden

1a

b

bladzijde 58

x + 2 + 2 = ( x + 2)( x − 1) + 2 ⋅ x 2 = x 2 + x − 2 + 2 x 2 = 3 x 2 + x − 2 x −1 x 2 ( x − 1) x2 x 2 ( x − 1) x 2 ( x − 1) x 2 ( x − 1)

2 2 x − 1 − x + 4 = ( x − 1)( x − 1) − ( x + 4)( x + 4) = ( x − 2 x + 1) − ( x + 8 x + 16) = x + 4 x − 1 ( x + 4)( x − 1) ( x + 4)( x − 1) ( x + 4)( x − 1)

−10 x − 15 ( x + 4)( x − 1)

ev

c

2 4 − 4 + x = 4(2 + x) − (4 + x)(2 − x) = (8 + 4 x) − (8 − 2 x − x ) = x2 + 6 x 2 − x 2 + x (2 − x)(2 + x) (2 − x)(2 + x) (2 − x)(2 + x) (2 − x)(2 + x)

d

2 2 2 x − 2 x 2 + 1 = x ⋅ 4 x − (2 x + 1) ⋅ 2 = 4 x − (4 x + 2) = −2 = − 1 2 4x 2 ⋅ 4x 2 ⋅ 4x 8x 8x 4x

e

2 1 + 2 x + 1 = 1 ⋅ ( x + 1) + (2 x + 1)(2 x − 1) = ( x + 1) + (4 x − 1) = 4 x2 + x 2 x − 1 x + 1 (2 x − 1)( x + 1) (2 x − 1)( x + 1) (2 x − 1)( x + 1) (2 x − 1)( x + 1)

f

Ui tg

2 − x 3 + 2 x 2 + 1 = −4 x 3 + (2 x + 1)(2 x − 1) = −4 x 3 + 4 x 3 − 2 x 2 + 2 x − 1 = 2−2x x−21+ 2 x −41 4 ⋅ (2 x − 1) 4 ⋅ (2 x − 1) 4 ⋅ (2 x − 1)

4 ⋅ (2 x − 1)

2 + 3 − 4 = 2 x 2 + 3x − 4 = 2 x 2 + 3x − 4 x4 x2 x3 x4 x4 x4 x4

2a

b

− x + 3 = − x + 3( x − 2) = − x + 3 x − 6 = 2 x − 6 x−2 x−2 x−2 x−2 x−2

c

2 x − x = x − x( x + 1) = x − ( x + x) = − x 2 x+1 x+1 x+1 x+1 x+1

d

x+2−

b

c

dh

or

3a

bladzijde 59

−2 x 2 ⋅ 10 = −20 x 2 = −4 x = −1 1 x 3 5 3x 15 x 3

d

2 − x 2 ⋅ −13 = x 3 = 1 x x x

− x ⋅ −8 = 8 x = 2 4 x3 4 x3 x2

e

5 ⋅ − 1 x = 5 ⋅ − x = −5 x = − 5 9 3x 3 3x 3 9x

3 x ⋅ −2 ⋅ − 3 = 3 x ⋅ −2 ⋅ −3 = 18 x = 4 12 x 4 1 x 4 4x

f

−5 ⋅ −1 1 x = −5 ⋅ −3 x = 15 x = 5 2 2x 3x 2 2 6 x2 3x 2

©

2 3 = ( x + 2)( x − 1) − 3 = ( x + x − 2) − 3 = x 2 + x − 5 x −1 x −1 x −1 x −1 x −1

No

off




⁄ 37 08-08-2008 09:34:02

2

 1  2 x −  = ( 2 x x

)

2

2

  − 2 ⋅ 2 x ⋅ 1 +  1  = 4 x 2 − 4 + 12 x  x x

4a

b

3 3   −2 x 3 ⋅  42 + 3 − 1 = −8 2x − 6 x + 2 x 3 = −8 x − 6 x 2 + 2 x 3 x x  x x

c

  1 1  1 1 2 2  x +   x −  = x −   = x − 2 x x x x

d

−3 ( x 2 + 3 x + 2) = −3 x 2 + −9 x + −6 = −3 x 2 − 9 x − 6 = − 3 x 2 + 9 x + 6 x2 x2 x2 x2 x2 x2

b

c

2 x = 1 ⇒ 2 x ⋅ 6 x = 1 ⋅ ( x + 1) ⇒ 12 x 2 = x + 1 ⇒ 12 x 2 − x − 1 = 0 ⇒ x + 1 6x x1 =

Ui tg

5a

1 + ( −1)2 − 4 ⋅ 12 ⋅ ( −1) 1 + 49 1 + 7 1 = = = 3 of 24 24 24

x2 =

1 − ( −1)2 − 4 ⋅ 12 ⋅ ( −1) 1 − 49 1 − 7 = = = − 14 (beide oplossingen voldoen) 24 24 24

x 2 + 1 = 5 ⇒ x 2 + 1 = 5 ⋅ ( x 2 − 1) ⇒ x 2 + 1 = 5 x 2 − 5 ⇒ 4 x 2 = 6 ⇒ x2 − 1

x 2 = 1 12 ⇒ x = 1 12 of x = − 1 12 (beide oplossingen voldoen) 2 = 4 x ⇒ 2 ⋅ ( x + 3) = 4 x ⋅ ( x − 1) ⇒ 2 x + 6 = 4 x 2 − 4 x ⇒ x −1 x+3

off

bladzijde 60

4 x 2 − 6 x − 6 = 0 ⇒ 2 x 2 − 3x − 3 = 0 ⇒ x1 =

3 + ( −3)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ ( −3) 3 + 33 3 1 = = 4 + 4 33 of 4 4

x2 =

3 − ( −3)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ ( −3) 3 − 33 3 1 = = 4 − 4 33 (beide oplossingen voldoen) 4 4

dh

ev

2

er sb v


6a

b

7a

x − 1 x − 1 ⋅ x2 x2 = x2 = x −1 x 1 1 ⋅ x2 x x

f ( x) = 2 x − 5 + 3 Het domein wordt beperkt door de x + 1 in de noemer, die mag x+1 geen 0 zijn. Dus Df = ←, −1 ∪ −1, → .

©

p p ⋅ ( p − 1) p−1 p−1 p = = 3 3 ⋅ ( p − 1) 3( p − 1)

No

or

1 1 = 3 ⇒ −2 + 2 = 3 ⇒ −4 + 1 = 3 ⇒ −3 = 3 ⇒ 2 x = −1 ⇒ x = − 1 d −2 ⋅ + 2 ⋅ 2 x 4x x 4x 2x 2x 2x

⁄ 38




08-08-2008 09:34:08

er sb v


b

2 2 (2 x − 5)( x + 1) f ( x) = 2 x − 5 + 3 = + 3 = 2 x + 2 x − 5 x − 5 + 3 = 2 x − 3x − 2 x+1 x+1 x+1 x+1 x+1

c

2 f ( x) = 0 ⇒ 2 x − 3 x − 2 = 0 ⇒ 2 x 2 − 3 x − 2 = 0 ⇒ x+1

8a

b

3 + ( −3)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ ( −2) 3 + 25 3 + 5 = = = 2 of 4 4 4

3 − ( −3)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ ( −2) 3 − 25 3 − 5 = = = − 12 4 4 4 De oplossing is dus x = 2 of x = − 12 . x2 =

ev

x1 =

f ( x) = 3 + 2 het domein is dan: Df = ←, 0 ∪ 0, 4 ∪ 4, → . x x−4 3( x − 4) f ( x) = 3 + 2 = + 2 x = 3 x − 12 + 2 x = 5 x − 12 x x − 4 x( x − 4) x( x − 4) x( x − 4) x( x − 4) bladzijde 61

Ui tg

1 p 1 − 2  = p ⋅ 1 − p ⋅ 2 = p − 2p = 1 − 2 3  p2 p  3 p2 3 p 3 p2 3 p 3 p 3

9a

b

  − 2  2 + 6  = −4 − 12 = − 4 − 4 3  3p 9p  9p 3

c

( p − 1)2 − ( p + 1)2 ( p2 − 2 p + 1) − ( p2 + 2 p + 1) −4 p = = 2 = −4 p p2 p2 p

d

3 2 −2 ( p3 − 4 p2 + 3 p + 2) = −2 p + 8 p − 6 p − 4 2 2 p p

10a

b c

dh

©

2 2 Dus 1 + 1 + 12 = 0 ⇒ x 2 + x2 + 12 = 0 ⇒ x + x2 + 1 = 0 ⇒ x 2 + x + 1 = 0 x x x x x x Voor deze laatste kwadratische vergelijking geldt: Discriminant = D = 12 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 − 4 = −3 < 0 De vergelijking heeft dus geen oplossing. Er zijn dus geen snijpunten met de x-as. Eén eenheid naar rechts schuiven betekent dat je x moet vervangen door x − 1 . ( x − 1)2 + ( x − 1) + 1 x 2 − 2 x + 1 + x − 1 + 1 x 2 − x + 1 = = Je krijgt dan: g ( x) = f ( x − 1) = ( x − 1)2 ( x − 1)2 ( x − 1)2 Eén eenheid naar beneden schuiven betekent dat de functiewaarden 1 kleiner worden. Je krijgt dan 2 2 ( x − 1)2 x 2 − x + 1 x 2 − 2 x + 1 x = − = h( x) = g ( x) − 1 = x − x +21 − 1 = x − x +21 − 2 2 2 ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1)2 ( x − 1) ( x − 1)

or

Een snijpunt met de x-as vind je door op te lossen f ( x) = 0 .

No

off




⁄ 39 08-08-2008 09:34:12

b

c

d

12

De eerste vergelijking: 2 + 3 = −4 ⇒ (tweede vergelijking invullen) x y 2+ 3 2 = −4 ⇒ + 6 = −4 1 x 12 x−2 x 3x − 4 2 ( 2 + 6 = −4 ⇒ 3 x − 4) + 6x = −4 ⇒ 6 x − 8 + 6 x = −4 ⇒ x 3x − 4 x(3 x − 4) x(3 x − 4) x(3 x − 4) 12 x − 8 = −4 ⇒ 12 x − 8 = −4 x(3 x − 4) ⇒ 12 x − 8 = −12 x 2 + 16 x ⇒ x(3 x − 4) 1 12 x 2 − 4 x − 8 = 0 ⇒ 3 x 2 − x − 2 = 0 ⇒ (3 x + 2)( x − 1) = 0 ⇒ 3 x + 2 = 0 ⇒ x = − 23 of x − 1 = 0 ⇒ x = 1 x = − 23 ⇒ y = 1 12 ⋅ − 23 − 2 = −1 − 2 = −3 x = 1 ⇒ y = 1 12 ⋅ 1 − 2 = − 12 De oplossingen zijn dus x = − 23 en y = −3 of x = 1 en y = − 12 .

 y − 2 x = −2 ⇒ y = 2 x − 2  De eerste vergelijking invullen in de tweede geeft y x +1 = x  2 x − 2 + 1 = x ⇒ 2 x − 2 + x = x ⇒ 3x − 2 = x ⇒ 3x − 2 = x 2 ⇒ x x x x 1 2 x − 3 x + 2 = 0 ⇒ ( x − 2)( x − 1) = 0 ⇒ x = 2 of x = 1 x = 2 ⇒ y = 2 ⋅ 2 − 2 = 2 en x = 1 ⇒ y = 2 ⋅ 1 − 2 = 0 De oplossingen zijn dus: x = 2 en y = 2 of x = 1 en y = 0 .

©

No

or

dh

off

De tweede vergelijking: 3 x − 2 y = 4 ⇒ −2 y = −3 x + 4 ⇒ y = 1 12 x − 2

ev

11a

Ui tg

er sb v


⁄ 40




08-08-2008 09:34:17

b

2a

c

3a

b

4a

b

c d e

Het voordeel van deze grafiek is dat je voor kleine waarden van t de oppervlakte goed kunt aflezen. Het nadeel is dat dit voor waarden van t die groter dan 5 zijn niet meer lukt. Zet bij assen instellen de verticale waarde op 21000. Je kunt dan voor waarden groter dan 5 redelijk goed de oppervlakte aflezen, maar nu lukt het voor waarden kleiner dan 5 weer niet.

ev

1a

De verdeling op de verticale as neemt bij elke stap met een factor 10 toe, dus 1, 10, 100 enz. met gelijke tussenafstand, maar ook 5, 50 500 enz. Er wordt dus steeds met 10 vermenigvuldigd. De oppervlakte op t = 3,5 is ongeveer 8 cm2. Met Trace vind je dat na 5,31 dagen de oppervlakte 100 cm2 is. Dit is dus na 127,44 uur.

Ui tg

bladzijde 62

Kies verticaal de schaal tot en met 10.000. De uitkomsten dicht bij 0 zijn nu niet meer af te lezen. Voor t = 1,5 is A = 0,30 cm2 en voor t = 2,5 is A = 0,53 cm2. A = 5 geldt voor t ≈ 6, 5 en A = 1000 geldt voor t ≈ 16 . Bij een exponentiële functie wordt er bij elke stap vermenigvuldigd met een bepaal getal, de groeifactor. Wanneer op de verticale as ook bij elke stap met een getal vermenigvuldigd wordt, dan wordt de grafiek dus een rechte lijn.

off

er sb v

ICT - Logaritmische schalen

Voor de groeifactor g geldt dus g 12 =

Uit opdracht b volgt nu dat het functievoorschrift wordt y = 400 ⋅ 1, 495t .

1

 50 000  12 50 000 ⇒g= ≈ 1, 495 .  400  400

©

No

or

c

dh

b

De grafiek is een rechte lijn bij een logaritmische verdeelde verticale as, dat gebeurt alleen bij een exponentiële functie. De beginwaarde is de waarde voor t = 0, die is hier 400. De groeifactor vindt je door de waarde voor bijvoorbeeld t = 12 lees je 50 000 af.




⁄ 41 08-08-2008 09:34:18

5a

Met een gewone lineaire schaalverdeling krijg je onderstaande grafiek. 60 000 aantal inwoners

er sb v


50 000

ev

40 000

30 000

10 000

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Ui tg

20 000

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 t in jaren

Wanneer je verticaal een logaritmische schaalverdeling neemt krijg je onderstaande grafiek.

off

50 000

dh

aantal inwoners

10 000

b

c

0

1

2

⁄ 42

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 t in jaren

In de tweede grafiek van opdracht a kun je zien dat de grafiek tussen t = 4 en t = 11 bij benadering recht is. Dat betekent dus dat er in die periode sprake was van exponentiële groei. Dus van 1972 tot 1979. 1

 7 De groeifactor g voor deze periode geldt dan: g 7 ≈ 35520 ⇒ g ≈  35520  ≈ 1, 27 .  6620  6620 De bevolkingstoename per jaar was dus ongeveer 27%.

©

No

0

or

5000




08-08-2008 09:34:19

b

c

7a

b

c

8a

b

c

De overeenkomsten van de drie grafieken zijn: ze zijn alle drie exponentieel, alle drie stijgend en hebben alle drie als horizontale asymptoot de x-as. De verschillen van de drie grafieken zijn: g en h zijn steiler en de drie grafieken hebben verschillende beginwaarden. Wanneer je de y-as logaritmisch kiest ontstaan er drie evenwijdige lijnen. Rechte lijnen want de functies zijn exponentieel. Evenwijdig omdat de functies dezelfde groeifactor hebben. Met behulp van de beginwaarden kun je de vier grafieken onderscheiden. Grafiek 1 hoort bij functie l, grafiek 2 bij functie p, grafiek 3 bij functie m en grafiek 4 bij functie k. Ook kun je zien dat grafiek 1 en 3 evenwijdig lopen, dus die functies hebben dezelfde groeifactor. Hoe groter de groeifactor, hoe steiler de lijn.

ev

6a

De grafieken van de functies f en g worden nu rechte lijnen. De grafieken van de andere twee niet. Wanneer ook de x-as logaritmisch wordt dan zijn de grafieken van de functies h en k rechte lijnen en de twee exponentiële functies zijn niet recht meer. Wanneer beide assen een logaritmische schaalverdeling hebben dan worden de grafieken van machtsfuncties zoals m( x) = 30 x 4 rechte lijnen.

Ui tg

er sb v


Alleen de verticale as is logaritmisch en de grafiek is dan een rechte lijn. De functie die bij deze grafiek hoort is dus exponentieel. 1

k( x) = 50 ⋅ 3x . 1  4 De groeifactor voor de functie m is dus g =  1  = 14 .  256  m(1) = 256 ⇒ m(0) = 256 = 1024 . De beginwaarde is dus 1024. 1x

1 4

off

d

 4 k(0) = 50 en k(4) = 4000 . De groeifactor g is dus g =  4000  ≈ 2, 99 ≈ 3 .  50 

m( x) = 1024 ⋅ 4

Wanneer beide assen een logaritmische schaalverdeling hebben worden alle drie de grafieken rechte lijnen, want het zijn alle drie machtsfuncties. (zie opdracht c). 1 f ( x) = x = x 2 ;

b

c

10a

b c

Beide assen, zowel de horizontale als de verticale, hebben een logaritmische schaalverdeling. De grafiek is dan een rechte lijn dus moet het een machtsfunctie zijn. De vorm is dan g ( x) = a ⋅ x n . g (1) = 5 ⇒ a ⋅ 15 = 5 ⇒ a = 5 Dus g ( x) = 5 ⋅ x n . De grafiek gaat door het punt (81, 15) ⇒ g (81) = 15 ⇒ 5 ⋅ 81n = 15 ⇒ 81n = 3 ⇒ (34 )n = 3 ⇒ 1 34 n = 3 ⇒ 4 n = 1 ⇒ n = 14 . De functie is dan g ( x) = 5 ⋅ x 4 = 5 ⋅ 4 x .

©

g ( x) = 1 = x −1 ; x −2 1 h( x) = 210 = 10 1 = 10 = 10 ⋅ x 2 1 2 x x x2 ⋅ x 2 x 2

or

9a

No

dh




⁄ 43 08-08-2008 09:34:23

11a

b

c

d

1 224, 7 ≈ 1605 ⇒ afst = 1605 1,55 ≈ 117 de afstand van Venus tot de zon is dus 0, 14 ongeveer 117 miljoen km.

afst 1,55 =

©

No

or

dh

off

Ui tg

Wanneer het verband exponentieel zou zijn dan zou een verticale as met een logaritmische schaalverdeling een ongeveer rechte lijn moeten geven. Dat gebeurt niet. Dus is er geen exponentieel verband tussen de omlooptijd en de afstand tot de zon. Wanneer beide assen logaritmisch zijn dan komt er wel een rechte lijn, dat betekent dat het verband tussen de omlooptijd en de afstand tot de zon een machtsverband is. Wat proberen met de schuifparameter levert op dat voor p = 0, 14 en q = 1, 55 De lijn redelijk goed benaderd wordt. Een formule is dan: omlooptijd = 0,14 ⋅ afstand1,55. Omlooptijd van Venus is 224,7 dagen ⇒ 224, 7 = 0, 14 ⋅ afst 1,55 ⇒

ev

er sb v


⁄ 44




08-08-2008 09:34:24

Noordhoff Uitgevers bv

Recommend Documents