Főszerkesztő: H O R V Á T H I M R E Szerkesztő: A N G Y A L LÁSZLÓ SZERKESZTŐBIZOTTSÁG BHG
ORION
TERTA
Berecz Frigyes Bemhardt Richárd Eisler Péter Dr. Gosztonvi Géza Hon ti Ottó " Klug Miklós Tölgyesi László
Jakubik Béla Baracs Sándor Csernoch János Froemel Károly Hettesheimer Dezső Sass Károly Szabó Károly
Bánsághi Pál Baján Tobpr Benedek Elek Egerszegi Béla Hutter Mihály
BHG ORION TERTA
MŰSZAKI KÖZLEMÉNYEK 1980
X X V I . évfolyam
Az MKSA mértékegység-rendszer A régebbi időkben a fizika fejlődését erősen a k a d á lyozta az egységes mértékrendszer hiánya. De nehéz ségeket okozott ez a mindennapi életben is, amikor földrajzi távolságokat, m é r e t e k e t , súlyokat kellett megadni. Az egységes mértékrendszer kialakítását abban az időben a különböző nemzeti érdekek, keres kedelmi társulások is a k a d á l y o z t á k . Az első kezdeményező lépést ezen a téren a francia forradalomban az 1790-es nemzetgyűlés tette, amely megbízta a párizsi a k a d é m i á t , hogy t u d o m á n y o s ala pon dolgozzon k i egy egységes mértékrendszert. A m u n k á b a n t ö b b e k között olyan nagy nevű t u d ó sok, mint D'Alembert, Laplace, Lagrange, Lavoisier vettek részt.
1. Követelmények az egységes mértékrendszerrel kapcsolatban Minden mértékrendszerrel kapcsolatban alapvető követelmény, hogy minden lehetséges szereplő menynyiséget azon a területen, amelyen a rendszert hasz nálni akarjuk, lehetőleg minimális számú alapmennyi ségre vezessünk vissza. Teljesen általánosan mondhatjuk, hogy mivel m i n den fizikai jelenség t é r b e n és időben zajlik le, minden fizikai mértékrendszernek tartalmaznia kell a távol ságot és időt mint alapegységet. Ezenkívül, mivel érzékelhető jelenségről van szó, valamilyen anyagi jellemzőt, ami a tömeg, illetve a vele egyenrangú energia lehet. 1790-ben, amikor gyakorlatilag még csak a mecha nika képviselte a fizikát, elegendőnek bizonyult a h á r o m alapmennyiség, a távolság, a t ö m e g és az idő bevezetése. í g y született meg a CGS-rendszer, a centiméter, a gramm és a secundum alapegységek kel, amelyekből minden m á s mechanikai egység szár maztatható. Ennek a rendszernek a mai megfelelője az" M K S rendszer, amely csupán annyiban különbözik, hogy a távolság alapegysége a m é t e r és a tömegé a kilog ramm lett, a secundum változatlan maradt. A CGS-rendszer alkalmazásával kapcsolatban a m ú l t században k é t nehézség m e r ü l t fel: a) Az egyre jobban t é r t hódító elektrotechnika Híradástechnika
XXXI.
évfolyam 1980. 8. szám
8. szám
CEBE LÁSZLÓ TERTA-KKVMF
jelenségeit a mechanikai jelenségeket leíró távolság—tömeg—idő mennyiségekkel kellett leírni. Ez csak mesterkélten sikerült, m e r i egy re i n k á b b nyilvánvalóvá v á l t , hogy az elektro mosság az anyag másra vissza nem vezethető, mechanikai tulajdonságokból nem s z á r m a z t a t h a t ó alapjellemzője. A másik nehézséget az okozta, hogy egyidőben indult fejlődésnek az elektrosztatika és a mag^ netosztatika, amit k é t különálló területnek te kintettek. A viszonyokat az la ábrán t ü n t e t j ü k fel. A fizika fejlődésével úgy az elektrosztatika mint a magnetosztatika az elektromágneses jelenségekre vezetett, ami ből nyilvánvalóvá v á l t a k é t terület közös eredete. A mechanika és az elektrotechnika közötti kapcsola tot az akkoriban legjobban ismert Coulomb-törvény ből v e z e t t é k le. Eszerint az erő k é t elektromos, i l l . mágneses töltés k ö z ö t t : P.=k.
Q*Q*
Elektro sztatika
Qm\Qm2
Fm — k
es:
m
(1)
Magneto sztatika
Mechanika
Elektromágneses jelenségek lB108-1a|
Mechanika
Elektro sztatika
Elektromágneses jelenségek
^
Magneto sztatika
I
B108-1b 1. ábra. A CGS és az MKSA mértékegység ismertetése
301
A fenti k é t t ö r v é n y alapján Gauss terjesztette k i a CGS-renszert az elektromos és a mágneses jelen ségekre. Önkényesen a k =k' =l választásával defi niálta a Q , i l l . Q mágneses töltés egységét. Mindkét töltés dimenziójának így, mivel az F—ma összefüg gésből az erő dimenziója [F] = [ c m g s ] :
maztatott mértékegységekből következtetni lehet az illető mennyiség fizikai jellegére és ezen túlmenően u t a l á s t is tartalmaz annak mérésére. E z á l t a l hozzá segít az illető fizikai mennyiség jobb megértéséhez. A mértékrendszer megválasztása döntő módon be folyásolja szemléletünket is, aminek alapvető ismeret elméleti jelentősége is van.
[ Q J H Q J - M g M ,
Egy egyszerű példát e m l í t ü n k : a régi időkben na gyobb távolságok jellemzésére nem álltak rendelke zésre térképek. E z é r t távolság- és időegységek helyett automatikusan szemléletesebb sebesség—idő egysé geket v á l a s z t o t t a k . P é l d á u l a Budapest—Szeged t á volságot 5 napi járással, 2 nap lóháton stb. m ó d o n í r t á k le. í g y az s=v-í összefüggésben a távolság lett a s z á r m a z t a t o t t egység. Ez e g y ú t t a l lényeges szem léleti változást is jelent, b á r ugyanarról a dologról van szó. A modern ember gondolatában nagy távol ságok esetén egy t é r k é p jelenik meg és így elvont fogalmú távolságokban gondolkodik, a régiekében ellenben egy gyalogló ember, v á g t a t ó ló jelent meg.
e
e
m
m
-2
(2)
a d ó d o t t . A nehézségek akkor merültek fel, amikor az elektromágneses jelenségekkel kapcsolatban az á r a m , feszültség, térerő stb. egységeit kellett meg állapítani, mert ezekre k é t különböző egység a d ó d o t t , a t t ó l függően, hogy az elektrosztatikus vagy a magnetosztatikus töltés egységéből indultak k i . A z így keletkezett Gauss-féle elektrosztatikus és elektromág neses m é r t é k r e n d s z e r t a t o v á b b i a k b a n nem t á r g y a l j u k . Ma m á r csak történelmi jelentőségük van és csak az okoz némi zavart, hogy a még forgalomban levő régebbi k ö n y v e k ezeket a mértékrendszereket használj'ák. Á t lehet hidalni a CGS-rendszer nehézségeit, ha a h á r o m mechanikai alapegység mellé egy negyedik elektromos alapegységet v á l a s z t u n k . Ö n k é n t kínál kozik az elektromos töltés negyedik egységnek. Azonban töltésekkel a r á n y l a g r i t k á n számolunk, ezért célszerűbb a töltéssel közvetlen kapcsolatban levő á r a m o t választani egységnek. í g y született meg az MKSA-rendszer, ahol az „ A " az „ a m p e r r e " utal. í g y a fizikai törvényszerűségek tárgyalásánál is cél szerű az 1b ábra szerinti felépítést követni. Eszerint a mechanikai ismeretek b i r t o k á b a n az á r a m definiá lásával az elektromágneses jelenségek t á r g y a l h a t ó k , majd ezek u t á n az elektrosztatikus, illetve magnetosztatikus jelenségek. Ilyen m ó d o n lépésről lépésre az összes elektromos mennyiség egységét is m e g h a t á rozhatjuk. ' / A négy alapegységből minden mechanikai és elekt romos egységet s z á r m a z t a t h a t u n k . Mivel ma az elektrotechnikai számítások éppoly közismertek, m i n t a mechanikai számítások, nem okoz nehézséget, hogy egyes esetekben nem erőltet j ü k az egyes egységek kifejezését a négy alapegység gel, hanem a Q=i-t
[C],
W = U - J [W], [VA], U Z=-j [Ohm]
() 3
összefüggések alapján a [C] Coulomb, a [V] volt, a [ W ] w a t t és az [Ó] ohm egységeket is alapegységek nek tekintjük. Hasonlóképpen az F=ma
[N]
összefüggésből az [N] newton egységet is sokszor alap egységnek vehetjük, amellyel egyéb mennyiségeket kifejezhetünk. A fenti egységeket t a r t a l m a z ó mértékegység-rend szert MKSC, M K S A , M K S V A stb. néven vagy közö sen SI (Systéme International), nemzetközi m é r t é k egység-rendszernek nevezzük. H a egy mértékrendszerben az alapegységeket he lyesen választjuk meg, akkor nagy előny, hogy a szár
302
Hasonló a helyzet a csillagászatban a fényévvel, ahol elképzelhetetlen nagy távolságok helyett fény sebesség X idővel számolunk vagy röviden csak az idő vel, a fényévvel. ' A z elektrotechnikában a CGS-rendszer semmilyen szemléletet nem adott (például a töltés 2. szerinti mértékegysége). Gyökeresen megváltozott a helyzet az M K S A mértékrendszer bevezetésével. Egy elektro mos alapmennyiség, az á r a m vagy töltés felvétele azonnal szemléletessé tette az összes elektromos mér tékegységet és egyben u t a l á s t adott a mérés módjára is. A legnagyobb v á l t o z á s t , mint később látni fogjuk, az jelentette, hogy a v á k u u m [Í és s permeabilitása és dielektromos állandója is megszűnt puszta szám lenni. 0
0
2. Az M K S A alapegységek Az alapegységeknek jól definiáltaknak, változat lannak és hagy pontossággal r e p r o d u k á l h a t ó k n a k kell lenniök. Ezt valamikor úgy próbálták elérni, hogy etalonokat készítettek valamilyen változatlan nak tekintett fizikai mérés eredménye alapján. Az idők folyamán a mérések pontossága mindig fokozó dott, ezért az etalon é r t é k é t folyton v á l t o z t a t n i kel lett volna. E z é r t ma fordítva j á r u n k el, az etalonokat fogadjuk el a mértékegységek alapjául és ezek alap j á n p o n t o s í t h a t j u k a fizikai méréseket. A távolság, t ö m e g és idő egysége változatlanul a CGS-rendszer alapegysége maradt, az á r a m egy sége pedig kis m é r t é k b e n megváltozott. a) A távolság vagy hosszúság egysége az [m] méter. Eredetileg a Föld kerületének 1/40 000 000-od része. Az erről készült, P á r i z s b a n őrzött platina-iridiumetalon t e k i n t h e t ő a hosszúság alapegységének, füg getlenül a Föld kerületének újabb és pontosabb mé réseitől. Ma m á r lehetőség van a hosszúságegység abszolút v á l t o z a t l a n , atomi állandókkal való kifejezésére. Er re legalkalmasabbak az atomi színképek hullámhoszszai, amelyek nagy pontossággal mérhetők. í g y : Híradástechnika
XXXI.
évfolyam 1980. 8. szám
1. táblázat
A Cd vörös v o n a l á b ó l : l m = l 553 164,13 X, A K r vörös v o n a l á b ó l : l m = 1 650 763,73 X. b) A tömeg egysége a [kg] kilogramm. Eredetileg a legsűrűbb víz, a + 4 °G-os, 1 dm -es víz tömege volt. A z erről készült, P á r i z s b a n őrzött platina-irí dium henger etalon t e k i n t h e t ő a t ö m e g alapegységé nek, függetlenül a t t ó l , hogy pontosabb mérések m á s é r t é k e t adnak az eredeti méréseknél és a víz nem pontosan + 4 °C-on a legsűrűbb. Ma m á r lehetőség van a tömegegység atomi állan d ó k k a l való kifejezésére: 3
1 kg=5,979 466-10
26
proton t ö m e g e .
Megjegyezzük, hogy zavart okoz, hogy á t ö m e g egységét kg-mal jelöljük. Ugyanis a „ k " b e t ű az ezres mérőszámra utal. E l ő b b - u t ó b b szükség lesz a kg helyett m á s jelölést használni. c) Az idő egysége az [s] secundum, másodperc. Eredetileg a közepes naphossz 1/86 400-ad része volt. Ma az időegység az atomi színképekből a legkönyebben s a legynagyobb pontosságai definiálható. A Cs atom színképéből:
Definiáló egyenlet
Mennyiség
m, s, N, W, J
MKS
Hosszúság
s
m
Tömeg
m
kg
Idő
t
s
Sebesség
s v=— t
ms-
Wm- s ,Nm-is 2
3
2
1
Gyorsulás
a
V ~~i
ms-f
Frekvencia
í
i s-V Hz
Körferekvencia
w
s-
Erő
F = ma
mkgs-
2
N, Wsm-i
Impulzus
I = mo
mkgs-
1
Ns,
Teljesítmény
P = Fv
m kgs~
Munka
W = F s " mkgs-
Nyomaték
M = Fs
1
f
I s = 9 192 631 770 periódus ideje. d) Az áramegység definícióját a 4. pontban t á r gyaljuk. ' e) A hőmérséklet egysége. Nem tartozik az alap egységek közé, mert végeredményben a molekulák hőrezgéséből származó kinetikus energiáját fejezi k i . E t t ő l függetlenül, szükség van a hőmérséklet egysé gének a definiálására. A hőmérséklet egysége a ° K Kelvin-fok. A víz fagyáspontja: 273,16 °K. A fagyáspont hőmérsékletét 0°-nak v á l a s z t v a , kap j u k , a °C Celsius-skálát. Hőmérséklet-különbségekre a ° K és °C-ban kapott érték azonos. 3. A mechanikai mértékegységek
/
Minden mechanikai mennyiség kifejezhető az M K S távolság, tömeg, idő alapegységekkel, A fontosabbakat és a definiáló fizikai egyenleteket az 1. táblázat ban t ü n t e t j ü k fel. Egyes s z á r m a z t a t o t t egységeknél sokszor célszerű, ha azokat N , W , J-lal fejezzük k i . Különösen olyan fizikai egyenletekben, amelyek vegyesen tartalmaz nak mechanikai és elektromos egységeket, célszerű a t ö m e g mértékegységének a kiküszöbölése. Az erőt és a m u n k á t megadó fizikai képletekből: F=ma-ból:
[ N ] = [ k g m s ~ ] és innen: [kg]=[Nm-V], (4) - W=F.s-ből: [Ws] = [Nm] és innen: [N]=[Wsm- ]=[Jm- ]. (5a) Behelyettesítve 4-be: [kg]=[Wm- s ]=[Jm- s ]. (5b) Különösen előnyösek az 5a és b kifejezések, mert az erőt és a t ö m e g e t W , i l l . W s = J - l a I fejezi k i . A fizika számos területén, mint például az akuszti k á b a n , o p t i k á b a n , a t ö m e g és erő nem közvetlenül szerepelnek, h a s z n á l a t u k nehézkes, de a teljesítmény és energia mindig szerepélnek. 2
XXXI.
W, Nms-i
3
Ws, Nm, J
2
m kgs~ 2
1
Ws, Nm, J
2
Nm- , Wsm-s, Pa 2
m-ikgs-
2
(Megjegyezzük, hogy némi zavart okoz, hogy sok szor ugyanazt a b e t ű t használjuk valamilyen fizikai mennyiség és egy másik fizikai mértékegység jelölé sére. P é l d á u l : W = m u n k a , [ W ] = w a t t , m = t ö m e g , [ m ] = m é t e r . A zavart elkerülhetjük, ha a' m é r t é k egység jelénél mindig a [ ] jelet használjuk). Az 1. táblázat utolsó oszlopában n é h á n y m é r t é k egység [N] és [W]-tal való kifejezését adjuk meg. Ezekből a kifejezésekből a [ W s ] = [ J ] és [ W ] = [ V A ] helyettesítéssel s z á m t a l a n újabb,* sokszor előnyösen h a s z n á l h a t ó kifejezéseket kaphatunk*. A teljesség k e d v é é r t m e g e m l í t ü n k n é h á n y régebben használatos, az irodalomban gyakran szereplő mér tékegységet és megadjuk azok á t s z á m í t á s á t . 1 . Az erő.
1 dyn=>10- N
2 . A teljesítmény.
1 L E =0,7355 k W 1 k W = l,3596 L E
3 • A munka.
1 erg = 1 0 J 1 eV =1,6022.10~
5
- 7
2
1
Híradástechnika
F
Nyomás
2
WsSin-
19
J
A munka t o v á b b i egységei, a W h , cal és J k ö zötti á t s z á m í t á s t a 2. táblázatban adjuk meg.
1
3
2
2. táblázat [1 cal= 10- kcal] 3
2
évfolyam 1980. 8. szám
Wh
Wh
1
cal
1,163-10-3
J
2,778 -10-*
3
cal
859,845
3600 4,1868
0,2388
1
303
4 • A n y o m á s új egysége:
összefüggés alapján definiálni Q egységét, amiből k értéke m e g h a t á r o z h a t ó . Figyelemre méltó, hogy k és k nem puszta szá mok, hanem dimenzionált mennyiségek. e
1 Pa (Pascal) = 1 N / m 1 b a r = 1 0 Pa « 1 atmoszféra 1 at = 98 066,5 Pa 2
5
m
e
A (6a) egyenletből: [*J=[NA-*] " i A (66) egyenletből: [/f ] = [ N A - m s - ] . J i
2
4. Az elektromos mertekegységek A negyedik alapmennyiség, az á r a m definiálására t ö b b módszer kínálkozik. Régebben az á r a m vegyi h a t á s á t h a s z n á l t á k erre: 1 A erősségű az á r a m , ha' 1 s alatt 1,18 mg ezüstöt választ k i . Ez a mérés azonban nem r e p r o d u k á l h a t ó megfelelő pontossággal. E z é r t célszerűbbnek bizonyult az á r a m egységét az á r a m mágneses h a t á s a alapján definiálni. Ugyan akkor a Idt
- = c = konstans [ m s ] , -1
sebesség dimenziójú. A mérések és elméleti számítások azt m u t a t j á k , hogy 0 = 2,997 925.108 [ m s - ] , (&g) azonos a fénysebességgel, ami arra utal, hogy a m á g neses t é r , amely az elektromos töltés mozgása révén j ö n létre, relativisztikus h a t á s n a k t e k i n t h e t ő . definiálása.
fi
és e
0
értéke
0
h
2Ra'
esigy:
/ =/ =/ 1
(7a)
2n'
ha
2TIR
(6/)
Az MKSA-renszerben az áramegységet a (6a) for mula alapján definiáljuk. Innen, ha J = 1 A és R=l— l m , akkor:
A 2a ábra szerint a 2. vezető helyén a t é r e r ő :
= k„
be
R ö v i d meggondolás u t á n b e l á t h a t ó , hogy b á r h o gyan választjuk is meg az á r a m vagy a töltés egységét, mindig fenn kell állnia:
4.1. Az áramegység
F=kHU
^ ^
2
1
összefüggés alapján a töltés egységét is definiálni tudjuk. Induljunk k i a k é t paralel futó vezeték közötti erőhatásból.
H--
2
c
(6a)
2nR'
2
Egységnyinek nevezzük az áramerősséget, ha az két p á r h u z a m o s , 1 m hosszú, egymástól 1 m távol ságra levő vezetőben folyik és ekkor k ö z t ü k az erő h a t á s 2'10~ [N]. Ez egyenértékű azzal, hogy a (7a) formula a l a p j á n : 7
h
\ 12
G>1
f —O
Q2
O— P
7
r
/ = a = 4 j j ; . 1 0 - = 1,256 637.10" [ N A ] , 7
fm
j
6
[ Ws 1 [A mj'
a. B108-2
Vs Am
2
2. ábra. Az eíektromágneses és az elektrosztatikus erőhatás
- 2
0
(76) • í I m
í r j u k fel a Coulomb-törvényt is. A 2b ábra a l a p j á n :
értéket választunk. Az áramegység meghatározása u t á n azonnal a d ó dik a töltés egysége:
ha
1 Coulomb = 1 A X l s [C] = [As].
47Tfi
2
Q
2
61=62 = !?
' 47TÍÍ
(66) 2
A (6/) és (76) összefüggésből pedig:
A (6a) és (6) k é t egyenlet négy ismeretlent, k és k konstanst és / és Q-t tartalmazza. A t ú l h a t á r o z o t t ságot m e g s z ü n t e t h e t j ü k a k e t t ő értékének önkényes meghatározásával ( m i n d k é t egyenletből egy-egynek a meghatározásával). Az MKSA-rendszerben önkényesen: e
1
m
(6c) értéket v á l a s z t u n k . Ilyen m ó d o n a (6«) egyenletből I egysége m á r m e g h a t á r o z h a t ó . A (6b) egyenletben k vagy Q önkényes megválasztása helyett célszerűbb a: e
1 A- c
10 2
7
4TTC
m
304
illetve
Q= J* Idt [As]
(6d)
A s Nm 2
2
= 8,854 186-10-
12
As Wm
2
2
2
(7d)
es c=-
(7e) ÍVft
fi és e a v á k u u m permeabilitása, és dielektromos állandója. Az MKSA-rendszerben p, és e nem puszta szá mok, hanem dimenzionált mennyiségek. Ezáltal a v á k u u m a CGS-rendszertől eltérően anyagi jellemzőket 0
0
0
Q-I-t,
(7c)
Hiradástechnika
XXXI.
0
évfolyam 1980:8.
szám
kapott és így az elektromos és mágneses terek maxwell-i értelmezése is mélyebb értelmezést nyert. Végeredményben sikerült az áramerősség egy ségének a m e g h a t á r o z á s á t vagy ami ezzel egyenérté k ű , fj, m e g h a t á r o z á s á t — a (6a) formula szerint mechanikai erőmérésre visszavezetni. Ez a Thomson-féle árammérleg segítségével nagy pontossággal elvégezhető. Megemlítjük,. hogy az áramerősség új egysége, az „ ú j amper" k i s m é r t é k b e n eltér a >,régi a m p e r " - t ő l . Az eltérés 0,01 %-on belül van, így nincs gyakorlati jelentősége. (Természetesen hasonló nagy ságrendben eltér az új „ v o l t " és „ o h m " is a régitől.) Gyakorlati számításoknál némi nehézséget okoz, hogy amíg /x jól megjegyezhető, yr-vel kifejezhető szám, addig s nem az. De á l t a l á b a n megengedhető a következő közelítés: 0
0
0
c«3-10
[ms' ].
8
1
3. táblázat
-.10- =8,842-109
367T
12
<7f)
[vm]'
ami 5%o-en belüli h i b á t ad. A fenti értékkel számolva, a fizikai képletek sokszor n a g y m é r t é k b e n egyszerű södnek. Ugyancsak nagy egyszerűsítéseket eredmé nyez a gyakran szereplő: -=8,98 755-10 %9.10 9
éne.
Vm As
9
19
e
[C/elektron],
1C=~=6,242-10
1 8
q
[elektron]
e
töltés. Tehát: 1A = IC/s = 6,242-10
18
[clektron/s].
Azonban az elektronok száma pontatlanul mérhe t ő , ezért az erőhatás alapján definiáljuk az á r a m egységét. 4.2. A származtatott egységei
elektromos mennyiségek
mérték
Az áramerősség-egységének pontos meghatározása u t á n a többi elektromos egység vagy a mechanikai egységek bevonásával, vagy a m á r definiált elektro mos egységek segítségévél definiálható. Például: 1 A feszültség egységének meghatározása. 1 feszültségdifferencia van k é t pont k ö z ö t t , ha 1 átfolyó á r a m 1 W teljesítményt ad le. Vagyis: P=UJ
[W] = [ V - A ]
és
[V] = T A
W
2 Az ellenállás egységének m e g h a t á r o z á s a . H a k é t pont k ö z ö t t 1 A á r a m 1 V feszültséget létesít, akkor a k é t pont között az ellenállás 1 Ohm. Vagyis: U=JR
Híradástechnika
[ V | = [AQ]
XXXI.
és
évfolyam
[ü]
1980. 8.
£m, s, A, 0, V, a, ¥, H]
[MKSA] A
I
Áramsűrűség
/
Töltés
Q = /-í
As
Feszültség
P U= — I
m kgs- A-
Ellenállás
u R =— = Z l
m2kgs-3A-2
Ü
Induktivitás
Z L =— a>
m kgs- A-
H
Kapacitás
1 c=—— mZ
Fajlagos ellenállás
=
Am-2
T
RA g__T_
helyettesítés is.
Az á r a m egységét atomi állandókkal is definiálhat j u k . Mivel egy elektron t ö l t é s e : q = 1,602-10~
I
Áram
Ezt (7d)-be helyettesítve kapjuk: 1
Definiáló egyenlet
Mennyiség
l
Fajlagos vezetés
~
a
RA
C
2
s
2
m
2
V
1
2
-2kg-l 4A2 s
m3kgs-3A-
3
Elektromos térerő
V JS= — l
mkgs-SA-
Mágneses térerő
I H= — l
Am-i
Elektromos indukció
D = sE
Asm-
Q-m
2
m-3kg-is A
1
F
2
a-im-i, Sm-i Vm-i
Am-i
Asm-
2
Mágneses indukció
2
Vsm- , T 2
Elektromos fluxus
0 = D-A
As
Mágneses fluxus
ip = B-A
m kgs- A-i 2
As
2
Vs, Wb
-
A fontosabb elektromos mennyiségek meghatározó fizikai egyenleteit és mértékegységét a 3. táblázatban t ü n t e t j ü k fel. Az M K S A mértékrendszernek külön előnye, hogy a Maxwell-egyenletek semmilyen konstanst nem tar talmaznak, a legegyszerűbb m ó d o n í r h a t ó k fel: rot
[Vm- ],
rottf=/+^
[Am- ].
2
(8) 2
A régebbi mértékegységek közül k e t t ő , a Gauss és szám
305
az Oersted, m é g egy hosszabb á t m e n e t i időszakig használatos lesz.
/ = -j-=0,6-10
15
Hz=
= 600 T H z .
1 [Vsm- ] = 10 [Gauss] 2
A k é k fény frekvenciája:
4
és
Az atom- és elektronfizikában gyakran szerepelnek olyan kis értékű konstansok, amelyek a jelenlegi leg kisebb betűjelzéssel (atto = 1 0 ) sem fejezhetők ki. Amíg az ennél kisebb betűjelzések nem születnek meg, addig is célszerű ú g y a memorizálás m i n t a szám tani műveletek egyszerűsítése céljából a k é t betűs szorzót használni, amelyekkel m i n t algebrai egyse gekkel számolhatunk. P é l d á u l : - 1 8
100 [ A m - ] ^ [ A c m - ] ^ - ^ - Oersted=1,257 Oersted, 1
1
(9) illetve:
'
,
1 Oersted=0,7958 [ A c m - ] = 79,58 [AmT ]. 1
1
Az elektron töltése: g = l , 6 - 1 0 = 160 maC (milli-atto).
C=16
1 9
e
5. Szorzószámok alkalmazása a. mértékegységeknél A gyakorlatban sokszor nehézséget jelent, hogy a mértékegység t ú l nagynak vagy t ú l kicsinek bizo n y u l adott körülmények k ö z ö t t . Hogy a t ú l nagy vagy a t ú l kis számokkal járó kényelmetlenségeket elkerüljük, szorzóként tíz h a t v á n y a i v a l számolunk, illetve egyszerűen ezeket betűvel helyettesítjük. Hogy á t ú l sok betűjelölést elkerüljük, csak ezres szorzójú lépéseket v e z e t ü n k be. Jelölésüket a á. táblázat t ü n t e t i fel.
10"
E
exa
10-18
a
10"
P
peta
10-15
f
1012
T
tera
10-12
P
10«
G
giga
10-»
n
10«
M
" mega
10-
10
K
kilo
10-3
3
h
hektó
101
da
deka
10-i
d
deci
10-2
e
centi
kg=900-
- 3 1
e
33
A Planck-állandó: A=6,63.10(atto-atto). .
34
W s = 6 6 3 aaWs a
2
A Boltzmann-állandó: /c=l,38.10= 18,8 p p J / ° K (piko-piko).
23
J/°K=
A betűjelölést mindig célszerű ú g y megválasztani, hogy a számérték 0 és 1000 közé essen. I t t szeretnénk r á m u t a t n i arra, hogy a „mjlli" jelö lése „ m " - e l zavart okoz. Sajnálatos, hogy az egyik 4. táblázat mérőszám jele megegyezik a „ m é t e r " alapegység jelével. Ugyancsak zavaró, hogy a tömegység jele atto „ k g " . E g y r é s z t az alapegységeket célszerűbb egy betűvel jelölni, mint a méter és secundum jele. Másfemto • részt még z a v a r ó b b , hogy az alapegységben a „ k i l o " pikó mérőszám szerepel, ami arra utal, mintha az alap egység a „ g r a m m " lenne. nano
mikro
6
102
Az elektron t ö m e g e : m =9'10 • 1 0 - k g = 9 0 0 fakg (femto-atto).
aC=
m
miJJi .
i
Következetes jelölésmódunkkal: 1 g r a m m = 1 mkg, 1 tonna —\ k k g = l Mg. ( A k i sokszor használja a „ m i l l i " és „ k g " jelölése ket, saját használatra célszerűen bevezethet új jelö léseket, például a „milli" jelölésére a „v" b e t ű t , a „ k g " helyett a „ t " vagy „ h " jelet. A „ h " mint „ h e k t ó " jelölése a gyakorlatban nem szerepel.) A betűjelölések bevezetése súlyosabb félreértésre is vezethet. Vegyük például a hosszegységből szár maztatott megszokott terület és k ö b t a r t a l o m egysé geiket: m m , m m , k m , k m stb. Rövid megfontolás, u t á n b e l á t h a t ó , hogy az új mértékrendszer szellemé ben ezeket m á s k é p p e n kell értelmeznünk. Ugyanis az 1 m m élhosszúságú négyzet, i l l . kocka t e r ü l e t e , i l l . térfogata az á b r a szerinti. • 2
A 4. táblázatban alul közölt szorzók nem ezer t ö b b szörösei. H a s z n á l a t u k megengedett, de lehetőleg ke rülni kell őket. Á l t a l á b a n célszerű, ha a gyakrabban szereplő konstansokat vagy nagyságrendeket a betűvel jelölt szorzóval memorizáljuk.
3
2
3
i|—i A = 1 ( m m ) = l m m irom * I—1 négyzetméter), 2
2
= 1 |j.m (l mikro-
2
2
ImmtfHO V = l ( m m ) = 1 m m = l n m , 3
Például: A fény sebessége: c = 3 - 1 0 m s = 3 0 0 M m s . 8
_ 1
- 1
1 kmiQ
- 8
cm=
- 1 3
cm=
3
3
A = l (km) = 1 k m = 1 Mm , 2
2
2
í k m t Ö V = l ( k m ) = l k m = l Gm . 3
Az atom átmérőjének nagyságrendje: 1 0 = 1 0 - n i = 1 0 0 pm.
3
2
3
3
3
10
A proton átmérőjének nagyságrendje: 1 0
= 10-
15
m=rfm.
A k é k fény hullámhossza: A = 5 « Í 0
306
- 7
m = 5 0 0 nm.
Ugyanis, ha egy mennyiséggel egy műveletet vég zünk, például négyzetre vagy köbre emeljük, akkor a mérőszámmal is automatikusan ugyanazt a m ű v e létet kell végeznünk, h(jgy az új mérőszámot meg
XXXI.
évfolyam 1980. 8. szám
kapjuk. H a a mérőszámok b e t ű k helyett 10 h a t v á nyaival vannak kifejezve, akkor ez a kérdés fel sem merül.
I t t a fizikai egyenlet alá felírtuk a mértékegységegyenletet, amelynek szintén teljes egyenlőséget kell mutatnia. Ez az írásmód is hosszadalmas és nehézkes.
Példa: Mennyi egy a=3 k m élhosszúságú négyzet területe?
c)
a=3-10
A = a =(3.10 m) =9-10 2
3
2
m = 9 Mm .
6
2
A b e t ű jelöléssel:
2
'
A = a =(3 km) =9 k m = 9 Mm . 2
e-i
vagy
m = 3 km,
3
2
2
2
2
Félrevezető, hogy régi jelöléseinkkel A = 3 k m = = 9 km -et kellene í r n u n k . Ugyanis új jelöléseink kel: 9 k m = 9 kilonégyzetméter=9000 m , 2
2
2
2
2
egy 94,87 m élhosszúságú négyzet területe. Példánkból is látszik, hogyha egy 1 m m élhosszú ságú négyzet területét számoltuk volna, mennyire zavaró, hogy a „ m i l l i " és a „ m é t e r " jele egyformán „m". A fent elmondottak elsősorban a gyakorlati szá molásoknál jelentenek nehézséget. Szavakkal el mondva a „négyzetmilliméter", köbkilométer stb. elnevezések egyértelműek. Mindenesetre célszerűbb és precízebb lenne — b á r kérdés, hogy el fog-e terjed n i — a négyzetmilliméter helyett a u.m , a négyzet kilométer helyett a M m stb. elnevezés.
[Q], [ O m , m , m ] . 2
A fenti jelölésmód a legtömörebb. Félreértést nem okozhat, mert a k i ismeri a fizikai képletet, az előtt nem lehet v i t á s , hogy az egyes egységek mire vonat koznak. E z t a jelölésmódot lehet a leginkább java solni. A mérnöki gyakorlatban r i t k á n használják az ere deti fizikai formulákat, hanem i n k á b b a belőlük szár maztatott, egyszerűsített tapasztalati formulákat. Ezekben a mértékegység-helyesség m á r nehezen is m e r h e t ő fel, ezért különösen fontos, hogy pontosan megadjuk, hogy az egyes mennyiségeknek m i k a mér tékegységei. Példa: Egyenes réz körvezető ellenállása: d
[mm],
la
2
R ö v i d e b b e n is í r h a t j uk: k: R=
23.1 d?
[Q, km, mm].
2
2
6. Fizikai képletek írásmódja Az új mértékrendszer bevezetésével e g y ü t t fizikai képletek felírásánál — különösen ha azokat gyakor l a t i számításokra is fel akarjuk használni — feltét len szükséges, hogy azok a mértékegységek szempont jából is helyesek legyenek, illetve fel kell t ü n t e t n ü n k , hogy a szereplő mennyiségek milyen mértékegység ben értendők. Az M K S A mértékrendszernek nagy előnye, hogy a fizikai formula, ha tudjuk, hogy az az M K S A t á r gyalásmódnak megfelelő levezetés eredménye, feltét lenül helyes e r e d m é n y t ad, ha minden szereplő menynyiséget MKSA-egységekben adunk meg. A mértékegységek felírására nincs egységes jelölés m ó d . Az alábbi p é l d á b a n bemutatunk n é h á n y lehet séges jelölésmódot. Vegyük az ellenállás számításá nak a k é p l e t é t : a) A
l [m], A [m ].
Híradástechnika
R=
XXXI.
A :
évfolyam
1980. 8.
H a az egyes mértékegységek 10 h a t v á n y a i v a l vagy azok betűjelével vannak megadva, gyakorlati számí t á s o k n á l sokszor hosszadalmas és sok hibalehetőséget adó s z á m í t á s o k a t k í v á n az M K S A alapegységekbe való á t s z á m í t á s . Ekkor nagy könnyebbséget jelent, ha felismerjük, hogy a szorzószámokat jelentő b e t ű k kel mint algebrai tényezőkkel s z á m o l h a t u n k . K ü l ö nösen előnyös ez olyan fizikai képleteknél, ahol az e r e d m é n y t az egyes mennyiségek szorzata és h á n y a dosa adja. Az eljárást egy példán mutatjuk be. Számítsuk k i egy vezető ellenállását, ha: 1= 1200km, A=0,3 (cm) és
2
e=0,002
Q
(
m
m
)
2
m
Az ismert képlet a l a p j á n : R--
Q.l
0,002-1200 (m k-4-l -~ 0,3 \^ c2 J [ m 2
m
.m—^— 2 1 =
mJ
= 8-(10) [Q] = 80 [Q].
2
Ez a jelölésmód hosszadalmas, de egyértelmű. b)
mértékegységek
e i A
Q [íim], R--
6.1. Fizikai képletek kiszámítása, ha a • szorzószámokkal vannak megadva
szám
I t t anélkül, hogy l, A, o-t MKSA-egységekbe á t s z á m í t o t t u k volna, a következőképpen j á r t u n k e l : a) A fizikai képletbe behelyettesítjük a számérté keket, anélkül, hogy a szorzószámokat figye lembe v e t t ü k volna. E s e t ü n k b e n a 0,002, az 1200 és a 0,3 értékeket. Ezek a fizikai képlet szerint 8-at eredményeznek. b) E z t követően gömbölyű zárójelbe í r t u k a szor zószámok betűjeleit. Illetve célszerűbb, ha
307
a fiziRai formula számértékeinek a behelyette sítésével egyidejűleg azonnal a gömbölyű záró jelen belül beírjuk a betűjeleket. c) Szögletes zárójelbe beírjuk a megfelelő M K S A alapegységeket. d) A zárójeleken belül elvégezzük az összevonáso kat. K i s gyakorlat u t á n a gömbölyű zárójelen belül igen gyorsan és hibamentesen tudunk számolni, anélkül, hogy visszatérnénk 10 h a t v á n y a i r a . Ennek érdeké ben célszerű csak az ezres szorzókkal számolni és ke rülni kell a c, d, h , centi, deka, h e k t ó stb. jelöléseket. Az m k = l , |AM==1, m [ J L = n stb. összefüggések rövid gyakorlás u t á n k ö n n y e n memorizálhatók. A szögletes zárójelen belüli összevonások u t á n ter mészetesen a helyes fizikai mértékegységeket kell kapnunk, esetünkben Q-Ot, Befejezésül n é h á n y példát közlünk. Példa: í ? = 4 Mohm ellenálláson 1=2 folyik á t . U= ? U=IR=2-4
mA áram
(mM) [ A O ) = 8 [ k V ] .
I t t a végeredményben a szorzóbetűt a dimenzió zárójelbe írhatjuk. Példa: m = 5 tonna [kkg], v = 8 [ k m s ] , mennyi a mozgási energia?
= yöfi~k
(k) [ m s - ] = f 8 Ö Ő [ k m s - ] , 1
1
vagyis előbbi e r e d m é n y ü n k e t kaptuk meg. 7. A logaritmikus mértékegységek A fizika és a technika számos területén célszerű nem magukkal az eredeti mennyiségekkel számolni, hanem azok logaritmusával. Helyesebben szólva nem maguknak a mennyisé geknek a logaritmusával, hanem valamilyen, az illető mennyiség alapegységére vonatkoztatott viszony szám logaritmusával. Az új mértékegység-rendszer bevezetésével egyidőben, amely kizárólag a 10-es számrendszer h a s z n á l a t á n alapul, célszerű a logarit mikus egységeknél is á t t é r n i á 10-es alapú logarit musra. Ez bizonyos nehézségekkel is jár, mint erre később r á m u t a t u n k . 7.1. A logaritmus definíciója.
Alapfogalmak
Bármely x szám egyenlő egy tetszőleges c konstans, felemelve x ugyanazon c konstans alapú logaritmu sára, í g y például c, d, e, 10, 2 stb. kontansok esetén: x= c
=d %
l o g cx
i0
d
= e
x
lnx
= 10's =2 ? x
l0
(10)
a 5
-1
W = - ^ - = ^ f - ( k k ) [kg m 2
s- ] = 160 [GJ].
2
2
Példa: Mennyi C = 2 nF-os k a p a c i t á s impedanciája to~ o Ms -en?
A fenti formula alapján egyszerűen adódik a kü lönböző alapú logaritmusok egymásba való átszá mítása. U g y á n i s : ciogcx—a'iogax és m i n d k é t oldal „ c " alapú logaritmu sát v é v e : log a:=log ,x-log d. Innen: \og x lo&,x-c
_í
(
c
c
Példa. Milyen erővel taszítja e g y m á s t k é t Q = =Q =1 mC töltés egymástól 2 k m távolságról? r Ac t
log d c
Mivel „ c " tetszőleges lehet, teljesen általánosan:
2
(
e =8,85 [pF/m] = 8,85
p
0
F=
4jre
R Q1Q2
4JT-8,85
2
n
á
l-l 2
2
Ina; Ind
log x=-
Vm m C F m
a
m-m \
2
p-k
2
Példa. Milyen sebességet ér el m = 1 0 kg = = 0,1 pkg-os t ö m e g , amelynek Q = 4 - 1 0 = 4 nAs töltése van, ha Í7 —10 k V potenciálkülönbségen ha lad á t ?
log 7 =
- 1 3
]f 2-4-10 0,1
n-k
AsV
1
kg
= y 800 (k) [ms- ]=28,3 [ k m s - ] . 1
1
2
1
Q
2
U
m
fQfiiYÖ)
308
_] 1 2-4-10 ( 1 100 ( [ms- ]=yÓ^8(V^M) 1
lg 7 _ 0,845 = 2,807. lg 2 ~ 0,301
T e h á t a különböző alapú logaritmusok csupán egy szorzószámban különböznek egymástól. Vagy for d í t v a , egy konstans s z á m m a l szorzott logaritmus mindig egy m á s alapú logaritmusnak t e k i n t h e t ő . Le gyen „ A " egy mennyiség, illetve viszonyszám és k egy konstans, akkor az a=A-log A összefüggés mindig így is í r h a t ó c
Megjegyezzük, hogy i t t a gömbölyű zárójelen belül csak véletlenül kaptuk 10 egész számú h a t v á n y á t . Ha p é l d á n k b a n m = 0 , l pkg = 100 fkg-ot v á l a s z t u n k , a számításunk bonyolódik. Ekkor helyesen így j á runk el: v = '
(11)
2
A fenti formula a logaritmusokkal való számolás legfontosabb formulájának t e k i n t h e t ő .
_9
2QU
2
Példa:
=0,0022 (1) [ N ] = 2 , 2 [mN].
v =
Iga; _ l o g a ; _ lgd log d
[ms- ]^ 1
[ms- ]^ 1
„_ gc . lo
A
: l o g A = log .A IÍ
log cZ
A
(
c
ahol:
log. d = -r, k
illetve
1 d = c*.
(12)
Ugyanakkor a „k" szorzót „A" h a t v á n y a k é n t is bevihetjük a logaritmus alá. í g y kapjuk a logarit mikus összefüggések h á r o m lehetséges alakját: Híradástechnika
XXXI.
évfolyam 1980. 8. szám
a) k számmal szorzott logaritmus, b) szorzót a logaritmus alá visszük h a t v á n y k é n t , c) á t t é r ü n k m á s alapú logaritmusra, ahol nincs szorzó. Teljesen általános esetben az a, b, c eljárásokat kombináljuk. Például: a=k-log
c
A=k log v
c
A *, k
ahol
'
ahol
a=/c 'log A *. k
1
íi
=/c^, k=k k k x
2
3s
1 ,és d=c ' k3
A következőkben csak a h í r a d á s t e c h n i k á b a n alkal mazott logaritmikus egységekkel foglalkozunk. A gyakorlatban elterjedt öt logaritmikus összefüggést az 5. táblázatban t ü n t e t j ü k fel. M i n t e m l í t e t t ü k , a különböző alapú logaritmusok csak egy konstans szorzóban különböznek egymástól. A „k" szorzókat a 6. táblázat t ü n t e t i fel. A t á b l á z a t e g y ú t t a l a különböző logaritmikus egységek közötti á t s z á m í t á s t is megadja. Például legyen ^4 = 5. Ez h á n y dB-nek felel meg? ötféle módon számolhatjuk k i . A t á b l á z a t vízszintes sorait használjuk. A „ d B " sorából: a = 20 lg 5 = 1 0 logy^ 5 = l o g
2 0
^ 5 = 8,69-ln 5 =
= 6,02 log 5=13,98 dB. 2
3. táblázat
Az egységek közötti átszámításhoz a függőleges oszlopokat használjuk. Például a dekád oszlopából: 1 D = 2 B = 2 0 d B = 2 , 3 Np = 3,32 o k t á v . 7.2. A Np, B és dB mint feszültségviszony logaritmusa
és
telfesítmény-
A h í r a d á s t e c h n i k á b a n éppen ú g y , m i n t a matema t i k á b a n kétféle alapú logaritmus terjedt e l : a 10-es alapú és a természetes „ e " alapú. Sajnálatos m ó d o n a k é t logaritmus h a s z n á l a t a is kissé eltér egymástól. Feszültségviszonyokra: a = l n - ^ - [Np] = l g - ^
[ D ] = 2 1 g - ^ - [B] =
= 2 0 1 g i £ - [dB].
(12)
Telj esítmény viszony okra: a=
Í ít ln
[ N p l =
l!
l g
[ D ]=lg
ft
íí
[B]=
= 1 0 1 g | i [dB].
(13)
T e h á t feszültségviszonyokra a N p , teljesítményviszonyokra a B és dB t ű n i k természetesebbnek, mert nem tartalmazza a 2-es szorzót, illetve osztót. A 2-es tényező nyilvánvalóan a feszültségről a teljeU 2
Számítás
Alap
Elnevezés
Jelölés
a = lg A
dekád
10
D
a = 2 lg A
bel
yiö
B
a = 20 lg A
decibel
a = In A a = tosaA
20
yío
dB
neper
e
Np
oktáv
2
s i t m é n y r e való áttérésből adódik, a P = - ^ - össze
6. táblázat a = k log A c
D Egység
D
B
lg
logyíöA
1
0,5
dB .
l o g M
yiö
0,05
A
Kp
oktáv
In A
log A
0,434
0,301
2
függésből. A 2-es t é n y e z ő , amint l á t t u k , jelenthet a logarit mus előtt egy szorzó vagy osztót, jelentheti alog-jel u t á n a négyzetre emelést vagy g y ö k v o n á s t és jelent het m á s alapú logaritmusra való á t t é r é s t . A N p és dB eltérő definíciója t ö r t é n e l m i okokra vezethető vissza. Ezen ma m á r v á l t o z t a t n i nem lehet. Súlyosabb és indokolatlan viszont, hogy az Sl-rendszer bevezetésével a dB lett alapegységnek elfogad va. A d = deci csupán szorzószámot jelent, az alap egység a B = bel. Nem áll fenn az az indoklás, hogy a B t ú l nagy egység. E g y r é s z t a B és a N p közel azonos nagyságú egységek, másrészt u g y a n ú g y , mint m á s területeken, a szorzószámok alkalmazása, a d B , cB, m B kisebb egységek bevezetése minden t o v á b b i nélkül lehetővé, teszik a dB h a s z n á l a t á t is, ha az alapegység a B . A dB alkalmazása különösen a fizikai képletek írását teszi nehézkessé. Így például, ha dB-ben akarunk feszültség- vagy teljesítményviszonyt kifejezni: 77 — P — — i - = 10 és: -1=10 [a]=[dB]. U • P 20
1 0
2
B a
dB Np
•
oktáv
Híradástechnika
2
1
20
10
0,1
0,869
0,602
1
8,69
6,02
1,151
0,115
1
0,693
3,32
1,66
0,166
1,443
1
XXXI.
évfolyam 1980. 8. szám
H a pedig a-t S-ben é r t j ü k : -^=10*
2,3
2
és:
pí=10*
[a]=[B].
H a s o n l ó a n zavaró egyéb képletekben is a dB hasz n á l a t a . P é l d á u l a reflexió kifejezésében:
309
= 20 l g
z-z« z+z
[dB] = 21g 0
z-z. z+z
A logaritmikus egységek bevezetéséhez az 1000 H z en füllel még éppen hallható
[B].
c
A fentiek alapján világos, hogy feltétlenül szüksé ges a bel, m i n t alapegység bevezetése. Ebben az eset ben fizikai formuláink egyszerűek és az Sí-rendszer bevezetésének szellemében számértékre is helyesek ' maradnak, anélkül, hogy utalnunk kellene r á , milyen logaritmikus egységet használunk. E t t ő l függetlenül és ha k o n k r é t a d a t o k r ó l v a n szó, automatikusan •adódik a megfelelő szorzószám vagy b e t ű haszná lata. Például: a = 2 2 [ d B ] , a = 5 [cB] stb.
p = 2 . 1 0 ~ [Pa, N / m ] 5
és a hozzá t a r t o z ó :
2
0
/ =10-
1 2
0
[W/m ],
(
2
1 7 )
alapegységeket v á l a s z t o t t á k . í g y a logaritmikus hang szint: a=101g-^-=201g-^- [dB]. A híradástechnika és akusztika t o v á b b i logaritmi kus egységeinek a tárgyalása helyett csupán az iro dalomra utalunk.
f
7.3. Az abszolút feszültség-
és
7.5. A fázisszög figyelembevétele egységeknél
teljesítményszint
A logaritmikus egységek puszta számok. Azonban sokszor előnyös, ha a logaritmikus egységek tényleges fizikai mennyiséget fejeznek k i . Ennek egyszerű mód ja, hogy az illető mennyiséget egy jól definiált alap egységhez viszonyítva fejezzük k i . A híradástechni k á b a n k é t ilyen egység terjedt el: az abszolút feszült ségszint és az abszolút teljesítményszint. Alapegy ségnek elfogadva: Í7 =0,775 V
és
0
P =l 0
[ d B u l
0
-
p[mW]
[dBm],
[
434
akkor: In A = In | A | 4-/99
(19)
A természetes logaritmusnál a képzetes rész közvet lenül megadja a fázisforgatást r a d i á n b a n , a 10-es alapúnál viszont csak egy konstanssal szorozva. A nehézségek érzékeltetésére csak egy példát ho zunk fel. Vegyük a feszültségeloszlást egy távvezeték m e n t é n . Ismeretes, hogy :
Az abszolút teljesítményszint: 10 l g — - —
ha: Á = | A | e^V = | A110 - ^ lg A = l g | A | + ; 0,434?
Az abszolút feszültségszint: ^Ö775
A 10-es alapú logaritmusra való á t t é r é s semmiféle nehézséget nem jelent, amíg valós mennyiségekről van szó. Á t h i d a l h a t a t l a n nehézségek merülnek azon ban fel, ha komplex mennyiségekről v a n szó, vagyis a fázisforgatást is figyelembe kell venni. Ugyanis
mW.
%:
2 0 1
a logaritmikus
U(x) = Aer*+ Be'**=A
(15)
*, x
a+
ahol a terjedési á l l a n d ó : ahol az „ m " index a „ m i l l i w a t t r a " utal.
7 = a + / / S [Np, r a d i á n / k m ] .
Példa: Fejezzük k i 0,1 V , 5 V , 10 (JtW és 20 mW-ot abszolút szintekkel. 0,1 V = 2 0 1 g 5 V=201g
0,1 = -17,8 dBu, 0,775 5
0
7
7
5
C/(a;)=A10< ahol : y=a4-//5
= 4-16,2 d B u ,
10 jJiW=10 lg 1 0 - = - 2 0 d B m , 2
20 m W = 1 0 lg 2 0 = + 13 d B m . I t t a [ V ] = [ d B u ] és [ m W ] = [ d B m ] dimenziók közé egyenlőségjelét t e h e t ü n k , mert m i n d k e t t ő feszültsé get, illetve teljesítményt fejez k i . 7.4. Logaritmikus
szintek az
akusztikában
Az a k u s z t i k á b a n a feszültségnek az effektív hang n y o m á s , a teljesítménynek a hangintenzitás, az 1 m2-en á t h a l a d ó teljesítmény felel meg: [p] = [ ^ = P a (16) [I]
310
Á t t é r v e 10-es alapra:
-[m"[
[dB, radián/km].
Nyilvánvaló, hogy a fenti írásmód rendkívül ne hézkes és teljesen á t t e k i n t h e t e t l e n . További bonyo dalmat jelent, hogy az shx, chx, thx függvények mind ú g y vannak értelmezve, hogy a; (illetve komplex Z) N p és r a d i á n b a n van megadva. E z é r t a fizikai kép? letekben t o v á b b r a is meg kell maradnunk a N p használata -mellett. Azok az országok, amelyek eddig is a dB-t h a s z n á l t á k , m i n t az USA és Anglia, az el méleti irodalomban kizárólag ezeket a természetes egységeket használják.
Irodalom 1. Ligeti Imre: A nemzetközi mértékegység-rendszer és használata, 1979. 2. Cebe László: Átviteltechnika I - I I . K K V M F jegy zet, 1979. Híradástechnika
XXXI.
évfolyam 1980. 8. szám
