Mozdony egy algebrista képerny jén

Mozdony egy algebrista képerny®jén Czédli Gábor

(Szeged, Egyetemi Tavasz, 2015.04.18.)

2015. április 18.

Czédli Gábor


Mozdony egy algebrista képerny®jén

Csoport (a SZIMMETRIA absztrakciójából)

Évariste

Galois

(1811. okt. 11 1832. május 31.) Deníció

(G ; ·), (xy )z = x(yz), van egységelem, azaz egy olyan ∈ G , hogy 1 · x = x = x · 1, és minden x ∈ G elemnek van inverze, azaz egy olyan y ∈ G , hogy xy = yx = 1. (Az x inverzét x −1 jelöli, tehát xx −1 = 1 = x −1 x .)

Csoport: 1

Czédli Gábor



0'/20

Példák csoportra

1'/19

Példa

({nemnulla

valós számok}; ·). Inverz = reciprok.

Példa

({sík

(tér) egybevágósági transzformációi}; ·). Szorzás: egymás

utáni végrehajtás. Egybevágósági transzformáció

Czédli Gábor

≈


szimmetria !


Példák csoportra

1'/19

Példa

({nemnulla

valós számok}; ·). Inverz = reciprok.

Példa

({sík

(tér) egybevágósági transzformációi}; ·). Szorzás: egymás

utáni végrehajtás. Egybevágósági transzformáció

Czédli Gábor

≈


szimmetria !


A D5 szimmetriacsoport

1'/19

Példa

D5 = ({1, α, α2 , α2 , α3 , α4 , τ1 , τ2 , τ3 , τ4 , τ5 }; ·),

a szabályos ötszög

szimmetriacsoportja.

Példa Adott síkidom, mértani test, Rubik-kocka, kristályrács, stb. szimmetriacsoportja.

Czédli Gábor



A D5 szimmetriacsoport

1'/19

Példa

D5 = ({1, α, α2 , α2 , α3 , α4 , τ1 , τ2 , τ3 , τ4 , τ5 }; ·),

a szabályos ötszög

szimmetriacsoportja.

Példa Adott síkidom, mértani test, Rubik-kocka, kristályrács, stb. szimmetriacsoportja.

Czédli Gábor



Így számolunk D5 -ben

2'/18

D5

Számolás a csoportban:

1

2

3

4

5

3

2

1

5

4

1 · 2

2

3

3

4

τ2 · α = 4

5

5

1

=

1

2

3

4

5

4

3

2

1

5

Példa Sík periodikus lefedései (parkettázás, csempézés, tapétázás) sokszögekkel.

Czédli Gábor


M. C. Escher :


= τ5 .

Csoport és csempézés (Escher)

3'/17

Példa M. C. Escher]

Czédli Gábor



Középkori iszlám m¶vészet: mind a 17 Periodikusan, teljes él mentén illeszked® szabályos sokszögekkel: Alhambra palotaer®d (Granada, Spanyolország). Példa (Seville, Spain)

Czédli Gábor



3'/17 17

Gráf szimmetriacsoportja

4'/16

Példa

Irányított gráf szimmetriái is csoportot

1

2

3

1

2

3

Czédli Gábor

,

alkotnak; esetünkben ennek elemei:

1

2

3

2

3

1

,


1

2

3

3

1

2


Polinom Galois-csoportja

4'/16

Deníció

f (x) egy n-edfokú egész együtthatós− polinom. Legyen irreducibilis (6= szorzat). Gyökei: x1 , . . . , xn (különböz®k). Az f (x) szimmetriacsoportja, más néven Galois-csoportja azon {x1 , . . . , xn } → {x1 , . . . , xn } permutációkból áll, amelyek meg®rzik az algebrai összefüggéseket. Algebrai összefüggés: bármi, amit az x1 , . . . , xn -b®l és egész Legyen

számokból az összeadás, szorzás, kivonás segítségével fel tudunk írni. Pl. 3x1

Czédli Gábor

+ x1 x3 − x22 = 0.



Melyik polinom a legkevésbé szimmetrikus?

5'/15

Példa (A négy közül melyik lóg ki a sorból szimmetria szempontból?)

c ∈ {−8, 2, 8, 12}-re 3 az f (x) = x − 12x +c polinom grakonja

Czédli Gábor



Még mindig a négy polinomról

6'/14

A Galois-csoport lehetséges elemei:

x1 x1 x1 x1

Czédli Gábor

x2 x3 x1 , x2 x3 x2 x2 x3 x1 , x3 x2 x3

x2 x3 x1 , x3 x1 x3 x2 x3 x1 , x2 x1 x2


x2 x3 , x1 x2 x2 x3 x1 x3


4 polinom: szabad a gazda (felülr®l a második)

Válasz (c Amikor

∈ {−8, 2, 8,

c = 8,

12},

6'/14

f (x) = x 3 − 12x + c )

akkor csak az els® három permutáció szimmetria. A

másik három esetben mind a hat. (A hat nem meglep®, a 3 viszont igen.)

Czédli Gábor



Na de miért? Számoljunk. . .

Indoklás (c

8'/12

= 8-ra f (x) = x 3 − 12x + 8,

miért csak 3 szimmetriája

van?)

x1 ≈ −3.758770483, x2 ≈ 3.064177772, x3 ≈ 0.694592711. x12 /2 − 4 ≈ x2 , x22 /2 − 4 ≈ x3 , x32 /2 − 4 ≈ x1 (hiba < 10−8 ). 3 S®t, itt = van, hiszen ha u gyök, u − 12u + 8 = 0, azaz 3 u = 12u − 8, akkor elemi iskolai számolással: f (u 2 /2 − 4) = · · · = u 6 /8 − u 4 + 18u 2 − 8 = (u 3 )2 /8 − 3u · u 3 + 18u 2 − 8 = (12u − 8)2 /8 − 3u · (12u − 8) + 18u 2 − 8 = · · · = 0.

Czédli Gábor




Indoklás (c

8'/12

= 8-ra f (x) = x 3 − 12x + 8,


van?)


Czédli Gábor




Indoklás (c

8'/12

= 8-ra f (x) = x 3 − 12x + 8,


van?)


Czédli Gábor



S®t, irányított gráal is szemléltethetjük

Jelen esetben (de nem mindig!) az

f

11'/9

gyökei között talált

összefüggést gráal is szemléltethetjük. Innen már látszik, hogy csak három szimmetria van (a forgatások) A másik három (a tengelyes tükrözések) nem ®rzik meg az élek irányát, ezért ki

vannak zárva.

Czédli Gábor



Normális és szubnormális részcsoportok

12'/8

Deníció (G csoport normális részcsoportja)

∅ 6= S ⊆ G , bármely a, b ∈ S esetén ab ∈ S , és bármely x ∈ S y ∈ G esetén y −1 xy ∈ S , akkor S normális részcsoportja G -nek.

Ha és

−

Tétel (Lagrange-tétel )

Ilyenkor S elemszáma osztja G elemszámát, ha az utóbbi véges. Példa

S = {1, α, α2 , α2 , α3 , α4 }

normális részcsoportja

D5 -nek;

5

| 10.

Deníció (Szubnormális részcsoport) Normális részcsoport normális részcsoportjának . . . szubnormális normális részcsoportja.

Czédli Gábor




12'/8



Ha és

−



S = {1, α, α2 , α2 , α3 , α4 }


D5 -nek;

5

| 10.


Czédli Gábor




12'/8



Ha és

−



S = {1, α, α2 , α2 , α3 , α4 }


D5 -nek;

5

| 10.


Czédli Gábor




12'/8



Ha és

−



S = {1, α, α2 , α2 , α3 , α4 }


D5 -nek;

5

| 10.


Czédli Gábor



Hálók (a REND, HIERARCHIA absztrakciójából)

13'/7

Deníció (Véges háló deníciója)

x ≤ y ⇐⇒ élek mentén felfelé haladva bármely x, y elemnek van egyesítése (=

Vízszintes élek nélküli gráf;

x -b®l

eljutunk

y -ba;

legkisebb olyan elem, amelyik mindkett®nél nagyobb vagy egyenl®) és metszete. Példa (hálóra)

a ≤

1, 0

≤

1,

b e; a

és

c

egyesítése

metszetük 0.

Czédli Gábor



e,

Még egy példa, Wielandt-tétel

14'/6

Példa (hálóra)

Az

A = {a, b, c}

részhalmazainak

hálója; ≤ jelentése:

⊆, azaz rész-

halmaza; egyesítés, metszet: a szokásos.

−

Tétel (Wielandt-tétel , 1939)

Véges G csoport szubnormális részcsoportjainak SubNorm(G ) halmaza háló a ⊆"-re nézve! Czédli Gábor



Még egy példa, Wielandt-tétel

14'/6

Példa (hálóra)

Az

A = {a, b, c}

részhalmazainak

hálója; ≤ jelentése:

⊆, azaz rész-

halmaza; egyesítés, metszet: a szokásos.

−

Tétel (Wielandt-tétel , 1939)

Véges G csoport szubnormális részcsoportjainak SubNorm(G ) halmaza háló a ⊆"-re nézve! Czédli Gábor



Kompozíciólánc fogalma

14'/6

Deníció (G véges csoport kompozíció lánca) A

(SubNorm(G ); ⊆)

hálóban egy élekb®l álló lánc az aljától a

tetejéig; az éleire számokat írunk a Lagrange-tétel szerint (ezek nincsenek az ábrán feltüntetve).

Czédli Gábor



és szemléltetése

14'/6

G Czédli Gábor


kompozíciólánca


Irreducibilis polinom fogalma

15'/5

Deníció (Irreducibilis polinom)

f (x)

irreducibilis, ha nem áll el® két alacsonyabb fokú polinom

szorzataként.

Czédli Gábor



A csoport- és Galois-elmélet egy alkalmazása

15'/5

−

Tétel (A Galois-elmélet fontos következménye )

Legyen f (x) egy egészegyütthatós irreducibilis polinom. Ekkor az alábbiak ekvivalensek:

f (x)-nek van olya gyöke, amelyik felírható egész számokból a négy alapm¶velet és gyökonások alkalmazásával (pozitív egész gyökkitev®ket megengedve). az f (x) Galois-csoportjának van olyan kompozíciólánca, amelynek az éleire csakis prímszámok vannak írva. Tétel (RuniAbel-tétel, a fentib®l is következik)

Ötödfokú egyenletre nincs megoldóképlet.

Czédli Gábor



A csoport- és Galois-elmélet egy alkalmazása

15'/5

−

Tétel (A Galois-elmélet fontos következménye )

Legyen f (x) egy egészegyütthatós irreducibilis polinom. Ekkor az alábbiak ekvivalensek:

f (x)-nek van olya gyöke, amelyik felírható egész számokból a négy alapm¶velet és gyökonások alkalmazásával (pozitív egész gyökkitev®ket megengedve). az f (x) Galois-csoportjának van olyan kompozíciólánca, amelynek az éleire csakis prímszámok vannak írva. Tétel (RuniAbel-tétel, a fentib®l is következik)

Ötödfokú egyenletre nincs megoldóképlet.

Czédli Gábor



JordanHölder-tétel

Tétel (JordanHölder-tétel

16'/4

− véges csoportra, 1870)

Bármely két kompozíciólánc hossza azonos és az egyik élei párba állíthatók a másik éleivel úgy, hogy az egymásnak megfeleltetett éleken a szám azonos. Ezért az oldal els® tételében mindegy, melyik kompozícióláncot tekintjük.

Czédli Gábor



A JordanHölder-tétel szemléltetése

16'/4

JordanHölder-tétel személtetése

Czédli Gábor



Még jobb párosítás

17'/3

GrätzerNation-tétel (2010): A JordanHölder-párosítás így is lehetséges.

Czédli Gábor



és annak unicitása

17'/3

Tétel (CzGSchmidt, 2011)

Véges csoport két kompozíciólánca között mindig pontosan egy JordanHölderGrätzerNation-párosítás van. Czédli Gábor



Hálóelméleti bizonyítás

18'/2

A bizonyításhoz hálóelmélet segítségével fogunk hozzá. Az ábrán fel-le kell menni! Miután megmutattuk, hogy elegend® a hálónak csak egy ilyenszer¶ részét nézni,

Czédli Gábor



Négyszögek mentén

18'/2

kiderült, hogy az ábra négszögekre tagolódik. Továbbá csak úgy lehet felmenni egy élhez, majd onnan lejönni, hogy mindig szemközti négyszögélre lépkedünk.

Czédli Gábor



Íme itt a címadó mozdony

19'/1

d c=xk xk-1 x3 x2 b

x1 x0 a Mintha egy

sín talpfáin lépkednénk; menjünk (azaz személtessük) ezt inkább vonattal. (Egy konferenciael®adásom ábrája.)

Czédli Gábor



amely nem össze-vissza közlekedik

Vasúti KRESZ" (pl. a sín nem ágazhat el, a vonat balról jobbra megy, továbbá a fenti irányváltás tilalma), és ezekb®l a tétel már adódik:

Czédli Gábor



19'/1

Mozdony, valamint a bizonyítás vége

20'/0

A KRESZ csak egyféleképpen engedi a vonatokat menni. Ezért két kompozíciólánc között pontosan egy JordanHölderGrätzerNation-párosítás van:

↔ célállomás. http://www.math.u-szeged.hu/~czedli/ indulási állomás

Czédli Gábor


Q.e.d. (Popular math. talks)


Mozdony egy algebrista képerny jén

Recommend Documents