Néhány kockadobással kapcsolatos feladat
Feldobunk egy kockát. Az eseménytér: 1; 2; 3; 4; 5; 6 Az összes esetek száma: 6 1. Feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy hatost dobunk? A kedvező esetek száma: 1 (hatost dobtunk) Az összes esetek száma: 6
P
1 6
2. Mennyi a valószínűsége, hogy szabályos kockával páros számot dobunk? A kedvező esetek száma: 2; 4; 6 3 db Az összes esetek száma: 6
P
3 50% 6
3. Feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy legalább hármast dobunk? A kedvező esetek száma: 3; 4; 5; 6 4 db Az összes esetek száma: 6
P
4 66,67% 6
4. Feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy legfeljebb hármast dobunk? A kedvező esetek száma: 1; 2; 3 3 db Az összes esetek száma: 6
P
3 1 50% 6 2
5. Feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy prímszámot dobunk? 6. Feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy hármasnál kisebbet dobunk? 7. Írjon le egy olyan véletlen kísérletet, amelyben egy Ön által előre megadott esemény bekövetkezésének valószínűsége 0,25! 8. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy dobókockával kétszer egymás után dobva az első szám páros, a második szám páratlan? Első megoldás:
A kedvező esetek száma: 9
Az összes esetek száma: 36
2;1; 2;3; 2;5
1;1; 1;2; 1;3; 1;4; 1;5; 1;6
4;1; 4;3; 4;5
2;1; 2;2; 2;3; 2;4; 2;5; 2;6
6;1; 6;3; 6;5
3;1; 3;2; 3;3; 3;4; 3;5; 3;6 4;1; 4;2; 4;3; 4;4; 4;5; 4;6 5;1; 5;2; 5;3; 5;4; 5;5; 5;6 6;1; 6;2; 6;3; 6;4; 6;5; 6;6
P
9 1 25% 36 4
Második megoldás: H L
1. (páros) 3
2. (páratlan) 3
Kedvező esetek száma 9
Harmadik megoldás: Fogjuk fel a kísérletet két esemény szorzataként. Az első dobás páros. Az első dobás valószínűsége 3/6. A második dobás páratlan. Az második dobás valószínűsége 3/6. P P(első) P(második)
3 3 1 25% 6 6 4
Az eredmény jó. Kérdés, hogy a módszer jó-e? Az hogy ellentétes paritású számokat dobok, két olyan esemény szorzata, amelyek kizárják egymást. Sejtés: Egymástól független események szorzatának a valószínűsége megegyezik az események valószínűségének a szorzatával. / P(AB) = P(A)P(B) ha A és B független./ Mikor független két esemény? Vajon mivel egyezik meg két tetszőleges esemény szorzatának a valószínűsége? Mivel egyezik meg két esemény összegének a valószínűsége? A klasszikus valószínűség fejlődése során is sok probléma vetődött fel. 9. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy dobókockával kétszer egymás után dobva az egyik szám páros, a másik szám páratlan? Első megoldás: A kedvező esetek száma: ps + pt; pt + ps 2 db Az összes esetek száma: ps + pt; pt + ps; pt + pt; ps + ps 4 db P
2 50% 4
Második megoldás: Az első dobás mindegy, hogy páros vagy páratlan, tehát hatféle lehet. A második dobás háromféle lehet. (Ha az első dobás páros volt, akkor másodikra három páratlan számból választhatunk. Ha az első dobás páratlan volt, akkor másodikra három páros számból választhatunk.) A kedvező esetek száma: 63 = 18 Az összes esetek száma: 66 = 36 P
18 1 50% 36 2
Harmadik megoldás: Az első dobás mindegy, hogy páros vagy páratlan, tehát a valószínűsége 1. A második dobás háromféle lehet. (Ha az első dobás páros volt, akkor másodikra három páratlan számból választhatunk. Ha az első dobás páratlan volt, akkor másodikra három páros számból választhatunk.) A második dobás valószínűsége 3/6. 3 1 P P(első) P(második) 1 50% 6 2 10. Egy szabályos játékkockát egymás után ötször feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy minden dobás páros szám? 11. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy dobókockával kétszer egymás után dobva különböző számot dobunk? Első megoldás: Az első dobás bármi lehet. Ez 6 lehetőség. A második dobásnál 5 számot dobhatunk. A kedvező esetek száma: 65 = 30
Az összes esetek száma: 66 = 36 P
30 5 36 6
Második megoldás: 1;1; 1;2; 1;3; 1;4; 1;5; 1;6
1;1; 1;2; 1;3; 1;4; 1;5; 1;6
2;1; 2;2; 2;3; 2;4; 2;5; 2;6
2;1; 2;2; 2;3; 2;4; 2;5; 2;6
3;1; 3;2; 3;3; 3;4; 3;5; 3;6
3;1; 3;2; 3;3; 3;4; 3;5; 3;6
4;1; 4;2; 4;3; 4;4; 4;5; 4;6
4;1; 4;2; 4;3; 4;4; 4;5; 4;6
5;1; 5;2; 5;3; 5;4; 5;5; 5;6
5;1; 5;2; 5;3; 5;4; 5;5; 5;6
6;1; 6;2; 6;3; 6;4; 6;5; 6;6
6;1; 6;2; 6;3; 6;4; 6;5; 6;6
Az összes esetek száma: 36
A kedvező esetek száma: 30
P
30 5 36 6
Harmadik megoldás: Az első dobás mindegy, hogy mi, tehát a valószínűsége 1. A második dobás nem lehet ugyanaz, mint az első, tehát a második dobás ötféle lehet. A második dobás valószínűsége 5/6. P P(első) P(második) 1
5 5 6 6
12. A „Ne nevess korán!" társasjátékban a játékosok csak 6-ost dobva tehetik bábujukat a startmezőre. Mennyi annak a valószínűsége, hogy Nóri az első 6-ost a) másodszorra dobja; b) ötödszörre dobja? a.) Második megoldás: Első megoldás: Az összes esetek száma: 36
a) Az első dobás nem hatos, ennek a valószínűsége 5/6. A második dobás hatos, ennek a valószínűsége 1/6.
1;1; 1;2; 1;3; 1;4; 1;5; 1;6 2;1; 2;2; 2;3; 2;4; 2;5; 2;6 3;1; 3;2; 3;3; 3;4; 3;5; 3;6 4;1; 4;2; 4;3; 4;4; 4;5; 4;6 5;1; 5;2; 5;3; 5;4; 5;5; 5;6 6;1; 6;2; 6;3; 6;4; 6;5; 6;6 A kedvező esetek száma: 5 5 P 36
P P(első) P(második)
5 1 5 6 6 36
4
b) Az első öt dobás nem hatos, ennek a valószínűsége (5/6) . A hatodik dobás hatos, ennek a valószínűsége 1/6. 4
5 1 P P(első) P(második) P(3.) P(4.) P(5.) 6 6
13. Egy dobókockával 8 dobást végeztünk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy pontosan 3-szor dobunk 1est? 3 5 8 1 5 3 6 6 14. Egy szabályos dobókockával az első hatos dobásig dobunk. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy egy dobássorozat legfeljebb 5 dobásból áll! 15. Ha 100-szor feldobunk 6 kockát, akkor várhatóan hányszor fordul elő, hogy 6 különböző számot látunk? Feldobunk két kockát. Az eseménytér: 1;1; 1;2; 1;3; 1;4; 1;5; 1;6 2;1; 2;2; 2;3; 2;4; 2;5; 2;6 3;1; 3;2; 3;3; 3;4; 3;5; 3;6 4;1; 4;2; 4;3; 4;4; 4;5; 4;6 5;1; 5;2; 5;3; 5;4; 5;5; 5;6 6;1; 6;2; 6;3; 6;4; 6;5; 6;6 Az összes esetek száma: 36 Felvetődhet a kérdés, hogy miért kell megkülönböztetni a 3;4 és a 4;3 dobást, amikor általában ugyanolyan színű kockával dobunk? A válasz egyszerű: mert a tapasztalt valószínűség és a számított valószínűség ekkor egyezik meg. Képzeljük el, hogy a kockák színe halványsárga és halványzöld. Ekkor mindegy, hogy ki nézi a dobásokat egy színvak ember vagy egy nem színvak ember. A dobások ugyanazok. Könnyebbé teszi az esetek megszámolását a következő táblázat:
1. Két szabályos játékkockát egyszerre feldobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy két egyenlő számot dobunk? Első megoldás:
Második megoldás:
1;1; 1;2; 1;3; 1;4; 1;5; 1;6 2;1; 2;2; 2;3; 2;4; 2;5; 2;6
Az első dobás mindegy, hogy mi, tehát a valószínűsége 1. A második dobás ugyanaz, mint az első, tehát a második dobás egyféle lehet. A második dobás valószínűsége 1/6.
3;1; 3;2; 3;3; 3;4; 3;5; 3;6 4;1; 4;2; 4;3; 4;4; 4;5; 4;6
P P(első) P(második) 1
1 1 6 6
5;1; 5;2; 5;3; 5;4; 5;5; 5;6 6;1; 6;2; 6;3; 6;4; 6;5; 6;6 Az összes esetek száma: 36 A kedvező esetek száma: 6 P
6 1 36 6
2. Feldobunk két kockát. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kapott pontok összege
a) 6;
b) 7 lesz?
a) Első megoldás:
Második megoldás: Összes esetek száma: 36 a) Kedvező esetek száma: 1+ 5;
5 + 1; 2 + 4;
4 + 2;
P(A B 6)
P(A B 6)
5 36
P(A B 7)
6 36
b) Kedvező esetek száma: 1 + 6; 6 + 1; 2 + 5; P(A B 7)
6 36
5 + 2;
4 + 3; 3 + 4
6 db
3 + 3 5 db 5 36
3. Mennyi a valószínűsége annak, hogy két dobókockával dobva legalább 6 lesz a dobott pontok összege?
PA B 6
26 36
Ha megvizsgáljuk a táblázatot, észrevehetjük, hogy a komplementer esemény valószínűségével is dolgozhatunk. PA B 6
26 36 10 10 1 P(C) 1 P(C) 36 36 36
4. Két kockával dobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 6-nál kisebb? Első megoldás:
Második megoldás: Az összes esetek száma 36. A kedvező esetek száma: 10 2 = 1+1 3 = 1+2 = 2+1 4 = 1+3 = 3+1= 2+2 5 = 1+4 = 4+1 =2+3 = 3+2 P
10 36
P
10 36
5. Két kockával dobva egyszerre mekkora valószínűséggel lesz a kapott számok nagyobbika 3? 4/36 6. Egy szabályos dobókockát egymás után kétszer feldobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy másodszorra nagyobb számot dobunk, mint elsőre? 1;1; 1;2; 1;3; 1;4; 1;5; 1;6 2;1; 2;2; 2;3; 2;4; 2;5; 2;6 3;1; 3;2; 3;3; 3;4; 3;5; 3;6 4;1; 4;2; 4;3; 4;4; 4;5; 4;6 5;1; 5;2; 5;3; 5;4; 5;5; 5;6 6;1; 6;2; 6;3; 6;4; 6;5; 6;6 Kedvező esetek száma: 15 Összes esetek száma: 36
P
15 36
7. Két kockával dobunk egyszerre, aztán ezt megismételjük. a) Mennyi a valószínűsége, hogy a dobott számok összege mindkétszer 10 lesz? b*) Mennyi a valószínűsége, hogy a dobott számok összege egyforma lesz? 8. Mennyi annak a valószínűsége, hogy felül különböző számokat látunk, ha egyszerre dobunk a) két kockával; 30/36 b) három kockával? (6∙5∙4)/512 9. Melyik pontszámösszeg a legvalószínűbb három szabályos kockával dobva?
