NILAI SEKARANG DARI MANFAAT PENSIUN UNTUK KASUS MULTIPLE DECREMENT DENGAN TINGKAT BUNGA RENDLEMAN–BARTTER Anggia Fitri1∗ , Hasriati2 1,2 Program
Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293 ∗ anggia f
[email protected] −
ABSTRACT This article discusses the present value of future benefit and the due life anuity under uniform assumption for the case of multiple decrements using Rendleman–Bartter interest rate model. Interest rate models of Rendleman– Bartter have parameters β and σ to be estimated, where the parameter in the model is estimated using MLE (maximum likelihood estimation) and then followed by a numerical approach using Newton–Raphson method. Keywords: Present value of future benefit, due life anuity, multiple decrements, Rendleman–Bartter interest rate model ABSTRAK Artikel ini membahas nilai sekarang dari manfaat pensiun dan anuitas hidup awal berdasarkan asumsi uniform untuk kasus multiple decrement dengan menggunakan tingkat bunga model Rendleman–Bartter. Tingkat bunga model Rendleman–Bartter mempunyai parameter yang harus diestimasi yaitu β dan σ, yang mana parameter tersebut ditaksir menggunakan MLE (maximum likelihood estimation) dan kemudian dilanjutkan dengan pendekatan numerik menggunakan metode Newton–Raphson. Kata kunci: Nilai sekarang, anuitas seumur hidup awal, multiple decrement, tingkat bunga model Rendleman–Bartter 1. PENDAHULUAN Berdasarkan Undang-Undang Republik Indonesia Nomor 11 tahun 1992 tentang Dana Pensiun didefinisikan bahwa program pensiun adalah setiap program yang mengupayakan manfaat pensiun bagi peserta. Manfaat pensiun 1
itu berupa pembayaran berkala yang diberikan setelah peserta mencapai usia pensiun. Di dalam Winklevoss [7, h. 10-22] dijelaskan pensiun yang terjadi pada usia pensiun normal disebut pensiun usia normal. Adakalanya peserta akan pensiun sebelum mencapai usia pensiun normal, yang disebut dengan pensiun dipercepat. Terjadinya pesiun dipercepat dipengaruhi oleh banyak faktor seperti faktor lamanya masa kerja, status kesehatan, besar manfaat pensiun, pekerjaan, gender dan usia. Artikel ini membahas nilai sekarang (Present Value of Future Benefit) dari manfaat pensiun untuk suatu program, yaitu penjumlahan atas nilai sekarang untuk masing-masing peserta program pensiun. Nilai sekarang dari besar manfaat pensiun yang akan diterima oleh peserta telah ditentukan pada saat terdaftar menjadi peserta asuransi pensiun. Manfaat pensiun dapat diberikan karena beberapa faktor diantaranya beberapa kasus yang menimpa pekerja suatu perusahaan. Ada berbagai kasus yang menyebabkan penyusutan itu terjadi, penyebab penyusutan yang lebih dari satu kasus disebut multiple decrement. Pada artikel ini penulis menentukan nilai sekarang dari manfaat pensiun untuk kasus multiple decrement yang dalam hal ini hanya di batasi untuk dua kasus, yaitu meninggal dunia dan cacat permanen. Dalam menentukan nilai sekarang dari manfaat pensiun untuk kasus multiple decrement ini terdapat beberapa faktor yang mempengaruhi, salah satunya tingkat bunga. Penulis menggunakan model tingkat bunga Rendleman–Bartter (RB). 2. FUNGSI SURVIVAL, KASUS MULTIPLE DECREMENT DAN ANUITAS Pada perhitungan peluang keluar dan peluang bertahan untuk kasus multiple decrement, terlebih duhulu ditentukan fungsi suvival. Fungsi survival merupakan fungsi yang menyatakan seseorang dapat bertahan hidup hingga beberapa tahun berikutnya. Fungsi FT (x) menyatakan peluang seseorang berusia x tahun bertahan hidup hingga t tahun yang akan datang. Fungsi survival untuk variabel acak kontinu T (x) yaitu [6, h. 90] ST (x) (t) = 1 − FT (x) (t), t ≥ 0. Berikut ini diuraikan fungsi kepadatan peluang untuk kasus multiple decrement. Peluang keluar untuk kasus multiple decrement yaitu [1, h. 310] ∫ t (j) fT (x),J(x) (t, j)dt. (1) t qx = 0
Untuk peluang keluar untuk kasus total adalah m ∑ (T ) (j) = t qx t qx .
(2)
j=1
Peluang keluar untuk kasus multiple decrement dipengaruhi oleh percepatan 2
mortalita. Percepatan mortalita untuk kasus j yaitu 1 d µx(j) (t) = (T ) (t qx(j) ). dt t px
(3)
Pada peluang keluar digunakan asumsi uniform untuk kasus multiple decrement dinyatakan sebagai berikut [5, h. 104] (j) (j) (4) t qx = t · qx . (j) t qx
merupakan peluang keluar peserta asuransi yang berusia x tahun sam(j) pai x + t tahun dan µx (t) merupakan percepatan mortalita dari peserta asuransi, sehingga peluang keluar untuk kasus multiple decrement dapat ditulis [1, h. 313] ∫ t (j) (T ) (j) (5) t qx = t px µx (t)dt. 0
Pada artikel ini digunakan dua kasus penyebab terjadinya pensiun, sehingga peluang keluar untuk kasus multiple decrement dengan asumsi uniform pada interval [0,1] untuk dua kasus adalah sebagai berikut: ∫ 1 (j) (T ) (j) (6) t qx = t px µx (t)dt. 0
(i). Meninggal dunia, untuk j = 1 ∫ 1 (1) (T ) (1) qx = t px µx (t)dt ∫0 1 1(2) (1) 1(1) = t px µx (t)dt t px ∫0 1 1(2) 1(1) = t px t qx dt 0 ∫ 1 ( ) 1(1) = qx 1 − t · qx1(2) dt (0 ) 1 1(2) (1) 1(1) qx = qx 1 − qx . 2 (ii). Cacat permanen, untuk j = 2 Dengan melakukan cara yang sama dengan j = 1 diperoleh ( ) 1 1(1) (2) 1(2) qx = qx 1 − qx . 2
(7)
(8)
Peluang keluar pada kasus multiple decrement mempengaruhi nilai anuitas. Anuitas adalah suatu pembayaran dalam jumlah tertentu, yang dilakukan setiap selang waktu dan lama tertentu secara berkelanjutan. Anuitas yang digunakan pada perhitungan asuransi pensiun ini adalah anuitas awal seumur hidup, yaitu anuitas yang pembayarannya pada tiap awal tahun polis dilakukan
3
selama tertanggung (peserta asuransi pensiun) masih hidup[3, h. 9]. (T ) Jika t px adalah peluang bertahan untuk semua kasus, sehingga anuitas seumur hidup awal untuk kasus multiple decrement dinyatakan dengan a ¨x = a ¨x =
w−x−1 ∑ t=0 w−x−1 ∑
) v t t p(T x
v t (1 − t qx(T ) ).
(9)
t=0
Dengan menggunakan asumsi uniform pada persamaan (4), selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (2) ke persamaan (9) diperoleh a ¨x =
w−x−1 ∑
v t − v t t qx(1) − v t t qx(2) .
(10)
t=0
Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (7) dan (8) ke persamaan (10) diperoleh a ¨x =
w−x−1 ∑
v t − v t t qx1(1) − v t t qx1(2) + v t t qx1(1) qx1(2) .
(11)
t=0
3. NILAI SEKARANG DARI MANFAAT PENSIUN UNTUK KASUS MULTIPLE DECREMENT DENGAN TINGKAT BUNGA RENDLEMAN-BARTTER Model Redleman–Bartter ditemukan oleh Richad J. Redleman dan Birt J. Bartter [4, h. 242]. Model ini adalah salah satu model equilibrium one factor yang mendiskripsikan pergerakan tingkat bunga jangka pendek (short rate). Chen [2] mmenjelaskan model Redleman–Bartter dinyatakan dalam bentuk persamaan differensial stokastik sebagai berikut: drt = β rt dt + σ rt dWt ,
(12)
dengan rt menyatakan tingkat bunga model Rendleman–Bartter, β menyatakan ekspetasi laju return, σ menyatakan standar deviasi yang menunjukkan volatilitas tingkat bunga, Wt menyatakan proses Wiener dan t menyatakan waktu. Persamaan differensial pada persamaan (12) diselesaikan, dengan r0 menyatakan tingkat bunga pada saat t0 sehingga diperoleh solusi eksplisit model Rendleman–Bartter ) ) (( 1 2 (13) rt =r0 exp β − σ t + σWt . 2 Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (13) diperoleh fungsi kepadatan
4
peluang dari rt berdistribusi lognormal dalam selang [u, t] dengan u < t, yaitu ( ) [ln rt − (ln ru + (β − 21 σ 2 )δt)]2 1 exp − f (rt ) = √ . (14) 2σ 2 δt rt 2πσ 2 δt Fungsi likelihood dari persamaan (14) dapat dinyatakan sebagai L(β, σ) =
n ∏ i=1
( ) [ln ri − (ln ri−1 + (β − 12 σ 2 )δt)]2 √ exp − . 2σ 2 δt ri 2πσ 2 δt 1
(15)
Untuk mempermudah perhitungan, persamaan (15) dimodifikasi menjadi bentuk ln L(β, σ), yaitu n ∑ n 1 1 ln L (β, σ) = − ln ri + ln − 2 2 2 2πσ δt 2σ δt i=1 [( n ∑ 1 ln ri2 − 2 ln ri (ln ri−1 + (β − σ 2 )δt) 2 i=1 )] 1 + (ln ri−1 + (β − σ 2 )δt)2 . (16) 2 Selanjutnya pada persamaan (16) dilakukan turunan parsial terhadap β dan σ yaitu ∂ ln L (β, σ) ln r0 ln rn n β δt 1 = − 2 + 2 − + n δt ∂β σ σ σ2 2 n 2 − ln r0 + ln rn + 2 σ δt β= , nδt
(17) (18)
dan ∂ ln L (β, σ) n 2β(ln r0 − ln rn ) n β 2 δt nσ δt =− + + − ∂σ 2σ σ3 σ3 4 ] n [ 2 2 ∑ 2 ln ri ln ri−1 − (ln ri−1 ) − (ln ri ) − σ 3 δt i=1 ) ( n ) ) ( ( (∑ n ∑ 2 −8 ri δt + 4 ln σ= ri2 + nδ 2 t2 ( n ∑
)
i=1
+4n ln δt − 4 −8β
( n ∑
i=1
ri2
)
+8
( ni=1 ∑
(19)
) ri ln(ri−1 )
i=1
) ln(ri−1 ) δt + 4nδ t β . 2 2 2
(20)
i=1
Persamaan (3.18) dan (3.20) masing–masing masih bergantung pada β dan σ. Karena dengan metode MLE tidak dapat ditentukan parameternya, maka
5
estimasi dilakukan pendekatan numerik dengan menggunakan metode Newton– Raphson. Pada artikel ini metode Newton–Raphson dilakukan dengan software Matlab. Taksiran parameter untuk tingkat bunga model Rendleman–Bartter dengan metode Newton–Raphson dinyatakan dengan βt+1 = β¯ dan σt+1 = σ ¯ dimana β¯ dan σ ¯ adalah taksiran dari parameter β dan σ. Pada metode Newton–Raphson ditentukan taksiran awal β0 dan σ0 . Pada artikel ini toleransi error yang digunakan adalah sebesar TOL= 10−6 dengan 50 iterasi. Selanjutnya dengan menggunakan software Matlab versi R2013a dan data BI rate dari tahun 2006 sampai 2015 dengan taksiran awal β(0) = 0, 1 dan σ(0) = 0, 2 diperoleh taksiran parameter tingkat bunga model Rendleman–Bartter yaitu β¯ = 0, 0378 dan σ ¯ = 0, 276. Winklevoss [7, h. 38] menjelaskan di dalam bukunya misalkan x usia peserta asuransi dana pensiun, dan Sx menyatakan gaji saat ini untuk peserta berusia x, dan sx merupakan akumulasi gaji dari usia masuk x sampai usia x + t. Apabila kenaikan gaji sebesar e setiap tahunnya, maka besarnya gaji peserta pada saat berusia x + t bedasarkan gaji saat berusia x dinyatakan oleh Sx+t = Sx (1 + e)t .
(21)
Usia pensiun dinyatakan dengan w, Bx merupakan manfaat pensiun ketika seseorang berusia w yang dibayar setiap tahunnya berdasarkan persentase tetap dari rata–rata gaji peserta dalam setahun dinyatakan oleh Bx = k(w − x) · sx . (22) Di dalam Winklevoss [7, h. 72] dijelaskan bahwa Present Value Benefit Future (PVFB) adalah nilai sekarang dari manfaat pensiun berkala yang akan diterima oleh peserta program pensiun di masa yang akan datang. Secara matematis dirumuskan (P V F B)x = Bx w−x px v w−x a ¨x . (23) Pada persamaan (23) nilai sekarang untuk kasus multiple decrement dapat dinyatakan oleh ) w−x a ¨x , (24) (P V F B)x = Bx w−x p(T x v dengan Bx menyatakan manfaat pensiun berkala kepada seseorang yang berusia (T ) x, w−x px menyatakan peluang bertahan total untuk seseorang berusia x dapat hidup sampai w−x tahun, v w−x menyatakan faktor diskon untuk peserta dengan w − x tahun dan a ¨x menyatakan nilai tunai anuitas seumur hidup awal untuk seseorang berusia x. Bowers et al.[1, h. 645] menyatakan bahwa untuk tingkat bunga yang tidak konstan, yaitu tingkat bunga selama t tahun berturut–turut r1 , r2 , ..., rt faktor diskonnya dinyatakan oleh 1 . (25) v t = ∏n t=1 (1 + r(t))
6
Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (13) ke persamaan (25) pada interval waktu n + 1 dan mensubstitusikan nilai parameter β dan σ sehingga diperoleh 1 RB t+1 v = ∏n+1 . (26) 1 2 t=1 (1 + r(0) exp((0, 0378 − 2 (0, 276) )t + 0, 276Wt )) Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (26) ke persamaan (11) diperoleh nilai tunai anuitas hidup awal untuk seseorang berusia x tahun sampai x + t tahun untuk kasus multiple decrement dengan menggunakan tingkat bunga Rendleman–Bartter yaitu w−x−1 ∑ 1 a ¨x = ∏n+1 1 2 t=1 (1 + r(0) exp((0, 0378 − 2 (0, 276) )t + 0, 276Wt )) t=0 1 − ∏n+1 t qx1(1) 1 2 t=1 (1 + r(0) exp((0, 0378 − 2 (0, 276) )t + 0, 276Wt )) 1 − ∏n+1 t qx1(2) 1 2 t=1 (1 + r(0) exp((0, 0378 − 2 (0, 276) )t + 0, 276Wt )) 1 + ∏n+1 t qx1(1) qx1(2) . 1 2 )t + 0, 276W )) (0, 276) (1 + r(0) exp((0, 0378 − t t=1 2 (27) Kemudian persamaan (27) disubstitusikan ke persamaan (24) sehingga diperoleh nilai sekarang dari manfaat pensiun untuk kasus multiple decrement dengan tingkat bunga Rendleman–Bartter yaitu (P V F B)x =Bx w−x px(T ) RB v w−x w−x−1 ∑
1 1 2 t=1 (1 + r(0) exp((0, 0378 − 2 (0, 276) )t + 0, 276Wt )) t=0 1 − ∏n+1 t qx1(1) 1 2 t=1 (1 + r(0) exp((0, 0378 − 2 (0, 276) )t + 0, 276Wt )) 1 − ∏n+1 t qx1(2) 1 2 )t + 0, 276W )) (1 + r(0) exp((0, 0378 − (0, 276) t t=1 2 1 t qx1(1) qx1(2) . + ∏n+1 1 2 t=1 (1 + r(0) exp((0, 0378 − 2 (0, 276) )t + 0, 276Wt )) (28) ∏n+1
Contoh 3.1 Seorang karyawan di sebuah perusahaan perkebunan kelapa sawit yang mengikuti program asuransi dana pensiun pada tanggal 29 april 1993 di usia 26 tahun. Usia pensiun yang ditentukan perusahaan adalah w = 56. Dia lahir pada tanggal 19 maret 1967, sehingga dia pensiun pada tanggal 19 maret 2023. Gaji pokok yang dia terima tiap bulannya sebesar Rp 2.285.245, 00, tahun pertama kerja kenaikan gaji sebesar e = 9% pertahun, dan nilai manfaat pensiun yang diberikan kepada peserta asuransi dana pensiun adalah sebesar 7
k = 2%. Pada bulan juli 2015, dia mengalami kecelakaan yang mengakibatkan meninggal dunia pada usia 48 tahun. Jika tingkat bunga yang berlaku i= 7%, r(0) = 0.07. Pihak asuransi akan menghitung 1. nilai sekarang dari manfaat pensiun untuk kasus multiple decrement. 2. nilai sekarang dari manfaat pensiun untuk kasus multiple decrement dengan tingkat bunga Rendleman–Bartter. Penyelesaian: Dari kasus di atas diketahui usia masuk x = 26, usia untuk pensiun normal w = 56, usia pensiun untuk kasus multiple decrement 48 tahun. Proporsi gaji k = 2%, kenaikan gaji e = 9%, tingkat bunga i= 7% dan r(0) = 0, 07. Pembayaran dilakukan setiap awal tahunnya dan gaji pada bulan pertama s26 =Rp 2.285.245, 00. Gaji karyawan untuk satu tahun pertama adalah sebesar S26 = Rp 2.285.245, 00 × 12 bulan S26 = Rp 27.422.940, 00. Tingkat kenaikan gaji yang diberikan e = 9%, dengan menggunakan persamaan (22) di peroleh untuk t=29 S26+29 = Rp 27.422.940, 00 (6, 6586) S55 = Rp 333.797.018.90. Besar manfaat pensiun berdasarkan fungsi besar gaji terakhir. Berdasarkan persamaan (23) diperoleh B56 = 2%(56 − 26)(Rp 333.797.018.90) B56 = Rp 200.278.211, 34. Selanjutnya untuk kasus multiple decrement dibatasi hanya dua kasus yaitu meninggal dunia yang di simbolkan dengan j = 1 dan cacat permanen yang disimbolkan dengan j = 2. Dengan menggunakan persamaan (7) dan (8) peluang keluar untuk kasus multiple decrement di peroleh sebagai berikut: Untuk x = 26 dan j = 1 peluang keluar diperoleh ( ) 1 1(2) 1(1) (1) 1 − q26 q26 =q26 2 ) ( 1 =0, 00162 1 − (0, 00028) 2 (1)
q26 =0, 00162.
8
Untuk j = 2 diperoleh (2) q26
( ) 1 1(1) 1 − q26 2 ) ( 1 =0, 00028 1 − (0, 00162) 2
1(2) =q26
(2)
q26 =0, 00028. Untuk peluang keluar total diperoleh (T )
(1)
(2)
q26 =q26 + q26 =0, 00162 + 0, 00028 (T )
q26 =0, 00190. (1)
(2)
(T )
(1)
(2)
Untuk q27 , q27 , q27 dari usia 27 sampai 56 dapat diselesai kan seperti q26 , q26 (T ) dan q26 diatas. 1. Nilai sekarang dari manfaat pensiun untuk kasus multiple decrement. Faktor diskon untuk tingkat bunga diskon diperoleh 0.93458. Selanjutnya akan dihitung anuitas hidup awal peserta asuransi. Berdasarkan persamaan (11) akan diperoleh a ¨56 =
56−26−1 ∑
v 0 − v 0 0 (qx1(1) ) − v 0 0 (qx1(2) ) + v 0 0 (qx1(1) qx1(2) ) + ...
t=0 29
a ¨56
+ v − v 29 29 (qx1(1) ) − v 29 29 (qx1(2) ) + v 29 29 (qx1(1) qx1(2) ), =13.00324.
Dengan cara yang sama diperoleh anuitas hidup awal untuk kasus multiple decrement untuk usia 48 tahun adalah a ¨48 = 11.82737. Selanjutnya akan dihitung nilai sekarang dari manfaat pensiun untuk peserta laki–laki yang pensiun pada usia 48 tahun dengan v 56−48 = 0.58201, (T ) 56−48 p48 , berdasarkan persamaan (24) nilai sekarang dari manfaat pensiun dengan tingkat bunga konstan diperoleh sebagai berikut: (P V F B)48 =B48
(T ) 56−48 p48
48−26−1 ∑
v 56−48
v 0 − v 0 0 (qx1(1) ) − v 0 0 (qx1(2) ) + v 0 0 (qx1(1) qx1(2) ) + ...
t=0 21
(P V F B)48
+ v − v 21 21 (qx1(1) ) − v 21 21 (qx1(2) ) + v 21 21 (qx1(1) qx1(2) ) =Rp 61.006.720, 41 X 0.96122 X 0.58201 X 11.82737 =Rp 531.605.069, 59.
Pada usia 56 tahun dengan cara yang sama diperoleh Rp.2.604.266.303, 47. Jadi nilai sekarang dari manfaat pensiun dengan tingkat bunga konstan
9
untuk peserta yang pensiun pada usia pensiun normal 56 tahun adalah sebesar Rp.2.604.266.303, 47 dan untuk peserta yang mengalami kasus pada usia 48 tahun adalah sebesar Rp.531.605.069, 59. 2. Nilai sekarang dari manfaat pensiun untuk kasus multiple decrement dengan tingkat bunga Rendleman–Bartter. Selanjutnya akan dihitung anuitas hidup awal peserta asuransi dengan tingkat bunga Rendleman–Barrter. Berdasarkan persamaan (27) akan diperoleh 56−26−1 ∑ RB 0 a ¨56 = v − RB v 0 0 (qx1(1) ) − RB v 0 0 (qx1(2) ) + RB v 0 0 (qx1(1) qx1(2) ) + ... t=0 RB 29
a ¨56
+ v − RB v 29 29 (qx1(1) ) − RB v 29 29 (qx1(2) ) + RB v 29 29 (qx1(1) qx1(2) ), = 21.75331.
Peserta mengalami kecelakaan kerja pada usia 48 tahun, dengan cara yang sama sehingga anuitas seumur hidup awal pada usia tersebut a ¨48 = 16.59300. Selanjutnya akan dihitung nilai sekarang dari manfaat pensiun untuk peserta laki-laki yang pensiun di usia 56 tahun dan pada peserta laki– (T ) laki yang meninggal pada usia 48 tahun dengan v 56−48 = 0.74303, 56−48 p48 , berdasarkan persamaan (28) nilai sekarang dari manfaat pensiun dengan tingkat bunga Rendleman-Bartter diperoleh (T ) (P V F B)48 =B48 56−48 p48 RB v 56−48 56−48−1 ∑
1 1 2 t=1 (1 + 0, 07 exp((0, 0378 − 2 (0, 276) )t + 0, 276Wt )) t=0 1 − ∏n+1 t qx1(1) 1 2 t=1 (1 + 0, 07 exp((0, 0378 − 2 (0, 276) )t + 0, 276Wt )) 1 − ∏n+1 t qx1(2) 1 2 )t + 0, 276W )) (1 + 0, 07 exp((0, 0378 − (0, 276) t t=1 2 1 + ∏n+1 t qx1(1) qx1(2) 1 2 t=1 (1 + 0, 07 exp((0, 0378 − 2 (0, 276) )t + 0, 276Wt ))
(P V F B)48
∏n+1
=Rp 80.343.296, 07 X 0.96122 X 0.74303 X 16.59767 =Rp 952.412.690, 77.
Pada usia 56 tahun dengan cara yang sama diperoleh Rp 4.362.244.788, 36. Jadi nilai sekarang dari manfaat pensiun pada saat peserta meninggal dunia pada usia 48 tahun dengan tingkat bunga Rendleman–Bartter adalah Rp 952.412.690, 77 dan untuk peserta pensiun normal pada usia 56 tahun nilai sekarang dari manfaat pensiun untuk dengan tingkat bunga Rendleman– Bartter yang akan diterima adalah sebesar Rp 4.362.244.788, 36. 5. KESIMPULAN Kesimpulan yang didapat dari pembahasan artikel yaitu nilai sekarang dari manfaat pensiun dipengaruhi besar gaji yang diperoleh oleh peserta asuransi 10
dana pensiun dan tingkat kenaikan gaji e serta akumulasi gaji keseluruhan peserta asuransi dana pensiun. Dalam perhitungan digunakan kasus multiple decrement, dalam hal ini di batasi utuk dua kasus yaitu meninggal dunia dan cacat permanet. Untuk kasus multiple decrement menggunakan nilai anuitas hidup awal yang dipengaruhi oleh model tingkat bunga Rendleman-Bartter, yang mana nilai tunai anuitas hidup awal dengan tingkat bunga Rendleman– Bartter lebih besar dibandingkan dengan anuitas hidup awal menggunakan tingkat bunga konstan. Hal ini disebabkan karena model tingkat bunga Rendleman–Bartter dipengaruhi oleh nilai parameternya yaitu β dan σ, yang mana nilai parameternya dapat berubah-ubah setiap saat. Jika nilai parameter β dan σ kecil, maka faktor diskonnya akan besar, sebaliknya jika nilai parameternya β dan σ besar maka faktor diskonnya akan kecil. DAFTAR PUSTAKA [1] N. L. Bowers, H. U. Gerber, J. C. Hikcman, D. A. Jones dan C. J. Nesbitt. Actuarial Mathematics, The Society of Actuaries, Schaumburg, 1997. [2] A. Chen, A risk-based model for the valuation of pension insurance, Mathematics and Economics, 49 (2011), 401–409. [3] T. Futami, Matematika Asuransi Jiwa, Bagian I. Terj. dari Seimei Hoken Sugaku, Jokan(92 Revision), oleh G. Herliyanto, Oriental Life Insurance Cultural Devolopment Center, Tokyo, 1993. [4] J. C. Hull, Options, Futures, and Orther Derivative, Fifth Edition, Education International, Upper Saddle River, 2003. [5] S. D. Promislow, Fundamental of Actuarial Mathematics, Second Edition, John Wiley & Sons., Toronto, 2011. [6] R. E. Walpole, R. H. Myers, S. L. Myers dan K. Ye. Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Ninth Edition, Pearson Education International, Upper Saddle River, 2012. [7] H. E. Winklevoss, Pension Mathematics With Numerical Illustrations, University of Pennsylvania Press, Philadelphia, 1976.
11
