KAJIAN DAERAH STABILITAS MODEL TINGKAT BUNGA RENDLEMAN-BARTTER
Tri Handhika dan Murni Program Magister Matematika, Departemen Matematika, Universitas Indonesia, Depok
[email protected] ;
[email protected]
ABSTRAK
Umumnya investor dalam pasar keuangan tergolong risk averse di mana resiko tersebut berhubungan erat dengan pergerakan tingkat bunga. Ketidakpastian pergerakan tingkat bunga di masa depan merupakan bagian penting dalam teori pengambilan keputusan keuangan, misalnya dalam menentukan harga suatu produk turunan tingkat bunga atau dalam hal manajemen resiko. Penelitian ini mengkaji daerah stabilitas model tingkat bunga Rendleman-Bartter (RB) yang dipengaruhi oleh parameter model RB tersebut. Kriteria stabilitas yang akan dibahas adalah kriteria stabilitas stokastik asimtotik dan stabilitas mean-square. Kajian ini sangat dibutuhkan untuk menguji apakah hasil taksiran parameter model RB menghasilkan solusi yang masih mendekati solusi masalah sebenarnya atau tidak. Hal ini berdasarkan solusi suatu model tingkat bunga, tidak hanya ditentukan oleh metode penaksiran parameter yang digunakan tetapi juga dipengaruhi oleh stabilitas model. Kata kunci: Model Rendleman-Bartter; Stabilitas model stokastik.
I.
PENDAHULUAN Umumnya investor dalam pasar keuangan tergolong risk averse di mana resiko
tersebut berhubungan erat dengan pergerakan tingkat bunga. Ketidakpastian pergerakan tingkat bunga di masa depan merupakan bagian penting dalam teori pengambilan keputusan keuangan. Ketidakpastian ini juga merupakan kendala dalam menentukan harga suatu produk turunan tingkat bunga maupun dalam hal manajemen resiko. Secara matematis, fenomena perubahan tingkat bunga dapat dimodelkan dengan Persamaan Diferensial Stokastik (PDS). Solusi PDS bergantung pada parameter yang kenyataannya tidak diketahui nilainya. Masalah perilaku model PDS di sembarang waktu t disebut juga sebagai stabilitas model stokastik yang merupakan kriteria penting dalam melakukan peramalan (forecasting). Hal ini berdasarkan solusi suatu model tingkat bunga, tidak hanya ditentukan oleh metode penaksiran parameter yang digunakan tetapi juga dipengaruhi oleh stabilitas model. Kriteria stabilitas model stokastik yang akan dibahas adalah kriteria stabilitas stokastik asimtotik dan stabilitas mean-square dari salah satu
model tingkat bunga, yakni model RB. Model RB ini mendeskripsikan pergerakan tingkat bunga (short rate) menurut satu sumber resiko atau satu variabel ketidakpastian, yaitu
.
Berdasarkan kriteria-kriteria stabilitas tersebut, dapat diketahui nilai parameter yang
mengakibatkan model RB menjadi stabil. Hal ini diperoleh melalui identifikasi apakah parameter yang dimaksud terletak pada daerah stabilitasnya atau tidak. Pada akhir makalah, akan dilengkapi pula dengan ilustrasi daerah stabilitas model RB.
II.
BAHAN DAN METODE Permasalahan pada penelitian ini diselesaikan melalui studi literatur. Prosedur
awal yang dilakukan dalam penelitian ini adalah menentukan solusi eksplisit model RB melalui penerapan Rumus Ito dengan terlebih dahulu diberikan Lemma berikut ini [4]: Misalkan U : 0, T memiliki turunan-turunan parsial yang kontinu
U U , , dan t x
2U . Maka untuk sembarang t , t t 0, T dan x, x x terdapat konstantax 2 konstanta 0 1, 0 1 sedemikian sehingga
U U t t , x t t , x x t x 2 1U 2 t , x x x . 2 2 x
U t t , x x U t , x
Selanjutnya, dari Lemma di atas dapat dikembangkan menjadi Rumus Ito sebagai berikut [4]: Misalkan Yt U t , X t untuk 0 t T di mana U seperti dalam Lemma di atas dan X t memenuhi t
t
s
s
X t X s e u, du f u, dWu dengan
e , f LT . Maka
t U U 1 2U Yt Ys u , X u eu u , X u f u2 2 u , X u du s x 2 x t t U fu u, X u dWu s x (1)
dengan probabilitas 1, untuk sembarang 0 s t T . Penerapan Rumus Ito tersebut diperlukan karena model RB termasuk dalam kategori PDS, yakni persamaan diferensial dengan efek random yang memiliki variasi tak terbatas [4]. Solusi PDS tidak dapat diperoleh dengan menerapkan Integral Riemann, integral Lebesgue, maupun integral Riemann-Stieltjes, melainkan dengan menerapkan Integral Ito ataupun Integral Stratonovich yang memerlukan Rumus Ito di atas. Prosedur
selanjutnya
adalah
menentukan
stabilitas
model
RB.
Namun,
sebelumnya akan dibahas beberapa kriteria stabilitas model stokastik. Misalkan diberikan masalah nilai awal stokastik berikut ini:
dX t f X t dt g X t dWt untuk 0 t T , X 0 x0 ,
(2)
dengan f 0 g 0 0, maka X t 0 merupakan solusi stasioner dari masalah nilai awal stokastik tersebut. Terdapat banyak cara dalam mendefinisikan stabilitas model stokastik untuk solusi stasioner. Dalam penelitian ini, hanya akan dibahas stabilitas stokastik asimtotik dan stabilitas mean-square. Selanjutnya, asumsikan bahwa X 0 0 , maka
stabilitas
stokastik
asimtotik
dan
stabilitas
mean-square
masing-masing
didefinisikan sebagai berikut [1]: a) Jika lim X t 0 dengan probabilitas 1, maka X t 0 stabil secara stokastik asimtotik. t
b) Jika lim E X t t
2
0 , maka X
t
0 stabil secara mean-square.
Berdasarkan definisi di atas, akan ditentukan stabilitas model RB.
(3)
III.
HASIL DAN PEMBAHASAN Pada Hasil dan Pembahasan berikut, pertama-tama akan ditunjukkan solusi
eksplisit beserta kriteria stabilitas model PDS
dX t aX t dt bX t dWt
(4)
dengan a, b dan Wt merupakan suatu proses Wiener pada waktu t . Selanjutnya, solusi eksplisit dan kriteria stabilitas tersebut dapat diimplementasikan ke dalam model RB yang persamaannya ekivalen dengan PDS persamaan (4). Pada makalah ini akan dilengkapi pula ilustrasi kriteria stabilitas model RB yang dinyatakan sebagai suatu daerah stabilitas. Kemudian, dilakukan uji kestabilan model RB menggunakan parameterparameter yang terletak di dalam maupun di luar daerah stabilitas tersebut. Sebelum menentukan kriteria stabilitas model PDS tersebut, terlebih dahulu akan diselesaikan solusi eksplisit model PDS dengan menggunakan Rumus Ito yang telah dibahas pada Bab II di atas. Misalkan Yt U t , X t dengan U t , x ln x , maka berdasarkan persamaan (1) diperoleh t t 1 1 2 2 1 1 Yt Y0 0 aX u b X u 2 du bX u dWu , 0 0 Xu 2 X X u u N 1 t 1 t a b 2 du b lim Wt j1 Wt j ; t j j t , t , 0 t 0 2 N j 0 N 1 t 1 a b 2 du b lim Wt j1 Wt j , 0 2 N j 0 1 a b 2 t bWt . 2
Dengan pemisalan Yt U t , X t di mana U t , x ln x diperoleh
1 X t X 0 exp a b 2 t bWt . 2
(5)
Selanjutnya, pandang persamaan (2) dengan mensubstitusikan f X t aX t dan
g X t bX t diperoleh
dX t aX t dt bX t dWt untuk 0 t T , X 0 x0 ,
(6)
dengan a, b dan Wt merupakan suatu proses Wiener pada waktu t . Sekarang, akan ditunjukkan stabilitas stokastik asimtotik dari X t . Berdasarkan persamaan (5) diperoleh bentuk mutlak berikut ini:
1 X t X 0 exp at exp bWt . exp b 2t 2
(7)
Misalkan a u vi dan b m ni , maka persamaan (7) menjadi
1 X t X 0 exp mWt exp u m 2 n 2 t , 2 1 X 0 exp mWt exp Re a b 2 t , 2 dengan bentuk limit
1 lim X t X 0 lim exp mWt exp Re a b 2 t . t t 2
(8)
Kemudian, pembuktian ini akan dilanjutkan melalui dua tahap sebagai berikut:
1 2
Tahap pertama, jika diketahui Re a b 2 0 , maka akan ditunjukkan X t 0 stabil secara stokastik asimtotik pada waktu t besar. Berdasarkan definisi pada persamaan (3.a), X t 0 stabil secara stokastik asimtotik pada waktu t besar, berarti bahwa
1 lim X t 0 dengan probabilitas 1. Oleh karena Re a b 2 0 , maka t 2
persamaan (8) menjadi
lim X t X 0 lim exp mWt 0 0 t t dengan probabilitas 1.
Selanjutnya pada tahap kedua, jika diketahui X t 0 stabil secara stokastik
1 2
asimtotik pada waktu t besar, maka akan ditunjukkan Re a b 2 0 . Misalkan
1 Re a b 2 0 , maka dari persamaan (8) diperoleh 2 1 lim X t X 0 lim exp mWt exp Re a b 2 t . t t 2 Karena diketahui bahwa X t 0 stabil secara stokastik asimtotik pada waktu t besar maka persamaan di atas menjadi
1 X 0 lim exp mWt exp Re a b 2 t 0, t 2 1 lim exp mWt exp Re a b 2 t 0. t 2 Persamaan
terakhir
di
atas
1 lim exp Re a b 2 t 0 . t 2
hanya
terpenuhi
Oleh
karena
lim exp mWt 0
jika
t
1 Re a b 2 0 , 2
atau maka
1 lim exp Re a b 2 t 0 sehingga lim exp mWt haruslah 0 atau mWt . t t 2 Akan tetapi, mWt . Hal ini kontradiksi dengan yang diketahui bahwa lim X t 0 t
1 2
dengan probabilitas 1. Oleh karena itu, haruslah Re a b 2 0 . Dengan pembuktian dua tahap tersebut, telah terbukti bahwa solusi stasioner
X t 0 stabil secara stokastik asimtotik pada waktu t besar jika dan hanya jika 1 Re a b 2 0. 2
(9)
Berikut ini akan ditunjukkan pula bahwa solusi stasioner X t 0 juga stabil secara mean-square. Berdasarkan persamaan (5) diperoleh bentuk mutlak kuadrat sebagai berikut:
X t X 0 exp at 2
2
2
2
2 1 exp b 2t exp bWt . 2
Misalkan a u vi dan b m ni , maka X t
2
menjadi
X t X 0 exp 2ut exp m 2 n 2 t exp 2mWt , 2
2
sehingga
2
E Xt
X
X0
exp 2 Re a b t .
exp 2u m 2 n 2 t ,
2 0 2
2
dengan bentuk limit
lim E X t t
2
X
2 0
lim exp 2 Re a b t
2
t .
(10)
Kemudian, pembuktian ini juga akan dilakukan melalui dua tahap sebagai berikut: Tahap pertama, jika diketahui X t 0 stabil secara mean-square, maka akan ditunjukkan 2 Re a b 0 . Berdasarkan definisi pada persamaan (3.b), X t 0 stabil 2
secara mean-square, berarti bahwa lim E X t t
2
0 . Dengan demikian persamaan (10)
menjadi
lim E X t t
2
X
0
lim exp 2 Re a b t
2
2
2
t 0,
atau
lim exp 2 Re a b t
t 0.
Persamaan terakhir ini hanya dipenuhi jika 2 Re a b 0 . 2
Selanjutnya pada tahap kedua, jika diketahui 2 Re a b 0 , maka akan 2
ditunjukkan X t 0 stabil secara mean-square. Oleh karena 2 Re a b 0 , maka 2
persamaan (10) menjadi
lim E X t t
2
X
2 0
0 0.
Dengan pembuktian dua tahap tersebut, solusi stasioner X t 0 juga stabil secara mean-square jika dan hanya jika
2 Re a b 0. 2
(11)
Kriteria stabilitas pada persamaan (9) dan (11) di atas dapat diterapkan pada salah satu model tingkat bunga dalam bidang keuangan, dalam hal ini model RB yang persamaannya ekivalen dengan model PDS persamaan (4) untuk a , b seperti diberikan berikut ini [5]:
drt art dt brt dWt ,
(12)
dengan rt adalah tingkat bunga (short rate) pada waktu t , a adalah parameter ekspektasi laju pengembalian, b adalah parameter standar deviasi yang menunjukkan volatilitas short rate, sedangkan Wt
adalah suatu proses Wiener pada waktu t .
Berdasarkan persamaan (8), stabilitas stokastik asimtotik model RB memenuhi b 2 2a . Sedangkan, berdasarkan persamaan (9) stabilitas mean-square model RB memenuhi
b 2 2a . Kriteria stabilitas stokastik asimtotik dan stabilitas mean-square model RB di atas dapat diilustrasikan sebagai daerah stabilitas model stokastik dengan menggunakan software Maple 11 sebagai berikut:
b2
b2
a
a Gambar 1.a Daerah stabilitas stokastik asimtotik
Gambar 1.b Daerah stabilitas mean-square model
model RB
RB
Berdasarkan kedua gambar di atas, terlihat bahwa daerah stabilitas mean-square model RB terletak di dalam daerah stabilitas stokastik asimtotik model RB atau dengan
kata lain solusi model RB yang stabil secara mean-square juga akan stabil secara stokastik asimtotik tetapi tidak berlaku sebaliknya. Dengan memilih salah satu nilai parameter yang terletak di dalam daerah stabilitas model RB tersebut dapat terlihat bahwa rt 0 stabil secara stokastik asimtotik dan stabil secara mean-square seperti diilustrasikan pada Gambar 2.a dan 2.b. Kedua gambar tersebut diperoleh melalui implementasi metode Euler-Maruyama terhadap persamaan (12) dengan menggunakan software Matlab 7.01 berikut ini [3]:
Gambar 2.a Uji kestabilan stokastik asimtotik model RB dengan
a 1 dan b 2
Gambar 2.b Uji kestabilan mean-square model RB dengan
a 1 dan b 1
Gambar 2.a mengilustrasikan sebuah lintasan tingkat bunga model RB terkait dengan kestabilan stokastik asimtotik untuk a 1 dan b 2 . Sedangkan, Gambar 2.b mengilustrasikan suatu lintasan yang merupakan rata-rata dari 10.000 simulasi lintasan model RB terkait dengan kestabilan mean-square untuk a 1 dan b 1 . Nilai rt dan
pada masing-masing lintasan semakin lama akan menuju nol sehingga r 0
E rt
2
t
memenuhi kestabilan stokastik asimtotik maupun kestabilan mean-square. Akan tetapi, jika dipilih nilai parameter yang terletak di luar daerah stabilitas model RB, maka terlihat bahwa rt 0 tidak stabil baik secara stokastik asimtotik maupun secara mean-square.
menuju tak hingga, seperti
Hal ini terjadi karena semakin lama baik nilai rt dan E rt
2
diilustrasikan pada gambar berikut ini:
Gambar 3.a Uji ketidakstabilan stokastik asimtotik model RB dengan
a2
dan
b 1
Gambar 3.b Uji ketidakstabilan mean-square model RB dengan
a 1 dan b 2
IV.
KESIMPULAN DAN PROSPEK Berdasarkan Hasil dan Pembahasan di atas, dapat disimpulkan bahwa model RB
memiliki kriteria stabilitas mean-square dan stabilitas stokastik asimtotik. Jika diperoleh taksiran parameter model RB yang masuk dalam kriteria stabilitas mean-square maka taksiran parameter tersebut juga masuk dalam kriteria stabilitas stokastik asimtotik. Taksiran parameter yang masuk dalam paling tidak salah satu kriteria tersebut akan menghasilkan solusi model RB yang stabil.
V.
UCAPAN TERIMA KASIH Penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada Ibu Bevina D. Handari dan Bapak Gatot F. Hertono selaku pembimbing. Pendanaan penelitian ini diperoleh melalui dana Riset Unggulan Universitas Indonesia (RUUI) tahun anggaran 2010.
DAFTAR PUSTAKA [1]
Allen, E. (2007), Modeling with Ito Stochastic Differential Equations, Netherland: Springer.
[2]
Anggono, S. (2004), Kajian Stabilitas pada Masalah dan Metode Numerik untuk Persamaan
Diferensial
Stokastik,
Depok:
Departemen
Matematika,
Universitas Indonesia. [3]
Higham, D. J. (2001), An Algorithmic Introduction to Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations, SIAM Review, Vol. 43, No. 3, pp. 525546.
[4]
Kloeden, P. E. and Platen, E. (1992), Numerical Solution of Stochastic Differential Equations, Heidelberg: Springer-Verlag.
[5]
Yolcu, Y. (2005), One-Factor Interest Rate Models: Analytic Solutions and Approximations, Turkey: Department of Financial Mathematics, Middle East Technical University.
