Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása

Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása

Szakdolgozat

Írta: Ábele-Nagy Kristóf Közgazdasági elemz® mesterszak

Témavezet®:

Bozóki Sándor, egyetemi adjunktus Operációkutatás és Aktuáriustudományok Tanszék

Budapesti Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar 2012

Köszönetnyilvánítás Hálás köszönettel tartozom Bozóki Sándornak, aki még az ELTE alkalmazott matematikus szakán felkeltette érdekl®désemet a döntésanalízis iránt; már az akkori szakdolgozatom megírásában is sok segítséget nyújtott, ® javasolta számomra a témát. Köszönöm továbbá, hogy ezen szakdolgozat elkészítése során is mindvégig számíthattam gyors és segít®kész támogatására. Köszönöm továbbá Poesz Attila Ph.D. hallgatónak, hogy rendelkezésemre bocsátotta a kísérletekhez használt tapasztalati páros összehasonlítás mátrixokat, és ezek adatbázisának kezelésében készségesen segített.

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés

6

2. Páros összehasonlítás mátrixok

9

2.1.

Sajátvektor módszer

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2.

Logaritmikus legkisebb négyzetek módszere . . . . . . . . . . .

11

2.3.

Az inkonzisztencia mérése

11

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Páros összehasonlítás mátrixok aggregálása

14

4. Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok

17

4.1.

Értelmezés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

4.2.

Gráf reprezentáció

19

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása

22

6. A kitöltés és aggregálás sorrendjének vizsgálata

26

7. A kétszeres összefügg®ség szerepe

38

8. Kevés döntéshozó által kitöltött elemek

42

9. Összefoglalás

53

Irodalomjegyzék

55

A. A 6.fejezet táblázatai

57

1

B. A 8. fejezet táblázatai

59

2

Ábrák jegyzéke

4.1.

Példa gráf reprezentációra

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

6.1.

32

6.6.

6 × 6-os mátrixokból számolt súlyvektorok távolsága k·k1 -ban 6 × 6-os mátrixokból számolt súlyvektorok távolsága k·k2 -ban 8 × 8-as mátrixokból számolt súlyvektorok távolsága k·k1 -ban 8 × 8-as mátrixokból számolt súlyvektorok távolsága k·k2 -ban 8 × 8-asokból számolt súlyvektorok max. és átlagos távolsága . 8 × 8-as aggregátum átlagos legnagyobb sajátértéke . . . . . .

8.1.

15 mátrix, 12 hiányzó elem, 3 krit. poz. . . . . . . . . . . . . .

45

8.2.

15 mátrix, 12 hiányzó elem, 2-es küszöb, krit. poz. szerint . . .

46

8.3.

15 mátrix, LLSM, 12 hiányzó elem, 3 krit. poz. . . . . . . . . .

47

8.4.


48

8.5.


49

8.6.

15 mátrix, 8 hiányzó elem, 2 krit. poz.

. . . . . . . . . . . . .

50

8.7.

15 mátrix, 6 hiányzó elem, 1 krit. poz.

. . . . . . . . . . . . .

51

6.2. 6.3. 6.4. 6.5.

3

32 33 33 36 37

Táblázatok jegyzéke

6.3.

4 × 4-es mátrixok távolság és s.é. eredményei k·k1 -ban 6 × 6-os mátrixok távolság és s.é. eredményei k·k1 -ban 8 × 8-as mátrixok távolság és s.é. eredményei k·k1 -ban

. . . . .

30

7.1.

A Hamilton-kör teljesítménye a többi lehet®séghez képest . . .

40

A.1.

4 × 4-es mátrixokra vonatkozó k·k2 -ban mért távolság értékek 6 × 6-os mátrixokra vonatkozó k·k2 -ban mért távolság értékek 8 × 8-as mátrixokra vonatkozó k·k2 -ban mért távolság értékek

57

6.1. 6.2.

A.2. A.3.

B.1. 15 mátrix, 12 hiányzó elem, 1 krit. poz., B.2. 15 mátrix, 12 hiányzó elem, 1 krit. poz., B.3. 15 mátrix, 12 hiányzó elem, 2 krit. poz., B.4. 15 mátrix, 12 hiányzó elem, 2 krit. poz., B.5. 15 mátrix, 12 hiányzó elem, 3 krit. poz., B.6. 15 mátrix, 12 hiányzó elem, 3 krit. poz., B.7. 15 mátrix, 12 hiányzó elem, 4 krit. poz., B.8. 15 mátrix, 12 hiányzó elem, 4 krit. poz., B.9. 15 mátrix, 12 hiányzó elem, 5 krit. poz., B.10.15 mátrix, 12 hiányzó elem, 5 krit. poz., B.11.50 mátrix, 12 hiányzó elem, 1 krit. poz., B.12.50 mátrix, 12 hiányzó elem, 1 krit. poz., B.13.50 mátrix, 12 hiányzó elem, 2 krit. poz., B.14.50 mátrix, 12 hiányzó elem, 2 krit. poz., B.15.50 mátrix, 12 hiányzó elem, 3 krit. poz., B.16.50 mátrix, 12 hiányzó elem, 3 krit. poz.,

4

k·k1 k·k2 k·k1 k·k2 k·k1 k·k2 k·k1 k·k2 k·k1 k·k2 k·k1 k·k2 k·k1 k·k2 k·k1 k·k2

. . . . .

29

. . . . .

29

58 58

. . . . . . . . . .

60

. . . . . . . . . .

60

. . . . . . . . . .

61

. . . . . . . . . .

61

. . . . . . . . . .

62

. . . . . . . . . .

62

. . . . . . . . . .

63

. . . . . . . . . .

63

. . . . . . . . . .

64

. . . . . . . . . .

64

. . . . . . . . . .

65

. . . . . . . . . .

66

. . . . . . . . . .

67

. . . . . . . . . .

68

. . . . . . . . . .

69

. . . . . . . . . .

70

k·k1 B.18.50 mátrix, 12 hiányzó elem, 4 krit. poz., k·k2 B.19.50 mátrix, 12 hiányzó elem, 5 krit. poz., k·k1 B.20.50 mátrix, 12 hiányzó elem, 5 krit. poz., k·k2 B.21.7 mátrix, 12 hiányzó elem, 1 krit. poz., k·k1 B.22.7 mátrix, 12 hiányzó elem, 1 krit. poz., k·k2 B.23.7 mátrix, 12 hiányzó elem, 2 krit. poz., k·k1 B.24.7 mátrix, 12 hiányzó elem, 2 krit. poz., k·k2 B.25.7 mátrix, 12 hiányzó elem, 3 krit. poz., k·k1 B.26.7 mátrix, 12 hiányzó elem, 3 krit. poz., k·k2 B.27.7 mátrix, 12 hiányzó elem, 4 krit. poz., k·k1 B.28.7 mátrix, 12 hiányzó elem, 4 krit. poz., k·k2 B.29.7 mátrix, 12 hiányzó elem, 5 krit. poz., k·k1 B.30.7 mátrix, 12 hiányzó elem, 5 krit. poz., k·k2 B.31.15 mátrix, 8 hiányzó elem, 1 krit. poz., k·k1 B.32.15 mátrix, 8 hiányzó elem, 1 krit. poz., k·k2 B.33.15 mátrix, 8 hiányzó elem, 2 krit. poz., k·k1 B.34.15 mátrix, 8 hiányzó elem, 2 krit. poz., k·k2 B.35.15 mátrix, 8 hiányzó elem, 3 krit. poz., k·k1 B.36.15 mátrix, 8 hiányzó elem, 3 krit. poz., k·k2 B.37.50 mátrix, 8 hiányzó elem, 1 krit. poz., k·k1 B.38.50 mátrix, 8 hiányzó elem, 1 krit. poz., k·k2 B.39.50 mátrix, 8 hiányzó elem, 2 krit. poz., k·k1 B.40.50 mátrix, 8 hiányzó elem, 2 krit. poz., k·k2 B.41.50 mátrix, 8 hiányzó elem, 3 krit. poz., k·k1 B.42.50 mátrix, 8 hiányzó elem, 3 krit. poz., k·k2 B.43.15 mátrix, 6 hiányzó elem, 1 krit. poz., k·k1 B.44.15 mátrix, 6 hiányzó elem, 1 krit. poz., k·k2 B.45.15 mátrix, 6 hiányzó elem, 2 krit. poz., k·k1 B.46.15 mátrix, 6 hiányzó elem, 2 krit. poz., k·k2

B.17.50 mátrix, 12 hiányzó elem, 4 krit. poz.,

5

. . . . . . . . . .

71

. . . . . . . . . .

72

. . . . . . . . . .

73

. . . . . . . . . .

74

. . . . . . . . . .

75

. . . . . . . . . .

75

. . . . . . . . . .

75

. . . . . . . . . .

76

. . . . . . . . . .

76

. . . . . . . . . .

76

. . . . . . . . . .

77

. . . . . . . . . .

77

. . . . . . . . . .

77

. . . . . . . . . .

78

. . . . . . . . . .

78

. . . . . . . . . .

79

. . . . . . . . . .

79

. . . . . . . . . .

80

. . . . . . . . . .

80

. . . . . . . . . .

81

. . . . . . . . . .

82

. . . . . . . . . .

83

. . . . . . . . . .

84

. . . . . . . . . .

85

. . . . . . . . . .

86

. . . . . . . . . .

87

. . . . . . . . . .

88

. . . . . . . . . .

88

. . . . . . . . . .

89

. . . . . . . . . .

89

1. fejezet

Bevezetés

Az embereknek gyakran kell döntéseket hozniuk a mindennapi életben; ezek a döntési feladatok általában nagyon egyszer¶ek, nincs szükségünk döntéselméleti vizsgálódásra; el®fordul az is, hogy gyorsan kell döntenünk, ilyenkor nincs id® a probléma alapos elemzésére. Ezekben az esetekben a szempontok rövid mérlegelése után gyorsan határozunk. A gazdasági életben azonban gyakran el®fordulnak olyan, komolyabb, nagyobb hatású döntési problémák, ahol a döntést nem lehet és nem szabad komoly mérlegelés nélkül meghozni. Ilyen esetekben össze kell gy¶jtenünk a szempontokat, amik a döntést befolyásolják, valamint az alternatívákat, amelyek a különböz® választási lehet®ségek a döntési feladatban. A közbeszerzési eljárás jellemz®en ilyen feladat, amelyben a pályázati feltételek a szempontok, a jelentkez® cégek ajánlatai az alternatívák. Minden, befektetéssel kapcsolatos döntésünk is egy ilyen feladat: ha részvényt akarunk vásárolni, a szempontjaink a kisebb vagy nagyobb kockázatú, kisebb vagy nagyobb nyereséggel kecsegtet® részvények vizsgálatát igényli, a piacon lev® részvények pedig az alternatívák, amik közül szempontjaink szerint választunk. Ezen szempontokat és alternatívákat azért fontos elemezni, mert jól el®készített döntéseink következtében olyan eredmények várhatók, melyek a kiindulási feltételeknek és egyéb szempontjainknak leginkább megfelelnek, és így eredményeink saját preferenciáinknak leginkább megfelel®ek lesznek. Ezeket a bonyolult döntéseket egyszer¶bb, elemi döntésekre is fel tudjuk bontani, ennek eszköze a döntéselméletben

6

gyakran alkalmazott páros összehasonlítás mátrix. Gyakran el®fordul, hogy a döntéshozó nem tudja az összes, a döntést befolyásoló szubjektív információt megadni, mégis, a lehet® legjobb döntést kell meghozni. Ekkor fontos az a megközelítés, hogy a hiányzó információt a meglev®k felhasználásával megpróbáljuk pótolni, és ezek felhasználásával már meg tudjuk hozni a körülményekhez képest legjobb döntést. El®fordulnak olyan szituációk, amikor egyszerre több döntéshozó preferenciáit kell gyelembe venni, azaz csoportos döntési feladatról van szó. Ilyen esetekben a preferenciákat valamilyen módon aggregálnunk kell, erre ad módszert az Aczél-Saaty-tétel. Ez az eljárás megkönnyíti a csoportos döntéshozatalt, mert a döntéshozóknak nem kell összeülni egyeztetni, mégis lehet®ség van a csoport akaratának érvényesítésére. A két problémakör közösen is felmerülhet, azaz lehetséges, hogy hiányos információk alapján kell csoportos döntéseket meghozni. Ez e dolgozat f® témája. Két ezzel kapcsolatos vizsgálatot végzünk el: el®ször arra keressük a választ, hogy érdemes-e a hiányzó információkat bizonyos szempont szerint optimálisan kipótolva aggregálni a döntéshozók preferenciáit, vagy a hiányzó információkat egyszer¶en gyelmen kívül hagyva aggregálni. Néha nincs lehet®ségünk az egyéni preferenciákból hiányzó információkat pótolni, ekkor mindenképpen ezeket gyelmen kívül hagyva kell aggregálnunk. Második témakörünkben megvizsgáljuk, hogy ekkor gyelembe vegyük-e azokat a kérdéseket, amelyekre csak kevés döntéshozó válaszolt, mert ez torzíthatja az aggregált preferenciákat. A második fejezetben bevezetjük vizsgálatunk alapvet® tárgyát, a páros összehasonlítás mátrixokat, és azt, hogyan lehet ezekb®l a preferenciasúlyokat meghatározni. A következ® fejezetben megnézzük, hogyan lehet a páros összehasonlítás mátrixokat aggregálni. A negyedik fejezetben a hiányos információt reprezentáló nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixokat vezetjük be, az ötödik fejezetben pedig ezen mátrixok aggregálását mutatjuk be. A hatodik fejezetben kezd®dnek a saját eredmények, itt vizsgáljuk, hogy érdemes-e az egyéni nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixokat kitölteni, miel®tt aggregálnánk ®ket.

7

A hetedik fejezetben egy rövid kitér®t teszünk, felvetjük a kitöltetlen elemek strukturális elhelyezkedésének szerepét, ezt azonban csak egy példán illusztráljuk, csupán mint lehetséges további kutatási iránnyal foglalkozunk vele. A nyolcadik fejezetben megvizsgáljuk, hogy ha nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixokat aggregálunk (ezúttal el®zetes kitöltés nélkül), akkor érdemesebb-e esetleg az olyan elemeket törölni az aggregátumból, ami csak kevés egyéni mátrixból származik. Ez szemléletesen azt jelenti, hogy azokat a kérdéseket esetleg gyelembe se vesszük, ahol túl kevesen válaszoltak. Itt a bevezet® végén említést teszek még az el®z®, az ELTE alkalmazott matematikus szakán írt diplomamunkámról[1], amely szintén nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixokkal foglalkozott. Ennek témája egy Newton-módszeren alapuló eljárás volt, amellyel ezek a mátrixok optimálisan kitölthet®ek. Ebben a dolgozatban is szó van nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok kitöltésér®l, itt azonban már nem magát az eljárást tárgyaljuk, hanem a fent említett problémákat vizsgáljuk meg. Ezért a két dolgozat, bár hasonló témakörrel foglalkozik, emiatt az alapok ugyanazok, mer®ben más kérdéseket elemez.

8

2. fejezet

Páros összehasonlítás mátrixok

Bevezetésképpen deniáljuk a többszempontú döntéselmélet egyik alapfogalmát, a (Saaty-féle AHP módszer [12, 13] alappillérének tekinthet®) páros összehasonlítás mátrixokat, és bemutatjuk, hogyan dönthetünk a számunkra legjobb alternatíva mellett ezen mátrixok felhasználásával. Els® lépésként tegyük mértékegységekt®l függetlenné a szempontokat. Alternatíváinkat ekkor súlyozott értékösszegek szerint rangsorolhatjuk, amely a következ®képp áll el®:

Si =

X

wj xij

j alapján, ahol

wj

a

xij

az

Si

j

szemponthoz rendelt súly,

i

alternatíva

pedig az

Feltehet®, hogy

i

j

P

j

wj = 1, wi ≥ 0,

szempont szerinti értéke,

alternatíva súlyozott értékösszege.

wi > 0,

mert a 0 súlyú szempontokat elhagyhatjuk. Az

Si

szerinti rangsor megadja a mi szubjektív preferenciáink szerinti rangsort, feltéve, hogy a súlyokat ennek megfelel®en állítottuk be. A döntéshozó általában nem tud számunkra egy olyan súlyvektort megadni, ami az ® preferenciáit megfelel®en tükrözi. Ezért ezt a döntési feladatot lebonthatjuk egyszer¶bb döntésekrre, ha a következ® kérdést tesszük fel a döntéshozónak: Hányszor fontosabb az

9

A

szempont a

B

szempontnál? Ezt

a kérdést általában viszonylag pontosan meg tudja válaszolni a döntéshozó. Az összes szempontpárra feltéve ezt a kérdést, a válaszul kapott arányokból közvetetten meghatározhatjuk a szempontok súlyait: a kérdésre kapott értékeket (azaz

rij

azt mondja meg, hányszor fontosabb az

R

szempontnál) rendezzük az

i

szempont

rij a j

mátrixba. Ez a mátrix egy ún. páros összeha-

sonlítás mátrix, melynek elemei a következ® tulajdonságokkal rendelkeznek:

rij = Mivel a

wi

súlyok az

i

1 , rji

rij > 0,

rii = 1.

szempont fontosságát adják, ezért az els® tulajdonság

igaz. Így tehát azt, hogy egy szempont hányszor fontosabb egy másiknál, a két súly hányadosával adhatjuk meg, azaz

rij =

wi . A második tulajdonság wj

azért igaz, mert két szempont fontosságának arányára nyilván pozitív érték¶ választ kapunk. A harmadik tulajdonság nyilvánvaló. Egy páros összehasonlítás mátrixot konzisztens nek nevezünk, ha

rij = rik rkj , ∀i, j, k .

Ideális esetben ez teljesül, hiszen

rik rkj =

2.1.

wi wk wi = = rij . wk wj wj

Sa játvektor módszer

Gy¶jtsük tehát az vektorba. Az

R

rij

elemeket az

R

mátrixba, a keresett

wi

súlyokat a

w

mátrixnak egyetlen nemnulla sajátértéke van, mert a rangja

nyilvánvalóan 1, mivel az összes sor az els® skalárszorosa. Ekkor az

Rw = nw összefüggés teljesül, ahol

n

az egyetlen nemnulla sajátérték,

tartozó sajátvektor, amelyre súlyokat. Itt

n

éppen az

R

P

wi = 1.

w

pedig a hozzá

Ez a sajátvektor adja meg a keresett

mátrix dimenziója, hiszen egy mátrix nyoma a

sajátérékeinek összege, és mivel a f®átlóban csupa 1-es van, a nyom éppen a dimenziószám lesz, és egy kivételével az összes sajátérték 0. A

w

súlyvektor

ilyen módon való meghatározását nevezzük sajátérték módszernek [12, 13].

10

2.2.

Logaritmikus legkisebb négyzetek módszere

A Logaritmikus Legkisebb Négyzetek Módszere (a továbbiakban az angol Logarithmic Least Squares Method elnevezésb®l rövidítve LLSM) a következ® feladat megoldásával adja a súlyvektort:

2 n X n X wi min log aij − log wj i=1 j=1 n X

wi = 1

i=1

wi > 0 i = 1, . . . , n. Ez egyfajta távolságot minimalizál az ideális állapothoz képest, hiszen konzisztens esetben

aij = wi /wj .

Belátható [7], hogy ennek a feladatnak a

megoldása a mátrix sorelemeinek mértani közepeib®l, vagyis a

wi =

n Y

!1/n aij

j=1 formulából nyerhet®, a

2.3.

P

wi = 1

normalizálással.

Az inkonzisztencia mérése

Rendszerint a döntéshozótól nem várható el az, hogy a fontosságok egymáshoz való arányának megadásakor konzisztens mátrixot hozzon létre. A súlyok egy becslése ekkor is meghatározható, az

Rw = λmax w sajátértékfeladat megoldásával. Itt

λmax

az

R mátrix legnagyobb sajátértéke,

ami konzisztens esetben az egyetlen nemnulla sajátérték. A PerronFrobeniustétel szerint

λmax

egyszeres, valós, és a hozzá tartozó sajátvektor elemei szi-

gorúan pozitívak.

11

Mivel Saaty bebizonyította [13], hogy

λmax ≥ n,

ezért (szintén Saaty

javaslata alapján) a két érték különbségét fel lehet használni egy konzisztencia mér®szám meghatározására:

CR = ahol

CI = Az

CI , ACI

λmax − n . n−1

ACI véletlengenerált páros összehasonlítás mátrixok átlagos indexét jelöli,

és a következ® formában írható fel:

ACI =

¯ max − n λ , n−1

¯ max véletlengenerált páros összehasonlítás mátrixok átlagos legnagyobb λ sajátértéke. ACI értéke így minden n-re egy átlagos érték, ami táblázatba ahol

foglalható [14]:

n

3

4

5

6

7

8

ACI

0.523862

0.888663

1.107644

1.253422

1.339445

1.403563

9

10

11

12

13

14

15

1.452397

1.488691

1.515705

1.533726

1.548214

1.571806

1.584318

Ugyancsak Saaty javaslata alapján a

CR = 0.1

elfogadható küszöbszám-

nak tekinthet®. Mivel látható, hogy az inkonzisztencia a

λmax

lineáris függ-

vénye, ezért a legnagyobb sajátértékre adott állítások általában átvihet®k az inkonzisztenciára adott állításokba. Az LLSM feladat is m¶ködik inkonzisztens mátrixokra (eleve így lett meghatározva), ebben az esetben magának a célfüggvénynek az értéke ad némi információt az inkonzisztenciáról, azonban ez abszolut mér®számként nem alkalmazható, nincs rá a Saaty-féle 10%-oshoz hasonló szabály. Mivel azonban a célfüggvény értéke egy minimalizálás eredménye, mondhatjuk, hogy amelyik mátrixra a célfüggvény értéke kisebb, az kevésbé inkonzisztens

12

egy olyan mátrixhoz képest, amelyre a célfüggvény értéke nagyobb. Konzisztens mátrixra a célfüggvény optimális értéke jól láthatóan 0. Az irodalomban sok más fajta inkonzisztencia mér®szám létezik az itt bemutatottakon kívül [3, 4, 5, 6], azokkal ebben a dolgozatban nem foglalkozunk.

13

3. fejezet

Páros összehasonlítás mátrixok aggregálása

Ebben a fejezetben a BCE Fejezetek a döntéselméletb®l cím¶ tárgya nyomán mutatjuk be a páros összehasonlítás mátrixok aggregálását [7]. El®fordul, hogy nem csak egy, hanem több, egyenl®en fontos döntéshozó preferenciáit is gyelembe kell vennünk. Ez esetben szükség van egy módszerre, amivel az egyéni döntéshozók preferenciáit reprezentáló páros összehasonlítás mátrixokat egy közös, csoportos páros összehasonlítás mátrixszá aggregáljuk. Az aggregálást elemenként szeretnénk elvégezni, azaz

A(i, j) = f (A1 (i, j), . . . , At (i, j)), i, j = 1, . . . , n, t a döntéshozók (és így az aggregálandó mátrixok) száma, A az aggregált mátrix, Ak pedig az egyéni mátrixok. Az aggregáló függvényünk f , amir®l a továbbiakban feltesszük, hogy kváziaritmetikai közép, ahol

azaz a következ® formában írható fel:

−1

f (x1 , . . . , xt ) = Φ ahol

Pt

Φ(xi ) , t

i=1

Φ folytonos, szigorúan növ® függvény. A kváziaritmetikai közép az ismert

átlagok (számtani, mértani, hatvány, harmonikus) általánosítása. A kváziaritmetikai közép bármely

Φ

folytonos, szigorúan monoton növ® függvényre

14

teljesíti azt az elég természetes feltételt, hogy egyforma értékek aggregáltja az adott érték legyen, azaz

f (x, . . . , x) = x. Ennek jelentése döntéshozók esetén, hogy egyetértés esetén nem módosít az aggregálás (továbbra is persze szempontok fontosságainak arányáról van szó). Azt is elvárjuk továbbá, hogy az aggregált mátrix is páros összehasonlítás mátrix maradjon, azaz rendelkezzen a pozitivitási és a reciprocitási tulajdonsággal. A pozitivitás teljesül, mivel az eredeti értékek is pozitívak, a reciprocitás pedig a következ®t jelenti

f

1 1 ,..., x1 xt

f -re

=

nézve:

1 . f (x1 , . . . , xt )

Szeretnénk még, hogy teljesüljön a pozitív homogenitás feltétele, azaz ha minden döntéshozó

s-szer nagyobb értéket ír be (s-szer nagyobb viszonylagos

fontosságot tulajdonít az adott szempontnak), akkor az aggregátum értéke is

s-szeres

legyen. Formálisan:

f (sx1 , . . . , sxt ) = sf (x1 , . . . , xt ), ahol

s>0

tetsz®leges.

1. Tétel (Aczél,Saaty).

A fenti kritériumoknak egyedül a mértani közép

felel meg, azaz

f (x1 , . . . , xt ) =

t Y

!1/t xi

.

i=1 Mivel a tétel szerint ez az egyetlen, az általunk elvárt tulajdonságokkal rendelkez® aggregálási szabály, ezért a továbbiakban kizárólag az elemenkénti mértani közepet véve aggregáljuk a páros összehasonlítás mátrixokat. Fontos, hogy nem lehet egyesével új elemeket hozzárakni egy aggregátumhoz, mert

f (x1 , x2 , x3 ) 6= f (f (x1 , x2 ), x3 ).

Például, legyenek

a1 , a2 , a3

három aggregálandó mátrix ugyanazon (nem f®átlóbeli) pozícióján lév® elemek. Ezek aggregátuma

√ 3

a1 a2 a3 .

Ha viszont el®bb csak az els® kett®t agg-

15

regáljuk, ezek aggregátuma

p√

a1 a2 a3

√ a1 a2 ,

ha ezt aggregáljuk a harmadikkal, akkor

lesz a végs® eredmény, ami láthatóan általában nem egyezik meg

a három elem egyszerre való aggregátumával. A probléma persze áthidalható, ha tudjuk, az el®z® aggregátum hány elemb®l állt össze, jelölje ezt

Ekkor

p-edik hatványra emeljük, összeszorozzuk az új elemmel és a szorzatból p + 1-edik gyököt vonunk, pont √ a kívánt eredményt kapjuk. Formálisan, legyen a = p a1 a2 . . . ap , ekkor ha az el®z®,

p

p.

elemb®l álló aggregátum elemeit

p ap ap+1 =

p+1

q

p+1

√ p

a1 a2 . . . ap p ap+1 =

√ a1 a2 . . . ap ap+1

p+1

éppen a helyes eredményt adja. A nem helyes módon (tehát a külön-külön) történ® aggregálásnak is van létjogosultsága, abban az esetben, ha a különböz® döntéshozókat különböz® súllyal akarjuk szerepeltetni. Képzeljük el például, hogy van egy (egyenrangú) szakemberekb®l álló csoport, akik egy szakmai véleményt nyújtanak be, és egy menedzser, aki a végs® döntést hozza. Ha a menedzser és az egész csoport véleményét szeretnénk egyenrangúnak tekinteni, akkor érdemes el®bb a szakemberek mátrixait aggregálni, majd ezt az aggregált mátrixot aggregálni a menedzser mátrixával. Ezzel a módszerrel tehát döntési súlyokat tudunk bevinni a rendszerbe.

16

4. fejezet

Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok

Ebben a fejezetben (a Bozóki-Fülöp-Rónyai cikk nyomán [2]) újabb alapfogalmakat vezetünk be, a nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixokat, és azok gráf reprezentációját.

4.1.

Értelmezés

El®fordulhat, hogy nem áll rendelkezésünkre az összes páros összehasonlítás. Ennek több oka lehet, például a mátrix olyan nagy, hogy nagyon körülményes lenne minden elemét kitölteni (

n(n−1) darab elemre van szük2

ségünk). Csoportos döntési feladat esetén a döntéshozók számából adódóan ez a szám ráadásul sokszorosára n®het. Az is lehetséges, hogy a döntéshozó a fontosság arányát nem tudja elég biztonsággal megadni. Ilyen esetekben olyan mátrixot kapunk, ami nincs teljesen kitöltve. Egy nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrix (amelyet el®ször Harker deniált [9]) tehát az alábbihoz hasonló formát ölti, ahol a

∗

17

hiányzó elemet jelöl:

     R=   

∗ r23 1

1 r12 1/r12 1 ∗ 1/r23 . . .

. . .

1/r1n

∗

. . . r1n ... ∗ . . . r3n

. . .

.

. . .

1/r3n . . .

1

..

     .   

A hiányzó elemek (a f®átlót kivéve) bárhol lehetnek, és ha

rij

hiányzik, akkor

rji is. Egy nem teljesen kitöltött mátrix tulajdonképpen nem is mátrix, de ez a forma bizonyos mértékig kezelhet®vé válik, ha a hiányzó elemeket változóként

x1 , x2 , . . . , xd ∈ R+ változókat az R fels® háromszögéb®l hiányzó elemekre. A reciprokaik, 1/x1 , 1/x2 , . . . , 1/xd ∈ R+ kerülnek az alsó háromszögbe, így a hiányzó elemek száma összesen 2d. Jelölje

kezeljük. E célból vezessük be az

     R(x) = R(x1 , x2 , . . . , xd ) =    

ahol

x = (x1 , x2 , . . . , xd )T ∈ Rd+ .

1 r12 1/r12 1 1/x1 1/r23 . . .

x1 r23 1

. . .

. . .

. . . r1n . . . xd . . . r3n .

. . .

1/r1n 1/xd 1/r3n . . .

1

..

     ,   

Így akár úgy is tekinthetünk a nem teljesen

kitöltött páros összehasonlítás mátrixokra, mint az

x ∈ Rd+

által generált

összes kitöltött mátrixok halmazára. A korábban ismertetett sajátvektor módszert úgy általánosíthatjuk a nem teljesen kitöltött esetre, hogy a mátrixhoz tartozó optimális súlyvektort adjuk meg, abban az értelemben, hogy az inkonzisztenciát minimalizáljuk. A sajátvektor módszernél az inkonzisztencia minimalizálásával ekvivalens

λmax

minimalizálása, jobban mondva a mátrix egy olyan kitöltésének el®állítása, hogy

λmax

minimális legyen, formálisan tehát

min λmax (R(x))

x∈Rd+

értékét, és a minimum helyét (az optimális

18

x vektort) keressük. Az így kapott

súlyvektort tekintjük a nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixhoz tartozó (sajátvektor módszerrel el®állított) súlyvektornak. Az LLSM módszer nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixokra a következ® alakot ölti:

2 n X wi min log rij − log wj i,j=1 rij adott

n X

wi = 1

i=1

wi > 0 i = 1, . . . , n. Az egyetlen különbség tehát a teljesen kitöltött esethez képest, hogy azokat az elemeket, amelyek nincsenek kitöltve, egyszer¶en nem vesszük gyelembe, és így határozzuk meg az optimális súlyvektort. Érdemes megjegyezni, hogy míg a sajátvektor módszer a lehet® legkevésbé inkozisztensen kitölti a mátrixot és abból számol súlyvektort, addig az LLSM módszer közvetlenül a súlyvektort határozza meg, a mátrix kitöltése nélkül. Ez azért van, mert míg a sajátvektor módszerben a hiányzó elemek a változók, addig az LLSM módszerben a súlyvektorban szerepl® súlyok a változók, és ezért a hiányzó mátrixelemek helyére sem tudunk mit írni. Felmerülhet, hogy a

wi /wj

értékeket írjuk be a hiányzó elemek helyére, de ez nem volna korrekt,

ugyanis a hiányzó elemeket egyszer¶en nem vettük gyelembe, és nem a hiányzó elemek szerint optimalizáltunk (a

wi /wj

értékekb®l egy konzisztens

mátrixot lehet felépíteni, de ekkor minden elem helyére ezeket kell írnunk, nem csak a hiányzóak helyére).

4.2.

Gráf reprezentáció

Szeretnénk azt meghatározni, hogy mikor lehetséges optimális súlyvektort el®állítani. Ehhez el®ször szükségünk van a nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok gráf reprezentációjának deniálására. Legyen tehát adott egy

A n × n-es 19

nem teljesen kitöltött páros összeha-

sonlítás mátrix. A következ® deníció teljesen kitöltött mátrixok esetén is érvényes lesz, ezért tekintsünk a kitöltött mátrixokra úgy, mint speciális nem teljesen kitöltött mátrixra, amelynek minden eleme ki van töltve. Ekkor az mátrixhoz tartozó

G := (V, E),

G

A

irányítatlan gráf a következ® módon határozható meg:

ahol

V = 1, 2, . . . , n,

a gráf pontjai az összehasonlítandó

szempontoknak felelnek meg, az élei pedig a mátrix kitöltött elemeinek. Azaz

E = {e(i, j)|aij

meg van adva (és ekkor persze

aji

is adott), és

i 6= j}.

Tehát két különböz® szempontnak megfelel® pont között pontosan akkor megy él, ha a két szempont össze van hasonlítva, azaz az összehasonlításuknak megfelel® két elem a mátrixban ki van töltve. A gráf reprezentációval könnyen jellemezhetjük a megoldás egyértelm¶ségét[2]:

2. Tétel (Bozóki,Fülöp,Rónyai).

λmax (A(x)) minimalizálási

A sajátvektor módszernek (azaz a

feladatnak), valamint az LLSM feladatnak is pon-

tosan akkor egyértelm¶ a megoldása, ha az összehasonlítás mátrixhoz tartozó

G

A

nem teljesen kitöltött páros

gráf összefügg®.

Ebb®l következik, hogy ha a mátrix elemei pontosan egy feszít®fa mentén adottak, akkor a mátrix konzisztensen (és egyértelm¶en) kitölthet®, azaz egy konzisztens, teljesen kitöltött mátrixot bármely feszít®fája mentén való kitöltése már egyértelm¶en meghatározza. A gráf reprezentációt a következ® példán szemléltetjük:



 1 2 5 ∗ 8   1/2 1 3 ∗ 1/2   1/5 1/3 1 1/2 ∗ .     ∗ ∗ 2 1 3   1/8 2 ∗ 1/3 1

20

Ehhez a mátrixhoz a következ® gráf reprezentáció tartozik:

4.1. ábra. A fenti

5 × 5-ös

mátrixhoz tartozó gráf

Látható, hogy pontosan azon pontok közt megy él, amelyekhez tartozó páros összehasonlítások meg vannak adva a mátrixban.

21

5. fejezet

Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása

Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixokra az aggregálási szabályt értelemszer¶en visszük át: továbbra is elemenkénti mértani közepet veszünk; ha valamelyik mátrixban egy elem nincs kitöltve, azt egyszer¶en nem vesszük gyelembe. Így az aggregált mátrix elemei különböz® számú elemek mértani közepeként adódnak. Formálisan

(i, j)

az aggregált mátrix

pozíción lév® eleme, így adódik:

aij =

    t     Y    

1/pij (k)  aij 

ha

∃k : e(i, j) ∈ Ek

k=1 e(i,j)∈Ek

        ahol

aij ,

üres marad

i, j = 1, . . . , n, t

egyébként,

az aggregálandó mátrixok száma,

landó nem teljesen kitöltött mátrixhoz tartozó

mátrix

(i, j)

pij

a

k -dik

gráf élhalmaza,

aggregá-

p

pedig

(i, j) pozíció ki van töltve (avagy (k) = |{k|e(i, j) ∈ Ek }| ), aij pedig a k -dik aggregálandó

azon aggregálandó mátrixok száma, ahol az gráfos felírásban

Gk

Ek

pozíción lév® eleme.

22

Az aggregált mátrix minden olyan pozíción ki lesz töltve, ahol legalább egy aggregálandó mátrix ki van töltve, azaz

E=

t [

Ek .

k=1 Ebb®l következik, hogy ahhoz, hogy a végs® súlyvektort meg tudjuk kapni (akár sajátvektor, akár LLSM módszerrel), elég, ha csak az aggregált mátrixhoz tartozó gráf összefügg®, ezt az egyéni mátrixokra nem kell megkövetelnünk. A probléma, hogy egy aggregátumhoz nem lehet egy újabb elemet csupán mértani középpel hozzárakni, természetesen itt is jelentkezik. Itt azonban már az sem elég, ha tudjuk, hogy hány mátrixból állt az el®z® aggregátum, hiszen lehetséges, hogy ezek közül az adott pozíción néhány nem volt kitöltve. Ezt úgy lehet áthidalni, hogy minden egyes pozícióra nyilvántartjuk, hogy hány kitöltött elemb®l állt össze az aggregátum. Ekkor persze nem elég egy darab számot tudnunk, hanem a fenti szögének mind az

pij = pji ,

n(n − 1)/2

pij

számokból alkotott

P

p

mátrix fels® három-

darab értékére szükségünk van (természetesen

a f®átló pedig érdektelen).

1. Állítás.

Konzisztens (teljesen kitöltött) mátrixok aggregátuma konzisztens

Bizonyítás: Elég csak két mátrixra belátni, mert az elemenkénti hatványozás

(a mértani közép

p-edik

gyökvonása, vagy az azt eltüntet®

p-edik

hatványra

emelés) nem befolyásolja a konzisztencia meglétét, így a fentebb leírt módon az aggregátumhoz hozzárakva még egy konzisztens mátrixot az állítás tetsz®leges számú mátrixra kiterjeszthet®. Ugyanezen oknál fogva az aggregálás gyökvonásaival sem foglalkozunk. Vegyünk tehát két (teljesen kitöltött) konzisztens mátrixot (A és

B ), és ezeknek vegyük egy olyan nem teljesen kitöltött

verzióját, amely ugyanazon (egyébként tetsz®leges) feszít®fa mentén van csak kitöltve. A korábbiak szerint ezek a nem teljesen kitöltött mátrixok egyértelm¶en meghatározzák az eredeti konzisztens mátrixokat (optimális kitöltése pont az eredeti lesz). Ha ezeket aggregáljuk, akkor az aggregátum (C ) is ugyanazon feszít®fa mentén lesz csak kitöltve, ezért az is konzisztensen kitölthet®. Már csak azt kell tehát megmutatni, hogy az aggregátum konzisztens

23

kitöltése éppen a konzisztens kitöltések (ami ugyanaz, mint a konzisztens eredeti mátrixok) aggregátuma. Ehhez vegyünk a feszít®fában egy háromszöget, amelynek csak az egyik éle hiányzik (ilyen van, hiszen egy fáról van szó és eleve

n ≥ 3),

i, j, k

legyen ez az

háromszög, ahol

(i, j)

és

(j, k)

van kitöltve.

Ekkor tudjuk a következ®ket:

aij ajk = aik ,

Kell:

mert az

A

bij bjk = bik ,

mert a

cij cjk = cik ,

mert

aij bij = cij ,

az aggregálás miatt (és

C

B

mátrix konzisztens,

mátrix konzisztens,

konzisztensen lett kitöltve,

(j, k)-ra

cik = aik bik . Ez a kitöltött elemekre C

ugyanez).

deníciójából következik, a többi

elemre pedig azért igaz, mert:

cik = cij cjk = aij bij ajk bjk = aij ajk bij bjk = aik bik . Azaz olyan háromszögekre igaz, ahol csak egy él hiányzik, de akkor töltsük ki ezt az élet, és a maradékban ismét lennie kell egy háromszögnek, aminek csak az egyik éle hiányzik. Amikor két háromszögb®l is számolhatnánk a hiányzó élen lév® értéket, akkor mindegy, hogy melyikb®l számoljuk, ugyanannak kell lennie, hiszen

C

egyértelm¶en tölthet® ki konzisztensen. Ezért, amikor

az egyik háromszög alapján kitöltjük úgy, hogy ne mondjon ellent a konzisztenciának, akkor ha a másik szerint járnánk el ugyanígy, ugyanannak az értéknek kellene ott állnia, különben ellentmondana az egyértelm¶ségnek. Ismételgessük ezt, amíg teljes gráfot nem kapunk, ez konzisztens lesz,

C

konzisztens kitöltése pedig egyértelm¶.

Megjegyzés: Inkonzisztens mátrixok aggregátuma lehet konzisztens, például:

     1 1 9 1 1 1/9 1 1 1        1 1 1  ,  1 1 1  −→  1 1 1  . 1/9 1 1 9 1 1 1 1 1 

Meg fogjuk vizsgálni, hogy melyik módszer célravezet®bb nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása esetén: az egyéni mát-

24

rixokat kitölteni optimálisan, és azokat aggregálni, vagy kitöltetlenül aggregálni a mátrixokat, és az eredményb®l (ha kell kitöltéssel) számolni súlyvektort. Ebben a tekintetben csak a sajátvektor módszert tudjuk vizsgálni, mert az LLSM módszer nem szolgáltat nekünk kitöltést, így az egyéni mátrixokat sem tudnánk kitölteni.

25

6. fejezet

A kitöltés és aggregálás sorrendjének vizsgálata

Ebben a fejezetben a következ® kérdésekre keressük a választ:

•

Melyik eljárás jobb: az egyéni nem teljesen kitöltött mátrixokat optimálisan kitölteni és utána aggregálni ®ket, avagy kitöltetlenül aggregálni, és utána (ha szükséges) kitölteni az aggregátumot?

•

Hány elem kitöltetlensége esetén kapunk várhatóan még elfogadható eredményt ahhoz képest, mintha az összes elemet kitöltötték volna a döntéshozók?

Bozóki, Dezs®, Temesi és Poesz a [8] cikk megírásához a konkrét páros összehasonlítási kérdéseket egyenként feltéve töltettek ki egyetemi hallgatókkal páros összehasonlítás mátrixokat, ezzel nagyobb mennyiség¶ tapasztalati mátrixot kapva. Kérésemre szakdolgozatomhoz a szerz®k rendelkezésemre bocsátották ezeket a mátrixokat, így az ebben a fejezetben tárgyalt kísérlethez ezekb®l a tapasztalati teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixokból indulunk ki. A tapasztalati páros összehasonlítás mátrixok egyik f® jellegzetességét Gass és Standard állapította meg el®ször [8]: a tapasztalati mátrixokban szerepl® értékek eloszlása messze nem egyenletes, a kis értékek sokkal gyakrabban fordulnak el®, mint a nagyobbak, valamint a páratlan értékek is sokkal

26

gyakoribbak. Ezt az eredményt Poesz Attila is reprodukálta [11]. Linares az inkonzisztencia szempontjából vizsgálta a tapasztalati páros összehasonlítás mátrixokat [10]. Ezen eredmények alapján még nagyobb jelent®séggel bír, hogy ebben a kísérletben valódi döntéshozók által kitöltött tapasztalati páros összehasonlítás mátrixokkal dolgozunk. Mindegyik mátrixméret esetén nagyjából fele-fele arányban vannak kétféle kérdésre adott válaszokból származó mátrixok: az egyik kérdés objektív természet¶ (országok területeit kellett ránézésre összemérni), a másik szubjektív (arra kellett válaszolni, hogy a képeken szerepl® nyaralók hányszor jobban tetszenek a többihez képest). Itt nem kezeljük külön ezeket a mátrixokat, hanem csak azt a tulajdonságukat használtuk fel, hogy tapasztalati mátrixok. 134 db

4 × 4-es,

154 db

6 × 6-os

és 160 db

8 × 8-as

mátrix van, a különböz®

méretekre külön fogjuk elvégezni a kísérletet. A teljesen kitöltött mátrixokból úgy csinálunk nem teljesen kitöltötteket, hogy meghatározott számú élt kiveszünk bel®lük, ügyelve arra, hogy a gráf összefügg® maradjon. Ahogyan az el®z® fejezetben láttuk, ha az egyéni gráfok nem összefügg®ek, akkor is lehet aggregálni, ugyanis elég, ha az aggregátum gráfja összefügg®. Ilyen esetben az egyéni mátrixokat nem tudjuk kitölteni, ezért ezt a vizsgálatot nincs értelme elvégezni, mert nincs mivel összehasonlítani az eredményt. Minden mátrixra külön-külön generáljuk le azoknak az éleknek a pozícióját, amelyeket kiveszünk. Ezt úgy is meg lehet fogalmazni, hogy minden döntéshozónál külön-külön (és véletlenszer¶en) d®l el, hogy mely kérdésekre nem válaszol, vagy melyeket nem teszünk fel neki. A nagy számú mátrix miatt, mikor nem töltjük ki el®re az egyéni mátrixokat, a végs® aggregátumban gyakorlatilag biztosan nem lesz kitöltetlen elem (ha esetleg mégis el®fordul ilyen, azt utólag optimálisan kitöltjük). Az eredmény jóságát úgy fogjuk mérni, hogy mennyire van közel a teljesen kitöltött mátrixokból számolható súlyvektortól, azaz egyszer¶en normában vett távolsággal jellemezzük. Így azt vizsgáljuk, mekkora hibát vétünk az egyes eljárásoknál ahhoz képest, ha minden döntéshozó az összes páros összehasonlítást elvégzi. Azt, hogy néhány kérdés fel nem tevése mekkora nyereség, illusztráljuk a kísérletben is szerepl® nagyságú és darabszámú mátrixokkal. Vegyük például a

8 × 8-as

mátrixokat, és az

27

8(8 − 1)/2 = 28

összehasonlítás-

ból például 8-at ne végezzünk el. Ez több, mint a kérdések negyede. A 160 db mátrixra kivetítve ez már 1280 kérdéssel kevesebb. Ha a kérdések felét tesszük fel, akkor ez a szám már 2240, ha pedig csak egy feszít®fához ragaszkodunk, akkor 3360 kérdéssel kevesebb (az összes kérdéshez képest, ami 4480). A norma megválasztása érdekes kérdés. A vektorok úgy vannak normálva, hogy

1 legyen az összegük, azaz (pozitív elem¶ vektorokról lévén szó) az 1-es

normában egységnyi hosszúra. Ez a normálás természetes, hiszen azt mérjük, mekkora az adott szempont részesedése a teljes döntésb®l; ezt nem is változtatjuk meg. Ekkor szintén természetesnek látszik, hogy a vektorok távolságát is ugyanebben a normában mérjük. A mindennapi életben használatos euklideszi (azaz

2-es)

norma azonban szintén természetesen adódik, egyszer¶en

szemléletessége folytán. Véleményem szerint úgy igazán korrekt, ha ugyanabban a normált térben maradva az

1-es

normát használjuk, az eredményeket

a teljesség kedvéért azonban euklideszi normában is megnézzük. Lényegi különbséget a normák ekvivalenciája miatt nem várunk. A nem teljesen kitöltött mátrixok kitöltése a sajátvektor módszerrel, azaz a

λmax

minimalizálási feladatának egy ciklikus, egyváltozós módszerrel való

megoldásával történik [2, 1]. A kapott aggregátumok inkonzisztenciáját is megnézzük, itt azonban arra számítunk, hogy az el®ször kitölt® eljárás ad jobb eredményt, hiszen itt az optimális kitöltés miatt már eleve minimális inkonzisztenciájú mátrixokat aggregálunk. A következ®kben a szimulációs eredményeket közöljük a mátrixok méretének és a hiányzó elemek számának függvényében. A hiányzó elemek leg-

n(n − 1)/2 − (n − 1) lehet, hiszen n(n − 1)/2 az összes elem legalább n − 1-nek meg kell maradnia ahhoz, hogy egy feszít®fa

nagyobb száma száma, és

meg tudjon maradni. A 6.1, 6.2 és 6.3 táblázatokban

k

a hiányzó elemek száma,

da

a kitöl-

tetlenül aggregáló (és ha szükséges az aggregátumot kitölt®) módszer által szolgáltatott sajátvektor távolsága a kitöltött mátrixokból származótól,

dt

az egyéni mátrixokat kitölt® és utána aggregáló módszer által szolgáltatott sajátvektor távolsága a kitöltött mátrixokból származótól,

sa és st pedig ezen

módszerek által szolgáltatott aggregátum legnagyobb sajátérték átlaga.

28

k

datl a,1

datl t,1

dmax a,1

dmax t,1

sa

st

1

0.013375

0.0077295

0.02922

0.013203

4.0049

4.0017

2

0.023647

0.013085

0.04415

0.02161

4.0063

4.0004

3

0.035749

0.017055

0.06365

0.030406

4.0111

4

6.1. táblázat. A

4 × 4-es mátrixokra vonatkozó 1-es normában mért távolság,

és maximális sajátérték eredmények

k

datl a,1

datl t,1

dmax a,1

dmax t,1

sa

st

1

0.0061177

0.0032741

0.010334

0.0063241

6.007

6.0048

2

0.010298

0.0051057

0.013792

0.0098448

6.0085

6.004

3

0.013903

0.0062287

0.023597

0.0091157

6.0097

6.0033

4

0.013532

0.0062658

0.025056

0.010097

6.0095

6.0022

5

0.016089

0.0094474

0.024723

0.018566

6.0128

6.002

6

0.016111

0.011821

0.026108

0.022816

6.0148

6.0015

7

0.024693

0.012227

0.037999

0.017779

6.0189

6.0008

8

0.026214

0.015569

0.048867

0.026618

6.0219

6.0006

9

0.030412

0.018717

0.046062

0.03109

6.025

6.0003

10

0.035358

0.025915

0.070378

0.048514

6.0364

6

6.2. táblázat. A

6 × 6-os mátrixokra vonatkozó 1-es normában mért távolság,


Az az

1 és 2 alsó indexek az 1-es illetve 2-es normában mért távolságra utalnak, atl és max fels® indexek pedig az átlagos, illetve a maximális értékeket

jelzik. A sajátértéket át lehetne a korábbi fejezetek alapján írni inkonzisztencia mér®számra, de mivel mindegyik

1%

alatt van, ezért ez nem ad plusz

információt. Itt csak az 1-es normában mért távolság eredményeket közöljük, a 2-es normában mért értékek megtalálhatóak az A függelékben. El®ször a sajátértékekre vonatkozó meggyeléssel kezdjük: Az el®bb aggregáló módszer eredményének inkonzisztenciája (bár b®ven a 10%-os küszöb, s®t minden alkalommal 1% alatt volt) emelked® tendenciát mutat, ami amiatt lehet, hogy egyre több információt veszítünk el a döntéshozó eredeti, reményeink szerint nem túl inkonzisztens preferenciáiról. Az, hogy az el®ször kitölt® módszer által szolgáltatott inkonzisztencia elég stabilan csökken® tendenciát mutat, várható volt, hiszen kitörlünk elemeket, és optimálisan kitölt-

29

k

datl a,1

datl t,1

dmax a,1

dmax t,1

sa

st

1

0.0041939

0.0018012

0.006163

0.0028708

8.0088

8.0076

2

0.0048719

0.0028391

0.0077203

0.0039677

8.0095

8.0067

3

0.0079075

0.0045786

0.011644

0.0061153

8.0098

8.0059

4

0.0076941

0.0046327

0.012271

0.0079237

8.0104

8.0058

5

0.0098178

0.0060672

0.014323

0.011214

8.011

8.0057

6

0.010394

0.0051604

0.014466

0.0078773

8.0139

8.0048

7

0.012842

0.0078695

0.019031

0.011348

8.0135

8.0044

8

0.012038

0.0079051

0.017214

0.010588

8.0154

8.0038

9

0.014502

0.0070086

0.020087

0.012431

8.0186

8.0033

10

0.01645

0.012299

0.024533

0.015931

8.0181

8.0031

11

0.01333

0.010529

0.017959

0.017563

8.0194

8.003

12

0.018936

0.011679

0.043089

0.018152

8.0193

8.0024

13

0.018767

0.013804

0.02637

0.020043

8.0235

8.0023

14

0.021124

0.012934

0.032742

0.016497

8.0238

8.0018

15

0.019527

0.016351

0.035099

0.023746

8.0339

8.0014

16

0.024295

0.014832

0.030882

0.022582

8.0435

8.0012

17

0.023584

0.018355

0.036179

0.027489

8.0429

8.001

18

0.03044

0.022526

0.047006

0.032037

8.0447

8.0006

19

0.029369

0.023872

0.046963

0.039027

8.0426

8.0004

20

0.027592

0.025588

0.039934

0.044477

8.0598

8.0002

21

0.032008

0.025143

0.047068

0.041389

8.0647

8

6.3. táblázat. A

8 × 8-as mátrixokra vonatkozó 1-es normában mért távolság,


30

jük ezek helyét, a döntéshozónak pedig akármi is lett volna az eredeti preferencia aránya, az optimálisnál kevésbé inkonzisztensen nem tudta volna kitölteni. Ha ugyanabból a gráfból vennénk el sorban az éleket, akkor a maximális sajátérték emiatt mindenképpen monoton csökken® kellene legyen, azonban látható, hogy átlagosan így is ezt kaptuk, hogy minden alkalommal új véletlen gráfokat generáltunk egyre kevesebb éllel. Természetesen az utolsó sorokban a sajátérték ennél a módszernél éppen a dimenziószám, ami a 0 inkonzisztenciának (azaz a konzisztenciának) felel meg, hiszen ekkor már csak egy feszít®fa maradt minden egyéni mátrixban, azaz konzisztensen kitölthet®. Ezért mikor kitöltjük, konzisztensen töltjük ki, és korábban megmutattuk, hogy konzisztens mátrixok aggregátuma is konzisztens. A távolságok konkrét értékeir®l érdemes megjegyezni, hogy mivel itt az

1-

es normában egységnyi hosszúra normált vektorokról van szó, ezért a háromszög egyenl®tlenség alapján ebben a normában legfeljebb

2 lehet a távolságuk:

kw − vk1 ≤ kwk1 + kvk1 = 1 + 1 ahol

w

a vizsgált,

v

a kitöltött mátrixokból származó súlyvektor. Az itt

látható távolság értékek azonban még a

0.1-t

sem érik el, így egy követ-

keztetést máris levonhatunk: nem érdemes nagyon sok kérdést feltenni, ha sok döntéshozónk van. Néhány konkrét mátrixra megnézve rangsorfordulás kevés alkalommal volt (rangsorfordulásnak itt azt nevezzük, hogy a súlyvektorban az elemek nagyság szerinti sorrendje megváltozik), ezek is a kitöltött mátrixokból számolt súlyvektorban is egymáshoz igen közel lév® súlyú szempontok esetében. Látható, hogy a mátrixokat el®ször kitölt® algoritmus átlagosan minden esetben közelebbi eredményt produkál, mint az, amelyik el®ször aggregál. Ha grakusan ábrázoljuk a távolságokat a kitöltetlen elemek számának függvényében (6.1, 6.2, 6.3 és 6.4 ábra), jól látszik, hogy emelked® tendenciát mutat, azaz ha sok elem kitöltetlen, akkor valamivel rosszabb eredményt kapunk. Felmerül a kérdés, hogy mi az a küszöb, ameddig elfogadhatónak tartjuk a kitöltött mátrixokból számolt súlyvektortól való távolságot. Erre nem igazán

31

6.1. ábra.

6×6-os aggregátum súlyvektorának távolsága a kitöltött mátrixok-

ból származótól 1-es normában az egyéni mátrixokban lev® kitöltetlen elemek számának függvényében

6.2. ábra.

6×6-os aggregátum súlyvektorának távolsága a kitöltött mátrixok-


32

6.3. ábra.

8×8-as aggregátum súlyvektorának távolsága a kitöltött mátrixok-


6.4. ábra.

8×8-as aggregátum súlyvektorának távolsága a kitöltött mátrixok-


33

lehet objektív választ adni, már csak azért sem, mert ahogy n® a távolság, úgy növekszik a rangsorfordulás esélye. Ez természetesen függ a kitöltött mátrixokból származó súlyvektorban lév® értékek távolságától is, ha közel vannak egymáshoz, akkor könnyebben jön létre rangsorfordulás. A vizsgált kérdés természete is lényeges, hiszen elképzelhet®, hogy a rangsor nem is érdekel bennünket, csak körülbelüli fontossági arányokat szeretnénk kapni. A döntéshozók száma is befolyásolhatja a választ, mert sok döntéshozó esetén a néhány hiányzó vagy kiugró értéket kiegyenlíti a többi döntéshozónak ugyanerre a pozícióra adott válasza. Ugyanakkor kevés döntéshozó esetén egy döntéshozó mátrixában szerepl® nagy érték jelenléte vagy hiánya er®sen torzíthatja az eredményt. Véleményem szerint kevés döntéshozó esetén érdemes minél több elemet kitölteni, ekkor még ha a kérdések felét meg is spóroljuk, abszolut menynyiségben nem nagy nyereség. Sok döntéshozó esetén nyugodtan elhagyhatjuk a kérdéseknek akár jelent®s részét is, várhatóan úgy is olyan eredményt kapunk, ami nem tér el nagyon ahhoz képest, mintha minden kérdést feltettünk volna. Ez persze csak egy általános javaslat, ha például eleve arra számítunk, hogy egymáshoz közeli értékeket kapunk, és a rangsor is számít, akkor mindenképpen érdemes több elemet kitölteni. Általánosságban az a véleményem, hogy az itt is használt

0.02

(ami a maximális távolság

1%-a) elfogadható küszöbértéknek tekinthet®. Ennek alapján, ha már vannak el®zetes becsléseink egy kérdéstípus eredményének várható, valóságtól vett távolságára vonatkozóan, akkor következ® alkalommal már eldönthetjük el®re, hogy hány elemet hagyhatunk kitöltetlenül úgy, hogy várhatóan jó eredményt kapjunk. Ezen megfontolás, valamint az eredmények alapján, azt lehet mondani, hogy általában (mivel itt voltak szubjektív és objektív természet¶ kérdésb®l származó mátrixaink is) elegend® a kérdések felét feltenni. További kutatási lehet®ség külön vizsgálni szubjektív és objektív természet¶ kérdésekb®l származó mátrixokat, és megnézni, ezen megállapításunk mennyiben módosul. Érdemes megjegyezni, hogy a fenti eredményekben szerepet játszik a véletlen (véletlenszer¶en töröljük az éleket), ezért újra lefuttatva ugyanazt az algoritmust más-más konkrét értékeket kapnánk. Ezért az átlagos értékek

34

viszonyát érdemes nézni, bár a maxmimális értékek is hordoznak információt: széls®séges esetben akár ekkorát is tévedhetünk. Mivel minden hiányzó elemszámra 20-20 (a

8 × 8-as mátrixok esetén a lassú futási id® miatt csak 10-10)

alkalommal végeztük el a kísérletet, a maximális értékek valószín¶leg nem sokat mondóak. Az átlagos értékek azonban már így is elég er®s tendenciát mutatnak ahhoz, hogy levonjuk bel®lük a következtetést, ugyanis a különbségek a két módszer értékei között teljesen egybehangzó eredményt mutatnak. A következtetés pedig az, hogy érdemes el®bb kitölteni a mátrixokat és úgy aggregálni, mert nemcsak várhatóan kisebb hibával dolgozunk, az aggregátum inkonzisztenciája is mindenképpen kisebb lesz. Azaz az els® vizsgált kérdésre megvan a válaszunk:

2. Állítás.

A számítási eredmények alapján ha az egyéni mátrixokat op-

timálisan kitöltjük, és ezután aggregáljuk, jobb eredményt kapunk, mintha el®zetes kitöltés nélkül aggregálnánk ®ket, akár átlagos, akár maximális hibát tekintünk.

Annak az oka, hogy az az algoritmus, amelyik el®bb kitölti a mátrixokat, jobb eredményeket produkál, talán abban keresend®, hogy ha minden elem ki van töltve (még akkor is, ha mi töltjük ki optimálisan, ezzel valamilyen szinten közelítve csak a döntéshozó szándékát), akkor minden szempont súlya ugyanolyan er®sen van gyelembe véve. Gondoljunk bele, ha kitöltetlenül aggregáljuk a mátrixot, és az adott döntéshozó mátrixában egy elem nincs kitöltve, akkor az ® véleményét ott nem vesszük gyelembe közvetlenül. Közvetve persze igen, hiszen az eredeti gráfok összefügg®ek voltak, azaz a többi élen keresztül mindenképpen hat minden döntéshozó az összes szempont végs® súlyára, de úgy t¶nik, még mindig jobb, ha közelítjük a döntéshozó válaszát és azt használjuk fel, mint ha egyszer¶en csak a többiek véleményével pótoljuk. Ebben a témában az utolsó kérdés, amit megnézünk, hogy mi van, ha még ennél is kevesebb kitöltött elem van az egyéni mátrixokban, azaz: kevesebb, mint

n−1

elem van kitöltve az

n -b®l. Ekkor persze az az eljárás szóba 2

sem jöhet, ami el®re kitölti az egyéni mátrixokat, ekkor mindenképpen kitöltetlenül kell aggregálnunk ®ket. Mivel az erre a módszerre vonatkozó algo-

35

ritmus sokkal gyorsabb (nem kell tör®dnünk az egyéni mátrixok összefügg®ségének ellen®rzésével, és kitöltenünk sem kell az egyéni mátrixokat), itt megtehetjük, hogy a kísérletet még többször végezzük el. A kísérletet a

8 × 8-

as mátrixokra végezzük el, és 100-szor futtatjuk le a hiányzó elemek minden további lehetséges számára. A 6.5 és a 6.6 grakon az eredményt szemlélteti.

6.5. ábra.

8×8-as aggregátum súlyvektorának átlagos és maximális távolsága

a kitöltött mátrixokból származótól az egyéni mátrixokban lev® kitöltetlen elemek számának függvényében

Látható, hogy a tendencia mind a kitöltetlen mátrixokból számolt súlyvektor kitöltöttekb®l származótól való távolságában, mind az inkonzisztenciában folytatódik (bár még 27 hiányzó elem esetén is csak 7.75%-os inkonzisztencia van), és végül már csak egészen nagy hibával közelítjük a teljesen kitöltött mátrixokból számolt súlyvektort. Ez nem meglep®, hiszen 26-nál például már csak kett®, 27-nél pedig csupán egyetlen kitöltött elem van minden mátrixban. Ez azt jelenti, hogy 8 szempont páronkénti összehasonlításánál egy döntéshozó összesen egyetlen pár szempontot hasonlít össze, és így születik meg a döntés. Ez legfeljebb nagyon objektív kérdések esetén produkálna használható eredményt, ekkor azonban eleve fölösleges ezt a módszert alkalmazni. Ezért az ennyire sok kitöltetlen elemet tartalmazó mátrixok használata bár elméletileg lehetséges, nem javasolt.

36

6.6. ábra.

8 × 8-as

aggregátum átlagos legnagyobb sajátértéke az egyéni

mátrixokban lev® kitöltetlen elemek számának függvényében

Azt a végkövetkeztetést vontuk tehát le, hogy a számítási eredmények alapján megéri el®bb optimálisan kitölteni az egyéni mátrixokat, és csak utána aggregálni ®ket. Másik kérdésünkre nem ilyen egyértelm¶ a válasz, mivel a kitöltetlen elemek elfogadható számát sok minden befolyásolja, de véleményem szerint általában elég csupán az egyéni mátrixok elemeinek felét kitölteni. Ez elvezet minket következ® kérdésünkhoz, miszerint a hiányzó elemek elhelyezkedése mennyire lényeges szerepet játszik abban, hogy elfogadhatóan közelítsük azt az állapotot, mikor minden elem ki van töltve. Ennek egy aspektusát vizsgáljuk röviden a következ® fejezetben.

37

7. fejezet

A kétszeres összefügg®ség szerepe

Az el®z® fejezetben arra kerestük a választ, hogy hány kitöltetlen elem engedhet® meg ahhoz, hogy csoportos döntéshozatal esetén jó eredménnyel közelítsük azt az állapotot, mintha teljesen ki lennének töltve az egyéni páros összehasonlítás mátrixok. Most nem csoportos döntéshozatal esetén vizsgálódunk, hanem megnézzük, az egyéni mátrixok esetén javít-e, hogy ha strukturálisan szépen vannak elrendezve a kitöltött elemek, nevezetesen egy kétszeresen összefügg® gráf élei mentén. Mivel ez egy igen messzire vezet® téma, és az aggregáláshoz sem kapcsolódik szorosan, itt most csak egy konkrét példát nézünk meg. A kétszeres összefügg®ség kérdése azért jogos, mert egyrészt ez egy igen szemléletes, az egyszeres összefügg®ségnél er®sebb strukturális kritérium, másrészt valami olyasmit jelent, hogy legalább két irányból meg van er®sítve minden érték más értékek által. A legkevesebb élb®l álló, kétszeresen összefügg® gráf egy Hamilton-kör, melynek

n éle van. Egy példán nézzük meg, hogy ha a mátrixunk egy Hamil-

ton-út mentén xen ki van töltve, és hozzáadunk egy élt, jobban teljesít-e a kétszeres összefügg®ség (azaz jelen esetben az utat lezáró Hamilton-kör), mint ha egy másik él mentén töltenénk ki. Példamátrixunk legyen a (példaként gyakran alkalmazott) Saaty-féle házvásárlás mátrix[13]:

38



 1 5 3 7 6 6 1/3 1/4   1/5 1 1/3 5 3  3 1/5 1/7   1/3 3 1 6 3 4 6 1/5     1/7 1/5 1/6 1 1/3 1/4 1/7 1/8   1/6 1/3 1/3 3 1 1/2 1/5 1/6.     1/6 1/3 1/4 4 2  1 1/5 1/6    3 5 1/6 7 5 5 1 1/2   4 7 5 8 6 6 2 1 Ezt el®ször átalakítjuk egy olyan nem teljesen kitöltött mátrixszá, ahol csak az

(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) Hamilton-út van kitöltve:   1 5 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗   1/5 1 1/3 ∗ ∗  ∗ ∗ ∗    ∗ 3 1 6 ∗ ∗ ∗ ∗       ∗ ∗ 1/6 1 1/3 ∗  ∗ ∗  .  ∗ ∗ ∗ 3 1 1/2 ∗ ∗       ∗ ∗ ∗ ∗ 2  1 1/5 ∗    ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 5 1 1/2   ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 2 1

Ezután minden lehetséges módon újra kitöltünk egy-egy pozíciót (visszaírjuk oda az eredeti, ott szerepl® értéket), a keletkez® nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixból pedig súlyvektort számolunk (sajátvektor és LLSM módszerrel is), és ezt a súlyvektort hasonlítjuk össze a teljesen kitöltött mátrixból nyert súlyvektorral. Az összehasonlítást itt is (a korábbi megfontolások alapján)

1-es és 2-es normában is elvégezzük. Szokás szerint az

inkonzisztenciát is megnézzük, azaz a legnagyobb sajátértéket a sajátvektor módszer esetében, és a célfüggvény értékét az LLSM módszer esetében. Mivel azt szeretnénk látni, hogy az általános esethez képest hogyan teljesít a kör, a 7.1 táblázat oszloponként külön-külön rendezve jeleníti meg a számítási eredményeket (azaz az egy sorban lév® elemek nem feltétlenül összetartozóak). A kétszeresen összefügg® gráfhoz tartozó értékek ki vannak emelve (vastagon szedve). A

d

a távolságot jelenti, az

39

1-es

és

2-es

alsó index

dsv 1

dsv 2

ssv

dLLSM 1

dLLSM 2

sLLSM

0.1904

0.093

8

0.1293

0.0564

0

0.2008

0.1017

8.0026

0.1618

0.0701

0.0411

0.2151

0.1072

8.004

0.1681

0.0782

0.0636

0.2552

0.1084

8.0069

0.2163

0.0969

0.1096

0.2582

0.1306

8.0069

0.2263

0.1015

0.1096

0.2612

0.1366

8.0087

0.2266

0.1054

0.1382

0.2655

0.1389

8.01

0.2438

0.1085

0.1602

0.2888

0.1432

8.0109

0.245

0.1101

0.174

0.3042

0.1454

8.0145

0.2455

0.1357

0.2303

0.3829

0.1757

8.0202

0.3373

0.1458

0.3203

0.3997

0.1886

8.0252

0.3557

0.1578

0.4023

0.4108

0.194

8.0344

0.3563

0.1624

0.5469

0.4435

0.2106

8.0355

0.3992

0.1803

0.5597

0.4663

0.2109

8.038

0.4211

0.1818

0.6051

0.4703

0.216

8.0459

0.4237

0.1863

0.7248

0.4714

0.222

8.0611

0.4264

0.1929

0.9609

0.4787

0.2237

8.0675

0.4339

0.1949

1.0589

0.4839

0.23

8.0722

0.4402

0.1996

1.1311

0.5544

0.2583

8.1037

0.5093

0.23

1.6239

0.5566

0.2785

8.1238

0.5544

0.2516

1.9311

0.5991

0.2936

8.3072

0.6137

0.3141

4.6273

7.1. táblázat. A Hamilton-kör teljesítménye a többi lehet®séghez képest

az egyes vagy kettes normában mérést, az

s

az inkonzisztenciát (sajátvektor

módszernél legnagyobb sajátértéket, LLSM-nél célfüggvényértéket), a fels® indexben lév®

sv

és

LLSM

pedig a sajátvektor módszerre illetve az LLSM

módszerre utal. Az eredmények alapján azt látjuk, hogy a Hamilton-kör kifejezetten roszszul teljesített a súlyvektor becslése szempontjából, viszont inkonzisztencia terén elég jó lett az eredmény. Messzemen® következtetéseket ebb®l azonban nem szabad levonni. A konkrét mátrix, a kitöltött elemek helye és értéke nagymértékben befolyásolhatják az eredményt. További kutatási lehet®ségként adódik más alakú, több élszámú kétszeresen összefügg® gráfok vizsgálata, mindenképpen nagy számú mátrixszal.

40

Érdemes megnézni a kérdést más strukturális kritériumokkal is, mint például élösszefügg®ség, vagy az éldiszjunkt feszít®fák száma.

41

8. fejezet

Kevés döntéshozó által kitöltött elemek

Ebben a fejezetben arra keressük a választ, hogy egy csoportos döntési feladat esetén, ha egy elemet csak egy (vagy kevés) döntéshozó töltött ki, és kitöltés nélkül aggregáljuk a mátrixokat, jobban járunk-e, ha azt az elemet töröljük az aggregátumból. Ez a kérdés azért vet®dik fel, mert ekkor egy elem értékét csak kevesen döntik el, és ha itt éppen egy olyan érték szerepel, amely er®sen elüt a többi döntéshozó általános preferenciáitól, akkor torzíthatja az eredményt. Mint láttuk korábban, a problémára egy fajta megoldás, ha el®re kitöltjük optimálisan az egyéni mátrixokat. Erre azonban nem feltétlenül van lehet®ség. A kitöltési algoritmus viszonylag lassú, nagy mátrixok és sok hiányzó elem esetén már használhatatlan. Az LLSM módszer ugyan jól m¶ködik ilyen helyzetben is, de nem biztosít kitöltést, ezért kénytelenek vagyunk a nem teljesen kitöltött mátrixokat aggregálni. Kiindulópontunk legyen most ez, hogy nem teljesen kitöltött mátrixokat aggregálunk kitöltés nélkül, és van legalább egy elem, amit csak egy (vagy nagyon kevés) döntéshozó töltött ki. Az algoritmus, amellyel a vizsgálatot elvégezzük, a következ®: Bizonyos számú mátrixot kiválasztunk a korábbi kísérlethez is használt

8×8-as mátrixok közül véletlenszer¶en úgy, hogy ne legyen köztük ismétl®dés. Ezeket a mátrixokat két csoportra bontjuk aszerint, hogy a szintén véletlen-

42

szer¶en és ismétl®dés nélkül kiválasztott kritikus pozíciókon kitöltve hagyjuke az egyéni mátrixot, vagy nem. Kritikusnak nevezzük azokat a pozíciókat, ahol az algoritmus szerinti kettébontásban a mátrixok nagyobbik csoportja biztosan ki van töltve, a kisebbik, éppen küszöbérték elemszámú csoportban pedig biztosan nincsen kitöltve. Így tehát, ha törlünk az aggregátumból az eljárás végén, akkor ezeken a pozíciókon biztosan törlünk. Minden mátrixban ugyanannyi hiányzó elem lesz, de az egyik csoport mátrixban biztosan nem lesznek kitöltve a kritikus helyek (a maradék hiányzó elemek pozíciója véletlen), a másik csoportban pedig biztosan ki lesznek töltve (a hiányzó elemeik pozíciója ett®l eltekintve véletlen). A kritikus helyek száma egy kísérlet alatt szintén adott, de ennek függvényében is vizsgálódunk. Az, hogy hány döntéshozó mátrixában lesznek kitöltve a kritikus helyek, egyben azt a küszöbértéket is jelenti, ami alatt megnézzük, hogy érdemese a csak ennyi döntéshozó által kitöltött elemeket inkább törölni. Egyik f® célunk annak meghatározása, hogy ha egyáltalán érdemes a kevés döntéshozó által kitöltött elemeket törölni az aggregátumból, akkor hány döntéshozónál érdemes ezt még megtenni, azaz célunk az el®bb bemutatott küszöbérték megadása. Miután a mátrixok ilyen módon el® lettek készítve, aggregáljuk ®ket, és párhuzamosan a teljesen kitöltött eredeti verziójukat is aggregáljuk, hogy legyen viszonyítási alapunk. A nem teljesen kitöltött mátrixokból származó aggregátumból minden további módosítás nélkül sajátvektor, illetve LLSM módszerrel is számolunk súlyvektort. Ezután a nem teljesen kitöltött mátrixok aggregátumából kitöröljük azokat az elemeket, amik a küszöbérték alatti számú mátrixban voltak kitöltve. Ez széls®séges esetben azt is eredményezheti, hogy nem csak a kritikus pozíciókon törlünk, hanem ott is, ahol a véletlen folytán töltötték ki kevesen a mátrixot. Az ilyen módon ismét biztosan nem teljesen kitöltött mátrixszá alakított aggregátumból szintén sajátvektor-, illetve LLSM módszerrel számolunk súlyvektort. Ekkor még a teljesen kitöltött eredeti mátrixok aggregátumából is számolunk mindkét módszerrel egy-egy súlyvektort, és végül összevetjük, hogy melyik eljárással (utólagos törléssel, vagy anélkül) jutottunk közelebb az eredeti mátrixokból számolt súlyvektorhoz. A távolságot ismét

1-es

és

2-es 43

normában is megnézzük, valamint

átlagos és maximális értékeket is nézünk, ugyanis minden kísérletet 100-szor futtatunk le. Mivel itt 4 paraméterr®l is szó van (az összes mátrixok száma, ebb®l azok száma akik kitöltik a kritikus pozíciókat, azaz a küszöbérték, az összes kitöltetlen elemek száma egy mátrixban, és a kritikus pozíciók száma), ezért mind a 4 mentén külön-külön egyesével léptetve nagyon nagy mennyiség¶ adatot kapunk. Éppen ezért a kísérletet 7, 15 és 50 összes mátrix számra nézzük meg, valamint az összes hiányzó elemek száma is 6, 8 és 12. A hiányzó elemek számát ennél tovább a 6. fejezetben kapott eredmények miatt nem érdemes növelni

8 × 8-as

mátrixok esetén. Mint utólag látni fogjuk, az ered-

mények annyira egybehangzóak, hogy e két paraméter ilyen mérték¶ korlátozása valószín¶leg semmilyen hatást nem gyakorolt a következtetésre. Éppen ezért itt csak néhány példán mutatjuk be az eredményeket, az eredmények táblázatai megtalálható a B függelékben. Szemléltetésre el®ször a 8.1 ábrán látható grakont használjuk. Ez 15 mátrix aggregálásából származó sajátvektor módszerrel számolt súlyvektoroknak a kitöltött eredeti mátrixok aggregálásából származótól való távolságát veti össze azokban az esetekben, mikor utólag töröljük a kevés döntéshozótól származó értékeket, illetve mikor nem töröljük. Itt 12 kitöltetlen hely volt, és 3 kritikus pozícó. A küszöbérték függvényében ábrázoljuk a távolságokat, hiszen a küszöbértéket szeretnénk meghatározni. Szembeötl® az 1-es küszöbértéknél látható hatalmas maximális távolságérték abban az esetben, ha nem töröljük ki azokat az elemeket az aggregátumból, amelyeket csak egy ember töltött ki. Ez a nagy kiugrás minden más vizsgált paraméter mellett jelen van, és jelent®s. Ezen kívül minden vizsgált paraméter esetén jelentkezik az a jelenség is, hogy az 1-es küszöbértéknél az átlagos távolság is kisebb akkor, ha utólag töröljük a kritikus elemeket, s®t itt is kiugrás gyelhet® meg. Direkt ennek további meger®sítésére 3 mátrix aggregálására is le lett futtatva néhány kísérlet, az el®bbiekkel egybehangzó eredménnyel. Ezekb®l tehát levonhatjuk a következtetést:

3. Állítás.

A számítási eredmények alapján az olyan elemeket, melyeket csak

egy döntéshozó töltött ki, érdemes törölni az aggregátumból, mind a lehetséges legnagyobb, mind az átlagos hiba szempontjából.

44

8.1. ábra. 15 mátrix aggregálásából származó sajátvektor módszerrel számolt súlyvektorok távolsága a kitöltött mátrixokból származótól, 12 kitöltetlen pozíció és 3 kritikus hely esetén, 1-es normában, a küszöbérték függvényében

A hatalmas kiugrás a maximális hibában azt jelenti, hogy ha néhány elemet csak egy döntéshozó tölt ki, akkor az széls®séges esetben nagyon el tudja rontani a becslésünket. Ez nem meglep®, hiszen tegyük fel, hogy például a 15-b®l 14 döntéshozó viszonylag hasonló véleményen van, és egyikük sem tölt ki egy bizonyos pozíciót a mátrixban, a 15. döntéshozó viszont nagyon eltér® véleménnyel van, de ® kitölti az adott elemet. Ekkor azon a pozíción csak az ® véleményét vesszük gyelembe közvetlenül, ami nyilvánvalóan nem tükrözi azt a véleményt, amit akkor kapnánk, ha mindenkinek a véleményét egyformán gyelembe vettük volna az adott kérdésben. Ahhoz, hogy a küszöbértéket megpróbáljuk meghatározni, tekintsük az átlagos távolságokat. Látható, hogy 4-es küszöbértékig átlagosan az a jobb, ha töröljük a szóban forgó elemeket, utána pedig az, ha nem. Ez a tény a kritikus pozíciók számától függetlenül megmarad (példaként a 2-es küszöbértékre ábrázolva a 8.2 ábrán). S®t, ezek a tények (nem meglep® módon) norma és módszer függetlenek is (például a 8.1 ábrán használt paraméterek LLSM módszerrel számolt eredményei láthatóak a 8.3 ábrán). A maximális értékek valamivel szabálytalanabbul viselkednek, az azonban igaz marad, hogy 1-es küszöbértéknél sokkal nagyobb a maximális távolság,

45

ha nem törlünk utólag. Az is igaz marad, hogy az els® 3 küszöbértéknél is érdemes volt törölni minden esetben.

8.2. ábra. 15 mátrix aggregálásából származó sajátvektor módszerrel számolt súlyvektorok távolsága a kitöltött mátrixokból származótól, 12 kitöltetlen pozíció és 2-es küszöbérték esetén, 1-es normában, a kritikus pozíciók számának függvényében

Ezek alapján megállapítható, hogy az adott paraméterek esetén 4-es küszöbértékig érdemes törölni, ha az átlagos hibát szeretnénk minimalizálni, és 3-asig, ha a maximális hibát. Ezt egy állításban is megfogalmazzuk:

4. Állítás.

A számítási eredmények alapján kijelenthet®, hogy 15 db

8 × 8-as

mátrix aggregálásakor, ahol mátrixonként 12 adat hiányzik, mind az átlagos, mind a maximális hiba tekintetében jobban járunk, ha kitöröljük az olyan értékeket, amelyeket 3 vagy kevesebb döntéshozó töltött ki, mintha ezeket az elemeket nem törölnénk.

Természetesen ez nagyon specikus eredmény, s®t, még a konkrét adatbázis is befolyásolhatja. További kutatási lehet®ség, hogy mind a 4 paraméter mentén nagy skálán megnézzük ezeket a küszöbértékeket, lehet®leg több adatbázison is. Az itt közölt eredmények azonban további számítások híján is kiindulási alapot adhatnak további küszöbértékek meghatározásához. Azt

46

8.3. ábra. 15 mátrix aggregálásából származó LLSM módszerrel számolt súlyvektorok távolsága a kitöltött mátrixokból származótól, 12 kitöltetlen pozíció és 3 kritikus hely esetén, 1-es normában, a küszöbérték függvényében

viszont elég meggy®z®en sikerült igazolni, hogy minden hasonló esetben (esetleg nagyon kevés döntéshozó esetét kivéve) mindenképpen érdemes kitörölni az olyan elemeket, amiket csupán egyetlen döntéshozó töltött ki. Nézzük meg, hogy az aggregált mátrixok száma hogyan befolyásolja a küszöbértéket! Ezt közvetlenül elég nehéz lenne meghatározni (minden egyes mátrix számra külön-külön kéne elemezni, hogy mi a jó küszöbértéke), ezért nézzük meg több és kevesebb, 50 és 7 mátrix esetén. A rengeteg adat miatt itt is csak példákon mutatjuk be az eredményeket, de az itt megállapított tények egybehangzóak más paraméterértékek eredményeivel. Tekintsük el®ször (az egyszer¶ség kedvéért ismét) 12 hiányzó elem¶, 50 aggregálandó mátrixból 2 kritikus pozícióval számolt távolságokat, természetesen a küszöbérték függvényében, ez látható a 8.4 ábrán. Szembet¶n® az 1-es küszöbértéknél a törlés nélküli eljárás hibájának nagy kiugrása. Ezután mind a maximális, mind az átlagos érték grakonja rácsúszik a törléses eljáráséra, és onnantól együtt mozog a kett® (ez is igaz a kritikus pozíciók számától függetlenül). Minket leginkább az átlagos értékek érdekelnek, ugyanis a maximális értékek azon túl, hogy együtt mozognak,

47


egyrészt széls®séges eseteket jelképeznek, másrészt sokkal szabálytalanabbul viselkednek. Ezért tekintsük a 8.5 ábrát. Itt az látszik, hogy a 14-es küszöbértékig még mindig jobb törölni. Ez szintén igaz a kritikus pozíciók számától függetlenül. Óva intenék azonban ebb®l egyb®l levonni a következtetést, hogy a 14 volna az ideális küszöbérték, ugyanis érdemes egy pillantást vetni a konkrét különbségre. A 15 mátrix aggregálásával az általunk meghatározott 3-as küszöbérték esetén végzett vizsgálathoz képest itt nagyjából egy nagyságrenddel kisebb volt a különbség a két eljárás átlagos hibái között. Ez véleményem szerint annyira kicsi különbség (továbbra is, mivel 1-es normában számolunk, a két normált vektor távolsága legfeljebb 2 lehet), hogy erre nem szabad következtetést alapozni. Körültekint®bben járunk el, ha némileg óvatosabban 5-öt, de legfeljebb 7-et jelölünk meg küszöbértéknek, itt még jóval jelent®sebb a különbség. Ezeknél az értékeknél még a maximális távolságokban is jelent®sebb különbségek vannak, továbbra is a törléses eljárás javára (ezek az állítások is igazak maradnak a kritikus pozíciók számától függetlenül). Nézzük meg mi van, ha csökkentjük az aggregálandó mátrixok számát! Ezúttal csak 7 mátrixot aggregálunk (a kitöltetlen elemek száma egy mátrix-

48

8.5. ábra. 50 mátrix aggregálásából származó sajátvektor módszerrel számolt súlyvektorok átlagos távolsága a kitöltött mátrixokból származótól, 12 kitöltetlen pozíció és 2 kritikus hely esetén, 1-es normában, a küszöbérték függvényében

ban továbbra is 12), azaz a küszöbérték eleve csak 3-ig mehet, mert annak a csoportnak, amelyik kitölti a kritikus helyeket, érdemes kevesebben lennie a többieknél, hiszen különben olyan pozíciókat is kitörölnénk, ahol a többség nyilatkozott, arról nem is beszélve, hogy az adatok nem meglep® módon azt mutatják, hogy ebbe az irányba nem érdemes mozdulni. 3 elemb®l nincs értelme grakont készíteni, ezért csak szövegesen közöljük az eredményt: 1-es küszöbértéknél - mint eddig is - egyértelm¶en kisebb átlagos és maximális hibát kapunk ha törlünk, 2-nél még mindig jobb értékeket kaptunk, de a különbség már nagyon kicsi, 3-nál pedig már nem érdemes törölni sem az átlagos, sem a maximális hiba szempontjából. Ha ismét óvatosak akarunk lenni, akkor a 2 talán túl merész küszöbértéknek t¶nik a különbség mértéke alapján. 7 aggregálandó mátrix esetén tehát azt mondhatjuk, hogy a csupán egy döntéshozó által kitöltött elemeket érdemes csak törölni. A három eredmény tehát: 7 esetén 1, 15 esetén 3, 50 esetén 5 lett az általunk meghatározott küszöbérték. Ez persze függ attól is, hogy mekkora

49

különbségre merjük már azt mondani, hogy ha ennyivel jobb a törlés, akkor azt ténylegesen hajtsuk is végre (az 50 mátrixos kísérletnél például még 14-nél is jobb volt törölni, csak nagyon kicsi volt a különbség). Ett®l eltekintve is, ez kevés adat ahhoz, hogy egy messzemen® szabályt tudjunk alkotni az aggregálandó mátrixok és a küszöbérték kapcsolatára, legfeljebb annyit mondhatunk, hogy a küszöbérték legalább 1. Egy er®sebb állítás megfogalmazása további vizsgálódások tárgya lehet. Az utolsó kapcsolat, amir®l szót ejtünk, az a kitöltetlen elemek száma és a küszöbérték közti kapcsolat. Eddig az összehasonlíthatóság céljából mindenhol a 12 hiányzó elem¶ kísérletet mutattuk be példaként, de ez is egy változtatható paraméter. Példaként nézzük meg mi történik, ha a 15 mátrixos kísérletet 8 hiányzó elemmel végezzük el (2 kritikus poícióval), ez látható a 8.6 ábrán, majd azt, ha csak 6 hiányzó elemmel (1 kritikus pozícióval), ez látható a 8.7 ábrán.


Látható, hogy lényegi változás nincs, a grakonok alakja lényegileg ugyanaz, mint korábban. Ez áll egyébként az 50 aggregálandó mátrixszal 8 kitöl-

50


tetlen elemre végzett kísérletsorozatra is. Így tehát azt mondhatjuk, hogy a kitöltetlen elemek száma nem befolyásolja lényegesen az ideális küszöbértéket. Összefoglalva a fejezet tartalmát a következ® megállapításokat tehetjük arról, hogy a maximális és átlagos hibák szempontjából mi az a küszöbérték, ami alatt érdemes kitörölni egy aggregátumból azokat az elemeket, amelyeket legfeljebb ennyien töltöttek ki:

•

Ha egy elemet csak egyetlen döntéshozó töltött ki, akkor gyakorlatilag szituációtól függetlenül érdemes kitörölni

•

Az összes kitöltetlen elemek száma gyakorlatilag nem befolyásolja a küszöbértéket

•

A kritikus pozíciók (amiket legfeljebb annyian töltöttek ki, mint amenynyi a küszöbérték) száma gyakorlatilag nem befolyásolja a küszöbértéket

•

Bár csak három aggregálandó mátrix számra néztük meg, de úgy t¶nik a küszöbérték és a mátrixok (döntéshozók) száma közt pozitív irányú

51

kapcsolat van (azaz ha sok a döntéshozó, akkor a küszöbérték is nagyobb lesz)

•

A módszer (sajátvektor vagy LLSM) gyakorlatilag nem befolyásolja a küszöbértéket

52

9. fejezet

Összefoglalás

Ebben a dolgozatban bemutattuk a páros összehasonlítás mátrixokat, valamint ezek hiányos változatát, a nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixokat. Szintén bemutattuk, hogyan lehet ezeket a mátrixokat csoportos döntéshozatal esetén aggregálni, különös tekintettel a nem teljesen kitöltött esetre. Megvizsgáltuk, hogy nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása esetén érdemes-e az aggregálás el®tt optimálisan kitölteni az egyéni mátrixokat, azaz kipótolni a döntéshozók által meg nem adott értékeket úgy, hogy az inkonzisztenciát minimalizáljuk. Két módon aggregáltuk a mátrixokat: egyrészt az egyéni mátrixokat optimálisan kitöltöttük, majd ezután aggregáltunk, másrészt el®zetes kitöltés nélkül a nem teljesen kitöltött mátrixokat közvetlenül aggregáltuk. E két eljárással nyert aggregátumokból számolt súlyvektorok távolságát néztük attól, ami az egyéni mátrixok eredeti, teljesen kitöltött formájának aggregálásából származott, vagyis ami a döntéshozók eredeti szándéka volt. A koncepció az volt, hogy ha kisebb ez a távolság, akkor kisebb hibával közelítjük a döntéshozók valós elképzeléseit. Ezek alapján azt az eredményt kaptuk, hogy érdemes el®bb optimálisan kitölteni az egyéni mátrixokat, és csak ezután aggregálni ®ket. Megkíséreltünk választ adni arra is, hogy hány elem kitöltetlensége esetén kapunk még elfogadható becslést a súlyvektorra, ez azonban annyi tényez®t®l függ, hogy nem adhatunk rá objektív választ.

53

Ezután egy rövid kitér® erejéig szót ejtettünk a kitöltetlen elemek strukturális elhelyezkedésének vizsgálatáról, és szemléltetésül egy példán is megvizsgáltuk ezt. Ugyan a példán számított eredményekb®l nem lehetett következtetést levonni, de a kérdést érdemes felvetni, ugyanis ez egy igen messzire viv® lényeges téma, amit további kutatások tárgya lehet. Végül arra a kérdésre kerestük a választ, hogy érdemes-e egy csoportos döntési szituációban azokat az elemeket kitörölni az aggregátumból (és innent®l persze nem teljesen kitöltött mátrixként kezelni), amelyeket csak kevés döntéshozó töltött ki, mert ekkor csak kevesen döntenek az adott értékr®l. A válasz az lett (ismét az eredeti teljesen kitöltött mátrixokból származó súlyvektorhoz viszonyítva), hogy igen, mindenképpen érdemes kitörölni legalább azokat az elemeket, melyeket csak egyetlen döntéshozó töltött ki. Ezután megpróbáltunk választ adni arra is, hogy mi az a küszöbérték, aminél ha kevesebb döntéshozó tölt ki egy elemet, akkor azt érdemes kitörölni. Arra jutottunk, hogy ez függ egyrészt a mátrixok számától (egy konkrét kapcsolat a kett® között további kutatások témája lehet), másrészt attól, mennyire akarunk óvatosak lenni, ugyanis bizonyos szint után ugyan az eredmények azt mutatták, hogy még érdemes törölni, azonban a különbség annyira kicsi volt, hogy kérdéses, tényleg érdemes-e általában is törölni, vagy ez csak a konkrét kísérletben adódott így. A két eredményt összevonva azt mondhatjuk, hogy nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok esetén töltsük ki a mátrixokat optimálisan, ha erre van lehet®ség, ha pedig nincs, akkor azokat az elemeket töröljük ki az aggregátumból, amelyeket csak kevés döntéshozó töltött ki, de azokat mindenképpen, amelyeket csak egy.

54

Irodalomjegyzék

[1] K. Ábele-Nagy, Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok a többszempontú döntésekben. Eötvös Loránd Tudományegyetem - Ter-

mészettudományi Kar, Alkalmazott matematikus szak, Diplomamunka (2010). [2] S. Bozóki, J. Fülöp, L. Rónyai, On optimal completions of incomplete pairwise comparison matrices. Mathematical and Computer Modelling

52(2010), 318333. [3] S. Bozóki, T. Rapcsák, On Saaty's and Koczkodaj's inconsistencies of pairwise comparison matrices. J Glob Optim (2008), 42:157-175.

[4] S. Bozóki, J. Fülöp, A. Poesz, Elfogadható inkonzisztenciájú páros összehasonlítás mátrixokkal kapcsolatos konvexitási tulajdonságok és azok alkalmazásai. In: Solymosi T., Temesi J. (szerk.) Egyensúly és optimum,

Tanulmányok Forgó Ferenc 70. születésnapjára, Aula Kiadó, Budapest (2012). [5] M. Brunelli and M. Fedrizzi, Characterizing properties for inconsistency indices in the AHP. Proceedings of the International Symposium on the

Analytic Hierarchy Process (2011). [6] M. Brunelli, A. Critch and M. Fedrizzi, A note on the proportionality between some consistency indices in the AHP. TUCS Technical Report

(2011) No 1012. [7] Budapesti Corvinus Egyetem, Fejezetek a döntéselméletb®l c. tárgy (2010).

55

[8] Gass, SI., Standard, SM., Characteristics of positive reciprocal matrices in the analytic hierarchy process. Journal of Operational Research Society

(2002), 53, pp. 13851389. [9] P.T. Harker, Incomplete pairwise comparisons in the analytic hierarchy process. Mathematical Modelling 9(11)(1987), 837848.

[10] P. Linares, Are inconsistent decisions better? An experiment with pairwise comparisons. European Journal of Operational Research (2009), 193,

492498. [11] A. Poesz, Tapasztalati páros összehasonlítás mátrixok inkonzisztenciájának vizsgálata. Budapesti Corvinus Egyetem, Gazdaságmatematikai el-

emz® közgazdász szak, Szakdolgozat (2008). [12] T.L. Saaty, A scaling method for priorities in hierarchical structures. Journal of Mathematical Psychology 15(1977), 234281. [13] T.L. Saaty, The analytic hierarchy process (McGraw-Hill, New York, 1980). [14] V.M.R. Tummala and H. Ling, A note on the Computation of the Mean Random Consistency Index of the Analytic Hierarchy Process (AHP).

Theory and Decision 44(1998), 221230.

56

A. Függelék

A 6.fejezet táblázatai

k

datl a,2

datl t,2

dmax a,2

dmax t,2

1

0.0078416

0.0044833

0.018575

0.007648

2

0.014108

0.0079306

0.027981

0.01361

3

0.020753

0.010081

0.038387

0.018039

A.1. táblázat. A

4 × 4-es mátrixokra vonatkozó 2-es normában mért távolság

értékek

57

k

datl a,2

datl t,2

dmax a,2

dmax t,2

1

0.0030844

0.0016688

0.004801

0.0031468

2

0.0052892

0.0026329

0.0077603

0.0049813

3

0.0070273

0.0030982

0.012696

0.004299

4

0.0070625

0.0031299

0.014185

0.0052295

5

0.0084731

0.0047242

0.013666

0.010405

6

0.0082776

0.0061051

0.014978

0.013199

7

0.012369

0.0061469

0.019841

0.0090942

8

0.012997

0.0077286

0.020437

0.01315

9

0.015562

0.0094691

0.022702

0.016062

10

0.017601

0.013153

0.034846

0.023221

A.2. táblázat. A

6 × 6-os mátrixokra vonatkozó 2-es normában mért távolság

értékek

k

datl a,2

datl t,2

dmax a,2

dmax t,2

1

0.0018344

0.00075136

0.0028058

0.0011532

2

0.0020571

0.0012388

0.003383

0.0020886

3

0.0033666

0.0020147

0.0047425

0.0029567

4

0.0032498

0.0020503

0.0050797

0.0034216

5

0.00429

0.0026597

0.0061054

0.0050406

6

0.0046617

0.002357

0.0067159

0.0037591

7

0.0057831

0.003497

0.0091105

0.0050182

8

0.0053357

0.0035304

0.0088997

0.0051303

9

0.0064763

0.003082

0.010128

0.0048704

10

0.0072974

0.005722

0.010501

0.0081136

11

0.005986

0.0045328

0.0086553

0.0071806

12

0.008594

0.0051681

0.020332

0.007325

13

0.0083478

0.0065177

0.012244

0.010454

14

0.0094224

0.0054584

0.014404

0.0073401

15

0.0087928

0.0074262

0.014591

0.010421

16

0.01115

0.0064064

0.014334

0.010776

17

0.010927

0.0082807

0.015052

0.012295

18

0.013665

0.010185

0.024199

0.013913

19

0.012782

0.010523

0.021755

0.017343

20

0.012327

0.011449

0.018024

0.018103

21

0.01467

0.010861

0.023151

0.016514

A.3. táblázat. A

8 × 8-as mátrixokra vonatkozó 2-es normában mért távolság

értékek

58

B. Függelék

A 8. fejezet táblázatai

Itt a 8. fejezetben szerepl® kísérlethez tartozó eredmények táblázatait közöljük. Ezekben a táblázatokban a következ® jelöléseket használjuk:

M

Az

azon mátrixok száma, amelyekben nincsenek kitöltve a kritikus

pozíciók. A

K

azon mátrixok száma, amelyekben a kritikus pozíciók ki van-

nak töltve, azaz a küszöbérték. E két szám összege azon mátrixok száma, amelyekb®l az aggregátumot számoljuk. amelyek nem kritikus pozíciók, míg

Pk

Pn jelöli azon hiányzó elemek számát,

jelöli a kritikus pozíciók számát. E két

érték összege az összes hiányzó elemek száma. A többi oszlopban

d a távolság-

ra utal. A távolságok különböz®képpen mért értékeit a következ® indexekkel jelöljük: az

n

alsó index arra az eljárásra utal, mikor nem törlünk utólag az

aggregátumból,

t

arra, mikor az éppen adott küszöbértéknél kevesebb dön-

téshozó által kitöltött elemeket töröljük az aggregátumból, az

sv

és

LLSM

alsó indexek pedig rendre a sajátvektor valamint az LLSM módszerre, végül az

atl

és

max fels® indexek az átlagos illetve maximális értékekre utalnak. A

használt normát külön nem jelöljük, ugyanis ezek külön táblázatban szerepelnek.

59

60

1

2

3

4

5

6

7

14

13

12

11

10

9

8

11

11

11

11

11

11

11

Pn

1

1

1

1

1

1

1

Pk

0.063006

0.06508

0.062604

0.066829

0.069606

0.073317

0.081558

datl n,sv

0.076538

0.069463

0.063138

0.064071

0.06416

0.06396

0.063354

datl t,sv

0.13354

0.13782

0.12057

0.14618

0.17837

0.17531

0.21146

dmax n,sv

0.14403

0.13113

0.10712

0.14531

0.17605

0.12408

0.11841

dmax t,sv

0.060475

0.063729

0.060959

0.064965

0.067121

0.069109

0.073117

datl n,LLSM

0.075273

0.06932

0.061709

0.062118

0.06242

0.061941

0.062028

datl t,LLSM

0.11892

0.13627

0.10549

0.12748

0.16481

0.15677

0.15335

dmax n,LLSM

0.1426

0.13307

0.10573

0.13011

0.16244

0.12713

0.11665

dmax t,LLSM

1

2

3

4

5

6

7

14

13

12

11

10

9

8

11

11

11

11

11

11

11

Pn

1

1

1

1

1

1

1

Pk

0.028281

0.02899

0.028199

0.029747

0.031555

0.033512

0.03831

datl n,sv

0.034127

0.030858

0.028636

0.028311

0.029049

0.028574

0.028576

datl t,sv

0.070165

0.067111

0.053245

0.071092

0.075045

0.095699

0.1033

dmax n,sv

0.065994

0.064921

0.056406

0.070575

0.07338

0.061205

0.062148

dmax t,sv

0.027003

0.028508

0.027362

0.028868

0.030334

0.031316

0.033507

datl n,LLSM

0.0336

0.030875

0.027879

0.027569

0.028258

0.027708

0.027745

datl t,LLSM

0.060846

0.063605

0.047383

0.059718

0.072349

0.079281

0.075283

dmax n,LLSM

0.065412

0.066025

0.053545

0.059077

0.070024

0.063333

0.065835

dmax t,LLSM

számolt távolság értékek

B.2. táblázat. 15 mátrix aggregálásával, mátrixonként 12 hiányzó elemmel, 1 kritikus pozícióval, 2-es normában

K

M



K

M

61

1

2

3

4

5

6

7

14

13

12

11

10

9

8

10

10

10

10

10

10

10

Pn

2

2

2

2

2

2

2

Pk

0.06194

0.064622

0.064246

0.069973

0.067326

0.076497

0.097691

datl n,sv

0.070986

0.067061

0.066297

0.063567

0.062557

0.065116

0.062563

datl t,sv

0.13698

0.12213

0.15114

0.15242

0.14989

0.15054

0.31899

dmax n,sv

0.15973

0.13219

0.13978

0.13451

0.12033

0.12564

0.11243

dmax t,sv

0.060519

0.062584

0.062198

0.06648

0.064662

0.073044

0.084923

datl n,LLSM

0.070521

0.066788

0.06543

0.062098

0.061496

0.064802

0.060721

datl t,LLSM

0.14131

0.10464

0.14226

0.14947

0.13851

0.14377

0.20563

dmax n,LLSM

0.15808

0.13354

0.13443

0.12764

0.11774

0.12978

0.11134

dmax t,LLSM

1

2

3

4

5

6

7

14

13

12

11

10

9

8

10

10

10

10

10

10

10

Pn

2

2

2

2

2

2

2

Pk

0.027955

0.029247

0.028661

0.031728

0.030517

0.034771

0.044529

datl n,sv

0.032114

0.029704

0.029878

0.028861

0.02804

0.029135

0.027761

datl t,sv

0.069766

0.05849

0.066175

0.074588

0.072527

0.074233

0.13934

dmax n,sv

0.073118

0.067484

0.064812

0.065886

0.057245

0.057666

0.059964

dmax t,sv

0.027529

0.028229

0.0278

0.029847

0.029337

0.033225

0.038411

datl n,LLSM

0.031894

0.029488

0.029668

0.027933

0.027531

0.029095

0.026972

datl t,LLSM

0.070554

0.049111

0.063302

0.065549

0.067939

0.063022

0.088741

dmax n,LLSM

0.071783

0.068959

0.062446

0.059875

0.055967

0.059092

0.058415

dmax t,LLSM



K

M



K

M

62

1

2

3

4

5

6

7

14

13

12

11

10

9

8

9

9

9

9

9

9

9

Pn

3

3

3

3

3

3

3

Pk

0.064446

0.066191

0.062977

0.067593

0.069732

0.082726

0.10167

datl n,sv

0.072836

0.067662

0.064789

0.063178

0.062289

0.059934

0.06046

datl t,sv

0.13095

0.14825

0.12531

0.14712

0.14016

0.22486

0.36882

dmax n,sv

0.16443

0.13632

0.13597

0.1264

0.1244

0.1576

0.13243

dmax t,sv

0.063084

0.06444

0.061851

0.064837

0.066862

0.076328

0.086182

datl n,LLSM

0.07239

0.067537

0.063826

0.061648

0.060824

0.059292

0.059831

datl t,LLSM

0.13368

0.15232

0.11878

0.11545

0.13227

0.19397

0.23133

dmax n,LLSM

0.16445

0.1448

0.13574

0.11876

0.12423

0.15189

0.13562

dmax t,LLSM

1

2

3

4

5

6

7

14

13

12

11

10

9

8

9

9

9

9

9

9

9

Pn

3

3

3

3

3

3

3

Pk

0.028812

0.029688

0.028808

0.031128

0.031141

0.03737

0.047061

datl n,sv

0.032888

0.030822

0.029525

0.028883

0.028022

0.026839

0.027015

datl t,sv

0.056952

0.066557

0.065926

0.069256

0.065246

0.12104

0.15741

dmax n,sv

0.070726

0.062343

0.05806

0.064464

0.059235

0.061153

0.05758

dmax t,sv

0.028095

0.028724

0.02814

0.029657

0.02967

0.033982

0.039458

datl n,LLSM

0.032791

0.030613

0.029076

0.028091

0.027302

0.0264

0.026607

datl t,LLSM

0.054034

0.071869

0.064841

0.06094

0.056773

0.10117

0.10945

dmax n,LLSM

0.071753

0.062609

0.05778

0.051324

0.058591

0.059924

0.05897

dmax t,LLSM



K

M



K

M

63

1

2

3

4

5

6

7

14

13

12

11

10

9

8

8

8

8

8

8

8

8

Pn

4

4

4

4

4

4

4

Pk

0.06193

0.065423

0.065692

0.070002

0.078976

0.08506

0.12033

datl n,sv

0.077851

0.071683

0.066712

0.064826

0.064687

0.06384

0.059433

datl t,sv

0.13467

0.12948

0.11359

0.13158

0.25337

0.18361

0.29414

dmax n,sv

0.30436

0.20231

0.12235

0.142

0.15998

0.15305

0.12218

dmax t,sv

0.060307

0.063333

0.064099

0.067126

0.074076

0.079645

0.10326

datl n,LLSM

0.077509

0.070969

0.065619

0.063855

0.062499

0.062738

0.058437

datl t,LLSM

0.12622

0.1245

0.11148

0.13151

0.19853

0.18387

0.2555

dmax n,LLSM

0.29721

0.2033

0.12017

0.1407

0.15363

0.12248

0.12042

dmax t,LLSM

1

2

3

4

5

6

7

14

13

12

11

10

9

8

8

8

8

8

8

8

8

Pn

4

4

4

4

4

4

4

Pk

0.027129

0.029402

0.029201

0.031998

0.035973

0.038286

0.054035

datl n,sv

0.035157

0.032496

0.029892

0.028727

0.028897

0.0282

0.025971

datl t,sv

0.072221

0.058848

0.052324

0.071515

0.1067

0.083397

0.15814

dmax n,sv

0.16932

0.1099

0.06356

0.071413

0.078229

0.066164

0.052112

dmax t,sv

0.026343

0.028396

0.028514

0.030543

0.03388

0.035587

0.045983

datl n,LLSM

0.034913

0.032117

0.029467

0.028281

0.027986

0.027773

0.025548

datl t,LLSM

0.061627

0.056785

0.048031

0.061625

0.09317

0.074058

0.12973

dmax n,LLSM

0.16514

0.11033

0.064642

0.070537

0.077346

0.05266

0.050745

dmax t,LLSM



K

M



K

M

64

1

2

3

4

5

6

7

14

13

12

11

10

9

8

7

7

7

7

7

7

7

Pn

5

5

5

5

5

5

5

Pk

0.063023

0.059932

0.06714

0.069369

0.077479

0.096256

0.13795

datl n,sv

0.079848

0.067089

0.070668

0.064953

0.064186

0.062816

0.059568

datl t,sv

0.13381

0.11748

0.18428

0.15128

0.19491

0.24034

0.38851

dmax n,sv

0.18135

0.17104

0.14439

0.11145

0.16944

0.13

0.11581

dmax t,sv

0.060945

0.059053

0.064202

0.066888

0.074892

0.088262

0.11313

datl n,LLSM

0.079757

0.066206

0.068617

0.064212

0.063216

0.061917

0.059085

datl t,LLSM

0.12746

0.11855

0.15475

0.13573

0.18299

0.19717

0.27671

dmax n,LLSM

0.18145

0.17121

0.12996

0.11273

0.16887

0.12005

0.11949

dmax t,LLSM

1

2

3

4

5

6

7

14

13

12

11

10

9

8

7

7

7

7

7

7

7

Pn

5

5

5

5

5

5

5

Pk

0.028238

0.026561

0.029785

0.031387

0.034985

0.04433

0.062377

datl n,sv

0.036806

0.029641

0.031545

0.029483

0.028666

0.027974

0.026472

datl t,sv

0.060785

0.053964

0.079906

0.070829

0.08676

0.12954

0.20615

dmax n,sv

0.087845

0.074267

0.06535

0.060311

0.082895

0.062304

0.050492

dmax t,sv

0.027241

0.026073

0.028533

0.030377

0.033687

0.040569

0.050883

datl n,LLSM

0.036677

0.029357

0.030493

0.029046

0.028048

0.027454

0.026162

datl t,LLSM

0.056886

0.052958

0.0662

0.065502

0.08023

0.1044

0.12945

dmax n,LLSM

0.088291

0.074139

0.057515

0.059641

0.076438

0.05344

0.051045

dmax t,LLSM



K

M



K

M

65

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

49

48

47

46

45

44

43

42

41

40

39

38

37

36

35

34

33

32

31

30

29

28

27

26

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

Pn

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Pk

0.033728

0.032745

0.033101

0.031685

0.03305

0.033898

0.033877

0.033975

0.034393

0.033361

0.033864

0.033778

0.034877

0.03444

0.033003

0.036651

0.037178

0.037241

0.035503

0.036963

0.039909

0.042264

0.041123

0.060899

datl n,sv

0.036296

0.034047

0.034766

0.032603

0.033949

0.03526

0.033412

0.034015

0.034591

0.032577

0.032884

0.032512

0.034312

0.034111

0.032054

0.033899

0.0338

0.034506

0.032491

0.033524

0.03304

0.033741

0.031913

0.033635

datl t,sv

0.056243

0.069314

0.068114

0.067298

0.077024

0.062312

0.06227

0.073797

0.077682

0.066443

0.068153

0.056795

0.058584

0.071651

0.05813

0.065426

0.069476

0.098381

0.084791

0.097421

0.10337

0.092492

0.10183

0.24536

dmax n,sv

0.064649

0.070353

0.070198

0.068253

0.086874

0.06041

0.063031

0.069177

0.079368

0.06507

0.061137

0.054822

0.058175

0.057549

0.060436

0.054402

0.066407

0.057542

0.067018

0.06396

0.069269

0.071954

0.063417

0.060907

dmax t,sv

0.033192

0.032796

0.033068

0.031372

0.032862

0.034003

0.033543

0.033508

0.034123

0.033245

0.033586

0.03321

0.034585

0.034124

0.032469

0.03616

0.036352

0.036716

0.035255

0.036378

0.038111

0.041038

0.039296

0.051013

datl n,LLSM

0.036019

0.033981

0.034666

0.032412

0.033769

0.035348

0.033114

0.033656

0.034495

0.032544

0.032641

0.032188

0.034032

0.034001

0.031641

0.033849

0.033587

0.034403

0.032514

0.033301

0.032708

0.033454

0.031738

0.033576

datl t,LLSM

0.056019

0.067228

0.069487

0.066655

0.076794

0.061902

0.064072

0.074475

0.078538

0.067096

0.070102

0.055064

0.060275

0.072937

0.061596

0.061994

0.068263

0.082546

0.06659

0.086739

0.080563

0.070842

0.08488

0.13344

dmax n,LLSM

0.063595

0.068483

0.071607

0.067587

0.086163

0.060999

0.063968

0.066496

0.080255

0.066317

0.061611

0.058205

0.057869

0.054771

0.060811

0.053386

0.069895

0.056528

0.066103

0.062063

0.067581

0.070748

0.063019

0.060183

dmax t,LLSM



K

M

66

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

49

48

47

46

45

44

43

42

41

40

39

38

37

36

35

34

33

32

31

30

29

28

27

26

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

Pn

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Pk

0.015132

0.014702

0.01466

0.014005

0.014564

0.01527

0.014978

0.015107

0.015192

0.014919

0.015104

0.014973

0.015513

0.015493

0.014559

0.016263

0.016849

0.017202

0.015971

0.016555

0.018411

0.019369

0.01913

0.030502

datl n,sv

0.016163

0.015347

0.015437

0.014439

0.015017

0.015893

0.014922

0.015158

0.015334

0.014467

0.014652

0.014482

0.015226

0.015404

0.014284

0.014875

0.015075

0.015752

0.014502

0.01475

0.014607

0.014927

0.014067

0.014863

datl t,sv

0.027542

0.034005

0.029274

0.029682

0.033234

0.031077

0.031099

0.03847

0.03173

0.030441

0.035589

0.028984

0.029489

0.0324

0.026536

0.038305

0.035284

0.053171

0.039804

0.045646

0.056369

0.050419

0.056282

0.13262

dmax n,sv

0.03171

0.033577

0.030569

0.030061

0.037068

0.027763

0.028681

0.035186

0.032287

0.030518

0.02665

0.026385

0.025273

0.027031

0.028096

0.026025

0.029606

0.026821

0.030769

0.027903

0.028601

0.034286

0.027194

0.025944

dmax t,sv

0.014934

0.014688

0.014566

0.013879

0.014441

0.015272

0.014827

0.014939

0.015038

0.014856

0.014901

0.014701

0.015376

0.015295

0.014395

0.015998

0.016486

0.016795

0.01581

0.016304

0.017352

0.018612

0.017989

0.024433

datl n,LLSM

0.016066

0.015285

0.015333

0.014351

0.014904

0.015878

0.014789

0.015033

0.015239

0.014441

0.014499

0.014307

0.015102

0.015342

0.014142

0.014792

0.015

0.015633

0.014476

0.014661

0.01447

0.014772

0.013998

0.0148

datl t,LLSM

0.025919

0.032681

0.02967

0.029327

0.032732

0.030488

0.028285

0.038487

0.032472

0.029873

0.030762

0.028715

0.030514

0.032768

0.027489

0.033583

0.031552

0.044587

0.030596

0.040703

0.03741

0.033001

0.046032

0.071171

dmax n,LLSM

0.031558

0.032147

0.030962

0.029702

0.036584

0.027862

0.028471

0.033553

0.032976

0.030015

0.026847

0.026634

0.02564

0.0263

0.027492

0.024714

0.029279

0.02806

0.031248

0.027141

0.02911

0.034345

0.028138

0.025767

dmax t,LLSM



K

M

67

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

49

48

47

46

45

44

43

42

41

40

39

38

37

36

35

34

33

32

31

30

29

28

27

26

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

Pn

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Pk

0.031574

0.032697

0.031967

0.034219

0.033193

0.033561

0.033577

0.03194

0.035427

0.035659

0.034289

0.035443

0.036762

0.035961

0.037245

0.036963

0.035356

0.039267

0.043064

0.044523

0.042022

0.049294

0.055592

0.087646

datl n,sv

0.035661

0.035835

0.036078

0.036044

0.034704

0.034688

0.034147

0.033402

0.035467

0.034395

0.033483

0.033861

0.034857

0.032211

0.035651

0.033743

0.032939

0.034028

0.033801

0.032911

0.032824

0.031304

0.03119

0.033017

datl t,sv

0.061567

0.053298

0.06078

0.077654

0.06641

0.064229

0.069912

0.072264

0.060565

0.070747

0.066845

0.07629

0.079686

0.075873

0.06871

0.072323

0.07594

0.078886

0.1066

0.12075

0.12353

0.13556

0.1966

0.32341

dmax n,sv

0.065859

0.081392

0.06663

0.072635

0.0685

0.059325

0.058743

0.073422

0.072843

0.07164

0.063942

0.062873

0.073034

0.060461

0.061856

0.063526

0.057886

0.068521

0.056623

0.078861

0.062204

0.062466

0.061871

0.06421

dmax t,sv

0.031329

0.032648

0.03155

0.033872

0.032716

0.033121

0.033197

0.031757

0.034932

0.035068

0.034232

0.035186

0.03613

0.035789

0.036558

0.036566

0.035049

0.0384

0.041693

0.043144

0.041015

0.045829

0.050707

0.069128

datl n,LLSM

0.035697

0.035824

0.035756

0.035852

0.034346

0.034268

0.034129

0.033359

0.035049

0.034208

0.033408

0.033707

0.034582

0.032063

0.035295

0.033647

0.032855

0.03384

0.033471

0.032667

0.032408

0.031245

0.031011

0.032722

datl t,LLSM

0.063996

0.05245

0.063863

0.077811

0.065442

0.060242

0.062625

0.070442

0.059745

0.068173

0.067729

0.07236

0.071957

0.077909

0.064493

0.066483

0.073363

0.069712

0.09102

0.093106

0.1113

0.11636

0.14608

0.19017

dmax n,LLSM

0.065761

0.081892

0.067872

0.071622

0.064079

0.057699

0.058029

0.072552

0.066748

0.070894

0.062946

0.063107

0.066777

0.05966

0.060324

0.065316

0.058484

0.069098

0.056203

0.077492

0.061253

0.060831

0.061771

0.061151

dmax t,LLSM



K

M

68

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

49

48

47

46

45

44

43

42

41

40

39

38

37

36

35

34

33

32

31

30

29

28

27

26

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

Pn

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Pk

0.013904

0.014542

0.014126

0.015161

0.014692

0.014982

0.014989

0.014334

0.01567

0.015941

0.015205

0.015626

0.016646

0.016023

0.016723

0.016302

0.015991

0.017691

0.019446

0.020214

0.019186

0.023113

0.026492

0.04274

datl n,sv

0.015724

0.015918

0.016011

0.016066

0.015415

0.015494

0.015265

0.015249

0.015626

0.015323

0.014807

0.015153

0.015457

0.014138

0.015792

0.015092

0.014708

0.014777

0.014937

0.014699

0.014641

0.014145

0.014013

0.01473

datl t,sv

0.027919

0.026601

0.02702

0.034263

0.029189

0.032824

0.033274

0.027799

0.033994

0.0389

0.03071

0.03351

0.038144

0.033789

0.032655

0.03068

0.039235

0.037789

0.060856

0.058372

0.061957

0.067653

0.086293

0.17599

dmax n,sv

0.031618

0.033084

0.030612

0.034595

0.027587

0.02749

0.027407

0.035539

0.03187

0.040278

0.03053

0.03297

0.031222

0.024698

0.036385

0.030164

0.025554

0.029878

0.027119

0.041857

0.028723

0.027641

0.030459

0.031737

dmax t,sv

0.013833

0.01449

0.013942

0.014953

0.014459

0.014781

0.014806

0.014208

0.015441

0.015661

0.015149

0.015541

0.016318

0.01592

0.016395

0.016062

0.015786

0.017318

0.018797

0.0195

0.018623

0.021146

0.023694

0.033555

datl n,LLSM

0.015726

0.01589

0.015867

0.0159

0.015155

0.01532

0.0152

0.015181

0.015449

0.015194

0.01474

0.015121

0.015333

0.014093

0.015636

0.014994

0.014635

0.014677

0.014804

0.014535

0.014494

0.014134

0.013939

0.014569

datl t,LLSM

0.028638

0.024891

0.02898

0.033051

0.028773

0.027253

0.029832

0.026982

0.033513

0.033155

0.031154

0.032304

0.033062

0.035214

0.030624

0.029601

0.037794

0.034166

0.051227

0.043846

0.056235

0.060129

0.063302

0.090154

dmax n,LLSM

0.031561

0.033185

0.029554

0.03335

0.02668

0.026865

0.026672

0.035126

0.028306

0.034741

0.029532

0.034113

0.029125

0.024968

0.035188

0.030614

0.026082

0.029815

0.026199

0.041819

0.028151

0.02608

0.030397

0.029643

dmax t,LLSM



K

M

69

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

49

48

47

46

45

44

43

42

41

40

39

38

37

36

35

34

33

32

31

30

29

28

27

26

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

Pn

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

Pk

0.033169

0.032748

0.032428

0.029528

0.034677

0.03352

0.032986

0.034609

0.033187

0.033502

0.0348

0.03827

0.037715

0.035894

0.037505

0.038795

0.041938

0.045501

0.044039

0.043968

0.051794

0.057087

0.073421

0.10166

datl n,sv

0.038712

0.036891

0.034646

0.032638

0.035038

0.035614

0.035727

0.034816

0.031518

0.034478

0.034188

0.035529

0.034728

0.031815

0.034397

0.032875

0.034295

0.032649

0.034157

0.031035

0.031594

0.032266

0.030494

0.033942

datl t,sv

0.06163

0.071817

0.05396

0.056021

0.070609

0.072033

0.071965

0.05791

0.064515

0.059839

0.073392

0.088348

0.097511

0.08777

0.08674

0.090574

0.093397

0.14833

0.10495

0.11868

0.11203

0.16531

0.26183

0.31782

dmax n,sv

0.067519

0.064244

0.081941

0.06633

0.070133

0.066755

0.069463

0.065029

0.055711

0.058888

0.068073

0.074777

0.073075

0.066348

0.079149

0.053348

0.059875

0.063104

0.078345

0.069748

0.054347

0.060921

0.051436

0.063701

dmax t,sv

0.032999

0.032602

0.032

0.029227

0.034292

0.03318

0.032945

0.034181

0.032751

0.032956

0.034605

0.037773

0.036725

0.035163

0.036812

0.038022

0.040657

0.042855

0.042351

0.042747

0.049566

0.05396

0.064691

0.082708

datl n,LLSM

0.038593

0.036827

0.034366

0.032398

0.034763

0.035483

0.035556

0.034572

0.031241

0.034082

0.034178

0.035369

0.034184

0.031614

0.033875

0.032822

0.033951

0.032598

0.033921

0.031062

0.031319

0.032072

0.030174

0.033725

datl t,LLSM

0.061877

0.065879

0.053747

0.054414

0.069815

0.070105

0.070978

0.057054

0.064489

0.058208

0.077338

0.088858

0.090303

0.085709

0.069673

0.090444

0.089599

0.10663

0.097086

0.11646

0.10684

0.14308

0.15632

0.2265

dmax n,LLSM

0.067645

0.064938

0.078948

0.066918

0.067387

0.067678

0.068663

0.06451

0.053777

0.057857

0.068334

0.073722

0.074961

0.064991

0.078825

0.052906

0.06045

0.0631

0.07804

0.068978

0.053606

0.057485

0.051534

0.062106

dmax t,LLSM



K

M

70

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

49

48

47

46

45

44

43

42

41

40

39

38

37

36

35

34

33

32

31

30

29

28

27

26

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

Pn

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

Pk

0.014758

0.014659

0.014383

0.013226

0.015168

0.014901

0.014826

0.015445

0.014811

0.014947

0.015558

0.016748

0.016985

0.016065

0.016882

0.017263

0.019147

0.02126

0.020037

0.019863

0.023865

0.025783

0.035063

0.049388

datl n,sv

0.017194

0.016347

0.015412

0.014754

0.015454

0.015881

0.016048

0.01556

0.013995

0.015448

0.015107

0.015593

0.015685

0.013863

0.015249

0.014732

0.015427

0.014838

0.015411

0.013604

0.01411

0.014469

0.013547

0.01512

datl t,sv

0.026197

0.037201

0.023698

0.02472

0.03134

0.027597

0.034834

0.026454

0.032128

0.027198

0.030591

0.039855

0.04561

0.042315

0.040193

0.044923

0.048724

0.081041

0.058975

0.056481

0.053857

0.088803

0.14453

0.16708

dmax n,sv

0.033871

0.026544

0.0372

0.034955

0.031643

0.027415

0.036248

0.029053

0.025835

0.031416

0.031605

0.03067

0.030825

0.026888

0.034939

0.026644

0.031122

0.030635

0.03757

0.038084

0.026677

0.025491

0.022037

0.028721

dmax t,sv

0.014647

0.014554

0.01421

0.013002

0.014997

0.014765

0.01476

0.0152

0.014567

0.014702

0.015473

0.016513

0.016589

0.015713

0.016515

0.016848

0.018577

0.019691

0.019132

0.019244

0.02262

0.024193

0.030527

0.03959

datl n,LLSM

0.017127

0.01629

0.015282

0.014673

0.015311

0.015777

0.015976

0.0154

0.013841

0.015279

0.015088

0.015509

0.015424

0.013797

0.015049

0.014712

0.015281

0.014792

0.01525

0.013621

0.013968

0.014389

0.013424

0.014993

datl t,LLSM

0.026819

0.03227

0.023377

0.024149

0.029241

0.026533

0.035733

0.027048

0.030803

0.026657

0.032356

0.040418

0.040566

0.040219

0.030685

0.037837

0.04899

0.054439

0.05497

0.058762

0.049204

0.072904

0.084813

0.12454

dmax n,LLSM

0.033692

0.027231

0.036321

0.035336

0.029659

0.02744

0.034974

0.02841

0.026321

0.032187

0.031672

0.030011

0.031329

0.027863

0.035123

0.025826

0.030923

0.03048

0.037479

0.037217

0.026688

0.025411

0.022019

0.028456

dmax t,LLSM



K

M

71

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

49

48

47

46

45

44

43

42

41

40

39

38

37

36

35

34

33

32

31

30

29

28

27

26

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

Pn

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

Pk

0.032384

0.033521

0.034346

0.033164

0.033844

0.034109

0.033707

0.035482

0.03689

0.034998

0.037604

0.03522

0.040144

0.037689

0.04288

0.043605

0.04144

0.047278

0.043728

0.054421

0.058445

0.069499

0.076983

0.13455

datl n,sv

0.038393

0.037163

0.038464

0.037004

0.037012

0.037274

0.035651

0.034587

0.034894

0.033543

0.034946

0.035862

0.036005

0.033892

0.034445

0.034834

0.034166

0.033034

0.031723

0.034917

0.032535

0.031178

0.031299

0.030124

datl t,sv

0.068069

0.068374

0.070327

0.065709

0.056107

0.072202

0.082787

0.091054

0.10324

0.076847

0.066322

0.077398

0.092506

0.074849

0.091186

0.11178

0.093407

0.11336

0.12398

0.112

0.16399

0.20288

0.21558

0.59235

dmax n,sv

0.075794

0.065525

0.065804

0.074109

0.067758

0.06906

0.08318

0.089371

0.062944

0.076439

0.057003

0.070987

0.077458

0.059164

0.060716

0.096312

0.058546

0.072206

0.062071

0.081065

0.069318

0.069587

0.062127

0.064955

dmax t,sv

0.03204

0.032947

0.034086

0.033101

0.033558

0.034067

0.033215

0.034997

0.036254

0.034391

0.03726

0.034385

0.039438

0.0371

0.042038

0.042595

0.040511

0.046398

0.042172

0.052226

0.054652

0.065064

0.070183

0.1088

datl n,LLSM

0.038113

0.037044

0.038218

0.036992

0.036785

0.037319

0.035438

0.0342

0.034848

0.033303

0.034949

0.03552

0.035761

0.033666

0.034603

0.034645

0.034285

0.032933

0.03164

0.034519

0.032384

0.031066

0.031088

0.029961

datl t,LLSM

0.067178

0.068187

0.074044

0.068255

0.055825

0.0686

0.082876

0.091021

0.088291

0.07369

0.065646

0.068884

0.084085

0.071516

0.087492

0.093556

0.086064

0.10767

0.093977

0.10445

0.13809

0.16667

0.16841

0.45889

dmax n,LLSM

0.073714

0.063283

0.064348

0.073314

0.069057

0.069411

0.082841

0.089308

0.061607

0.075438

0.056967

0.071727

0.076788

0.061373

0.060913

0.095716

0.057755

0.073413

0.06085

0.078821

0.064934

0.069029

0.062054

0.062561

dmax t,LLSM



K

M

72

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

49

48

47

46

45

44

43

42

41

40

39

38

37

36

35

34

33

32

31

30

29

28

27

26

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

Pn

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

Pk

0.014497

0.014814

0.015251

0.014659

0.015157

0.015366

0.014988

0.015699

0.016499

0.015726

0.016719

0.015875

0.018384

0.016826

0.019385

0.019882

0.018525

0.02168

0.01997

0.024283

0.02696

0.032261

0.036439

0.063233

datl n,sv

0.017214

0.016581

0.017318

0.016432

0.016573

0.016511

0.015774

0.015328

0.015472

0.014712

0.015585

0.016113

0.016328

0.01485

0.01525

0.015775

0.015265

0.014717

0.013866

0.015795

0.014628

0.013925

0.014157

0.013322

datl t,sv

0.029931

0.027364

0.040114

0.034233

0.025759

0.034855

0.038982

0.035494

0.050049

0.031557

0.028046

0.03776

0.050753

0.03331

0.040879

0.053607

0.051606

0.056383

0.055187

0.059585

0.084437

0.098498

0.10694

0.32088

dmax n,sv

0.040646

0.031973

0.030815

0.034164

0.036019

0.033821

0.037478

0.036486

0.029892

0.034958

0.027282

0.032834

0.036354

0.030443

0.025038

0.040745

0.033983

0.035606

0.027548

0.043438

0.029026

0.027962

0.032016

0.030547

dmax t,sv

0.014321

0.014547

0.015123

0.014598

0.014953

0.015279

0.01473

0.015496

0.016199

0.015454

0.016501

0.01552

0.018037

0.016579

0.018858

0.019391

0.018119

0.021156

0.019282

0.023301

0.025163

0.029871

0.033011

0.051594

datl n,LLSM

0.017113

0.016483

0.017193

0.016427

0.01643

0.016515

0.015682

0.015169

0.015466

0.014624

0.015564

0.015966

0.016234

0.014777

0.015313

0.015693

0.015281

0.014678

0.013816

0.015622

0.014534

0.013858

0.013982

0.013282

datl t,LLSM

0.029616

0.026874

0.042553

0.035211

0.026121

0.032337

0.039464

0.035427

0.04139

0.032402

0.027223

0.031319

0.046195

0.031243

0.036878

0.044414

0.042002

0.05188

0.047304

0.05209

0.073723

0.089014

0.083987

0.25435

dmax n,LLSM

0.039676

0.031973

0.031172

0.035222

0.036401

0.033263

0.037322

0.036382

0.029501

0.033161

0.027283

0.032197

0.036165

0.030981

0.02546

0.040421

0.033643

0.035989

0.0243

0.042527

0.029298

0.027889

0.031116

0.029351

dmax t,LLSM



K

M

73

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

49

48

47

46

45

44

43

42

41

40

39

38

37

36

35

34

33

32

31

30

29

28

27

26

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

Pn

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

Pk

0.033148

0.031219

0.031968

0.035403

0.034006

0.033738

0.03426

0.03448

0.037529

0.033637

0.035733

0.03888

0.037584

0.039799

0.039238

0.044011

0.047898

0.048311

0.051034

0.057923

0.067442

0.072019

0.082658

0.14657

datl n,sv

0.037217

0.037212

0.039192

0.037493

0.039755

0.037093

0.036262

0.037205

0.037762

0.034289

0.036596

0.037536

0.033622

0.034717

0.032539

0.033489

0.03452

0.032902

0.032136

0.031434

0.031408

0.030663

0.031719

0.034466

datl t,sv

0.082195

0.055576

0.057906

0.079185

0.073885

0.078575

0.066353

0.067345

0.079643

0.070932

0.082469

0.0719

0.090107

0.12913

0.090799

0.096819

0.17156

0.095879

0.1312

0.13139

0.17652

0.20596

0.27424

0.38626

dmax n,sv

0.06121

0.066557

0.078334

0.07343

0.077857

0.070409

0.071029

0.092899

0.074509

0.059691

0.097207

0.074112

0.054174

0.06861

0.071195

0.061484

0.062014

0.07045

0.061638

0.055374

0.05824

0.064843

0.063585

0.06159

dmax t,sv

0.03288

0.030844

0.03191

0.035138

0.033716

0.033472

0.033731

0.033822

0.036962

0.03334

0.035204

0.038537

0.037183

0.039531

0.038491

0.04367

0.045607

0.046709

0.049201

0.055792

0.06383

0.066953

0.074211

0.12017

datl n,LLSM

0.03709

0.036984

0.039105

0.037287

0.039363

0.036917

0.036078

0.036892

0.037426

0.034128

0.03648

0.037115

0.033559

0.034703

0.032322

0.033461

0.034322

0.032897

0.031774

0.031417

0.031164

0.03058

0.031912

0.03424

datl t,LLSM

0.081371

0.05389

0.060725

0.079253

0.075433

0.074147

0.066879

0.062601

0.076444

0.070852

0.08999

0.07252

0.090049

0.14

0.089261

0.1023

0.12974

0.088788

0.11796

0.13251

0.16286

0.16195

0.18847

0.29055

dmax n,LLSM

0.062399

0.066912

0.079365

0.071915

0.078884

0.069178

0.071651

0.085575

0.073771

0.058155

0.096585

0.071366

0.053316

0.068173

0.071618

0.061348

0.062323

0.070471

0.060719

0.054755

0.058911

0.066938

0.063887

0.061053

dmax t,LLSM



K

M

74

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

49

48

47

46

45

44

43

42

41

40

39

38

37

36

35

34

33

32

31

30

29

28

27

26

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

Pn

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

Pk

0.014782

0.013927

0.014319

0.015659

0.015014

0.014693

0.015408

0.015614

0.016831

0.014902

0.016279

0.017264

0.016738

0.017837

0.017427

0.020246

0.021385

0.022103

0.023308

0.026457

0.030621

0.033527

0.037776

0.06661

datl n,sv

0.017006

0.016248

0.017596

0.016745

0.017763

0.016538

0.016268

0.016662

0.01689

0.015287

0.016237

0.016486

0.015013

0.01545

0.014585

0.014948

0.015223

0.014769

0.014243

0.014187

0.01383

0.013611

0.014122

0.015426

datl t,sv

0.043681

0.0264

0.025475

0.035945

0.033055

0.033242

0.028018

0.030418

0.036604

0.032448

0.040772

0.031256

0.043476

0.058647

0.039892

0.047701

0.077737

0.050347

0.066184

0.071848

0.086084

0.097281

0.12458

0.1679

dmax n,sv

0.031345

0.032199

0.035407

0.03373

0.033459

0.034108

0.028705

0.040987

0.041534

0.031347

0.041662

0.033465

0.026002

0.031065

0.037001

0.034831

0.026899

0.035802

0.027873

0.024836

0.025966

0.031141

0.026765

0.031466

dmax t,sv

0.01466

0.01374

0.014302

0.015504

0.014835

0.014537

0.015197

0.015252

0.016584

0.014735

0.01598

0.01702

0.016553

0.017697

0.017125

0.019951

0.020347

0.021383

0.022379

0.025521

0.029003

0.030849

0.033985

0.054593

datl n,LLSM

0.016941

0.016159

0.017549

0.016644

0.01753

0.016486

0.01615

0.016543

0.016734

0.015213

0.016161

0.016316

0.014975

0.015426

0.014517

0.014976

0.015122

0.014765

0.014096

0.014169

0.013724

0.013541

0.014166

0.015306

datl t,LLSM

0.04157

0.025451

0.026523

0.035567

0.033715

0.031552

0.028148

0.028155

0.0363

0.031221

0.045834

0.031249

0.042986

0.063866

0.039669

0.047924

0.056595

0.043808

0.063318

0.064808

0.0675

0.073859

0.084693

0.13284

dmax n,LLSM

0.030961

0.031094

0.034119

0.032871

0.033394

0.033083

0.029008

0.037672

0.041251

0.031051

0.041246

0.03255

0.026527

0.030803

0.03726

0.034848

0.027223

0.035978

0.028162

0.025228

0.025106

0.032151

0.026906

0.031178

dmax t,LLSM



K

M

75

1

2

3

6

5

4

11

11

11

Pn

1

1

1

Pk

0.11073

0.10892

0.12697

datl n,sv

0.11014

0.095992

0.10376

datl t,sv

0.26357

0.24301

0.30237

dmax n,sv

0.31308

0.22421

0.18095

dmax t,sv

0.10269

0.099232

0.10909

datl n,LLSM

0.10824

0.093699

0.095944

datl t,LLSM

0.23532

0.20599

0.26612

dmax n,LLSM

0.3184

0.20548

0.17413

dmax t,LLSM

1

2

3

6

5

4

11

11

11

Pn

1

1

1

Pk

0.05014

0.049318

0.058527

datl n,sv

0.050424

0.04309

0.047023

datl t,sv

0.11522

0.10707

0.14703

dmax n,sv

0.15337

0.10391

0.088122

dmax t,sv

0.046658

0.04456

0.050099

datl n,LLSM

0.049921

0.041877

0.043654

datl t,LLSM

0.098374

0.09343

0.12393

dmax n,LLSM

0.15641

0.093209

0.091338

dmax t,LLSM

1

2

3

6

5

4

10

10

10

Pn

2

2

2

Pk

0.10502

0.11394

0.12209

datl n,sv

0.11011

0.1038

0.096848

datl t,sv

0.238

0.31293

0.3335

dmax n,sv

0.2639

0.22111

0.19355

dmax t,sv

0.095102

0.10123

0.10527

datl n,LLSM

0.10921

0.098124

0.091657

datl t,LLSM

0.19365

0.20287

0.30784

dmax n,LLSM

0.26695

0.19086

0.19364

dmax t,LLSM



K

M



K

M



K

M

76

1

2

3

6

5

4

10

10

10

Pn

2

2

2

Pk

0.048175

0.052913

0.055203

datl n,sv

0.050375

0.04838

0.043789

datl t,sv

0.10112

0.13213

0.15311

dmax n,sv

0.12644

0.11033

0.088393

dmax t,sv

0.043521

0.046535

0.047088

datl n,LLSM

0.050098

0.045484

0.041645

datl t,LLSM

0.092056

0.10646

0.13324

dmax n,LLSM

0.129

0.095402

0.084131

dmax t,LLSM

1

2

3

6

5

4

9

9

9

Pn

3

3

3

Pk

0.10948

0.11206

0.12727

datl n,sv

0.11788

0.099457

0.099209

datl t,sv

0.20944

0.26843

0.27803

dmax n,sv

0.28401

0.2372

0.21652

dmax t,sv

0.10405

0.10191

0.11094

datl n,LLSM

0.11804

0.097017

0.09445

datl t,LLSM

0.18869

0.1994

0.27572

dmax n,LLSM

0.28681

0.22446

0.19973

dmax t,LLSM

1

2

3

6

5

4

9

9

9

Pn

3

3

3

Pk

0.049802

0.050128

0.058658

datl n,sv

0.054241

0.045239

0.044184

datl t,sv

0.11372

0.13426

0.13603

dmax n,sv

0.15617

0.10597

0.098566

dmax t,sv

0.047112

0.045467

0.050366

datl n,LLSM

0.054392

0.044285

0.041997

datl t,LLSM

0.10253

0.092034

0.12725

dmax n,LLSM

0.15768

0.096789

0.090221

dmax t,LLSM



K

M



K

M



K

M

77

1

2

3

6

5

4

8

8

8

Pn

4

4

4

Pk

0.10151

0.10597

0.14062

datl n,sv

0.10743

0.10406

0.091546

datl t,sv

0.24141

0.26165

0.4199

dmax n,sv

0.24077

0.23443

0.18891

dmax t,sv

0.096517

0.098504

0.11997

datl n,LLSM

0.10652

0.10072

0.087324

datl t,LLSM

0.24116

0.2415

0.3091

dmax n,LLSM

0.21433

0.228

0.16814

dmax t,LLSM

1

2

3

6

5

4

8

8

8

Pn

4

4

4

Pk

0.045956

0.047647

0.064394

datl n,sv

0.048343

0.04793

0.041952

datl t,sv

0.11318

0.11934

0.19063

dmax n,sv

0.11145

0.1092

0.088559

dmax t,sv

0.043308

0.044263

0.054742

datl n,LLSM

0.047856

0.04684

0.039811

datl t,LLSM

0.11062

0.10666

0.14033

dmax n,LLSM

0.10583

0.1072

0.082289

dmax t,LLSM

1

2

3

6

5

4

7

7

7

Pn

5

5

5

Pk

0.10643

0.11419

0.14201

datl n,sv

0.12158

0.10202

0.095374

datl t,sv

0.21475

0.28256

0.30281

dmax n,sv

0.32151

0.22458

0.1921

dmax t,sv

0.098548

0.10452

0.12666

datl n,LLSM

0.11985

0.09926

0.093578

datl t,LLSM

0.17431

0.22505

0.30895

dmax n,LLSM

0.2903

0.22903

0.19002

dmax t,LLSM



K

M



K

M



K

M

78

1

2

3

6

5

4

7

7

7

Pn

5

5

5

Pk

0.048515

0.051784

0.064515

datl n,sv

0.054181

0.046725

0.042839

datl t,sv

0.11079

0.15614

0.13786

dmax n,sv

0.13484

0.098539

0.092714

dmax t,sv

0.04394

0.047354

0.05742

datl n,LLSM

0.053546

0.045509

0.042049

datl t,LLSM

0.082679

0.11965

0.14527

dmax n,LLSM

0.12792

0.10065

0.093159

dmax t,LLSM

1

2

3

4

5

6

7

14

13

12

11

10

9

8

7

7

7

7

7

7

7

Pn

1

1

1

1

1

1

1

Pk

0.044295

0.044555

0.046504

0.048823

0.050649

0.055522

0.065951

datl n,sv

0.046607

0.043375

0.045236

0.04663

0.045633

0.043868

0.044326

datl t,sv

0.095153

0.09084

0.093178

0.11098

0.13979

0.13371

0.17773

dmax n,sv

0.094242

0.092507

0.088773

0.088685

0.10101

0.085512

0.099367

dmax t,sv

0.043864

0.043127

0.044865

0.047049

0.047991

0.052624

0.058269

datl n,LLSM

0.046124

0.042661

0.044231

0.045189

0.044304

0.043908

0.043728

datl t,LLSM

0.093663

0.091356

0.086674

0.10831

0.12948

0.12434

0.13128

dmax n,LLSM

0.095672

0.091933

0.087066

0.084997

0.089774

0.085641

0.089335

dmax t,LLSM



K

M



K

M

79

1

2

3

4

5

6

7

14

13

12

11

10

9

8

7

7

7

7

7

7

7

Pn

1

1

1

1

1

1

1

Pk

0.019596

0.019691

0.020824

0.02157

0.023206

0.025582

0.032508

datl n,sv

0.020531

0.019121

0.020282

0.020464

0.020553

0.019267

0.020318

datl t,sv

0.044851

0.044595

0.04395

0.048303

0.073932

0.066863

0.096791

dmax n,sv

0.038955

0.039758

0.040857

0.037961

0.043386

0.03659

0.050244

dmax t,sv

0.019273

0.019068

0.020114

0.020586

0.021879

0.023634

0.027905

datl n,LLSM

0.020202

0.018891

0.019821

0.019806

0.019866

0.01912

0.020072

datl t,LLSM

0.043926

0.044584

0.039601

0.046987

0.064529

0.051119

0.070776

dmax n,LLSM

0.038124

0.039919

0.04112

0.03623

0.040633

0.036939

0.043423

dmax t,LLSM

1

2

3

4

5

6

7

14

13

12

11

10

9

8

6

6

6

6

6

6

6

Pn

2

2

2

2

2

2

2

Pk

0.047667

0.045892

0.04848

0.053123

0.057887

0.063506

0.0837

datl n,sv

0.048077

0.044891

0.04476

0.045841

0.043962

0.044437

0.042704

datl t,sv

0.083231

0.087168

0.094958

0.11013

0.13852

0.17353

0.19642

dmax n,sv

0.10243

0.080779

0.084702

0.10215

0.092389

0.090833

0.080749

dmax t,sv

0.04679

0.0452

0.047228

0.051486

0.054577

0.057985

0.067394

datl n,LLSM

0.047606

0.044716

0.044024

0.045877

0.043375

0.043535

0.041329

datl t,LLSM

0.082687

0.084615

0.087569

0.10646

0.11507

0.12842

0.14235

dmax n,LLSM

0.10138

0.086594

0.081259

0.099379

0.088808

0.082569

0.081801

dmax t,LLSM



K

M



K

M

80

1

2

3

4

5

6

7

14

13

12

11

10

9

8

6

6

6

6

6

6

6

Pn

2

2

2

2

2

2

2

Pk

0.021378

0.020433

0.021807

0.024211

0.027025

0.029919

0.040263

datl n,sv

0.021356

0.019983

0.019858

0.02061

0.019911

0.01968

0.01912

datl t,sv

0.044658

0.04723

0.047827

0.055808

0.063353

0.08687

0.096516

dmax n,sv

0.049504

0.036964

0.038645

0.049382

0.049776

0.038

0.037355

dmax t,sv

0.020946

0.020053

0.021052

0.023357

0.025223

0.026664

0.032028

datl n,LLSM

0.021138

0.019797

0.019534

0.02063

0.019621

0.019315

0.018492

datl t,LLSM

0.03794

0.045761

0.04241

0.05769

0.058586

0.066944

0.067008

dmax n,LLSM

0.048795

0.037495

0.038322

0.046634

0.048839

0.03577

0.036322

dmax t,LLSM

1

2

3

4

5

6

7

14

13

12

11

10

9

8

5

5

5

5

5

5

5

Pn

3

3

3

3

3

3

3

Pk

0.045261

0.046786

0.050333

0.052571

0.063281

0.07457

0.10021

datl n,sv

0.048699

0.045271

0.049252

0.043155

0.043909

0.04371

0.038592

datl t,sv

0.083762

0.090139

0.10776

0.11858

0.15779

0.24088

0.27191

dmax n,sv

0.11067

0.083286

0.099061

0.10287

0.089147

0.10382

0.068573

dmax t,sv

0.043989

0.045948

0.048726

0.050449

0.059506

0.067132

0.082714

datl n,LLSM

0.048033

0.044775

0.048752

0.042254

0.04331

0.043206

0.038292

datl t,LLSM

0.081966

0.095742

0.098571

0.1241

0.11942

0.16195

0.21842

dmax n,LLSM

0.099506

0.077748

0.09145

0.098418

0.086856

0.10278

0.064432

dmax t,LLSM



K

M



K

M

81

1

2

3

4

5

6

7

14

13

12

11

10

9

8

5

5

5

5

5

5

5

Pn

3

3

3

3

3

3

3

Pk

0.020512

0.021069

0.022481

0.023988

0.029128

0.034904

0.047377

datl n,sv

0.022001

0.020189

0.02222

0.019226

0.01971

0.019497

0.017227

datl t,sv

0.044904

0.039369

0.048129

0.062052

0.086357

0.12553

0.12793

dmax n,sv

0.04816

0.045645

0.046017

0.046516

0.042681

0.040847

0.032073

dmax t,sv

0.019942

0.020542

0.021827

0.02294

0.026923

0.031081

0.039049

datl n,LLSM

0.021608

0.019866

0.021998

0.018829

0.019494

0.019186

0.017148

datl t,LLSM

0.043622

0.04313

0.048218

0.067168

0.054386

0.079629

0.093503

dmax n,LLSM

0.044198

0.041403

0.041266

0.044307

0.041474

0.040783

0.031762

dmax t,LLSM



K

M

82

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

49

48

47

46

45

44

43

42

41

40

39

38

37

36

35

34

33

32

31

30

29

28

27

26

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

Pn

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Pk

0.024192

0.025307

0.024519

0.024563

0.024308

0.024315

0.02478

0.023973

0.024562

0.026217

0.025043

0.025278

0.02473

0.024308

0.027003

0.026706

0.028511

0.028493

0.029635

0.029539

0.029769

0.033335

0.034839

0.051018

datl n,sv

0.024009

0.025251

0.02402

0.024209

0.023918

0.024432

0.02421

0.02349

0.022909

0.024927

0.024339

0.023658

0.023614

0.022597

0.024632

0.023548

0.025801

0.024856

0.025088

0.023999

0.023561

0.022776

0.023726

0.023272

datl t,sv

0.049756

0.046939

0.045615

0.046195

0.049398

0.056147

0.056984

0.054576

0.048054

0.051455

0.048667

0.051416

0.044409

0.049596

0.047639

0.053332

0.062139

0.064366

0.075093

0.060202

0.085478

0.10791

0.14535

0.16038

dmax n,sv

0.045778

0.047676

0.043122

0.046776

0.049494

0.049776

0.04111

0.057583

0.043232

0.043188

0.0477

0.038301

0.045207

0.041128

0.043896

0.038769

0.04416

0.042043

0.043947

0.042106

0.040701

0.04222

0.043831

0.041804

dmax t,sv

0.02413

0.025053

0.024405

0.024464

0.024019

0.02408

0.024391

0.023698

0.024319

0.026006

0.024868

0.0249

0.024306

0.024035

0.026602

0.026295

0.028409

0.02779

0.028847

0.029008

0.029304

0.031345

0.032466

0.041798

datl n,LLSM

0.023994

0.024978

0.023996

0.024227

0.023724

0.02432

0.024104

0.023268

0.022863

0.024952

0.024172

0.023478

0.023364

0.022521

0.024501

0.023331

0.0258

0.024685

0.024811

0.023931

0.023457

0.022662

0.02351

0.023223

datl t,LLSM

0.049445

0.046401

0.042858

0.046035

0.048636

0.052975

0.049431

0.051749

0.047466

0.052205

0.048247

0.052227

0.043366

0.048767

0.045276

0.051659

0.057275

0.065391

0.059433

0.05908

0.076217

0.080531

0.095369

0.098154

dmax n,LLSM

0.046343

0.046795

0.040638

0.046413

0.049816

0.049405

0.04086

0.054907

0.043287

0.043505

0.046987

0.038079

0.04545

0.039784

0.044093

0.03855

0.043874

0.04374

0.04386

0.041503

0.041662

0.040815

0.043976

0.04184

dmax t,LLSM



K

M

83

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

49

48

47

46

45

44

43

42

41

40

39

38

37

36

35

34

33

32

31

30

29

28

27

26

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

Pn

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Pk

0.010645

0.011176

0.010849

0.010747

0.010688

0.010982

0.011044

0.010597

0.011014

0.011775

0.011434

0.011184

0.011033

0.010883

0.011961

0.012267

0.012576

0.013014

0.013487

0.013449

0.013774

0.01578

0.016632

0.026433

datl n,sv

0.010522

0.011138

0.010647

0.010554

0.010628

0.010961

0.010734

0.010289

0.01025

0.010998

0.011054

0.010463

0.010461

0.010109

0.010867

0.010741

0.011328

0.01102

0.011273

0.010533

0.010524

0.010197

0.010368

0.010489

datl t,sv

0.020333

0.019693

0.020168

0.020031

0.022707

0.027458

0.026901

0.028788

0.024033

0.023116

0.025084

0.024555

0.020646

0.023002

0.025211

0.028972

0.034168

0.03167

0.039339

0.027831

0.042224

0.059392

0.083678

0.087472

dmax n,sv

0.019344

0.020794

0.018663

0.020278

0.022162

0.025139

0.017632

0.02909

0.023572

0.020172

0.02321

0.019476

0.021534

0.019753

0.022458

0.020473

0.018585

0.018101

0.023893

0.017549

0.019375

0.017958

0.019026

0.018166

dmax t,sv

0.010594

0.011031

0.010773

0.01069

0.01054

0.010895

0.010811

0.010495

0.010898

0.01164

0.011346

0.011024

0.010808

0.010725

0.011749

0.012048

0.01249

0.01261

0.013077

0.013076

0.013447

0.014595

0.015217

0.021315

datl n,LLSM

0.010494

0.010994

0.010587

0.010539

0.010514

0.010904

0.010684

0.010182

0.010196

0.010996

0.010964

0.010368

0.01033

0.010069

0.010818

0.010601

0.011329

0.010913

0.01117

0.010488

0.010468

0.010142

0.010274

0.010466

datl t,LLSM

0.019991

0.01941

0.018932

0.019525

0.021855

0.026265

0.022753

0.027607

0.023879

0.022771

0.025998

0.023873

0.018419

0.022323

0.02358

0.02984

0.030919

0.032153

0.031241

0.028217

0.035493

0.042237

0.054079

0.055561

dmax n,LLSM

0.019295

0.020752

0.017442

0.020062

0.020998

0.024161

0.017476

0.027762

0.02353

0.019871

0.023172

0.019014

0.019991

0.01971

0.022983

0.020051

0.018818

0.018535

0.024055

0.017594

0.019442

0.017306

0.019348

0.018197

dmax t,LLSM



K

M

84

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

49

48

47

46

45

44

43

42

41

40

39

38

37

36

35

34

33

32

31

30

29

28

27

26

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

Pn

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Pk

0.02337

0.023871

0.023546

0.024162

0.024666

0.025953

0.024246

0.025342

0.025761

0.0248

0.027048

0.02792

0.029427

0.028562

0.030358

0.029746

0.032151

0.034187

0.034053

0.034616

0.037171

0.043415

0.04922

0.078256

datl n,sv

0.0242

0.024038

0.023013

0.023809

0.024531

0.024618

0.02352

0.024112

0.025328

0.02394

0.02522

0.024963

0.026036

0.024085

0.024131

0.024201

0.024661

0.023477

0.024012

0.022737

0.021822

0.023128

0.022732

0.022738

datl t,sv

0.048108

0.045973

0.046174

0.051248

0.049617

0.050762

0.047926

0.047002

0.051091

0.050541

0.058145

0.068464

0.054173

0.08157

0.078703

0.083395

0.072434

0.1076

0.10059

0.088922

0.10045

0.1041

0.10077

0.25463

dmax n,sv

0.05529

0.045474

0.03915

0.044668

0.061846

0.051029

0.046442

0.045912

0.042216

0.048275

0.046837

0.048007

0.044325

0.050349

0.048513

0.045637

0.055749

0.044861

0.044657

0.045499

0.042105

0.046906

0.042294

0.045347

dmax t,sv

0.023467

0.023718

0.023342

0.024016

0.024393

0.025931

0.023942

0.024978

0.025574

0.024415

0.026696

0.027415

0.02896

0.028167

0.029568

0.029236

0.031431

0.032851

0.032599

0.033472

0.035552

0.040669

0.04543

0.060514

datl n,LLSM

0.024157

0.023994

0.02292

0.02392

0.02436

0.02459

0.02338

0.023879

0.025318

0.023895

0.025001

0.024865

0.025812

0.024079

0.023905

0.024106

0.024443

0.023266

0.023807

0.02263

0.021664

0.022915

0.022674

0.022767

datl t,LLSM

0.048339

0.04464

0.046288

0.048772

0.048004

0.050929

0.046464

0.046787

0.052249

0.047889

0.059333

0.065952

0.055094

0.076681

0.058979

0.066537

0.071795

0.07267

0.067027

0.074623

0.091483

0.089902

0.10196

0.16749

dmax n,LLSM

0.055615

0.045452

0.039663

0.044605

0.062738

0.050372

0.045301

0.045838

0.041805

0.047639

0.047555

0.047832

0.043447

0.05182

0.048639

0.045603

0.05599

0.044632

0.044498

0.046459

0.042846

0.046785

0.041664

0.044608

dmax t,LLSM



K

M

85

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

49

48

47

46

45

44

43

42

41

40

39

38

37

36

35

34

33

32

31

30

29

28

27

26

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

Pn

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Pk

0.010412

0.010585

0.010549

0.010602

0.011315

0.011382

0.010814

0.011472

0.011457

0.011239

0.011982

0.012525

0.013014

0.012788

0.013628

0.013632

0.014624

0.01587

0.015747

0.016056

0.017436

0.02065

0.023818

0.038792

datl n,sv

0.010777

0.01066

0.010429

0.010337

0.011002

0.011041

0.010632

0.011001

0.01142

0.010605

0.011161

0.011276

0.011704

0.010701

0.010712

0.010737

0.011207

0.010273

0.010677

0.010094

0.0096798

0.010504

0.010183

0.010105

datl t,sv

0.022319

0.019637

0.020016

0.022084

0.020213

0.023757

0.021058

0.02266

0.020423

0.023863

0.022822

0.029311

0.024633

0.041647

0.042471

0.046263

0.033449

0.058523

0.054624

0.048631

0.054597

0.048136

0.058652

0.14657

dmax n,sv

0.025093

0.023819

0.019084

0.018942

0.025604

0.0213

0.023158

0.020816

0.022621

0.024352

0.019254

0.02129

0.021458

0.02133

0.021392

0.021871

0.030704

0.020945

0.021613

0.01955

0.020619

0.023773

0.018933

0.020034

dmax t,sv

0.010435

0.010519

0.010447

0.010549

0.011159

0.011357

0.010693

0.0113

0.011338

0.011081

0.011821

0.012326

0.012784

0.012541

0.013268

0.013323

0.014255

0.015049

0.01495

0.01537

0.016583

0.019093

0.02188

0.030249

datl n,LLSM

0.010743

0.010642

0.010364

0.010374

0.010902

0.010993

0.010566

0.010868

0.011394

0.010603

0.011073

0.011251

0.011572

0.010689

0.010598

0.010673

0.011106

0.01019

0.010587

0.010036

0.0095899

0.010387

0.010116

0.010085

datl t,LLSM

0.022317

0.01921

0.020001

0.020557

0.020031

0.024776

0.02035

0.022669

0.020391

0.023445

0.023423

0.028537

0.024694

0.036615

0.032084

0.037513

0.033014

0.041387

0.037538

0.035246

0.051964

0.046939

0.057419

0.092934

dmax n,LLSM

0.025084

0.023289

0.019267

0.018891

0.025903

0.021184

0.022313

0.020537

0.021947

0.023958

0.019408

0.021147

0.020881

0.022162

0.021595

0.02233

0.031252

0.020575

0.021939

0.019864

0.020523

0.023574

0.019063

0.019979

dmax t,LLSM



K

M

86

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

49

48

47

46

45

44

43

42

41

40

39

38

37

36

35

34

33

32

31

30

29

28

27

26

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

Pn

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

Pk

0.024777

0.02526

0.024523

0.024517

0.024116

0.025087

0.026774

0.025492

0.026496

0.02705

0.029699

0.029212

0.029109

0.03018

0.029539

0.031517

0.034281

0.035611

0.041305

0.039232

0.046422

0.050243

0.071797

0.10011

datl n,sv

0.025043

0.026191

0.025484

0.024247

0.024996

0.024922

0.025194

0.023001

0.024307

0.022149

0.024229

0.023605

0.024748

0.024248

0.023815

0.023828

0.023395

0.023077

0.022985

0.021893

0.021598

0.022259

0.021632

0.021618

datl t,sv

0.05428

0.044092

0.056387

0.051027

0.045474

0.048756

0.053632

0.059755

0.077941

0.059982

0.065021

0.076926

0.064244

0.087673

0.074678

0.07627

0.078354

0.079903

0.11071

0.087553

0.13987

0.15392

0.22206

0.28142

dmax n,sv

0.055311

0.048354

0.052078

0.042367

0.048885

0.045159

0.067274

0.049828

0.044875

0.040361

0.041597

0.042133

0.046829

0.050867

0.052551

0.044367

0.050539

0.053855

0.04282

0.047525

0.044535

0.041639

0.049431

0.040436

dmax t,sv

0.024301

0.025171

0.024385

0.024248

0.02407

0.025002

0.026598

0.025045

0.026183

0.026744

0.029234

0.028829

0.028643

0.029411

0.029056

0.030906

0.033644

0.034731

0.039906

0.03726

0.044124

0.047936

0.06293

0.079771

datl n,LLSM

0.024781

0.026213

0.025335

0.024138

0.025092

0.024819

0.025075

0.022923

0.024276

0.022063

0.024271

0.023697

0.024592

0.024136

0.02382

0.02371

0.023101

0.02299

0.022978

0.021839

0.02161

0.022144

0.021533

0.021563

datl t,LLSM

0.053654

0.044292

0.051067

0.051651

0.043843

0.04841

0.056252

0.04528

0.07139

0.059088

0.059838

0.072263

0.064183

0.083192

0.068512

0.07099

0.079154

0.069044

0.099131

0.079287

0.14942

0.14286

0.20014

0.18672

dmax n,LLSM

0.054932

0.048209

0.051282

0.042716

0.05052

0.044119

0.066295

0.0493

0.044094

0.040067

0.042314

0.041117

0.045841

0.050098

0.052569

0.043564

0.049643

0.053177

0.043267

0.045864

0.044222

0.042383

0.048581

0.03983

dmax t,LLSM



K

M

87

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

49

48

47

46

45

44

43

42

41

40

39

38

37

36

35

34

33

32

31

30

29

28

27

26

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

Pn

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

Pk

0.01096

0.011247

0.010791

0.011075

0.010753

0.011201

0.011954

0.011579

0.011925

0.012346

0.013421

0.013304

0.01319

0.013761

0.013351

0.014291

0.015735

0.016578

0.019368

0.01854

0.021712

0.023998

0.034544

0.047774

datl n,sv

0.011135

0.011663

0.011367

0.010954

0.011203

0.011108

0.011255

0.01033

0.010759

0.01008

0.010716

0.010541

0.011

0.010752

0.010609

0.010481

0.010333

0.010409

0.010099

0.0098175

0.0095499

0.009741

0.0095887

0.0096441

datl t,sv

0.026171

0.021625

0.024038

0.022495

0.022663

0.023088

0.024038

0.031542

0.04204

0.025314

0.034172

0.03543

0.030965

0.044355

0.031971

0.037343

0.039128

0.041709

0.061323

0.046056

0.068778

0.086054

0.11338

0.14978

dmax n,sv

0.023684

0.019876

0.023344

0.020657

0.022659

0.01897

0.035507

0.023619

0.021952

0.020587

0.016046

0.0199

0.022358

0.023466

0.024024

0.020005

0.022763

0.025713

0.018008

0.024824

0.019731

0.019179

0.021533

0.0183

dmax t,sv

0.01074

0.01118

0.010698

0.01092

0.010711

0.011119

0.011856

0.011325

0.011776

0.012231

0.013181

0.013108

0.012985

0.01332

0.013086

0.013949

0.015363

0.015956

0.018509

0.017603

0.020523

0.022806

0.03024

0.038168

datl n,LLSM

0.011047

0.011651

0.011285

0.010898

0.011246

0.011028

0.011223

0.010257

0.010721

0.01005

0.010759

0.010578

0.01092

0.010725

0.010601

0.010427

0.010211

0.010362

0.010088

0.0097596

0.0095583

0.0097154

0.0095446

0.0096236

datl t,LLSM

0.024683

0.02144

0.020808

0.022759

0.021013

0.024209

0.024159

0.025296

0.037486

0.02624

0.032114

0.032475

0.030553

0.041491

0.029434

0.035567

0.038047

0.0362

0.05533

0.042241

0.071922

0.067885

0.10789

0.10114

dmax n,LLSM

0.023943

0.019896

0.023157

0.020846

0.023359

0.01851

0.034678

0.023305

0.021593

0.020859

0.017516

0.020062

0.022183

0.02296

0.023998

0.01921

0.022164

0.025531

0.018134

0.023691

0.019521

0.019452

0.021096

0.018185

dmax t,LLSM



K

M

88

1

2

3

4

5

6

7

14

13

12

11

10

9

8

5

5

5

5

5

5

5

Pn

1

1

1

1

1

1

1

Pk

0.037971

0.038472

0.037285

0.038331

0.042975

0.043449

0.05527

datl n,sv

0.036777

0.035964

0.035325

0.03579

0.035669

0.034312

0.034227

datl t,sv

0.071147

0.082832

0.082985

0.079645

0.098529

0.10486

0.17724

dmax n,sv

0.068742

0.066687

0.071606

0.060399

0.085104

0.069672

0.071595

dmax t,sv

0.036935

0.037453

0.036212

0.037703

0.041347

0.041066

0.049042

datl n,LLSM

0.036365

0.035364

0.034879

0.035679

0.035368

0.033807

0.033959

datl t,LLSM

0.071445

0.067769

0.070797

0.076483

0.089144

0.077839

0.10597

dmax n,LLSM

0.064125

0.063368

0.068346

0.06127

0.081346

0.070176

0.075807

dmax t,LLSM

1

2

3

4

5

6

7

14

13

12

11

10

9

8

5

5

5

5

5

5

5

Pn

1

1

1

1

1

1

1

Pk

0.017338

0.017206

0.017138

0.017066

0.019629

0.020219

0.027256

datl n,sv

0.016733

0.016162

0.015947

0.015697

0.015937

0.015375

0.015553

datl t,sv

0.032673

0.039972

0.044937

0.041061

0.058154

0.058755

0.097745

dmax n,sv

0.033681

0.029347

0.033757

0.031469

0.039167

0.03013

0.033071

dmax t,sv

0.016789

0.016598

0.016503

0.016695

0.018743

0.018814

0.023753

datl n,LLSM

0.016413

0.015782

0.015732

0.015589

0.01579

0.015106

0.015358

datl t,LLSM

0.031908

0.034574

0.034464

0.040177

0.044615

0.044016

0.060326

dmax n,LLSM

0.03141

0.029659

0.033175

0.032552

0.037932

0.029885

0.035128

dmax t,LLSM



K

M



K

M

89

1

2

3

4

5

6

7

14

13

12

11

10

9

8

4

4

4

4

4

4

4

Pn

2

2

2

2

2

2

2

Pk

0.037371

0.039023

0.041665

0.044671

0.046067

0.059408

0.080312

datl n,sv

0.03712

0.035694

0.037883

0.038367

0.035922

0.035501

0.032459

datl t,sv

0.081299

0.07236

0.082622

0.096353

0.096992

0.23179

0.2193

dmax n,sv

0.077447

0.067658

0.08064

0.068571

0.071058

0.067749

0.064295

dmax t,sv

0.036304

0.038418

0.040753

0.042604

0.044376

0.053949

0.063795

datl n,LLSM

0.036471

0.035334

0.037395

0.037727

0.035445

0.034923

0.032273

datl t,LLSM

0.076362

0.0705

0.089046

0.095157

0.089941

0.13552

0.16072

dmax n,LLSM

0.076442

0.068226

0.080983

0.065167

0.069355

0.068235

0.062843

dmax t,LLSM

1

2

3

4

5

6

7

14

13

12

11

10

9

8

4

4

4

4

4

4

4

Pn

2

2

2

2

2

2

2

Pk

0.016952

0.017388

0.018719

0.020166

0.02096

0.028439

0.039982

datl n,sv

0.016676

0.015807

0.016941

0.017132

0.016076

0.016057

0.01443

datl t,sv

0.044872

0.037769

0.045236

0.046788

0.047702

0.10365

0.10982

dmax n,sv

0.038266

0.035516

0.032473

0.030973

0.031001

0.033532

0.031029

dmax t,sv

0.01625

0.017054

0.018308

0.018996

0.020031

0.025354

0.03089

datl n,LLSM

0.016268

0.015585

0.016729

0.016743

0.01586

0.015728

0.014349

datl t,LLSM

0.041373

0.034632

0.049096

0.04034

0.045668

0.068466

0.08968

dmax n,LLSM

0.036601

0.035421

0.032527

0.031819

0.031109

0.03382

0.030888

dmax t,LLSM



K

M



K

M

Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása

Recommend Documents