B. DISTRIBUSI BINOMIAL Apabila sebuah koin mata uang yang memiliki dua sisi bertuliskan Gambar (G) dan Angka (A) dilempar satu kali, maka peluang untuk mendapatkan sisi Gambar adalah 0,5 atau P (G ) =
1 . Apabila koin tersebut dilempar dua kali, maka kejadian yang 2
mungkin muncul adalah GA, GG, AG atau AA dengan peluang masing-masing adalah
1 (Tabel III.2) 4 Tabel III-2 Kejadian dari Pelemparan Koin Sebanyak Dua Kali Kejadian Probabilitas Yang Mungkin
1 1 P (G ) P ( A) = ( )( ) = 2 2 1 1 P (G ) P( A) = ( )( ) = 2 2 1 1 P (G ) P( A) = ( )( ) = 2 2 1 1 P (G ) P( A) = ( )( ) = 2 2
GA GG AG AA
1 4 1 4 1 4 1 4
Proses pelemparan matauang yang dilakukan dalam dua kali pelemparan diatas disebut sebagai proses Bernouli yang memiliki 4 persyaratan, yaitu (1) Tiap usaha memberi 2 hasil (outcome) yang dapat dikelompokkan atas “Sukses” dan “Gagal” (2) Peluang “Sukses” dinyatakan dengan p tidak berubah dari usaha yang satu ke usaha lainnya (3) Percobaan terdiri atas n usaha berulang (4) Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya Apabila X menyatakan jumlah sisi Gambar yang muncul dari pelemparan dua dadu dan P ( X ) adalah peluang munculnya kejadian X, maka dapat disusun Distribusi Binomial seperti ditunjukkan dalam Tabel III-3 Tabel III-2 Distribusi Peluang Pelemparan Matauang Dua Kali
X = xi
Distribusi Peubah Acak Diskrti
P ( X = xi )
0
1
1
1
2
1
4 2 4
Page 1
Andaikan pelemparan matauang dilakukan sebanyak 3 kali (n), maka kejadian yang mungkin dari munculnya sisi Gambar sebanyak 2 kali (x) adalah GGA, GAG atau AGG. Jumlah tiga kejadian yang mungkin diatas dapat dihitung dengan kombinasi
3 1 1 1 dengan peluang masing-masing kejadian ( ) 2 ( )1 = . Dengan demikian 2 2 8 2 peluang munculnya dua sisi Gambar pada pelemparan koin sebanyak 3 kali adalah
3 1 2 1 1 3 ( ) ( ) = . 8 2 2 2 Definisi Suatu usaha Bernoulli dapat menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1-p, maka distribusi peluang peubah acak binomial X, yaitu banyaknya sukses dalam n usaha bebas adalah
n
b (x;n;p) = p x q n − x , untuk x = 0,1,,2…, n x
Contoh IV-1 Di suatu kota 70% dari pencurian karena alasan perlu uang untuk membeli ganja. Cari peluangnya bahwa diantara 5 pencurian selanjutnya yang dilaporkan di kota tersebut (a) Paling banyak 3 diantaranya karena alasan perlu uang untuk membeli ganja (b) Tepat 3 diantaranya karena alasan perlu uang untuk membeli ganja Misalkan X : jumlah pencurian karena perlu uang membeli ganja, p = 0.70, n =5, maka,
5 3
a. b(3,5;0.70) = 0.70 3 0.30 2 =
5! (0.343)(0.09) = 0.3087 3!(5 − 3)!
3
b.
∑ b( x,5;0.70) = b(0,5;0.70) + b(1,5;0.70) + b(2,5;0.70) + b(3,5;0.70) x =0
5
5
5
5
= 0.70 0 0.30 5 + 0.7010.30 4 + 0.70 2 0.30 3 + 0.70 3 0.30 2 0 1 2 3 = 1(1)(0.00243) + 5(0.70)(0.0081) + 10(0.49)(0.027) + 10(0.343)(0.09) = 0.47178 Mencari peluang kejadian binom dapat menggunakan Tabel Binom dalam bentuk r
kumulatif
∑ b( x, n, p) seperti ditunjukkan berikut . x=0
Distribusi Peubah Acak Diskrti
Page 2
N 1 .. 5
P
R
0.10
0.20
0.70
0 1 .. 0 1 2 3 4 5
0.80
0.90
0.0024 0.0308 0.1630 0.4718 0.8319 1.0000
3
∑ b( x,5;0.70) = b(0,5;0.70) + b(1,5;0.7) + b(2,5;0.70) + b(3,5;0.70) = 0.4718 x =0 3
2
x =0
x =0
b(3,5;0.70) = ∑ b( x,5;0.70) − ∑ b( x,5;0.70) = 0.4718 − 0.1630 = 0.3088 Contoh IV-2 Apabila dilakukan pelemparan 3 buah mata uang sebanyak 5 kali , berapa peluang untuk mendapatkan semuanya Gambar atau semuanya Angka sebanyak 2 kali Langkah Pertama Hitung terlebih dahulu peluang untuk mendapatkan Semua Gambar atau semua Angka padda pelemparan 3 buah mata uang. Dengan menggunakan Daigram Pohon, dapat disusun kajadian yang mungkin sebagai berikut Koin 1
Koin2
Koin 3 G
Kejadian GGG
A
GGA
G
GAG
A
GAA
G
AGG
A
AGA
G
AAG
A
AAA
G G A
G A A
Apabilan X adalah peubah Acak munculnya G pada pelemparan 3 buah koin, maka dapat disusun Distribusi Peubah Acak sebagai berikut
Distribusi Peubah Acak Diskrti
Page 3
X 0
Kejadian AAA
Probabilitas
1
GAA, AGA, AAG
2
GGA, GAG, GGA
3
GGG
1
8 3 8 3 8 1 8
Dari Tabel terlihat bahwa peluang untuk mendapatkan Semua Gambar atau Semua angka pada pelemparan 3 buah koin adalah P(GGG ) + P( AAA) = 2
8
Langkah Kedua Gunakan rumus binomial untuk mendapatkan peluang mendapatkan semua Angka atau Semua gambar sebanyak 2 kali, yaitu
1 4 1 3 4! 1 9 1 9 54 b(2,4; ) = ( ) 2 ( ) 2 = ( )( ) = 6( )( ) = = 0,2109 4 2 4 4 2!(4 − 2)! 16 16 16 16 256 Apabila A adalah kejadian munculnya semua Gambar atau semua Angka dan B adalah kejadian selainnya, maka munculnya kejadian A 2 kali dalam 4 kali pelemparan adalah AABB, ABAB, ABBA, BAAB, BABA dan BBAA (lihat diagram pohon berikut) 1
2
3
4 A
Kejadian AAAA
B A
AAAB AABA
B A
AABB ABAA
B A
ABAB ABBA
B A
ABBB BAAA
B
BAAB
A
BABA
B A
BABB BBAA
B A
BBAB BBBA
B
BBBB
A A
B A
A B
B A A B
B A B
B
Distribusi Peubah Acak Diskrti
Page 4
Teorema : Distribusi binomial b (x;n,p) mempunyai rataan µ = np dan variansi σ 2 = npq A.1 DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF Definisi Bila usaha yang saling bebas dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan peluang p sedangkan gagal dengan peluang q = 1-p, maka distribusi peuban acak x yaitu banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke k diberikan oleh
x − 1 k x − k p q untuk x = k, k+1, k+2, …. b * ( x; k , p ) = k − 1 Apabila 3 matauang yang dilempar sebanyak 4 kali, maka munculnya kejadian A (semua Gambar atau semua Angka) yang kedua muncul pada pelemparan keempat (ABBA, BABA, BBAA) adalah
1 4 − 1 1 2 3 4− 2 1 9 27 ( ) ( ) = 3( )( ) = b * (4;2, ) = = 0,1055 4 2 − 1 4 4 16 16 256 A.2 DISTRIBUSI GEOMETRIK Bila usaha yang saling bebas dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan peluang p sedangkan gagal dengan peluang q = 1-p, maka distribusi peuban acak x yaitu banyaknya usaha sampai saat terjadi sukses yang pertama, diberikan oleh
g ( x; p) = pq x −1 untuk x = 1,2,3,… Apabila 3 matauang yang dilempar sebanyak 4 kali, maka munculnya kejadian A (semua Gambar atau semua Angka) yang pertama muncul pada pelemparan keempat (BBBA) adalah
1 1 3 27 g (4; ) = ( ) 4−1 = = 0.1055 4 4 4 256
Teorema : Distribusi geometrik mempunyai rataan µ =
σ2 =
1 dan variansi p
1− p p2
Distribusi Peubah Acak Diskrti
Page 5
C. DISTRIBUSI MULTINOMIAL Apabila n percobaan berulang dapat menghasilkan lebih dari 2 outcome yang mungkin dengan probabilitas masing-masing konstan pada setiap percobaan, akan dihasilkan distribusi multinomial. Distribusi Multinomial. Bila sutau usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasil E1 , E 2 ,...E k dengan peluang p1 , p 2 ,... p k , maka distribusi peluang peubah acak X 1 , X 2 ,... X k yang menyatakan banyak terjadinya E1 , E 2 ,...E k dalam n usaha bebas adalah
n x1 x2 p1 p 2 ... p kxk f ( x1 , x 2 ,...x k ; p1 , p 2 ,... p k ; n) = x , x ,... x k 1 2 k
dengan
∑x
k
i
= n dan
i =1
∑p
i
=1
i =1
Contoh IV-3 Menurut teori genetika, persilangan tertentu sejenis marmut akan menghasilkan keturunan berwarna merah, hitam dan putih dalam perbandingan 8: 4 :4. Carilah peluang bahwa 5 dari 8 turunan akan berwarna merah, 2 hitam dan 1 putih. Jawab : Jika E1 adalah marmot berwarna merah dengan p1 = 0.5 , E 2 adalah marmot berwarna hitam dengan p 2 = 0.25 dan E 3 adalah marmot berwarna putih dengan
p3 = 0.25 , maka 8 5 0.5 0.25 2 0.251 f (5,2,1;0.5;0.25;0.25;8) = 5 , 2 , 1 =
Distribusi Peubah Acak Diskrti
8! (0.03125)(0.0625)(0.25) = 0.082 5!2!1!
Page 6
