MODUL 6 STATIKA I GARIS PENGARUH. Dosen Pengasuh : Ir. Thamrin Nasution

STATIKA I

MODUL 6 GARIS PENGARUH Dosen Pengasuh : Ir. Thamrin Nasution

Materi Pembelajaran : 1. Balok Diatas Dua Perletakan. 2. Balok Menganjur (Overhang). 3. Rangkaian Muatan  Beban Terpusat.  Beban Terbagi Rata. 4. Balok Bersendi Gerber.

WORKSHOP/PELATIHAN Tujuan Pembelajaran :  Mahasiswa memahami dan mengetahui tentang garis pengaruh, untuk balok diatas dua perletakan, balok menganjur (overhang), rangkaian muatan dan balok bersendi gerber. DAFTAR PUSTAKA a) Soemono, Ir., “STATIKA 1”, Edisi kedua, Cetakan ke-4, Penerbit ITB, Bandung, 1985.

UCAPAN TERIMA KASIH Penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada pemilik hak cipta photo-photo, buku-buku rujukan dan artikel, yang terlampir dalam modul pembelajaran ini. Semoga modul pembelajaran ini bermanfaat. Wassalam Penulis Thamrin Nasution thamrinnst.wordpress.com [email protected]

thamrinnst.wordpress.com

Modul kuliah “STATIKA 1” , Modul 6, 2012

Ir. Thamrin Nasution

Departemen Teknik Sipil, FTSP. ITM.

GARIS PENGARUH Apabila suatu konstruksi jembatan dilalui oleh kenderaan maka pada suatu titik tertentu (misal titik C) pada gelagar memanjang akan terdapat gaya-gaya dalam seperti gaya lintang dan momen yang berobah besarnya sesuai dengan letak kenderaan pada saat itu, lihat gambar berikut.

A

P1

P2

B

Untuk mengetahui berapa sebenarnya besar gaya lintang maksimum dan momen maksimum yang mungkin terjadi pada titik C apabila dilalui oleh kenderaan, maka diperlukan suatu diagram yang disebut Garis Pengaruh. Untuk menggambarkan diagram ini digunakan beban bergerak terpusat tunggal dengan nilai P = 1 ton, yang diletakkan pada beberapa titik secara bergantian seperti berikut. 1). BALOK DIATAS DUA PERLETAKAN. Keterangan : a. Garis pengaruh RA. P = 1 t berada di A, RA = + P = + 1 (ton) P = 1 t berada di C,  MB = 0 RA = + P . (L-a)/L = + 1 . (L-a)/L (ton) P = 1 t berada di B, RA = 0 (ton) b. Garis pengaruh RB P = 1 t berada di A, RB = 0 (ton) P = 1 t berada di C,  MA = 0 RB = + P . a/L = + 1 . a/L (ton) P = 1 t berada di B, RB = + P = + 1 (ton) c. Garis pengaruh Gaya lintang pada titik C. P = 1 t berada di A, Ra = + P = + 1 t, Dc = Ra – P = 0 P = 1 t berada di C (P belum melewati C),  MB = 0 RA = + P . (L-a)/L = + (L-a)/L (ton) Dc = RA – P = P . (L-a)/L – P = P . (L-a)/L – P . L/L = – P . a/L Dc = – a/L (ton)

1




P =1 ton C B

A a

L-a L

Garis pengaruh Reaksi GP.RA

(L-a)/L

+1

+

a/L

Garis pengaruh Gaya Lintang

+

+(L-a)/L

+1

+

GP.DC –

-1

-a/L

Garis pengaruh Momen

+1

+ a . (L-a)/L

GP.MC

+

P = 1 t berada di C (P sudah melewati C),  MB = 0 RA = + P . (L-a)/L = + (L-a)/L (ton) Dc = + RA = + P . (L-a)/L = + (L-a)/L (ton) d. Garis pengaruh Momen pada titik C. P = 1 t berada di C,  MB = 0 Ra = + P . (L-a)/L = + (L-a)/L (ton) Mc = RA . a = P . (L-a)/L . a = a . (L-a)/L (t.m.)

2

GP.RB




2). BALOK MENGANJUR (OVERHANG). P =1 ton C

A

B

a

D

L-a L

Garis pengaruh Reaksi

b

(L-a)/L

GP.RA + 1

+ - b/L

–

GP.RB

+1 a/L

Garis pengaruh Gaya Lintang

+(L-a)/L

+1

+

GP.DC

-1

-a/L

GP.MC

- b/L

–

–


(L+b)/L

+

+ a . (L-a)/L

+

– Keterangan : a. Garis pengaruh RA. P = 1 t berada di A, RA = + P = + 1 (ton) P = 1 t berada di C,  MB = 0 RA = + P . (L-a)/L = + (L-a)/L (ton) P = 1 t berada di B, Ra = 0 (ton) P = 1 t berada di D,  MB = 0 RA .L + P . b = 0 3

- a.b/L




RA = - P . b/L = - b/L (ton) b. Garis pengaruh RB P = 1 t berada di A, RB = 0 (ton) P = 1 t berada di C,  MA = 0 RB = + P . a/L = + a/L (ton) P = 1 t berada di B, RB = + P = + 1 (ton) P = 1 t berada di D,  MA = 0 - RB .L + P . (L + b) = 0 RB = + P . (L + b)/L = + (L + b)/L (ton) c. Garis pengaruh Gaya lintang pada titik C. P = 1 t berada di A, RA = + P = + 1 t, Dc = RA – P = 0 P = 1 t berada di C (P belum melewati C),  MB = 0 RA = + P . (L-a)/L = + (L-a)/L (ton) Dc = RA – P = P . (L-a)/L – P = P . (L-a)/L – P . L/L = – P . a/L Dc = – a/L (ton) P = 1 t berada di C (P sudah melewati C),  MB = 0 RA = + P . (L-a)/L = + (L-a)/L (ton) Dc = + RA = + P . (L-a)/L = + (L-a)/L (ton) P = 1 t berada di D,  MB = 0 RA . L + P . b = 0 RA = - P . b/L = - b/L (ton) Dc = - b/L (ton) d. Garis pengaruh Momen pada titik C. P = 1 t berada di C,  MB = 0 RA = + P . (L-a)/L = + (L-a)/L (ton) Mc = RA . a = P . (L-a)/L . a = a . (L-a)/L (t.m.). P = 1 t berada di D,  MB = 0 RA .L + P . b = 0 RA = - P . b/L = - P . b/L (ton) Mc = RA . a = - P . b/L . a = - a . b/L (t.m.).

4




3). RANGKAIAN MUATAN. Besar gaya lintang maksimum positip/negatip dan momen maksimum untuk muatan bergerak terpusat (P) dan terbagi rata (q) pada titik C. A. Muatan terpusat. 2m

Garis pengaruh Gaya Lintang C

P1 = 2 t

P2 = 1 t

B

A a=4m

L-a L = 10 m 2m

Posisi 1 Gaya lintang maksimum positip

P2 = 1 t

P1 = 2 t

+1

GP.DC

Y1 = +(L-a)/L

+ Y2

–

-1

-a/L 2m Posisi 2 Gaya lintang maksimum negatip

P1 = 2 t

P2 = 1 t

+1

+(L-a)/L

GP.DC –

+ Y1 = -a/L

Y2

-1

a. Gaya lintang maksimum positip, beban berada pada posisi 1. Lihat gambar G.P.Dc posisi 1. Karena P1 > P2, maka P1 ditempatkan pada ordinat terbesar. - Ordinat-ordinat, Y1 = + (L – a)/L = (10 – 4)/10 = + 0,6 Y2 = + Y1 . {(L – a) – 2}/(L – a) 2m = + 0,6 . {(10 – 4) – 2}/(10 – 4) Y1 = + 0,4 Y2 - Gaya lintang maksimum positip, DC maks + = + P1 . Y1 + P2 . Y2 = + 2 (t) . 0,6 + 1 (t) . 0,4 = + 1,6 ton. b. Gaya lintang maksimum negatip, beban berada pada posisi 2. Lihat gambar G.P.Dc posisi 2. - Ordinat-ordinat, 5

L-a




Y1 = – a/L = – 4/10 = – 0,4 Y2 = – Y1 . (a – 2)/a = – 0,4 . (4 – 2)/4 = – 0,2

2m Y2

Y1

a

- Gaya lintang maksimum negatip, DC maks - = – P1 . Y1 – P2 . Y2 = – 2 (t) . 0,4 – 1 (t) . 0,2 = – 1,0 ton. 2m

Garis pengaruh Momen C

P1 = 2 t

P2 = 1 t

B

A a=4m

L-a L = 10 m 2m P2 = 1 t

P1 = 2 t

Alternatip penempatan beban dalam mencari momen maksimum.

Y1 = + a . (L-a)/L Y2

GP.Mc

+

Posisi 1 2m P2 = 1 t

P1 = 2 t

Y1 = + a . (L-a)/L

GP.Mc

Y2

Posisi 2

+

c. Momen maksimum. Untuk mendapatkan momen maksimum dilakukan dengan coba-coba, yaitu beban ditempatkan pada posisi-posisi 1 s/d 5. - Pada posisi 1. Lihat gambar G.P.Mc posisi 1, karena P1 > P2, maka P1 ditempatkan pada ordinat terbesar, ordinat-ordinat tersebut, Y1 = + a . (L – a)/L = + 4 . (10 – 4)/10 = + 6 m. Y2 = + Y1 . {(L – a) – 2}/(L – a) = + 6 . {(10 – 4) – 2}/(10 – 4) = + 4 m. 6




Momen, Mc = + P1 . Y1 + P2 . Y2 = + 2 . 6 + 1 . 4 = + 16 t.m. - Pada posisi 2. Lihat gambar G.P.Mc posisi 2, karena P1 > P2, maka P1 ditempatkan pada ordinat terbesar, ordinat-ordinat tersebut, Y1 = + a . (L – a)/L = + 4 . (10 – 4)/10 = + 6 m. Y2 = + Y1 . (a – 2)/a = + 6 . (4 – 2)/4 = + 3 m. Momen, Mc = + P1 . Y1 + P2 . Y2 = + 2 . 6 + 1 . 3 = + 15 t.m. 2m


P1 = 2 t

P2 = 1 t

B

A a

L-a L


2m P2 = 1 t

P1 = 2 t

4/3 m 2/3 m

Y = + a . (L-a)/L

2m

GP.Mc Posisi 3

P2 = 1 t

+ Y1

Y2

R=3t X2

2m P2 = 1 t

P1 = 2 t

X1

P1 = 2 t

Y = + a . (L-a)/L

GP.Mc Posisi 4

+ Y2

Y1

- Pada posisi 3. Lihat gambar G.P.Mc posisi 3, resultan R (P1+P2) ditempatkan pada ordinat terbesar (Y). Letak resultan R, X2 . (P1 + P2) = P1 . (2 m) X2 = 2/(2 + 1) . (2 m) = 4/3 m = 1,33 m. X1 + X2 = 2 m X1 . (P1 + P2) = P2 . (2 m) 7




X1 = 1/(2 + 1) . (2 m) = 2/3 m = 0,67 m. Ordinat-ordinat, Y = + a . (L – a)/L = + 4 . (10 – 4)/10 = + 6 m. Y1 = + Y . (a – 0,67)/a = + 6 . (4 – 0,67)/4 = + 5 m. Y2 = + Y . {(L – a) – 1,33}/(L – a) = + 6 . {(10 – 4) – 1,33}/(10 – 4) = + 4,67 m Momen, Mc = + P1 . Y1 + P2 . Y2 = + 2 . 5 + 1 . 4,67 = + 14,67 t.m. - Pada posisi 4. Lihat gambar G.P.Mc posisi 4, resultan R (P1+P2) ditempatkan pada ordinat terbesar (Y) tetapi posisi terbalik dari posisi 3. Ordinat-ordinat, Y = + a . (L – a)/L = + 4 . (10 – 4)/10 = + 6 m. Y1 = + Y . {(L – a) – 0,67}/(L – a) = + 6 . {(10 – 4) – 0,67)/(10 – 4) = + 5,33 m. Y2 = + Y . (a – 1,33)/a = + 6 . (4 – 1,33)/4 = + 4 m. Momen, Mc = + P1 . Y1 + P2 . Y2 = + 2 . 5,33 + 1 . 4 = + 14,67 t.m.

2m


P1 = 2 t

P2 = 1 t

B

A a

L-a L


2m P1 = 2 t

P2 = 1 t

4/3 m 2/3 m 2m

Y = + a . (L-a)/L

GP.Mc

Y1 = Y2

Posisi 5

+ Y2

Y1

P2 = 1 t

P1 = 2 t R=3t X2

X1

x

- Pada posisi 5. Lihat gambar G.P.Mc posisi 5, P1 dan P2 ditempatkan pada posisi dimana ordinat Y1 dan Y2 besarnya sama. Ordinat-ordinat, Y = + a . (L – a)/L = + 4 . (10 – 4)/10 = + 6 m. Y1 = + Y . {L – (x + 2)}/(L – a) ...................(2) Y2 = + Y . x/(a) ...................(1) 8




Dari (1) dan (2), Y1 = Y2 Y . {L – (x + 2)}/(L – a) = Y . x/(a) {L – (x + 2)} . (a) = x . (L – a) a.L–x.a–2.a = x.L–x.a x.L=a.L–2.a x = a . (L – 2)/L = 4 . (10 – 2)/10 x = 3,2 m (dari kiri). Maka, Y1 = + Y . {L – (x + 2)}/(L – a) = + 6 . {10 – (3,2 + 2)}/(10 – 4) = + 4,8 m Y2 = + Y . x/(a) = 6 . 3,2/4 = 4,8 m Y1 = Y2 (memenuhi). Momen, Mc = + P1 . Y1 + P2 . Y2 = + 2 . 4,8 + 1 . 4,8 = + 14,4 t.m. Perhatikan tabel berikut ini yang menggambarkan besar momen berdasarkan letak beban bergerak, Posisi 1 2 3 4 5

Momen (t.m’) 16,00 15,00 14,67 14,67 14,40

Momen maksimum terjadi pada pembebanan posisi 1.

9




B. Muatan terbagi rata. Garis pengaruh Gaya Lintang

2m q = 2 t/m’

C

B

A a=4m

L-a L = 10 m 2m

Posisi 1 Gaya lintang maksimum positip

q = 2 t/m’

+1

GP.DC

Y2 Y1 = +(L-a)/L

+

–

-1

-a/L 2m Posisi 2 Gaya lintang maksimum negatip

q = 2 t/m’

+1

+(L-a)/L

GP.DC Y2

+ Y1 = -a/L

–

-1

a. Gaya lintang maksimum positip, beban berada pada posisi 1. Lihat gambar G.P.Dc posisi 1. - Ordinat-ordinat, Y1 = + (L – a)/L = (10 – 4)/10 = + 0,6 Y2 = + Y1 . {(L – a) – 2}/(L – a) = + 0,6 . {(10 – 4) – 2}/(10 – 4) Y1 = (L – a)/L = + 0,4

2m

- Luas bidang antara Y1 dan Y2, F = (2 m) . (Y1 + Y2)/2 = (2 m) . ( 0,6 + 0,4)/2 = 1 m. - Gaya lintang maksimum positip, DC maks + = + q . F = + (2 t/m’) . (1 m) = + 2 ton.

10

q = 2 t/m’

Y2 L–a

+




b. Gaya lintang maksimum negatip, beban berada pada posisi 2. Lihat gambar G.P.Dc posisi 2. - Ordinat-ordinat,

2m q = 2 t/m’

Y1 = – a/L = – 4/10 = – 0,4 Y2 = – Y1 . (a – 2)/a = – 0,4 . (4 – 2)/4 = – 0,2

–

Y2

Y1 = - a/L

a

- Luas bidang yang diarsir, F = – (2 m) . (Y1 + Y2)/2 = – (2 m) . ( 0,4 + 0,2)/2 = 0,6 m. - Gaya lintang maksimum negatip, DC maks - = – q . F = – (2 t/m’) . (0,6 m) = – 1,2 ton.


2m

C

q = 2 t/m’

B

A a

L-a L 2m q = 2 t/m’

Y1 = + a . (L-a)/L

GP.Mc

Y2

Posisi 1

+

2m q = 2 t/m’

Y1 = + a . (L-a)/L

GP.Mc Posisi 2

Y2

+

c. Momen maksimum. 11




Untuk mendapatkan momen maksimum dilakukan dengan coba-coba, yaitu beban ditempatkan pada posisi-posisi 1 s/d 3. - Pada posisi 1. Lihat gambar G.P.Mc posisi 1, beban ditempatkan sebelah kanan potongan C, ordinat-ordinat tersebut, 2m q = 2 t/m’

Y1 Y2 L–a

Y1 = + a . (L – a)/L = + 4 . (10 – 4)/10 = + 6 m. Y2 = + Y1 . {(L – a) – 2}/(L – a) = + 6 . {(10 – 4) – 2}/(10 – 4) = + 4 m. Luas bidang yang diarsir, F = + (2 m) . (Y1 + Y2)/2 = + (2 m) . {6 m + 4 m}/2 = 10 m2. Momen, Mc = + q . F = + (2 t/m’) . (10 m2) = + 20 t.m’. - Pada posisi 2. Lihat gambar G.P.Mc posisi 2, beban ditempatkan disebelah kiri pada potongan C, ordinatordinat tersebut, 2m q = 2 t/m’

Y2

Y1

a

Y1 = + a . (L – a)/L = + 4 . (10 – 4)/10 = + 6 m. Y2 = + Y1 . (a – 2)/a = + 6 . (4 – 2)/4 = + 3 m. Luas bidang yang diarsir, F = + (2 m) . (Y1 + Y2)/2 = + (2 m) . {6 m + 3 m}/2 = 9 m2. Momen, Mc = + q . F = + (2 t/m’) . (9 m2) = + 18 t.m’.

12




- Pada posisi 3. Lihat gambar G.P.Mc posisi 3, beban ditempatkan pada posisi dimana ordinat Y1 dan Y2 besarnya sama. Garis pengaruh Momen

2m

C

q = 2 t/m’

B

A a

L-a L 2m q = 2 t/m’

Y = + a . (L-a)/L

GP.Mc

Y1 = Y2

Posisi 3

+ Y2

Y1 x

Y1

F1

F2

Y2

Ordinat-ordinat, Y = + a . (L – a)/L = + 4 . (10 – 4)/10 = + 6 m. Y1 = + Y . x/a Y2 = + Y . {L – (x + 2)}/(L – a) Dari (1) dan (2), Y1 = Y2 Y . x/a = Y . {L – (x + 2)}/(L – a) x . (L – a) = {L – (x + 2)} . a x.L–x.a=a.L–x.a–2.a x.L=a.L–2.a x = a . (L – 2)/L = 4 . (10 – 2)/10 x = 3,2 m (dari kiri). Maka, Y1 = + Y . x/a = 6 . 3,2/4 = 4,8 m. Y2 = + Y . {L – (x + 2)}/(L – a) = + 6 . {10 – (3,2 + 2)}/(10 – 4) 13

...................(1) ...................(2)




= + 4,8 m (Y1 = Y2 memenuhi). Luas bidang yang diarsir, F = F1 + F2 = + (a – x) . (Y1 + Y)/2 + {2 m – (a – x)} . (Y2 + Y)/2 = + (4m – 3,2m) . {6m + 4,8m}/2 + {2m – (4m – 3,2m)} . {6m + 4,8m}/2 = 4,32 + 6,48 F = 10,8 m2. Momen, Mc = + q . F = + (2 t/m’) . (10,8 m2) = + 21,6 t.m’. Perhatikan tabel berikut ini yang menggambarkan besar momen berdasarkan letak beban bergerak, Posisi 1 2 3

Momen (t.m’) 20,00 18,00 21,60

Momen maksimum terjadi pada pembebanan posisi 3. SILAHKAN COBA A

C

a = 2,5 m L = (6+X) m Muatan bergerak,

B

D

L-a b=3m a=2m P2 = (1+X) t

P1 = (3+X) t

Diminta : Hitunglah gaya lintang maksimum positip dan negatip dan momen maksimum positip dan negatip pada tampang C. Dimana, X = angka terakhir no.stb, misal 99101023, maka X = 3(meter/ton).

14




4). BALOK BERSENDI GERBER.

D

A

B

a

S

C

L-a

GP.RA

L1

b

L + (L – a)/L +1

+ - b/L

+1

GP.RB

+ (L+b)/L

+ a/L

+

GP.DC

+(L-a)/L +1

GP.MC

+

–

-1

–

- b/L

- a/L

+ a.(L-a)/L

+

– - a.b/L

15




16

MODUL 6 STATIKA I GARIS PENGARUH. Dosen Pengasuh : Ir. Thamrin Nasution

Recommend Documents