ni N4j
Ik
1
r
Opdrachtgever
Directoraat-Generaal Rijkswaterstaat Dienst Weg- en Waterbouwkunde *
November 1993
H 1943
waterloopkundig IaboratoriumwL
Concept
Case-study Noord-Schuddeland
Lengte-effect in de bezwijkkans berekeningen
C.F. de Valk
waterloopkundig laboratorium lWL
Case-study Noord Schuddeland
H 1943
november 1993
Inhoud Lijst van figuren blz. 1 Inleiding ...........................................1 2 Een eerste aanzet tot de bepaling van het lengte-effect voor steenzettingen 2 3 Een voorbeeld .......................................4 4 Afschatting van het lengte-effect of basis van het optreden van zwakke plekken in de bekleding .................................6
5 Conclusies en aanbevelingen ..............................8
Referenties Figuren Appendix A: Enige kanttekeningen bij de statistische basis en methodiek voor het bepalen van het lengte-effect Appendix B: Voorbeelden van uitwerking van het lengte-effect in twee bijzondere gevallen
waterloopkundig laboratorium
1
WL
Case-study Noord Schuddeland
H 1943
november 1993
Lijst van figuren 1 Sterktecomponenten 2 Resultaten van trekproeven op de Afsluitdijk uit [Fugro, 1991]. 3 Voorwaardelijke bezwijkkans als functie van de lengte voor n = 0.0125 m 1 en = 0.5, 0.05 en0.005.
waterloopkundig laboratorium
1
WL
Case-study Noord Schuddeland
H 1943
november 1993
1 Inleiding In de bepaling van de bezwijkkans van een dijkvak of dijkring tijdens een storm is het effect van onbekende variaties van sterkte-parameters langs de dijk op de totale bezwijkkans van belang. Dit wordt het lengte-effect genoemd, en is in [Calle en Waarts, 19911 uitgewerkt voor het mechanisme dat in het Engels bekend staat als piping; enkele kanttekeningen bij deze aanpak zijn in Appendix A opgenomen. In het volgende zal worden ingegaan op afschatting van het lengte-effect voor het geval van steenzettingen.
waterloopkundig laboratorium
1
WL
Case-study Noord Schuddeland
H 1943
november 1993
2 Een eerste aanzet tot de bepaling van het lengte-effect voor steenzettingen De sterktecomponenten behorend bij initiële schade aan steenzettingen en behorend bij reststerkte zijn serieel (zie schema in Figuur 1). Daarom geldt dat de aanname van ondelinge onafhankelijkheid van deze twee sterktecomponenten niet conservatief is en dus alleen verantwoord wanneer dit inderdaad een plausibele aanname is. Wat betreft de initiële schade zijn er een drietal parallelle bezwijkmechanismen van belang; in dit geval is de aanname van onafhankelijkheid wel een conservatieve aanname. Wat betreft initiële schade vormt het uitlichten van een blok uit de toplaag het belangrijkste mechanisme. De in deze notitie voorgestelde aanpak is met name gericht op dit mechanisme. Aangenomen wordt dat dit alleen optreedt ter plaatse van een loszittende steen. In beschouwingen welke uitgaan van uniforme sterkteparameters wordt aangenomen dat er in een dijklichaam van gangbare lengte altijd wel een steen loszit waar bij voldoende hoge belasting bezwijking op kan treden. In een probabilistische benadering is de frequentie van voorkomen van loszittende stenen echter van cruciaal belang daar deze het aantal potentiele schadeplekken per lengte-eenheid bepaalt. We kunnen op grond van deze redenering de kans op bezwijken van een dijksegment met een steenzetting over het interval [O,L] schrijven als de kans dat er minstens een steen loszit en bovendien bij een van deze losse stenen initiële schade optreedt en de reststerkte wordt overschreden. Om te beginnen kunnen we, om het eenvoudig te houden, van de volgende aannamen uitgaan (de volgende paragraaf gaat hier verder op in): De waarden van de fysische parameters die de sterkte bepalen op verschillende lokaties van losse stenen kunnen als onafhankelijk worden beschouwd (dit geldt uiteraard niet voor de variabelen die de onzekerheid in de formules weergeven, welke onafhankelijk zijn van de lokatie). Dit geldt wanneer de lengteschaal van variaties in deze parameters klein is in verhouding tot de gemiddelde afstand tussen loszittende stenen. 2 Het voorkomen van losse stenen kan worden opgevat als een Poisson proces (in het bijzonder houdt dit in dat de aantallen losse stenen in disjuncte intervallen onderling onafhankelijk zijn). Uit deze aannamen volgt dat bij gegeven uniforme waarden van de belastingen s en onzekerheidsfactoren c (mogelijk op te vatten als vectoren), de voorwaardelijke kans op bezwijken van de dijk kan worden geschreven als P[dijk bezwijkt in [O,L] 1 c,s] = (flL)flL [1 -(1-P E _____
k=1,2,... k!
)k]
- 1 -e
-nLP
(la)
-
met = P [dijk bezwijkt bij losse steen 1 c,sJ
waterloopkundig laboratorium
1
WL
(ib)
2
Case-stuciy Noord Schuddeland
H 1943
november 1993
en n de verwachting van het aantal losse stenen per lengte-eenheid. Reststerkte kan integraal worden meegenomen in deze formule wanneer de parameters die de reststerkte bepalen aan de gegeven aannamen voldoen. Merk op dat zowel de sterkteparameters behorend bij het mechanisme van het uitlichten van een zuil als de parameters die de reststerkte bepalen onderling afhankelijk mogen zijn, en afhankelijk mogen zijn van het voorkomen van losse stenen; die affiankelijkheden moeten dan in P,, worden verwerkt. In het niet-stationaire geval (een dijk afgedekt met een steenzetting met variërende eigenschappen) geldt dan de meer algemene uitdrukking
P[dijk bezwijkt in [O,L]
1
-
f n(x)P,(x)dx
c,s] = 1 -e
(2)
met n de ruimtelijk variërende frequentie van voorkomen van losse stenen en P de ruimtelijk variërende kans op bezwijken bij een losse steen. (2) is af te leiden door te bedenken dat de gebeurtenis bezwijken (bij de gegeven belastingen en onzekerheidsfactoren) vanwege de aannamen eveneens een niet-stationair Poisson proces is als beschreven in de appendix (zie vgl. (A3)). Gegeven de distributiefuncties Fs en Fc van belastingen tijdens een storm s en onzekerheidsfactoren c, dan kan door integratie de bezwijkkans voor de dijk over [O,L] worden berekend:
(
P[dijk bezwijkt in [O,L]]
=
ff
-
f n(x)P,(x) dx
1 -e ) dF(s) dF(c) (3)
waarin de integralen worden berekend over de ruimten waarin c en s hun waarden aannemen. Ter vergelijking zijn in Appendix B de voorwaardelijke bezwijkkansen uitgewerkt voor het geval dat de sterkteparameters uniform zijn over het dijkvak, en ook voor een bijzonder geval waarin er een zekere mate van correlatie van sterkteparameters is. Om het simpel te houden zijn beide uitgewerkt voor het stationaire geval.
waterloopkundig laboratorium
1
WL
3
Case-study Noord Schuddeland
H 1943
november 1993
3 Een voorbeeld Op de Afsluitdijk [Fugro, 19911 zat ongeveer 1 procent van het totale aantal beproefde zuilen los. Laten we voor het gemak aannemen dat de kwaliteit van de steenzetting uniform is over de dijk in de zin dat het verwachte aantal losse stenen per oppervlakte-eenheid uniform is. Nemen we voor de breedte van een zuil 0.3 m en stellen we dat de belasting op de beklede helling tijdens een storm aangrjpt op een strook van vijf meter in dwarsrichting, dan liggen er in dwarsrichting ongeveer 17 zuilen en is de kans dat er een zuil los zit in zo'n dwarsraai gelijk aan 0.157. In een raai in langsrichting van een kilometer lengte liggen ongeveer 3000 van zulke dwarsraaien dus is de kans op een dwarsraai met een losse steen vrijwel 1 (namelijk 1exp(3000*0. 157). Indien alle andere parameters die de sterkte bepalen op een nog kortere afstand in langsrichting variëren, dan is het verwachte aantal lokaties waar de dijk bezwijkt bij belastingen s en onzekerheidscoëfficiënten c dus gelijk aan 471 met de kans op bezwijken bij een losse zuil tijdens een storm bij die zelfde waarden van belastingen en onzekerheidscoëfficiënten. Wil die kans niet vrijwt i gelijk aan 1 zijn dan moet dus erg klein zijn. Een voor de praktijk relevante maat voor het lengte-effect is de waarde van P, waarbij de voorwaardelijke bezwijkkans voor het dijkvak van een kilometer zoals gegeven in vergelijking (2) gelijk is aan 0.5; deze zou uiteraard moeten corresponderen met zeer grote belastingen s enlof zeer ongunstige waarden van de onzekerheidscoëfficiënten c met een kleine frequentie van voorkomen. Die waarde van P waarbij de voorwaardelijke bezwijkkans voor het dijkvak van een kilometer gelijk is aan 0.5 is in dit voorbeeld slechts 1.5 10 3 dus het lengte-effect betekent een verhoging van de voorwaardelijke overschrjdingskans met een factor 300. Dit klinkt niet erg realistisch, dus er lijkt iets mis te zijn met de uitgangspunten. Met name is het in dit geval nauwelijks voor te stellen dat de frequentie van voorkomen van individuele losse stenen bepalend is voor het verwachte aantal potentiele schadeplekken in langsrichting. Dit zou voor het gegeven voorbeeld van de Afsluitdijk betekenen dat er in een willekeurige doorsnede van de dijk bijna altijd wel een steen los zit. ,
Dat dit niet zo is volgt uit de plots van de resultaten van trekproeven op de Afsluitdijk in [Fugro, 1991; bijlage M-0067-91 (zie Figuur 2) maar ook bijvoorbeeld [Fugro, 19921. Het blijkt dat losse stenen in clusters voorkomen die de zwakke plekken zullen vormen tijdens een storm, dus de aanname van onafhankelijkheid van de aantallen losse stenen in disjuncte intervallen is niet geldig. We zien in Figuur 2 twee clusters van losse stenen in de bovenste raai AB en een cluster in de onderliggende raai CD, waarbij de laatste op dezelfde plaats ligt als een van de clusters in raai AB. Het lijkt er dus op dat er twee zwakke plekken in het betreffende dijkvak van 160 m voorkomen. De frequentie van optreden van een zwakke plek is dus (ruwe schatting) .0125 /m dus voor een dijkvak van 1 kilometer lengte is het verwachte aantal zwakke plekken 12.5. De voorwaardelijke bezwijkkans van dit dijkvak bij gegeven belastingen s en onzekerheidscoëfficiënten c is dan gelijk aan 0.5 als de bezwijkkans op een zwakke plek Pc , bij die belastingen en onzekerheidscoëfficiënten gelijk is aan 0.055. Dit lijkt een heel wat redelijker getal: het lengte-effect voor een dijkvak van 1 kilometer is in dit voorbeeld een verhoging van de voorwaardelijke overschrjdingskans met ruwweg een factor 10.
waterloopkundig laboratorium
1
WL
4
Case-study Noord Schuddeland
H 1943
november 1993
In Figuur 3 is de kans op bezwijken van een dijkring bij gegeven waarden van belastingen en onzekerheidsfactoren van lengte L geplot als functie van L, gegeven dat zwakke plekken voorkomen met een frequentie van 0.0125 m 1 . Dit is gedaan voor drie waarden van ni. 0.5, 0.05 en 0.005 (overeenkomend met afnemende bezwijkkans in de plot).
waterloopkundig laboratorium
1
WL
Case-study Noord Schuddeland
H 1943
november 1993
4 Afschatting van het lengte-effect op basis van het optreden van zwakke plekken in de bekleding In de vorige paragraaf is aan de hand van een voorbeeld duidelijk gemaakt dat in de bepaling van het lengte-effect rekening moet worden gehouden met het feit dat losse stenen in clusters voorkomen. De kansverdeling van het aantal van zulke zwakke plekken in een dijkvak is daarom maatgevend voor de kans dat in dit dijkvak schade kan ontstaan ten gevolge van het belangrijkste schademechanisme, het uitlichten van stenen. Voor het optreden van zwakke plekken in een dijkvak kunnen dan dezelfde aannamen worden gemaakt als in paragraaf 2 gedaan voor losse stenen en vergelijking (3) kan worden gebruikt om het lengte-effect af te schatten. Daarin is dan n de verwachting van het aantal zwakke plekken per lengte-eenheid langs de dijk en P de voorwaardelijke kans op bezwijken op een willekeurige zwakke plek tijdens een storm bij gegeven belastingen s en onzekerheidsfactoren c: = P[dijk bezwijkt op zwakke plek 1 c,s]
(4)
Grootheden als de dichtheid van losse stenen in een zwakke plek, de uitwijkingen bij trekproeven of de daarvoor benodigde krachten kunnen van belang zijn voor de kans op bezwijken ter plaatste van een zwakke plek, bijvoorbeeld omdat deze weer gerelateerd zijn aan parameters die de sterkte van de toplaag bepalen. De in dit rapport gegeven kansverdelingen van parameters zoals de doorlatendheid van de toplaag hebben betrekking op een afdeklaag waarin losse stenen voorkomen. Deze kansverdelingen zijn echter niet specifiek; om te bepalen in een specifiek geval zal toch nagegaan moeten worden wat de variatie in kwaliteit van de afdeklaag op de zwakke plekken is om voor dat geval geldige schattingen te kunnen geven van kansverdelingen van parameters zoals doorlatendheden. Bovendien kan P, nog tot op zeker hoogte bepaald zijn door de omvang van een zwakke plek, dus ook de variatie daarin zou dan in P, moeten worden verwerkt. Het effect van de omvang behelst waarschijnlijk in de eerste plaats dat de kans op voorkomen van een extreem slecht deel in de afdeklaag groter wordt, met name uitgedrukt in parameters als doorlatendheden en het relatieve open oppervlak van de toplaag û. Het is met de nu beschikbare informatie echter moeilijk om betrouwbare schattingen te maken van de correllatielengten van deze parameters binnen zwakke plekken in de dijk die nodig zijn om het effect van de omvang van een zwakke plek af te schatten. Wat betreft instabiliteit van de toplaag zouden doorlatendheden en relatief open oppervlak misschien gerelateerd kunnen worden aan de verplaatsing van stenen en de daarvoor benodigde kracht in trekproeven, waarvan veel meer gegevens beschikbaar zijn. Wat betreft de grondmechanische instabiliteit en inzanding van het filter lijkt de bijdrage van ruimtelijke variatie tot de totale onzekerheid dermate klein dat het niet goed voor te stellen is dat deze mechanismen bijdragen tot het lengte-effect. Onder die aanname kan dus de voorwaardelijke kans op bezwijken P ter plaatse van een zwakke plek in de toplaag benaderd worden door een eerste-orde, tweede moment berekening uit te voeren voor de veschillende schademechanismen (initiële schade en reststerkte). Voor de parameters van de toplaag zoals doorlatendheden en relatief open oppervlak zou de kansverdeling betrekking moeten hebben op het slechtste deel van een willekeurige zwakke plek in het beschouwde dijkvak, waarin ook het effect van de variatie in de omvang van een zwakke plek is verwerkt. waterloopkundig laboratorium
1
WL
6
Case-study Noord Schuddeland
H 1943
november 1993
Teneinde het idee van zwakke plekken in de bekleding te kunnen toepassen is het van belang dat zwakke plekken op een objectieve manier kunnen worden geïdentificeerd. Uit plots zoals in [Fugro, 1991; bijlage M-0067-9] weergegeven in Figuur 2 lijken deze redelijk eenduidig te kunnen worden bepaald; we zouden bijvoorbeeld kunnen zeggen dat het plekken zijn waarin losse stenen voorkomen (verplaatsing meer dan 25 mm) en dat twee zwakke plekken tenminste 20 meter uit elkaar moeten liggen, anders worden ze als 1 enkele zwakke plek gezien. Voor de minimale afstand tussen zwakke plekken moet een waarde worden gekozen zo dat van clustering van zwakke plekken geen sprake lijkt, d.w.z. de korte afstanden moeten niet te vaak voorkomen. Dit kan op basis van nader onderzoek van gegevens op een aantal lokaties. Daarbij wordt dan voor alle monsters in een serie trekproeven die een bepaalde waarde van de verplaatsing overschrijden (of dit doen met een kracht kleiner dan een bepaalde drempelwaarde) de afstand tot de volgende langs de raai genoteerd en vervolgens de distributiefunctie van de afstanden geschat. Als het goed is verloopt deze exponentieel voor grote afstanden maar is er een afwijking bij kleine afstanden t.g.v. de clustering, en een goede maat voor de minimale afstand tussen zwakke plekken kan uit deze afwijking worden afgeleidt; daarnaast kan een verdeling van de lengten (langs de dijk) van zwakke plekken worden bepaald uit dezelfde gegevens. Dit kan voor een aantal nivo's van verplaatsingen of voor verplaatsing benodigde kracht herhaald worden om te zien of de schattingen consistent zijn. Het criterium van een gemeten verplaatsing van 25 mm voor een zwakke plek is misschien nog te ruim en er zouden in de praktijk alleen stenen die met een kracht van aanzienlijk minder dan -1000 kgf te verplaatsen zijn als los moeten worden beschouwd. Dat de kwaliteit van de bekleding van dijken sterk kan verschillen blijkt bijvoorbeeld uit een vergelijking van de meetresultaten aan de Afsluitdijk met die in Noord-Beveland [Plooster, 19901, waar de dijk over grote delen van bepaalde raaien echt slecht is. Zoals eerder opgemerkt, kan de omvang van zwakke plekken en kwaliteit van de steenzetting daarbinnen variëren maar kan worden meegenomen in het bepalen van de voorwaardelijke kans P op bezwijken op een zwakke plek bij gegeven onzekerheidsfactoren en belastingen; heeft dan betrekking op een willekeurig gekozen zwakke plek. Als een gedeelte van een dijk werkelijk slecht is zal dit ongetwijfeld bekend zijn bij de evaluatie van de veiligheid van zo'n waterkering, d.w.z. het voorkomen van slechte dijkdelen kan niet als een onzekerheid worden beschouwd. Hiermee kan rekening worden gehouden door lokaal de definitie van een zwakke plek wat strikter te kiezen, waarbij uiteraard 1' hoger zal moeten worden. In dijkvakken met een uniform slechte bekleding zal het lengte-effect uiteindelijk bepaald kunnen zijn door andere parameters dan het voorkomen van plekken met loszittende stenen; dit kan op dezelfde manier worden bepaald als het effect van de omvang van een zwakke plek (zie boven). Ondanks dit soort complicaties in bepaalde gevallen lijkt het voorkomen van zwakke plekken in een dijk toch een betere basis voor bepaling van het lengte-effect voor steenzettingen dan de ruimtelijke correlaties van fysische parameters die de sterkte bepalen; het laatste wordt alleen aanbevolen voor schatting van het effect van de omvang van een zwakke plek in de bekleding.
waterloopkundig laboratorium
1
WL
7
Case-study Noord Schuddeland
H 1943
november 1993
5 Conclusies en aanbevelingen 1-let lijkt verantwoord om het lengte-effect op de bezwijkkansen van een dijkvak bekleed met een steenzetting af te schatten op basis van de aanname dat dit bepaald wordt door het aantal zwakke plekken in de steenzetting. Dit is gebaseerd op de volgende redenering, gericht op het belangrijkste bezeijkmechanisme, het uitlichten van een blok uit de toplaag. Dit schademechanisme is alleen van toepassing op plekken waar al een steen los zit, dus de orde van grootte van de afstand tussen deze plekken vormt een harde ondergrens voor het aantal punten langs de dijk waar schade kan optreden. Losse stenen blijken voor te komen in clusters (zwakke plekken in de steenzetting) en de karakteristieke afstand tussen deze clusters is waarschijnlijk groot genoeg opdat de waarden van andere sterkteparameters in verschillende clusters als onaffiankelijk kunnen worden beschouwd. De zwakke plekken kunnen als een Poisson proces worden beschreven met een langs de dijk variërende verwachting van het aantal zwakke plekken per lengte-eenheid. Onder bovengenoemde aannamen kan de bezwijkkans berekend worden met vergelijking (3) waarin naast de verwachting van het aantal zwakke plekken per lengte-eenheid ook de voorwaardelijke kans op bezwijken op een willekeurige zwakke plek bij gegeven belastingen en onzekerheidsfactoren moet worden ingevuld. Het is aannemelijk dat de omvang van een zwakke plek alleen invloed heeft op de kans op instabiliteit van de toplaag in die zwakke plek maar niet op de kans op optreden van andere schademechanismen. Onder die aanname kan de voorwaardelijke kans op bezwijken op een willekeurige zwakke plek worden benaderd door een eerste-orde, tweede moment berekening uit te voeren voor de verschillende schademechanismen (initiële schade en reststerkte). Voor de parameters van de toplaag zoals doorlatendheden en relatief open oppervlak zouden de kansverdelingen betrekking moeten hebben op het slechtste deel van een willekeurige zwakke plek in het beschouwde dijkvak waarin ook het effect van de variatie in de omvang van een zwakke plek is verwerkt. Op basis van nader onderzoek van de gegevens van trekproeven kan worden vastgesteld hoe zwakke plekken in steenzettingen het best kunnen worden geïdentificeerd. Bovendien zou moeten worden nagegaan of gegevens van trekproeven kunnen worden gerelateerd aan de parameters die de sterkte van de toplaag bepalen, om een schatting te kunnen maken van het effect van de omvang en eigenschappen van een zwakke plek op de kans op bezwijken op die plek. Het wordt aanbevolen om in eerste instantie een aantal proefberekeningen te doen waarin naast de lokale onzekerheden in de verschillende sterkteparameters en de onzekerheden t.a.v. stabiliteitsformules en belastingen tijdens een storm ook het lengte-effect gerelateerd aan zwakke plekken in de steenzetting wordt meegenomen op de hierboven omschreven wijze. Daarmee kan tenminste inzicht worden verkregen over het belang van dit effect en van de kansverdelingen die moeten worden gespecificeerd om het effect af te schatten. Op basis van een dergelijke gevoeligheidsanalyse kan dan bepaald worden op welke punten nader onderzoek gewenst is.
waterloopkundig laboratorium
1
WL
8
Case-study Noord Schuddeland
H 1943
november 1993
Referenties Calle, E.O.F. en P. Waarts, 1991, Lengte-effecten bij het mechanisme piping onder waterkeringen. Rapport CO-29446012 1, Grondmechanica Delft, Delft. Cramer, H. en M.R. Leadbetter, 1967, Stationary and related stochastic processes. Wiley, New York. Ditlevsen, 0., 1971, Extrernes and first passage times with applications in civil engineering. Rechnical University of Denmark, Copenhagen. Fugro, 1991, Rapport betreffende natuurmetingen op de Afsluitdijk ten behoeve van steenzetonderzoek basaltonzuilen voorjaar 1991 (opdrachtnummer M-0067). Fugro b.v., Leidschendam. Fugro, 1992, Rapport betreffende natuurmetingen op de zeedijk nabij Breskens ten behoeve van steenzetonderzoek basaltonzuilen najaar 1991 (opdrachtnummer M-0073). Fugro b.v., Leidschendam. Plooster, A., 1990, Tussentijdse rapportage eerste meetcampagne natuurmetingen op meetlocatie Noord-Beveland april t/m juli 1990. Rijkswaterstaat Dienst Weg- en Waterbouwkunde, Delft.
waterloopkundig laboratorium WL
Ref. - 1
initiele schade sterkte van grensvalk filter/basis
sterkte van losse steen ___ ______
H
reststerkte reststerkte reststerkte reststerkte van toplaag van filter van kleilaag van dijkkern
grondmech. stabiliteit
STERK TECOM P ON EN TEN
DELFT HYDRAULICS
H 1943
FIG.
M-067 Trekproeven steenzettingen
- .cht RAAJ AS
30
E E 0
DO )O
DOO-
2
0
o 2C
2
2
> 0
DU
00
liftJ 1 CV
t
1 VU
M-0067 Trekproeven steenzettingen
- IOC*S RAAJ CD tot.l
0 2
2C
2 i >
Ei 1±]
D00 0
___
LJ
__
M-0067 Trekproeven Steenzettingen
-
.r.d-t RAAJ EF loU
30
-
)0
E )0 o 2
300 0
0
2
o L
01
IC
0)
>
M-tXtC7 Tre4cproev.n eteenzettingen
- tS RAAJ 0$ bt.
30
-
E 01
3)
o >
Li
30 D0 D0
01
,.
uit: FUCRO, 991
RESULTATEN TREKROEVEN AFSLUTDHK
DELFT HYDRAULCS
H 1943
[Fc. 2
Voorbeelden lengte-effect steenzettingen
09
7
0.8 -J
N
o 0.6 0.5
/
/
-
1 ::
0.4
0.2
/
/
0.1 / 0 0 10 20 30 40 lengte dijkvak (km)
= 0.5, 0.05, 0.005 n = 0.0125 m 1
VOORBEELDEN LENGTE—EFFECT STEENZETTINCEN DELFT HYDRAULICS
H 1943 FIG. 3
Appendix A Enige kanttekeningen bij de statistische basis en methodiek voor het bepalen van het lengte-effect
Case-study Noord Schuddeland
H 1943
november 1993
In [Calle en Waarts, 19911 wordt de kans op voorkomen van een lage waarde van een sterkteparameter in een dijkvak berekend uitgaande van de aanname dat de aantallen onderschrjdingen van dat sterktenivo in disjuncte dijkvakken onderling onafhankelijk zijn, waardoor deze kunnen worden gemodelleerd als een Poisson proces. Op grond daarvan kan de kans op het optreden van zo'n onderschrijding in een gegeven dijkvak [O,L] (met L de lengte van het dijkvak) worden afgeleid van het gemiddelde aantal onderschrjdingen per lengte-eenheid n over dat dijkvak volgens P[onderschrijdingin [O,L]] = 1 — e'
(Al)
Deze aanname geldt asymptotisch voor onderschrjdingen van een laag nivo en groteL (zo, dat nL niet naar nul of oneindig tendeert; zie [Cramer en Leadbetter, 1967]). Het is echter te betwijfelen of deze limiet toepasbaar is wanneer gerekend wordt met hoge belastingen met een zeer kleine kans van voorkomen, waarbij de frequentie van onderschrijding van de daarbij relevante sterktenivo's zeker niet klein meer is. In dat geval kan (Al) te conservatief zijn. Met het oog hierop kan een correctie worden toegepast; bij gebrek aan simpele uitdrukkingen op theoretische basis kan gecorrigeerd worden door middel van interpolatie tussen twee grensgevallen, namelijk Poisson en volledige afhankelijkheid (of: een kort interval in verhouding tot de correlatielengte). Een voorbeeld hiervan is gegeven in [Ditlevsen, 1971], waarbij de uitdrukking (Al) vervangen is door: P[onderschrijdingin [O,L]] = 1
_Me
M
(A2)
met M de kans op een onderschrjding van het beschouwde sterktenivo voor een dijkdoorsnede op een willekeurig punt in de dijkvak. Vgl. (3.14) in [Calle en Waarts, 19911 is een poging tot zo'n heuristische aanpassing. Echter, de daarvan gegeven afleiding klopt niet omdat gelijkheid (AII.5) in [Calle en Waarts, 19911 alleen asymptotisch geldig is bij kleine onderschrjdingsfrequenties, evenals het Poisson model waarop (Al) gebaseerd is. De limiet is dan ook gewoon (Al). In feite geldt dat benaderingen voor tussenliggende gevallen sterk afhankelijk zijn van de autocorrellatiefunctie; zie [Ditlevsen, 19711. Voor correlatiefuncties die zeer glad zijn (een Gaussische vorm bijvoorbeeld) is de benadering (A2) van Ditlevsen niet slecht en heeft de eigenschap dat de afgeleide van de onderschrjdingskans naar de lengte van het interval correct is bij een interval van lengte nul. Dit is echter niet het geval voor [Calle en Waarts, 1991 ,(3. 14)], dus deze laatste uitdrukking voldoet niet aan een elementaire eis. De aanname van stationariteit van de sterkte-parameters gemaakt in [Calle en Waarts, 19911 kan geldig zijn in een bijzonder geval, maar is in het algemeen niet te verantwoorden: meestal varieert het ontwerp van de waterkering aanzienlijk binnen een enkele dijkring (zowel dimensies als gebruikte materialen). Het is dus belangrijk om eerst de bekende variaties langs de dijkring in rekening te brengen alvorens de effecten van onbekende variaties op de bezwijkkansen in rekening te brengen. Het effect op overschrjdingsfrequenties (aannemende dat we deze kunnen omrekenen naar overshrjdingskansen) is gemakkelijk te berekenen: we hoeven alleen maar de kansverdeling van het aantal gebeurtenissen in een gegeven interval af te leiden voor een puntproces dat aan alle aannamen voldoet voor het Poisson proces behalve de aanname van stationariteit.
waterloopkundig laboratorium
1
WL
Appendix A - 1
Case-study Noord Schuddeland
H 1943
november 1993
Verder kan de afleiding zoals in [Cramer en Leadbetter, 1967] worden gevolgd. Het resultaat is dat de kans P(k) op k gebeurtenissen in het interval [0,L] wordt gegeven door
P(k) = e N
n (x) dx
f k. = [OL]
(A3)
met n weer de verwachting van het aantal gebeurtenissen per lengte-eenheid welke nu echter plaatsafhankeljk is; (Al) geeft dan weer de kans op tenminste een gebeurtenis in [0,L]. Op deze manier kunnen de bekende verschillen in ontwerp en materialen langs de dij kring in rekening worden gebracht. In het geval dat de aanname van onafhankelijkheid van de aantallen gebeurtenissen over disjuncte intervallen niet meer opgaat kan (A3) wat aangepast worden wat wel wat ingewikkelder is dan in het stationaire geval, maar zeker niet onmogelijk. Uiteraard kunnen kansen zoals in (A3) ook betrekking hebben op voorwaardelijke kansen (bijvoorbeeld bij gegeven belasting of gegeven onzekerheidsfactor in stabiliteitsformules). In [Calle en Waarts, 19911 wordt een uitdrukking gegeven voor n, in dit geval het verwachte aantal punten in het dijkvak waar falen optreedt bij een gegeven waarde van de belastingen, voor het geval van een tweetal sterktemechanismen in serie waarvan de sterkten kunnen worden beschouwd als stationaire Gaussische processen [Calle en Waarts, 1991; Appendix III, vergelijkingen (16), (17)]. Dit is gemakkelijk te generaliseren naar Gaussische processen waarvan de gemiddelden en covariantiefuncties variëren langs de dijkring om verschillen in ontwerp en materiaal te verdisconteren. Overigens is de afleiding in [Calle en Waarts, 1991, Appendix III] van een uitdrukking voor het geval van onderling gecorrelleerde sterkten alleen correct onder de additionele aanname dat p 2 =0, met p 12 de kruiscorrellatiefunctie van de processen x1 en x2 en P2 zijn afgeleide naar de positie (gemeten langs de dijkring). Dit is voor het onderhavige probleem wel plausibel omdat het te verwachten is dat x1 (t) maximaal (positief of negatief) gecorreleerd is met x2 (t+t) voor een afstand t gelijk aan nul.
waterloopkundig laboratorium
1
WL
Appendix A - 2
Appendix B Voorbeelden van uitwerking van het lengte-effect in twee bijzondere gevallen
Case-study Noord Schuddetand
H 1943
november 1993
In het extreme geval van volledige ruimtelijke correllatie van alle sterkteparameters van de dijk geldt (in geval van uniformiteit) dat de voorwaardelijke kans op bezwijken van de dijk bij 1 of meerdere losse stenen altijd gelijk is aan PC,. en dus
1
P[dijk bezwijkt in [O,L]
c,s] =
(nL)k
k!
e-
= (1 - e')P (Bi)
De aanname van volledige correlatie van sterkteparameters lijkt veel te sterk en zoals boven aangegeven lijkt de benadering van onafhankelijkheid van sterkteparameters bij losse stenen, dus (2), meer realistisch en is bovendien conservatief omdat het tot grotere bezwijkkansen leidt. Indien ruimtelijke correlatie van sterkteparameters toch een rol speelt (wanneer parameters variëren op een schaal groter dan de gemiddelde afstand tusser, losse stenen) kan het verstandig zijn om gegeven de autocorrelatiefunctie van de betrouwbaarheidsfuncties, nauwkeuriger uitdrukkingen dan (Bi) of (i) af te leiden voor de kans dat een losse Steen samenvalt met een deel van de dijk waarop de belasting de lokale sterkte overschrijdt voor zowel een initiëel schademechanisme als voor de reststerkte. Het heeft geen zin om de verwachting van het aantal losse stenen waarbij dit voorkomt aan te passen omdat de uitdrukking hiervoor niet afhangt van de correlatie van sterkteparameters: deze verwachting is in alle gevallen gelijk aan de integraal van het product van het gemiddelde aantal losse stenen per lengte-eenheid en de lokale kans op bezwijken als daar een steen los zou zitten. Op basis van de verwachting 1 van de lengte van een aaneengesloten interval waarover de betrouwbaarheidsfunctie kleiner dan nul is bij de gegeven belastingen en onzekerheidsfactoren als alle stenen los zouden zitten, kan de dijk opgesplitst worden gedacht in intervallen van lengte 1 waarover die betrouwbaarheidsfunctie uniform is, en zo, dat de betrouwbaarheidsfuncties over verschillende intervallen onderling onafhankelijk zijn (dit is uiteraard een grove schematisatie). Voor de eenvoud aannemende dat het gemiddelde aantal losse stenen per lengte-eenheid uniform is leidt deze aanname tot P[dijk bezwijkt in [O,L] wat voor kleine (1 -e) P
1
c,s] = 1 -(1 _(1_e)P)m ; L = ml (B2a)
is te benaderen met (B2b)
Uiteraard kan deze simplistische aanpak netter worden gedaan en worden gemodificeerd voor het geval dat de sterkteparameters en/of belastingen niet-uniform zijn.
waterloopkundig laboratorium
1
WL
Appendix B - 1
• locatie 'De Voorst'
• hoofdkantoor
hoofdkantoor Rotterdamseweg 185 postbus 177 2600 MH Delft telefoon (015) 56 93 53 telefax (015) 61 96 74 telex 38176 hydel-nI locatie' De Voorst' Voorsterweg 28, Marknesse postbus 152 8300 AD Emmeloord telefoon (05274) 29 22 telefax (05274) 35 73 telex 42290 hylvo-nl
Noordzee
• Amsterdam • Londen Brussel •
