Noordhoff Uitgevers bv

er sb v

Hoofdstuk 4 - De stelling van Pythagoras

Hoofdstuk 4 - De stelling van Pythagoras Voorkennis

b

c

V-3a

b

c

d

V-4a

b

c

V-5a b

c

d

e

f

V-6

De lengte van zijde DG is 64 = 8 cm en de lengte van zijde EB is 9 = 3 cm. De oppervlakte van rechthoek AEJH is 8 3 3 = 24 cm2. Zijde AB is 8 + 3 = 11 cm. De oppervlakte van vierkant ABCD is oppervlakte AEJH plus oppervlakte EBFJ plus oppervlakte HJGD plus oppervlakte JFCG is 24 + 9 + 24 + 64 = 121 cm2. Of: De oppervlakte van vierkant ABCD is 11 3 11 = 121 cm2. 37 ≈ 6, 08 , 54 ≈ 7, 35 , 121 = 11 , 484 = 22 , 90, 25 = 9, 5 en Van opdracht a komen 121 , 484 en 90, 25 precies uit. -

13, 5 ≈ 3, 67

( 7 )2 = 7 × 7 = 49 = 7 ( 13 )2 = 13 × 13 = 169 = 13 ( 24 )2 = 24 × 24 = 576 = 24 ( 76 )2 = 76 × 76 = 5776 = 76 (5 7 )2 = 5 7 × 5 7 = 5 × 5 × 7 × 7 = 25 × 49 = 25 × 7 = 175 ( 12 26 )2 = 12 26 × 12 26 = 12 × 12 × 26 × 26 = 14 × 676 = 14 × 26 = 6 12 De oppervlakte van de rechthoek om figuur 1 is 6 3 6 = 36 roostervierkantjes. De oppervlakte van ieder van de vier driehoeken is 5 3 1 : 2 = 2,5 roostervierkantjes. De oppervlakte van figuur 1 is 36 – 4 3 2,5 = 26 roostervierkantjes. De oppervlakte van de rechthoek om figuur 2 is 5 3 6 = 30 roostervierkantjes. De oppervlakte van ieder van de twee driehoeken is 5 3 2 : 2 = 5 roostervierkantjes. De oppervlakte van figuur 2 is 30 – 2 3 5 = 20 roostervierkantjes.

©

No

or

De oppervlakte van het linker vierkant is 5 3 5 = 25 cm2. De oppervlakte van het rechter vierkant is 4 3 5 3 5 : 2 = 50 cm2. De lengte van de zijden van het rechter vierkant zijn 50 ≈ 7, 07 cm.

ev

V-2a

Driehoek 1 is een rechthoekige driehoek. Driehoek 2 is een gelijkbenige driehoek. De oppervlakte van driehoek 1 is 7 3 11 : 2 = 38,5 cm2. De oppervlakte van driehoek 2 is 8 3 7,5 : 2 = 30 cm2. De oppervlakte van driehoek 3 is 14 3 12 : 2 = 84 cm2.

Ui tg

b

off

dh

V-1a

⁄ 70

Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo

0pm_MW9_VWO_2A-Uitw.indd 70

© Noordhoff Uitgevers bv

11-04-2008 11:30:29

V-7a

5

er sb v


C

4 3 2 1 –2

D

–1 O –1

B

S 1

2

3

4

5

6

7

–2 –3

b

c

d

e

f

De oppervlakte van het vierkant om vierkant ABCD is 7 3 7 = 49 roostervierkantjes. De oppervlakte van ieder van de vier driehoeken is 3 3 4 : 2 = 6 roostervierkantjes. De oppervlakte van vierkant ABCD is 49 – 4 3 6 = 25 roostervierkantjes. De coördinaten van punt S zijn (2 12 , 12 ). De oppervlakte van driehoek ABS is 25 : 4 = 6,25 roostervierkantjes. Van twee driehoekjes zoals ABS kun je een vierkant maken. De oppervlakte van dat vierkant is 2 3 6,25 = 12,5 roostervierkantjes. De zijden van dat vierkant zijn dan 12, 5 lang. Diagonaal AC is 2 × 12, 5 lang.

V-8a

off

C

A

c

7 cm

B

/A = 44°, /B = 57° en /C = 79°

or

b

5 cm

dh

6 cm

Ui tg

ev

A

–4

M

10 cm

d

e

8 cm

L

/K = 14°, /L = 124° en /M = 42° Ja, nKLM heeft een stompe hoek namelijk /L.

©

No

K

3 cm




⁄ 71 11-04-2008 11:30:31

er sb v


4-1 De stelling van Pythagoras

c

2a

b

c

d

e

3a

b

c

d

4a

b

c

5a

b

c

De rechthoekszijden van nABC zijn AB en AC. De oppervlakte van vierkant ACGF is 3 3 3 = 9 roostervierkantjes. De oppervlakte van vierkant ADEB is 4 3 4 = 16 roostervierkantjes. De oppervlakte van vierkant BHIC is 7 3 7 – 4 3 3 3 4 : 2 = 49 – 24 = 25 roostervierkantjes. De oppervlakte van vierkant ACGF plus de oppervlakte van vierkant ADEB is 9 + 16 = 25 roostervierkantjes. Dat is hetzelfde als de oppervlakte van vierkant BHIC. De lengte van zijde BC is 25 = 5 .

ev

PQ = 5 cm, PR = 2,5 cm en QR = 5,6 cm. Zijde QR is de langste zijde. De langste zijde is altijd de zijde tegenover de rechte hoek.

Ui tg

b

De oppervlakte van het paarse deel is gelijk aan de oppervlakte van het blauwe deel. De oppervlakte van het grote paarse vierkant met zijde a cm is a2 cm2. De oppervlakte van het kleine paarse vierkant met zijde b cm is b2 cm2. De twee paarse vierkanten hebben samen een oppervlakte van a2 + b2 cm2 en zijn gelijk aan de oppervlakte van het blauwe vierkant die c2 cm2 is. c2 = 242 + 102 = 576 + 100 = 676 c = 676 = 26 De oppervlakten van de vierkanten op de rechthoekszijden zijn 8 3 8 = 64 cm2 en 15 3 15 = 225 cm2. De oppervlakte van het vierkant op de langste zijde is 64 + 225 = 289 cm2. De lengte van de langste zijde is 289 = 17 cm.

off

1a

Je moet de lengten van de rechthoekszijden kwadrateren om de oppervlakte van het bijbehorende vierkant te berekenen. De oppervlakten van de twee bovenste vierkanten op de rechthoekszijden zijn samen even groot als de oppervlakte van het onderste vierkant op de langste zijde.

dh

lengte van

oppervlakte van

de zijde

het vierkant

8 17

64

or

15

225 +

289

Ja, je krijgt dezelfde lengte voor de langste zijde als bij opdracht 4c.

lengte van

oppervlakte van

No

6a

de zijde 16

het vierkant

256

1156

30 34

De lengte van de langste zijde is 34.

©

⁄ 72

900 +




11-04-2008 11:30:32

lengte van

oppervlakte van

de zijde

het vierkant

18

324

24

576 +

30

900


lengte van

c

oppervlakte van

de zijde

het vierkant

15

225

1521

36

1296 +

39


4-2 Een zijde berekenen

7a

I

G

b

7 cm

zijde

49

65

GI = 4

e

8a

dh

d

Zijde HI = 65 cm. De lengte van zijde HI is Ja, het klopt. M

65 ≈ 8, 06 cm en dat is ongeveer 81 mm.

or

c

16 + 65

No

H

kwadraat

GH = 7 HI =

off

4 cm

ev

b

Ui tg

er sb v


25 cm

©

K

b

15 cm

L

De langste zijde is LM en de langste zijde staat altijd onderaan in het schema. Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo



⁄ 73 11-04-2008 11:30:33

c

zijde

kwadraat

KL = 15

225

625

400 +

KM = ... LM = 25

d

9a

400 = 20 cm.

De lengte van zijde KM is C

ev

er sb v


6 cm

B

6 cm

zijde

kwadraat

AB = 6

36 36 +

BC = 6

AC = ...

AC =

b

72

72

F

D

off

30

E

20

zijde

kwadraat

DE = 20

400

500 +

DF = ...

500

DF =

c

or

I

180

G

No

kwadraat

GH = 12 GI =

⁄ 74

144 180 + 324

324 = 18

©

HI =

180

HI = ...

H

12

zijde

900

dh

EF = 30

Ui tg

A




11-04-2008 11:30:36

d

er sb v


M

13

KL =

kwadraat

12

12 157 +

KM = ...

LM = 13

e

ev

L

12

169

157

KM = R

Q

8

Ui tg

K

zijde

85

P

zijde

kwadraat

QR = 8

64 21 +

PR = ... PQ =

PR =

zijde

10a

85

85

21 kwadraat

off

AD = 4

16

33 +

CD = ...

AC = 7

49

b

c

zijde CD =

kwadraat

33

97

BC =

33

64 +

BD = ...

dh

CD = 33 Arnold doet het goed. Er geldt weliswaar 33 ≈ 5, 7 , maar als je met dat afgeronde getal verder rekent, dan kan het eindantwoord fors afwijken van het exacte antwoord.

97

De lengte van lijnstuk BD is

zijde

11a

kwadraat

AB = 5

AC = ...

AC =

9+

34

34 cm

AC =

zijde

kwadraat

34

34

39

5+

CD = ...

AD =

Er geldt

39

© b

25

No

BC = 3

64 = 8 .

or

De lengte van zijde CD is

5 cm.

5 ≈ 2, 236 , dus de lengte van zijde CD is ongeveer 22 mm.




⁄ 75 11-04-2008 11:30:40

b

De rechthoekszijden van nABC zijn AC = 4 en BC = 7. zijde

kwadraat

AC = 4

16

65

49 +

BC = 7

AB = ...

65 .

De lengte van lijnstuk AB is

c

zijde

kwadraat

4

16

20

4+

2

DE = ...

DE =

kwadraat

5

25

34

9+

3 FG = ...

34

FG =

13a

20

zijde

ev

12a

5

R

4

Ui tg

er sb v


3

1

P

O

b

2

3

4

5

zijde

PR = ...

10

zijde

4+

20

In nPQR geldt niet dat /R = 90°, dus de driehoek is niet rechthoekig. zijde 5

kwadraat

1

PQ = ...

©

De lengte van zijde PQ is

⁄ 76

20

No

d

16

QR = ...

QR =

10

or

2

c

9

kwadraat

4

8

1+

1

PR =

7

kwadraat

3

6

dh

1

off

Q

2

25 1+ 26

26 .




11-04-2008 11:30:42

14

Een schetsje laat direct zien dat zijde KL of zijde LM het langst is. zijde

kwadraat

49

2 401

14 065

11 664 +

108 KL = ...

KL =

14 065

zijde

kwadraat

72

5 184 8 836 +

94

ev

LM = ...

er sb v


14 020

Ui tg

LM = 14 020 , dus zijde KL is het langst. Een schetsje laat ook direct zien dat zijde MN of zijde KN het kortst is. Bij zijde MN kun je een rechthoekige driehoek maken met rechthoekszijden 9 en 66 en bij zijde KN kun je een rechthoekige driehoek maken met rechthoekszijden 5 en 55. Van die laatste driehoek zijn beide rechthoekszijden kleiner dan bij de eerste driehoek, dus is zijde KN het kortst.

4-3 De stelling toepassen

15a

off

6,5 m

1,6 m

b

zijde

kwadraat

1,6

2,56

dh

39,69 +

...

6,5

c

De gevraagde hoogte is

16

42,25

39, 69 ≈ 6, 3 meter.

or

No

?

18 cm

25 cm

zijde 25

kwadraat

625

949

324 +

©

18

...

De lengte van de diagonaal van haar beeldscherm is Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo


949 ≈ 30, 8 cm. © Noordhoff Uitgevers bv

⁄ 77 11-04-2008 11:30:44

17a

98 m

28 m

?

zijde 28

kwadraat

784

10 388

9 604 +

98

b

18a

ev

...

Jaap heeft 10 388 ≈ 102 meter zwemmend afgelegd. De breedte van de rivier is 28 meter en het water heeft hem 98 meter meegevoerd. Beide getallen zijn al afgerond op helen en dan kan het eindantwoord natuurlijk niet in vier decimalen nauwkeurig zijn. zijde

kwadraat

4

16 49 +

7 ...

b

65

Ui tg

er sb v


De straal van de cirkel is 65 : 2 ≈ 4, 0 cm. De diagonaal van het vierkant is 2 3 4 = 8 cm. Het kwadraat daarvan moet gelijk over de beide zijden van het vierkant verdeeld worden. zijde

32

off

...

kwadraat 32 +

...

8

64

19a

De trap bestaat uit vier stukken die ieder 3,20 : 4 = 0,80 meter of 80 cm lang zijn. In stand 1 zijn beide schuine stukken van de trap 2 3 0,80 = 1,60 meter of 160 cm lang. In stand 1 is de helft van de breedte van de trap 1,50 : 2 = 0,75 meter of 75 cm. zijde

160

25 600

In stand 1 is de trap 19 975 ≈ 141 cm hoog. Links en rechts zit een driehoek waarvan de langste zijde 0,80 meter of 80 cm is. De horizontale zijde van die driehoek is (2,40 – 2 3 0,80) : 2 = 0,40 meter of 40 cm. zijde 40

kwadraat

1600

6400

...

80

©

In stand 2 is de trap

⁄ 78

5 625

19 975 +

No

b

kwadraat

or

75 ...

dh

De zijden van het vierkant zijn 32 cm. De omtrek van het vierkant is 4 × 32 ≈ 22, 6 cm.

4800 +

4800 ≈ 69 cm hoog.




11-04-2008 11:30:46

20a

zijde

kwadraat

AD = 0,9

0,81

0,97

0,16 +

AE = 0,4

DE = ...

Staaf DE is

b

c

21a

0, 97 ≈ 0, 98 meter of 98 cm lang.

De totale lengte van de metalen staven is 2 3 0,9 + 2 3 0, 97 + 0,8 < 4,57 meter of 457 cm. In totaal is 2 3 0,9 3 0,4 : 2 + 0,8 3 0, 97 < 1,15 m2 kunststof nodig.

ev

P

b

zijde 100

kwadraat

10 000

72 500

62 500 +

250

PQ = ...

Ui tg

Q

er sb v


c

off

De afstand PQ is 72 500 ≈ 269, 3 cm. Het touw moet minstens 270 cm lang zijn, want 269 cm is net iets te kort. zijde 70

kwadraat

4 900

72 500 +

72 500

...

Er geldt

77 400

77 400 ≈ 278, 2 cm, dus dat touw moet minstens 279 cm lang zijn.

dh

4-4 Pythagoras in de ruimte 22a

zijde 50 120

kwadraat

or

2 500

14 400 +

...

De lengte van het tussenschot is

b

16 900

No

16 900 = 130 cm.

40 cm

©

130 cm




⁄ 79 11-04-2008 11:30:48

23a

zijde

kwadraat

AB = 6

36

52

16 +

BC = 4

AC = ...

AC =

b/c

52 cm G

E

A

d

AC =

C

52 ≈ 7,2 cm

zijde

kwadraat 52

52

77

25 +

CG = 5 AG = ...

24a

De lichaamsdiagonaal AG ligt bijvoorbeeld in vlak ACGE. zijde

kwadraat

AB = 8

64

89

25 +

AC = ...

89 dm

AC = zijde AC =

kwadraat

89

89

9+

CG = 3

98

or

AG = ...

b

dh

BC = 5

De lengte van lichaamsdiagonaal AG is 98 dm. De lichaamsdiagonaal BH ligt bijvoorbeeld in vlak DBFH. kwadraat

No

zijde

AB = 8

AD = 5

BD = ...

zijde

BD =

25 + 89

kwadraat

89

© BH = ...

89 9+

HD = 3

⁄ 80

64

89 dm

BD =

77 cm.

off

De lengte van lichaamsdiagonaal AG is

Ui tg

5 cm

ev

er sb v


98

De lengte van lichaamsdiagonaal BH is Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo


98 dm. © Noordhoff Uitgevers bv

11-04-2008 11:30:51

d

Beide lichaamsdiagonalen zijn even lang. Lijnstuk CP ligt in vlak ACGE. Je hebt al berekend dat AC = zijde AC =

kwadraat 89

89

91,25

2,25 +

AP = 1,5 CP = ...

De lengte van lijnstuk CP is

25

zijde

91, 25 dm.

kwadraat

80

6400 1600 +

40

89 dm.

...

8000

De diagonaal van het grondvlak is zijde

8000 cm.

kwadraat

8000

8 000

10 500

2 500 +

50 ...

ev

c

Ui tg

er sb v


De lichaamsdiagonaal is 10 500 ≈ 102 cm. Van de buis steekt ongeveer 105 – 102 = 3 cm uit de kist. 26a

De lichaamsdiagonaal BH ligt bijvoorbeeld in vlak DBFH. zijde

kwadraat

off

AB = 18

324

36 +

AD = 6

BD = ...

360 dm

BD =

kwadraat

360

dh

zijde BD =

360

360

9+

DH = 3

BH = ...

369

De lengte van lichaamsdiagonaal BH is b

zijde BP = 12

144

9+

BQ = 3

PQ = ...

153

c

No

De lengte van lijnstuk PQ is

369 dm.

kwadraat

or

153 dm.

Neem S voor het midden van CD en T voor het midden van AB. zijde

kwadraat

TS = 6 PT = 3

PS = ...

9+ 45

45 dm

©

PS =

36




⁄ 81 11-04-2008 11:30:54

zijde

kwadraat

PS =

45

45

54

9+

RS = 3 PR = ...

De lengte van lijnstuk PR is zijde

54 dm.

kwadraat

CQ = 3

9

18

GQ = ...

18 dm.

GQ = zijde

kwadraat

GQ =

81

99

18 +

18

QR = ...

De lengte van lijnstuk QR is

99 dm.

27a

b

Driehoek TPR is een gelijkbenige driehoek. Driehoek TSR is een rechthoekige driehoek.

c

zijde

kwadraat

CR = 3

9 55 +

RT = ...

d

64

De lengte van lijnstuk RT is

55 cm.

zijde

off

CT = 8

kwadraat

RS = 3

9

46 +

ST = ...

Ui tg

GR = 9

ev

9+

CG = 3

er sb v


RT =

55

55

46 cm.

dh

De lengte van lijnstuk ST is

4-5 Recht, scherp of stomp? 28a

zijde AB = 7 AC = 4

kwadraat

49

or

16 +

BC = 8

b

c

Nee, de optelling van de kwadraten klopt niet, want 49 + 16 = 65 en geen 64. Nee, nABC is geen rechthoekige driehoek, want de optelling van de kwadraten klopt niet.

64

©

No

⁄ 82




11-04-2008 11:30:56

er sb v


C

29a

34

30

? B

16

zijde

kwadraat

AB = 16

256

1156

900 +

BC = 30

ev

A

AC = 34

De optelling van de kwadraten klopt, dus nABC is een rechthoekige driehoek. b

F ?

23

3

D

E

6

zijde DF =

c

kwadraat

23

23 9+

EF = 3

DE = 6

36

De optelling van de kwadraten klopt niet want 23 + 9 = 32 en geen 36, dus nDEF is geen rechthoekige driehoek. M

off

600

2 ?

24

K

L

zijde

kwadraat

KL = 24

600

dh

LM =

576

4+

KM = 2

Ui tg

600

De optelling van de kwadraten klopt niet want 576 + 4 = 580 en geen 600, dus nKLM is geen rechthoekige driehoek. X

d

or

4

No

13

V

5

W

zijde

VW =

5

13

VX = 4

5 13 + 16

De optelling van de kwadraten klopt niet want 5 + 13 = 18 en geen 16, dus nVWX is geen rechthoekige driehoek.

©

WX =

kwadraat




⁄ 83 11-04-2008 11:30:58

zijde PQ = 40

kwadraat

1600

2500

900 +

PR = 30

b

c

d

e

f

g

31a

QR = ...

Als de lengte van zijde QR gelijk is aan 2500 = 50 cm, dan is /P een rechte hoek. Als zijde QR langer is dan 50 cm, dan is /P een stompe hoek. Als zijde QR korter is dan 50 cm, dan is /P een scherpe hoek. Als /P scherp is, dan is de lengte van zijde QR kleiner dan 50 cm. Als /P stomp is, dan is de lengte van zijde QR groter dan 50 cm. De grootst mogelijke lengte van zijde QR is 40 + 30 = 70 cm. De kleinst mogelijke lengte van zijde QR is 40 – 30 = 10 cm. zijde KL = 11

ev

30a

kwadraat

121 25 +

KM = 5

Ui tg

er sb v


LM = 12

b

c

d

De optelling van de kwadraten klopt niet want 121 + 25 = 146 en geen 144, dus nKLM is geen rechthoekige driehoek en /K is niet recht. De langste zijde is te kort voor een rechthoekige driehoek. /K is kleiner dan 90°. nKLM is een scherphoekige driehoek.

32a

zijde

kwadraat

36

64

off

AC = 6

144

25 +

BC = 5

b

c

d

e

f

De optelling van de kwadraten klopt niet want 36 + 25 = 61 en geen 64, dus nABC is geen rechthoekige driehoek en /C is geen rechte hoek. De lengte van zijde AB wordt dan 61 ≈ 7, 8 . In de getekende driehoek is zijde AB te lang. In de getekende driehoek is a 2 + b2 < c 2 . nABC is een stomphoekige driehoek. Als a 2 + b2 = c 2 , dan is /C recht en is nABC een rechthoekige driehoek. Als a 2 + b2 > c 2 , dan is /C scherp en is nABC een scherphoekige driehoek. Als a 2 + b2 < c 2 , dan is /C stomp en is nABC een stomphoekige driehoek.

©

No

or

AB = 8

dh

⁄ 84




11-04-2008 11:31:0

33

zijde

kwadraat

AC = 8

64

169

100 +

AB = 10

er sb v


BC = 13

Er geldt dat 64 + 100 < 169, dus nABC is stomphoekig. zijde

kwadraat 67

67

144

81 +

LM = 9 KL = 12

Er geldt dat 67 + 81 > 144, dus nKLM is scherphoekig. zijde

kwadraat

PR =

24

QR =

168

144

168

24 +

Ui tg

PQ = 12

ev

KM =

Er geldt dat 144 + 24 = 168, dus nPQR is rechthoekig.

4-6 Gemengde opdrachten

34

zijde 50

kwadraat

2500 2500 +

50

...

5000

zijde 5000

kwadraat

5000

5156,25

156,25 +

dh

12,5 ...

off

De diagonaal van het plein is 5000 meter. Het hoogteverschil tussen de gebouwen is 20 – 7,5 = 12,5 meter.

Er geldt 5156, 25 ≈ 71, 807 , dus als de staalkabel 71,8 meter lang is, dan is de staalkabel net iets te kort. De staalkabel moet minstens 72 meter lang zijn.

Het hoogteverschil tussen de masten is 16 – 9,5 = 6,5 meter.

35

10 6,5 ...

kwadraat

or

zijde

100

42,25 +

142,25

©

No

De lengte van de vlaggenlijn is



142, 25 ≈ 11, 93 meter.


⁄ 85 11-04-2008 11:31:2

36a

zijde

kwadraat

12

144

225

81 +

9

...

225 = 15 cm.

De diagonaal van het grondvlak is zijde

kwadraat

15

225

250

25 +

5 ...

250 cm.

ev

er sb v


De lengte van de lichaamsdiagonaal is

Invullen van d = 250 geeft d 2 = 250 en invullen van l = 12, b = 9 en h = 5 geeft l 2 + b2 + h2 = 12 2 + 9 2 + 52 = 144 + 81 + 25 = 250 , dus het antwoord klopt.

b

zijde

kwadraat l2

l

b2 +

b

...

l2 + b2

De diagonaal van het grondvlak is zijde 2

l +b

l 2 + b2 .

kwadraat l2 + b2

2

h2 +

h

d2

d

Ui tg

De optelling geeft d2 = l2 + b2 + h2.

Neem x voor de lengte van het linker dakschot. De lengte van het rechter dakschot is dan 2x. zijde

kwadraat x2

x

4x2 +

2x 8

dh

37

off

64

38a

or

Dit geef 5 x 2 = 64 , dus x 2 = 12, 8 en x = 12, 8 ≈ 3, 58 . De lengte van het linker dakschot is ongeveer 3,58 meter en de lengte van het rechter dakschot is ongeveer 7,16 meter.

zijde

kwadraat

AB = 4

BE = ...

No

16

36 +

AE = 6

BE =

52

52 meter

zijde

AB = 4

kwadraat

BC = 3

AC = ...

16 9+ 25

©

AC = 5 meter

⁄ 86




11-04-2008 11:31:5

zijde

kwadraat

AC = 5

25

61

36 +

AE = 6 CE = ...

61 meter

CE = zijde

kwadraat

AD = 3

9 36 +

AE = 6

b

45

DE = 45 meter De lengte van de drie kabels BE, CE en DE samen is Roos had aan 21 meter niet voldoende. Neem M voor het midden van het dak. Dan is AM de helft van AC, dus AM is 2,5 meter. zijde

kwadraat

AE = 6

36 6,25 +

AM = 2,5

EM = ...

42,25

De afstand van punt E naar het midden van het dak is

39a

b

zijde

kwadraat

1

1

zijde

2

1

2+

2

De langste zijde in de tweede driehoek is 3 cm. De langste zijde in de derde driehoek is 4 cm, de langste zijde in de vierde driehoek is 5 cm, enzovoort. De zijde waar een vraagteken bij staat is de langste zijde in de veertiende driehoek en die is 15 cm.

Van punt A naar punt B moet je 13 – 6 = 7 naar rechts en 5 – 5 = 0 naar boven. zijde

kwadraat

AB = 7

No

BC = ...

or

40a

3

dh

...

2 cm.

kwadraat

1

c

42, 25 = 6, 5 meter.

off

...

De langste zijde in de eerste driehoek is

52 + 61 + 45 ≈ 21, 7 meter.

1+

1

ev

DE = ...

Ui tg

er sb v


AC =

130

49

81 +

130

©

BC = 81 = 9 Punt C ligt 9 boven of 9 onder punt B. En 5 + 9 = 14 en 5 – 9 = –4. Dat geeft voor de coördinaten C(13, 14) of C(13, –4).




⁄ 87 11-04-2008 11:31:8

b

Van punt P naar punt Q moet je 13 – 1 = 12 naar rechts en 1 – –8 = 9 naar beneden. zijde

kwadraat

12

144 81 +

9

PQ = ...

225

225 = 15

PQ = zijde

kwadraat

PQ = 15

225

250

25 +

QR = ... PR =

ev

er sb v


250

41a

zijde

kwadraat

CR = 1,5

2,25 22,75 +

RT = ...

CT = 5

25

22, 75 cm

RT = zijde

kwadraat

RS = 3,5

12,25

22,75

10,5 +

ST = ...

RT =

off

22, 75

10, 5 cm.

De lengte van lijnstuk ST is

b

zijde

kwadraat

RT =

22, 75

PT =

22, 75

22,75 +

PR = 7

22,75

dh

Ui tg

QR = 25 = 5 Punt R moet op de cirkel met middelpunt Q en straal 5 liggen. Verder moet de hoek tussen PQ en QR gelijk zijn aan 90°. Een tekening in een assenstelsel maken geeft dat punt R de coördinaten (10, –12) of (16, –4) heeft.

49

Er geldt dat 22,75 + 22,75 < 49, dus nPRT is stomphoekig en /T is een stompe hoek. c

zijde

kwadraat

KB = 3,5

12,25

or

12,75 +

KT = ...

BT = 5

25

12, 75 cm

No

KT = zijde

kwadraat

KT =

12, 75

MT =

12, 75

KM = 3

12,75 12,75 + 9

©

Er geldt dat 12,75 + 12,75 > 9, dus nKTM is een scherphoekige driehoek.

⁄ 88




11-04-2008 11:31:11

er sb v


ICT De stelling van Pythagoras

b

c

I-2a

b

c

I-3a/b

PQ = 5 cm, PR = 2,5 cm en QR = 5,6 cm. Zijde QR is de langste zijde. De langste zijde is altijd de zijde tegenover de rechte hoek.

Ja, met deze vierkanten kun je een driehoek insluiten. Ja, de ingesloten driehoek is een rechthoekige driehoek. De rechthoekszijden zijn 3 en 4 lang. Voor vierkant 3 moet je zijde 10 kiezen om een rechthoekige driehoek in te sluiten. zijde van vierkant 1 en

vierkant 3

vierkant 1 en 2

vierkant 3

5

9 + 16 = 25

25

6 en 8

10

16 + 64 = 100

100

5 en 12

13

25 + 144 = 169

169

8 en 15

17

64 + 225 = 289

289

I-4a

b

c

d

e

I-5a

b

c

d

De som van de oppervlakte van vierkant 1 en vierkant 2 is telkens gelijk aan de oppervlakte van vierkant 3. Ja, het lukt ook als je de groene rechthoeken kleiner maakt. De oppervlakte van de vierkanten op het linker bord is gelijk aan de oppervlakte van het vierkant op het rechter bord. De oppervlakte van het vierkant met zijde a cm is a2 cm2. De oppervlakte van het vierkant met zijde b cm is b2 cm2. De oppervlakte van de twee vierkanten op het linker bord hebben samen een oppervlakte van a2 + b2 cm2 en zijn gelijk aan de oppervlakte van het vierkant op het rechter bord die c2 cm2 is.

off

van

dh

d

oppervlakte

oppervlakte van

De getallen komen in het schema in de kolom onder lengte van de zijde te staan. De oppervlakten van de vierkanten zijn 8 3 8 = 64 en 15 3 15 = 225. De antwoorden van opdracht b zie je terug in het schema in de kolom onder oppervlakte van het vierkant. Bij het klikken op start worden in het schema de lengten van de zijden ingevuld. Bij de eerste keer klikken op volgende worden in het schema de oppervlakten van de vierkanten op die zijden berekend. Daarna worden in het schema de oppervlakten van die vierkanten opgeteld. Vervolgens wordt de onbekende lengte berekend. Tenslotte wordt in de figuur de lengte van de onbekende zijde ingevuld.

or

som van de

van

No

c

zijde

3 en 4

vierkant 2

ev

I-1a

Ui tg

lengte van

oppervlakte van

de zijde 8

het vierkant

64

289

©

15

17

225 +




⁄ 89 11-04-2008 11:31:11

I-6

1a 34

1b 30 1c 39 116 2b 160 2c 85 3a De oppervlakte is 80 en de langste zijde is 80 . 3b De oppervlakte is 58 en de langste zijde is 58 . 3c De oppervlakte is 233 en de langste zijde is 233 . 3d De oppervlakte is 661 en de langste zijde is 661 . 3e De oppervlakte is 97 en de langste zijde is 97 . 4 Bij de driehoeken a en c is de lengte van de langste zijde een geheel getal. 5a 20 5b 60 5c 30 5d 27 5e 50 2a

Test jezelf

b

c

d

e

De rechthoekszijden van nABC zijn AC en BC. De langste zijde is AB. De oppervlakte van vierkant IACH is 12 3 12 = 144 cm2. De oppervlakte van vierkant CBFG is 16 3 16 = 256 cm2. De oppervlakte van vierkant ADEB is 144 + 256 = 400 cm2. De lengte van zijde AB is 400 = 20 cm.

Ui tg

T-1a

C

T-2a

off

4 cm

A

B

8 cm

zijde

kwadraat

AB = 8

64

16 +

BC = 4

b

AC = ...

80

AC = F

or

25

D

E

15

zijde

kwadraat

DE = 15

c

EF = 25

DF =

225

No

DF = ...

80

dh

ev

er sb v


400 +

625

400 = 20

M

15

©

K

⁄ 90

200

L




11-04-2008 11:31:16

zijde KL =

kwadraat 200

200

225

25 +

KM = ...

LM = 15

25 = 5

KM =

d

er sb v


R

6

P

Q

kwadraat

PQ = 6

36 31 +

PR = ...

67

PR =

67

31

T-3

36 mijl

77 mijl

?

off

QR =

kwadraat

77

5929

dh

zijde

1296 +

36

Ui tg

zijde

ev

67

...

7225

T-4a

or

In een rechte lijn zou het schip 7225 = 85 mijl hebben gevaren. Het schip heeft 77 + 36 = 113 mijl gevaren. Het schip heeft 113 – 85 = 28 mijl te veel gevaren. zijde

kwadraat

BC = 5

CF = ...

No

b

zijde

kwadraat

AB = 12

144

169

BC = 5

AC = ...

AC =

25 +

169 = 13 cm

©

50

50 cm

CF =

25

25 +

BF = 5




⁄ 91 11-04-2008 11:31:19

c

Je kunt doorsnede ACGE of BCHE of DCFE gebruiken.

d

zijde

kwadraat

AC = 13

169 25 +

AE = 5

T-5a

CE = ...

194

194 cm

CE =

zijde

kwadraat

KL = 24

576 100 +

KM = 10

LM =

ev

er sb v


670

670

zijde

kwadraat

PQ =

70

70 36 +

PR = 6 QR =

98

98

Ui tg

De optelling van de kwadraten klopt niet want 576 + 100 = 676 en geen 670, dus nKLM is geen rechthoekige driehoek en /K is niet recht.

De optelling van de kwadraten klopt niet want 70 + 36 = 106 en geen 98, dus nPQR is geen rechthoekige driehoek en /P is niet recht. b

C

25

4 cm

8 cm

? A

B

7 cm

zijde

kwadraat

AB = 7

49

16 +

AC = 4

BC = 8

dh

off

64

Er geldt dat 49 + 16 > 64, dus nABC is een scherphoekige driehoek. T-6a

Iedere kabel is 364 : 4 = 91 meter lang. 35 ...

kwadraat

or

zijde

91

De tv-mast is

b

7056 +

Halverwege de hoogte is 84 : 2 = 42 meter. 35

kwadraat

42 ...

⁄ 92

1225 1764 + 2989

Voor de kabels is 4 × 2989 ≈ 218, 7 meter nodig.

©

8281

7056 = 84 meter hoog.

zijde

1225

No




11-04-2008 11:31:21

zijde

kwadraat

10

100

101

1+

1

...

101 meter lang.

De slinger links is zijde

kwadraat

5

25 9+

3

...

34

34 meter lang.

De slinger links onder is zijde

kwadraat

6

36

52

16 +

4

ev

T-7

...

52 meter lang.

De slinger rechts onder is zijde

kwadraat

12

144 9+

3

153

Ui tg

er sb v


...

De slinger boven is 153 meter lang. Marieke heeft een slinger van 101 + 34 + 52 + 153 ≈ 35, 46 meter gebruikt.

T-8a

8

off

D

7 6 5

C

3 2 1 –3 –2

–1 O –1

A 1

2

–2

dh

4

3

4

5

6

7

8

9

or

B

–3 –4

–5

No

–6 –7

–8

–9

E

–10

–11

zijde

©

5 3

kwadraat

25 9+

34 AB = ... AB = 34 Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo



⁄ 93 11-04-2008 11:31:23

zijde

kwadraat

2

4

40

36 +

6

BC =

40

zijde

kwadraat

3

9

45

36 +

6 CD = ...

ev

45

CD = zijde

kwadraat

1

1 36 +

6

AD = ...

37

Ui tg

BC = ...

er sb v


b

AD = 37 Van vierhoek ABCD is zijde CD het langst, namelijk Zijde AB is het kortst, namelijk 34 .

c

zijde

kwadraat

3

9 121 +

11

AE = ...

AE =

130

130

zijde

kwadraat 64

off

8

64 +

8

BE = ...

128

BE = 128 Punt B ligt het dichtst bij punt E.

dh

45 .

84 m

T-9

70 m

zijde

kwadraat

No

70

or

105 m

84

105

⁄ 94

7056 +

11025

De optelling van de kwadraten klopt niet want 4900 + 7056 = 11956 en geen 11025, dus de driehoek is geen rechthoekige driehoek. Nee, Ellen heeft geen gelijk.

©

4900




11-04-2008 11:31:25

Noordhoff Uitgevers bv

Recommend Documents