Nelineární systémy a teorie chaosu

Lineární systémy Teorie chaosu Informační zdroje

Nelineární systémy a teorie chaosu Martin Duspiva KOIF2 - 2007/2008

Nelineární systémy a teorie chaosu


Definice Nelineární diferenciální rovnice

Lineární systém splňuje podmínky linearita: f (x + y ) = f (x) + f (y ) aditivita: f (αx) = αf (x) Každý systém, který nesplňuje jednu z předchozích podmínek nazveme nelineární.

Příklady x5 − x + 1 = 0 ∂u ∂x

+ u2 = 0




Nelineární diferenciální rovnice Problém nelineárních odr je nemožnost hledat řešení jako kombinace předchozích řešení. (princip superpozice) Analytické metody řešení nelineárních ode. Rovnice prvního řádu - separace proměnných Řešení rovnic vyšších řádů často v implicitním tvaru i s integrály (close soloution) Konkrétní postupy použitím zákonů zachování linearizace Taylorův rozvoj bifukrační teorie (rozvětvení) poruchová teorie Analytické metody řešení nelineárních pde. Transformace proměnných, převod na soustavu ode, scale theory Nelineární systémy a teorie chaosu



Nelineární diferenciální rovnice Problém nelineárních odr je nemožnost hledat řešení jako kombinace předchozích řešení. (princip superpozice) Analytické metody řešení nelineárních ode. Rovnice prvního řádu - separace proměnných Řešení rovnic vyšších řádů často v implicitním tvaru i s integrály (close soloution) Konkrétní postupy použitím zákonů zachování linearizace Taylorův rozvoj bifukrační teorie (rozvětvení) poruchová teorie Analytické metody řešení nelineárních pde. Transformace proměnných, převod na soustavu ode, scale theory Nelineární systémy a teorie chaosu



Příklady nelineárních diferenciálních rovnic

Boltzmanova transportní rovnice: ∂f ∂f ~p ∂f ~ ∂f ∂t + ∂~x m + ∂~p F = ∂t |coll Navier-Stokesova rovnice: ~ ~ = −∇p + ∇ · T + ~f ρ ∂v + v · ∇~ v ∂t Benjamin-Bona-Mahonyho rovnice (proudění kapalin): ut + ux + uux + uxxt = 0



Atraktory Aplikace, příklady

Teorie chaosu

Popisuje chování nelineárních dynamických systémů, které jsou velmi citlivé na počáteční podmínky. (Dvě blízké trajektorie se postupem času rozbíhají exponenciálně.)

Chování systému se jeví jako náhodné, i přesto že je zcela deterministické Systém se chová stejně, jen pokud jeho počáteční konfigurace stejná. (efekt motýlích křídel)




Atraktory Definice Pokud popisujeme systém pomocí fázového diagramu, pak trajektorie (bod), ve které systém končí nazveme atraktor. Typy atraktorů bodový atraktor: Pohyb ustane, často spojeno s disipací energie. eliptické cykly: Periodický pohyb. podivné atraktory: chaotický pohyb, fraktály ⇒ složité detailní struktury.




Atraktory - příklady Lorenzův atraktor Nelineární 3. dimenzionální dynamický systém dx dt dy dt dz dt

=

σ(y − x)

=

x(r − z) − y

=

xy − bz

Pro jistou množinu hodnot parametrů σ, r , b vykazuje chaotické chování, atraktor je fraktál s Hausdorfovou dimenzí mezi 2 a 3. Systém vzniká v laserech, dynamech a specifických vodních kolech. Nelineární systémy a teorie chaosu

Lorenzův atraktor



Aplikace, příklady příklady chaotických systémů dvojité kyvadlo biliard Herónova mapa Chuasův elektrický obvod aplikace matematika, biologie, ekonomie, finance, psychologie, růst populace úspěšná aplikace v ekologii: „Rickerův modelÿ, ukázka růstu populace v medicíně: studium epilepsie Nelineární systémy a teorie chaosu


Informační zdroje WWW en.wikipedia.org http://hypertextbook.com/chaos/ - online skripta, matematický základ http://www.chaos.umd.edu/ - univerzita Maryland, katedra teorie chaosu Knihy Alligood, K. T. (1997). Chaos: an introduction to dynamical systems. Springer-Verlag New York Gollub, J. P.; Baker, G. L. (1996). Chaotic dynamics. Cambridge University Press. Filmy π - Darren Aronowsky (1998) The Butterfly Effect - Eric Bress (2004) Nelineární systémy a teorie chaosu

Nelineární systémy a teorie chaosu

Recommend Documents