Noordhoff Uitgevers bv

Hoofdstuk 1 - Ruimtefiguren Voorkennis

c d

V-2

balk cup a soup

kubus dobbelstenen

piramide kaars

knikkers

soepstengels

pindakaas

aardappelpuree smarties

b

Bij uitslag 1 hoort bij de verpakking van de chocolaatjes. De verpakking van het doosje met het zonnetje is namelijk minder hoog. Bij uitslag 2 hoort de verpakking van de chocomel. De verpakkingen van de smeerkaas en de pindakaas zijn niet hoog genoeg en de verpakkingen van de koekjes en het rolletje pepermunt zijn te hoog. Bij uitslag 3 hoort de verpakking van de cup a soup of de verpakking van het doosje pepermunt. De verpakkingen van de soepstengels, de aardappelpuree en de smarties zijn te lang. Bijvoorbeeld

©

No

or

c

off

V-4a

De verpakking die je zo krijgt is een kubus. De gele kant komt dan boven te liggen.

dh

c

smeerkaas

rolletje pepermunt

L’Oréal

b

cilinder blikje chocomel koekjes

doosje pepermunt

V-3a

bol balletje

ev

b

De verpakking heeft drie verschillende vormen. De bovenkant en de onderkant hebben dezelfde vorm. Hetzelfde geldt voor de voorkant en de achterkant en voor de twee zijkanten. Van de verpakking van de soepstengels kun je drie zijkanten op de foto zien. De andere zijkanten zitten er precies achter. Het doosje pepermunt, de cup a soup, de L’Oréal, de dobbelstenen, de aardappelpuree en de smarties hebben ook een verpakking met zes zijkanten. Het blikje chocomel, de smeerkaas, de koekjes en het rolletje pepermunt hebben een verpakking met ongeveer dezelfde vorm als de verpakking van de pindakaas.

Ui tg

V-1a

er sb v

Hoofdstuk 1 - Ruimtefiguren

⁄ 4

Moderne wiskunde 9e editie 1A vwo

0pm_MW9_vwo1a-Uitw.indd 4

© Noordhoff Uitgevers bv

10-05-2007 12:36:25

V-5a b

De figuur heeft zes zijkanten. De voorkant, de achterkant, de bovenkant en de onderkant hebben de vorm van een rechthoek. De twee zijkanten hebben de vorm van een vierkant. Bijvoorbeeld

Van de uitslagen b en c kun je een kubus maken. Uitslag a heeft een zijkant te weinig. Bij de uitslagen d en e vallen twee zijkanten over elkaar heen en blijft een zijkant open.

1-1 Ruimtefiguren

c d e f g

Als je de uitslag over de rode lijntjes dichtvouwt krijg je een piramide. De gemaakte figuur heeft vijf zijkanten, namelijk vier driehoekige zijkanten en een bodem. De gemaakte figuur heeft acht randen, namelijk vier waar de driehoekige zijkanten aan elkaar grenzen en vier waar de driehoekige zijkanten aan de bodem grenzen. De gemaakte figuur heeft vijf punten, namelijk vier bij de bodem en één bij de top. De bodem heeft de vorm van een vierkant. In de uitslag zie je dat de zijkanten precies op elkaar passen.

dh

b

or

1a

off

V-6

Ui tg

ev

c

er sb v


i

©

No

h




⁄ 5 10-05-2007 12:36:26

b 4a b c d e 5a b

c

d

6a b c d

7a

Deze figuur bestaat uit een balk waar een piramide op staat. De ruimtefiguur heeft 9 grensvlakken. Het grondvlak is vierkant, de opstaande zijkanten zijn rechthoeken en daarop staan driehoeken. De ruimtefiguur heeft 9 hoekpunten. Er zijn 6 ribben gestippeld. Het is een draadmodel omdat je alle ribben kunt zien en er geen ribben gestippeld zijn. Voor de bodem heeft John 4 × 4 = 16 cm ijzerdraad nodig en voor de opstaande ribben heeft hij 4 × 7 = 28 cm ijzerdraad nodig. In totaal heeft hij 16 + 28 = 44 cm ijzerdraad nodig. Voor de bodem heeft John 4 × 4 = 16 cm ijzerdraad nodig. Er blijft dan 50 – 16 = 34 cm voor de opstaande ribben over. De opstaande ribben worden allemaal 34 : 4 = 8,5 cm lang. Een kubus heeft 12 ribben. De ribben van de kubus worden allemaal 30 : 12 = 2,5 cm lang. De ruimtefiguur heeft 30 ribben. Voor dit draadmodel is in totaal 30 × 8 = 240 cm ijzerdraad nodig. De ruimtefiguur heeft 20 hoekpunten. De ribben zijn niet gestippeld, want een draadmodel is niet massief en je kunt alle ribben zien. Tekening 1 is geen uitslag van een ruimtefiguur. De zijden van de driehoeken passen niet aan elkaar. Tekening 2 is de uitslag van een balk. Tekening 3 is de uitslag van een kubus. Tekening 4 is geen uitslag van een ruimtefiguur. Als je de drie buitenste driehoeken omklapt, dan vullen ze precies de binnenste driehoek en krijg je een platte figuur.

©

No

b

Figuur 1 is een kubus met 6 grensvlakken, 12 ribben en 8 hoekpunten. Figuur 2 is een balk met 6 grensvlakken, 12 ribben en 8 hoekpunten. Figuur 3 is een piramide met 4 grensvlakken, 6 ribben en 4 hoekpunten. Figuur 4 is een piramide met 7 grensvlakken, 12 ribben en 7 hoekpunten. Bij een massieve ruimtefiguur kun je de gestippelde ribben niet zien.

ev

3a

Ui tg

d

off

c

De ruimtefiguur heeft 7 grensvlakken. De ruimtefiguur heeft 15 ribben. De ruimtefiguur heeft 10 hoekpunten. Door een piramide met een grondvlak met 5 hoekpunten te nemen en daar de bovenste helft van af te knippen kun je de ruimtefiguur maken.

dh

b

or

2a

er sb v


⁄ 6




10-05-2007 12:36:26

er sb v


1-2 Van boven bekeken 8a

-

c

ev

b

Als je twee kubussen tegen elkaar aan zet, dan krijg je een balk.

c 10a b c

off

b

De piramide heeft 7 grensvlakken. De bodem heeft de vorm van een zeshoek. Deze piramide heeft 12 ribben en 7 hoekpunten.

Dit draadmodel heeft 8 grensvlakken. Dit draadmodel heeft 6 hoekpunten. De figuur heeft 12 ribben. Er is in totaal 12 × 5 = 60 cm ijzerdraad nodig.

dh

9a

Ui tg

d

e

Een piramide met een vierkante bodem met zijden van 5 cm heeft hetzelfde bovenaanzicht. Bij figuur 1 kan een piramide met een zeshoek als bodem horen, bij figuur 2 kan een balk horen, bij figuur 3 kan een piramide met een vierhoek als bodem horen, bij figuur 4 kan een bol of een cilinder horen en bij figuur 5 kan een kubus of een balk horen. Nee, in een bovenaanzicht kun je nooit zien hoe hoog de bijbehorende ruimtefiguur is.

©

11a

No

or

d

b




⁄ 7 10-05-2007 12:36:26

12a

er sb v


Op vier grensvlakken staan driehoekjes.

c

ev

b

-

Ui tg

d

c 14a b

Je kunt zien dat de kunstwerken draadmodellen zijn omdat er geen ribben gestippeld zijn. In kunstwerk 1 herken je een kubus en een piramide. d In kunstwerk 2 herken je een kubus en een balk.

©

No

or

c

In het bovenaanzicht kun je niet zien hoe hoog dit trapje is. In werkelijkheid is dit trapje net zo hoog als de kubus en dat is 4 cm.

dh

b

off

13a

⁄ 8




10-05-2007 12:36:27

er sb v


1-3 Aanzichten 15a b c

De piramide is rechts, het platte doosje is links en het groene doosje is het midden. Foto B is uit richting 3 genomen. En foto C is uit richting 1 genomen. Op foto C ligt het platte doosje achter de piramide.

16a

In het bovenaanzicht kun je niet zien welke figuur het hoogst is. Het kubusbouwsel bestaat uit 6 kubusjes.

b

d e

©

No

or

dh

f

Het achteraanzicht is niet precies hetzelfde als het vooraanzicht. In het vooraanzicht zie je aan de linker kant drie kubusjes op elkaar. Nee, in het rechter zijaanzicht zie je aan de linker kant drie kubusjes op elkaar terwijl je in het linker zijaanzicht aan de rechter kant drie kubusjes op elkaar ziet. Het onderaanzicht is, eventueel na draaien, wel hetzelfde als het bovenaanzicht. Er zijn veel mogelijkheden, bijvoorbeeld een kubus of de ruimtefiguur hieronder.

off

c

Ui tg

e

ev

d




⁄ 9 10-05-2007 12:36:27

17a

Alle drie de bouwsels bestaan uit 6 kubusjes.

b

boven

voor

2

boven

voor

3

boven

voor

zij

zij

zij

b

Bijvoorbeeld het kubusbouwsel hieronder met het vooraanzicht dat er rechts naast staat.

No

or

19a

dh

off

18a

Ui tg

ev

1

er sb v


b

©

c

Je kunt maximaal 12 kubusjes gebruiken. Je hebt minstens 8 kubusjes nodig.

⁄ 10




10-05-2007 12:36:27

20a b c d

er sb v


Bij plaatje A stond de tekenaar bij pijltje 2, bij plaatje B bij pijltje 3, bij plaatje C bij pijltje 4 en bij plaatje D bij pijltje 1. Ja, recht tegenover pijltje 3 krijgt de tekenaar hetzelfde plaatje. Als je rechte lijnen door de pijltjes 2 en 4 trekt, dan zie je dat de richting niet precies hetzelfde is.

b c 22a

John kan niet door de muur van het huis kijken, dus hij kan Manuel niet zien. Alleen Rina kan Manuel zien. Geen van de kinderen kan John zien.

Ui tg

21a

ev

1-4 Kijklijnen

Hieronder kun je zien dat Henk 3 boomstronken kan zien.

Manuel

23a

b

Hieronder zie je dat Rina 5 palen kan zien.

Tom kan 7 palen zien. Zie de tekening hierboven. In de tekening hierboven zie je dat je nog net alle dertien palen kunt zien vanaf de stip tussen het huis en de schuur, vanaf de plaatsen links van het huis en vanaf de plaatsen rechts van de schuur.

©

c

dh

d

Manuel kan 4 boomstronken zien. Zie de tekening hierboven. John en Manuel kunnen het poortje zien. Zie de tekening hierboven. De man staat bij punt B, want vanaf punt A kan hij maar twee boomstronken zien. Zie de tekening hierboven.

or

c

No

b

off

Henk




⁄ 11 10-05-2007 12:36:28

24a

er sb v


Tamara kan de kat wel zien. Jasper kan de kat niet zien.

25a b

c d

Ui tg

e/f

De gedeelten die Jasper en Tamara allebei kunnen zien zijn geel en rood over elkaar en dat wordt oranje. Overal op de kruisjeslijn in de tekening hierboven kan Jasper staan. Vanaf plaats 1 staat er geen flat voor de toren en vanaf plaats 3 zie je omdat de flat er voor staat de toren helemaal niet meer. De tekening is vanaf plaats 2 gemaakt. Het gedeelte van de toren tussen de getekende kijklijnen kun je vanaf plaats 2 zien.

Ja, zie de tekening hierboven. Zie de dikke strepen op de grond in de tekening hierboven.

dh

1-5 Waar sta je? 26a

off

d

ev

b/c

Op de tekening zie je dat de onderste linker punt van de piramide samenvalt met de linker zijkant van de achterste balk.

No

or

b

Julia

Julia stond op de plaats in de tekening hierboven waar de kijklijnen elkaar snijden.

©

c

⁄ 12




10-05-2007 12:36:28

27a

b

huis

huis struik

er sb v


struik

stoel

stoel

boom kruiwagen

boom

A

b

Ui tg

28a

ev

kruiwagen

dh

off

29

1-6 Gemengde opdrachten

b c

©

No

d

De linker ruimtefiguur heeft 20 grensvlakken. De linker ruimtefiguur heeft 30 ribben. De linker ruimtefiguur heeft 12 hoekpunten. Het draadmodel heeft 30 even lange ribben. Een ribbe is 120 : 30 = 4 cm.

or

30a




⁄ 13 10-05-2007 12:36:29

31a b c

er sb v

Hoofdstuk 1 – Ruimtefiguren

De kubus heeft 12 ribben en 8 hoekpunten. De afgezaagde stukjes hebben de vorm van een driehoek waarvan alle zijden even lang zijn. De nieuwe ruimtefiguur heeft 14 grensvlakken, 24 hoekpunten en 36 ribben.

d 33

⁄ 14

1

1

1

2

1

1

1

3

De kubusbouwsels a en b zijn gelijk en de kubusbouwsels e en f zijn gelijk.

or

No

Vanuit het westen zie je het aanzicht. Jasper zou voor de lengte vier rietjes van 10 cm kunnen nemen en voor de breedte vier rietjes van 8 cm. Hij heeft dan nog vier rietjes over, namelijk twee rietjes van 10 cm en twee rietjes van 8 cm. Daarmee kan hij geen balk maken, want de laatste vier rietjes moeten even lang zijn.

©

35

Bijvoorbeeld

Bij deze aanzichten kun je maximaal 14 kubussen gebruiken. Bij deze aanzichten kun je minimaal 8 kubussen gebruiken.

34a/b

c

b

off

c

Bijvoorbeeld

dh

32a

Ui tg

ev

d




10-05-2007 12:36:30

c d e

37a

Tegenover de 1 zitten 6 ogen. Tegenover de 2 zitten 5 ogen. En tegenover de 3 zitten 4 ogen. De som van de ogen die tegenover elkaar staan is telkens 7. Bijvoorbeeld

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1 1

1

1

1

1

b

2

1

1

1

1 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

2

2

1

1

1

2

1

1

1

2

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

1 1

1

2

2

2

2 2

1

1

1

1

1 1

1

1

1

1

1

1

2 1

2

1

1 1

1

1 1

1

1

1

1

1 1

1

1

1

1

1

1

2

1 2

1

1

1

1

2

1

1

or

1

2

1

1

1

1 1

1

2

1

1

1

2

2 1

1

2

Er zijn 17 kubusbouwsels die één kubus hoog zijn (zie opdracht a), 24 die twee kubussen hoog zijn (zie opdracht b), 6 die drie kubussen hoog zijn (zie hieronder), 1 die vier kubussen hoog is (zie hieronder) en 1 die 5 kubussen hoog is (zie hieronder). Er zijn in totaal 17 + 24 + 6 + 1 + 1 = 49 verschillende bovenaanzichten van kubusbouwsels die bestaan uit vijf kubussen.

No

c

1

1

dh

2

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

off

1

1

1

ev

b

Ui tg

36a

er sb v

Hoofdstuk 1 – Ruimtefiguren

3

2

©

3

1

1

1

4

1

3

1

1 3

1

1 1

1

3

5



3 1


⁄ 15 10-05-2007 12:36:30

fi I-1a b c

er sb v


ICT Aanzichten

De piramide is rechts, het platte doosje is links en het groene doosje is het midden. Foto B is uit richting 3 genomen. En foto C is uit richting 1 genomen. Op foto C ligt het platte doosje achter de piramide.

ev

d

In het bovenaanzicht kun je niet zien welke figuur het hoogst is.

I-2a

Op het rechter vierkant komen vier kubusjes op elkaar te staan. -

b c I-3

-

I-4a

c

off

b

Ui tg

e

zijaanzicht

dh

bovenaanzicht

b

©

No

or

I-5a

⁄ 16




10-05-2007 12:36:30

I-6a b

Bijvoorbeeld

c 1

1

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

ev

2

1

b c

I-8

e

Ui tg

I-7a

Bijvoorbeeld

De getekende aanzichten passen bij het bouwsel. Voor dit kubusbouwsel zijn 12 kubusjes gebruikt. Van de vier kubusjes die midden in het grondvlak liggen, kun je de twee kubusjes onder de erboven zwevende kubusjes weghalen zonder de aanzichten te veranderen. -

Test jezelf figuur grensvlakken ribben hoekpunten

b

2 6

3 5

12

12

8

7

8

5

Voor de ribben van het grondvlak is 6 × 4 = 24 cm en voor de opstaande ribben is 6 × 6 = 36 cm nodig. In totaal is er 24 + 36 = 60 cm ijzerdraad nodig. Piramide 3 heeft 8 even lange ribben. Iedere ribbe wordt 100 : 8 = 12,5 cm lang.

©

No

or

c

1 7

dh

T-1a

off

d

er sb v





⁄ 17 10-05-2007 12:36:31

T-2a

1

d

ev

c

Bij kubusbouwsel 1 kun je 5 kubussen weghalen zonder dat het bovenaanzicht verandert. Bij bouwsel 2 zijn dat ook 5 kubussen. Ja, je kunt oneindig veel kubussen toevoegen zonder dat het bovenaanzicht verandert.

Ui tg

b

2

T-3a

b

Bij aanzicht 1 hoort kijkrichting F, bij aanzicht 2 kijkrichting D, bij aanzicht 3 kijkrichting G, bij aanzicht 4 kijkrichting A, bij aanzicht 5 kijkrichting B en bij aanzicht 6 kijkrichting H aanzicht C aanzicht E

T-4a b

dh

off

c

er sb v


Ja, conciërge Klaas kan de blauwe auto zien. Nee, conciërge Roland kan de blauwe auto niet zien.

©

No

or

c/d/e

⁄ 18




10-05-2007 12:36:31

er sb v


ev

T-5a/b

vooraanzicht

zijaanzicht

b 3

2

1

2

1

1

2

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

or

1

No

1

1

1

1

©

1

1



1

dh

1

2

2

off

4

Ui tg

T-6a

1

1

1

1

1

1


⁄ 19 10-05-2007 12:36:32

Noordhoff Uitgevers bv

Recommend Documents