Noordhoff Uitgevers bv

er sb v

Hoofdstuk 7 - Goniometrie

Hoofdstuk 7 - Goniometrie Voorkennis V-1a

b

c

33°

A

B

5 cm

C = 180° – 58° – 33° = 89° ABC is geen rechthoekige driehoek. M

76°

14°

K

M = 180° – 14° – 76° = 90°

d

ev

58°

Ui tg

C

L

8 cm

V-2a

K

off

16

L

b

c

De rechthoekszijden zijn de zijden LM en KM. De langste zijde is zijde KL.

d

zijde

M

30

dh

kwadraat

LM = 30

900

KL = 16

256

+

KL = …

Zijde KL is 1156 = 34 .

V-3a

zijde

or

1156

81

AC = …

b

9

225

A

225 = 15

zijde

kwadraat

GH = 4

16

GI = …

48

HI = 8

64

GI = 48

©

?

+

No

AC =

C

144

BC = 9

kwadraat

AB = 12

⁄ 4

1COLOR_INF_9789001606169_BW.indd 4

B

12

H 8

4

+ I

?

G

© Noordhoff Uitgevers bv

25-06-09 11:54

c

zijde

kwadraat 380

KM =

380

KL = 15

225

LM = …8

605

LM = 605

V-4a

In ADC: zijde

L ?

+ M

380

kwadraat

AD = 5

25

CD = …

75

AC = 10

100

15

K

ev

er sb v


+

CD = 75

b

c

Ze gebruikt CD = 8,7, maar dat is een afgerond getal, want 75 ≈ 8,660254… Als ze CD = 75 gebruikt, krijgt ze wel een nauwkeurig antwoord.

d

zijde

kwadraat

BD = 12 CD =

Ui tg

144 75

75

+

219

BC = …

BD = 219 ≈ 14, 8

V-5a

zijden van ABC

AB = 12

BC = 10

AC = 11

zijden van DEF

DE = 6

DF = 5

EF = 5,5

b

c

off

Je moet met 0,5 vermenigvuldigen. De overeenkomstige hoeken zijn gelijk.

ABC is gelijkvormig met HIG, want B = 180° – 42° – 50° = 88° en G = 180° – 88° – 42° = 50°, dus de overeenkomstige hoeken zijn gelijk. DEF is gelijkvormig met KLM, want de overeenkomstige zijden zijn met dezelfde factor vermenigvuldigd, namelijk 1,5.

zijden van ABC

b

zijden van HIG

c

BC = 4

AC = 6

HI = 3,1

GI = …

GH = 4

De zijden van ABC zijn met factor 4 : 6 = 23 vermenigvuldigd. AB = 3,1 : 23 = 4,65 GI = 4 × 23 = 2 23 B = 88° (zie opdracht a) K = D (overeenkomstige hoeken) dus K = 55° M = 180° – 101° – 55° = 24°, F = M (overeenkomstige hoeken), dus F = 24°

or

AB = …

No

dh

V-6a

7-1 Tangens

1a

b

c

Bij drie treden hoort een afstand van 3 × 40 = 120 cm en een hoogte van 3 × 15 = 45 cm. Nee, de helling blijft gelijk. Bij 13 treden hoort een afstand van 13 × 40 = 520 cm en een hoogte van 13 × 15 = 195 cm.

©



⁄ 5 25-06-09 11:54

f

2a

b

c

d

3a

b

c

d

4a

b

c

d

e

f

5a

b

c

20 = 0, 4 geeft afstand = 20 = 50 . afstand 0, 4 De treden zijn 50 cm diep. De hellingshoek is 22°. Nee, dat is niet van belang. Hoe groter het hellingsgetal, hoe groter de hellingshoek.

d

hoogte in meters

80

18

5

schaduw in meters

40

9

2,5

Uit de deling komt telkens 2. De hoek is ongeveer 63°.

2

1

In tekening 1 is het hellingsgetal 100 = 0,2. 500 hoogte = 0, 2 dus is hoogte = 0,2 × 400 = 80 meter. In tekening 2 is 400 Van beide hellingen is het hellingsgetal 0,2, dus de hellingen zijn even steil. 250 = 0, 2 dus afstand

zijde

hellingsgetal = 0,2

kwadraat

250 000 10 000

No

100

260 000

…

50 cm

De zon staat laag, dus deze tekening past bij de winter. De zon staat ‘half hoog’. Dat kan in de herfst of in de lente zijn. In tekening 2 komt uit de deling 1. De hoek is 45°. In tekening 3 komt uit de deling 0,5. De hoek is 27°. Nee, want bijvoorbeeld het hellingsgetal in tekening 1 is twee keer zo groot als dat in tekening 2, maar de hellingshoek is niet twee keer zo groot.

500

20 cm

De zonnestraal loopt steil naar beneden, dus de zon staat hoog. Dat is het geval in de zomer.

afstand = 250 = 1250 meter 0, 2

ev

Ui tg

e

off

Bij één trede hoort een afstand van 40 cm en een hoogte van 15 cm. hoogte hoogte 195 Bij opdracht a is = 45 = 0, 375 , bij opdracht c = = 0, 375 en bij afstand 120 afstand 520 hoogte 15 = = 0, 375 . opdracht d afstand 40 De deling levert telkens dezelfde uitkomst op. De hoek is 21°.

dh

d

or

er sb v


250 m

…m

+

260 000 ≈ 509,9

©

Hij heeft ongeveer 510 meter afgelegd.

⁄ 6



25-06-09 11:54

er sb v


7-2 Tangens

6a

b

hellingsgetal = 30 = 0, 375 80 Zie de tekening hiernaast.

c

De hellingshoek is 21°.

d

7

80 m

tan ∠A = tan ∠B =

ev

Het hellingsgetal is 45 = 0, 375 , en dus gelijk aan dat van de andere kabelbaan. 120 Bij gelijke hellingsgetallen horen gelijke hellingshoeken. 6 13 5 6

zijde

kwadraat 144

12 ...

25

13

169

Ui tg

30 m

+

De ontbrekende zijde heeft lengte 25 = 5. tan ∠C = 125

Zie de tekening hiernaast. De lengte van BC is 2,9 cm.

b

tanA =

c

9a

b

C

tanD = 5 = 0, 625 8

30°

A

F

D

d

10a

b

c

D ≈ 32° klopt

d

E

8 cm

No

c

Zie de schets hiernaast. tan ∠H = 117 Ranita vindt 7,44°. Divya vindt 32°. Jonny vindt 33°. Divya vindt de juiste hellingshoek.

©

5 cm

or



B

5 cm

off

2, 9 = 0,58 5 tan 30° ≈ 0,57735 dus het klopt.

dh

8a

7m

H

11 m

⁄ 7 25-06-09 11:54

b

12a

b

c

Schets: 50 tan ∠H = 650 −1 50 tan ( 650 ) ≈ 4, 4 De hellingshoek is 4°. Schets: tan ∠H = 120 800 tan −1 ( 120 ) ≈ 8, 53 800 De hellingshoek is 9°.

50 m

H

650 m

120 m

H

800 m

Het hellingsgetal van de eerste vlucht is 15 = 0, 125, 120 de hellingshoek is tan–1(0,125) ≈ 7° Het hellingsgetal van de derde vlucht is ook 0,125, dus bij vlucht 3 vloog hij met dezelfde hellingshoek. vlucht

hoogte

afstand

hellingsgetal

1

15

120

2

15

75

3

20

160

0,2

0,125

Q

13a

14a

b

c

d

e

15

tan–1( 68 ) ≈ 36,9 dus A = 37°. Zijde AC is de overstaande rechthoekszijde van hoek B. Zijde BC is de aanliggende rechthoekszijde van hoek B. tan ∠B = 86 B ≈ 53° B = 180° – 90° – 37° = 53° tan ∠A = 73 A ≈ 23°

zijde

tan ∠B = 115 B ≈ 24° kwadraat

zijde

kwadraat

15

225

7

49

...

64

...

16

17

289

+

De aanliggende rechthoekszijde van hoek C is 8. tan ∠C = 158 C ≈ 62°

©

10 24

dh

tan ∠P = P ≈ 23°

or

b

R

24

No

P

7°

10

?

7°

11°

off

26

hellingshoek

0,125

7-3 De tangens gebruiken

ev

11a

Ui tg

er sb v


⁄ 8


65

65

+

De overstaande rechthoekszijde van hoek D is 4. tan ∠D = 47 D ≈ 30°


25-06-09 11:54

b

17a

b

18a

b

19a

Je meet geen lengtes of hoeken in de tekening, je berekent ze. h = 3 × tan 8° h ≈ 0,42 De hoogte is ongeveer 0,4 km. tan 13° = 110 a a = 110 tan 13° a ≈ 476 m

ev

16a

Op een afstand van 476 meter spelen enkele centimeters geen rol van betekenis. Ook is het waarschijnlijk dat de hoogte van 110 meter en de hoek van 13° al zijn afgerond. tan 8° = h geeft h = 4 × tan 8° ≈ 0,56 4 De hoogte is dan ongeveer 0,6 km. tan 9° = h geeft h = 3 × tan 9° ≈ 0,48 3 De hoogte is dan ongeveer 0,5 km. tan 7° = 40 a 40 a= tan 7° a ≈ 326 m

Ui tg

er sb v


7°

40 m

a

b

tan 6° = h 450 h = 450 × tan 6° ≈ 47,3

off

De afstand van het schip tot de vuurtoren is ongeveer 326 meter. 6°

h

450 m

20a

b

tan ∠A = 53 tan ∠B = 45 A ≈ 59° B ≈ 51° In driehoek ABC zijn de hoeken samen 180°, dus C = 180° – 59° – 51° = 70°.

©

No

or

dh

De toren is ongeveer 47 meter hoog.



⁄ 9 25-06-09 11:54

7-4 sinus en cosinus 21a

b

c

d

De zijden van ABC zijn allemaal met dezelfde factor vermenigvuldigd, namelijk 2. A = D, B =E en C = F

EF 36 = = 0, 75 DE 48 BC 18 = = 0, 75 AB 24

EF 36 = = 0, 6 DF 60 BC 18 = = 0, 6 AC 30

DE 48 = = 0, 8 DF 60 AB 24 = = 0, 8 AC 30

Bijvoorbeeld met factor 1,5:

ev

er sb v


M

45 mm

Ui tg

27 mm

K

e

LM 27 = = 0, 75 KL 36

f

Iets nauwkeuriger: de delingen van de overeenkomstige zijden geven dezelfde uitkomst.

g

Bij de delingen

22

sin ∠A =

6 45 3 cos ∠A = 45

sin ∠B =

23a

tan ∠P =

sin ∠P =

b

sin–1( 135 ) = 23°

zijde AB = 11 BC = 6 AC = …

b

c

25a

b

c

d

e

⁄ 10

cos–1( 12 ) = 23° 13

cos ∠P =

12 13

tan–1( 125 ) = 23°

kwadraat

121 36

+

157

AC = 157 ≈ 12,5

Stephan vindt het juiste antwoord. Harold heeft de lengte van AC teveel afgerond. Ja, want voor de tangens heb je de lengten van AB en BC nodig en die zijn al gegeven. De zijden die je nodig hebt voor de sinus zijn in de tekening al gegeven. sin ∠P = 47 dus P ≈ 35° Om hoek Q te berekenen kan ik het beste de tangens gebruiken. tan ∠Q = 10 dus Q ≈ 40° 12 5 cos ∠R = 7 dus R ≈ 44° cos ∠S = 119 dus S ≈ 35°

©

5 13

No

off

or

24a

KL 36 = = 0, 8 KM 45

3 45 6 cos ∠B = 45

dh

5 12

LM 27 = = 0, 6 KM 45

EF BC LM en krijg je de tangens. , DE AB KL

P ≈ 23°

L

36 mm



25-06-09 11:54

26a

b

27a

cos ∠A = 135 dus A ≈ 67° sin ∠B1 = 16 dus B1 ≈ 53° 20 Zie de tekening hiernaast.

5

b

tan ∠K =

LN 6 geeft tan ∠K = dus K ≈ 56° KL 4

M

c

MN 2 tan ∠L = geeft tan ∠L = dus L ≈ 18° LN 6

N

d

tan ∠M =

e

N = 180° – 90° – 56° dus N ≈ 34°

3

L

2 1

ev

LN 6 geeft tan ∠M = dus M ≈ 72° MN 2

4

–4

–3

–2

–1 O –1 –2

1

2

3

4

K

–3

Ui tg

er sb v


7-5 Rekenen in rechthoekige driehoeken

AC is de langste zijde. De lengte is gegeven van de aanliggende rechthoekszijde van A. Voor sin 27° en cos 27° heb je de lengte van de overstaande rechthoekszijde nodig en die is niet gegeven.

28a

b

c

d

cos 27° =

e

Uit cos 27° =

29

Uit cos 59° =

Uit Uit Uit 30a

b

c

off

kwadraat 400

LM = 15

225

KL = 25

625

+

De berekening met de stelling van Pythagoras klopt, dus de driehoek is rechthoekig. tan ∠K = 15 dus K ≈ 37° 20 L = 180° – 90° – 37° ≈ 53°

©

zijde KM = 20

No

3 3 volgt BC = dus BC ≈ 5,8 BC cos 59° EF tan 27° = volgt EF = 5 × tan 27° dus EF ≈ 2,5 5 LM sin 31° = volgt LM = 10 × sin 31° dus LM ≈ 5,2 10 6 6 sin 40° = volgt YZ = dus YZ ≈ 9,3 YZ sin 40° 30 30 tan 88° = volgt IG = dus IG ≈ 1,0 IG tan 88° QR cos 63° = volgt QR = 10 × cos 63° dus QR ≈ 4,5 10

dh

Uit

8 8 volgt AC = dus AC ≈ 9,0. AC cos 27°

or

Uit

8 AC



⁄ 11 25-06-09 11:54

31a

b

Uit tan 35° = CD volgt CD = 6 × tan 35° dus CD ≈ 4,2. 6 sin ∠B = 45,,25 dus B ≈ 50°

c

zijde

kwadraat

CD = 4,2

17,64

BC = 5,5

30,25

+

BD = 12, 61 ≈ 3, 6

d

e

AB = AD + DB dus AB = 6 + 3,6 = 9,6 oppervlakte ABC = 9,6 × 4,2 : 2 = 20,16

32a

b

c

33a

b

c

d

e

f

g

34a

b

c

d

e

Zie de tekening hiernaast. Driehoek ABC is een gelijkbenige driehoek, want de zijden AC en BC zijn even lang. Zie de tekening bij opdracht a. CD = 8 AD = 4 Uit tan ∠A = CD volgt tan ∠A = 8 AD 4 dus A ≈ 63° (in één decimaal: 63,4°) B = A (basishoeken in een gelijkbenige driehoek) dus B ≈ 63,4° C = 180° – 2 × 63,4° dus C ≈ 53°

8

55°

55°

D

G

B

E

6 5 4

off

dh

e

F

D

–3

–2

A

3 2

c

1 –1 O –1

1

C 2

3

4

5

6

7

–2 –3 –4

R = 180° – 70° – 60° = 50°, dus geen rechte hoek. R

Zie de tekening hiernaast.

or

sin ∠P = RS geeft sin 70° = RS RP 35 dus RS = 35 × sin 70° ≈ 32,9

35

cos ∠P = PS geeft cos 70° = PS PR 35 dus PS = 35 × cos 70° ≈ 12,0

No

d

De driehoek heeft geen rechte hoek. Zie de tekening hiernaast. DGF heeft een rechte hoek. Verder is in deze driehoek een zijde en een hoek gegeven. Uit cos 55° = DG volgt DG = 8 × cos 55° 8 dus DG ≈ 4,6. DE = 2 × 4,6 ≈ 9,2

ev

12,61

Ui tg

BD = …

er sb v


32, 9 tan ∠Q = RS geeft tan 60° = QS QS

P

60 °

S

Q

32, 9 ≈ 19,0 tan 60°

©

dus QS =

70°

⁄ 12



25-06-09 11:54

7-6 Gemende opdrachten

b

c

d

e

Uit tan 45° = AD volgt AD = 14 × tan 45° dus AD = 14 meter. 14 De lengte van het brugdek tussen A en G is 2 × 14 = 28 meter. Uit tan 30° = BD volgt BD = 14 × tan 30° dus BD ≈ 8,1 meter. 14 De lengte van het brugdek tussen A en B is 14 – 8,1 = 5,9 meter. Uit tan 15° = CD volgt CD = 14 × tan 15° dus CD ≈ 3,8 meter. 14 De lengte van het brugdek tussen B en C is 8,1 – 3,8 = 4,3 meter.

ev

35a

Uit cos 45° = 14 volgt k = 14 dus k ≈ 19,8 m. k cos 45° De kabel van de mast naar punt A is ongeveer 19,8 meter lang.

Ui tg

er sb v


De buitenste kabels zijn ongeveer 19,8 meter lang.

dus k ≈ 16,2 m. Uit cos 30° = 14 volgt k = 14 k cos 30° De middelste kabels zijn ongeveer 16,2 meter lang.

dus k ≈ 14,5 m. Uit cos 15° = 14 volgt k = 14 k cos 15° De binnenste kabels zijn ongeveer 14,5 meter lang.

36a

c

37a

b

c

dh

14 Bij een helling van 14% hoort een tangens van 100 , dus 14 –1 een hellingshoek van tan ( 100 ) ≈ 8°. Bij een helling van 100% stijg je 100 m over een horizontale afstand van 100 m. De tangens is dan 100 , en de hellingshoek is tan–1(1) = 45°. 100

tan 89° ≈ 57, 3 tan 89, 9° ≈ 573, 0 tan 89, 99° ≈ 5729, 6 Zie de schets hiernaast. Met P = 90° is er geen rechthoekige driehoek meer te maken. Als P bijna 90° is, is de overstaande rechthoekszijde heel groot. tan 80° ≈ 5,7 tan 40° ≈ 0,8 Onno heeft geen gelijk.

or

b

P

©

No

100

off

14



⁄ 13 25-06-09 11:54

38a

b

Zie tekening hiernaast. F1 = 180° – 90° – 37° = 53° F2 = 180° – 90° – 62° = 28°

c

Uit cos 37° =

F

2

14, 2 14, 2 volgt DF = dus DF ≈ 17,8 DF cos 37°

10, 7 10, 7 volgt GE = dus GE ≈ 5,7 Uit tan 62° = GE tan 62° DE = DG + GE dus DE ≈ 14,2 + 5,7 = 19,9

c

d

e

f

40

41a

b

c

d

144

AC = 160

160

BC =

+

144 = 12

Uit tan ∠A = BC volgt tan ∠A = 12 dus A ≈ 72°. AB 4 BM = 12 : 2 = 6 Uit tan ∠A1 = 64 volgt A1 ≈ 56°. A2 = A – A1 ≈ 72° – 56° ≈ 16° M1 = 180° – 90° – 56° dus M1 ≈ 34° M2 = 180° – M1 dus M2 ≈ 146°

Uit tan 40° = 1350 volgt AC = 1350 dus AC ≈ 1609 m. AC tan 40° Uit tan 22° = 1350 volgt BC = 1350 dus BC ≈ 3341 m. BC tan 22° De tunnel zal ongeveer 1609 + 3341 = 4950 meter lang worden. De kabelbaan van Coq naar Ballon gaat omhoog want Coq ligt op 1830 meter hoogte en Ballon ligt op 2520 meter hoogte. De horizontale afstand is 3,6 cm. Dat is in werkelijkheid 3,6 × 50 000 = 180 000 cm en dat is 1800 meter. Voor de kabelbaan van Coq naar Ballon is het hoogteverschil 2520 – 1830 = 690 m. 690 tan ∠C = 1800 C ≈ 21° Voor de kabelbaan van Douce naar Azur is het hoogteverschil 2640 – 2120 = 520 m. De horizontale afstand is 1,6 cm, dat is in werkelijkheid 800 m. tan ∠A = 520 800 A ≈ 33° Voor de kabelbaan van Douce naar Ballon is het hoogteverschil 2520 – 2120 = 400 m. De horizontale afstand is 3,1 cm, dat is in werkelijkheid 1550 m. 400 tan ∠B = 1550 B ≈ 14° De kabelbaan van Douce naar Azur heeft de grootste hellingshoek.

©

16

BC = …

E

Ui tg

b

AB = 4

G

off

kwadraat

14,2

dh

zijde

D

or

39a

62°

37°

No

10, 7 10, 7 volgt EF = dus EF ≈ 12,1 EF sin 62°

1

ev

Uit tan 37° = FG volgt FG = 14,2 × tan 37° dus FG ≈ 10,7 14, 2

Uit sin 62° =

er sb v


⁄ 14



25-06-09 11:54

42a

b

c

Uit cos 40° = h volgt 2 h = 2 × cos 40° dus h ≈ 1,53 m De hoogte van het zitje is 2,50 – 1,53 = 0,97 meter.

40°

2m

h volgt 2, 25 h = 2,25 × cos 50° dus h ≈ 1,45 m De hoogte van het zitje is 2,75 – 1,45 = 1,30 meter. schommel 1: 2,5 – 1,6 = 0,9 meter Uit cos 50° =

50°

h

0, 9 volgt W ≈ 63°. 2 Bij schommel 1 is de maximale wijkhoek 63°. schommel 2: 2,75 – 1,6 = 1,15 meter

2m

Test jezelf

T-2a

b

T-3a

b

25°

Het hellingsgetal bij 25° is ongeveer 0,47.

315 tan ∠A = 1000 A ≈ 17° Dit sportvliegtuig vertrekt onder een hoek van ongeveer 17°. tan 18° ≈ 0,325, dus dit sportvliegtuig is na 1000 m op een hoogte van 325 meter. Dat is ongeveer 10 meter hoger dan het eerste sportvliegtuig.

Uit tan 11° = 43 volgt a = 43 dus a ≈ 221,2 m. a tan 11° De schipper is ongeveer 221 meter van de vuurtoren af. Uit tan 68° = b volgt b = 40 × tan 68° dus b ≈ 99 m. 40 Het bootje is ongeveer 99 meter van de vuurtoren af.

©

800 Van helling 1 is het hellingsgetal 2400 ≈ 0,333. 600 Van helling 2 is het hellingsgetal 1800 ≈ 0,333. De hellingsgetallen zijn even groot, dus de hellingen zijn even steil. De hoek is 18°.

off

d

2,25 m

dh

c

1,15 m

or

W

No

b

0,9 m

Ui tg

1, 15 volgt W ≈ 59°. 2, 25 Bij schommel 2 is de maximale wijkhoek 59°. Uit cos ∠W =

2,25 m

W

Uit cos ∠W =

T-1a

h

ev

er sb v




⁄ 15 25-06-09 11:54

T-4

T-5a

b

c

sin ∠A = 73 sin ∠B = 105 A ≈ 25° B = 30°

cos ∠C = 246 C ≈ 76°

sin ∠D = 53 D ≈ 37°

sin ∠E = 63 sin ∠F = 33,5 E = 30° F ≈ 59°

15 tan ∠B1 = 12 dus B1 ≈ 51° E1 = 180° – 90° – 51° = 39°

zijde

kwadraat

AB = 12

144

AE = 15

225

BE = …

369

e zijde

kwadraat

BE =

369

369

81

BC = 9

+

CE = …

450

BE = 369 ≈ 19, 2

CE = 450 ≈ 21, 2

tan ∠E2 =

sin ∠C2 =

dus E2 ≈ 25°

9 369

T-6a/b

f

M

60 mm

55 mm

19 450

dus C2 ≈ 64°

Ui tg

d

+

ev

er sb v


K

N

off

52°

L

c

Uit sin 52° = MN volgt MN = 60 × sin 52° dus MN ≈ 47,3 mm. 60

d

Uit cos 52° = KN volgt KN = 60 × cos52° dus KN ≈ 36,9 mm. 60

e

Uit sin ∠L =

f

Uit cos 59° = NL volgt NL = 55 × cos 59,3° dus NL ≈ 28,1 mm 55

200 120 50 48

c

hellingsgetal

hellingshoek

0,31

17°

0,5

27°

1,19

50°

1,25

51°

De schaduw was op dat moment 60 = 40 cm. 1, 5 De hoek is tan–1(1,5) ≈ 56°.

No

b

©

dh

lengte schaduw in cm

or

T-7a

47, 3 volgt L ≈ 59° 55

⁄ 16



25-06-09 11:54

Noordhoff Uitgevers bv

Recommend Documents