Noordhoff Uitgevers bv

er sb v

Hoofdstuk 6 - Nieuwe grafieken

Hoofdstuk 6 - Nieuwe grafieken Voorkennis

V-2

V-3a b c

Bij parabool 1 hoort de functie Bij parabool 2 hoort de functie Bij parabool 3 hoort de functie Bij parabool 4 hoort de functie

y = 0, 1 x 2 . y = x2 − 4 . y = x2 . y = −x2 + 3 .

y = 3 x( x − 4) 3

x

–4

3x

2

–12x

3x

d

y = 3 x 2 − 12 x

e

y = − x( x + 1) 3

x

–x

2

–x

+1 –x

y = −x2 − x y = −3 x(− x + 1) 3 –3x

–x 2

3x

+1 –3x

ev

b

Ui tg

Van lijn k is het hellingsgetal 14 en het startgetal 3 en de formule is y = 14 x + 3 . Van lijn l is het hellingsgetal –1 en het startgetal 4 en de formule is y = − x + 4 . Van lijn m is het hellingsgetal −1 12 en het startgetal –2 en de formule is y = −1 12 x − 2 . Van lijn n is het hellingsgetal 3 en het startgetal –6 en de formule is y = 3 x − 6 . Het hellingsgetal van deze lijn is ook 3. De formule is van de vorm y = 3 x + b . Invullen van x = 4 en y = 2 geeft 2 = 3 × 4 + b oftewel 2 = 12 + b , dus b = −10 . Een formule van deze lijn is y = 3 x − 10 .

y = 1 12 (−1 12 x + 1)

3

−1 12 x

1 12

−2 14 x

f

+1 +1 12

y = −2 14 x + 1 12 y = (2 x − 3) x

3

2x

–3

x

2x2

–3x

off

V-1a

y = 2 x 2 − 3x y = − x(− x − 1)

3

–x

–1

–x

2

+x

x

y = 3x 2 − 3x

V-4a

Het hellingsgetal is 1, dus het functievoorschrift is van de vorm f ( x) = x + b . Invullen van x = 3 en y = 0 geeft 0 = 3 + b , dus b = −3 . Het functievoorschrift van f is f ( x) = x − 3 . Het hellingsgetal is 2, dus het functievoorschrift is van de vorm g ( x) = 2 x + b . Invullen van x = 3 en y = 0 geeft 0 = 2 × 3 + b oftewel 0 = 6 + b , dus b = −6 . Het functievoorschrift van g is g ( x) = 2 x − 6 . Het hellingsgetal is 2, dus het functievoorschrift is van de vorm h( x) = 2 x + b . Invullen van x = 3 en y = 4 geeft 4 = 2 × 3 + b oftewel 4 = 6 + b , dus b = −2 . Het functievoorschrift van h is h( x) = 2 x − 2 .

c

dh

or

b

y = x2 + x

©

No

⁄ 146

1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 146

© Noordhoff Uitgevers bv

28-04-09 17:01

V-5a

10

er sb v


y

a=2

8

a=1

6 4

k

2 –5

–4

–3

–2

–1 O –2

1

2

3

4

5

x

a = –1

–4

ev

–6 –8 –10

c

V-6a

b

d

en het startgetal van lijn k is –1.

Het hellingsgetal is 50 − 10 = 40 = 0, 1 en het startgetal is 10. 400 − 0 400 Een formule die hoort bij deze grafiek is K = 0, 1t + 10 .

Bij 200 belminuten moet je 101 × 200 + 10 = 20 + 10 = 30 euro betalen. Bij Belmeer betaal je voor 200 belminuten 2 × 30 = 60 euro. Bij Belmeer zijn de kosten per gebelde minuut 60 : 200 = 0, 3 euro. Nee, die zijn niet twee keer zo hoog als bij Telcon, maar drie keer zo hoog. 60

kosten K per maand in euro’s

c

Zie de tekening hierboven.

1 2

Ui tg

Het hellingsgetal van lijn k is 0 − −1 = 2−0 Een formule van lijn k is y = 12 x − 1 .

d

50

e

40 30 20 10 0

0

off

b

dh

50 100 150 200 250 300 350 400

tijd t in minuten

Bij Belbeter hoort de formule K = 0, 2t + 10 . Zie de tekening hierboven. Bij Belbeter hoort nu de formule K = 0, 2t + 5 .

V-7a b c

De grafiek bij a = 1 is een dalparabool. De grafieken die horen bij a = 2 en a = 12 zijn dalparabolen. Voor a > 0 zijn de bijbehorende grafieken dalparabolen.

©

No

or

e


1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 147

⁄ 147 28-04-09 17:01

V-8a

x

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

y

32

18

8

2

0

2

8

18

32

b 30

er sb v


y

25

a=2

20 15 10

–5

–4

–3

–2

–1 O –5

1

2

3

4

5

ev

a=1

5

x

a = –1

–10 –15 –20

Ui tg

a = –2

–25 –30

c d e

V-9a

Invullen van x = 2 en y = 20 geeft 20 = a × 2 2 oftewel 20 = 4 a , dus a = 5 . Invullen van x = −3 en y = 81 geeft 81 = a × (−3)2 oftewel 81 = 9 a , dus a = 9 . Zie de tekening hierboven. x

–4

–3

–2

–1

0

1

y

–46

–28

–14

–4

2

4

b 5 –4

–3

–2

y

–1 O –5

1

2

3

4

–10 –15 –20

–30

5

6

x

Invullen van x = 3 en y = 16 geeft 16 = a(3 − 1)2 + 4 oftewel 16 = 4 a + 4 , dus 4 a = 12 en a = 3 .

or

c

4

–14

f (x) = –2(x – 1)2 + 4

–35

3

–4

dh

–25

2

2

off

6-1 Periodieke grafieken 0,5

R

c d

R

0,3

T

0,2 P

T

P

P

0,1 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

tijd in seconden

De grafiek herhaalt zich na 2 seconden. Dit hart klopt 30 slagen per minuut.

©

R

0,4

No

spanning in millivolt

1a/b

⁄ 148

1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 148


28-04-09 17:01

2a

b

e/f

c

20

aantal uren daglicht

d

In de maand juni is het aantal uren daglicht het grootst. Dat is ongeveer 18 uur. In de maand december is het aantal uren daglicht het kleinst. Dat is ongeveer 6,5 uur. In de maanden januari, februari, maart, september, oktober, november en december is er minder dan 14 uur licht per dag. 18 16 14

ev

er sb v


12 10 8 6

2 0 j

f

m

a

m

j

j

a

s

o

n

Ui tg

4

d

j

f

m

a

m

j

j

a

s

o

n

d

tijd in maanden

b

d

140 waterhoogte in cm boven NAP

c

Tussen twee opeenvolgende tijdstippen van hoogwater zit 6.40 + 5.45 = 12.25 uur. Het gemiddelde van hoogwater en laagwater ligt op (124 − 156) : 2 = −16 cm. De waterstand komt 124 − −16 = 124 + 16 = 140 cm boven de gemiddelde hoogte en −16 − −156 = −16 + 156 = 140 cm onder de gemiddelde hoogte. 120

off

3a

100 80 60 40 20 0 –20

1

2

–40 –60 –80

–120 –140 –160

4a

b

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

tijd in uren

De derde keer laagwater werd het om 6.40 + 2 × 12.25 = 6.40 + 24.50 = 31.30 uur. Dat is om 7.30 uur de volgende dag.

No

e

Grafiek 1 kan periodiek zijn met periode 6, grafiek 2 kan niet periodiek zijn en grafiek 3 kan periodiek zijn met periode 12. Bij grafiek 1 is de evenwichtsstand (−1 + 5) : 2 = 2 en de amplitude 5 − 2 = 3 en bij grafiek 3 is de evenwichtsstand (−4 + 0) : 2 = −2 en de amplitude 0 − −2 = 2 .

©

4

or

–100

3

dh


1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 149

⁄ 149 28-04-09 17:02

18 16 14 12

amplitude

10 8 6

evenwichtsstand

4 2 0

j

–2

f

m

a

j

m

a

j

s

o

n

d

–4

Ui tg

–6 –8 –10

maand

–12

b

6a

b

c

c

De evenwichtsstand is (18 + −11) : 2 = 3, 5 C en de amplitude is 18 − 3, 5 = 14, 5 C. Zie de tekening hierboven. In 60 seconden draait het reuzenrad één keer rond, dus na 15 seconden is cabine A voor het eerst op de hoogte van de as. Het duurt daarna 30 seconden voor cabine A weer op die hoogte is. Na 15 seconden neemt de hoogte het snelst toe.

d

off

hoogte in m

45 40 35 30

20 15 10 5

e f

5

10

15

20

25

30

35

40

45 50 55 60 tijd in seconden

De evenwichtsstand is een hoogte van (42, 5 + 2, 5) : 2 = 22, 5 meter. De amplitude is 42, 5 − 22, 5 = 20 meter en de periode is 60 seconden. In 150 seconden draait het reuzenrad 150 : 60 = 2, 5 keer rond. De cabine is dan op een hoogte van 42,5 meter. In 225 seconden draait het reuzenrad 225 : 60 = 3, 75 keer rond. De cabine is dan op een hoogte van 22,5 meter.

©

No

g

0

or

0

dh

25

ev

20

5a temperatuur in °C

er sb v


⁄ 150

1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 150


28-04-09 17:02

er sb v


6-2 Optellen

b

Voor ongeveer 10,5 uur en voor ongeveer 23 uur is de waterstand lager dan –2 meter en geschikt om een strandwandeling te maken. Daar 2,5 uur van afhalen geeft 10, 5 − 2, 5 = 8 uur en 23 − 2, 5 = 20, 5 uur. Jo kan de strandwandeling uiterlijk om 8 uur of uiterlijk om 20.30 uur beginnen. 5 4 3 2 1 0

2

–1

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

tijd in uren

Ui tg

–2 –3 –4 –5

d

8a

b

off

Bij de grafiek van de nieuwe situatie wordt de hoogste waterstand van ongeveer 3,5 meter na ongeveer 1,5 uur en na ongeveer 14,5 uur bereikt en de laagste waterstand van ongeveer –4,5 meter na ongeveer 8 uur bereikt. Bij de grafiek van de nieuwe situatie hoort een periode van ongeveer 14, 5 − 1, 5 = 13 uur, een evenwichtsstand van ongeveer (3, 5 + −4, 5) : 2 = −0, 5 meter en een amplitude van ongeveer 3, 5 − −0, 5 = 4 meter. Voor ongeveer 11 uur en voor ongeveer 23,5 uur is de waterstand lager dan –2 meter en geschikt om een strandwandeling te maken. Daar 2,5 uur van afhalen geeft 11 − 2, 5 = 8, 5 uur en 23, 5 − 2, 5 = 21 uur. Jo kan de strandwandeling nu uiterlijk om 8.30 uur of uiterlijk om 21 uur beginnen. Met de formule B = 0, 10 M + 5 kun je het bedrag uitrekenen dat je moet betalen. 20

B = 0,10M +8

15 10

B = 0,10M +5

5

c d

9a

b

e

c

20

30

40

50

60

70

80

90 100 M

De nieuwe formule waarmee je het bedrag kunt berekenen wordt B = 0, 10 M + 8 . Zie de tekening hierboven. Lijn l is de grafiek van f. Je moet lijn n 4 omhoog verschuiven om lijn l te krijgen. Bij lijn n hoort het functievoorschrift n( x) = 14 x − 2 . Bij lijn m hoort het functievoorschrift m( x) = 14 x − 12 . Je moet lijn m 2 12 omhoog verschuiven om lijn l te krijgen. Bij de functiewaarden van f moet je 27 − 2 = 25 optellen om de functiewaarden van g te krijgen.

©

d

10

No

0

or

0

dh

c

B

ev

7a

waterstand in m


1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 151

⁄ 151 28-04-09 17:02

5

y

2

4

–4 –3 –2 –1 O –1

f

2 1 1

2

3

4

x

b

c

12a

b

c

13a

b

d

4

12

–3

4

–4

–4 –3 –2 –1 O –4

–2

–5

–8

–3

–6 –7

h

8

g

1

2

3

4

x

–12 –16

De functievoorschriften die bij de nieuwe grafieken horen zijn F ( x) = − 14 x + 3 − 3 oftewel F ( x) = − 14 x , G( x) = − 12 x 2 + 1 − 3 oftewel G( x) = − 12 x 2 − 2 en H ( x) = 2 x 3 − 1 − 3 oftewel H ( x) = 2 x 3 − 4 .

Bij deze functies hoort het domein x ≥ −3 . Het bereik van de functie bij grafiek 1 is y ≥ −3 , het bereik van de functie bij grafiek 2 is y ≥ − 12 en het bereik van de functie bij grafiek 3 is y ≥ 2 . Bij grafiek 1 is b = −3 , bij grafiek 2 is b = − 12 en bij grafiek 3 is b = 2 . Grafiek 1 moet je 2 12 omhoog verschuiven om grafiek 2 te krijgen. Grafiek 3 moet je 2 12 omlaag verschuiven om grafiek 2 te krijgen. Invullen van x = 0 en y = 3 geeft 3 = a × 0 + b , dus b = 3 . Invullen van x = 3 en y = 2 geeft 2 = a × 3 + b oftewel 2 = 3a + b . Hier b = 3 invullen geeft 2 = 3a + 3 oftewel 3a = −1 , dus a = − 13 . Bij de nieuwe grafiek hoort het functievoorschrift F ( x) = − 13 x + 3 − 10 oftewel F ( x) = − 13 x − 7 . Bij de nieuwe grafiek hoort het functievoorschrift G( x) = 2 12 x − 3 − 2 12 oftewel G( x) = 2 12 x − 5 12 . Op t = 0 is h = 40 − 5 × 0 2 = 40 , dus de rots waar Joop op staat is 40 meter hoog. 40 − 5t 2 = 0 5t 2 = 40 t2 = 8 t = 8 ≈ 2, 83 of t = − 8 ≈ −2, 83 Na ongeveer 2,83 seconden komt de steen op de grond.

©

No

or

e

3

Ui tg

11a

2

off

1

dh

c

y

16

x

–2

–4

20

1

3

–4 –3 –2 –1 O –1

y

ev

10a/b

er sb v


⁄ 152

1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 152


28-04-09 17:02

c/d h in m

er sb v


60

Cissy

40

Joop 20

1

0

2

3

4

5

ev

0

t in seconden

e

Met de formule h = 60 − 5t 2 kun je de hoogte van de steen van Cissy berekenen.

14a

b

c

Op een normale dag is de hoogste waterstand 200 cm. Bij springtij is dat 20% hoger en dan is de waterstand 200 + 0, 2 × 200 = 240 cm. Je moet de hoogste waterstand op een normale dag met de factor 1,2 vermenigvuldigen om die bij springtij te krijgen. De laagste waterstand bij springtij is 1, 2 × −200 = −240 cm.

d waterstand in cm

300 250 200 150

off

Ui tg

6-3 Vermenigvuldigen

100 50 0

2

4

8

6

10

12

14

–50 –100

16

18

20

22

24

tijd in uren

dh

–150 –200 –250 –300 y

15a/b

4

or

P'

3

–2

Q'

1

Q

–1 O –1

R'

1

2R 3

4

No

–3

2

P

5

6

7

x

S –2 S' –3

c d e f

Het punt R(2, 0) blijft op zijn plaats liggen. Het hellingsgetal wordt 2 keer zo groot. Het functievoorschrift van g is g ( x) = x − 2 . Het functievoorschrift van f met 2 vermenigvuldigen geeft F ( x) = 2( 12 x − 1) oftewel F ( x) = x − 2 en dat is het functievoorschrift van g.

©


1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 153

⁄ 153 28-04-09 17:02

16a

5

er sb v


y

a

4 3 2

c

1 –3

–2

–1 O –1

1

2

3

4

5

6

7

x

–2

ev

–3 –4

c

17a

b

c/d

d

Er wordt vermenigvuldigd met een negatief getal en een bergparabool wordt dan een dalparabool. Er wordt vermenigvuldigd met een getal dat tussen –1 en 1 in ligt en dan wordt de grafiek ingedrukt. Zie de tekening hierboven. Bij een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as blijven de snijpunten van de grafiek met de x-as op hun plaats.

Ui tg

b

Invullen van x = 2 en y = −1 geeft −1 = a × (2 − 2)2 + b oftewel −1 = a × 0 + b , dus b = −1 . Invullen van b = −1 , x = 0 en y = 1 geeft 1 = a × (0 − 2)2 − 1 oftewel 1 = 4 a − 1 , dus 4 a = 2 en a = 12 . 5

y

4 3

d

2 1 –2

–1 O –1

1

–2 –3 –4

e

3

4

g

5

6

7

x

c

Bij de grafiek van g hoort het functievoorschrift g ( x) = 12 ( x − 2)2 − 1 . Bij opdracht c hoort het functievoorschrift c( x) = 3( 12 ( x − 2)2 − 1) oftewel c( x) = 1 12 ( x − 2)2 − 3 . Bij opdracht d hoort het functievoorschrift d( x) = −2( 12 ( x − 2)2 − 1) oftewel d( x) = −( x − 2)2 + 2 .

©

No

or

2

dh

–3

off

⁄ 154

1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 154


28-04-09 17:02

b

19a

b

c

d e f

Bij de nieuwe grafiek hoort het functievoorschrift H ( x) = 2 x 3 . Ja, want invullen van x = −5 en y = −250 geeft −250 = 2 × (−5)3 oftewel −250 = 2 × −125 en dat klopt. Bij de nieuwe grafiek hoort het functievoorschrift K ( x) = kx 3 . Invullen van x = 3 en y = 162 geeft 162 = k × 33 oftewel 162 = 27k , dus k = 6 .

De lijnen q en s zijn ontstaan door lijn p ten opzichte van de x-as te vermenigvuldigen. Om lijn q te krijgen is lijn p met de factor 4 vermenigvuldigd. Om lijn s te krijgen is lijn p met de factor –2 vermenigvuldigd. Bij een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as blijven de snijpunten van de grafiek met de x-as op zijn plaats en dat is bij lijn r niet het geval. Om de x-as zelf te krijgen moet je lijn p met de factor 0 vermenigvuldigen. De verticale lijn door het punt (2, 0) kun je niet krijgen bij zo’n vermenigvuldiging. Als je een lijn die evenwijdig is aan de x-as met een factor vermenigvuldigt, dan krijg je wel een lijn die evenwijdig is met die lijn.

ev

18a

Ui tg

er sb v


6-4 Combineren

20a

b/c

Bij deze lijn hoort het functievoorschrift l( x) = − 23 x + 1 . y

5

n

4 3

l

2

–5

–4 –3

–2

–1 O –1

1

2

–2 –3

–5

d

e

5

x

Bij lijn m hoort het functievoorschrift m( x) = 3(− 23 x + 1) oftewel m( x) = −2 x + 3 . Bij lijn n hoort het functievoorschrift n( x) = −2 x + 3 − 2 oftewel n( x) = −2 x + 1 . Zie de tekening hierboven. Bij lijn k hoort het functievoorschrift k( x) = −2 x − 3 . Lijn l eerst 2 omlaag verschuiven geeft h( x) = − 23 x + 1 − 2 oftewel h( x) = − 23 x − 1 en daarna ten opzichte van de x-as met 3 vermenigvuldigen geeft k( x) = 3(− 23 x − 1) oftewel k( x) = −2 x − 3 .

©

No

or

f

k

4

dh

–4

3

off

m

1


1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 155

⁄ 155 28-04-09 17:02

21a/b

12

er sb v


y

10 8

c

6

f (x) = x

4 2 –1 O –2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

ev

–4 –6 –8

d

–10 –12

c

e

d

Ui tg

–14

Het functievoorschrift van de nieuwe grafiek is c( x) = 4 x − 3 . Zie de tekening hierboven. Het functievoorschrift van de nieuwe grafiek is d( x) = 4( x − 3) oftewel d( x) = 4 x − 12 . 16

y

14 12 10

6 4

g

2 –5

–4

–3

–2

–1 O –2

1

2

–8

3

4

5

x

dh

–4 –6

off

8

Het functievoorschrift van de nieuwe grafiek is c( x) = 4( 14 x + 3) − 3 oftewel c( x) = x + 12 − 3 , dus c( x) = x + 9 . Het functievoorschrift van de nieuwe grafiek bij het omdraaien van de volgorde is d( x) = 4( 14 x + 3 − 3) oftewel d( x) = x .

22a

b

De formule wordt Snieuw = 1, 1(20l + 1200) + 75 oftewel Snieuw = 22l + 1320 + 75 , dus Snieuw = 22l + 1395 . Je krijgt de formule Snieuw = 1, 1(20l + 1200 + 75) oftewel Snieuw = 1, 1(20l + 1275) , dus Snieuw = 22l + 1402, 5 .

23a

b

No

or

©

Een formule is V = 1, 19( I + 100) oftewel V = 1, 19 I + 119 . 250 = 1, 19 I + 119 1, 19 I = 131 I ≈ 110, 08 De inkoopprijs van dit artikel is ongeveer e 110,08.

⁄ 156

1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 156


28-04-09 17:02

b

c

25a

b

c

26a

b

ev

Invullen van x = 2 en y = −2 geeft −2 = a × 2 2 oftewel −2 = 4a , dus a = − 12 . Het functievoorschrift van g is van de vorm g ( x) = − 12 x 2 + p . Invullen van x = 4 en y = 0 geeft 0 = − 12 × 4 2 + p oftewel 0 = −8 + p , dus p = 8 . Het functievoorschrift van g is g ( x) = − 12 x 2 + 8 . Of: Invullen van x = 4 geeft f (4) = − 12 × 4 2 = −8 . Het punt (4, –8) ligt op de grafiek van f. Je moet dan 8 omhoog verschuiven om het punt (4, 0) te krijgen. Het functievoorschrift van g is g ( x) = − 12 x 2 + 8 . Het functievoorschrift van h is van de vorm h( x) = 2(− 12 x 2 + 8) oftewel h( x) = − x 2 + 16 . Invullen van x = 2 en y = 12 geeft 12 = −2 2 + 16 oftewel 12 = −4 + 16 en dat klopt. Of: Invullen van x = 2 geeft g(2) = − 12 × 2 2 + 8 = −2 + 8 = 6 . Het punt (2, 6) ligt op de grafiek van g. Ten opzichte van de x-as met 2 vermenigvuldigen geeft het punt (2, 12).

Ui tg

24a

Door ten opzichte van de x-as te vermenigvuldigen verandert het hellingsgetal –4 van f in het hellingsgetal 2 van h. Je moet met de factor − 12 vermenigvuldigen. De grafiek van f met de factor − 12 vermenigvuldigen geeft de grafiek van F ( x) = − 12 (−4 x + 2) oftewel F ( x) = 2 x − 1 . De grafiek wordt vervolgens 3 omlaag verschoven. Eerst verschuiven geeft de grafiek van G( x) = −4 x + 2 + p . Daarna met de factor − 12 vermenigvuldigen geeft de grafiek van K ( x) = − 12 (−4 x + 2 + p) oftewel K ( x) = 2 x − 1 − 12 p . Dat moet de grafiek van k opleveren, dus moet gelden −1 − 12 p = −4 oftewel 12 p = 3 , dus p = 6 . Je moet de grafiek van f dan eerst 6 omhoog verschuiven en daarna ten opzichte van de x-as met − 12 vermenigvuldigen.

dh

off

er sb v


©

No

or

Door de grafiek van f eerst ten opzichte van de x-as met 4 te vermenigvuldigen, krijg je de grafiek van F ( x) = 4 × 14 x 2 oftewel F ( x) = x 2 . Door deze grafiek daarna 2 omhoog te verschuiven krijg je de grafiek van g. Eerst verschuiven geeft de grafiek van G( x) = 14 x 2 + p . Daarna ten opzichte van de x-as met 4 te vermenigvuldigen geeft de grafiek van H ( x) = 4( 14 x 2 + p) oftewel H ( x) = x 2 + 4 p . Dat moet de grafiek van g opleveren, dus moet gelden 4 p = 2 , dus p = 12 . Je moet de grafiek van f dan eerst 12 omhoog verschuiven en daarna ten opzichte van de x-as met 4 vermenigvuldigen.


1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 157

⁄ 157 28-04-09 17:03

er sb v


6-5 Gemengde opdrachten

b

d

c

e f g h

28a

b

c

De oppervlakte is 15 × 30 = 450 m2. De huur voor het stuk grond is 4 × 450 + 50 = 1850 euro per jaar. De lengte is dan 2b. Voor de oppervlakte van het stuk grond geldt oppervlakte = lengte × breedte oftewel oppervlakte = 2b × b , dus oppervlakte = 2b2 . Een formule voor h is h = 4 × 2b2 + 50 oftewel h = 8b2 + 50 . Invullen van b = 15 geeft h = 8 × 152 + 50 = 1800 + 50 = 1850 en dat klopt. De jaarlijkse huur voor een stuk grond van 100 m2 is 4 × 100 + 50 = 450 euro per jaar. Het vast bedrag moet met 600 − 450 = 150 euro per jaar worden verhoogd. De factor is 600 : 450 = 1 13 . Hierbij hoort de formule h = 1 13 (8b2 + 50) oftewel h = 10 23 b2 + 66 23 .

ev

27a

Ui tg

Bij de nieuwe grafiek hoort het functievoorschrift g ( x) = 3(2 x + 3 + 2) oftewel g ( x) = 3(2 x + 5) , dus g ( x) = 6 x + 15 . De vermenigvuldiging blijft hetzelfde, dus met de factor 3. De grafiek van f met de factor 3 vermenigvuldigen geeft h( x) = 3(2 x + 3) oftewel h( x) = 6 x + 9 . Je moet de grafiek van h daarna 15 − 9 = 6 omhoog verschuiven. y 12

l

10 8

4

f

2 –5 –4 –3 –2 –1 O –2

1

2

–4

29a

b

c

d

x

Bij de tweede grafiek hoort het functievoorschrift l( x) = 2 x + 7 . De grafiek van f 4 omhoog verschuiven levert dezelfde grafiek op.

dh

Lijn l eerst ten opzichte van de x-as met een factor p vermenigvuldigen geeft een lijn met de formule y = p(3 + 12 x) . Deze lijn daarna q verschuiven geeft dat bij lijn m de formule y = p(3 + 12 x) + q hoort. Het hellingsgetal van lijn m is 4 − −1 = 25 = 2 12 . 2−0 Bij lijn m hoort de formule y = p(3 + 12 x) + q oftewel y = 3 p + 12 px + q . Het hellingsgetal van lijn m is 12 p = 2 12 , dus p = 5 .

Invullen van p = 5 , x = 0 en y = −1 geeft −1 = 5(3 + 12 × 0) + q oftewel −1 = 15 + q , dus q = −16 . Het hellingsgetal van lijn n is 0 − 3 = −33 = −1 . 3−0 Bij lijn n hoort de formule y = p(3 + 12 x) + q oftewel y = 3 p + 12 px + q . Het hellingsgetal van lijn n is 12 p = −1 , dus p = −2 . Invullen van p = −2 , x = 0 en y = 3 geeft 3 = −2(3 + 12 × 0) + q oftewel 3 = −6 + q , dus q=9.

©

e

5

or

d

4

No

3

off

6

⁄ 158

1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 158


28-04-09 17:03

c

31a

b

c

De omtrek van het voorwiel is π × 144 ≈ 452, 4 cm. Bij één trapbeweging wordt ongeveer 452,4 cm afgelegd. Na een halve omwenteling, dus na ongeveer 226,2 cm bereikt punt A zijn hoogste stand. Dat is 144 cm hoog. 200 150 100 50 0

e

g

f

ﬁ

I-1a

f

I-2a

b c d e

b

c

d e

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

1300

afstand in cm

1400

Roel vindt op deze manier de juiste maximale hoogte van 48 cm van punt B. Het hoogste punt van de grafiek wordt echter eerder bereikt dan bij 226,2 cm. De omtrek van het achterwiel is drie keer zo klein als de omtrek van het voorwiel. Het achterwiel draait drie keer rond als het voorwiel één keer rond draait. De periode van de hoogte van punt B is π × 144 : 3 ≈ 150, 8 cm. Zie de tekening hierboven.

ICT Vermenigvuldigen

Bij deze grafiek hoort de formule totaalbedrag = 35 × tijd + 20 . Ja, de totaalbedragen in tabel B zijn telkens de helft van die in tabel A. Bij tabel C hoort de formule totaalbedrag = 1, 10 × (35 × tijd + 20) oftewel totaalbedrag = 38, 5 × tijd + 22 . Ja, bij opdracht e is de juiste formule gevonden. Bij de lijn l die je op je scherm ziet hoort de formule y = 12 x − 1 . x

–2

y

–2

x

–2

y

–4

–1

0

1

2

3

4

–1,5

–1

–0,5

0

0,5

1

–1

0

1

2

3

4

–3

–2

–1

0

1

2

Alle y-waarden zijn 2 keer zo groot.

x

–2

–1

0

1

2

3

4

y

6

4,5

3

1,5

0

–1,5

–3

In de eerste tabel is de y-waarde bij x = 1 gelijk aan –0,5. Deze y-waarde moet 5 worden, dus je moet met –10 vermenigvuldigen. Je moet a de waarde –10 geven zodat de grafiek door het punt (1, 5) gaat.

©

100

dh

d

0

No

ev

Ui tg

b

off

Het nieuwe functievoorschrift wordt g ( x) = − 12 ( x 2 − 2 x − 1) + 2 12 oftewel g ( x) = − 12 x 2 + x + 12 + 2 12 , dus g ( x) = − 12 x 2 + x + 3 . Het nieuwe functievoorschrift wordt h( x) = − 12 ( x 2 − 2 x − 1 + 2 12 ) oftewel h( x) = − 12 ( x 2 − 2 x + 1 12 ) , dus h( x) = − 12 x 2 + x − 43 . Door van de functie uit opdracht a 3 43 af te trekken krijg je de functie uit opdracht b. Je hoeft niet te vermenigvuldigen, of met de factor 1 vermenigvuldigen.

or

30a

hoogte in cm

er sb v



1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 159

⁄ 159 28-04-09 17:03

I-4a

c

I-5a

b

c

I-6a

b

I-7a

c

d

b

d e

b

e

Invullen van x = 2 en y = −1 geeft −1 = a × (2 − 2)2 + b oftewel −1 = a × 0 + b , dus b = −1 . Invullen van b = −1 , x = 0 en y = 1 geeft 1 = a × (0 − 2)2 − 1 oftewel 1 = 4 a − 1 , dus 4 a = 2 en a = 12 . Bij de grafiek van g hoort het functievoorschrift g ( x) = 12 ( x − 2)2 − 1 . Bij opdracht c hoort het functievoorschrift c( x) = 3( 12 ( x − 2)2 − 1) oftewel c( x) = 1 12 ( x − 2)2 − 3 . Bij opdracht d hoort het functievoorschrift d( x) = −2( 12 ( x − 2)2 − 1) oftewel d( x) = −( x − 2)2 + 2 . Bij de nieuwe grafiek hoort het functievoorschrift H ( x) = 2 x 3 . Ja, want invullen van x = −5 en y = −250 geeft −250 = 2 × (−5)3 oftewel −250 = 2 × −125 en dat klopt. Bij de nieuwe grafiek hoort het functievoorschrift K ( x) = kx 3 . Invullen van x = 3 en y = 162 geeft 162 = k × 33 oftewel 162 = 27k , dus k = 6 . De lijnen q en s zijn ontstaan door lijn p ten opzichte van de x-as te vermenigvuldigen. Om lijn q te krijgen is lijn p met de factor 4 vermenigvuldigd. Om lijn s te krijgen is lijn p met de factor –2 vermenigvuldigd. Bij een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as blijven de snijpunten van de grafiek met de x-as op zijn plaats en dat is bij lijn r niet het geval. Om de x-as zelf te krijgen moet je lijn p met de factor 0 vermenigvuldigen. De verticale lijn door het punt (2, 0) kun je niet krijgen bij zo’n vermenigvuldiging. Als je een lijn die evenwijdig is aan de x-as met een factor vermenigvuldigt, dan krijg je wel een lijn die evenwijdig is met die lijn.

©

No

f

Je moet de grafiek met de factor 1,5 vermenigvuldigen. Er wordt vermenigvuldigd met een negatief getal en een bergparabool wordt dan een dalparabool. Er wordt vermenigvuldigd met een getal dat tussen –1 en 1 in ligt en dan wordt de grafiek ingedrukt. Bij deze vermenigvuldiging blijven de snijpunten van de grafiek met de x-as op hun plaats.

ev

c

Ui tg

b

off

Op een normale dag is de hoogste waterstand 200 cm. Bij springtij is dat 20% hoger en dan is de waterstand 200 + 0, 2 × 200 = 240 cm. De laagste waterstand bij springtij is 1, 2 × −200 = −240 cm. Voor de parameter a moet je het getal 1,2 invullen.

dh

I-3a

or

er sb v


⁄ 160

1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 160


28-04-09 17:03

er sb v


Test jezelf

c d e f/g

hoeveelheid lucht in liters

4

3

amplitude periode

2

1

0 23

T-2a

b

c

ev

24

25

26

27

28

Ui tg

b

tijd in seconden

29

Je moet de grafiek van de functie g 4 omhoog verschuiven om deze de grafiek van de functie h te laten worden. Het functievoorschrift van de nieuwe grafiek wordt F ( x) = −2( x + 4) + 3 oftewel F ( x) = −2 x − 8 + 3 , dus F ( x) = −2 x − 5 . De functie f kun je schrijven als f ( x) = −2 x − 8 . Je moet de grafiek van de functie f 28 omhoog verschuiven om deze over te laten gaan in de grafiek van de functie h.

T-3a

4

off

Na 0 seconden begint deze persoon in te ademen, want de hoeveelheid lucht in de longen wordt daarna groter. Bij één keer in- en uitademen wordt 1 liter lucht ververst, want de hoeveelheid lucht gaat van 2,5 liter naar 3,5 liter. Bij deze persoon bevindt zich altijd nog 2,5 liter lucht in de longen. De periode van zijn ademhaling is 3 seconden. Gemiddeld zit er 3 liter lucht in de longen van deze persoon. De grafiek vanaf de 23e seconde tot de 29e seconde is gelijk aan de grafiek vanaf de 23 − 7 × 3 = 2 e seconde tot de 29 − 7 × 3 = 8 e seconde.

y

3

f

2 1 –3

–2

–1 O –1

dh

T-1a

1

3

4

5

6

7

x

or

–2

2

–3 –4

c

Bij de grafiek hoort het functievoorschrift g ( x) = − 12 (− x 2 + 4 x − 2) oftewel g ( x) = 12 x 2 − 2 x + 1 . Het functievoorschrift van h is van de vorm h( x) = a(− x 2 + 4 x − 2) . Invullen van x = 4 en y = −6 geeft −6 = a(−4 2 + 4 × 4 − 2) oftewel −6 = a(−16 + 16 − 2) , dus −6 = −2a en a = 3 . Het functievoorschrift van h is h( x) = 3(− x 2 + 4 x − 2) of h( x) = −3 x 2 + 12 x − 6 .

No

b

©


1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 161

⁄ 161 28-04-09 17:03

T-4a/b

6

er sb v


y

g

5 4 3 2 1 –4

–3

–2

–1 O –1

1

2

3

4

5

6

x

–3

ev

–2

f

–4 –5 –6

d

e

f

Bij lijn g hoort het functievoorschrift g ( x) = 12 x + 1 . − 18 x 2 + 12 x = 0 − 18 x( x − 4) = 0 − 18 x = 0 of x − 4 = 0 x = 0 of x = 4 De symmetrieas ligt bij x = 2 . Invullen van x = 2 geeft g(2) = − 18 × 2 2 + 12 × 2 = − 12 + 1 = 12 . De coördinaten van de top van de parabool zijn (2, 12 ) .

©

No

or

T-5a b

Het functievoorschrift van g is g ( x) = 1 12 (2 x − 5 + 4) oftewel g ( x) = 1 12 (2 x − 1) , dus g ( x) = 3 x − 1 12 . Het functievoorschrift van h is h( x) = 1 12 (2 x − 5) + 4 oftewel h( x) = 3 x − 7 12 + 4 , dus h( x) = 3 x − 3 12 . Het hellingsgetal van de functie f is 2 en het hellingsgetal van de functie j is 1, dus er is met de factor 12 vermenigvuldigd. Door de grafiek van de functie f met 12 te vermenigvuldigen ontstaat de grafiek van de functie F ( x) = 12 (2 x − 5) oftewel F ( x) = x − 2 12 . De grafiek is vervolgens 3 12 omhoog verschoven. Je moet weer met de factor 12 vermenigvuldigen. Door de volgorde om te draaien ontstaat de grafiek van de functie J ( x) = 12 (2 x − 5 + p) oftewel J ( x) = x − 2 12 + 12 p . Er moet gelden −2 12 + 12 p = 1 oftewel 12 p = 3 12 , dus p = 7 . Je moet de grafiek van f dan eerst 7 omhoog verschuiven en daarna ten opzichte van de x-as met 12 vermenigvuldigen.

off

c

dh

Ui tg

–7

⁄ 162

1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 162


28-04-09 17:04

c

4

y

g

3 2

h

1 –3

–2

er sb v


–1 O –1

1

2

3

4

–2

5

6

7

x

f

–3

ev

–4 –5

d

f

e

T-6a b

c

De grafiek is 3 omhoog verschoven. Invullen van x = 0 in het functievoorschrift van f geeft f (0) = 0 2 + 4 × 0 − 1 = −1 . Invullen van x = 0 in het functievoorschrift van g geeft g (0) = 0 2 + 4 × 0 + c = c . Er is 3 omhoog verschoven, dus c = −1 + 3 = 2 . Door de grafiek van f eerst ten opzichte van de x-as met –2 te vermenigvuldigen en dan te verschuiven ontstaat de grafiek van de functie h( x) = −2( x 2 + 4 x − 1) + p oftewel h( x) = −2 x 2 − 8 x + 2 + p . Invullen van x = 1 en y = 2 geeft 2 = −2 × 12 − 8 × 1 + 2 + p oftewel 2 = −2 − 8 + 2 + p , dus 2 = −8 + p en p = 10 . De grafiek is 10 omhoog verschoven.

©

No

or

dh

off

Bij deze nieuwe parabool hoort het functievoorschrift h( x) = − 18 x 2 + 12 x + 2 . Het functievoorschrift dat bij de nieuwe lijn hoort is k( x) = 12 x + 1 − 6 oftewel k( x) = 12 x − 5 . Invullen van x = 2 in het functievoorschrift van lijn g geeft g(2) = 12 × 2 + 1 = 2 . De parabool wordt 2 − 12 = 1 12 omhoog verschoven. Het functievoorschrift dat bij deze nieuwe parabool hoort is l( x) = − 18 x 2 + 12 x + 1 12 .

Ui tg


1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 163

⁄ 163 28-04-09 17:04

Noordhoff Uitgevers bv

Recommend Documents