Nemlineáris jelenségek és Kao2kus rendszerek vizsgálata MATHEMATICA segítségével Előadás: 10-‐12 Szerda, 215 Labor: 16-‐18, Szerda, 215 Célok: Ismerkedés a kao2kus dinamikával és ennek tanulmányozása. A MATHEMATICA program megismerése, és ennek alkamazása a fizikában. Játék a nemlineáris dinamikus rendszerekkel.
A káoszelmélet olyan egyszerű nemlineáris dinamikai rendszerekkel foglalkozik, amelyek viselkedése az őket meghatározó determinisz2kus törvényszerűségek ellenére sem jelezhető hosszú időre előre. Jellemző a kao2kus rendszerekre a kezdőfeltételekre való érzékenység. Lényeges eredmény, hogy az egyszerű, néhány szabadsági fokkal és paraméterrel jellemzeX determinisz2kus rendszerek is mutathatnak összeteX, megjósolhatatlan viselkedést. A kao2kus rendszerek sok esetben sta2sz2kus módszerekkel írhatóak le. A kao2kus viselkedést mutató rendszerek determinisz2kusak, ellentétben a káosz szó hétköznapi jelentésével, ami totális rendetlenséget sugall. A kao2kus viselkedés nem tévesztendő össze a véletlenszerű, stochasz2kus viselkedéssel. Mi klasszikus mechanikai rendszerekkel fogunk foglalkozni, ezért klasszikus káoszról fogunk tanulni….Létezik azonban kvantumkáosz is, nemlineáris kvantummechanikai rendszerekben.
Példák: 1. A keXős inga
Példák: 2. Mágneses inga
Példák 3: Julia és Mandelbrot halmazok 2
zn +1 = zn + C
€
A Julia halmazok a komplex tér azon pontjait tartalmazza amelyekre az iteráció nem megy el a végtelenbe
zn +1 = zn 2 + C z0 = 0
€
A Mandelbrot halmaz azon C értékeket tartalmazza, amelyekre a Julia halmazok kompaktak. Ha a 0-‐ból kiindulva nem konvergálunk a végtelenbe akkor a Julia halmaz kompakt marad.
A Mathema.ca Sowtver csomag A Mathema2ca egy nagyon széles körben használt matema2kai programcsomag amely anali2kus es numerikus számításokra is képes. A Mathema2ca hatékony, szakterület-‐specifikus programozási nyelv is egyben, amely számos programozási paradigma emulálására alkalmas.
Stephen Wolfram 1986-‐ban kezdeX dolgozni a programon, 1988-‐ban bocsátoXa ki az első változatot. A jelenleg aktuális stabil változat az 8.0[1], amit 2010. november 15-‐én bocsátoXak ki. -‐Fizetendő szoewer -‐Ingyenesen elérhető a WEB-‐en a WolframAlpha … amely interpretálni is képes, hogy mit is akarunk….ha nem tudjuk a megfelelő utasításokat -‐Letölthető egy illegális változat -‐ Egy magas fokú programozási nyelv, amely nagyon komplikált matema2kai számításokra, grafikai vizualizációkra képes. -‐ Elméle2 fizikusoknak egy hihetetlenül fontos és hasznos eszköz. -‐ Gyorsan és egyszerűen nagyon bonyolult számításokat lehet vele végezni -‐ -‐Nagyon jó segítő (sugó) felülete van.
Miért MATHEMATICA-‐val és nem egy programozási nyelvvel dolgozunk? -‐ Könnyen végezhetők el a számítások… egyenletek megoldása..iterálások -‐ Elsőrangú vizualizálási és grafikus lehetőségekkel rendelkezik -‐ A paraméterek hatása nagyon könnyen, és vizuálisan tanulmányozható -‐ Lehetőség nyílik, hogy a fizikai lényegre fokuszáljunk, és ne programálási részletekkel veszítsük az időt -‐ Nagyon sok számunkra hasznos dolog már megvan írva -‐ Egzszerre két dolgot sajáktunk el -‐ Lehetőségünk van egy nagyon jó könyvet követni, és az oX használt notebook-‐okkal dolgozni
hXp://library.wolfram.com/infocenter/Books/6881/
Hogyan dolgozunk a MATHEMATICA-‐val Az utasításokat egy “notebook” felületen adjuk meg. A “notebook” file kterjesztése: .nb A “notebook” megmenthető. Az input vagy klikkelve (paleXeken keresztül) történik, vagy egyszerűen karakterekkel írva. Mi ezen karakteres input módban fogunk dolgozni.
Néhány egyszerű példa
Néhány “magasabb” matema2ka példa
További példák Vektorok, mátrixok és determinánsok
Néhány speciális transzformáció
Im ∞
F(s) =
∫e
−st
γ
f (t)dt
0
γ +iT
f (t) =
1 limT → ∞ ∫ e st F(s)ds 2πi γ −iT
€
+∞
F(w) = €
∫
f (x)e −i2πxw dx
−∞
+∞
€
€
f (x) =
∫ F(w)e −∞
i2πxw
dw
€
Re
Grafikus ábrázolások
Grafikus ábrázolások
Differen2al equa2ons
The Manipulate command
